Análise Estatística - Probabilidade

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Análise Estatística – Prof. André Breve 
 
Probabilidade 
 
- Introdução 
 - A palavra probabilidade deriva do latim probare (provar ou testar). 
- Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para 
eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas 
palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, 
dependendo do contexto 
- A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora 
e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios 
(Dante, 2010). 
- A teoria das probabilidades tenta quantificar a noção de provável. 
- Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da 
Matemática, o seu uso na Estatística se justifica pelo fato de a maioria 
dos fenômenos estatísticos são de natureza aleatória ou probabilística. 
- O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de 
probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da 
Estatística Indutiva ou Inferencial. 
 
- Experimento aleatório 
- Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos 
muitas vezes sob condições idênticas, não apresentam os mesmos 
resultados. 
 - Exemplos: 
- No lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é 
imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. 
Não sabemos se sairá cara ou coroa em cada lançamento; 
 - Lançamento de um dado “não viciado”; 
 - Resultado de um jogo de roleta; 
 - Número de pessoas que ganharão na loteria; 
 - Qual time sairá vencedor da partida. 
- Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório 
é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades 
de determinado resultado ocorrer. 
- Definição: Experimentos ou Fenômenos Aleatórios são aqueles que, 
mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam 
resultados imprevisíveis. 
- Espaço Amostral 
- Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por 
todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral ou conjunto 
universo e é representado por S. 
- O espaço amostral depende do experimento. 
- A cada evento correspondem, em geral, vários resultados possíveis, 
como os exemplos seguintes: 
- Ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer 
cara ou ocorrer coroa, ou seja, o espaço amostral é S = {cara, 
coroa} 
- Ao efetuarmos dois lançamentos sucessivos de uma moeda, 
podemos obter cara e cara, coroa e coroa, cara e coroa ou coroa 
e cara, logo S = {(Ca, Ca), (Co, Co), (Ca, Co), (Co, Ca)} 
- Ao lançarmos um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
- Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe 
o nome de ponto amostral. Assim: 2 ϵ S => 2 é um ponto amostral de S. 
- Eventos 
- Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de 
um experimento aleatório. 
- Assim, qualquer que seja o evento E: 
- Se E ϲ S (E está contido em S), então E é um evento de S; 
- Se E = S, E é chamado evento certo pois coincide com o espaço 
amostral; 
- Se E ϲ S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento 
elementar. 
- Se E = ᴓ, E é chamado evento impossível, pois é vazio. 
Exemplos: 
- No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos: 
Evento A. Obter um número par na face superior: A = {2, 4, 6} 
Evento B. Obter um nº menor ou igual a 6 na face superior: 
 B={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento C: Obter o número 1 na face superior: C = {1} 
Evento D: Obter um número maior que 6 na face superior: D = ᴓ. 
- No lançamento de uma moeda, vamos determinar o espaço 
amostral e o evento “sair cara”. 
 S = {Cara, Coroa}; Evento A = {Cara} 
- Probabilidade 
- Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, 
vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de 
acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável. 
- Chamamos de probabilidade de um evento A (A ϲ S) o número real 
P(A), tal que: 
 P(A) = n(A) 
 n(S) 
 
 Onde: n(A) é número de elementos de A 
 n(S) é o número de elementos de S 
 ou 
 
 P(A) = número de resultados favoráveis 
 número total de resultados possíveis 
 
 
Exemplos: 
1) Qual é a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma 
moeda? 
 S = {Ca, Co} => n(S) = 2 
 A = {Ca} => n(A) = 1 
 Logo: P(A) = n(A)/n(S) => P(A) = 1/2 => P(A) = 0,5 
R: Ao lançarmos uma moeda equilibrada, a chance de sair cara 
na face superior é de 50% 
2) 
 
- Conclusão: 
- A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1 
- A probabilidade do evento impossível é zero: P(ᴓ) = 0 
- A probabilidade de um evento E qualquer (E ϲ S) é tal que: 
 0 ≤ P(E) ≤ 1 
- Eventos Complementares 
- Sabendo-se que um evento pode ocorrer ou não, sendo p a 
probabilidade que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele 
não ocorra (insucesso): 
 p + q = 1 => p = 1 - q 
- Logo, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a 
probabilidade de que ele não ocorra é: 
 q = 1 - 1/5 => q = 4/5 
Ex: Qual é a probabilidade de não tirar o número 4 no lançamento de um 
dado? 
 Probabilidade de tirar o 4: p = 1/6 
 Probabilidade de não tirar o 4: q = 1 - 1/6 => q = 5/6 
- Eventos Independentes 
- Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou 
não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da 
realização do outro e vice-versa. 
Ex: Ao lançarmos dois dados, o resultado obtido em um dos 
lançamentos não interfere no resultado do outro, ou seja, são 
independentes. 
- Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se 
realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de 
realização dos dois eventos. 
- Seja p1a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a 
probabilidade de realização do segundo evento, a Probabilidade de 
realização dos eventos simultaneamente é: 
 p = p1 x p2 
- Ex: No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de obtermos, 
simultaneamente, 1 no primeiro lançamento e 5 no segundo? 
 p1 = 1/6 p2 = 1/6 
 p = 1/6 x 1/6 => p = 1/36 
- Eventos mutuamente exclusivos 
- Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização 
de um exclui a realização do(s) outro(s). 
Ex: No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar 
coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o 
outro não se realiza. 
- Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que 
um OU outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada 
um deles se realize. 
 p = p1 + p2 
Ex: Qual é a probabilidade de se tirar 3 ou 5 no lançamento de um 
dado? 
 p = 1/6 + 1/6 => p = 2/6 => p = 1/3