ANEXO B_2008_REV

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Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.1 
$1(;2�%�±�352*5$0$d­2�1­2�/,1($5� �������������������������������������������������������������
B.1 – INTRODUÇÃO: ................................................................................................................2 
B.2 – CONTINUIDADE E DERIVAÇÃO:..................................................................................3 
%�����±�)XQomR�&RQWtQXD�D�XPD�9DULiYHO� ����������������������������������������������������������������������������������
%�����±�)XQomR�&RQWtQXD�D�Q�9DULiYHLV� �������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�'HULYDGD� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�'HULYDGD�3DUFLDO�GH�)XQo}HV�D�Q�9DULiYHLV� �������������������������������������������������������������������
%�����±�'HULYDGD�6HJXQGD�GH�)XQomR�D�XPD�9DULiYHO� ���������������������������������������������������������������
%�����±�'HULYDGD�6HJXQGD�3DUFLDO�GH�)XQo}HV�D�Q�9DULiYHLV�í�R�+HVVLDQR ��������������������������������
%�����±�,QWHUSUHWDomR�*UiILFD�GD�'HULYDGD���������������������������������������������������������������������������������
%�����±�'LIHUHQFLDO�7RWDO� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������
B.3 – FUNÇÕES COMPOSTAS E IMPLÍCITAS:.................................................................................7 
%�����±�)XQo}HV�&RPSRVWDV�±�5HJUD�GD�&DGHLD��������������������������������������������������������������������������
%�����±�)XQo}HV�,PSOtFLWDV����������������������������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�0XGDQoD�GH�9DULiYHLV� ���������������������������������������������������������������������������������������������������
B.4 – FÓRMULA DE TAYLOR: ......................................................................................................10 
%�����±�)yUPXOD�GH�7D\ORU��&DVR�GH���9DULiYHO �������������������������������������������������������������������������
%�����±�)yUPXOD�GH�7D\ORU��&DVR�GH�Q�9DULiYHLV������������������������������������������������������������������������
B.5 – MÁXIMOS E MÍNIMOS: .......................................................................................................13 
%�����±�0i[LPR�H�0tQLPR�SDUD�)XQo}HV�GH���9DULiYHO� �������������������������������������������������������������
%�����±�0i[LPR�H�0tQLPR�SDUD�)XQo}HV�GH�Q�9DULiYHLV� �����������������������������������������������������������
B.6 – CONVEXIDADE DE FUNÇÕES: ..................................................................................16 
B.7 – OTIMIZAÇÃO CLÁSSICA COM RESTRIÇÕES DE IGUALDADE: ...........................17 
%�����±�0XOWLSOLFDGRUHV�GH�/DJUDQJH� ����������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�&RQGLo}HV�GH�2WLPDOLGDGH� ��������������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�*HQHUDOL]DomR�GRV�0XOWLSOLFDGRUHV�GH�/DJUDQJH� ����������������������������������������������������������
B.8 – OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE: .......................................23 
%�����±�5HVWULomR�GH�1mR�1HJDWLYLGDGH�GDV�9DULiYHLV����������������������������������������������������������������
%�����±�5HVWULomR�GH�'HVLJXDOGDGH� �������������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�2WLPL]DomR�FRP�5HVWULo}HV�D�Q�9DULiYHLV�±�7HRUHPD�GH�.XKQ±7XFNHU� �������������������������
%�����±�*HQHUDOL]DomR� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
%�����±�$V�&RQGLo}HV�6XILFLHQWHV� ����������������������������������������������������������������������������������������������
B.9 –PROBLEMAS PROPOSTOS:........................................................................................29 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.2 
$QH[R�%�±�352*5$0$d­2�1­2�/,1($5��
%���±�,1752'8d­2��
 A Programação não-Linear (PNL) constitui o caso mais geral da Programação Linear (PL), 
porém muito mais complexa, pois a não-linearidade estabelece um universo infinito de funções de 
distintas formas. Genericamente, chama-se de Programação Matemática (PM) modelos de 
programação, sejam lineares ou não-lineares, que buscam determinar as Q componentes de um vetor 
[, argumento de uma função I([) qualquer, eventualmente sujeita a diversos tipos de restrições 
reunidas em funções do mesmo vetor [. Esse vetor procurado é denominado de solução do modelo 
ou de ponto ótimo. A PM apresenta-se da seguinte forma: 
(PM) Max (Min) I([) 
 s.a. Hi ([) = �, i ∈ I 
 Gj ([) ”��, j ∈ J 
 [ vetor com Q componentes 
onde I([), Hi ([) e Gj ([) são funções quaisquer. 
 A classificação dos modelos de PNL depende de três fatores: 
1) O número de variáveis, que origina funções univariadas ou multivariadas. Cabe notar que, no 
contexto da PNL, as funções a uma única variável têm notável relevância; 
2) Modelos com restrições ou sem restrições; e 
3) Métodos de solução diretos ou indiretos. 
Os métodos diretos chegam ao ótimo por meio de avaliações sucessivas e se tornaram 
populares com o advento dos computadores. As metodologias desenvolvidas costumam ser 
denominadas de métodos de busca. As presentes notas não vão descrever tais métodos, mas deverão 
contribuir com a base teórica necessária ao seu eventual estudo. 
 Os métodos indiretos procuram identificar os pontos de ótimo mediante as condições que 
tais pontos devem satisfazer. Essas metodologias estão associadas ao que tradicionalmente se 
denomina de métodos clássicos, desenvolvidos pelos grandes matemáticos do passado, em 
particular aqueles que se destacaram nos séculos XVIII a XX. Essas condições de otimalidade são 
de dois tipos: 
Condições Necessárias – são condições satisfeitas pelos pontos de ótimo e, eventualmente, 
também por outros pontos não-ótimos; 
Condições Suficientes – são condições satisfeitas unicamente pelos pontos de ótimo. 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.3 
 Em síntese, este Anexo B faz uma revisão dos conceitos básicos da matemática clássica, 
usando-os na identificação das condições necessárias e suficientes de otimização de funções 
univariadas e, igualmente, das multivariadas. Inicialmente, é examinada a otimização de funções 
univariadas com restrições tanto de igualdade como de desigualdade, com introdução aos 
multiplicadores de Lagrange. A seguir, passa-se ao exame das funções multivariadas com 
restrições, concluindo-se com as condições de otimalidade de Kuhn-Tucker. 
 
