Exercícios Resolvidos sobre TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas
professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova.
Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o.
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Contents
7 Trabalho e Energia Cine´tica 2
7.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
7.2.1 Trabalho: movimento ��� com
forc¸a constante . . . . . . . . . 2
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a
varia´vel . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola 4
7.2.4 Energia Cine´tica . . . . . . . . 5
7.2.5 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . 6
7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades
Elevadas . . . . . . . . . . . . 8
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam1.tex)
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7 Trabalho e Energia Cine´tica
7.1 Questo˜es
Q 7-13
As molas A e B sa˜o ideˆnticas, exceto pelo fato de que A
e´ mais rı´gida do que B, isto e´ ��������� . Qual das duas
molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem
o mesmo deslocamento e (b) quando elas sa˜o distendi-
das por forc¸as iguais.
� (a) Temos 	 ��
 � �
������� e 	 ��
 � ��������� , onde �
representa o deslocamento comum a ambas molas. Por-
tanto,
	��
	
�
���
�
�
�
���
ou seja, 	�����	ff� .
(b) Agora temos 	 �fi
 � �
�
�
�
�fl� e 	 �ffi
 � ��� �
�
��� ,
onde ��� e ��� representam os delocamentos provocados
pela forc¸a ideˆntica que atua sobre ambas as molas e que
implica ter-se, em magnitude,
 
�
�
�!��
�
�"���
�
donte tiramos �!�#
 � �
���"� � � . Portanto
	ff�
	
�
���
�
�
�
�
�%$
�
�&�����
�
��'
�
���
�
�)(
�fl�
ou seja, 	��
(
	ff� .
7.2 Problemas e Exercı´cios
7.2.1 Trabalho: movimento � � com forc¸a con-
stante
E 7-2 (7-7/6 * edic¸a˜o)
Para empurrar um caixote de +�, kg num piso sem atrito,
um opera´rio aplica uma forc¸a de
�
�
, N, dirigida
�
,.-
acima da horizontal. Se o caixote se desloca de / m, qual
o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo opera´rio,
(b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exer-
cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total
executado sobre o caixote?
� (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por
ela e´
	�0 
�1#243�
 65"748�9;:
�
onde
1
e´ a forc¸a,
3
e´ o deslocamento do caixote, e : e´
o aˆngulo entre a forc¸a
1
e o deslocamento
3
. Portanto,
	�0 
<$=�
�
, '>$ / '
7>8?9
� ,
-
 +�@�,
J A
(b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendic-
ular ao deslocamento do caixote. O aˆngulo entre esta
forc¸a e o deslocamento e´ @fl, - e, como
748�9
@�, -B
 ,
, o
trabalho feito pela forc¸a gravitacional e´ ZERO.
(c) A forc¸a normal exercida pelo piso tambe´m atua per-
pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra-
balho por ela realizado tambe´m e´ ZERO.
(d) As treˆs forc¸as acima mencionadas sa˜o as u´nicas que
atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela
soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
das treˆs forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ +�@fl, J.
P 7-9 ( C na 6 * )
A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para
facilitar o levantamento de um peso D . Suponha que o
atrito seja desprezı´vel e que as duas polias de baixo, a`s
quais esta´ presa a carga, pesem juntas � , N. Uma carga
de EflF�, N deve ser levantada � � m. (a) Qual a forc¸a
mı´nima 1 necessa´ria para levantar a carga? (b) Qual o
trabalho executado para levantar a carga de � � m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d)
Qual o trabalho executado pela forc¸a
1
para realizar esta
tarefa?
� (a) Supondo que o peso da corda e´ desprezı´vel (isto e´,
que a massa da corda seja nula), a tensa˜o nela e´ a mesma
ao longo de todo seu comprimento. Considerando as
duas polias mo´veis (as duas que esta˜o ligadas ao peso
D ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com
uma forc¸a
 
aplicada em quatro pontos, de modo que a
forc¸a total para cima aplicada nas polias mo´veis e´ F .
Se
 
for a forc¸a mı´nima para levantar a carga (com ve-
locidade constante, i.e. sem acelera-la), enta˜o a segunda
lei de Newton nos diz que devemos ter
F
 HGJIHK
,
�
onde IHK representa o peso total da carga mais polias
mo´veis, ou seja, IHK 
L$ EflF�,6M � , ' N. Assim, encon-
tramos que
 
