roteiro_2013_02

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roteiro 2013-02/E9-Lancamento_de_Projetil.pdf
9 - LANÇAMENTODE PROJÉTIL FEX 1001
1 Objetivos
Verificar a cinemática do movimento de um projétil. Determinar a velocidade de lançamento de um projétil, tendo
medido a posição vertical para diferentes posições horizontais para lançamento horizontal. Verificar que a trajetória do
movimento é parabólica.
2 Teoria
Quando lançamos um pequeno objeto, como uma pedra, observamos que seu movimento pode ser descrito como dois
movimentos retilíneos independentes: um na vertical e um na horizontal. Ambos os movimentos estão sujeitos a ação
das forças peso e resistência do ar. Considerando uma situação na qual o ar esteja em repouso em relação ao solo (sem
vento) esta força de resistência atua na direção contrária ao movimento, enquanto a força peso atua na direção vertical
e para baixo. Se a distância de lançamento for relativamente pequena, poderemos desconsiderar o movimento de rotação
da Terra, e se o objeto lançado não for leve o suficiente para sentir a força de resistência do ar, poderemos, com boa
aproximação, considerar o movimento horizontal como um movimento retilíneo e uniforme. Então, os dois movimentos
independentes são: um movimento retilíneo uniforme (MRU) na direção ox e um movimento de queda livre (MQL) na
direção oy com aceleração g para baixo. Pelas equações da cinemática podemos escrever
(x − xo) = voxt , (2.1)
(y − yo) = voyt− gt
2
2
, (2.2)
conhecidas como equações paramétricas da trajetória do projétil. Nestas equações (x, y) são as coordenadas1 do projétil
e dão a sua posição num dado instante, medidas em relação a algum sistema de referência. O valor do par (xo, yo)
corresponde a posição inicial de lançamento do projétil, medido no mesmo sistema de referência. Como o projétil
é lançado como velocidade diferente de zero e numa direção qualquer, então (vox, voy) são os componentes deste vetor
velocidade inicial. Estes componentes são dados em termos do módulo da velocidade inicial, Vo, e do ângulo de lançamento
θo, ambos mostrados na figura 2.1 abaixo.
y
xo
yo
θο
vo
vox
voy
0 x
Figura 2.1: Diagrama ilustrativo do lançamento de um projétil. Os componentes do vetor velocidade inicial são vox =
vocosθo e voy = vosenθo. A posição inicial é marcada pelo par (xo, yo) em relação à origem O.
Isolando o tempo da equação (2.1) e aplicando na equação (2.2), obtemos a equação da trajetória do projétil
(y − y0) = tan θ(x− x0)− g
2v20 cos
2 θ
(x− x0)2. (2.3)
Para caso especial de lançamento horizontal (θ0 = 0, 0
o
) e considerando que a posição horizontal inicial seja a origem
(x0 = 0, 0m), a equação (2.3) reduz à
y = y0 − g
2v20
x2. (2.4)
1
O ponto (x, y) também pode ser representado por (x(t), y(t)) para reforçar a informação que estas coordenadas estão parametrizadas pelo
tempo. O ponto inicial (xo, yo) fica representado por (x(t = 0), y(t = 0)), ou simplesmente, (x(0), y(0)).
1
3 Descrição do Experimento
O equipamento utilizado neste experimento é um dispositivo de lançamento, montado sobre uma placa suporte na qual
podem ser escolhidos diferentes ângulos e alturas para o lançamento de uma bola (projétil). Também podem ser escolhidas
diferentes velocidades de lançamento através da elongação de uma mola, que se encontra no interior do disparador.
Considerando lançamento horizontal, para distância horizontal X do bocal do lançador até o anteparo, pode-se determinar
a distância vertical Y da base da mesa até o ponto de impacto da bola. A figura 3.1 abaixo ilustra o aparato experimental.
anteparo
X
Y
Figura 3.1: Aparato experimental do movimento bidimensional de um projétil.
4 Equipamento/Material
1. Papel branco e papel carbono.
2. Trena.
3. Fita adesiva.
4. Esfera, lançador e bastão.
5. Base de lançamento.
6. Anteparo.
5 Procedimento Experimental
(a) Coloque o lançador para lançamento horizontal, e na máxima posição vertical (último furo, contando da base).
(b) Escolha dez distâncias horizontais X diferentes a partir do bocal do lançador e anote os valores na tabela da folha
de questões.
(C) Fixe com a fita adesiva o papel branco e o papel carbono no anteparo e coloque o anteparo a distância horizontal X
escolhida.
(d) Lance a bola com a mesma velocidade (primeiro engate) para cada uma das distâncias horizontais X escolhidas,
medindo para cada uma delas, a distância vertical Y da mesa até o ponto em que a bola atinge no anteparo e anote
os valores na mesma tabela.
(e) Responda às questões da folha de relatório.
2
9 - LANÇAMENTO DE PROJÉTIL FEX 1001
1.[1,0] Aquisição de dados.Tabela 1: Distância horizontal X e distância vertical Y com trena.
Tabela 1
X( ) Y ( )
Tabela 2
x′( ) y′ ( )
2.[1,0] Com base no experimento e na escolha das grandezas físicas que foram medidas, responda qual é a
variável independente e qual é a variável dependente, justificando sua resposta.
3.[1,0] Faça um gráfico de Y ×X em papel milimetrado e determine, a partir deste gráfico, o tipo do
movimento observado.
4.[1,0] Linearize a equação (2.4) mostrando claramente os coeficientes angular e linear da reta.
5.[1,0] Com base na linearização, complete a Tabela 2.
6.[1,0] Faça um gráfico linear em papel adequado com os dados da Tabela 2.
7.[1,0] Obtenha a velocidade de lançamento experimental voEXP e a altura do bocal em relação a mesa
y0EXP através do gráfico. Considere g = 9,81 m/s² e mostre seus calculos com clareza e indique no gráfico
os pontos lidos.
8.[1,0] Calcule o erro percentual no valor obtido para voEXP com relação ao valor fornecido pelo fabricante
(vo = 3, 53m/s).
9.[1,0] Meça com a trena a distância vertical da mesa até o bocal do lançador, e anote o valor em unidades
do S.I.
y0 =
10.[1,0] Calcule o erro percentual no valor de y0 medido na questão 9. em relação ao valor calculado na
questão 7.
3
roteiro 2013-02/E4-Leis_de_Newton_PARTE_1.pdf
4 - LEIS DE NEWTON - PARTE 1 FEX 1001
1 Objetivos
Determinar o ângulo de inclinação de um plano e o valor da aceleração da gravidade através da medida da força necessária
para manter um deslizador em repouso. Verificar a validade das Leis de Newton.
2 Teoria
Um corpo pode interagir com outros corpos através de forças, sendo estas classificadas em dois grupos: as forças de
contato e as forças de ação a distância. Conhecendo como são as forças entre os corpos podemos, com base nas Leis de
Newton, determinar o movimento dos referidos corpos. Podemos também saber sob quais condições os corpos estarão em
equilíbrio, seja este um equilíbrio dinâmico ou estático. Para o equilíbrio estático, basta impor a condição de resultante
de força nula, ou seja Σ~F = ~0, para os casos em que os corpos possam ser tratados como partículas. Caso sejam corpos
extensos, a condição de torque resultante nulo também deve ser satisfeita.