%���±�&217,18,'$'(�(�'(5,9$d­2��
%�����±�)XQomR�&RQWtQXD�D�XPD�9DULiYHO��
 Uma função ( )[I , a uma variável, é contínua no ponto 0[ , se para todo 0>ε , 
arbitrariamente pequeno, existir um 0>δ tal que para todo δ<K , 
ε≤−+ )()( 00 [IK[I 
%�����±�)XQomR�&RQWtQXD�D�Q�9DULiYHLV��
Para uma função ( )[I , a Q variáveis, ( )�[[[ ,,, 21 �=[ , é contínua no ponto 0[ , 
( )002010 ,,, �[[[ �=[ se, para todo 0>ε , arbitrariamente pequeno, existir um 0>δ tal que 
para todo K, δ<K : 
ε≤−+ )()( 00 [IK[I
 
onde: ( )�KKKK ,,, 21 �= 
 ( )�δδδδ ,,, 21 �= 
%�����±�'HULYDGD��
 Para uma função ( )[I , a uma variável, o limite 
K
[IK[I
�
)()(lim
00
0
−+
→
 
se existir, é a derivada da função ( )[I no ponto 0[ e representada por ( ) )( ou ),( 0)1(00’ [[[ IG[
GII
 
%�����±�'HULYDGD�3DUFLDO�GH�)XQo}HV�D�Q�9DULiYHLV��
 Para a função ( )[I , a Q variáveis, ( )�[[[ ,,, 21 �=[ , o limite 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.4 
K
[I[K[[[I ��
�
)(),,,,,(
lim
0000
2
0
1
0
−+
→
��
 
se existir, é a GHULYDGD�SDUFLDO�da função ( )[I no ponto 0[ , ( )002010 ,,, 	[[[ �=[ , em relação 
à
variável 
[ e representada por . , , ,)(
0
HWFII[
I
[
[I
�
�
��
∂
∂
∂
∂
, de acordo com a conveniência. 
 O conjunto de Q GHULYDGDV�SDUFLDLV�produz o vetor gradiente: 




∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
�[
I
[
I
[
II ,,,)(
21
�[ 
que pode ser avaliado em cada ponto em que a função ( )[I é contínua em relação a todas as suas 
variáveis. 
%�����±�'HULYDGD�6HJXQGD�GH�)XQomR�D�XPD�9DULiYHO��
 Caso a variável primeira exista, pode-se reaplicar a definição anterior sobre a função I¶�[��e 
obter a derivada segunda no ponto [o, representada por: 
( )
 )( ou ),( 0)2(2
02
0’’ [[[ I[
II
∂
∂
 
%�����±�'HULYDGD�6HJXQGD�3DUFLDO�GH�)XQo}HV�D�Q�9DULiYHLV�í�R�+HVVLDQR�
 As derivadas segundas parciais, definidas acima, podem ser reunidas numa matriz quadrada 
denominada Hessiano. 












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
12
2
1
2
21
2
2
1
2
���
�
�
[
I
[[
I
[[
I
[[
I
[
I
[[
I
[[
I
[[
I
[
I
+
�
����
�
�
 
 Quando ( ) 2&[I ∈ , ou seja, quando a derivada segunda existe e é contínua, 
���� [[
I
[[
I
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
 , para todo L, M. Nesse caso, o Hessiano é uma matriz simétrica. 
([HPSOR�%��: Seja 2323212131 232)( [[[[[[[[I +−+= 
 
)4 ,3 ,36()( 323212311232221 [[[[[[[[[[[[I +−−−+=∇ 
 








+−−−
−−
−−
=
4222
203
2312
313132
31
2
3
32
2
31
[[[[[[
[[[
[[[[
+ 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.5 
%�����±�,QWHUSUHWDomR�*UiILFD�GD�'HULYDGD��
9 &DVR�GH���YDULiYHO: ( )[I\ = 
Inclinação da curva no ponto ) ,( 00 \[ ( ) ( )[
[I[[I
[
\
�� ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
00
00
limlim 
Em pontos de continuidade, a derivada é a inclinação da reta tangente no ponto. 
 
9 Caso de tangentes múltiplas: 
Nesse caso tem-se uma tangente à direita e outra à esquerda do ponto. Essa situação caracteriza 
um ponto de descontinuidade. 
9 &DVR�GH���YDULiYHLV: ( )21, [[I] = 
Esses casos envolvem 3 dimensões e as figuras representam projeções no plano das duas 
variáveis independentes (são as curvas de nível). O vetor gradiente é sempre uma normal à curva de 
nível projetada e aponta na direção de crescimento máximo. 
%�����±�'LIHUHQFLDO�7RWDO��
9 &DVR�GH���YDULiYHO: 
A diferencial total d\ de uma função ( )[I a uma variável, no ponto 0[ é definido por: 
( ) [[I\ d ’d 0= 
Na forma de incremento [∆ na variável, a partir do ponto 0[ , o incremento da função é: 
( ) [[I\ ∆=∆ ’ 0 
([HPSOR�%��: Seja 2[\ = no ponto 20 =[ e o acréscimo 01,0=∆[ 
 O valor da função no ponto 0[ é: ( ) 4220 ==[I 
 O valor da função no ponto ( )[[ ∆+0 é: ( ) 0401,4)01,2( 20 ==∆+ [[I 
 Sua derivada é: ( ) [[I 2’ = 
Substituindo no ponto 0[ : ( ) 4)2(2’ 2 ==[I 
 usando a expressão da diferencial, como uma aproximação tem-se: 
( ) 04,001,0*42’ 0 ==∆=∆=∆ [[[[I\ 
( ) 04,404,040 =+=∆+ \[I 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.6 
 
9 &DVR�GH�Q�YDULiYHLV: 
Neste caso, a diferencial total d\ de uma função ( )[I\ = no ponto ( )002010 ,,, �[[[[ �= 
é definida por: 
�
�
G[[
[IG[[
[IG[[
[IG\
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
)()()( 0
2
2
0
1
1
0
� ou: 
Na forma de um vetor de incremento ( )�[[[[ ∆∆∆=∆ ,,, 21 � , a partir de 0[ , o incremento 
da função é: 
�
�
[[
[I[[
[I[[
[I\ ∆
∂
∂
++∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
)()()( 0
2
2
0
1
1
0
�
 
 
([HPSOR�%��: 
 Dois lados de um terreno triangular medem [ = 100m e \ = 125m e o ângulo entre eles é 
060=α . Se o possível erro de medida é de 0,2 m e um grau na medida do ângulo, pede-se o erro 
aproximado no cálculo da área do triângulo. 
Solução: 
 
 
 
 Sabe-se que: 
�
603 ==
piα 
 Erros: 2,0=G[ , 2,0=GK e 1801
0 piα ==G 
 2
360sen =
�
 e 2160cos =
�
 
αα sensen [K[
K
=⇒=
 Área = A = ½ \ K = ½ [� αsen \ 
dA = ½ ) cos sen sen ( αααα G[\G\[G[\ ++ 
dA = ½ ( ) 2180212323 0,74**125*100)2,0(100)2,0(125 P=++ pi 
A = ½ \� αsen[ = ½*100*125* 23 =5.412,6 
Logo, o erro relativo é: %36,101367,0
6,5412
0,74
===$
G$
 
 
α�
[�
\�
K�
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.7 
%���±�)XQo}HV�&RPSRVWDV�H�,PSOtFLWDV��
%�����±�)XQo}HV�&RPSRVWDV�±�5HJUD�GD�&DGHLD��
9 &DVR�GH���YDULiYHO 
Seja a função ( )[I\ = diferenciável no ponto �[ e seja x uma função de t, sendo )(W[[ = 
contínua: 
( ) ( )
[
[I[[I
[
\[I ffff
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
00
00
0 limlim)(’ 
 Lembrando a noção de limite: 
ε+=
∆
∆ )(’ 0[I[
\
 onde 0lim
0
=
→∆
ε
fi
 
