Respostas Aula 4 (2012.1)

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EXERCÍCIOS PARA CASA - AULA-4 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Distribuição Bernoulli 
 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
 
Distribuição Binomial 
 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
 
Distribuição Geométrica 
 
Notação : X ~ Geom (p) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
 
 
 
  0,1 xonde 1)Pr()( 1  xx ppxXxf
  nxpp
xnx
n
pp
x
n
xXxf xnxxnx ,...,2,1,0 para )1(
)!(!
!
)1(Pr)( 







 
.... 3, 2, 1, = x onde .)Pr()( 1 pqxXxf x
..... 2,+r 1,+r r,= x onde ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
Distribuição Poisson 
 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
Distribuição Binomial 
 
 
 
 
 
- Exemplo pg. 16 (para casa - use o Excel) 
 
 Uma empresa aérea sabe que 20% das pessoas que fazem reservas aéreas 
cancelam suas reservas. 
 A empresa vende 50 passagens para um vôo que contém apenas 46 
lugares. Supondo que as pessoas cancelam suas reservas de maneira 
independente, calcule a probabilidade de que haverá assentos para 
todos os passageiros. 
 
RESPOSTA: 
 
X ~ BIN (n=50;p=0,8) 
Pr (x≤46) = 0,9943 = 99,43% 
 
 
- Exemplo pg. 17 (para casa - use o Excel) 
 
 Você arranjou um emprego numa pizzaria que funciona no sistema de entrega 
a domicílio. Apenas 5% dos pedidos são de pizza de lombinho com abacaxi. 
I- Você recebe exatamente 9 pedidos pelo telefone, qual a probabilidade de, 
no máximo, 1 pizza de lombinho com abacaxi ser pedida? 
II- Você recebe exatamente 30 pedidos pelo telefone num dia de bastante 
movimento, qual a probabilidade de receber mais de 3 pedidos de pizza de 
lombinho com abacaxi? Dica: pare e pense antes de fazer contas 
desnecessárias!!!!!! 
 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ BIN (n=9;p=0,05) 
 Pr (x≤1) = 0,9287 = 92,87% 
 
II - X ~ BIN (n=30;p=0,05) 
 Pr (x>3) = 0,0608 = 6,08% 
 
 
 
 
  nxpp
xnx
n
pp
x
n
xXxf xnxxnx ,...,2,1,0 para )1(
)!(!
!
)1(Pr)( 







 
,....2,1,0 onde 
!
)Pr()( 

x
x
e
xXxf
x 
Distribuição Geométrica 
 
 
- Exemplo pg. 24 (para casa) 
 
 Um gestor de fundos de investimento ultrapassa a sua meta de retorno 
mensal 85% das vezes e nos 15% restantes tem um resultado ruim (abaixo da 
meta). 
I- Qual a probabilidade dele ter o primeiro resultado ruim nos próximos 12 
meses? 
II- E nos primeiros 6 meses? 
 
 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ GEOM (p=0,15) 
 Pr (x=12) = 0,0251 = 2,51% 
 
II - X ~ GEOM (p=0,15) 
 Pr (x≤6) = 0,6229 = 62,29% 
 
OBS.: No Excel utilizar Distribuição Binomial Negativa (num “s”=1) 
 
- Exemplo pg. 25/26 (para casa) 
 Todo final de semana você vai para a sua casa de campo. Você é meio 
apressado e gosta de ultrapassar o limite de velocidade na estrada. A 
probabilidade do radar pegar você acima da velocidade permitida é 15%. 
 Se você é pego pela polícia tem que pagar uma multa de R$ 250,00 (por que, 
além de tudo você sempre esquece os documentos do carro em casa ....). 
 Suponha que cada ida para o campo no fim de semana seja uma repetição 
independente. O custo associado a cada viagem é R$ 25,00 (gasolina e 
pedágio). 
 Você continua dirigindo em alta velocidade até receber a primeira multa. 
I- a) Qual o custo esperado deste procedimento (viajar em alta velocidade até 
ganhar a primeira multa)? 
II- b) Suponha que você tenha disponível R$ 300,00 no banco. Qual a 
probabilidade de você estourar o seu orçamento com este procedimento? 
 