E�Nfl,
F
��
�
+ N A
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(b) O trabalho feito pela corda e´ 	 
 F 65 
 IHK 5 ,
onde 5 e´ a distaˆncia de levantamento da carga. Portanto,
o trabalho feito pela corda e´
	 
 $ E�Nfl, '4$
�
�fl' 
�
,fl/ � , J A
(A resposta na traduc¸a˜o do livro esta´ incorreta.)
(c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento
da corda entre o conjunto superior e inferior de polias
diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da
corda abaixo de F metros. Portanto, no total a extremi-
dade livre da corda move-se $ F '4$ � �fl'�
 F?E m para baixo.
(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela
extremidade livre e´ 	 
 65
IHK�5
� F , onde
5
e´ a
distaˆncia que a extremidade livre se move. Portanto,
	 
 $ EflN�, '
F?E
F
�
,�/ � ,
J A
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d)
devem coincidir, o que na˜o ocorre com as respostas
fornecidas no livro.
P 7-12 ( C na 6 * )
Um bloco de /.A
�
+ kg e´ puxado com velocidade con-
stante por uma distaˆncia de F�A ,�N m em um piso hori-
zontal por uma corda que exerce uma forc¸a de � A N�E N
fazendo um aˆngulo de � +?- acima da horizontal. Calcule
(a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b)
o coeficiente de atrito dinaˆmico entre o bloco e o piso.
� (a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o tra-
balho e´ dado por 	 
L1 2�3 
 65"748�9;:
, onde 1 e´
a forc¸a exercida pela corda, 3 e´ a distaˆncia do desloca-
mento, e
:
e´ o aˆngulo entre a forc¸a e o deslocamento.
Portanto
	
 $
�
A NflE
'4$
F�A ,�N
'
748�9
�
+
-
/fl,;A
� J A
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um
diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro)
forc¸as aplicadas.
Desenhe um ponto � representando o bloco. Em � , de-
senhe a forc¸a normal � apontando para cima, a forc¸a
peso ��� apontando para baixo. Apontando horizontal-
mente para a esquerda desenhe a forc¸a � de atrito. De-
senhe a forc¸a 1 que puxa o bloco apontando para a dire-
ita e para cima, fazendo um aˆngulo
:
com a horizontal,
Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para
que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı´brio
tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece
as equac¸o˜es, respectivamente,
 �7>8�9�: G	�
,
�
M
 
sen
: G
�
K
 ,.A
A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por
�
���
���
�$ �
K GJ 
sen
:
'
�
onde o valor de 
 foi obtido da segunda equac¸a˜o acima.
Substituindo o valor de � na primeira das equac¸o˜es
acima e resolvendo-a para ��
 encontramos sem prob-
lemas que
� 
 
 �7>8?9;:
�
K G� 
sen
:
$
�
A N�E '
748�9
�
+ -
$ /;A +
�
'4$ @.A E '
G
$
�
A N�E '
sen
�
+
-
 ,;A ��� A
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel
E 7-13 (7-24 na 6 * )
Um bloco de + kg se move em linha reta numa superfı´cie
horizontal sem atrito sob a influeˆncia de uma forc¸a que
varia com a posic¸a˜o da forma indicada na Fig. 7-28.
Qual o trabalho executado pela forc¸a quando o bloco
se desloca da origem ate´ o ponto
� 
E m?
� Basta calcular-se a a´rea debaixo da curva da cada um
dos quatro segmentos de reta.
	
