Exercícios Resolvidos sobre COLISÕES

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:49
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı´sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Suma´rio
10 Coliso˜es 2
10.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
10.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 2
10.2.2 Coliso˜es Ela´sticas em Uma Di-
mensa˜o . . . . . . . . . . . . . 4
10.2.3 Coliso˜es Inela´sticas em Uma
Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . 5
10.2.4 Coliso˜es em Duas Dimenso˜es . 6
10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 7
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
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10 Coliso˜es
10.1 Questo˜es
Q 10-1
Explique como a conservac¸a˜o de energia se aplica a uma
bola quicando numa parede.
�
10.2 Problemas e Exercı´cios
10.2.1 Impulso e Momento Linear
E 10-3 (10-1/6 � edic¸a˜o)
Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma
forc¸a me´dia de ��� N em um intervalo de ��� ms. Se a
bola tivesse massa de �	��
�� kg, que velocidade ela teria
apo´s o impacto?
� Se 
 for a magnitude da forc¸a me´dia enta˜o a magni-
tude do impulso e´ ����
���� , onde ��� e´ o intervalo de
tempo durante o qual a forc¸a e´ exercida (veja Eq. 10-8).
Este impulso iguala a magnitude da troca de momen-
tum da bola e como a bola esta´ inicialmente em repouso,
iguala a magnitude ��� do momento final. Resolvendo
a euqac¸a˜o 
���������� para � encontramos
�ff�
����
�
�
fi
���ffifl
fi
���ff� ���"!$#�fl
�	��
��
�%
"��� m/s �
E 10-9 (10-5/6 � )
Uma forc¸a com valor me´dio de �&
���� N e´ aplicada a uma
bola de ac¸o de �	� 'ffi� kg, que se desloca a �(' m/s, em uma
colisa˜o que dura 
*) ms. Se a forc¸a estivesse no senti-
do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a
velocidade final da bola.
� Considere a direc¸a˜o inicial do movimento como po-
sitiva e chame de 
 a magnitude da forc¸a me´dia, ��� a
durac¸a˜o da forc¸a, � a massa da bola, ��+ a velocidade
inicial da bola, ��, a velocidade final da bola. Enta˜o a
forc¸a atua na direc¸a˜o negativa e o teorema do impulso-
momento fornece
-
����.�/�0�
,
-
���
+
�
Resolvendo para � , obtemos
� , � � +
-
��1�
�
� �('
-
fi
�&
����*fl
fi
*)2� ���	!3#&fl
�	� 'ffi�
�
-54
) m/s �
A velocidade final da bola e´ 4 ) m/s.
P 10-12 (10-9/6 � )
Um carro de ��'ffi�ffi� kg, deslocando-se a �	� 6 m/s, esta´ ini-
cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do
eixo 7 . Apo´s completar uma curva a` direita de 8ffi�ffi9 para
o sentido positivo do eixo : em ';� 4 s, o distraido moto-
rista investe para cima de uma a´rvore, que pa´ra o carro
em 6ffi��� ms. Em notac¸a˜o de vetores unita´rios, qual e´ o
impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a
colisa˜o? Qual a intensidade da forc¸a me´dia que age so-
bre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colisa˜o?
(e) Qual e´ o aˆngulo entre a forc¸a me´dia em (c) e o senti-
do positivo do eixo : ?
� (a) O momento inicial do carro e´
<
+
�=��>?�
fi
��'ffi�ffi�ffifl
fi
�"� 6ffiflA@B�
fi
)C'*
�� kg Dm/s flA@
e o momento final e´
fi
)E'*
�� kg Dm/s flGF . O impulso que nele
atua e´ igual a` variac¸a˜o de momento:
H
�
<
,
-
<
+
�
fi
)E'*
�� kg Dm/s fl
fi
F
-
@CflI�
(b) O momento inicial do carro e´ < + � fi )C'*
�� kg Dm/s flJF
e o momento final e´ < , �K� , uma vez que ele para. O
impulso atuando sobre o carro e´
H
�
<
,
-
<
+
�
-
fi
)C'*
�� kg Dm/s flJF
(c) A forc¸a me´dia que atua no carro e´
L
�IM
�
�
<
���
�
H
���
�
fi
)C'*
�� kg Dm/s fl
fi
F
-
@Efl
'N�
4
�
fi
�
4
�&6 N fl
fi
F
-
@Cfl
e sua magnitude e´ 
�OM
�
fi
�
4
��� N flQP 
R�S
�
 4 
UT
�6��ffi� N.
