LISTA 4 sol

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> #LISTA 4 
> with(linalg): 
> # PRIMEIRA QUESTÃO 
> a:=evalm(matrix(5,5,1)+ 4); 
 
> #veja que os autovalores da matriz 5x5 de [1] são 
0,0,0,0,5, logo os autovalres de 'a' são 4,4,4,4,9. Se você 
não acredita pergunte ao maple 
> eigenvals(a); 
 
> #como a matriz é simétrica, ela é diagonalizável, então só 
usaremos os autovalores 4 e 9. Queremos encontrar a^1/2. 
Podemos escolher 2 e 3, ou 2 e -3, ou -2 e -3, ou -2 e 3. 
Usando o primeiro caso: 
> interp([4,9],[2,3],lambda); 
 
> B1:=evalm(1/5*a+6/5); 
 
> interp([4,9],[-2,3],lambda); 
 
> B2:=evalm(a-6); 
 
> interp([4,9],[2,-3],lambda); 
 
> B3:=evalm(-a+6); 
 
> evalm(B1^2-a);evalm(B2^2-a);evalm(B3^2-a); # esta conta é 
para verificar... 
 
 
 
> #SEGUNDA QUESTÃO 
> # queremos f(a)=ln(a), portanto a matriz a não pode ter 
autovalores negativos. 
> a2:=matrix(2,2,[8,2,1,9]); 
 
> det(a2-lambda); 
 
> #logo autovalores 10 e 7, ok esta tem. 
 
> b2:=matrix(3,3,[1.,3,7,5,-2,13,11,17,1]); 
 
> # este é meio chato,não? Mas se o traço é zero, ou todos os 
autovalores são zero(?!?), ou tem algum autovalor 
negativo.....Vamos fazer o determinante? Se for diferente de 
zero, já era... 
> -2-(13*17)-3*(5-11*13)+7*(5*17+2*11); 
 
> #não acreditou na minha conta? :(( 
> det(b2); 
 
> #pronto esta não dá! 
Vamos para a última: 
> c2:=matrix(2,2,[1,1,0,1]); # Opa, esta é triangular, logo 
os autovalores são 1 e 1 e tudo bem!. 
 
> #TERCEIRA QUESTÃO 
> a3:=matrix(5,5,[1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-
1,1,-1,1,-1,1,-1,1]); 
 
> rref(a3); 
 
> #pronto, temos 4 autovalores 0 e um 5. Calculando a3^11; 
> interp([0,5],[0,5^11],lambda); 
 
> evalm(9765625*a3); 
 
> evalm(9765625*a3-a3^11); #Conferindo com o maple 
 
> #QUARTA QUESTÃO 
> 
a4:=matrix(6,6,[2,0,0,1,1,1,2,3,0,1,1,1,2,3,5,1,1,1,0,0,0,7,0
,0,0,0,0,7,11,0,0,0,0,7,11,13]); 
 
> #Observe o bloco de zeros, sobram duas matriz triangulares, 
logo os autovalores são 2,3,5,7,11 e 13. Pergunta para o 
maple.. 
> eigenvals(a4); 
 
> 
a5:=matrix(6,6,[5,0,0,0,0,3,0,5,0,0,3,0,0,0,5,3,0,0,0,0,3,5,0
,0,0,3,0,0,5,0,3,0,0,0,0,5]); 
 
> 
b5:=matrix(6,6,[0,0,0,0,0,3,0,0,0,0,3,0,0,0,0,3,0,0,0,0,3,0,0
,0,0,3,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0]); 
> 
 
> evalm(b5+5); 
 
> evalm(b5^2); #Para calcular os autovalores de b5 
 
> #logo os autovalores de b5 são +3 e -3, ambos com 
multiplicidade 3; Logo os de a5 são: 8 e 2 com multiplicidade 
3; 
> eigenvals(a5);