Micro-Chap30

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Microeconomia: Princ´ıpios Ba´sicos
Cap´ıtulo 30. Trocas
Escola de Po´s-Graduac¸a˜o em Economia 2009
Mestrado em Financ¸as e Economia Empresarial
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 1 / 48
To´picos cobertos
1 A caixa de Edgeworth
2 As trocas
3 Alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto
4 As trocas de mercado
5 A a´lgebra do equil´ıbrio
6 A lei de Walras
7 Prec¸os relativos
8 A existeˆncia de equil´ıbrio
9 Equil´ıbrio e eficieˆncia
10 A a´lgebra da eficieˆncia
11 Eficieˆncia e equil´ıbrio
12 Implicac¸o˜es do Primeiro Teorema de Bem-Estar
13 Implicac¸o˜es do Segundo Teorema de Bem-Estar
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 2 / 48
Equil´ıbrio geral
Iniciaremos nosso estudo de equil´ıbrio geral
Como as condic¸o˜es de oferta e demanda interagem em va´rios
mercados para determinar os prec¸os de muitos bens?
Limitaremos nossa ana´lise ao comportamento dos mercados
competitivos
I Tanto consumidores como produtores considerara˜o os prec¸os como
dados e otimizara˜o com base nisso
Adotaremos nossa hipo´tese simplificadora considerando apenas
dois bens e dois consumidores
Analisaremos o problema de equil´ıbrio geral com uma economia
onde as pessoas teˆm dotac¸o˜es de bens fixas
Examinaremos como trocam esses bens entre si: na˜o falaremos em
produc¸a˜o
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A caixa de Edgeworth
Chamemos as duas pessoas de a e b, e os dois bens de 1 e 2
A cesta de consumo do agente i ∈ I = {a, b} e´ representada por o
vetor xi = (xi1, x
i
2)
Um par de cestas de consumo (xa, xb) e´ chamado de alocac¸a˜o
Uma alocac¸a˜o sera´ fact´ıvel se a quantidade total de cada bem
consumido for igual ao total dispon´ıvel
xa + xb = ωa + ωb
ou para cada bem
xa1 + x
b
1 = ω
a
1 + ω
b
1 e x
a
2 + x
b
2 = ω
a
2 + ω
b
2
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 4 / 48
A caixa de Edgeworth
Uma alocac¸a˜o especial e´ a alocac¸a˜o da dotac¸a˜o incial
ω = (ωa, ωb)
Essa e´ a alocac¸a˜o com a qual os consumidores comec¸am
Ela consiste na quantidade de cada bem que os consumidores
trazem ao mercado
Eles trocara˜o entre si alguns desses bens para chegar a uma
alocac¸a˜o final
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A caixa de Edgeworth
A caixa de Edgeworth fornece uma descric¸a˜o completa das
caracter´ısticas econoˆmicas relevantes dos dois consumidores
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As trocas
O movimento particular para M mostrado na figura anterior
implica que
A pessoa a abra ma˜o de |xa1 − ωa1 | unidades do bem 1 e adquira em
troca |xa2 − ωa2 | unidades do bem 2
O consumidor b adquire |xb1 − ωb1| unidades do bem 1 e abre ma˜o
de |xb2 − ωb2| unidades do bem 2
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Alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto
Uma alocac¸a˜o fact´ıvel x = (xa, xb) e´ eficiente no sentido de
Pareto se na˜o existe movimento que melhora uma das partes sem
piorar a outra
A alocac¸a˜o fact´ıvel x e´ eficiente no sentido de Pareto se na˜o existe
uma outra alocac¸a˜o y tal que
1 A alocac¸a˜o y e´ fact´ıvel
2 Nenhum dos agentes fica pior, i.e.,
∀i ∈ I, ui(yi) > ui(xi)
3 Pelo menos um dos agentes fica melhor, i.e.,
∃j ∈ I, uj(yj) > uj(xj)
