LIMITE E CONTINUIDADE

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PUCPR 
 
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CÁLCULO I 
Notas de Aula (1ª Avaliação Parcial) 
Profª Waléria A. G. Cecílio 
 
CÁLCULO I 
 
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1 LIMITE E CONTINUIDADE 
 
 
Noção Intuitiva DE LIMITE 
Objetivo: Estudar o comportamento de uma função perto de um ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Como a função 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf se comporta próximo de x = 1? 
x y = f(x) 
x 
y 
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b) Como a função 1
1)( 2
−
−
=
x
x
xf
 se comporta próximo de x = 1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) Como a função x
senx
xf =)(
 se comporta próximo de x = 0? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DEFINIÇÃO DE Limite 
Definição Formal: Seja f definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto talvez em 
0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando x tende a 0x e escrevemos: 
 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0 
Se para cada número 0>ε existir um número correspondente 0>δ , tal que, para todos 
os valores de x, 
δε <−<<− 00 que sempre )( xxLxf 
 
 
 
Unicidade do Limite 
Se 
21 )(lim)(lim LxfeLxf
axax
==
→→ então 21 LL = . 
 
 
Teorema 
 
Se KeCML ,, são números reais e 
Lxf
cx
=
→
)(lim
 
Mxg
cx
=
→
)(lim
 então 
1. Soma: 
MLxgxf
cx
+=+
→
))()((lim
 
2. Diferença: 
MLxgxf
cx
−=−
→
))()((lim
 
3. Produto: 
MLxgxf
cx
.)().(lim =
→ 
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4. Quociente: 
0,)(
)(lim ≠=
→
M
M
L
xg
xf
cx
 
5. Multiplicação por Constante: 
KLxKf
cx
=
→
)(lim
 
6. Potenciação: 
s
r
s
r
cx
Lxf =
→
)(lim
 com r e s inteiros e .0≠s 
 
Duas funções que tem limite em todo ponto. 
a) Se f é a função identidade entãoxxf ,)( = para cada valor de 0x . 
 
 
0limlim
00
)( xxxf
xxxx
==
→→ 
b) Se f é a função constante kxf =)( , então para qualquer valor de 0x . 
 
kkxf
xxxx
==
→→ 00
lim)(lim
 
 
 Exemplos: 
3lim
3
=
→
x
x
 
44lim
7
=
−→x 
 
Importante! Em algumas situações o limite pode não existir. 
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Teorema: 
Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então 
Lxf
ax
=
→
)(lim
 se e somente se 
)(lim)(lim xfLxf
axax −+ →→
==
. 
Exemplo: 
x
x
x
−
→0
lim
 
Solução: 
11lim)(lim
00
==
−
−
−− →→ xx x
x
 (1) 
11limlim
00
−=−=−
−+ →→ xx x
x
 (2) 
omo (1) ≠ (2) logo o x
x
x
−
→0
lim
 não existe. 
 
 
INDETERMINAÇÕES 
 
 
∞
∞∞∞−∞
∞
∞ 1,,0,.0,,,
0
0 00
 
 
 
 
 
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LIMITES ENVOLVENDO INFINITO 
 
 
 
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EXERCÍCIO: 
1) Utilize as propriedades e resolva os limites: 
 
a. 
)34(lim 23 −+
→
xx
cx 
b. 5
1lim 2
24
+
−+
→ x
xx
cx
 
c. 
34lim 2
2
−
−→
x
x 
d. 5
34lim 2
23
1 +
−+
−→ x
xx
x 
e. xx
xx
x
−
−+
→ 2
2
1
2lim
 
f. 4
lim
2
senhx
x→ 
g. 
x
x 0
lim
→ 
h. 
)(lim
2
xf
x→ onde =)(xf 





>−
=
<+
29
22
21
2
2
xparax
xpara
xparax
 
i. 4
23lim 2
3
2
−
+−
−→ x
xx
n
 
j. x
x
x
22lim
0
−+
→ 
 
k. 
8
52lim
+
−
∞→ x
x
x
 
l. 
24
532lim 5
3
−
+−
+∞→ x
xx
x
 
m. 