(d) A forc¸a me´dia e´
L
�OM
�
H
���
�
fi
-
)E'*
�� kg Dm/s flGF
6ffi���ff�?�&�
!3#
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�
fi
-
"�ffi�('*6 N fl.F
�
fi
-
"�V�2� ����W N flXF
e sua magnitude e´ L
�OM
�%
"�V�Y�?�&�
W
N.
(e) A forc¸a me´dia e´ dada acima em notac¸a˜o vetorial
unita´ria. Suas componentes : e 7 tem magnitudes
iguais. A componente : e´ positiva e a componente 7
e´ negativa, de modo que a forc¸a esta´ a '*� 9 abaixo do
eixo : .
P 10-13 (10-??/6 � )
A forc¸a sobre um objeto de ��� kg aumenta uniforme-
mente de zero a ��� N em ' s. Qual e´ a velocidade final
do objeto se ele partiu do repouso?
� Tome a magnitude da forc¸a como sendo 
Z�\[5� , on-
de [ e´ uma constante de proporcionalidade. A condic¸a˜o
que 
]�\��� N quando ���/' s conduz a
[\�
fi
��� N fl_^
fi
' s fl`�Z�C
"��� N/s �
A magnitude do impulso exercido no objeto e´
�a�
b
W
c
edffi�.�
b
W
c
[5�Xd��S� f
g
[5�
gNh
h
h
W
c
�
f
g
fi
�C
"����fl
fi
'*fl
g
� �&��� N D s �
A magnitude deste impulso e´ igual a` magnitude da
variac¸a˜o do momento do objeto ou, como o objeto par-
tiu do repouso, e´ igual m`agnitude do momento final:
�a�=����, . Portanto
��,1�
�
�
�
�&���
���
�Z�&� m/s �
P 10-14 (10-13/6 � )
Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos de
 g por segundo com uma velocidade de ����� m/s, que
sa˜o detidos por uma parede rı´gida. (a) Qual e´ o mo-
mento linear de cada chumbinho? (b) Qual e´ a energia
cine´tica de cada um? (c) Qual e´ a forc¸a me´dia exercida
pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se ca-
da chumbinho permanecer em contato com a parede por
�	�
4 ms, qual sera´ a forc¸a me´dia exercida sobre a parede
por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por
que esta forc¸a e´ ta˜o diferente da forc¸a em (c)?
� (a) Se � for a massa dum chumbinho e � for sua ve-
locidade quando ele atinge a parede, enta˜o o momento
e´ i
�/�0�ff�
fi
ff� ���
!3#
fl
fi
�����ffifl��]� kg Dm/s j
na direc¸a˜o da parede.
(b) A energia cine´tica dum chumbinho e´
k
� f
g
�0�
g
� f
g
fi
ff�?�&�
!3#
fl
fi
�����*fl
g
�=
ffi��� J �
(c) A forc¸a na parede e´ dada pela taxa na qual o momen-
to e´ transferido dos chumbinhos para a parede. Como
os chumbinhos na˜o voltam para tra´s, cada chumbinho
transfere
i
�U��� � kg Dm/s. Se �fflm�n�&� chumbinhos co-
lidem num tempo ���B�K� segundo, enta˜o a taxa me´dia
com que o momento e´ transferido e´
�OM
�
i
�ffl
�1�
�
fi
��� �ffifl
fi
�&�ffifl
�
�]�&� N �
A forc¸a na parede tem a direc¸a˜o da velocidade inicial
dos chumbinhos.
(d) Se �1� e´ o intervalo de tempo para um chumbinho
ser freado pela parede, enta˜o a forc¸a me´dia exercida na
parede por chumbinho e´
�OM
�
i
���
�
��� �
�;�
4
� ���
!3#
�n�
4�4ffi4
�
4�4 N �
A forc¸a tem a direc¸a˜o da velocidade inicial do chumbi-
nho.
(e) Na parte (d) a forc¸a foi mediada durante o interva-
lo em que um chumbinho esta´ em contato com a parede,
enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo
de tempo no qual muitos chumbinhos atingem a parede.
Na maior parte do tempo nenhum chumbinho esta´ em
contato com a parede, de modo que a forc¸a me´dia na
parte (c) e´ muito menor que a me´dia em (d).