 $ �fl'4$
�
,
'
M��
�
$
F
G
��'>$
�
,
G
,
'
M , M��
�
$
E
G
N
'4$
,
G
+
'
 �
, M
�
, M�,
G
+
 �
+ J A
P 7-14 (7-25 na 6 * )
Uma massa de � , kg esta´ se movendo ao longo do eixo
dos
�
. Sua acelerac¸a˜o varia com a posic¸a˜o da forma
indicada na Fig. 7-29. Qual o trabalho total executado
sobre a massa quando ela se move de
� 
, m ate´
� 
E
m?
� Do gra´fico vemos que a acelerac¸a˜o varia linearmente
com
�
, ou seja, que �
�� �
, onde
��
��
,
�
E
H�
A + s �
�
.
Portanto, como
 
���
�
� �
, temos
	
���ff�
fi
 �5
� 
�
�
���ff�
fi
�
5
�
�
� �
� fl
�
$
�
,
'>$=�
A +
'>$
E
'
�
�
Efl,�, J A
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 8
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P 7-16 (7-27 na 6 * )
A forc¸a exercida num objeto e´ 
$ � ' 
 
fi
$ � ���
fi
G
�
'
.
Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de
� 
 , ate´ ��
 ��� fi (a) fazendo um gra´fico de $ �!' e
determinando a a´rea sob a curva e (b) calculando a inte-
gral analiticamente.
� (a) A expressa˜o de $ � ' diz-nos que a forc¸a varia
linearmente com � . Supondo � fi � , , escolhemos dois
pontos convenientes para, atrave´s deles, desenhar uma
linha reta.
Para
� 
 ,
temos
 
G 
fi enquanto que para
� 
 ���
fi
temos
 
 
fi
, ou seja devemos desenhar uma linha
reta que passe pelos pontos
$ ,
�
G 
fi
'
e
$=���
fi
�
 
fi
'
. Fac¸a
a figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ dado
pela soma da a´rea de dois triaˆngulos: um que vai de
�B
 , ate´ � 
�� fi , o outro indo de � 
�� fi ate´ �B
���� fi .
Como os dois triaˆngulos tem a mesma a´rea, sendo uma
positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´
ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
	
�
�
���
fi
 
fi
�
�
�
-
G
���
5
�
 
fi
�
�
�
���
fi
G
�
���
�
�
�
���
fi
,.A
E 7-17 (7-29/6 * )
Qual o trabalho realizado por uma forc¸a dada em New-
tons por
1 
fi�����
M /
	 , onde
�
esta´ em metros, que
e´ exercida sobra uma partı´cula enquanto ela se move da
posic¸a˜o, em metros, �
� 
)��� M#/�	 para a posic¸a˜o (em
metros) � fl 
 G F � G /�	
� Suponha que a partı´cula mova-se primeiramente, dig-
amos, ao longo da quota constante �
/ m, indo desde
�
�
 �
m ate´
�
�
G
F m. Neste percurso o trabalho
realizado e´:
	
�
� ���
���
 
�
5
� 
� ���
���
���
5
�
 �
�
�
G
�
�
�
 $
G
F
'
�
G
$ �fl'
�
�
�
J A
A seguir, para completar o percurso, suponhamos que a
partı´cula mova-se ao longo da linha
� 
G
F m, indo de
�
�
/ m ate´ �
�
G
/ m. O trabalho para tanto e´
	
�
�����
�
�
 
�
5
�
�����
�
�
/
5
�
 / $ �
�
G
�
�
'
 /�� $
G
/ '
G
$ / 'fiff 
G
�
E J A
O trabalho total do percurso todo e´
	 
 	
�
M�	
�
�
�
G
�
E 
G
N J A
PERGUNTA DEVERAS PERTINENTE: o valor do tra-
balho depende do caminho escolhido para fazer-se as
integrac¸o˜es? Repita a integrac¸a˜o escolhendo outro cam-
inho!...
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola
E 7-18 (7-21/6 * )
Uma mola com uma constante de mola de � + N/cm esta´
presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o tra-
balho executado pela mola sobre a gaiola se a mola e´
distendida de � A N mm em relac¸a˜o ao seu estado relax-
ado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola
se ela e´ distendida por mais � A N mm?
� (a) Quando a gaiola move-se de �B
��
�
para �B
��
�
o trabalho feito pela mola e´ dado por
	