++
→
2
3
0
1lim
x
xx
x
 
n. )143(lim 35 +−
+∞→
xx
x
 
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o. 
2
3lim
2
+
+
∞→ x
x
x
 
p. 4
24
4
1232lim
x
xxx
x
−
+++
∞→
 
q. 
)(lim),(lim),(lim
3,73
3,1)(
333
xfxfxf
xx
xx
xf
xxx →→→ −+



>−
≤−
=
 
r. 
x
xsen
x
)3(lim
0→
 
s. 
)(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim
1,2
1,2
10,
0,/1
)(
22200011
2
xfxfxfxfxfxfxfxf
xx
x
xx
xx
xf
xxxxxxxx →→→→→→→−→ −+−+







>−
=
<≤
<
=
 
 
 
2) Seja )(xf a função definida pelo gráfico. Intuitivamente encontre: 
a) 
 
 
a) =
+
−→
)(lim
2
xf
x
 
b) =
−
−→
)(lim
2
xf
x
 
c) =
−→
)(lim
2
xf
x
 
 d) =
∞→
)(lim xf
x
 
 
b) 
 
 
c) 
a) =
+→
)(lim
1
xf
x
 
b) =
−→
)(lim
1
xf
x
 
c) =
→
)(lim
1
xf
x
 
d) =
−∞→
)(lim xf
x
 
 
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ASSINTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
Uma reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico de )(xfy = se 
bxfoubxf
xx
==
−∞→∞→
)(lim)(lim . 
 
Uma reta ax = é uma assíntota vertical do gráfico se 
±∞=±∞=
−+ →→
)(lim)(lim xfouxf
axax
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Encontre as assíntotas f(x) e em seguida esboçar o gráfico de y=f(x). 
2
3
+
+
=
x
xy 
 
Solução: 
 
Estamos interessados em ±∞→x ou 2−→x (denominador 0) 
2:3 ++ xx → 
2
11
2
3
+
+=
+
+
xx
x
 → gráfico de 
x
1
 deslocado 1 unidade para 
cima e 2 unidades para a esquerda. 
 











=
+
+
=
+
+
=
+
+
−∞→
−→∞→
1
21
31
lim
121
31
lim
2
3lim
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
 






−∞=
+
+
∞=
+
+
−
+
−→
−→
2
11lim
2
11lim
2
2
x
x
x
x
 
 
As retas 1=y e 2−=x são assíntotas da curva 
2
3
+
+
=
x
xy 
Esboce o gráfico com base nos resultados obtidos. 
 
a) =
+→
)(lim
2
xf
x
 
b) =
−→
)(lim
2
xf
x
 
c) =
→
)(lim
2
xf
x
 
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Exercício: Encontre as assíntotas de 
4
8
2
−
−=
x
y , em seguida esboce o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEOREMA DO CONFRONTO 
Suponha que )()()( xhxfxg ≤≤ para qualquer x em um intervalo aberto contendo c , 
exceto possivelmente em cx = . Suponha também
que Lxhxg
cxcx
==
→→
)(lim)(lim , 
então Lxf
cx
=
→
)(lim 
 
 
Exemplos: 
1) Sendo 
2
1)(
4
1
22 x
xMx +≤≤−
 para qualquer .0≠x Procure ).(lim
0
xM
x→
 
Solução: 
Como 1
4
1lim
2
0
=−
→
x
x
 e 1
2
1lim
2
0
=+
→
x
x
 o Teorema do Confronto ⇒ 
1)(lim
0
=
→
xM
x
para qualquer f entre g e h . 
2) 01senlim 2
0
=
→ x
x
x
 
Solução: 
Sabendo que 11sen0 ≤≤
x
 multiplicado por 2x 22 1sen0 x
x
x ≤≤ 
 
 00lim
0
=
→x
 
0lim 2
0
=
→
x
x
 
 
 