 Então: 
 [[[I\ ∆+∆=∆ ε)(’ 0 
 Como )(W[[ = é contínua, seu incremento [∆ tende a zero quando 0→∆W e conclui-se que 
0→ε quando 0→∆W ; dividindo-se por W∆ : 
W
\
W
[[IW
\
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
ε)(’ 0 
 passando ao 
0
lim
→∆
: GW
G[
G[
G\
GW
G\
GW
G[[IGW
G\
== ou )(’ 0 
 
9 Caso de Q variáveis 
Seja a função ( )fl[[[IX ,,, 21 �= a Q�variáveis, na qual cada variável ffi[ é uma função 
diferenciável ( ) LW[[ �� , ∀= , especificada em algum intervalo 21 WWW ≤≤ . Segue-se que: 
GW
G[
[
X
GW
G[
[
X
GW
G[
[
X
GW
GX 
 
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= �
2
2
1
1
 
�
([HPSOR�%��: 
 Seja a seguinte função de produção Q, dependendo do capital K e do trabalho L: 
 Q = Q(K, L) = 25KL – K2 –2L2 
Cabe notar que: 



−==
∂
∂
−==
∂
∂
//4/
4
./4.
4
!
"
425
225
 
Suponha que ambas variáveis sejam função do tempo W, de acordo com: 
 K = K(t) = 0,3t ⇒ L = L(t) = 0,2t 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.8 
Então, a evolução da produção em função do tempo é dada pela expressão:: 
 
dt
dLQ
dt
dKQ
dt
dQ
LK += = (25L-2K)0,3 + (25K-4L)0,2 = 4,4K + 6,7L = 2,66t 
 
%�����±�)XQo}HV�,PSOtFLWDV��
9 &DVR�GH���YDULiYHO: 
Seja 0),( =\[I (B.1) 
 Suponha que essa equação seja satisfeita pelo par ( )00 , \[ , de forma que ( ) 0, 00 =\[I . 
Suponha que em algum intervalo ao redor de 0[[ = a equação implícita defina uma função unívoca 
( )[\ ψ= com derivadas no ponto 0[[ = e que as derivadas parciais \
I
[
I
∂
∂
∂
∂
 e sejam contínuas com 
0≠
∂
∂
\
I
. 
 A derivada de ( )[\ ψ= no ponto pode ser calculada sem explicitar esta equação ( )[ψ . Para 
isso, basta supor 
),( \[IX = e ( )[\ ψ= 
 Por hipótese, ( )[\ ψ= satisfaz (B.1) em algum intervalo ao redor de 0[[ = e portanto 
0≡X nesse intervalo. Lembrando que 0≡X e aplicando a regra de cadeia, tem-se: 
G[
G\
\
I
[
I
∂
∂
+
∂
∂
= 0 
 Para achar [
\
∂
∂
 basta fazer: 
#
$
%
$
G[
G\
∂
∂
∂
∂
−= (B.2) 
([HPSOR�%��: Seja a função 0),( 23 =+= \[\[I . 
 Usando a expressão (B.2) tem-se: \
[
[
\
2
3 2
−=
∂
∂
 
 No ponto 8 e 20 =−= \[ 2
2
3
−=
∂
∂
[
\
 
9 &DVR�GH�Q�YDULiYHLV: 
9 Seja ( ) 0,,,, 21 =\[[[I &� (B.3) 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.9 
 Suponha essa equação satisfeita no ponto ( )000201 ,,,, \[[[ '� . Suponha também que 
em algum intervalo ao redor do ponto ( )002010 ,,, ([[[[ �= a equação implícita defina uma 
função unívoca: 
( ))[[[\ ,,, 21 �Ψ= 
 Se as derivadas parciais da função ),( \IX [= são contínuas em ( )000201 ,,,, \[[[ *� , 
pode-se calcular as derivadas parciais L[ + , ∀∂
Ψ∂
, no ponto ( )002010 ,,, ,[[[[ �= diretamente 
de (B.3), desde que 0≠
∂
∂
\
I
 no ponto (
)000201 ,,,, \[[[ -� . 
 Certamente, fixando-se todas as variáveis L[[ .. ,0 ∀= , exceto /[ , deixada livre, a função 
implícita passa a envolver somente as variáveis /[ e�\, e determina \ como função implícita de [ na 
vizinhança de ( )002010 ,,,,, 01 [[[[[ ��= . Aplicando-se por analogia a expressão 
(B.2) tem-se: 
2
3
4
3
5
6
G[
G\
∂
∂
∂
∂
−= 
para N = 1, 2, ..., Q, sempre que as derivadas parciais 7[
I∂
 forem contínuas e 0≠∂
∂
\
I
. 
([HPSOR�%��: Seja a função 0),,( 223121 =++= \[[\[[I . 
\
[
[
\ 21
1
−=
∂
∂
 e \
[
[
\ 2
2
−=
∂
∂
 
 Segue-se que: \
[
G[
G\
2
3 21
1
−= \
[
G[
G\
2
2 2
2
−= 
No ponto (x1, x2, y) = ( ����������TXH�VDWLVID]�D�IXQoão 0),,( 21 =\[[I , tem-se: 
 3
1
−=G[
G\
 e 1
2
−=G[
G\
 
%�����±�0XGDQoD�GH�9DULiYHLV��
 Sejam duas funções, sendo [ e \ variáveis independentes: 


=
=
),(
),(
YXJ\
YXI[
 
Desse modo, X e Y podem ser vistas como funções tanto de [ como de \: 

=
=
),(
),(
\[YY
\[XX
 
 Derivando ambas em relação a [, tem-se: 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.10 



∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
[
Y
Y
J
[
X
X
J
[
Y
Y
I
[
X
X
I
0
1
 
Estas equações podem ser resolvidas para [X ∂∂ e [Y∂∂ se o Jacobiano J não for nulo, ou 
seja: 0≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Y
J
X
J Y
I
X
I
- 
A derivação de ambas as funções em relação a \ permite, analogamente, achar \
Y
\
X
∂
∂
∂
∂
 e 
desde que o mesmo Jacobiano não seja nulo. 
 
([HPSOR�%��: Sejam: 
 


=−
=+−
0
0222
\XY
[YX
 
 Diferenciando em relação à [: 
 



=∂
∂+∂
∂
=+∂
∂
−∂
∂
0
0222
[YX[XY
[YY[XX
 
022
22 22 ≠+=
−
= YXXY
YX- se X ou Y forem ≠ 0. 
Solução: Usando a regra de Cramer: 
 -
X
-
X
Y
[
X 20
22
−
=
−−
=
∂
∂
 e -
Y
-
Y
X
[
Y 20
22
−
=
−
=
∂
∂
 
