METODOS QUANTITATIVOS

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METODOS QUATITATIVOS 
Aula 01 
A ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL 
Pode-se dizer que o surgimento da Pesquisa Operacional (PO), deve-se à iniciativa dos serviços 
militares ingleses no início da Segunda Guerra Mundial. 
Por causa dos esforços de guerra, cientistas e pesquisadores ingleses prestaram apoio ao seu 
governo na solução de importantes problemas de natureza tática e estratégica, na tentativa 
de, em conjunto com os militares, usar mais adequadamente os poucos meios disponíveis para 
fazer frente a um inimigo mais poderoso. 
O trabalho desse grupo marcou a primeira atividade formal de Pesquisa Operacional. 
Pode-se dizer que o surgimento da Pesquisa Operacional (PO), deve-se à iniciativa dos serviços 
militares ingleses no início da Segunda Guerra Mundial. 
Por causa dos esforços de guerra, cientistas e pesquisadores ingleses prestaram apoio ao seu 
governo na solução de importantes problemas de natureza tática e estratégica, na tentativa 
de, em conjunto com os militares, usar mais adequadamente os poucos meios disponíveis para 
fazer frente a um inimigo mais poderoso. 
O trabalho desse grupo marcou a primeira atividade formal de Pesquisa Operacional. 
As repercussões dos resultados obtidos pela equipe de Pesquisa Operacional inglesa, 
motivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes. 
Credita-se à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, porém, a sua divulgação deve-se a 
uma equipe de cientistas dos Estados Unidos. 
Alguns autores creditam a origem do nome Pesquisa Operacional ao fato dos cientistas terem 
sido chamados para fazer pesquisa em operações militares e seus esforços serem considerados 
decisivos em várias operações militares. 
Os ingleses gostam de operational research (Pesquisa Operacional), já os americanos usam 
operations research (Pesquisa de Operações) ou managment science (Ciência da 
Administração). 
Não existe uma definição padrão para Pesquisa Operacional. Veja as definições propostas por 
cinco autores. 
 
 
 
Principais Técnicas e Instrumentos da Pesquisa Operacional 
A Pesquisa Operacional (PO) se aplica a uma série de situações e diversos métodos foram 
desenvolvidos, de acordo com o tipo de problema estudado. 
 
 
 
 
Quando a Pesquisa Operacional é aplicada num contexto de planejamento, a solução consiste, 
normalmente, num conjunto de valores os mais favoráveis para as variáveis de decisão, com 
alguma informação quanto ao custo de se afastar destes valores. 
Porém, quando a Pesquisa Operacional é usada para desenvolver um sistema operacional, tal 
como um meio para controlar 
estoques, então, a solução 
consiste em um conjunto de 
regras de decisão. 
O conjunto de regras de decisão 
passa pela definição do 
problema e dos fatores que o 
influenciam, estabelecendo 
critérios e objetivos, formulando 
um modelo ou relações entre as 
variáveis, a fim de identificar e 
selecionar a melhor alternativa e 
implementar a decisão. 
Aula 02 
Uma das principais atividades de um administrador é tomar decisões. 
Porém, se ele for inexperiente no tipo de problema considerado ou se este for complexo 
bastante para que intuição e experiência não sejam suficientes, o que fazer para fundamentar 
as decisões? Recomenda-se a adoção de Métodos Quantitativos, o que pode ser importante 
para se chegar a uma decisão final. 
Os Métodos Quantitativos se apoiam em quatro ciências fundamentais: Matemática, 
Estatística, Economia e Informática. 
• é complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise 
quantitativa; 
• é complexo e não se consegue chegar a uma solução adequada sem emprego de análise 
quantitativa; 
• é novo e não se dispõe de experiência prévia que permite antecipar o tipo de decisão a ser 
tomada; 
• é repetitivo e a decisão pode ser tomada de forma automática, economizando tempo e 
recursos. 
As decisões baseadas em Métodos Quantitativos requerem: 
• uma estruturação do problema, 
• uma estruturação do problema, 
• e da utilização de métodos de análise apropriados. 
É fundamental ressaltar que a experiência do tomador de decisão é importante para guiar a 
escolha e a utilização de Métodos Quantitativos, enquanto que a análise das decisões 
decorrentes do emprego de métodos quantitativos ajuda o tomador de decisão a aumentar 
sua intuição e conhecimento sobre o problema. 
O PROCESSO DE MODELAGEM 
Um administrador, diante de uma situação na qual uma decisão deve ser tomada entre várias 
alternativas conflitantes e concorrentes, fica no seguinte dilema: 
• usar a sua intuição gerencial acumulada no decorrer de sua experiência profissional ou; 
• realizar um processo de modelagem da situação e realizar diversas simulações dos mais 
diversos cenários de maneira a estudar o problema. 
 