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Alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto
Uma alocac¸a˜o eficiente no sentido de Pareto pode ser descrita como
uma alocac¸a˜o em que:
Na˜o ha´ como fazer com que uma pessoa melhore sem piorar outra
Todos os ganhos com as trocas se exauriram
Na˜o ha´ trocas mutuamente vantajosas para serem efetuadas
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Alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto
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Alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto
As curvas de indiferenc¸a dos dois agentes teˆm de ser tangentes em
qualquer alocac¸a˜o eficiente no sentido de Pareto no interior da
caixa
Se as duas curvas de indiferenc¸a na˜o sa˜o tangentes numa alocac¸a˜o
no interior da caixa, enta˜o elas teˆm de se cruzar
Mas se elas se cruzarem, tera´ de haver alguma troca mutuamente
vantajosa, de modo que aquele ponto na˜o pode ser eficiente no
sentido de Pareto
E´ poss´ıvel ter alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto nos lados
da caixa
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Alocac¸o˜es eficientes no sentido de Pareto
A partir da condic¸a˜o de tangeˆncia e´ facil verificar que ha´ muitas
alocac¸o˜es eficiente no sentido de Pareto na caixa de Edgeworth
Para qualquer curva de indiferenc¸a da pessoa a, ha´ um caminho
fa´cil para encontrarmos uma alocac¸a˜o eficiente no sentido de
Pareto
Basta que nos movamos ao longo da curva de indiferenc¸a de a ate´
encontrarmos o ponto melhor para b
O conjunto de todos os pontos eficiente no sentido de Pareto e´
conhecido como conjunto de Pareto ou curva de contrato
Todos os contratos “finais” de troca teˆm de se localizar no
conjunto de Pareto
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Trocas de mercado
Tentemos descrever um processo de troca que imita o resultado de
um processo competitivo
Suponhamos que tenhamos uma terceira parte disposta a agir
como “leiloeiro” para os dois agentes a e b
O leiloeiro escolhe um prec¸o p1 para o bem 1 e um prec¸o p2 para o
bem 2, e apresenta esses prec¸os aos agentes a e b
Cada agente calcular quanto vale sua dotac¸a˜o aos prec¸os
p = (p1, p2) e decide quanto cada bem deseja comprar a esses
prec¸os
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Trocas de mercado
Se realmente houver apenas duas pessoas envolvidas na transac¸a˜o,
na˜o fara´ muito sentido para elas comportarem-se de maneira
competitiva
Elas provavelmente tentariam negociar os termos da troca
Podemos imaginar a demanda de cada agente como a me´dia das
demandas de dois tipos de consumidores, mas com va´rios
consumidores de cada tipo
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Trocas de mercado
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Trocas de mercado
A demanda bruta do agente a pelo bem 1 e´ a quantidade total
do bem 1 que ele deseja aos prec¸os vigentes
A demanda l´ıquida do agente a pelo bem 1 e´ a diferenc¸a entre
sua demanda total e a dotac¸a˜o inicial do bem 1 que o agente tem
As demandas l´ıquidas sa˜o chamadas as vezes de demandas
excedentes
ea1 = x
a
1 − ωa1
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Trocas de mercado
Para os prec¸os arbitra´rios p = (p1, p2) nada garante que a oferta se
