Aula_05

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ESTATÍSTICA SOCIAL
Aula 5- Medidas de Posição
Prof. Dra. Denise Candal
ESTATÍSTICA
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de Posição:
Média 
Mediana 
Moda 
Quartis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Concentração de Valores
Em uma distribuição, podemos identificar tendências com relação a maior concentração de valores.
Se esta concentração se localiza no inicio, meio ou fim, ou ainda se existe uma distribuição por igual. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
As medidas de posição são estatísticas que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Dispersão
Medidas
De
Variabilidade
Ou
Dispersão
Amplitude Total
Variância
Desvio Padrão
Coeficiente de Variação
As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Assimetria
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
O gráfico de uma distribuição de freqüência pode nos mostrar várias características da distribuição.
12
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medida de Curtose
Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição com relação a uma distribuição padrão, dita normal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dados não agrupados
Dados agrupados sem intervalos de classe
Dados agrupados com intervalos de classe
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dados não agrupados
Dados agrupados sem intervalos de classe
Dados agrupados com intervalos de classe
A produção leiteira 
diária de uma vaca, 
durante uma semana, 
foi de 
10,14,13,15,16,18 e
12 litros.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dados não agrupados
Dados agrupados sem intervalos de classe
Dados agrupados com intervalos de classe
Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos.
Número de Meninos
fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
∑=34
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dados não agrupados
Dados agrupados sem intervalos de classe
Dados agrupados com intervalos de classe
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
40
Dadosfictícios.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
Elementos
Medidas de Posição
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
Medidas de Assimetria
Medidas de Curtose
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
As medidas de posição são estatísticas que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de tendência central são aquelas nas quais os dados observados tendem a se agrupar em torno dos valores centrais.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Tais medidas são utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto de dados observados.
24
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados não Agrupados
Média aritmética simples 
 