Conheça as vantagens de se descrever um sistema por um modelo. 
A descrição de um sistema por um modelo torna possível analisá-lo e testar várias alternativas, 
sem interromper o seu funcionamento. 
O modelo torna, normalmente, o problema mais inteligível e pode esclarecer importantes 
relações entre as variáveis. 
As soluções de um modelo não são infalíveis, quando aplicadas ao sistema real. Sempre 
poderá haver erros. 
O objetivo é tornar erros tão pequenos quanto possíveis, com a experiência e aptidão 
adquiridas pelo administrador, tendo em vista que a modelagem é a parte mais complexa da 
análise. 
Definição do problema, baseando-se nos seguintes aspectos: 
• descrição dos objetivos do estudo; 
• identificação das alternativas de decisão existentes; 
• reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema. 
Construção do modelo, utilizando alguma técnica matemática para a solução do problema: a 
escolha certa do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. 
Solução do modelo: O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto. 
Validaçao do modelo: Nesta fase, é necessário verificar a validade do modelo. Utilizando os 
dados existentes, compara-se a performance do sistema e a indicada pelo modelo. Verifica-se, 
também, quais faixas de valores das variáveis para as quais a solução sugerida é válida. 
A implementação de uma solução no sistema real pode implicar em mudanças de rotinas e 
necessita de grande empenho por parte de quem decide. 
 
ESTRUTURA DE MODELOS MATEMÁTICOS 
Em um modelo matemático, segundo Lisboa (2003), são incluídos três conjuntos de 
elementos: 
Variáveis de decisão e parâmetros : As variáveis de decisão são as incógnitas a serem 
determinadas pela solução do modelo; parâmetros são valores fixos no problema. 
Restrições: De modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir 
restrições que limitam as variáveis de decisão e seus valores possíveis (ou variáveis). 
Função Objetivo :É uma função matemática que define a qualidade da solução em função das 
variáveis de decisão. 
AULA 03 
MODELO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR - Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de 
problemas em Pesquisa Operacional é a Programação Linear. 
A Programação Linear é um meio matemático de indicar um montante fixo de recursos 
(sacrifício) satisfazendo certa demanda, de tal modo que alguma função objetivo (que satisfaça 
um objetivo) seja otimizada e ainda sejam satisfeitas as outras condições predefinidas 
(restrições). 
Quais os limites de aplicação da Programação Linear? A Programação Linear, como o próprio 
nome indica, está limitada a situações nas quais as relações que descrevem os fluxos de 
entrada e saída considerados são lineares e onde as restrições, às quais estão submetidas, são 
do mesmo modo inequações lineares. 
E o que isso significa, na prática?
Significa que os vários sistemas produtivos são 
independentes e que os componentes ou elementos do processo obedecem a leis de estrita 
proporcionalidade. Todavia, para utilizarmos a Programação Linear devemos representar a 
condição real (não linear) por uma aproximação linear adequada. 
 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são X1 e X2. 
A função objetivo mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para 
cada solução apresentada. O objetivo é maximizar o lucro, neste exemplo. Também existe 
função objetivo, cuja finalidade é minimizar os custos. 
As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas 
impostas pelo sistema. 
As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá 
acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de Programação Linear. 
Dentre as diversas áreas de aplicação da Programação Linear, destacamos algumas delas. Veja 
quais são: • Administração da Produção • Análise de Investimentos • Alocação de recursos 
limitados • Planejamento regional • Logística • Custo de transporte • Localização da rede de 
distribuição • Alocação de recursos em marketing entre diversos meios de comunicação 
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das matérias-primas - cobre, 
zinco e chumbo, da seguinte forma: 
• a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo; 
• a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo. 
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo. 
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00. 
Deseja-se saber as quantidades de ligas tipo A e B que deverão ser produzidas para que a 
indústria tenha um lucro máximo”. 
 