iguale a` demanda
Em termos de demanda l´ıquida, a quantidade que a desejara´
comprar (ou vender) na˜o se igualara´ necessariamente a` quantidade
que b desejara´ vender (ou comprar)
Em termos de demanda bruta significa que a quantidade total que
ambos os agente querem ter na˜o e´ igual a` quantidade dispon´ıvel
Nesse exemplo, os agentes na˜o conseguira˜o concluir as transac¸o˜es
que desejam: os mercados na˜o sera˜o exauridos
Nesse caso, dizemos que o mercado esta´ em desequil´ıbrio
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Trocas de mercado
E´ natural supor que o leiloeiro mudara´ os prec¸os dos bens
Se houver excesso de demanda por um dos bens, o leiloeiro
aumentara´ o prec¸o desse bem
Se houver excesso de oferta de um dos bens, o leiloeiro baixara´ seu
prec¸o
Suponhamos que esse processo de ajustamento continue ate´ que a
demanda de cada um dos bens se iguale a` oferta
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Trocas de
mercado
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 19 / 48
Trocas de mercado
Dizemos que o mercado esta´ em equil´ıbrio, ou
I equil´ıbrio de mercado
I equil´ıbrio competitivo
I equil´ıbrio walrasiano1
Todos esses termos referem-se a` mesma coisa: um conjunto de
prec¸os tais que cada consumidor escolhe a cesta mais preferida
pela qual pode pagar, e todas as escolhas dos consumidores sa˜o
compat´ıveis no sentido de que a demanda se iguala a` oferta em
todos os mercados
1Le´on Walras (1834-1910)
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Trocas de mercado
Se cada agente escolher a melhor cesta que puder pagar
Enta˜o a taxa marginal de substituic¸a˜o entre dois bens tem de ser
igual a` raza˜o dos prec¸os
Como no equil´ıbrio competitivo, todos os agentes se defrontam
com os mesmos prec¸os, todos tera˜o de ter a mesma taxa marginal
de substituic¸a˜o entre os dois bens
A curva de indiferenc¸a de cada agente tangencia sua reta
orc¸amenta´ria
Como a reta orc¸amenta´ria de cada agente tem inclinac¸a˜o −p1/p2,
isso significa que as curvas de indiferenc¸a dos dois agentes teˆm de
ser tangentes uma a` outra
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 21 / 48
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 22 / 48
A a´lgebra do equil´ıbrio
Seja xi1(p) a func¸a˜o de demanda do agente i pelo bem 1 e x
i
2(p) a
func¸a˜o de demanda do agente i pelo bem 2
A demanda (xi1(p), x
i
2(p)) e´ denotada x
i(p)
Um conjunto de prec¸os p? = (p?1, p
?
2) e´ um equil´ıbrio se e somente
se ∑
i∈I
xi(p) =
∑
i∈I
ωi
ou de forma equivalente
xa1(p) + x
b
1(p) = ω
a
1 + ω
b
1 e x
a
2(p) + x
b
2(p) = ω
a
2 + ω
b
2
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A a´lgebra do equil´ıbrio
Representamos a func¸a˜o de demanda l´ıquida ou excedente do
agente i pelo bem 1 por
ei1(p) = x
i
1(p)− ωi1
e a func¸a˜o vetorial de demanda excedente por
ei(p) = (ei1(p), e
i
2(p))
Somemos as demandas l´ıquidas dos agentes pelo bem 1 e obtemos
a demanda excedente agregada pelo bem 1
z1(p) =
∑
i∈I
ei1(p)
o vetor de demanda excedente agregada e´ definido por
z(p) = (z1(p), z2(p))
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 24 / 48
A a´lgebra do equil´ıbrio
Um vetor de prec¸os p? = (p?1, p
?
2) e´ um equil´ıbrio se e somente se
z(p?) = 0
ou de forma equivalente
z1(p?1, p
?
2) = 0 e z2(p
?
1, p
?