Analogamente, pode-se achar: 
22
22
YX
Y
[Y
YX
X
[X
+
=∂
∂
+
−
=∂
∂
 
 
%���±�)yUPXOD�GH�7D\ORU��
%�����±�)yUPXOD�GH�7D\ORU��&DVR�GH���9DULiYHO�
Seja )([I uma função com Q derivadas contínuas ( )8&I ∈ no intervalo [D, E]. Então, para 
DEK −≤<0 : 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.11 
 9
9
9
5KQ
DIKDIKDIDIKDI +
−
++++=+ −
−
)1(
)1(
2
)2(
1
)!1(
)(
!2
)()()()( � 
onde o resto KDDKQ
I5 :
:
: +≤≤= ξξ ,
!
)()(
 deve tender a zero, para assegurar a convergência. 
 Quando a função tem derivadas de todas as ordens e o resto 0→;5 , quando ∞→Q , para 
todo valor no intervalo [0, [] contido no intervalo [D, E] em que as derivadas são contínuas. Assim: 
 ∑∞
=
=
0
)(
!
)0()(
<
<
<
[Q
I[I
 Série de 0DF/DXULQ 
�
([HPSOR %��: Dada a função 274)( [[[I +−= , determine seu valor nos pontos [ = 2 e [ = 4. 
Solução: 6)2()2(74)2( 2 −=+−=I 
 8)4()4(74)4( 2 −=+−=I 
Usando a expressão da série de Taylor, onde D = 2 e K = 2, tem-se: 
84664*2
22*)3(62
!2
)2(2*)2()2()2( 2
)2(
1
−=+−−=+−+−=++=+
IIIKI 
�
([HPSOR�%����Dada a função 432)( 23 −+−= [[[[I , determine seu valor nos pontos [=3 e 
[=7. 
Solução: 
 2643)3(3)3(2)3( 23 =−+−=I 
 54247)7(3)7(2)7( 23 =−+−=I 
Usando a expressão da série de Taylor, onde D = 3 e K = 4, tem-se: 
54212824014826)64(612)16(*30*21)4(*3726 
4
!3
)3(4
!2
)3(2*)3()3()3( 3
)3(
2
)2(
1
=+++=+++=
=+++=+
IIIIKI
 
�
([HPSOR�%���: Dado ..,)(,)(,)( )2()1( HWFH[IH[IH[I === === 
 Usando a expressão da série de MacLaurin tem-se: 
�++++== ∑
∞
=
!3!2
1
!
)0( 32
0
)( [[[[Q
IH >
>
>
?
 
0 , para 0 ,
!
)()(
→∞→⇒≤≤= @
@
@
@ 5Q[[Q
I5 ξξ
 
 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.12 
%�����±�)yUPXOD�GH�7D\ORU��&DVR�GH�Q�9DULiYHLV�
Seja )([I uma função contínua a Q variáveis, ( )A[[[[ ,,, 21 �= , possuindo todas as 
derivadas parciais até a ordem Q numa região contendo o ponto 0[ , ( )002010 ,,, B[[[ �=[ . 
Então, para o incremento K , ( )CDKKKK 00201 ,,, �= , a expansão em série de Taylor, ao redor 
do ponto 0[ é: 
 
++
∂∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+=+ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑
= = == ==
�EFG
H
G
H
F
H
E
E
FG
FG
H
G
H
F
FG
G
H
G
G
KKK[[[
IKK[[
IK[
I[IK[I
1 1 1
3
1 1
2
1
00
!3
1
!2
1)()(
 
 Esta fórmula é mais popular na versão matricial aproximada até a derivada segunda: 
K+KK[I[IK[I I )()()()( 21000 [+∇+=+ 
onde 00 [[K[ ≥≥+ . 
 Como aproximação, o Hessiano é tomado no próprio ponto 0[ , o que dá um resultado exato 
no caso de funções polinomiais do 2o grau. 
 
([HPSOR�%���: Seja a função quadrática a 2 variáveis: 212221 855)( [[[[[I ++= 
Solução: [ ]1221
21
810810)( [[[[[
I
[
I[I ++=



∂
∂
∂
∂
=∇ 
 


=










∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
108
810)(
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
[
I
[[
I
[[
I
[
I
[+ 
 Considere os pontos )1,1( e )11,11( e )10,10( 00 ==+= KK[[ 
 ( ) ( ) 1800)10)(10(8105105)( 220 =++=[I 
 ( ) ( ) 2178)11)(11(8115115)( 220 =++=+ K[I 
 Pela série de Taylor: 
 [ ] [ ] 2178183601800
1
1
108
810
11
1
1
180180 
)10,10()10,10()11,11(
2
1
2
1
=++=




+


=
=+∇+= +KKKIII J
 
 
 Considere os pontos )4,0;5,0( e )11,10(0 == K[ 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.13 
( ) ( ) 1985)11)(10(8115105)( 220 =++=[I 
( ) ( ) 65,2158)4,11)(5,10(84,1055,105)( 220 =++=+ K[I 
 
 Pela série de Taylor: 
 
[ ] [ ]
65,215865,31701985 
4,0
5,0
108
810
4,05,0
4,0
5,0
190188 
)11,10()11,10()4,11;5,10(
2
1
2
1
=++=
=




+


=
=+∇+= +KKKIII K
 
 
%���±�0i[LPRV�H�0tQLPRV��
%�����±�0i[LPR�H�0tQLPR�SDUD�)XQo}HV�GH���9DULiYHO��
'HILQLomR: Dada uma função )([I , o ponto 0[ é um Pi[LPR se 
)()( 00 [IK[I ≤+ , 
Para todo K, arbitrariamente pequeno. 
Analogamente, se: 
)()( 00 [IK[I ≥+ , então o ponto 0[ é um PtQLPR. 
9 Representação Gráfica para Mínimo e Máximo de Funções a 1 Variável 
 
 
9 À esquerda do PtQLPR a derivada é negativa e à direita ela é positiva. 
0)( e 0)( 0)2(0)1( >= [I[I 
9 À esquerda do Pi[LPR a derivada é positiva e à direita ela é negativa. 
0)( e 0)( 1)2(1)1( <= [I[I 
 
9 3RQWR�GH�,QIOH[mR�
• Caso A: 0)( 0)1( =[I , mas esta derivada não muda de sinal em ambos os lados de 0[ , não 
há máximo ou mínimo. 
[0 [1 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.14 
• Caso B: outro tipo de ponto de inflexão. Essa derivada atinge um valor máximo e começa a 
diminuir. 
Em ambos os casos a derivada segunda é igual a zero: 0)( 0)2( =[I 
 
9 7HVWH�GD�Q�pVLPD�GHULYDGD��FRQIRUPH�D�6pULH�GH�7D\ORU��
 Se 0)( 0)1( =[I e a primeira derivada diferente de zero é a Q-ésima, então, o valor da função 
será: 
a) Um máximo relativo a Q se Q for par e 0)( 0)( <[I L 
b) Um mínimo relativo a Q se Q for par e 0)( 0)( >[I L 
c) Um ponto de inflexão se Q é ímpar. 
 
127$: Para achar o ótimo global, as condições citadas anteriormente são também necessárias. 
Dependendo da concavidade (convexa para PtQLPR e côncava para Pi[LPR), elas passam a ser 
condições suficientes (a ser visto adiante). 
 
%�����±�0i[LPR�H�0tQLPR�SDUD�)XQo}HV�GH�Q�9DULiYHLV��
(Referência: Matemática para Economistas, Alpha Chiang. Editora USP e McGraw-Hill, 1982)
'HILQLomR: Dada uma função )([I a Q variáveis, o ponto 0[ , ( )002010 ,,, M[[[[ �= , é um 
Pi[LPR se 
)()( 00 [IK[I ≤+ , 
para todo K, ( )00201 ,,, NKKKK �= , tal que OK suficientemente pequeno, para todo M. 
 