 
Aula 04 
MÉTODO GRÁFICO: 
CONCEITO 
O método gráfico consiste em 
um sistema de coordenadas 
ortogonais, onde se mostra 
um polígono convexo que 
contém os pontos 
representativos das 
possibilidades. Essas 
possibilidades são 
determinadas a partir do 
sistema de coordenadas 
ortogonais das inequações 
que representam as 
restrições, de maneira que a 
sua solução venha a dar o 
conjunto convexo que é a 
solução do sistema de 
inequações. 
Analisando a Representação 
Gráfica, podemos calcular a 
função que queremos 
otimizar, pela intersecção dessa função com pontos extremos. Teremos, então, o Ponto-
solução. 
MÉTODO GRÁFICO: APLICAÇÃO DE MAXIMIZAÇÃO 
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da combinação das seguintes matérias-primas 
- cobre, zinco e chumbo: • a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de chumbo; • 
a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo. 
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo.O lucro na 
venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00. 
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B que deverão ser produzidas, para que a 
indústria tenha um lucro máximo”. 
Na primeira inequação, basta dividir 16 por 2 e 16 por 1. As inequações teriam os seguintes 
pares ordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 05 
REGRAS DO ALGORITMO DO SIMPLEX 
O Algoritmo dos Simplexos usa os conceitos básicos da álgebra matricial para a obtenção da 
solução viável ou ótima e que satisfaz a todas as restrições. 
É, portanto, uma ferramenta eficiente, eficaz e rápida na localização de pontos ótimos que 
melhoram fortemente a função que queremos otimizar e indica quando a solução ótima foi 
atingida. 
A utilização das 12 regras que você estudará a seguir facilita o entendimento do uso desse 
algoritmo: 
Regra nº 1 O primeiro passo é transformar as inequações em equações. Isto é feito utilizando-
se das chamadas variáveis de folga. As variáveis de folga assumirão o sinal positivo (+), se o 
sentido da restrição for do tipo menor e igual (≤); se o sentido da restrição for do tipo maior e 
igual (≥), assumirão o sinal negativo (-). 
Regra nº 2 No caso das restrições do tipo maior e igual (≥), cuja variável de folga assume o sinal 
negativo (-), é necessária, também, a utilização das chamadas variáveis artificiais. 
Regra nº 3 As variáveis de folga assumirão os valores crescentes, após as variáveis originais do 
problema. Em um problema com três inequações e duas variáveis (X1 e X2), as variáveis de 
folga serão: X3 para a primeira inequação, X4 para a segunda inequação e X5 para a terceira 
inequação. 
Regra nº 4 A função objetiva deverá ser multiplicada por (-1), para que o valor final do quadro 
do simplex seja positivo. 
Regra nº 5 Na coluna base do primeiro quadro do simplex, ficam as variáveis de folga, na 
coluna b, o valor das restrições de cada inequação e, nas demais colunas, os coeficientes das 
variáveis de cada inequação. 
Regra nº 6 DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE ENTRARÁ NA BASE - escolhe-se na linha de –Z, 
dentre as variáveis que tenham sinal negativo, a mais negativa de todas. 
Regra nº 7 
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL QUE SAIRÁ DA BASE - dividem-se os valores da coluna b pelos 
valores da coluna que entrará na base. Escolhe-se o menor valor da divisão. 
Regra nº 8 Em caso de empate na escolha da variável que entrará na base ou que sairá da 
base, a escolha deverá ser feita de forma arbitrária. Essa escolha tanto poderá levar a um 
caminho mais curto, como a um caminho mais longo. 
Regra nº 9 O valor correspondente à variável que entrará na base, com o que sairá da base (o 
encontro da linha e coluna), deverá ser igual a 1. Quando isso não ocorrer, é necessário dividir 
a linha pelo seu próprio valor. 
Regra nº 10 Os demais valores da coluna que entrará na base deverão ser iguais a zero. Para 
zerar esses valores, deve-se utilizar a linha que “entrou na base", com as demais linhas. 
Regra nº 11 Só chegaremos ao final do problema quando toda a linha de Z for positiva. 
Regra nº 12 A resposta do problema encontra-se na coluna b. Portanto, temos que fazer a 
relação das variáveis da coluna BASE com a coluna b. 
APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX 
 