P 10-26 (10-15/6 �
)
Uma espac¸onave e´ separada em duas partes detonando-
se as ligac¸o˜es explosivas que as mantinham juntas. As
massas das partes sa˜o �&
��ffi� e �&o��ffi� kg; o mo´dulo do im-
pulso sobre cada parte e´ de 6��ffi� N D s. Com que velocida-
de relativa as duas partes se separam?
� Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha
que o impulso tenha magnitude � e esteja no sentido po-
sitivo. Seja �
f
, �
f
a massa e a velocidade da parte mais
leve apo´s as ligac¸o˜es explodirem. Suponha que ambas
as partes esta˜o em repouso antes da explosa˜o. Enta˜o,
p
�/�
f
�
f
, de modo que
�
f
�
�
�
f
�
6ffi���
�C
����
�\�	��
�� m/s �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 7
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O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu-
de mas no sentido oposto, de modo que - �%�q� g � g ,
onde � g , � g sa˜o a massa e a velocidade da parte mais
pesada. Portanto
�
g
�
-
�
�
g
�
-
6ffi���
�&o��ffi�
�
-
�	�V�
4
) m/s �
A velocidade relativa das partes apo´s a explosa˜o e´
�	��
��
-
fi
-
�	�V�
4
)�flX�=�;� 'N�C) m/s �
P 10-28 (10-38/6 � )
A espac¸onave Voyager 2 (de massa � e velocidade �
relativa ao Sol) aproxima-se do planeta Ju´piter (de mas-
sa
p
e velocidade r relativa ao Sol) como mostra a
Fig. 10-33. A espac¸onave rodeia o planeta e parte no
sentido oposto. Qual e´ a sua velocidade, em relac¸a˜o ao
Sol, apo´s este encontro com efeito estilingue? Conside-
ra �s�t�C
 km/s e ru�t��6 km/s (a velocidade orbital
de Ju´piter). A massa de Ju´piter e´ muito maior do que a
da espac¸onave; pwv � . (Para informac¸o˜es adicionais,
veja “The slingshot effect: explanation and analogies”,
de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics
Teacher, novembro de 1985.)
� Considere o encontro num sistema de refereˆncia fixo
em Ju´piter. Quando eventuais perdas de energia forem
desprezı´veis, o encontro pode ser pensado como uma
colisa˜o ela´stica na qual a espac¸onave emerge da “co-
lisa˜o” com uma velocidade de mesma magnitude que a
velocidade que possuia antes do encontro. Como a ve-
locidade inicial da espac¸onave e´
�
+
�/�2x�rn�]�&
5x=��6��=
ffi� km/s
medida a partir de Ju´piter, ela se afastara´ de Ju´piter com
�
,
��
ffi� km/s. Passando para o sistema original de re-
fereˆncia no qual o Sol esta´ em repouso, tal velocidade e´
dada por
�*y
,
�/�
,
x�rn�\
��5x=��6��\6�o km/s �
10.2.2 Coliso˜es Ela´sticas em Uma Dimensa˜o
E 10-29 (10-35/6 � )
Os blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual e´
a velocidade > do bloco de �ffi� 4 kg apo´s a colisa˜o? (b) A
colisa˜o e´ ela´stica? (c) Suponha que a velocidade inicial
do bloco de 
"� ' kg seja oposta a` exibida. Apo´s a colisa˜o,
a velocidade > do bloco de �ffi� 4 kg pode estar no sentido
ilustrado?
� (a) Seja �
f
, �
f
+ e �
f
, a massa e a velocidade inicial
e final do bloco a` esquerda, e � g , � g + e � g , as corres-
pondentes grandezas do bloco a` direita. O momento do
sistema composto pelos dois blocos e´ conservado, de
modo que
�
f
�
f
+Nxz�
g
�
g
+{�/�
f
�
f
,|xz�
g
�
g
,Nj
donde tiramos que
�
f
, �
�
f
�
f
+ x}�
g
�
g
+
-
�
g
�
g
,
�
f
� �	� �5x
"� '
���
45~
"���
-
'N� 8*B�Z�ffi� 8 m/s �
O bloco continua andando para a direita apo´s a colisa˜o.
(b) Para ver se a colisa˜o e´ inela´stica, comparamos os va-
lores da energia cine´tica total antes e depois da colisa˜o.