Se tivermos um sistema físico composto por dois ou mais corpos, podemos determinar o estado de movimento deste
sistema aplicando novamente as Leis de Newton, porém, a cada parte do sistema. O conhecimento de algumas forças,
leva a determinação de outras, para o caso do equilíbrio. Da mesma maneira que o conhecimento das forças leva à
determinação do movimento, podemos, com base no tipo de movimento observado, obter a Lei de Força que atua sobre
um corpo, ou partícula. Por exemplo, a verificação experimental de um movimento retilíneo uniformemente variado, isto
é, com aceleração constante, leva à força resultante constante.
3 Descrição do Experimento
O equipamento a ser utilizado neste experimento é um trilho de ar que visa minimizar os efeitos das forças de atrito que
atuam sobre um deslizador.
Um suporte de massas é utilizado para se aplicar uma força adicional sobre o deslizador, que
permanece em equilíbrio estático, por estar fixo a um dinamômetro. A figura 1 mostra o aparato experimental.
4 Equipamento/Material
1. Trilho de ar com régua milimetrada.
2. Deslizador vermelho (300 g).
3. Dinamômetro.
4. Gerador de ar.
5. Suporte de massas (10 g preto).
6. Massas de 10 g e 50 g (preto).
5 Procedimento Experimental
(a) Ligue o gerador de corrente de ar. Não ultrapasse a marca * e não arraste o deslizador sobre o trilho com o
gerador de corrente de ar desligado. Prenda o dinamômetro numa das extremidades do trilho de ar, e a outra
extremidade ao deslizador, como mostrado na figura abaixo. Observe que o trilho de ar está levemente inclinado.
(b) Prenda, na outra extremidade do deslizador, o fio com o suporte de massas de 10 g. Leia diretamente no dinamômetro
o valor da força e anote o valor na Tabela 1 da folha de questionário. Observe que o dinamômetro deve estar paralelo
ao trilho de ar.
(c) Repita o procedimento anterior usando os diferentes valores de massa sobre o suporte de massas até completar a
Tabela 1.
(d) Responda as questões da folha de questionário.
1
Figura 1: Superior: o gerador de corrente de ar com as massa utilizadas e parte do trilho de ar. Inferior: dinamômetro
com o deslizador.
2
4 - LEIS DE NEWTON - PARTE 1 FEX 1001
1.[1,0] Aquisição de dados: Massas com precisão infinita e g = 9,81 m/s².
Tabela 1
massa( ) Força ( ) massa( ) Força ( )
2.[1,0] Qual o significado físico da força lida no dinamômetro?
3.[1,0] A relação matemática entre todas as grandezas envolvidas é F = Mgsenθ+mg, onde M é a massa do
deslizador e m é a massa no suporte de massas; θ é o ângulo de inclinação do trilho de ar e g, a aceleração
da gravidade. Indique, como base no experimento, as variáveis dependente e independente, justificando.
4.[1,0] Linearize a equação indicada na questão acima mostrando claramente os coeficientes linear e angular
da reta.
5.[1,0] Com base na sua linearização, construa um gráfico linear em papel adequado.
6.[1,0] Determine através do seu gráfico o ângulo de inclinação do trilho de ar e o valor de g. Mostre seus
cálculos com clareza, bem como os pontos lidos do gráfico.
7.[1,0] Calcule o erro percentual no valor de g tomando como referência o valor 9, 81m/s2.
8.[1,0] Utilize sua tabela e a relação F = Mgsenθ+mg para calcular o ângulo de inclinação do plano inclinado.
Use o valor de g obtido na questão 5. A seguir calcule o valor mais provável do ângulo de inclinação e seus
respectivos desvios médio e padrão.
9.[1,0] Faça um diagrama de corpo livre para o deslizador e para o suporte de massas.
10.[1,0] Mostre que a relação entre a massa colocada no suporte e a leitura da força feita no dinamômetro é
dada por F = Mgsenθ +mg.
3
roteiro 2013-02/E3-Colisao_Inelastica.pdf
3 - COLISÃO INELÁSTICA FEX 1001
1 Objetivo
Obter o coeficiente de restituição entre uma bola e o chão.
2 Teoria
Uma colisão entre dois corpos pode ser classificada considerando-se a energia cinética total antes e depois da colisão. Se a
energia cinética se conserva, a colisão é chamada totalmente elástica; se parte da energia cinética se transforma em outra
forma de energia, a colisão é inelástica. Quando os dois corpos permanecem unidos após a colisão, esta é dita totalmente
inelástica. Considere uma bola que, sendo solta do repouso da altura inicial Hi, chega ao chão com uma velocidade vi.
Imediatamente após o contato com o chão, a bola se deforma e segue sofrendo uma compressão, até atingir o repouso
(situação de compressão máxima). A partir desse instante, ela passa a se expandir e salta, deixando o chão com velocidade
vf , indo até a altura Hf . Observe que, em geral, a bola deixa o chão com uma velocidade menor que a velocidade que
possuía quando atingiu o chão, visto que a altura Hf é menor que a altura inicial da qual ela foi solta. A figura 1 ilustra
esta situação.
vi
vf
H i
Hf
Figura 1: A bola cai de uma altura Hi e chega ao solo com velocidade vi. Após a colisão, ela sai com velocidade vf
atingindo a altura Hf .
Pode-se definir o coeficiente de restituição, r, de uma colisão deste tipo através da razão entre as velocidades de saída
do solo e de chegada ao solo, ou seja
r =
|vf |
|vi| . (1)
O coeficiente de restituição pode ser utilizado como um indicativo de quão elástico é o choque entre a bola e o chão. A
perda de energia cinética nessa colisão é dada pela diferença entre a energia cinética da bola ao colidir com o chão e a
energia cinética da mesma ao deixar o chão, ou seja
∆K =
1
2
mv2f −
1
2
mv2i ,
que, em termos do coeficiente de restituição, pode ser colocada na forma
∆K =
1
2
mv2i
(
r2 − 1) . (2)
Observe que esta variação de energia cinética é negativa, indicando uma perda de energia cinética. Na realidade, esta
�perda� corresponde, fisicamente, a uma transformação de energia cinética em outras formas de energia durante a colisão.
As equações (1) e (2) mostram que, numa colisão totalmente elástica r = 1 e a energia cinética é conservada durante
a colisão. Numa colisão inelástica, devido a transformação de parte da energia cinética em outras formas de energia, a
velocidade de saída do chão vf é menor do que a velocidade de chegada ao chão vi, o que dá r < 1 e, portanto, ∆K < 0.
Vamos analisar a situação em termos de energia potencial gravitacional U . A energia potencial gravitacional no
momento em que a bola é solta vale
1 Ui = mgHi. Após colidir com o chão, a bola retorna à altura Hf , onde sua energia
potencial gravitacional vale Uf = mgHf . Logo, a variação de energia potencial vale
∆U = mg (Hf −Hi) , (3)
1
Considerando-se o nível zero de energia potencial gravitacional no chão.
1
que também é negativa, pois Hf < Hi. Considerando que a energia mecânica se conserva entre o instante inicial quando
a bola foi solta e o instante imediatamente anterior ao choque com o solo, podemos escrever mgHi =
1
2mv
2
i , o que dá
para a variação de energia cinética
∆K = mgHi
(
r2 − 1) . (4)
Mas ∆K =
1
2
mv2f −
1
2
mv2i = mgHf −mgHi que, inserida na equação (4), nos dá
mgHi
(
r2 − 1) = mg (Hf −Hi) ,
ou seja,
r2 =
Hf
Hi
,
dando o coeficiente de restituição em termos da razão entre as alturas antes e após a colisão da bola com o chão. Desta
forma, a altura que a bola atinge após colidir com o chão será sempre uma fração fixa da altura inicial da qual ela caiu.