APLICAÇÃO DO ALGORITMO DO SIMPLEX 
O passo 5 (Regra 5) é a construção do quadro do simplex. 
No quadro do simplex, quando uma variável está na base, o encontro da linha com a coluna é 
1 e os demais valores da coluna são zero. No quadro, verificamos que isso acontece com as 
variáveis X3, X4 e X5, que estão na base. 
O passo seguinte (Regra 6) é a determinação da variável que vai entrar na base. O objetivo do 
método simplex é colocar na base as variáveis originais do problema (X1 e X2). A regra diz que 
deve-se escolher na linha de –Z, o valor mais negativo. 
No exemplo, o valor mais negativo é –500, que corresponde à variável X2. 
A Regra 7 aborda a determinação da variável que sairá da base, 
para dar lugar à variável que entrará na base. A escolha sempre 
deverá ser feita nas variáveis de folga que estão na base. 
O menor valor da divisão foi 5 (15 ÷ 3), que corresponde à variável 
X5. Portanto, a variável X5 sairá da base para dar lugar à variável 
 X2 . 
Como X2 está na base, o encontro da linha X2 com a coluna X2, tem 
que ser igual a 1. 
Para tornar esse valor igual a 1, teremos que dividir a linha X2 por 
3. 
Os demais valores da coluna de X2 terão que ser iguais a zero. 
Veja como fazê-lo na próxima tela. 
Para zerar os demais valores da coluna de X2, vamos utilizar a 
linha X2 (já dividida por 3), da maneira explicada a seguir. 
Veja como zerar o valor da linha de X4. 
 
Enquanto tivermos um valor negativo no quadro do 
simplex, teremos que construir um novo quadro. 
 
Como X1 está
na base, o encontro da linha X1 com a coluna X1 tem que ser igual a 1. Para 
tanto, teremos que multiplicar a linha X1 por 3. Os demais valores da coluna de X1 terão que 
ser iguais a zero. Para zerar os demais valores da coluna de X1, vamos utilizar a linha X1 (que já 
foi multiplicada por 3), da maneira descrita a seguir. Veja. 
 
Com base nas operações que acabamos de executar, teremos o novo quadro do simplex. Você 
seria capaz de montá-lo? 
 
 
Como o valor da coluna de X5 na linha de –Z é negativa (-1), a variável X5 vai entrar na base no 
lugar de X3, pois é a única variável de folga na base. Como X5 está na base, o encontro da linha 
X5 com a coluna X5 , tem que ser igual a 1, para tanto, teremos que dividir a linha X5 por 3. Os 
demais valores da coluna de X5 terão que ser iguais a zero. Para zerar os demais valores da 
coluna de X5, vamos utilizar a linha X5 (que já foi dividida por 3), da maneira descrita a seguir. 
Veja. 
 