 Seja ( )P[[[I\ ,,, 21 �= 
O Hessiano e os menores principais, +Q estão definidos abaixo: 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.15 








=
RSRRR
R
R
III
III
III
+
�
����
�
�
21
22221
11211
 
 
Menores Principais: 
.
333231
232221
131211
3
2221
1211
2
111
HWF
III
III
III
+
II
II+
I+
=
=
=
 
 
CONDIÇÃO MÁXIMO MÍNIMO 
1ª ORDEM 
0ou 
0
21
=
====
G\
III TUUU �
 
0ou 
0
21
=
====
G\
III TUUU �
 
2ª ORDEM 0 ;0 ;0 ;0 4321 ><>< ++++
�
+� p� QHJDWLYR� GHILQLGR� �HYHQWXDOPHQWH��+�
QHJDWLYR�VHPL�GHILQLGR���
0 , , , 421 >+++ � 
�+� p� SRVLWLYR� GHILQLGR� �HYHQWXDO�
PHQWH��+�SRVLWLYR�VHPL�GHILQLGR�� 
Quadro B1 – Condições para Máximo e Mínimo para funções de Q variáveis 
 
([HPSOR�%���: Achar os valores extremos de: 
242 2331
2
221
2
1 +++++= [[[[[[[\ 
2 0 
02 
 0 8
0 4
321
313
212
3211
=⇒===⇒



=+=
=+=
=++=
�\[[[
[[I
[[I
[[[I
 
 
Calculando-se o Hessiano e os seus menores verifica-se que H é positivo definido: 
 54 
201
081
114
 
333231
232221
131211
=








=








=
III
III
III
+
 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.16 
 
54
201
081
114
31
81
14
4
333231
232221
131211
3
2221
1211
2
111
===
===
==
III
III
III
+
II
II+
I+
 Então, 2=�\ é ponto de mínimo. 
 
%���±�&219(;,'$'(�'(�)81d®(6��
'HILQLomR: Uma função a uma variável, ( )[I , é uma função convexa se, para todo par de valores 
1[ e 2[ : ( )[ ] ( ) ( ) ( )1212 11 [I[I[[I λλλλ −+≤−+ 
 Para todo λ tal que 0 < λ < 1. 
 
127$6: 
• se o sinal ≤ for substituído por <, a função é chamada de estritamente convexa; 
• se o sinal ≤ for substituído por ≥ , a função é chamada de côncava; 
• se o sinal ≤ for substituído por >, a função é chamada de estritamente côncava. 
 
3URSULHGDGH: ( )[I é convexa 0)( 2
2
≥⇒ G[
[IG
, para todo [ . 
Analogamente: ( )[I é côncava 0)( 2
2
≤⇒ G[
[IG
, para todo [ . 
 
'HILQLomR: Uma função a Q variáveis, ),,,( 21 V[[[I � , é uma função convexa se, para cada par de 
pontos do seu gráfico, o segmento de reta unindo esses dois pontos está inteiramente acima, ou 
sobre, o gráfico de ),,,( 21 V[[[I � . 
 
3URSULHGDGHV: Sendo + o KHVVLDQR da função ( )[I a Q variáveis. 
 
( )[I é convexa ⇒ + é positivo semi-definido 0≥+ . 
 
( )[I é estritamente convexa ⇔ + é positivo definido. + > 0 
 
( )[I é côncava ⇒ + é negativo semi-definido. 0≤+ 
 
( )[I é estritamente côncava ⇔ + é negativo definido. + < 0 
 
 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.17 
2%6. 
(a) se um função é convexa, um mínimo local será também MÍNIMO global; 
(b) se uma função é côncava, um máximo local será também MÁXIMO global. 
 
([HPSOR�%���: (cf Bazaraa & Shetty, Nonlinear Programming, John Willey, 1979) 
a) ( ) 43 += [[I 
b) ( ) [[I = 
c) ( ) [[[I 22 −= 
d) ( ) 21[[I −= , para 0≥[ 
e) ( ) 21222121 22, [[[[[[I −+= 1222
24
=


−
−
=+ 
f) ( ) 321232241321 4432,, [[[[[[[[[I −−++= 0
640
440
0012 21
≥








−
−=
[
+ 
�
2%6. Tomando-se o negativo dessas funções, tem-se exemplos de funções côncavas. 
 
$6�&21',d®(6�68),&,(17(6��
A) No caso de otimização de funções sem restrições: 
• Se a função for convexa, todo mínimo local é mínimo global; 
• Se a função for côncava, todo máximo local é máximo global 
B) No caso de otimização de funções com restrições, a ser mais detalhado com o teorema de Kuhn-
Tucker (KT), pode-se antecipar que: 
• Se a função objetivo f(x) é convexa, e as restrições delimitam um espaço viável convexo, 
então as condições de KT são suficientes, ou seja, um ponto que satisfaça KT é ponto de 
mínimo global; 
• Se a função objetivo f(x) é côncava, e as restrições delimitam um espaço convexo, então as 
condições de KT são suficientes, ou seja, ponto que satisfaça KT é ponto de máximo global. 
%���±�27,0,=$d­2�&/È66,&$�&20�5(675,d®(6�'(�,*8$/'$'(��
%�����±�0XOWLSOLFDGRUHV�GH�/DJUDQJH��
 Considere o problema de achar pontos extremos de uma função contínua e diferenciável: 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.18 
( )W[[[I\ ,,, 21 �= (B.4) 
 sujeita a restrição: 
( ) α=W[[[J ,,, 21 � (B.5) 
onde g(x) é também contínua e diferenciável. 
Suponha que a função ( ) α=W[[[J ,,, 21 � defina a função unívoca: 
( )1 ,,,, 121 −= XX [[[[ �ϕ (B.6) 
(sabe-se que isso é possível se 0≠
∂
∂
Y[
J
; o método só falha se 0=
∂
∂
Z[
J
 para todos os L = 1, 2, ..., Q). 
pode-se substituir [[ e obter ( ))),,,(,,,, 121121 −−= \\ [[[[[[I\ �� ϕ e resolver 
o problema sem restrições. 
Caso a equação ϕ não seja simples de se obter, procede-se assim. 
Pela regra da cadeia aplicada à função I: 
1 , ,2 ,1 , −=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ QL[[
I
[
I
[
\
]
^
]]
�
ϕ
 (B.7) 
aplicando-se à função g: 
1 , ,2 ,1 ,0 −==
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂ QL[[
J
[
J
_
`
_
�
ϕ
 
a qual determina: 
1 , ,2 ,1 ,0 −==
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂ QL[[
J
[
J
a
b
a
�
ϕ
 
a qual determina: 
1 , ,2 ,1 0, que desde ,0 −=≠∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂ QL[
J
[
J
[
J
[ c
c
d
d
�
ϕ
 
substituindo acima: 
1 , ,2 ,1 , −=







∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ QL
[
J
[
J
[
I
[
I
[
\
e
f
e
ff
� 
 