3 Descrição do Experimento
O experimento consiste em deixar uma bola cair de uma altura e medir a altura que ela sobe após a colisão com o chão.
A seguir, solta-se novamente a bola desta nova altura, medindo-se novamente a nova altura final. Serão anotadas cerca
de cinco alturas diferentes. Como existem erros na altura de lançamento e na leitura da altura de subida, é conveniente
repetir o lançamento seguidas vezes da mesma altura, afim de se obter o valor médio da altura de subida.
4 Equipamento/Material
1. Régua decimetrada.
2. Bola.
5 Procedimento Experimental
(a) Antes de começar suas medidas, treine um pouco a maneira de observar e medir para possibilitar um melhor resultado,
com menor erro.
(b) Deixe a bola cair da uma altura Ho (desconhecida) acima de 18, 0 dm e anote a altura H1 atingida após a primeira
colisão inelástica com o solo. Repita a operação quatro vezes e determine o valor médio da altura 〈H1〉 atingida e
o desvio médio da mesma, ou seja, 〈∆H1〉.
(c) Em seguida, solte a bola desta altura média 〈H1〉 e meça o valor de H2, repetindo o procedimento afim de determinar
o valor médio 〈H2〉 e de seu
desvio médio. Faça o procedimento acima para as cinco primeiras colisões, anotando
os dados na Tabela da folha de questionário.
(d) Responda as demais questões da folha de questionário.
2
3 - COLISÃO INELÁSTICA FEX 1001
1.[2,0] Aquisição de dados: Medida das alturas com régua decimetrada.
Tabela 1
Altura ( ) medida 1 medida 2 medida 3 medida 4 medida 5 altura média:
〈H〉
desvio médio:
〈∆H〉
H1
H2
H3
H4
H5
2.[2,0] A relação entre a n-ésima altura (Hn) e a altura inicial (Ho) é Hn = Hor
2n
. Linearize esta equação
mostrando claramente os coeficientes angular e linear da reta.
3.[2,0] Construa o gráfico linearizado em papel adequado utilizando os dados de sua Tabela 1.
4.[1,0] Calcule, a partir do gráfico linearizado, o valor do coeficiente de restituição entre a bola e o chão e o
valor da altura inicial de lançamento Ho. Indique no gráfico os pontos lidos. Mostre os cálculos com clareza.
5.[1,0] Usando o fato de que r2 =
H1
Ho
=
H2
H1
=
H3
H2
= · · · = Hn
Hn−1
, mostre que Hn = Hor
2n
.
6.[1,0] Usando a igualdade acima e os valores médios de 〈Hi〉 da Tabela 1, calcule os diferentes valores do
coeficiente de restituição e complete a tabela 2 abaixo.
Tabela 2√
H2/H1
√
H3/H2
√
H4/H3
√
H5/H4 〈r〉
7.[1,0] Calcule o valor médio de 〈r〉 e compare com o valor que você obteve a partir do gráfico linearizado,
calculando o erro percentual. Adote o valor médio como valor de referência. Mostre os cálculos com clareza.
3
roteiro 2013-02/E6-Leis_de_Newton_PARTE_2.pdf
6 - LEIS DE NEWTON - PARTE 2 FEX 1001
1 Objetivo
Determinar experimentalmente a massa de um deslizador.
2 Teoria
O movimento de qualquer partícula pode ser determinado usando-se a 2ª Lei de Newton. Esta lei relaciona as forças que
atuam na partícula com a taxa de variação do momento linear. Sendo as forças grandezas vetoriais, então elas satisfazem o
princípio da superposição, ou seja, a regra da soma do paralelogramo. Assim, quando um conjunto de forças são aplicadas
a uma partícula, é a resultante destas forças a responsável pelo seu movimento, o que matematicamente é escrito como
Σ~F =
d~p
dt
, (1)
onde ~p = m~v representa o momento linear da partícula, m a massa e ~v, a velocidade. Quando a massa da partícula
permanece constante, a equação (1) fica escrita na forma usual
~F = m~a. Esta equação vetorial, em geral, fornece três
equações algébricas (uma para cada componente x, y e z). Desta forma pode-se, conhecendo as forças que atuam numa
partícula, determinar sua aceleração e, a partir desta, a velocidade e a posição, descrevendo completamente o movimento
da partícula. Quando desejamos estudar o movimento de um corpo rígido também podemos fazer o uso da 2ª Lei de
Newton considerando que o movimento geral do corpo é descrito através de uma combinação entre um movimento de
translação do centro de massa do corpo mais uma rotação do corpo em torno do seu centro de massa. Quando existe
apenas a translação do corpo rígido este pode ser considerado como uma partícula com massa igual a massa do corpo e
todas as forças que atuam no corpo podem ser imaginadas como atuando no centro de massa do mesmo. Considere dois
corpos rígidos, representados por blocos, de massa M e m unidos através de um fio, como mostrado na figura 1 abaixo.
m
T
mg
M
T
Figura 1: Dois blocos unidos por um fio.
Além destes dois blocos, existe a polia que possui massa. Este sistema, então, é composto por quatro objetos: bloco
de massa M , polia de massa mp , bloco de massa m e fio. Em geral a massa do fio é desprezável frente as demais massa e
é assumido que o fio é inextensível. Os dois blocos apresentam movimento de translação, enquanto que a polia apresenta
um movimento de rotação em torno de um eixo que passa por seu centro de massa. Em muitas situações, a massa da polia,
e portanto seu momento de inércia, pode ser desprezada e o movimento do sistema pode ser descrito apenas em termos
do movimento dos dois blocos. Quando as superfícies em contato são bem lisas e polidas, a força de atrito entre elas
pode ser desprezada também, além de podermos desconsiderar os efeitos da resistência do ar. Com estas considerações,
a descrição do movimento do sistema consiste em analisar as demais forças que atuam em cada bloco, separadamente, e
escrever a 2ª Lei de Newton para cada um eles. Um diagrama de corpo livre, muitas vezes, é útil. Para os dois blocos da
figura 1 , obtém-se
T = Ma , (2)
mg − T = ma . (3)
Observe que, sendo o fio tratado como ideal, a massa da polia desprezível e todas as forças de atrito desconsideradas, as
acelerações dos blocos serão iguais em módulo, bem como as forças de tração nas duas extremidades do fio. A aceleração
dos blocos é obtida resolvendo-se o sistema acima. Obtém-se
a =
mg
m + M
. (4)
1
3 Descrição do Experimento
O equipamento a ser utilizado consiste num trilho de ar sobre o qual apoia-se um deslizador, impulsionado por um suporte
de massas. Ou seja, um suporte com diferentes valores de massa é preso ao deslizador através de um fio (ideal) que passa
por uma polia (também ideal). Ao liberarmos o suporte, seu peso o acelera fazendo com que o deslizador também acelere,
percorrendo uma determinada distância sobre um trilho retilíneo. O tempo de percurso é medido afim de se determinar
a aceleração do deslizador.
4 Equipamento/Material
1. Trilho de ar com régua milimetrada.
2. Um suporte de massas (10 g preto).
3. Duas massas de 10 g (preta) e uma massa de 20 g (dourada).
4. Deslizador azul (450 g).
5. Contador digital e dois fotossensores.
6. Gerador de corrente de ar.
5 Procedimento Experimental
(a) Coloque os dois fotossensores em posições distintas e anote a distância L entre eles na Tabela da folha de questionário.