A energia cine´tica total ANTES da colisa˜o e´
k
+
�
f
g
�
f
�
g
f
+
x}�
�
�
g
�
g
g
+
� �
�
fi
�ffi�
4
fl
fi
�	� �ffifl
g
x}�
�
fi
	� '€fl
fi
"����fl
g
�=6	�ffi��) J �
A energia cine´tica total DEPOIS da colisa˜o e´
k
, � f
g
�
f
�
g
f
,
xRf
g
�
g
�
g
g
,
�
f
g
fi
���
4
fl
fi
��� 8ffifl
g
x
f
g
fi
	� '€fl
fi
'N� 8*fl
g
�\6	�ffi��) J �
Como k + � k , , vemos que a colisa˜o e´ ela´stica,
(c) Neste caso temos � g + � - 
"��� m/s e
�
f
,
�
�
f
�
f
+$xz�
g
�
g
+
-
�
g
�
g
,
�
f
� �"���5x
	� '
�ffi�
4
~
-
	� �
-
';� 8

�
-
�"�
4 m/s �
Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sen-
tido mostrado.
E 10-33 (10-37/6 � )
Um carro de 6�'ffi� g de massa, deslocando-se em um tri-
lho de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial de
�ffi� � m/s, atinge um segundo carro de massa desconhe-
cida, inicialmente em repouso. A colisa˜o entre eles e´
ela´stica. Apo´s a mesma, o primeiro carro continua em
seu sentido original a �;� � m/s. (a) Qual e´ a massa do se-
gundo carro? (b) Qual e´ a sua velocidade apo´s o impac-
to? (c) Qual a velocidade do centro de massa do sistema
formado pelos dois carrinhos?
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� (a) Seja �
f
, �
f
+ , �
f
, a massa e as velocidades inicial
e final do carro que originalmente se move. Seja � g e
�
g
, a massa e a velocidade final do carro originalmente
parado ( � g + �� . Enta˜o, de acordo com a Eq. 10-18,
temos
�
f
,1�
�
f
-
�
g
�
f
x}�
g
�
f
+_�
Desta expressa˜o obtemos para � g :
�
g
�
�
f
+
-
�
f
,
�
f
,‚x}�
f
+
�
f
�
�ffi� 
-
�	�
4�4
�ffi� 
5x��	�
4�4
fi
6�'*� g fl`�=8�8 g �
(b) A velocidade do segundo carro e´ dada por
�
g
, �
E�
f
�
f
x}�
g
�
f
+ �
fi
�;� 6�'ffi�ffifl
�	� 6�'*�ƒx��	� ��8ffi8
fi
����
�fl
� ��� 8 m/s �
(c) A velocidade do centro de massa do sistema formado
pelos dois carrinhos satisfaz a equac¸a˜o
„
�
fi
�
f
xz�
g
flG��…{†‡���
f
�
f
+
x}�
g
�
g
+
�
Lembrando que � g + �/� , temos
��…{†‡�
�
f
�
f
+
�
f
xz�
g
�
fi
6�'*�ffifl
fi
����
�fl
6�'ffi�5x�8�8
�=�	� 8�6 m/s �
Observe que usamos gramas em vez de kilogramas.
E 10-34 (10-41/6 � )
Um corpo de 
"� � kg de massa colide elasticamente com
outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido
original com um quarto de sua velocidade original. (a)
Qual e´ a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci-
dade do centro de massa do sistema formado pelos dois
corpos se a velocidade inicial do corpo de 
"� � kg era de
';� � m/s?
� (a) Sejam �
f
, �
f
+ , �
f
, a massa e as velocidades antes
e depois da colisa˜o do corpo que se move originalmen-
te. Sejam � g e � g , a massa e a volcidade final do corpo
originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18
temos
�
f
,1�
�
f
-
�
g
�
f
x}�
g
�
f
+_�
Resolvendo para � g obtemos, para �
f
,1�=�
f
+ˆ^E' ,
�
g
�
�
f
+
-
�
f
,
�
f
,
x}�
f
+
�
f
�
�
-
�E^C'
�C^C'Bx=�
fi
�
f
fl
�
6
�
fi
"� �ffifl��Z�ffi� 
 kg �
(b) A velocidade do centro de massa do sistem formado
pelos dois corpos satisfaz a equac¸a˜o
„
�
fi
�
f
x}�
g
fl‰� …{† ���
f
�
f
+Nx}�
g
�
g
+_�
Resolvendo para � …Ł† com � g +{�\� encontramos
� …Ł† �
�
f
�
f
+
�
f
x}�
g
�
fi
	� �*fl
fi
'N� �*fl
"� �Bx/�ffi� 
�=
	� � m/s �
E 10-37 (10-43/6 � )
Duas esferas de titaˆnio se aproximam frontalmente com
velocidades de mesmo mo´dulo e colidem elasticamente.