 
Valores da variável
Número de valores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Desvio em relação a Média
Desvio em relação a média (di): diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética .
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. 
Determine a produção média da semana.
Determine também o desvio em relação a média dos valores dados. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Vaca
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados Agrupados
Frequências indicam a intensidade de cada variável: funcionam como fatores de ponderação (média aritmética ponderada).
Média Ponderada: é a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Variável da i-ésima classe
Frequência absoluta da i-ésima classe
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Média: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
Dados organizados em distribuição de freqüência
Ponto médio da i-ésima classe
Frequência absoluta da i-ésima classe
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 2: Filhos
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Determine a média aritmética ponderada da distribuição.
Número de meninos
fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
∑=34
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
xifi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
∑=34
∑=
Média ?
Exemplo 2: Filhos
Medidas dePosição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
xifi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
∑=34
∑=78
Média
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
xifi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
∑=34
∑=78
Média
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 3: Alturas
Determine a média das alturas.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
40
Dadosfictícios.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
40
∑=
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
No Excel
43
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
44
No Excel
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
40
∑=
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
total
40
∑=
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
total
∑=40
∑=6440
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
total
∑=40
∑=6440
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda
O valor da variável que aparece em maior frequência em uma série de valores.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados não Agrupados
Um conjunto de dados pode ter:
Nenhuma moda (amodal) – nenhum valor aparece mais vezes que outros.
Uma moda (unimodal) 
Duas ou mais modas (multimodal) – dois ou mais valores de concentração.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados não Agrupados
O valor da variável de maior frequência
Exercício 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. 
Determine a moda.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe
O valor da variável de maior frequência
Exercicio 2:
Filhos
Moda?
Número de meninos
fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
∑=34
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Moda: Dados Agrupados Com Intervalo de Classe
Classe modal: a classe que apresenta maior frequencia.
Moda bruta: valor resultante do método mais simples para o cálculo da moda – toma-se o ponto médio da classe modal.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Graficamente, a moda é o valor de x para o qual y é máximo. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
xifi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
∑=34
∑=78
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. 
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
xifi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
0
6
20
36
16
∑=34
∑=78
Classe Modal
Moda= 3
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
total
∑=40
∑=6440
Exercício 3: Alturas
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
PONTO MÉDIOxi
xifi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
152
156
160
164
168
172
608
1404
1760
1312
840
516
total
∑=40
∑=6440
Moda= 160
Exemplo 3: Alturas
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana
A mediana é um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes iguais. 
Dado um conjunto ordenado de valores, mediana é o o valor situado de tal maneira que este valor separa o conjunto em dois subconjuntos com mesmo numero de elementos.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana – Dados não Agrupados
para n ímpar: o termo de ordem 
para n par: a media aritmética dos termos de ordem e
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. 
10
12
13
14
15
16
18
1
2
3
4
5
6
7
mediana
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana – Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Valor da variável correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
Fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
∑=34
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. 
Moda=?
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
Fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
2
8
18
30
34
∑=34
Frequencia acumulada 
imediatamente superior a
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. 
Moda=?
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
Fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
2
8
18
30
34
∑=34
Frequencia acumulada 
imediatamente superior a
Moda=?
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. 
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Número de meninosxi
fi
Fi
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
2
8
18
30
34
∑=34
Frequencia acumulada 
imediatamente superior a
Moda=?
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. 
Exemplo 2: Filhos
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana – Dados Agrupados Com Intervalos de Classe 
determinar as frequências acumuladas
calcular 
identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a 
empregar a formula: 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
∑=40
identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A- 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
A mediana, além de representar uma série de valores com relação a posição central, separa a série de valores em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
As separatrizes não são medidas de tendência central, mas têm a ver com a segunda característica da mediana. As separatrizes são medidas que se baseiam em sua posição na série.
Medidas
de
Posição
Medidas
de Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Separatrizes
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.
76
Fractis
Números que dividem um conjunto ordenado de dados em partes iguais. 
A mediana é um fractil, pois divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais. 
Os quartis, decis e percentis são outros tipos de fractis, que dividem o conjunto de dados respectivamente em quatro, dez e cem partes iguais. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Quartis são os valores de uma série de dados ordenados que a divide em quatro partes iguais. 
0%
25%
50%
75%
100%
Q1
Q2=Md
Q3
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
(Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores que ele.
(Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana. (Q2=Md)
(Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Quartis
Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	onde k é o número de ordem do quartil. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Primeiro Quartil
Segundo Quartil
Terceiro Quartil
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Decil
Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que separam uma série de dados em 10 partes iguais.
Observação: 	P5=Md
Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
 	onde k é o número de ordem do percentil. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Percentil
Percentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores que separam uma série de dados em 100 partes iguais.
Observação: 	P50=Md P25=Q1 P75=Q3
Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por 
	 onde k é o número de ordem do percentil. 
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana
Quartis
Percentis
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 4: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série: 
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }
Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2.
Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } 
Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas dos dois grupos de valores.
Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1 
Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o quartil 3
Exemplo 4: Dados não agrupados
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Calcule os quartis da série: 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Exemplo 5: Dados não agrupados
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
A série ordenada.
Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5
Quartil 1 = mediana da série à esquerda de	Md : 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5 }
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md : 
{6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Q3 = (9+9)/2 = 9
Exemplo 5: Dados não agrupados
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exemplo 6: Dados Agrupados
Determine os quartis.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
40
Dadosfictícios.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
total
∑=40
Classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADAFi
150׀—154
154׀—158
158׀—162
162׀—166
166׀—170
170׀—174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total
∑=40
0%
25%
50%
75%
100%
Q1
152,57
Q2=Md
160,54
Q3
165
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercícios
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 1: Peso dos Bebês
Considere a tabela abaixo de nascidos vivos segundo peso ao nascer. Determine a média, a mediana e a moda da distribuição.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Com intervalo de classe
Moda?
Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência.
Ponto médio da classe modal.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Com intervalo de classe
Moda?
Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência.
Ponto médioda classe modal.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Com intervalo de classe
Moda?
Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência.
Ponto médio da classe modal.
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Com intervalo de classe
Média?
Ponto Médio?
PESO
FREQUÊNCIA
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Com intervalo de classe
Média?
Ponto Médio?
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
Total
∑=100
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
Total
∑=100
Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe
Média?
Ponto Médio?
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana?
Classe mediana: aquela correspondente 
 a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana?
Classe mediana: aquela correspondente 
 a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana?
Classe mediana: aquela correspondente 
 a frequência acumulada imediatamente superior a
PESO
fi
xi
xifi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Classe mediana: classe correspondente
 a frequência 
 acumulada 
 imediatamente 
 superior a
PESO
fi
xi
xifi
Fi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
3
19
50
84
95
99
100
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada exatamente igual a 
 
 a mediana será o limite superior da classe correspondente.
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Classe mediana: classe correspondente
 a frequência 
 acumulada 
 imediatamente 
 superior a
PESO
fi
xi
xifi
Fi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
3
19
50
84
95
99
100
Total
∑=100
∑=300
Exercício 1: Peso dos Bebês
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
PESO
fi
xi
xifi
Fi
1,5׀—2,0
2,0׀—2,5
2,5׀—3,0
3,0׀—3,5
3,5׀—4,0
4,0׀—4,5
4,5׀—5,0
3
16
31
34
11
4
1
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
4,25
4,75
5,25
36
85,25
10,5
41,25
17
4,75
3
19
50
84
95
99
100
Total
∑=100
∑=300
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Exercício 2
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
total
∑=56
classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a
Classe mediana
Exercício 2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
Classe mediana
Exercício 2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
Classe Q1
Exercício 2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
total
∑=56
Classe Q3
Exercício 2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
12
22
32
42
52
72
330
640
420
260
total
∑=56
∑=1722
Média
Exercício 2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda.
K
CLASSES
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
7׀—17
17׀—27
27׀—37
37׀—47
47׀—57
6
15
20
10
5
6
21
41
51
56
12
22
32
42
52
72
330
640
420
260
total
∑=56
∑=1722
Moda
Exercício 2
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda.
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Mediana
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Q1
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA
Q3
K
salário
Noprof.
fi
Fi
xi
xifi
1
2
3
4
5
1׀—3
3׀—5
5׀—7
7׀—9
9׀—11
20
40
60
30
10
20
60
120
150
160
2
4
6
8
10
20
160
360
240
100
total
∑=160
∑=880
Exercício 3: Salários Professores
Medidas de Posição – AULA4
ESTATÍSTICA