O deslizador percorrerá sempre esta mesma distância.
(b) Pendure o suporte de massa de 10 g na outra extremidade do barbante e passe-o através da polia.
(c) Zere o contador digital. Para isto, pressione o botão stop seguido do botão reset. Não altere a escala do contador
digital! Solte o deslizador bem próximo ao primeiro fotosensor, garantindo que o mesmo parta do repouso no início
da contagem do tempo. Observe que, ao ser liberado, o deslizador aciona a contagem do tempo ao passar pelo
primeiro fotosensor e esta contagem é parada ao passar pelo segundo fotosensor.
(d) Leia o intervalo de tempo para o deslizador percorrer a distância L, diretamente no contador digital e anote o valor
da Tabela da folha de questões.
(e) Repita os procedimentos (c) e (d) usando outros valores diferentes de massa no suporte de massas até completar a
Tabela da folha de questionário e responda as questões.
2
6 - LEIS DE NEWTON - PARTE 2 FEX 1001
1.[1,0] Aquisição de dados: Considere g = 9, 81m/s2 e massas com precisão de décimos de grama.
L( )=
m ( ) t ( ) a ( ) T ( )
2.[1,0] Que tipo de movimento o deslizador executa? Justifique.
3.[1,0] Calcule a aceleração do deslizador usando a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la, para
cada valor de massa no suporte, e complete a Tabela acima.
4.[1,0] Utilizando a equação (3), calcule o valor da força de tração T que atua no deslizador, para cada valor
de massa no suporte, e complete a Tabela acima.
5.[1,0] Trace um gráfico de T × a em papel adequado e calcule, a partir deste gráfico, a massa do deslizador.
Mostre seus cálculos com clareza e os pontos lidos no gráfico.
6.[1,0] Calcule o erro percentual da massa do deslizador obtida na questão anterior, em relação ao valor lido
diretamente sobre o mesmo.
3
7.[1,0] Use a equação (4) e equações do MRUV para
mostrar que M = m
(
gt2
2L
− 1
)
. A seguir, escreva a
equação para o erro indeterminado no valor de M . Assuma g como constante de precisão infinita.
8.[1,0] Quais os valores de ∆m, ∆t e ∆L?
9.[1,0] A partir dos resultados nas questões 7. e 8. calcule o desvio na massa do deslizador (∆M).
10.[1,0] Todos os resultados obtidos permanecerão válidos se você incluir o movimento de rotação da polia?
Seriam necessárias alterações nas equações usadas? Justifique qualitativamente e quantitativamente.
4
roteiro 2013-02/E8-Calculo_do_Momento_de_Inercia.pdf
8 - CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA FEX 1001
1 Objetivos
Medir indiretamente o momento de inércia de um disco, com relação a um eixo que atravessa o centro de massa, perpen-
dicularmente à superfície do disco. Analisar os movimentos de um bloco em queda e de um disco, do ponto de vista da
cinemática e da dinâmica do movimento. Medir grandezas físicas diretas, associadas aos movimentos de um bloco e de
um disco, e calcular, a partir dessas medidas e de considerações da cinemática e da dinâmica, o valor do momento de
inércia do disco.
2 Teoria
O momento de inércia de um corpo não pode ser medido diretamente, pois, no mínimo é necessário medir sua massa e
um comprimento (por exemplo, o raio no caso de um disco). Isto significa que, se o corpo for simétrico com relação ao
eixo de rotação, é preciso, pelo menos, multiplicar a massa e o quadrado da medida de comprimento. Por outro lado, é
possível fazer a medida indireta do momento de inércia de um corpo, colocando-o em rotação em torno de um dado eixo,
e medindo diretamente as grandezas físicas como massa, tempo e comprimento. É óbvio que, nesse caso, será necessária
a realização de cálculos baseados em equações conhecidas, usando as medidas diretas obtidas.
Considere um bloco de massa m, preso a um fio inextensível, inicialmente enrolado em torno de uma polia de massa
desprezável (com relação à massa do disco, isto é, mpolia << M), com raio r. A polia pode girar em torno do mesmo eixo
que atravessa o centro de massa de um disco de massa M e raio R, perpendicularmente à sua superfície, conforme figura
1 abaixo.
Figura 1: (a) Vista frontal da montagem experimental. (b) Vista lateral da montagem experimental. A queda do bloco
produz um torque sobre a polia, que coloca o conjunto (disco + eixo + polia) em rotação com a mesma velocidade angular
instantânea. Note que, no caso, despreza-se o momento de inércia da polia, isto é, Ipolia << Idisco. No experimento, h é
a altura de queda do bloco de massa m, no caso até o solo. A esquerda, aparato experimental.
O bloco de massa m é liberado e percorre a altura h até atingir o solo, enquanto o fio se desenrola da polia e gira o
disco. De acordo com a dinâmica do movimento de translação, devido a força peso mg para baixo e uma tensão T para
cima que o fio exerce, a força resultante para baixo será constante implicando em aceleração a também constante, e pode
ser escrito como:
mg − T = ma , (1)
onde g é o valor local da aceleração da gravidade.
Considerando agora o disco, de acordo com a dinâmica do movimento de rotação, a tensão T aplicado pelo fio na polia
de raio r atua um torque resultante Tr , que resulta em aceleração angular α do disco de momento de inércia I, e pode
ser escrito como:
Tr = Iα . (2)
Considerando que o fio não desliza em torno da polia, a relação entre a aceleração a do bloco e a aceleração angular
α do disco pode ser escrito como:
a = αr . (3)
1
Utilizando se as equações (2) e (3) na equação (1) obtemos a aceleração teórica do bloco
a =
g(
I
mr2 + 1
) , (4)
e podemos comparar com a cinematica do movimento retilínio uniformemente variável de um objeto que desloca distância
h em um tempo de queda t
a =
2h
t2
, (5)
e obtemos a seguinte relação:
t2 =
2h
g
(
I
mr2
+ 1
)
. (6)
3 Descrição do Experimento
O equipamento utilizado neste experimento é um disco metálico montado com rolamentos em um eixo horizontal ao qual
está presa uma pequena polia. Na reentrância periférica da polia enrola-se um fio em cuja extremidade está preso um
bloco metálico. Esse bloco, quando o fio estiver enrolado, deve estar a uma certa altura do solo. O bloco é liberado a
partir do repouso, de modo que o fio se desenrole da polia e o bloco atinge o solo. A queda do bloco faz o conjunto (disco
+ eixo + polia) rotacionar.
4 Equipamento/Material
1. Disco com polia.
2. Trena.
3. Cronômetro.
4. Paquímetro.
5. Massa de 100 g com fio.
5 Procedimento Experimental
(a) Determine, com auxílio da trena, o raio R do disco. Utilizando o paquímetro, determine o raio r da polia. Anote os
valores na Tabela 1 da folha de questões.
(b) Escolha dez altura h de queda diferentes do bloco metálico, sendo que três alturas menores que 10 cm e três alturas
maiores que 100 cm e anote-a na Tabela 2 folha de questões.
(c) Enrole na polia o fio que prende o bloco metálico até que este fique na altura h escolhida no item anterior e solte-o
no mesmo instante em que acionar cronômetro.
(d) Quando o bloco atingir o solo pare a contagem de tempo do cronômetro. Com isto você terá a medida do intervalo
de tempo de queda (t). Anote o valor na Tabela 2 da folha de questões.