 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ GEOM (p=0,15) 
 
 E(x) = 1/p 
 
 Custo esperado para viajar = R$ 416,67 
 
 
II - X ~ GEOM (p=0,15) 
 
 Pr (x>2) = 0,7225 = 72,25% 
 
 
OBS.: No Excel utilizar Distribuição Binomial Negativa (num “s”=1) 
.... 3, 2, 1, = x onde .)Pr()( 1 pqxXxf x
Distribuição Binomial Negativa 
 
 
- Exemplo pg. 36/37 (para casa) 
 Uma gulosa professora de estatística é “fissurada” por trufas de 
chocolate. Em busca da trufa ideal, ela vai provando chocolates em 
diversas lojas, de maneira independente. 
 A probabilidade dela gostar de uma trufa que prova é 70%. Ela decide 
passear por um shopping, provando todas as trufas que encontra, e 
decide parar só ao encontrar a 4a. trufa “maravilhosa”(para 
“desespero” da balança que tem em casa!). 
 Qual a probabilidade dela ter que: 
I- Provar 6 trufas até encontrar a 4a. trufa maravilhosa? 
II- Ter que “sofrer”, provando 10 trufas, até encontrar a 4a. trufa 
maravilhosa? 
 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ BIN NEG(p=0,7;r=4) 
 Pr (x=6) = 0,21609 = 21,61% 
 
II - X ~ BIN NEG (p=0,7;r=4) 
 Pr (x=10) = 0,0147 = 1,47% 
 
 
 
Distribuição Poisson 
 
 
 
- Exemplo pg. 52 (para casa – use o Excel) 
 
 O número de enchentes em cada verão no Rio de Janeiro é uma 
variável aleatória Poisson com média de 2 enchentes por verão. 
I- Calcule a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 enchentes em 
um verão qualquer. 
II- Calcule a probabilidade de ocorrerem menos de 10 enchentes em 30 
verões. 
 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ POISSON(μ=2) 
 Pr (x=3) = 0,1804 = 18,04% 
 
II - X ~ POISSON(μ=60) 
 Pr (x<10) = 0 
 
 
 
 
..... 2,+r 1,+r r,= x onde ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








,....2,1,0 onde 
!
)Pr()( 

x
x
e
xXxf
x 
- Exemplo pg. 53 (para casa – use o Excel) 
 O número de carros que chegam num posto de pedágio é uma variável 
Poisson com parâmetro 3 carros por minuto. 
 Use o Excel para calcular: 
I- A probabilidade de passarem mais de 4 carros num minuto. 
II- A probabilidade de passarem menos de 25 carros em 10 
minutos. 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ POISSON(μ=3) 
 Pr (x>4) = 0,1847 = 18,47% 
 
II - X ~ POISSON(μ=30) 
 Pr (x≤24) = 0,1572 = 15,72% 
 
 
- Exemplo pg. 54 (para casa – use o Excel) 
 O número médio de pedidos de autorização para um certo exame 
médico complexo recebido por um plano de saúde é uma variável 
Poisson com parâmetro l = 4 pedidos por hora. 
 Calcule a probabilidade de, numa hora qualquer, a empresa receber 
mais de 5 pedidos de autorização para este exame. 
 Calcule a probabilidade da empresa recebem, em uma hora, 9 ou 
menos pedidos de autorização. 
 
RESPOSTA: 
 
I - X ~ POISSON(λ=4) 
 Pr (x>5) = 0,2149 = 21,49% 
 
II - X ~ POISSON(λ=4) 
 Pr (x≤9) = 0,9919 = 99,19% 
 
- Exemplo pg. 55 (para casa) 
 O número de erros de digitação numa página de livro é uma variável aleatória 
Poisson com média de 2 erros por página. Um capítulo contém 30 páginas. 
Calcule as seguintes probabilidades: 
I- a) De que o número total de erros seja menor que 12. 
II- b) De que o número total de erros exceda 10. 
 
 
RESPOSTA: 
 
I - por página _ X ~ POISSON(λ=2) 
 Pr (x≤11) = 0,9999 = 99,99% 
 
 por capítulo _ X ~ POISSON(λ=60) 
 Pr (x≤11) ≡ 0% 
 
II - por página _ X ~ POISSON(λ=2) 
 Pr (x>10) = 0,0001 = 0,01% 
 
 
 por capítulo _ X ~ POISSON(λ=60) 
 Pr (x>10) ≡ 100%