SetimaListaDeExercicios-FisicaIII

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Marc¸o de 2006, a`s 8:21
Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı´sica Teo´rica
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı´sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Mate´ria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
29 Circuitos Ele´tricos 2
29.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
29.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
29.2.1 Trabalho, energia e FEM . . . . 2
29.2.2 Diferenc¸as de potencial . . . . . 2
29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas . 5
29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas 7
29.2.5 Circuitos RC . . . . . . . . . . 9
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(lista2.tex)
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29 Circuitos Ele´tricos
29.1 Questo˜es
Q 29-1.
� Na˜o. O sentido convencional da fem e´ sempre do
terminal negativo para o terminal positivo da bateria, in-
dependentemente do sentido da corrente que atravessa a
bateria.
Q 29-4.
� Para medir a fem use um voltı´metro com uma re-
sisteˆncia elevada e ligue os terminais do aparelho aos
terminais da bateria sem nenhum outro circuito conec-
tado a` bateria. Para medir a resisteˆncia interna da bate-
ria, utilize uma pequena resisteˆncia em se´rie juntamente
com um amperı´metro (tambe´m em se´rie). A seguir mec¸a
a ddp � atrave´s dos terminais da bateria e a corrente � ,
que passa no circuito se´rie considerado. Calcule a re-
sisteˆncia interna da bateria mediante a seguinte relac¸a˜o:
�����	��
���
29.2 Problemas e Exercı´cios
29.2.1 Trabalho, energia e FEM
E 29-2.
Uma corrente de � A e´ mantida num circuito por uma
bateria recarrega´vel cuja fem e´ de � V, durante � minu-
tos. De que quantidade diminui a energia quı´mica da
bateria?
� A energia quı´mica da bateria e´ reduzida de uma quan-
tidade ��������� , onde � e´ a carga que passa atrave´s dela
num tempo ������� minutos e � e´ a fem da bateria. Se �
for a corrente, enta˜o �ff���fi��� e
�������fl�ffi����� !�#"%$& '�ffi��$( !� min $*) �,+ seg
min -
� .,
/.102.3+54167
Note que foi necessa´rio converter o tempo de minutos
para segundos para as unidades ficarem corretas.
P 29-4.
Uma determinada bateria de automo´vel cuja fem e´ de
.�8 V tem uma carga inicial de .�85+ A 9 h. Supondo que
a diferenc¸a de potencial entre seus terminais permanec¸a
constante ate´ que a bateria esteja completamente descar-
regada, por quantas horas ela podera´ fornecer energia na
taxa de .:+;+ W?
� Se < e´ a taxa com a qual a bateria entrega energia e
��� e´ o tempo, enta˜o ���=�><?��� e´ a energia entregue
num tempo ��� . Se � e´ a carga que passa atrave´s da bate-
ria no tempo ��� e � e´ a fem da bateria, enta˜o �����@��� .
Igualando-se as duas expresso˜es para � e resolvendo-se
para ��� , temos
���A�
���
<
�
 B.38,+ A 9 h $( B.38 V $
.3+,+ W
��.&CD
 C horas 
29.2.2 Diferenc¸as de potencial
P 29-5.
Na Figura 29-18, �DE#�F.38 V e �HGI�KJ V. Qual e´ o sen-
tido da corrente no resistor? Que fem esta´ realizando
trabalho positivo? Que ponto, " ou L , apresenta o mais
alto potencial?
� O sentido da corrente e´ anti-hora´rio, determinado pe-
lo sentido da fonte “resultante” de fem: � res ���DEM���HGN�
.�8%��Jffi��C V.
A fonte que realiza trabalho positivo e´ a que tem o mes-
mo sentido da fonte “resultante”; neste caso e´ a fonte
�
E . Se tivessemos mais fontes no circuito, todas as que
tivessem o mesmo sentido da fonte “resultante” e´ que
fariam trabalho positivo.
Chamando de �DO e �DP o potencial no ponto " e L , res-
pectivamente, temos, pela “regra da fem”, ao ir do ponto
" ao ponto L passando atrave´s das fontes
�
ORQ
.38#�SJI�@�
PNT
ou seja
�
O
�?�
P
�K�UCWVX+
T
o que implica ser �MP�Y��DO .
E 29-8.
Suponha que as baterias na Fig. 29-19 ao lado tenham
resisteˆncias internas desprezı´veis. Determine: (a) a cor-
rente no circuito; (b) a poteˆncia dissipada em cada re-
sistor e (c) a poteˆncia de cada bateria e se a energia e´
fornecida ou absorvida por ela.
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� (a) Seja � a corrente no circuito e suponhamos que
ela seja positiva quando passamos da direita para a es-
querda de ZffE . Usando a lei de Kirchhoff das malhas:
�DE[���flZ#G\���flZffE[���HG]��+ . Ou seja
�^�
� E �2� G
ZffE Q Z#G
�
.�8 V ��� V
C`_ Q Ja_
��+D
 � A 
O fato de termos obtido um valor positivo para a cor-
rente indica que o sentido arbitrado inicialmente foi o
sentido correto da corrente.