(f) Siga as instruções e responda às questões referentes ao experimento.
2
8 - CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA FEX 1001
1.[1,0] Aquisição de dados do sistema: Considere a massa do bloco com precisão de centésimo de grama e a medida
do raio do disco com trena e do raio da polia com um paquímetro.
Tabela 1
M (g) m ( ) r ( ) R ( )
3000,0
2.[1,0] Aquisição de dados da altura e tempo de queda: Considere a altura medida com trena e o tempo medida com
cronômetro com precisão de centésimo de segundo.
Tabela 2
h( ) t( )
3.[1,0] Calcule o momento de inércia teórico do disco (I = MR2/2) com os dados da Tabela 1.
4.[1,0] Escreva a equação do erro propagado no momento de inércia teórico do disco. Quais são os valores de
∆M e ∆R? A seguir, calcule o valor de ∆I e expresse o momento de inércia teórico na forma correta.
5.[1,0] Identifique as variáveis dependente e independente justificando.
6.[1,0] Linearize a equação (6) mostrando claramente os coeficientes angular e linear da reta.
7.[1,0] Faça um gráfico linear em papel adequado com os dados da Tabela2.
8.[2,0] Obtenha o momento de inércia experimental do disco através do gráfico. Expresse o resultado em
unidades do S.I. Mostre seus cálculos com clareza e indique no gráfico os pontos lidos. Considere g = 9,81
m/s².
9.[1,0] Considerando o momento de inércia teórico do disco como referência, calcule o erro percentual do valor
experimental em relação ao valor teórico.
3
roteiro 2013-02/E7-Medidas_de_Forca.pdf
7 - MEDIDAS DE FORÇA FEX 1001
1 Objetivos
Estudar as forças que atuam sobre um objeto estando este em equilíbrio estático. Verificar experimentalmente a soma de
grandezas vetoriais.
2 Teoria
A 2aLei de Newton permite tanto o estudo da dinâmica das partículas quanto da estática. Na estática basta que seja
imposta a condição de aceleração nula com velocidade inicial também nula. No entanto, para o caso de corpos cujas
dimensões não possam ser desprezadas, além da condição acima, também deve ser considerado que o momento resultante
de todas as forças, ou seja, o torque resultante, seja igualmente nulo. Portanto, a condição de equilíbrio estático para
corpos rígidos pode ser assim resumida:
Σ~F = ~0, Σ~τ = ~0 .
Considerando que o corpo rígido apresenta movimentos de translação no plano xy e que qualquer rotação ocorra apenas
em torno do eixo oz, as duas equações vetoriais acima
nos dão três equações escalares, a saber
ΣFx = 0, ΣFy = 0 e Στz = 0 .
No caso de corpos com dimensões desprezáveis (partícula) a terceira equação pode ser desconsiderada.
3 Descrição do Experimento
Neste experimento será utilizado um disco com escala de medidas de ângulos para a decomposição de forças, segundo
componentes cartesianas. O equilíbrio ocorre quando a argola for concêntrica com o disco, como na Figura 1.
4 Equipamento/Material
1. Mesa circular com medidas de ângulos.
2. Três suportes de massas (50 g cada, dourados).
3. Três massas de 20 g, três massas de 10 g e três massas de 5 g (todas douradas).
5 Procedimento Experimental
(a) Escolha aleatoriamente três valores diferentes de massas e as coloque nos três suportes disponíveis. Anote os valores
da Tabela da folha de questões.
(b) Mova os suportes com roldana até encontrar a correta posição de equilíbrio do anel branco. Esta posição de equilíbrio
é ocorre quando o anel for concêntrico com a placa circular.
(d) Meça os três ângulos entre os fios (θ12, θ23 e θ31 apresentados na Figura 2) e anote os valores na Tabela da folha de
questões.
(e) Responda as demais questões.
1
Figura 1: Montagem experimental.
x
y
F1
F2
F3
θ31
θ12
θ23
θ1
θ3
θ2
Figura 2: Vista superior da mesa de forças. Você pode escolher um sistema de referência adequado para a decomposição
das forças, fazendo com que uma das forças coincida com um dos eixos, por exemplo, chamando de eixo x a direção da
força F1, e esta exatamente no ângulo zero.
2
7 - MEDIDAS DE FORÇA FEX 1001
1.[2,0] Aquisição de dados: Considere g = 9, 81m/s2 e massas com precisão de centésimos de grama.
m1( )= m2( )= m3( )=
F1( )= F2( )= F3( )=
θ12 θ23 θ31 θ1 θ2 θ3
2.[2,0] Determine os ângulos θ1, θ2 e θ3 completando a tabela. Dica: você pode escolher um sistema de
referência adequado, com um dos eixos na direção de uma das forças, para facilitar a determinação destes
ângulos.
3.[2,0] Com base no seu sistema de coordenadas, faça a decomposição das forças segundo componentes x e
y, e escreva as equações de equilíbrio da argola, ou seja
∑
Fx = 0 e
∑
Fy = 0 em termos das forças e dos
ângulos.
4.[1,0] Substitua os valores experimentais nas equações acima e verifique as condições de equilíbrio.
5.[1,0] Se
~F1 + ~F2 + ~F3 = ~0 mostre
1
que F 21 = F
2
2 + F
2
3 + 2F2F3cos θ23 onde θ23 é o ângulo entre as forças
~F2
e
~F3. Substitua os valores experimentais e verifique a validade desta lei.
6.[1,0] A lei dos senos pode ser escrita como
F1
sen θ23
=
F2
sen θ31
=
F3
sen θ12
. Substitua os valores experimentais
e verifique a validade desta lei.
7.[1,0] Demostre a lei dos senos.
1
Dica: use a definição de produto escalar
~A · ~B = ABcosθ, onde θ é o ângulo entre os vetores ~A e ~B. Da definição conclui-se que F 21 = ~F1 · ~F1.
3
roteiro 2013-02/E10-Modulo_de_Elasticidade.pdf
10 - MÓDULO DE ELASTICIDADE FEX 1001
1 Objetivo
Encontrar o módulo de elasticidade (constante de flexão) de uma haste metálica no regime elástico.
2 Teoria
Todo corpo sob a ação de uma força se deforma. Esta força que é aplicada sobre uma área do corpo pode ser de tração
ou de compressão, quando aplicada perpendicularmente a área do corpo. Se a força for aplicada tangencialmente a área
do corpo, a tensão é chamada de tensão de cisalhamento. Se, ao cessar a atuação dessa força o corpo recuperar sua forma
e tamanho iniciais, se diz que a deformação é elástica. Em geral, existe um limite para o valor da força a partir da qual
acontece uma deformação permanente no corpo, também chamada de deformação plástica. Dentro do limite elástico, há
uma relação linear entre a força por unidade de área que foi aplicada e a deformação. Consideremos o caso de uma haste
presa por uma de suas extremidades, como mostrada na figura 1a abaixo.
(a) Deformação y de uma haste devida a aplicação de
uma força à sua extremidade.