�
�
�
���
$
G
�
� '
5
� 
G
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
G
�
�
�
$ �
�
�
G
�
�
�
'
�
onde � e´ a constante de forc¸a da mola. Substituindo
�
�
, m e
�
�
�
A Nffifl
�
, � � m encontramos
	
G
�
�
$
�
+�,fl,
'>$
�
A N!fl
�
,
� �
'
�
G
,;A ,flF�/ J A
(b) Agora basta substituir-se
�
�
�
A N"fl
�
,
� � m e
�
�
�
+ A
�
fl
�
, � � m na expressa˜o para o trabalho:
	
G
�
�
$
�
+fl,fl,
'$# $
�
+.A
��'
�
G
$
�
A N
'
�&%
fl
$
�
,
� �
'
�
G
,;A
�
/ J A
Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho re-
alizado e´ mais do que o dobro do trabalho feito no
primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido
ideˆntico em ambos intervalos, a forc¸a e´ maior durante o
segundo intervalo.
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7.2.4 Energia Cine´tica
E 7-21 ( C na 6 * )
Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo
acoplada tem uma massa total de
� A @ fl
�
,
�
kg e atinge
uma velociade de � � A � km/s, qual a sua energia cine´tica
neste instante?
� Usando a definic¸a˜o de energia cine´tica temos que
�
 �
�
���
�
 �
�
$=� A @�fl
�
,
�
'>$
� �
A � fl
�
,
�
'
�
A
�
+ffifl
�
,
�
� J A
E 7-22 (7-1/6 * )
Um ele´tron de conduc¸a˜o (massa � 
 @;A � � fl � , � �
�
kg)
do cobre, numa temperatura pro´xima do zero absoluto,
tem uma energia cine´tica de N;A � fl � , �
���
J. Qual a ve-
locidade do ele´tron?
� A energia cine´tica e´ dada por �
���
�
���
, onde � e´
a massa do ele´tron e � a sua velocidade. Portanto
�
�
�
�
�
�
�.$
N;A
�
fl
�
,
�
�	�
'
@.A
� �
fl
�
,
� �
�
�
A
�
fl
�
,�
 m/s A
E 7-29 ( C na 6 * )
Um carro de � ,fl,fl, kg esta´ viajando a Nfl, km/h numa
estrada plana. Os freios sa˜o aplicados por um tempo
suficiente para reduzir a energia cine´tica do carro de
+�, kJ. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual
a reduc¸a˜o adicional de energia cine´tica necessa´ria para
fazeˆ-lo parar?
� (a) A energia cine´tica inicial do carro e´ � �
���
�
�
���
,
onde � e´ a massa do carro e
�
�
Nfl, km/h 
 Nfl,�fl
�
, �
/flN�,fl,
�
N;A
�
m/s
e´ a sua velocidade inicial. Isto nos fornece
�
�
 $
�
,fl,fl,
'>$
�
N.A
�
'
�
���6
�
A /fl@ fl
�
,
�
J A
Apo´s reduzir em +�, kJ a energia cine´tica teremos
�
fl
�
A /�@ fl
�
,
�
G
+fl,�fl
�
,
�
E.A @ffifl
�
,
� J A
Com isto, a velocidade final do carro sera´
�
fl
�
�
�
fl
�
�
�.$
E.A @ffifl
�
,
�
'
�
,fl,�,
�
/;A / m/s
 F
�
A E km/h A
(b) Como ao parar a energia cine´tica final do carro sera´
ZERO, teremos que ainda
remover E.A @�fl � ,
�
J para faze-
lo parar.
P 7-35 (7-17/6 * )
Um helico´ptero levanta verticalmente um astronauta de
�
� kg ate´ � + m de altura acima do oceano com o
auxı´lio de um cabo. A acelerac¸a˜o do astronauta e´ K � � , .
Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo
helico´ptero e (b) pelo seu pro´prio peso? Quais sa˜o (c)
a energia cine´tica e (d) a velocidade do astronauta no
momento em que chega ao helico´ptero?
� (a) Chame de a magnitude da forc¸a exercida pelo
cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e
o peso �
K do astronauta aponta para baixo. Ale´m disto,
a acelerac¸a˜o do astronauta e´ K
�
�
, , para cima. De acordo
com a segunda lei de Newton,
 �G
�
K
�
K
�
�
,
�
de modo que 
 � � �
K
�
�
, . Como a forc¸a 1 e o deslo-
camento 3 esta˜o na mesma direc¸a˜o, o trabalho feito pela
forc¸a 1 e´
	