A Regra 12 diz que a resposta 
do problema encontra-se na 
coluna b. Portanto, temos 
que fazer a relação das 
variáveis da coluna BASE, 
com a coluna b. 
Neste caso, a resposta do 
problema é: 
X1 = 7, X2 = 2, X3 e X4 = 0 e 
X5 = 2. 
O lucro máximo será de R$ 
3.100,00. 
Aula 06 
Programação linear 
O Solver trabalha com um grupo de células relacionadas direta ou indiretamente com a 
fórmula na célula destino. Ele ajusta os valores nas células variáveis especificadas (chamadas 
de células ajustáveis) pra produzir o resultado especificado na fórmula da célula destino. 
É importante também aplicar restrições para restringir os valores que o Solver poderá usar no 
modelo. As restrições podem se referir a outras células que afetem a fórmula da célula 
destino. 
Para que possamos resolver o nosso problema de Programação Linear é preciso acessar o 
Solver. Na versão 2003 do Office Excel, clique no menu Ferramentas e logo em seguida em 
Solver. Na versão 2007 do programa, o Solver está disponível no grupo Análise, na guia Dados. 
Caso a ferramenta Solver não esteja disponível na versão 2003 do Excel, clique no menu 
Ferramentas e depois em Suplementos e marque a opção Solver. O Excel instalará a mesma, 
disponibilizando-a para uso. 
APLICAÇÃO DO SOLVER 
“Uma indústria fabrica dois tipos de liga, a partir da 
combinação das seguintes matérias primas - cobre, 
zinco e chumbo: 
 a liga tipo A utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg 
de chumbo; 
 a liga tipo B utiliza 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de chumbo. 
A fábrica tem disponibilidade de 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15kg de chumbo. 
 
O lucro na venda de uma unidade da liga tipo A é de R$ 300,00 e na liga tipo B, R$ 500,00. 
Deseja-se saber as quantidades de liga tipo A e B, que deverão ser produzidas, para que a 
indústria tenha um lucro máximo”. 
A solução do problema que você acabou de analisar tem o modelo matemático primal 
mostrado acima. 
 
Para abrir a janela Parâmetros do Solver, 
basta clicar em Solver na tela inicial do 
Excel. 
 
 
Ao inserir a última condição clique em OK na janela Adicionar restrição. Será novamente 
exibida a janela Parâmetros do Solver com as restrições incluídas. Observe. 
 
Clique no botão Opções da janela Parâmetros do Solver para exibir a janela Opções do Solver. 
Veja. 
Ao clicar no botão Resolver da janela 
Parâmetros do Solver, aparecerá a tela final 
Resultados do Solver. 
Ao clicar em OK, aparecerá o resultado na 
planilha. 
Aula 07 
O PROBLEMA DUAL 
Uma das mais importantes descobertas no início do desenvolvimento da Programação Linear 
foi o conceito de dualidade e suas muitas ramificações importantes. Esta descoberta revelou 
que todo o problema de Programação Linear tem associado a ele outro problema de 
Programação Linear chamado dual. 
O problema dual é um modelo associado ao original, que traz a interpretabilidade econômica 
para os valores de recursos e para os coeficientes da função objetivo. Esta interpretabilidade 
serve para amenizar as dúvidas impostas pela hipótese de certeza do problema de 
Programação Linear. 
A cada modelo de Programação Linear, corresponde um outro modelo, denominado dual, 
formado por esses mesmos coeficientes, porém dispostos de maneira diferente, utilizando-se 
o conceito de matriz transposta. 
 
Para facilitar o entendimento, vamos utilizar um exemplo de modelo matemático primal com 
duas variáveis (X1 e X2), com apenas duas inequações. 
 