Ao se aplicar a condição necessária, 1 ,,2 ,1 ,0 −==∂
∂ QL[
\
g
� , a solução obtida 
( )**2*1* ,,, h[[[[ �= é a solução procurada. 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.19 
Seja 
i
i
[
J
[
J
∂
∂
∂
∂
=λ , de forma que: QL[
J
[
I
jj
 ,,2 ,1 ,0 �==
∂
∂
−
∂
∂
λ 
�
([HPSOR�%���: Considere o problema: 
05),( 
a sujeito
),( min 22
=−−=
+=
\[\[J
\[\[I
 
da restrição ),( \[J pode-se tirar que 5+= \[ . 
Substituindo em ),( \[I vem: 
22)5(),5( \\\\I ++=+ 
E o problema se torna: 
25102)5()( min 222 ++=++= \\\\\I 
Encontrando a derivada primeira e igualando a zero tem-se que: 
2
5
 e 
2
5
4
10
 0104 =−=−=⇒=+=
∂
∂ [\\\
I
 
como 042
2
⇒>=
∂
∂
\
I
o ponto é de mínimo. 
%�����±�&RQGLo}HV�GH�2WLPDOLGDGH��
Dada a função a otimizar: 
 ( )k[[[I\ ,,, 21 �= 
 sujeita à 
( ) α=l[[[J ,,, 21 � , sendo ambas contínuas e diferenciáveis. 
Forme o /DJUDQJHDQR, que passa a ser uma função a Q + 1 variáveis. 
( ) ( )mm [[[J[[[I[/ ,,,,,,),( 2121 �� λλ −= 
As condições necessárias para um ponto extremo são: 
QL[
J
[
I
[
/
nnn
, 2, 1, ,0 �==
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂ λ 
( ) 0,,, 21 =−=∂
∂
αλ
o[[[J/ � 
Para saber se o ponto extremo é um MAX ou um MIN, o teste sobre o KHVVLDQR é análogo, 
só que este é definido de outra forma. 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.20 
++
/J
J+
//J
//J
JJ
+
ppp
p
ppppp
ppppp
pp
=



=








=
2
1
111
1
22122
21111
21
0
:principais menores
0
 
• se + = 2+ > 0 ⇒ tem-se um MIN + é positivo-definido 
• se H = 2+ <
0 ⇒ tem-se um MAX H é negativo-definido 
 
127$: A limitação do método de Lagrange está na dificuldade em resolver o sistema de equações 
para achar os pontos estacionários. 
 
([HPSOR�%���: Achar o ponto extremo de 
 
05 
a sujeito
21
2
2
2
1
=−−
+=
[[
[[\
 
Trata-se do mesmo exercício anterior, antes resolvido por substituição. 
 
Solução: O Lagrangeano é )5(),,( 21222121 −−++= [[[[[[/ λλ 
5 ;
2
5
 ;
2
5
 
05
02
02
11
21
2
2
1
1
−=−==⇒







=−−=
∂
∂
=−=
∂
∂
=+=
∂
∂
λ
λ
λ
λ
[[
[[/
[[
/
[[
/
 
MAX 04
201
021
110
⇒<−=








−
−
=+
 
 
([HPSOR�%���: (cf Antônio G. Novaes, Métodos de Otimização: Aplicação aos Transportes, Ed. Edgard Blucher 
Ltda, São Paulo, 1978) 
 
02),( 
a sujeito
)1)(21(),(
2
2121
2121
=+=
++=
[[[[J
[[[[I
 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.21 
Solução: 
 
02
022
1
021
2
21
21
2
2
1
=+=
=−=
=−+=
[[/
[[/
[/
q
q
λ
λ
λ
 
 Este sistema fornece duas soluções: 
( )
( )


==
=−=
3
2
 e 3
1
,18
1-
 B ponto
0 e 1,2
1-A ponto
λ
λ
 
 Hessiano: 
 
( )λλ
λ
+=++=








−
= 222
2
2
8844
212
102
220
[[[
[
[
+
 
 no ponto A: (local) MAX de ponto 082 ⇒<−=+ 
 no ponto B: (local) MIN de ponto 082 ⇒>=+ 
 
%�����±�*HQHUDOL]DomR�GRV�0XOWLSOLFDGRUHV�GH�/DJUDQJH��
(Cf Handy Taha, 2SHUDWLRQV�5HVHDUFK��$Q�,QWURGXFWLRQ��0F0LOODQ��1HZ�<RUN��� r s ��������
 
 Sejam I�[� e J t �[�, i = 1, 2, ...,P, duas vezes diferenciáveis continuamente; 
 
PL[J
[I\
u
 ..., ,2 ,1 ,0)( 
a sujeito
)(
==
=
 
 Lagrangeano: 
 ),,,(),,,()()(),( 21
1
21 v
w
x
xx
v
[[[J[[[I[J[I[/ �� ∑
=
−=−= λλλ 
 Define-se: 
 
)()*(
0
yzyz
{
|
43
3+
++




= 
 onde: ML[[
[/4
[J
[J
3
}~}
€
}~

 , 
),(
 e 
)(
)(
 
2
 
1
∀
∂∂
∂
=








∇
∇
=
λ
� 
 
 Dado o ponto estacionário ( )00 ,λ[ para a função lagrangeana, ( )λ,[/ , e a matriz Hessiana 
‚+ calculada em ( )00 ,λ[ , então 0[ é: 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.22 
1. Um ponto de máximo se, começando com o determinante menor principal de ordem (�P���1), 
os últimos (Q���P) determinantes menores principais de ‚+ formam uma seqüência de sinais 
alternados começando com (-1)ƒ + 1 e, 
2. Um ponto de mínimo se, começando com o determinante menor principal de ordem (�P���1),os 
últimos (Q���P) determinantes menores principais de ‚+ tem sinal de (-1)ƒ 
 
([HPSOR�%���: 
 
0525)( 
02 )( 
a sujeito
)()(
3212
3211
2
3
2
2
2
1
=−++=
=−++=
++=
[[[[J
[[[[J
[[[[I
 
 Lagrangeano: 
 
( ) ( )
( )
( ) 0525
023
032
022
052
52523),(
321
1
321
1
213
3
212
2
211
1
32123211
2
3
2
2
2
1
=−++−=
∂
∂
=−++−=
∂
∂
=−−=
∂
∂
=−−=
∂
∂
=−−=
∂
∂
−++−−++−++=
[[[/
[[[/
[[
/
[[
/
[[
/
[[[[[[[[[[/
λ
λ
λλ
λλ
λλ
λλλ
 
 Resolvendo o sistema tem-se: 
( )
( ) ( )

==
==
3067,0 ;0867,0,
28,0 ;35,0 ;81,0),,(
100
0
3
0
2
0
1
0
λλλ
[[[[
 
 Matriz +HVVLDQD: 
 










=
20013
02021
00251
12500
31100
„+ 
 Q = 3; P = 2; (Q – P) =1 0460 >=…+ mesmo sinal de (-1)2. 
 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.23 
%���±�27,0,=$d­2�&20�5(675,d®(6�'(�'(6,*8$/'$'(��
%�����±�5HVWULomR�GH�1mR�1HJDWLYLGDGH�GDV�9DULiYHLV��
Seja a função )([I a Q •���YDULiYHLV��2�FDVR�Q� �� encontra-se ilustrado nas duas figuras a 
seguir e serve para motivar o caso mais geral de muitas variáveis ou de restrições mais complexas: 
 