0�
 65
� �
�
K
�
,
5
� �
$
�
�fl'4$
@.A E
'4$
�
+
'
�
,
�
A
�
Nffifl
�
,
� J A
(b) O peso tem magnitude � K e aponta na direc¸a˜o
oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho
	��
G
�
K 5
G
$
�
�fl'4$
@;A E
'>$
�
+
' 
G
�
A ,�N fl
�
,
�
J A
(c) O trabalho total feito e´
	��
� �
N�,fl,
G
�
,flNfl,�,
�
,�,fl, J A
Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do
Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cine´tica final
devera´ ser igual a 	 �
(d) Como � 
 ���
�
��� , a velocidade final do astronauta
sera´
�
�
�
�
�
�
�.$
�
,fl,�,
'
�
�
+.A
�
�
m/s
�
E.A @ km/h A
P 7-36 (7-19/6 * )
Uma corda e´ usada para fazer descer verticalmente um
bloco, inicialmente em repouso, de massa I com uma
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 8
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acelerac¸a˜o constante
K
� F
. Depois que o bloco desceu
uma distaˆncia 5 , calcule (a) o trabalho realizado pela
corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o
bloco pelo seu peso, (c) a energia cine´tica do bloco e (d)
a velocidade do bloco.
� (a) Chame de a magnitude da forc¸a da corda so-
bre o bloco. A forc¸a aponta para cima, enquanto que
a forc¸a da gravidade, de magnitude IHK , aponta para
baixo. A acelerac¸a˜o e´
K
� F , para baixo. Considere o
sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A se-
gunda lei de Newton diz-nos que
IHK G� 
IHK
� F ,
de modo que 
 /
IHK
� F . A forc¸a esta´ direcionada no
sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho
que ela faz e´
	 0 
G 65
G
�
�
IHK�5
A
(b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido
que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho
	 �
IHK�5
.
(c) O trabalho total feito sobre o bloco e´
	
�
G
�
�
IHK 5
M
IHK�5
�
�
IHK�5
A
Como o bloco parte do repouso, o valor acima coincide
com sua energia cine´tica
�
apo´s haver baixado uma
distaˆncia 5 .
(d) A velocidade apo´s haver baixado uma distaˆncia 5 e´
�
�
�
�
I
�
K�5
�
A
7.2.5 Poteˆncia
P 7-43 ( C na 6 * , ver Probl. Res. 7-5)
Um bloco de granito de � F�,�, kg e´ puxado por um guin-
daste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade
constante de � A /flF m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito
dinaˆmico entre o bloco e a rampa e´ ,;A F . Qual a poteˆncia
do guindaste?
� Para determinar a magnitude da forc¸a com que
o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de
corpo livre.
Chamemos de � a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao
de . A normal � aponta perpendicularmente a` rampa,
enquanto que a magnitude �
K
da forc¸a da gravidade
aponta verticalmente para baixo.
Da figura dada vemos que aˆngulo
�
do plano inclinado
vale
�
 tan � �
�
/fl,
F�,
�
/
�
-
A
Tomemos o eixo
�
na direc¸a˜o do plano inclinado, apon-
tando para cima e o eixo � apontando no mesmo sentido
da normal � .
Como a acelerac¸a˜o e´ zero, as componentes � e � da se-
gunda lei de Newton sa˜o, respectivamente,
 HG	� G
�
K
sen
�
 ,
�
 G
�
K 748�9
�
 ,.A
Da segunda equac¸a˜o obtemos que 
 �
K�748�9
�
, de
modo que �
 ��
���
 �
K�7>8?9
�
. Substiutindo este
resultado na primeira equac¸a˜o e resolvendo-a para 
obtemos
 