Se aplicarmos uma força F vertical na extremidade livre, esta provocará uma flexão y na haste. A flexão dependente do
valor da força aplicada, do material e da forma geométrica da haste. Dentro do limite elástico, teremos
F = ky , (1)
sendo que a constante elástica, k, é uma propriedade da haste como um todo e depende de suas dimensões (comprimento
x, largura l e espessura e) além de depender do tipo de material do qual a haste é feita. O módulo de elasticidade para
a flexão E (também chamado de módulo de Young), por outro lado, é uma propriedade apenas do material. Essas duas
grandezas estão relacionadas por
k =
Ele3
xn
,
que, levada na equação (1), dá
F =
Ele3
xn
y , (2)
em que n é uma potência a ser determinada. Assim, em um experimento, é possível medir a flexão y de uma haste
em função de seu comprimento x e/ou força aplicada, mantendo-se todas as outras grandezas constantes e determinar o
módulo de elasticidade do correspondente material.
3 Descrição do Experimento
O experimento consiste em aplicar uma força (F = mg) à extremidade da haste e medir a correspondente flexão.
1
4 Equipamento/Material
1. Régua metálica.
2. Régua metálica milimetrada.
3. Paquímetro.
4. Suporte.
5. Um suporte de massas (10 g preto).
6. Uma massa de 10 g (preta).
7. Uma massa de 10 g (dourada).
8. Duas massas de 5 g (dourada).
5 Procedimento Experimental
(a) Escolha um valor de comprimento x anotando o valor na Tabela da folha de questões.
(b) Meça com o paquímetro as dimensões da haste, ou seja, sua largura e espessura e anote os valores na Tabela da folha
de questões.
(c) Para cada valor de massa pendurada na extremidade da haste, meça a flexão y com auxílio da régua metálica
milimetrada. Anote os valores na Tabela da folha de questões.
(d) Responda as questões.
2
10 - MÓDULO DE ELASTICIDADE FEX 1001
1.[1,5] Aquisição de dados: Considere massa com precisão de décimo de grama, g = 9, 81m/s2, medida do comprimento
e deflexão da haste com régua milimetrada e a medida da largura e espessura da haste com paquímetro.
x ( )=
l ( )= e ( )=
m ( ) y ( )
2.[1,5] Com base no experimento, indique qual a variável dependente e qual a variável independente. Justifique.
3.[2,0] Linearize a equação (2) do roteiro mostrando claramente os coeficientes linear e angular da reta.
4.[2,0] Construa um gráfico linear em papel milimetrado, com base na sua linearização.
5.[2,0] Calcule com clareza os coeficientes linear e angular da reta e, com base na sua linearização, calcule o
módulo de Young da haste (E). Indique os pontos lidos no gráfico.
6.[1,0] Obtenha o erro propagado no módulo de Young e expresse o valor de E na forma correta.
3
roteiro 2013-02/E2-Cinematica_Unidimensional.pdf
2 - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL FEX 1001
1 Objetivo
Determinar a aceleração de queda livre de uma esferinha metálica. Verificar que o movimento de queda de uma esferinha,
quando presa a um disco, é afetado pela resistência do ar.
2 Teoria
Quando soltamos um corpo verificamos que este corpo cai. No entanto, a maneira como ele cai depende, entre outros
fatores, da forma geométrica desse corpo. Por exemplo, pegue uma folha de papel A4 e deixe-a cair. Observe seu
movimento de queda. Agora amasse totalmente esta folha de modo a formar uma bola. Solte-a novamente. De fato, seu
movimento de queda é bastante diferente do anterior. Embora a massa da folha de papel tenha se mantido a mesma, sua
forma geométrica foi alterada. Por outro lado, soltando esta mesma folha de papel amassada e uma esferinha de metal,
ambas da mesma altura inicial em relação
ao solo, e do repouso, verifica-se que ambas caem aproximadamente juntas.
Poderíamos concluir que a aceleração de queda depende da massa do corpo em queda e ou de sua forma geométrica?
Galileo Galilei propôs que, se toda a resistência do ar pudesse ser eliminada, os corpos cairiam da mesma maneira. Ou
seja, se a dificuldade que o ar oferece ao movimento dos corpos fosse retirada, se fizéssemos um recinto com vácuo e
se soltássemos diferentes corpos (com diferentes formas geométricas e diferentes massas), verificaríamos que todos eles
cairiam com a mesma aceleração e mais, que esta aceleração é constante.
Ao soltarmos um corpo, por exemplo uma esferinha metálica, verificamos que o mesmo encontra-se sujeito a ação de
duas forças verticais (supondo que não tenha vento na direção transversal ao movimento) que são a força peso, produzida
pela Terra, e a força de resistência do ar. Em geral, a força de resistência do ar é proporcional a alguma potência da
velocidade do corpo, ou seja, quanto maior a velocidade, maior será a força de resistência do ar. Esta força também
depende de uma série de fatores, como a área efetiva do corpo, e a densidade do ar a sua volta. Resumidamente, podemos
escrever que
Far = αv
β , (1)
em que α é uma constante que depende da área do corpo e da densidade do ar, entre outras, e β é uma constante positiva.
Considere uma esferinha de massa m em queda. Adotando um sistema de referência orientado verticalmente para baixo,
a 2ª Lei de Newton dá
m
dv
dt
= mg − αvβ . (2)
Podemos resolver esta equação para o caso particular de β = 1. Neste caso, a equação (2) fica mdvdt = mg − αv cuja
solução é da forma
v = vT
(
1− e−t/τ
)
. (3)
Sabendo que v =
dy
dt
, pode-se chegar em
y = vT t+
vT
τ
(
e−t/τ − 1
)
, (4)
que descreve a posição da esferinha, na vertical, em função do tempo. Nestas equações, vT é chamada de velocidade
terminal, ou seja, a velocidade da esferinha quando a força de resistência do ar se iguala a força peso. Então a partícula
em queda, no caso a esferinha, passa a se movimentar com velocidade constante. τ é uma constante que possui dimensão
de tempo e corresponde ao intervalo de tempo necessário para que a velocidade de queda cresça até 63, 2% da velocidade
terminal.
Para o caso em que β = 2 a solução para a equação (2) é da forma
v = vT tanh
(
gt
vT
)
, (5)
que fornece para a altura y a função
y =
v2T
g
ln
[
cosh
(
gt
vT
)]
. (6)
Nas equações (5) e (6) vT também é a velocidade terminal da esferinha. Observe que valores diferentes de β levam a
soluções diferentes. Observe também que são equações bastante diferentes daquelas características do MRUV
1
.
A queda livre é um caso particular em que não há resistência do ar ou o efeito desta é muito pequeno. Então a equação
(2) torna-se, simplesmente, a = g e levando a um MRUV.
1
Lembre-se de que as correspondentes equações do MRUV são v = gt e y =
gt2
2
. Todas as equações apresentadas valem para uma esfera
partindo do repouso, num referencial orientado positivamente para baixo com origem no ponto de partida da esfera.
1
3 Descrição do Experimento
Neste experimento, uma esferinha de metal é solta de diferentes alturas e o tempo de queda é medido. São consideradas
duas situações distintas: esferinha sozinha e esferinha com disco de papel. O disco de papel torna mais evidente o efeito
da força resistiva do ar, durante a queda da esferinha.
4 Equipamento/Material
1. Contador digital.
2. Suporte com lançador e detector de queda.
3. Régua centimetrada com lançador.
4. Esfera de metal.
5. Esfera de metal com disco de papel.
5 Procedimento Experimental
(a) Escolha dez alturas diferentes para o lançamento da esfera, sendo quatro delas menores do que 10, 0 cm, e complete
a Tabela na folha de questionário.
(b) Prenda a esfera na primeira altura escolhida. Zere o contador digital e prepare-o para o lançamento. Isto é feito,
primeiramente, apertando o botão stop, seguido por reset e após, o botão start. Observe que uma luz verde acende
no contador digital. Não altere as escalas do contador! Veja a figura abaixo.