2) = 0
Essa definic¸a˜o e´ mais forte do que o necessa´rio
Se a demanda excedente agregada do bem 1 for zero, a demanda
excedente agregada pelo bem 2 tera´ necessariamente de ser zero
Para provar isso teremos que estabelecer a lei de Walras
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A lei de Walras
A lei de Walras afirma que o valor da demanda excedente agregada
e´ ideˆntico a zero, ou seja
0 = p · z(p) = p1z1(p1, p2) + p2z2(p1, p2)
para cada prec¸o e na˜o apenas para os prec¸os de equil´ıbrio
Como as prefereˆncias sa˜o estritamente monotoˆnicas, a demanda de
cada agente i satisfaz a restric¸a˜o orc¸amenta´ria com igualdade
p · xi(p) = p · ωi ou p1xi1(p) + p2xi2(p) = p1ω1 + p2ω2
Isso implica que o valor da demanda l´ıquida do agente i e´ zero
Somando para cada agente, temos
p · z(p) = 0
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 26 / 48
A lei de Walras
Se a demanda se igualar a` oferta num mercado (com prec¸os
positivos), ela tera´ de igualar-se a` oferta no outro mercado
Isso somente e´ valido com dois bens
Seja p̂ um vetor de prec¸os tal que a demanda excedente agregada
do bem 1 e´ zero;
z1(p̂) = 0
Como a lei de Walras vale para todos os prec¸os, em particular, ela
vale para p̂
p̂1 · z1(p̂1, p̂2) + p̂2 · z2(p̂1, p̂2) = 0
Se p̂2 > 0 teremos enta˜o de ter
z2(p̂) = 0
implicando que p̂ e´ um prec¸o de equil´ıbrio
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 27 / 48
Prec¸os relativos
A lei de Walras implica que haja somente k − 1 equac¸o˜es
independentes num modelo de equil´ıbrio geral de k bens
I Se a demanda se igualar a` oferta em k − 1 mercados, ela tera´ de se
igualar a` oferta no ultimo mercado
Mas se houver k bens, havera´ k prec¸os com apenas k− 1 equac¸o˜es?
So´ ha´ realmente k − 1 prec¸os relevantes
Se encontrarmos um prec¸o de equil´ıbrio p? = (p?1, p
?
2), enta˜o
tp? = (tp?1, tp
?
2) sera´ tambe´m um prec¸o de equil´ıbrio para qualquer
t > 0 e com as mesmas demandas
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 28 / 48
Prec¸os relativos
Isso significa que podemos escolher uma normalizac¸a˜o dos prec¸os
Em geral conve´m igualar o prec¸o de um dos bens a 1, de modo que
todos demais prec¸os possam ser interpretados como medidos em
relac¸a˜o a ele
O bem escolhido e´ chamado de numera´rio
Se escolhermos o primeiro bem como numera´rio, sera´ como
multiplicar todos os prec¸os pela constante t = 1/p1
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 29 / 48
Um exemplo alge´brico de equil´ıbrio
Escolhemos I = {a, b} onde a, b ∈ (0, 1)
A func¸a˜o de utilidade do agente i e´ a Cobb–Douglas
ui(x) = (x1)i × (x2)1−i
Vimos que as func¸o˜es de demanda associadas sa˜o
xi1(p,m
i) = i
mi
p1
e xi2(p,m
i) = (1− i)m
i
p2
Sabemos que a renda moneta´ria de cada pessoa e´ dada por o valor
de sua dotac¸a˜o
mi = p · ωi = p1ωi1 + p2ωi2
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 30 / 48
Um exemplo alge´brico de equil´ıbrio
As demandas excedentes para os dois bens sa˜o
z1(p) = a
p1ω
a
1 + p2ω
a
2
p1
+ b
p1ω
b
1 + p2ω
b
2
p1
− ωa1 − ωb1
e
z2(p) = (1− a)p1ω
a
1 + p2ω
a
2
p2
+ (1− b)p1ω
b
1 + p2ω
b
2
p2
− ωa2 − ωb2
Podemos verificar que essas func¸o˜es de demanda satisfazem a lei
de Walras
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 31 / 48
Um exemplo alge´brico de equil´ıbrio
Escolhamos o bem 2 como numera´rio, de modo que
z1(p1, 1) = a
p1ω
a
1 + ω
a
2
p1
+ b
p1ω
b
1 + ω
b
2
p1
− ωa1 − ωb1
e
z2(p1, 1) = (1− a)[p1ωa1 + p2ωa2 ] + (1− b)[p1ωb1 + p2ωb2]− ωa2 − ωb2
Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, igualamos essas duas
equac¸o˜es a zero e resolvemos para p1
O prec¸o de equil´ıbrio vem a ser
p?1 =
aωa2 + bω
b
2
(1− a)ωa1 + (1− b)ωb1
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 32 / 48
A existeˆncia de equil´ıbrio
Dados os primitivos do modelo econoˆmico: dotac¸o˜es iniciais,
prefereˆncias; como sabemos se existe algum conjunto de prec¸os em
que a demanda e a oferta se igualem em todos os mercados?