 
Você conhece as características do Método Dual-Simplex? 
O método Dual-Simplex lida diretamente com soluções básicas incompatíveis, porém 
“melhores que a ótima”, e procura achar a compatibilidade do problema. Ele lida com o 
problema exatamente como se o método simplex estivesse sendo simultaneamente aplicado 
ao seu problema dual. 
O método Dual-Simplex é bastante empregado em análise de sensibilidade, quando são feitas 
pequenas modificações no modelo. Além disso, algumas vezes é mais fácil começar com uma 
solução básica incompatível, porém “melhor que a ótima”, e procurar a compatibilidade, do 
que obter uma solução compatível básica inicial e depois otimizá-la, como se faz no método 
simplex. 
 
 
 
O próximo passo é colocar as variáveis de folga nas inequações do modelo matemático dual e 
multiplicar a função objetivo por (-1). Veja o resultado dessa operação. 
Agora é possível identificar a solução do dual. 
 
Primal: é a relação das variáveis da linha da base com os valores da coluna b, sendo portanto 
X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0 e X4 = 0, e o valor máximo de lucro igual a 12. 
Dual: é a relação das variáveis que estão na primeira linha com os valores que estão na linha –
Z, sendo portanto Y1 = 2, Y2 = 3, Y3 = 0 e Y4 = 0, e o valor mínimo de custo igual a 12. 
Em resumo, quando trocamos a visão de maximização do lucro (diferença entre receita e 
 custo) na fase primal, pela minimização de custos na fase dual, estamos considerando o 
benefício da produção. 
 
Aula 08 
INTRODUÇÃO 
A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração de situações nas 
quais se pode favorecer ou contrariar um ou outro ou ambos ao mesmo tempo. 
Os homens algumas vezes lutam uns contra os outros e algumas vezes cooperam entre si, 
dispõem de diferentes graus de informação acerca do próximo e suas aspirações os conduzem 
ao conflito ou à colaboração. 
Para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução para o jogo, isto é, a melhor maneira a 
proceder para cada pessoa envolvida. No livro publicado por Von Newmann e Morgenstern 
são analisadas duas abordagens. 
A primeira abordagem é a dos jogos cooperativos, que procura descrever o comportamento 
ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores. O objetivo desta 
classe de jogos é estabelecer os tipos de colisões possíveis que são consistentes com o 
comportamento racional. Na segunda abordagem, é analisada a estratégia de jogos não 
cooperativos. 
A Teoria dos Jogos não é uma teoria única, mas um conjunto de teorias. Um jogo não passa de 
um modelo da realidade, e esperar que um único modelo possa refletir com precisão tipos de 
atividade tão diversas seria um exagero. 
A Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor 
compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes 
problemas. 
A palavra “jogadores” não tem exatamente o sentido que se poderia esperar. O jogador pode 
ser uma pessoa, pode ser uma equipe, uma empresa, um país. 
Existem situações nas quais ocorrem interações estratégicas, que podem ser caracterizadas 
como “jogos”. Portanto, é possível indagar-se se existe alguma maneira
de analisar e conhecer 
melhor os possíveis desdobramentos desse tipo de situação em que há interação estratégica. 
Iremos utilizar a batalha do mar de Bismarck, da segunda guerra mundial, para ilustrar para 
que serve a Teoria dos Jogos. 
Um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das 
situações em que agentes (jogadores) interagem entre si, agindo de forma racional. Vamos 
descrever cada um dos seus elementos. 
• A Teoria dos Jogos envolve técnicas de descrição e análise, que exigem regras 
preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo. 
• As ações de cada agente devem ser consideradas individualmente, pois afetam os 
demais. Existe, porém, alguns autores, que consideram que as ações de um agente não 
chegam a afetar os demais. 
• É considerado qualquer indivíduo ou um grupo de indivíduos com capacidade de 
decisão para afetar os demais. Agentes (jogadores) tanto podem ser indivíduos como 
empresas, governos, sindicatos ou partidos políticos. 
• Considerar que os agentes (jogadores) são racionais significa supor que os indivíduos 
empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam alcançar. 
• Entende-se que cada jogador, ao tomar a sua decisão, leva em consideração o fato de 
que os jogadores interagem entre si, pois sua decisão terá consequências sobre os 
demais jogadores, e que também as decisões dos outros jogadores terão 
consequências sobre ele. 
Um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores, e isso leva 
naturalmente os jogadores a considerarem, em suas decisões, os efeitos sobre os demais 
jogadores, bem como as reações destes. 
No contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise 
de problemas de decisão que uma empresa enfrenta quando o seu destino depende tanto de 
sua estratégia quanto da estratégia de seus concorrentes. 
Existem jogos que não envolvem decisões estratégicas, como, por exemplo, as loterias de 
prognósticos, que são jogos de pura sorte, ou jogos que envolvem habilidades, como natação 
nas Olimpíadas. Jogos de habilidade e pura sorte, que não envolvem decisões estratégicas, não 
serão considerados neste curso. 
AULA 09 
INTRODUÇÃO 
Em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, governo e 
consumidores se envolvem em processos de interação estratégica. 
Portanto, é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los, procurando 
determinar as possíveis consequências dessas interações, ou seja, utilizar a linguagem da 
Teoria dos Jogos, para identificar os possíveis resultados do jogo. 
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO 
Para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma estratégica 
ou normal. 
Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais desdobramentos futuros 
das escolhas dos jogadores. 
Porém, muitas vezes, o processo de interação estratégica se 
desenvolve em etapas sucessivas. 
Muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os 
outros jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre 
as decisões são tomadas ignorando as decisões dos demais 
jogadores. 
A forma de representar e analisar um jogo sequencial é diferente 
dos jogos 
simultâneos
. A melhor 
forma de 
apresentar 
a noção de 
jogos sequenciais é utilizar a forma 
est
end
ida 
(árv
ore 
de 
dec
isão). 
Para melhor representar esse tipo de jogo, vamos 
utilizar o exemplo da 3M quanto ao lançamento das esponjas de lã de aço. 
 