(c) Solte a esfera sozinha medindo o tempo de queda diretamente no contador digital e anote o valor na tabela 1. Solte
a esfera com o disco de papel da mesma altura e meça o correspondente tempo de queda.
(e) Repita os passos (b) e (c) anotando os tempos de queda até completar as tabelas.
(g) Responda às questões da folha de questionário.
2
2 - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL FEX 1001
1. [1,0] Aquisição de dados: considere régua centimetrada e escala de tempo em milisegundos (ms).
Tabela 1: esfera sem disco
h ( ) tq( )
Tabela 2: esfera sem disco
h ( ) tq( )
2. [1,0] Represente, num mesmo papel milimetrado, os dados das tabelas 1 e 2 e observe os tipos de curva para
a esfera e para a esfera com o disco. As curvas são iguais? Os gráficos obtidos eram esperados? Justifique.
3. [1,0] Considere que a relação matemática entre o tempo de queda e a altura de queda seja tq = Ah
n
, com
A e n constantes desconhecidas. Linearize esta equação mostrando claramente os coeficientes linear e angular
da reta.
4. [1,0] A relação tq = Ah
n
pode ser aplicada ao caso da esfera sem disco? E para o caso da esfera com disco?
Justifique suas respostas.
5. [1,0] Trace um gráfico linear em papel milimetrado para a esfera sem disco e esfera com disco, e determine
as constantes A e n para a esfera sem disco. Mostre os cálculos com clareza e indique os pontos lidos no
gráfico.
6. [1,0] Sabendo que o movimento de queda da esfera sem disco é do tipo MRUV, obtemos h =
g
2
t2q, nos
dando a previsão teórica das constantes A e n. Quais são estes valores? O movimento de queda da esfera
com disco pode ser considerado como MRUV? Justifique.
3
7. [1,0] Calcule, com os dados das questões 5. e 6., o valor de g para o caso da esfera sem disco. Calcule
também o erro percentual tomando como referência o valor 9, 81m/s2. Calcule ainda o erro percentual no valor
de n, tomando como referência o valor teórico.
8. [1,0] Escolha três alturas de lançamento e determine a velocidade da esfera sem disco no instante em que
ela toca a base do sensor. Para isto, utilize o gráfico feito na questão 2. e lembre que a velocidade instantânea
é v =
dy
dt
, ou seja, é a inclinação da reta tangente.
9. [1,0] Obtenha a equação do erro propagado no valor de g. Observe que ∆h = 0, 5 cm e que ∆tq = 0, 001 s.
10. [1,0] Construa, com os dados das Tabelas 1 e 2, um gráfico em papel di-log de h× tq. Comente a respeito
das curvas. Obtenha os valores de g e n para a esfera sem disco.
4
roteiro 2013-02/E5-dinamica_da_rotacao.pdf
5 - DINÂMICA DAROTAÇÃO FEX 1001
1 Objetivo
Determinar a aceleração da gravidade a partir do movimento de rolamento de um volante.
2 Teoria
Quando um corpo extenso e rígido está sujeito a ação de várias forças o seu movimento dependerá, além da intensidade
e da direção das forças aplicadas, do ponto de aplicação dessas forças. Considere duas forças de mesma intensidade
sendo aplicadas a um corpo plano, ambas na mesma direção mas com sentidos contrários, e ao longo da mesma reta.
Verifica-se experimentalmente que o corpo permanece em repouso (equilíbrio). No entanto, se as forças, ainda com
mesma intensidade, mesma direção e sentidos contrários, forem aplicadas ao longo de retas não coincidentes, o corpo
ainda continuará em repouso mas apresentará um movimento de rotação. No caso geral de forças com intensidades e
direções diferentes, sendo todas aplicadas a pontos diferentes, o corpo apresenta um movimento combinado
de rotação e
translação. A figura 1 abaixo ilustra estes fatos.
F F
F
F
equilibrio
rotacao
rotacao e tranlacao
Figura 1: Placa rígida submetida a ação de diferentes forças e de diferentes maneiras.
A dinâmica do movimento pode ser obtida também com a aplicação da 2ª Lei de Newton, considerando a translação
do centro de massa e uma rotação em torno do centro de massa. No caso do presente experimento considera-se um volante
como um corpo rígido que rola por um plano inclinado, sem deslizar, apresentando o movimento combinado de translação
e rotação. Se considerarmos um volante rígido que rola sobre um plano inclinado formando um ângulo θ com a horizontal,
como na figura ??, a aceleração angular (α) é dada pelo torque resultante sobre o volante, ou seja,
Στ = Iα , (1)
onde I é o momento de inércia do volante em torno do eixo de rotação. Como o volante desce o plano inclinado sem deslizar,
seu movimento é um movimento de rolamento, podendo ser descrito como uma rotação seguida de uma translação. Assim,
podemos conceber o ponto de contato do volante com o plano inclinado como sendo o centro instantâneo de rotação, ou
seja, imaginemos um eixo perpendicular ao plano da figura ??, passando pelo ponto de contato do volante com o plano
inclinado. A cada instante o volante está girando em torno deste eixo (que se desloca plano abaixo). Pelo teorema dos
eixos paralelos, I = ICM +mr
2
, onde r é o raio do eixo do volante e ICM é seu momento de inércia em torno de um eixo
que passa pelo seu centro de massa.
Vamos considerar que o momento de inércia do volante seja simplesmente o momento de inércia de um disco. Neste
caso ICM =
1
2mR
2
e a equação 1 toma a forma
Στ =
(
ICM +mr
2
)
α . (2)
Observe que, ao considerarmos o centro instantâneo de rotação como o ponto de contato do volante com o plano inclinado,
apenas a componente da força peso ao longo do plano contribuirá para o torque resultante. Além disso, existe uma relação
de vínculo entre a distância percorrida pelo centro de massa do volante e o ângulo descrito pelo volante, a saber, a = rα.
Com estas informações, a equação 2 assume a forma
rmgsenθ =
(
1
2
mR2 +mr2
)
a
r
,
ou seja, a aceleração do centro de massa do volante ao descer pelo plano inclinado é
a =
(
g
1 + R
2
2r2
)
senθ . (3)
1
θmg
N
R
r
fat
(a) Diagrama de corpo livre para um volante que rola
sobre uma calha inclinada.
3 Descrição do Experimento
Neste experimento você soltará um volante (uma roda) num plano inclinado para que ele role plano abaixo, sem deslizar.
4 Equipamento/Material
1. Apoio para plano inclinado de madeira.
2. Plano inclinado com régua centimetrada.
3. Transferidor.
4. Paquímetro.
5. Cronômetro.
6. Roda (volante).
5 Procedimento Experimental
(a) Meça, com o auxílio de um paquímetro, os diâmetros do cilindro maior e menor da roda e anote os correspondentes
raios na Tabela da folha de questões. Escolha uma distância d, a ser percorrida pela roda no plano incilinado e anote
na mesma tabela.Utilize para isto a escala centimetrada existente no próprio plano (cada quadradinho equivale a
um centímetro)
(b) Escolha cinco ângulos θ de inclinação do plano inclinado com transferidor e anote os valores na Tabela da folha de
questões.
(c) Meça três vezes o tempo gasto pela roda para percorrer cada ângulo escolhido e determine o tempo médio para isto,
anotando-o na Tabela da folha de questões. Cuide para que a roda seja solta do repouso e role, sem deslizar.