Apo´s a colisa˜o, uma das esferas, cuja massa e´ de 6ffi��� g,
permanece em repouso.
Qual e´ a massa da outra esfera?
� Seja �
f
, �
f
+ , �
f
, a massa e as velocidades antes e
depois da colisa˜o de uma das partı´culas e � g , � g + , � g , a
massa e as velocidades antes e depois da colisa˜o, da ou-
tra partı´cula. Enta˜o, de acordo com a Eq. 10-28, temos
�
f
,
�
�
f
-
�
g
�
f
xz�
g
�
f
+
x
E�
g
�
f
x}�
g
�
g
+
�
Suponha que a esfera � esteja viajando originalmente no
sentido positivo e fique parada apo´s a colisa˜o. A esfera 
esta´ viajando originalmente no sentido negativo. Subs-
tituindo �
f
+‹�� , �
g
+Œ�
-
� e �
f
,��� na expressa˜o
acima, obtemos ���/�
f
-
6��
g
. Ou seja,
�
g
�
�
f
6
�
6���� g
6
�Z���ffi� g �
10.2.3 Coliso˜es Inela´sticas em Uma Dimensa˜o
E 10-41 (10-23/6 � )
Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona
(Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um me-
teoro com a Terra ha´ cerca de 20.000 anos. Estima-se a
massa do meteoro em �‹�Ž���
f
c
kg e sua velocidade em
)�
��ffi� m/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti-
ria a` Terra numa colisa˜o frontal?
� Seja �� a massa do meteoro e �� a massa da Terra.
Seja �� a velocidade do meteoro imediatamente antes
da colisa˜o e � a velocidade da Terra (com o meteoro)
apo´s a colisa˜o. O momento do sistema Terra-meteoro e´
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 7
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:49
conservado durante a colisa˜o. Portanto, no sistema de
refereˆncia Terra antes da colisa˜o temos
��‚��%�
fi
�‘’xz�‘Xfl‰�3j
de modo que encontramos para �
�ff�
��|�‘
�‘’xz�‘
�
fi
)�
����ffifl
fi
��� ���
f
c
fl
�"� 8�off�?�&�
g
W
x��ff� ���
f
c
�
4
�?�&�
!
fQf m/s �
Para ficar mais fa´cil de imaginar o que seja esta velo-
cidade note que, como 6 4 �Œ�“
E'��”6 4 ���•�R6;�&��6 4 �ffi��� ,
temos
4
�?�&�
!
fQf m/s � 4 �?�&� ! fQf
fi
6	�&��6
4
�����*fl m/ano
� �	� ���	�&o�8 m/ano
� ��� o�8 mm/ano �
´E uma velocidade MUITO difı´cil de se medir, na˜o?...
E 10-42 (10-21/6 � )
Um treno´ em forma de caixa de 4 kg esta´ deslocando-se
sobre o gelo a uma velocidade de 8 m/s, quando um pa-
cote de �&
 kg e´ largado de cima para dentro dele. Qual
e´ a nova velocidade do treno´?
� Precisamos considerar apenas a componente horizon-
tal do momento do treno´ e do pacote. Seja �0– , �E– a mas-
sa e a velocidade inicial do treno´. Seja �˜— , a massa do
pacote e � velocidade final do conjunto treno´ x pacote.
A componente horizontal do momento deste conjunto
conserva-se de modo que
�
–
�
–
�
fi
�
–
x}�˜—�fl‰�3j
de onde tiramos
�ff�
�
–
�
–
�0–™xz�
—
�
fi
8*fl
fi
4
fl
4
x/�C
�\6 m/s �
P 10-53 (10-29/6 � )
Um vaga˜o de carga de 6*� t colide com um carrinho auxi-
liar que esta´ em repouso. Eles se unem e 
*)�š da energia
cine´tica inicial e´ dissipada em calor, som, vibrac¸o˜es, etc.