 
 
 
 
 
ÁRVORE DE DECISÃO 
Uma árvore de decisão, também chamada de árvore de jogos, é composta de ramos e nós. 
Cada nó representa uma etapa do jogo em que um dos jogadores tem de tomar uma decisão. 
Já um ramo representa uma escolha possível para o jogador, a partir do seu nó, isto é, um 
ramo é uma ação do conjunto de ações do jogador, em um determinado nó. 
A elaboração de uma árvore de decisão deve obedecer as seguintes regras: 
• todo nó deve ser representado por, no máximo, um outro nó apenas; 
• nenhuma trajetória pode ligar um nó a ele mesmo; 
• todo nó na árvore de decisão deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial. 
ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO 
Em função dos conceitos já apresentados, temos condições de discutir as escolhas que os 
jogadores podem fazer em um jogo. A hipótese de que os jogadores são racionais, também 
deve ser levada em consideração. 
Sendo racionais, os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem 
considerando apenas a etapa em que se encontram, mas também todo o desenvolvimento do 
processo de interação até ali e suas consequências futuras. 
Como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente é exigida uma análise das 
estratégias de cada jogador. O conjunto de estratégias de cada jogador é chamado de conjunto 
de estratégias ou espaço de estratégias. 
Em jogos sequenciais os jogadores são capazes de, em algum momento, fazer suas escolhas 
conhecendo as ações dos demais em etapas anteriores. 
No exemplo da 3M, com relação ao lançamento de esponjas de lã de aço, a Bombril decide o 
que fazer após a 3M ter decidido se lança ou não a sua esponja de lã de aço. 
Nesse caso, considerando a definição de estratégia, a Bombril teria várias estratégias que 
comporiam o seu conjunto de estratégias. 
No caso da 3M, como ela decide antes da Bombril, sem nenhuma decisão anterior para 
considerar, seu espaço de estratégias coincide com o seu conjunto de ações. 
 