A resposta a essa pergunta e´ importante porque serve como
“verificac¸a˜o da consisteˆncia” do modelo
Uma condic¸a˜o importante para provar existeˆncia e´: a func¸a˜o de
demanda excedente agregada e´ uma func¸a˜o cont´ınua
Duas condic¸o˜es garantem essa continuidade: prefereˆncias continuas
e convexas
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 33 / 48
Equil´ıbrio e eficieˆncia
Theorem (Primeiro Teorema de Bem-Estar)
Todos os equil´ıbrios competitivos sa˜o eficientes no sentido de Pareto
Um mercado competitivo ira´ esgotar todos os ganhos de trocas
O Primeiro Teorema de Bem-Estar na˜o diz nada sobre distribuic¸a˜o
dos benef´ıcios econoˆmicos
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 34 / 48
Monopo´lio na caixa de Edgeworth
Suponhamos que agora na˜o haja leiloeiro, e que, no lugar dele, o
agente a fixara´ os prec¸os para o agente b
O agente b decidira´ o quanto deseja trocar aos prec¸os fixados
Suponhamos ainda que a conhec¸a a “curva de demanda” de b e
tente escolher o conjunto de prec¸os capaz de fazer com que a fique
ta˜o bem quanto
poss´ıvel, dado o comportamento da demanda de b
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 35 / 48
Monopo´lio na caixa de Edgeworth
A curva prec¸o-consumo de b representa as cestas que ele ira´
comprar aos diferentes prec¸os
O ponto onde a reta orc¸amenta´ria interceptar a curva
prec¸o-consumo representara´ o consumo o´timo de b
Assim, o agente a deve procurar o ponto na curva prec¸o-consumo
de b onde a tem a utilidade mais alta
Essa escolha o´tima caracterizar-se-a´ por a condic¸a˜o de tangeˆncia: a
curva de indiferenc¸a de a tangenciara´ a curva prec¸o-consumo de b
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 36 / 48
Monopo´lio na caixa de Edgeworth
A alocac¸a˜o de monopo´lio pode ser ineficiente no sentido de Pareto
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 37 / 48
Monopo´lio na caixa de Edgeworth
Suponhamos que a seja um monopolista discriminador podendo
vender cada unidade de um bem diferente
Comecemos na dotac¸a˜o inicial ω, e imaginemos que a venda a
primeira unidade do bem 1 a b ao prec¸o ao qual b e´ indiferente
entre comprar ou na˜o
Assim, depois que a vender a primeira unidade, b permanecera´ na
mesma curva de indiferenc¸a que passa por ω
O agente a, enta˜o, vende a segunda unidade do bem 1 para b pelo
prec¸o ma´ximo que ele estara´ propensa a pagar
A alocac¸a˜o se move mais para a esquerda, mas permanece na
curva de indiferenc¸a de b que passa por ω
O agente a continua vendendo unidades do bem 1 para o agente b
ate´ alcanc¸ar o ponto preferido de a
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 38 / 48
Monopo´lio na caixa de Edgeworth
A alocac¸a˜o do monopolista perfeitamente discriminador e´ eficiente
no sentido de Pareto
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 39 / 48
Eficieˆncia e Equil´ıbrio
O Primeiro Teorema de Bem-Estar diz que o equil´ıbrio
competitivo e´ eficiente no sentido de Pareto
E o contra´rio?
Dada uma alocac¸a˜o eficiente no sentido de Pareto, podemos
encontrar prec¸os que fac¸am essa alocac¸a˜o constituir um equil´ıbrio
de mercado?