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LIMITES FUNDAMENTAIS 
 
a) 1senlim
0
=
→ x
x
x
, caso particular: 1lim
0
=
→ senx
x
x
 
 
b) e
x
x
x
=





+
±∞→
11lim onde e é um número irracional 
 
c) )1,0(ln1lim
0
≠>=
−
→
aaa
x
a x
x
 
 
EXERCÍCIO: 
 
1) Utilize as propriedades e resolva os limites: 
t. 
x
xsen
x
2lim
0→
 
u. 
xsen
xsen
x 4
3lim
0→
 
v. 
x
xtg
x
)(lim
0→
 
w. x
x
x
1
0
)1(lim +
→
 
x. x
x
x
1
0
)1ln(lim +
→
 
y. 
x
ba xx
x
−
→0
lim
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNÇÃO CONTÍNUA 
 
Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes 
condições são satisfeitas : 
 
(i) f é definida no ponto a 
(ii) )()(lim afxf
ax
=
→
 
 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
 
f é contínua em todo seu domínio: }0{)( −= RfD , mas não é contínua em x=0. 
 
 
 
b) 
 
 
O canto ‘preciso’ não impede que a função seja contínua 
 
ffxx
xx
∴==−=
−+ →→
)0(0limlim
00
é contínua .x∀
 
 
 
 
c) 
 
 
f é contínua em todos os pontos de seu domínio, .22)( ≤≤−= xfD . 
 
 
 
 
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d) 





=
≠
−
−
=
1,1
1,
1
12
xse
xse
x
x
y 
 
 
 
f é contínua em todo seu domínio: }1{)( −= RfD , mas não é contínua em x=1. 
 
Temos: 
 
1)1( =f e 2)1(
)1).(1(lim)(lim
11
=
−
−+
=
→→ x
xx
xf
xx
 
 
Como o valor do limite é diferente do valor da função no ponto x= 1, f não é contínua 
em .1=x 
 
 
Propriedades: 
 
Se f e g são funções contínuas em cx = , então as seguintes combinações também são 
contínuas: 
1. )()( xgxf + 
2. )()( xgxf − 
3. )(. xgf 
4. )(. xfk 
5. 0)(,)(
)(
≠cg
xg
xf
 
 
 
 
Exemplo: 
 
2
sen
2 +
=
x
xxy é contínua xxg =→ )( é contínua e 
2
sen)( 2 += x
xx
xf é contínua 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: 
 
Determine se as funções são contínuas no ponto dado: 
 
a) )(xf =



<+
≥
2,1
2,2
xsex
xsex
 em x = 2; 
 
b) 





>−
=
<+
=
2,9
2,2
2,1
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf em x = 2; 
 
c) 



−≠
+
+
= 2,
2
1)( xse
x
x
xf , em x = 4. 
 
 
 
 
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO PARA FUNÇÕES CONTÍNUAS 
 
Uma função )(xfy = que é contínua em um intervalo fechado ],[ ba assume cada 
valor entre )(af e ),(bf Em outras palavras, se 0y for qualquer valor entre )(af e 
),(bf então )(0 cfy = para algum c em ].,[ ba 
 
Geometricamente o Teorema diz que qualquer reta horizontal 0yy = cruzando o eixo 
y entre os números )(af e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo uma vez no 
intervalo ].,[ ba 
 
Consequência do Teorema: 0)().( <bfaf ].,[ baemraizumapeloexiste→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
 
Algum número real somado a 1 é exatamente igual ao seu quadrado? 
 
Solução: 
 
Tal número deve satisfazer 21 xx =+ ou equivalente a 012 =−− xx 
∴ Estamos procurando um zero da função contínua. 
 
A função muda de sinal em ],2,1[ 1)1( −=f e 5)2( =f 
Deve existir um ponto c entre 1 e 2 em que 0)( =cf