Prova 3 - 13.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
3a AVALIAC¸~AO DE CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - TURMA 91
DEMAT/ICEB/UFOP - PROVA A - Profa E´rica Resende Malaspina
Aluno(a):
Data: 16/08/2013
As respostas devem ser a caneta. Todos os exerc´ıcios devem ter justificativas. Respostas
sem justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1. Aplique derivada e siga o roteiro a seguir para esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
6x2
1 + x2
(a) (1,0) Deˆ o domı´nio de f(x).
(b) (1,0) Encontre a intersec¸a˜o com os eixos OX e OY.
(c) (1,0) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f(x).
(d) (1,0) Estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexa˜o de f(x).
(e) (1,0) Determinar os pontos de ma´ximo e/ou mı´nimo de f(x).
(f) (1,0) Ass´ıntotas.
(g) (1,5) Esboce o gra´fico de f(x).
2. Sabe-se que a equac¸a˜o x3 + y3 = xy2 + 5 define uma func¸a˜o y = f(x) implicitamente.
(a) (1,0) Verifique que o ponto P (1, 2) satisfaz a equac¸a˜o.
(b) (3,5) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f em P (1, 2).
(c) (1,0) Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em P (1, 2).
3. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) (3,5) f(x) = (x2 + 1)2 tan
(
1
x2+1
)
(b) (3,5) y = arcsin(
√
1− x2)
Dado (caso precise): cos2(x) + sin2(x) = 1
4. (5,0) Um recipiente cil´ındrico (reto), aberto em cima, deve ter a capacidade de 375pi m3. O
custo do material usado para a base e´ de R$ 15, 00 por m2 e o custo do material usado para
a parte curva e´ de R$ 5, 00 por m2. Aplicando derivada, determine as dimenso˜es do recipiente
que minimizem o custo do material. Dados: V = piR2h, Ab = piR
2 e AL = 2piRh.
BOA PROVA !
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