0 
 
)( 
≥[
DVXMHLWR
[I0LQ
 
x*
f(x)
x x*
f(x)
x
 
 
 As condições necessárias de otimalidade para o ponto *[ podem ser resumidas no quadro 
abaixo, válidas para Q •���YDULiYHLV�� 
 
3DUD�0,1� 3DUD�0$;�
��� 0* ≥[ � ��� 0* ≥[ �
��� M[
[I[ †† 0)(
*
* ∀=
∂
∂ � ��� M[
[I[ ‡‡ 0)(
*
* ∀=
∂
∂ �
��� M[
[I
ˆ
 0)(
*
∀≥
∂
∂ � ��� M[
[I
‰
 0)(
*
∀≤
∂
∂ �
 
 Caso M[
[I[ Ł ,0)(0
*
* ∀=
∂
∂
⇒> � e, caso M[
[I[ Ł ,0)(0
*
* ∀≥
∂
∂
⇒= ��
([HPSOR�%���: 
 Min f(x) = (x + 2)2 
 Sujeito a: 
 x •�� 
 
9
- 2
4
1
F(x)
xX*
9
- 2
4
1
F(x)
xX*
- 2
4
1
F(x)
xX*
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.24 
 A visualização gráfica da função proposta indica que ela atinge um mínimo no ponto x = –2, 
ponto este que não atende à restrição estabelecida. A aplicação das condições de mínimo dadas no 
quadro anterior, identifica o ponto ótimo x* = 0, com as demais condições satisfeitas: 
(2) 0)( 
*
*
=
∂
∂
[
[I[ ��e��(3) 04)20(2)( * >=+=
∂
∂
[
[I
. 
%�����±�5HVWULomR�GH�'HVLJXDOGDGH��
Considere agora o problema mais complexo, que inclui uma restrição de desigualdade: 
 
0)g( 
 
)( 
≥[
DVXMHLWR
[I0D[
 
 Introduzindo-se uma variável de excesso, 0≥V , tem-se que: 
 0 
0)g( 
 
)( 
≥
=−
V
V[
DVXMHLWR
[I0D[
 
Formando-se o lagrangeano, tem-se o problema: 
 0 : .
])([ )( 
≥
−+=
VDV
V[J[I/ λ
 
O modelo acima equivale a um problema sem restrição com relação às variáveis [ e λ , e 
com restrição com relação à variável V . Em perfeita analogia com o quadro anterior, as condições 
de MAX seriam dadas conforme o quadro abaixo, enquanto que as condições de MIN seriam 
idênticas, exceto quanto à subcondição (3), em que a desigualdade teria sentido oposto. 
 
Sobre *[ e *λ : Sobre *V : 
0 ])[g( 
0
*
*
=−+=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
V[/
[
J
[
I
[
/
λ
λ
 
(1) 0* ≥V 
(2) [ ] )(ou 0)( 0 ******* ==−⇒==
∂
∂ [J[JVV
/V λλλ
 
(3) 0ou 0 0 ** ≥≤−⇒≤
∂
∂ λλV
/
 
 
([HPSOR�%���: 
 Min f(x) = (x – 2)2 
 s. a. x – 3 •�� 
Solução: Construindo-se o Lagrangeano, tem-se: L = (x – 2)2 �� ��[�– 3 – s), sujeito a: s •�� 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.25 
Sendo um problema de minimização, a subcondição (3) do quadro acima vai exigir 
 0ou 0 0 ** ≤≥−⇒≥
∂
∂ λλV
/
. As condições serão satisfeitas por x* = 3, com s = 0 e � �– 2. 
%�����±�2WLPL]DomR�FRP�5HVWULo}HV�D�Q�9DULiYHLV�±�7HRUHPD�GH�.XKQ±7XFNHU��
Este teorema é central na programação não-linear, e ele estabelece as condições necessárias 
para um ponto *[ , ( )**2*1* ,,, ‹[[[[ �= ser o ponto ótimo do problema: 
PL[
DVXMHLWR
[I0D[
,,2,1 0)(g 
 
)( 
i �=≥
 
Sendo todas as funções diferenciáveis, tem-se que as condições necessárias para que o ponto 
*[ seja solução ótima são: 
(1) *[ satisfaça as restrições 
(2) existam multiplicadores PLŒ ,,2 ,1 ,0 �=≥µ tais que: ( ) L[J  0* ∀=µ 
(3) ( ) ( ) 0** =∇+∇ ∑ [J[I Ž
Ž
Žµ 
 
127$6: 
(1) As condições de Kuhn–Tucker (KT) podem falhar quando aplicadas a certos pontos 
singulares. Há que se aplicar testes denominados de TXDOLILFDomR� GH� UHVWULo}HV. Esse 
tema ultrapassa os limites deste texto, mas o Exemplo B.17 vai ilustrar sua importância; 
(2) No caso de minimização, ou no caso
em que as restrições são desigualdades do tipo 
( ) 0≤[J  , a condição (3) acima adapta-se de forma consistente com as relações 
mostradas ao início desta Seção 8.4, e resumidas a seguir;. 
(3) Em síntese, as quatro combinações entre a função objetivo e o sentido da desigualdade 
das restrições, produzem as seguintes condições necessárias, segundo o teorema de 
Kuhn–Tucker: 
 
(a) 0 0)()( 0)( a sujeito )( MAX ** ≥=∇+∇⇒≥ ∑  [J[I[J[I µµ 
(b) 0 0)()( 0)( a sujeito )( MIN ** ≥=∇−∇⇒≥ ∑ ‘‘‘‘ [J[I[J[I µµ 
(c) 0 0)()( 0)( a sujeito )( MAX ** ≥=∇−∇⇒≤ ∑ ‘‘‘‘ [J[I[J[I µµ 
(d) 0 0)()( 0)( a sujeito )( MIN ** ≥=∇+∇⇒≤ ∑ ‘‘‘‘ [J[I[J[I µµ 
 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.26 
%�����±�*HQHUDOL]DomR��
 No caso do problema anterior conter também restrições de igualdade: 
 
SM[K
PL[J
DVXMHLWR
[I0D[
’
“
,,2,1 0)( 
,,2,1 0)( 
 
)( 
�
�
==
=≥
 
Então as condições são: 
(1) *[ é viável; 
(2) existem multiplicadores ”λ sem restrições e 0≥•µ tais que ( ) ( ) 0 e 0 ** == [K[J ––—— λµ 
(3) ( ) ( ) ( ) 0*** =∇+∇+∇ ∑∑ [K[J[I ˜
™
˜˜
˜
˜ λµ 
([HPSOR�%���: (cf Zangwill, Nonlinear Programming) 
Seja o problema abaixo; sua representação gráfica aponta a existência de dois máximos 
locais, nos pontos x = ��H�[� ��� 
 
2x1 
 
2
≤≤−
VXMHLWR�D
[0D[
 
 Este problema equivale a: 
 
01 )( 
02 )( 
 
2
1
2
≥+=
≥−=
[[J
[[J
VXMHLWR�D
[0D[
 
 Considere os pontos viáveis –1; 1 e 2 e aplique a eles as condições de KT. 
9 para [ = –1 
Condição (2): [ ] 0 0)3()1(2 0)( 11111 =⇒==−−⇒= µµµµ [J 
 