A resposta e´ (quase) sim, sob certas condic¸o˜es
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 40 / 48
Eficieˆncia e Equil´ıbrio
Prefereˆncias convexas
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 41 / 48
Eficieˆncia e Equil´ıbrio
Prefereˆncias na˜o-convexas
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 42 / 48
Eficieˆncia e Equil´ıbrio
Theorem (Segundo Teorema de Bem-Estar)
Se todos os agentes tiverem prefereˆncias convexas, para cada alocac¸a˜o
eficiente no sentido de Pareto, havera´ sempre um conjunto de prec¸os
tal que essa alocac¸a˜o seja um equil´ıbrio de mercado para uma
distribuic¸a˜o apropriada de dotac¸o˜es
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 43 / 48
Primeiro Teorema de Bem-Estar
Esse teorema na˜o e´ mais valido se um agente se importa com o
consumo do outro: externalidade no consumo
O Primeiro Teorema de Bem-Estar constitui um resultado muito
forte: um mercado privado em que cada agente procura maximizar
a sua utilidade, resultara´ numa alocac¸a˜o capaz de alcanc¸ar a
eficieˆncia de Pareto
I O mercado competitivo e´ um mecanismo que assegura a obtenc¸a˜o
de resultados eficientes
I Isso na˜o e´ relevante se houver apenas duas pessoas envolvidas: elas
podem se juntare e examinar as possibilidades de trocas mu´tuas
I Se houver milhares, ou milho˜es de pessoas, tera´ de haver algum tipo
de estrutura imposta no processo de troca
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 44 / 48
Informac¸a˜o
O uso do mecanismo competitivo economiza a quantidade de
informac¸o˜es que qualquer agente precisa saber
As u´nicas coisas que o consumidor precisa saber para tomar suas
deciso˜es de consumo sa˜o os prec¸os dos bens que ele pretende
consumir
Os consumidores na˜o precisam conhecer nada sobre
I como os bens sa˜o produzidos
I quem tem que tipos de bem
I de onde veˆm os bens num mercado competitivo
O fato de que o mecanismo competitivo reduz a necessidade de
informac¸a˜o constitui um forte argumento a favor do seu uso como
meio de alocar recursos
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 45 / 48
Apeˆndice
Proposition
Uma alocac¸a˜o e´ eficiente no sentido de Pareto se e somente se, para
cada agente, essa alocac¸a˜o terna esse agente ta˜o bem quanto poss´ıvel,
dada a utilidade dos outros agentes
Uma alocac¸a˜o fact´ıvel (xi)i∈I e´ eficiente no sentido de Pareto se e
somente se temos
xa ∈ argmax{ua(xa) : xa + xb 6 ωa + ωb e ub(xb) > ub}
onde
ub = ub(xb)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 46 / 48
Apeˆndice
Podemos escrever a Lagrangiana desse problema
L(xa, xb) = ua(xa) + λ(ub(xb)− ub)
−µ1(xa1 + xb1 − ωa1 − ωb1)
−µ2(xa2 + xb2 − ωa2 − ωb2)
λ > 0 e´ o multiplicador Lagrangiano da restric¸a˜o de utilidade
µ` > 0 e´ o multiplicador de Lagrange da restric¸a˜o de factibilidade
do bem `
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 47 / 48
Apeˆndice
A soluc¸a˜o x do problema de maximizac¸a˜o verifica
∂L
∂xa`
(xa, xb) = 0 e
∂L
∂xb`
(xa, xb) = 0
com as condic¸o˜es
λ(ub(xb)− ub) = 0 e µ`(xa` + xb1`− ωa` − ωb1`)
Obtemos enta˜o
TMSi(xa) =
∂ui
∂xi1
(xa)
∂ui
∂xi2
(xa)
=
µ1
µ2
Numa alocac¸a˜o eficiente de Pareto, as taxas marginais de
substituic¸a˜o entre dois bens teˆm de ser as mesmas
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Novembro, 2009 48 / 48
	Main Talk