Encontre o peso do carrinho auxiliar.
� Seja �
M
e �
M
a massa e a velocidade inicial do vaga˜o,
�a› a massa do carrinho auxiliar e � a velocidade fi-
nal dos dois, depois de grudarem-se. Conservac¸a˜o do
momento total do sistema formado pelos dois carros
fornece-nos �
M
�
M
�
fi
�
M
x}�‘›œfl‰� donde tiramos
�‹�
�
M
�
M
�
M
x}� ›
�
A energia cine´tica inicial do sistema e´ k +2��
M
�
g
M
^�
enquanto que a energia cine´tica final e´
k
, � f
g
fi
�
M
xz� › fl‰�
g
� f
g
fi
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M
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fi
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g
� f
g
�
g
M
�
g
M
�
M
x}� ›
�
Como 
ffi)�š da energia cine´tica original e´ perdida, temos
k
, �=�;��)�6
k
+ , ou seja,
f
g
�
g
M
�
g
M
�
M
xz�a›
�\�	�ž)E6Xf
g
�
M
�
g
M
j
que, simplificada, fornece-nos �
M
^
fi
�
M
x��
›
flŸ�e�;��)�6 .
Resolvendo para � › encontramos
�‘›`�
�	��
ffi)
�	�ž)E6
�
M
�=�;� 6€)C�
M
�
fi
�	� 6*)�fl
fi
6*��fl
� �C
"� 8ffi� toneladas
� �C
"� 8ffi���?�&�
# kg �
A raza˜o das massas e´, obviamente, a mesma raza˜o dos
pesos e, chamando de „
M
o peso do vaga˜o, temos que o
peso
„ do carrinho auxiliar e´
„
�=�;� 6€)
„
M
�
fi
�	� 6*)�fl
fi
6ffi���?�&�
#
fl
fi
8;� o*fl
� �&
4
� 8;�‚� ���
# N �
Observe que o resultado final na˜o depende das velocida-
des em jogo.
10.2.4 Coliso˜es em Duas Dimenso˜es
E 10-63 (10-49/6 � )
Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra ini-
cialmente em repouso. Apo´s a colisa˜o, a branca desloca-
se a 6	��� m/s ao longo de uma reta em aˆngulo de 
�
9
com
a sua direc¸a˜o original de movimento, e o mo´dulo da ve-
locidade da segunda bola e´ de 
 m/s. Encontre (a) o
aˆngulo entre a direc¸a˜o de movimento da segunda bola e
a direc¸a˜o de movimento original da bola branca e (b) a
velocidade original da branca. (c) A energia cine´tica se
conserva?
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 7
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, a`s 10:49
� (a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a bo-
la branca como sendo a massa �
f
e a outra bola como
sendo a massa � g . Conservac¸a˜o das componentes : e 7
do momento total do sistema formado pelas duas bolas
nos fornece duas equac¸o˜es, respectivamente:
���
f
+ � ���
f
,` I¡ffi¢	£
f
xz���
g
,` I¡*¢"£
g
� �
-
���
f
, sen £
f
x}�0�
g
, sen £ g �
Observe que as massa podem ser simplificadas em am-
bas equac¸o˜es. Usando a segunda equac¸a˜o obtemos que
sen £ g �
�
f
,
�
g
,
sen £
f
�
6;� �
	� �
sen 
�
 9 �\�	� 4 � 4 �
Portanto o aˆngulo e´ £ g �/'N�&9 .
(b) Resolvendo a primeria das equac¸o˜es de conservac¸a˜o
acima para �
f
+ encontramos
�
f
+ � �
f
,` I¡*¢"£
f
xz�
g
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g
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6;� �ffifl  I¡*¢ 
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9
x
fi
"� �ffifl  (¡ffi¢ 'N�
9
��'N��)�� m/s �
(c) A energia cine´tica inicial e´
k
+ � f
g
���
g
+
� f
g
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fi
'N��)���fl
g
�n���ffi� 6��?�
A energia cine´tica final e´
k
, � f
g
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g
f
,
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���
g
g
,
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g
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g
x
fi
	� �*fl
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�=o	�V�(� �
Portanto a energia cine´tica na˜o e´ conservada.
10.2.5 Problemas Adicionais
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 7