 �
K
�
sen
�
M � 
7>8�9
�
�
A
A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve-
locidade do bloco, de modo que a poteˆncia do guindaste
e´
�
 
�
�
K
�
�
sen
�
M
��
748�9
�
�
 $
�
F?,fl,
'4$
@;A E
'>$
�
A /flF
'
�
sen /
�
-
M�,;A F
748�9
/
�
-
�
�
�
kW A
P 7-44 (7-31/6 * )
Um bloco de � ,�, kg e´ puxado com uma velocidade con-
stante de + m/s sobre um piso horizontal por uma forc¸a
de �
�fl�
N orientada / � - acima da horizontal. Qual a
poteˆncia aplicada pela forc¸a?
� Como a velocidade e´ constante, a forc¸a tambe´m o e´,
atuando apenas para vencer o atrito entre as superfı´cies.
Sendo a forc¸a constante, podemos usar a fo´rmula
�
 1#2�� 
 
�
748�9;:
 $
�
�fl�fl'4$
+
'
7>8?9
/
�
-
F�@�, W A
P 7-47 (7-32/6 * )
Uma forc¸a de + N age sobre um corpo de � A + kg inicial-
mente em repouso. Determine (a) o trabalho executado
pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e
(b) a poteˆncia instantaˆnea aplicada pela forc¸a no final
do terceiro segundo.
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� (a) A poteˆncia e´ dada por � 
 � e o trabalho feito
por
1
entre o instante �
�
e �
�
e´
	 
��� �
� �
�
5
� 
��� �
� �
 
�
5
� A
Como 1 e´ a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸a˜o e´
� 
�
� � e a velocidade em func¸a˜o do tempo e´ dada
por � 
 ��� 
 
� � � . Portanto
	 
��� �
�
�
 
�
�
�
5
� 
�
�
 
�
�
�
�
�
�
G
�
�
�
�
A
Para �
�
 , s e �
�
�
s temos
	
�
 �
�
�
+ �
�
+
�
� $
�
'
�
G
$ , '
�
ff 
 ,;A E�/ J A
Para �
�
�
s e �
�
 �
s temos
	
�
�
�
�
+
�
�
+
�
�
$=��'
�
G
$
�
'
�
ff 
��
A + J A
Para �
�
 � s e �
�
/ s temos
	
�
 �
�
�
+
�
�
+
�
�
$
/
'
�
G
$=��'
�
ff 
F�A
� J A
(b) Substitua �
 
�
�
� em �
 
� obtendo enta˜o
�
 
�
�
�
� para a poteˆncia num instante � qualquer.
Ao final do terceiro segundo temos
�
$
+
'
�
$
/
'
�
+
+ W A
P 7-48 (7-35/6 * )
Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa
total de �
�
,�, kg e deve subir +�F m em / min. O con-
trapeso do elevador tem uma massa de @�+�, kg. Cal-
cule a poteˆncia (em cavalos-vapor) que o motor do el-
evador deve desenvolver. Ignore o trabalho necessa´rio
para colocar o elevador em movimento e para frea´-lo,
isto e´, suponha que se mova o tempo todo com veloci-
dade constante.
� O trabalho total e´ a soma dos trabalhos feitos pela
gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi-
dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre
o sistema: 	 �
	�� M�	��"M�	�� . Como o elevador
move-se com velocidade constante, sua energia cine´tica
na˜o muda e, de acordo com o teorema do Trabalho-
Energia, o trabalho
total feito e´ zero. Isto significa que
	���M 	��
M�	��
, .
O elevador move-se +�F m para cima, de modo que o tra-
balho feito pela gravidade sobre ele e´
	 � 
G
� �
K�5
G
$
�
� ,�, '4$ @.A E '4$ +�F ' 
G
N.A /�+ffifl
�
,
�
J A
O contrapeso move-se para baixo pela mesma distaˆncia,
de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele e´
	�� 
 �	�
K 5
 $ @�+fl, '>$ @.A E '4$ +�F '
 + A ,fl/ fl
�
,
�
J A
Como 	�� 
 , , o trabalho feito pelo motor e´
	 �H
G
	 �
G
	 � 
 $ N.A /�+
G
+ A ,fl/ ' fl
�
,
�
�
A / � fl
�
,
�
J A
Este trabalho e´ feito num intervalo de tempo 
�� 
/ min
�
Efl, s e, portanto, a poteˆncia fornecida pelo
motor para levantar o elevador e´
� 
	 �
��
�
A / � fl
�
,
�
�
E�,
�
/�+ W A
Este valor corresponde a
�
/�+ W
�
F�N W/hp 
 ,.A @fl@ hp A
P 7-49 (7-37/6 * )
A forc¸a (mas na˜o a poteˆncia) necessa´ria para rebocar um
barco com velocidade constante e´ proporcional a` veloci-
dade. Se sa˜o necessa´rios � , hp para manter uma veloci-
dade de F km/h, quantos cavalos-vapor sa˜o necessa´rios
para manter uma velocidade de � � km/h?
� Como o problema afirma que a forc¸a e´ proporcional
a` velocidade, podemos escrever que a forc¸a e´ dada por
 