A diferença existente no espaço de estratégias da Bombril, quando comparado ao espaço de 
estratégias dos jogadores na forma estratégica, pode ser vista como um resultado da diferença 
nas informações da Bombril. 
A diferença nas informações da Bombril é decorrente do fato de que, enquanto os jogadores 
em jogos simultâneos decidem sem saber qual foi a decisão dos demais jogadores, no jogo 
sequencial a Bombril decide o que fazer em relação ao preço de sua esponja de lã de aço 
sabendo o que a 3M decidiu. 
Conclui-se, portanto, que ao se modelar um jogo, a opção entre um jogo simultâneo ou um 
jogo sequencial deve estar baseada nas informações de que os jogadores dispõem sobre as 
decisões dos demais. 
AULA 10 
O EQUILÍBRIO DE NASH 
O conceito de equilíbrio de Nash diz que a combinação de estratégias constitui um equilíbrio 
quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e 
isso é verdade para todos os jogadores. 
Portanto, deve-se levar em consideração que os jogadores tomam suas decisões em situações 
de interação estratégica, isto é, como se deve jogar um jogo. Precisamos determinar quais 
serão os resultados mais prováveis do jogo caso os jogadores ajam racionalmente. 
Na análise de um jogo, deve-se levar em consideração a hipótese de que os jogadores 
escolhem a estratégia que produz os melhores resultados, dados os seus objetivos. 
Para entendermos o conceito de equilíbrio de Nash, vamos utilizar o exemplo de interação 
estratégica do livro do Ronaldo Fiani (2006). A empresa Entrante, tem que decidir se entra no 
mercado brasileiro de produtos siderúrgicos, no qual a empresa nacional Dominante, já 
domina uma parcela significativa do comércio desses produtos. 
Para entendermos o conceito de equilíbrio de Nash, vamos utilizar o exemplo de interação 
estratégica do livro do Ronaldo Fiani (2006). A empresa Entrante, tem que decidir se entra no 
mercado brasileiro de produtos siderúrgicos, no qual a empresa nacional Dominante, já 
domina uma parcela significativa do comércio desses produtos. 
Para tentar responder a pergunta acima, vejamos o jogo onde os países A e B exportam 
produtos agropecuários
um para o outro. 
O EQUILÍBRIO DE NASH - DILEMA DOS PRISIONEIROS 
O dilema dos prisioneiros é provavelmente o mais clássico problema da Teoria dos Jogos, que 
foi popularizado pelo matemático Albert W. Tucker, que tem muitas aplicações no estudo da 
cooperação entre indivíduos. 
Aplicando o conceito de equilíbrio de Nash para determinar o resultado mais provável do jogo 
do Dilema dos Prisioneiros, podemos ver que a melhor resposta que qualquer um dos 
suspeitos pode adotar para a estratégia {não confessa} do outro é {confessa}. Por outro 
lado, a melhor resposta à estratégia {confessa} é, também, {confessa}, que produz 2 anos de 
cadeia, contra 4 anos no caso de {não confessa}. 
Se os suspeitos agirem racionalmente, confessarão o roubo, pois se um deles escolhesse {não 
confessa}, seria prejudicado pelo outro, que anularia sua pena confessando. 
É bom lembrar que o resultado obtido no Dilema dos Prisioneiros é derivado da condição de 
que os suspeitos não podem se comunicar. 
Um jogo é dito não cooperativo quando os jogadores não podem estabelecer compromissos. 
Se os jogadores puderam estabelecer compromissos, e esses compromissos possuem garantias 
efetivas, diz-se que o jogo é cooperativo. 
 
Fim