(d) Responda as questões.
2
5 - DINÂMICA DAROTAÇÃO FEX 1001
1.[1,0] Aquisição de dados: Raios medido com paquímetro e a distância medida com régua centimetrada.
r(mm)= R(mm)= d( )=
2.[1,0] Aquisição de dados: Ângulos de inclinação medido com transferidor e o tempo medido com cronômetro com
precião de centésimo de segundo.
θ( ) t( ) a( )
3.[1,0] Pode-se afirmar que o centro da roda executa um MRUV? Justifique.
4.[1,0] Determine, para cada ângulo de inclinação, a aceleração da roda utilizando o tempo de rolamento e a
distância percorrida, completando a Tabela acima.
5.[1,0] Linearize a eq.(3) mostrando claramente os coeficientes linear e angular da reta. Após, trace um gráfico
linear em papel adequado usando os dados de sua tabela.
6.[1,0] Calcule, a partir do seu gráfico, o valor da aceleração da gravidade, g, e compare com o valor de
referência 9, 81m/s2, calculando o erro percentual. Mostre todos os cálculos com clareza e indique no gráfico
os pontos utilizados.
7.[1,0] É possível obter o momento de inércia da roda com os dados coletados neste experimento? Justifique
qualitativamente e quantitativamente.
8.[1,0] Deduza uma expressão para o erro propagado em g, a partir da eq. (3). Quais os valores de ∆r, ∆R,
∆θ, ∆d e ∆a?
9.[1,0] Utilize os dados da questão acima e calcule o erro propagado no valor de g. Expresse o valor de g na
forma correta.
10.[1,0] Usando a eq. (3) e os dados de sua tabela calcule, para cada ângulo de inclinação, o valor de g. Após,
calcule o valor mais provável juntamente com os desvios médio e padrão. Expresse o valor de g na forma
correta.
3
roteiro 2013-02/E1-Lei_de_Hooke.pdf
1 - LEI DE HOOKE FEX 1001
1 Objetivos
Determinação da constante elástica de uma mola helicoidal. Verificação da Lei de Hooke. Determinação da constante
elástica de duas molas acopladas.
2 Teoria
Todos os corpos sob ação de uma força de tração ou de compressão deformam-se, uns mais, outros menos. Ao aplicarmos
uma força em uma mola helicoidal, ao longo de seu eixo, ela será alongada ou comprimida. Se, ao cessar a atuação da
força externa, a mola recuperar a sua forma e tamanho originais, diz-se que a deformação é elástica. Em geral, existem
limites de força a partir dos quais acontece uma deformação permanente, sendo denominada região de deformação plástica.
Dentro do limite elástico há uma relação linear entre a força externa aplicada e a deformação. É o caso de uma mola
helicoidal pendurada por uma de suas extremidades enquanto que a outra sustenta um corpo de massa m, provocando
uma elongação x na mola. Na presente situação considera-se que a massa da mola seja muito menor do que a massa presa
a sua extremidade, ou seja, a massa da mola será desprezável, comparada com m.
Dentro do limite elástico, a força F atuando na mola será igual ao peso do corpo pendurado, isto é, a elongação x
será diretamente proporcional a força F aplicada, considerando que o corpo esteja em repouso. Utilizando a 2ª Lei de
Newton ΣF = ma escrevemos, para a situação de equilíbrio,
k (L− Lo)−mg = 0 ,
⇒ kx = mg (1)
onde k é uma constante que depende do material de que é feita a mola, da sua espessura e de seu tamanho, entre
outras, denominada constante elástica da mola. Na equação (1) L é o comprimento da mola estando o corpo de massa m
pendurado e Lo é o comprimento natural da mola, ou seja, seu comprimento quando nenhuma força é aplicada.
3 Descrição do Experimento
O equipamento a ser utilizado é um suporte vertical no qual uma mola helicoidal é pendurada numa de suas extremidades,
estando a outra livre. Nesta extremidade livre, pendura-se um suporte de massas e sobre ele são colocadas diferentes
massas, correspondendo a diferentes forças, para produzir diferentes deformações na mola, ou seja, alterar o comprimento
da mola. Estes comprimentos são medidos para as diferentes massas colocadas no suporte. Quando duas molas são
acopladas, podemos substituí-las por uma �mola equivalente�, cuja constante elástica depende de como as molas são
acopladas.
4 Equipamento/Material
1. Régua milimetrada.
2. Duas molas
helicoidais.
3. Um suporte de massa (10g preto).
4. Uma barra suporte.
5. Quatro massas de 10g cada (preta).
6. Uma massa de 50g (preta).
5 Procedimento Experimental
(a) Monte a experiência conforme a Figura 1. Pendure a mola A na haste de sustentação e ajuste o cursor superior da
régua na extremidade superior da mola. Desloque o cursor inferior afim de medir o comprimento natural da mola,
LoA. Anote o valor na folha de questionário.
(b) Pendure o suporte de massas na extremidade livre da mola e leia o novo valor do comprimento da mola, L, ajustando
o cursor inferior da régua na extremidade da mola e anote o valor na Tabela. Repita este procedimento para
diferentes valores de massa até completar a tabela, calculando a deformação x da mola.
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(c) Repita os procedimentos acima para a outra mola (mola B).
(d) Pendure a mola B ao lado da mola A, criando assim uma �mola composta�, formada pelas duas molas unidas em
paralelo, como mostrado na Figura 2.
(e) Repita os procedimentos (a) e (b) para a mola composta, anotando os dados na Tabela da folha de questionário.
(f) Responda as demais questões.
Figura 1: Suporte com apenas uma mola.
k Kcompk
Figura 2: As duas molas unidas em paralelo são equivalentes a uma mola composta, de constante elástica Kcomp.
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1 - LEI DE HOOKE FEX 1001
1. [1,0] Aquisição de dados: Considere massas com precisão de décimos de grama, g = 9, 81m/s2 e medida com régua
milimetrada.
mola A: LAo =
m(g) L(mm) x(mm)
mola B: LBo =
m(g) L(mm) x(mm)
mola composta: Lcomp =
m(g) L(mm) x(mm)
2.[1,0] Identifique as variáveis dependente e independente justificando.
3.[1,0] Faça um gráfico, em papel milimetrado, com os dados das duas tabelas acima. Você pode colocar os
dois gráficos num mesmo papel milimetrado, indicando adequadamente o gráfico de cada mola.
4.[1,0] Linearize a lei de Hooke, equação (1), mostrando claramente os coeficientes angular e linear.
5.[1,0] Obtenha a constante elástica da mola A (kA), e da mola B (kB) através do gráfico. Mostre os cálculos
com clareza e indique no gráfico os pontos lidos.
6.[1,0] A previsão teórica, usando as Leis de Newton, determina que o valor da constante elástica da mola
composta, neste caso, pode ser escrita como Kcomp = kA+kB . Calcule o valor teórico desta constante usando
o valor de kA e de kB obtidos pelo gráfico.
7.[1,0] Calcule o valor mais provável da constante elástica da mola composta e compare este valor com o
obtido na questão anterior. Para isto, calcule o erro percentual.
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8.[1,0] Usando os dados das tabelas acima obtenha o valor mais provável da constante elástica da mola A e
calcule os desvios médio e padrão. Expresse o valor desta constante na forma correta.
9.[1,0] Calcule o erro propagado na constante elástica da mola A.
10.[1,0] Demostre a relação Kcomp = kA + kB apresentada na questão 6.
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