[ ] 0 0)0(11 0)( 22222 ≥⇒==+−⇒= µµµµ [J 
Condição (3): 0)()()( 2211 =∇+∇+∇ [J[J[I µµ 
 0)1()1(02 2 =+−+ µ[ 
 local MAX satisfaz 2 0 2 22 ⇒⇒=⇒=+− µµ 
9 para [ = 1 
Condição (2): [ ] 0 012 0)( 11111 =⇒==−⇒= µµµµ [J 
 
[ ] 0 0)0(211 0)( 22222 =⇒==+⇒= µµµµ [J 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.27 
Condição (3): 0)()()( 2211 =∇+∇+∇ [J[J[I µµ 
 022 ≠=[ Não satisfaz 
9 para [ = 2 
Condição (2): [ ] 0 0022 0)( 11111 ≥⇒==−⇒= µµµµ [J 
 
[ ] 0 0)3(12 0)( 22222 =⇒==+⇒= µµµµ [J 
Condição (3): 0)()()( 2211 =∇+∇+∇ [J[J[I µµ 
 0)1(2 1 =−+ µ[ 
 local MAX satisfaz 4 0 4 11 ⇒⇒=⇒=−− µµ 
 
([HPSOR�%���: (cf Chiang, Matemática para Economistas, McGraw Hill, 1982) 
 Seja: 
 
0 ),( 
0 ),( 
0)1( ),( 
 
2213
1212
3
12211
1
≥=
≥=
≤−−=
[[[J
[[[J
[[[[J
VXMHLWR�D
[0D[
 
 Considere o ponto 0 ;1 21 == [[ . Usando a representação gráfica, o ponto ótimo é 
certamente ([1, [2) = (1, 0), mas este ponto não satisfaz as condições KT, em razão de não 
satisfazer a referida TXDOLILFDomR� GH� UHVWULo}HV. Entretanto, a inclusão de nova restrição, 
conforme o Exemplo B.22, vai qualificar tais restrições. 
Condição (2): 0 00 0),( 112111 ≥⇒=⇒= µµµ [[J 
 0 0)1( 0),( 222122 =⇒=⇒= µµµ [[J 
0 00 0),( 332133 ≥⇒=⇒= µµµ [[J 
Condição (3): ( ) ( )[ ]

=⇒=++−
≠−=⇒=++−−−−
31321
232
2
11
 01010
ão)(Contradiç 01 0)0()1(1131
µµµµµ
µµµµ [
 
 
([HPSOR�%���: Considere o problema anterior com a adição de uma nova restrição: 
( ) 22, 21214 ≤+= [[[[J 
 Esta é uma reta que passa pelo ponto ótimo (1,0), mas sem alterar a região viável. A 
presença desta nova restrição vai permitir que as condições de Kuhn–Tucker sejam atendidas. 
Condição (2): 0 00 0),( 112111 ≥⇒=⇒= µµµ [[J 
 0 0)1( 0),( 222122 =⇒=⇒= µµµ [[J 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.28 
0 00 0),( 332133 ≥⇒=⇒= µµµ [[J 
[ ] 0 0022 0),( 442142144 ≥⇒==−+⇒= µµµµ [[[[J 
Condição (3): solução Há 
 0)1()1()0()1(0
 0)2()0()1()0(1
1434321
2
1
44321 ⇒


+=⇒=−++−
=⇒=−++−
µµµµµµµ
µµµµµ
 
 
([HPSOR�%���: (cf Bazaraa & Shetty, Nonlinear Programming, John Willey, 1979) 
 Seja: 
 
( ) ( )
0 ),( 
0 ),( 
042 ),( 
05 ),( 
23 )( 
2214
1213
21212
2
2
2
1211
2
2
2
1
≤−=
≤−=
≤−+=
≤−+=
−+−=
[[[J
[[[J
[[[[J
[�[[[J
VXMHLWR�D
[[I0LQ [
 
 Considere o ponto (2,1): 
Condição (2): 0 00 0),( 112111 ≥⇒=⇒= µµµ [[J 
 0 0)0( 0),( 222122 ≥⇒=⇒= µµµ [[J 
0 0)2( 0),( 332133 =⇒=−⇒= µµµ [[J 
0 0)1( 0),( 442144 =⇒=−⇒= µµµ [[J 
Condição (3): 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 042 0011232 21432111
1
=++−⇒=+−+++−→
∂
∂ µµµµµµ [[[
I
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 0222 0102222 2143212
2
=++−⇒=−++++−→
∂
∂ µµµµµµ[[
I
 
 Solução: 


=
=
3
2
2
3
1
1
µ
µ
 Então há uma solução, o ponto (2,1) satisfaz as condições necessárias. 
%�����±�$V�&RQGLo}HV�6XILFLHQWHV��
D� No caso de otimização de funções sem restrições: 
9 Se a função for convexa, todo mínimo local é mínimo global; 
9 Se a função for côncava, todo máximo local é máximo global. 
E� No caso de otimização de funções com restrições (Teorema de Kuhn – Tucker) 
9 Se a função objetivo ( )[I é convexa e as restrições delimitam espaço viável convexo, então as 
condições de Kuhn – Tucker são suficientes, ou seja, ponto que satisfaça Kuhn – Tucker é ponto 
de mínimo global; 
Nélio D. Pizzolato e André A. Gandolpho 10/04/08 B.29 
9 Se a função objetivo ( )[I é côncava e as restrições delimitam espaço viável convexo, então as 
condições de Kuhn – Tucker são suficientes, ou seja, ponto que satisfaça Kuhn – Tucker é ponto 
de máximo global. 
 
%���±352%/(0$6�352326726��
%����Qualifique os pontos extremos das duas funções abaixo, no ponto indicado: 
 f(x) = 3(x – 5)5 no ponto x = 5 
 f(x) = 3(x – 5)4 no ponto x = 5 
 
%��� Considere o problema: 
 Max Z = [1(30 – [1) + [2(50 – 2[2) – 3[1 – 5[2 
e identifique seus pontos estacionários, qualificando-os se MAX ou MIN. 
 
%��. Considere a função: 
 f([) = 2 21[ + 3 22[ ���[1 [2, 
Avalie essa função primeiro no ponto (3, 3) e depois no ponto (4,4), usando o teorema de Taylor e o 
incremento K = (1, 1). 
 
%��. Verifique a concavidade da função f([), usando os recursos mostrados na Seção B.2.15 
 f([) = ��� 41[ ��� 22[ ��� 23[ + 4 [1 ���[1 [2 
 
%��� Considere o problema abaixo e aplique as condições de KT para Maximização. Em particular, 
considere o ponto . A = (x1, x2) = (1, 0). 
 Max Z = x1 
 s.a 21[ + 22[ ”�� 
 [1, [2 •� 
�
%��. Considere o seguinte problema, e busque identificar um ponto extremo: 
 f([) = ([1 �����2 + ([2 – 2)2 
 s.a. [2 � 21[ •�� 
 [1 + [2 ”�� 
 [1, [2 •�� 
Escreva as condições de KT e verifique que elas são verdadeiras para o ponto (3/2, 9/4).