 �
� , onde � e´ a velocidade e � e´ uma constante de
proporcionalidade. A poteˆncia necessa´ria e´
�
 
�
��
�
�
A
Esta fo´rmula nos diz que a poteˆncia associada a uma
velocidade �
�
e´ �
�
 �
�
�
�
e a uma velocidade �
�
e´
�
�
 �
�
�
�
. Portanto, dividindo-se �
�
por �
�
podemos
nos livrar da constante
�
desconhecida, obtendo que
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A
Para �
�
�
, hp e �
�
/ �
�
, vemos sem problemas que
�
�
�
�
�
F
�
�
$
�
,
'�
 $
/
'
�
$
�
,
' 
@�, hp A
Observe que e´ possı´vel determinar-se explicitamente o
valor de
�
a partir dos dados do problema. Pore´m, tal
soluc¸a˜o e´ menos elegante que a acima apresentada, onde
determinamos
�
implicitamente, chegando ao resultado
final mais rapidamente.
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7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas
E 7-50 ( C na 6 * )
Um ele´tron se desloca de +.A � cm em ,;A � + ns. (a) Qual e´
a relac¸a˜o entre a velocidade do ele´tron e a velocidade da
luz? (b) Qual e´ a energia do ele´tron em ele´trons-volt?
(c) Qual o erro percentual que voceˆ cometeria se usasse
a fo´rmula cla´ssica para calcular a energia cine´tica do
ele´tron?
� (a) A velocidade do ele´tron e´
� 
5
�
+.A
�
fl
�
, �
�
,;A � +!fl
�
,
�
�
H� A ,�F�fl
�
,�� m/s A
Como a velocidade da luz e´ � 
H� A @fl@flE fl � ,
�
m/s, temos
�
� A ,�F
�
A @�@flE
�
,;A N�E���A
(b) Como a velocidade do ele´tron e´ pro´xima da veloci-
dade da luz,devemos usar expressa˜o relativı´stica para a
energia cine´tica:
�
���
�
�
�
�
�
G
�
�
�
�
�
G
���
 $ @.A
� �
fl
�
,
�
�
'4$=� A @fl@�E fl
�
,�� ' fl
�
�
�
�
G
$ ,;A N�E '
�
G
� �
 /;A ,�fl
�
,
�
�
� J A
Este valor e´ equivalente a
�
/.A , fl
�
, �
�
�
�
A Nfl, fl
�
,
�
���
�
A @fl, fl
�
,
�
�
@�, keV A
(c) Classicamente a energia cine´tica e´ dada por
�
 �
�
���
�
 �
�
$ @;A
� �
fl
�
,
� �
�
'4$=� A ,�F fl
�
, �4'
�
�
A @�,ffifl
�
,
�
�
� J A
Portanto, o erro percentual e´, simplificando ja´ a poteˆncia
comum
�
,
�
�
�
que aparece no numerador e denomi-
nador,
erro percentual 
 /.A ,
G
�
A @
/.A ,
,.A /
�
�
ou seja, / ��� . Perceba que na˜o usar a fo´rmula rela-
tivı´stica produz um grande erro!!
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