(b) A poteˆncia dissipada pelo resistor Z E e´
< E �� !+7
b� A $ G cC`_U$��d. W T
enquanto que a dissipada pelo resistor Z#G e´
<eG]�� !+7
b� A $ G 'Ja_U$��@8 W 
(c) Se � representar a corrente que passa atrave´s de uma
bateria com � de fem, enta˜o a bateria fornece energia a
uma taxa <F�K�fl� desde que a corrente e a fem estejam
na mesma direc¸a˜o. A bateria absorve energia a uma ta-
xa <>�K�fl� se a corrente e a fem estiverem em direc¸o˜es
opostas. Para � E a poteˆncia e´
<^EU�� '+D
 � A $& fi.�8 V $���� W
e para �HG ela e´
<fG%�� '+D
 � A $& '� V $a��g W 
Na bateria . a corrente esta´ na mesma direc¸a˜o que a fem
de modo que esta bateria fornece energia para o circuito.
A bateria esta´ descarregando-se. A corrente na bateria 8
flui na direc¸a˜o contra´ria da fem, de modo que a bateria
absorve energia. Portanto, ela esta´ carregando-se.
E 29-9.
Uma bateria de automo´vel com uma fem de 12 V e uma
resisteˆncia interna de +D
 +;+5CN_ esta´ sendo carregada com
uma corrente de �5+ A. (a) Qual a diferenc¸a de potencial
entre seus terminais? (b) A que taxa a energia esta´ sendo
dissipada como calor na bateria? (c) A que taxa a ener-
gia ele´trica esta´ sendo convertida em energia quı´mica?
(d) Quais sa˜o as respostas dos itens (a), (b), (c) quan-
do a bateria e´ usada para suprir �5+ A para o motor de
arranque?
� (a) Durante a carga, a corrente flui no sentido oposto
da polaridade da fem. Portanto
�W� � �
Q
�fl
� .�8
Q
 h�5+*$( '+D
 +,C*$A�K.:C Volts 
(b)
< � �
G
� h�5+*$
G
 !+7
 +5Ci$^��.:+;+ Watts 
(c)
< � �j�
� fi.38;$( h�5+;$A�@�,+;+ Watts 
(d) Quando for a bateria quem estiver fornecendo cor-
rente temos
�W� � �R�2�fl
� .38%�� !�5+*$( !+7
 +5C*$A��.:+ Volts 
< � �
G
� h�5+*$
G
 !+7
 +5Ci$^��.:+;+ Watts 
E 29-10.
Na Figura 29-20 o potencial no ponto < e´ de .:+;+ V.
Qual e´ o potencial no ponto k ?
� Precisamos determinar primeiramente o sentido e o
valor da corrente no circuito, para enta˜o poder deter-
minar a queda de potencial devida a cada uma das re-
sisteˆncias. O sentido da corrente e´ aquele imposto pela
bateria mais forte: a de .3�5+ V: sentido anti-hora´rio. O
valor da corrente e´ obtido usando a lei das malhas, de
Kirchhoff. Partindo do ponto k e seguindo no sentido
anti-hora´rio temos:
.��5+a�l8m�i�l�5+a�Wg,�M��+
T
ou seja �A�@8,+ A 
Tendo este valor, partimos novamente do ponto k no
sentido anti-hora´rio, descobrindo facilmente que
�Dn
Q
.3�,+#�S8�0	85+I�o�DprqK.3+,+ V 
Portanto
�Mns�d�ff.3+ V 
Sugesta˜o: refac¸a o problema indo de k para < , pore´m
aplicando a lei de Kirchhoff das malhas no sentido
hora´rio. Sera´ que suas respostas finais podera˜o depen-
der do sentido escolhido?
E 29-11.
Na Fig. 29-21, o trecho de circuito "]L absorve �,+ W
de poteˆncia quando e´ percorrido por uma corrente �^�d.
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A no sentido indicado. (a) Qual a diferenc¸a de poten-
cial entre " e L ? (b) O elemento t na˜o tem resisteˆncia
interna. Qual e´ a sua fem? (c) Qual e´ a sua polaridade?
� (a) Como <d���u�MOvP , temos:
� OvP �
<
�
�
�,+ W
. A
�o�5+ Volts 
(b) Chamando-se de w um ponto qualquer que fique en-
tre o resistor Z e o elemento t , temos
�MOvx��@�DO2�?�Dx����flZy�d. A 0	8ff_X�@8 Volts 
Portanto a fem do elemento t sera´
�z�@� OvP �?� Ovx ���,+1�S8ff��C;J Volts 
(c) Subtraia e some �Dx ao valor de �MOz�?�MP obtendo
�MOz�?�MP
{ |~} 
€‚
�@�MOz�?�Mx
{ |~} 
G
Q
�MxX�S�MP
{ |(} 
4„ƒ
Portanto � x YF� P , ou seja, o terminal L e´ o terminal
negativo.
P 29-15.
(a) Na Fig. 29-23, que valor deve ter Z para que a cor-
rente no circuito seja de . mA? Considere � E �…8 V,
�
G
�og V e 
 E ��
 G �og#_ . (b) Com que taxa a energia
te´rmica aparece em Z ?
� (a) Supondo que uma corrente � circula no circuito no
sentido anti-hora´rio e aplicando a lei das malhas no sen-
tido hora´rio, a partir de um ponto “a” localizado entre
os dois terminais positivos das fontes de fem, obtemos
�‡†%�2�
G`Q
�fl
G`Q
�uZ
Q
�h
E�Q
�
E
� �‡†
�fl
G`Q
�fl
E�Q
�uZ � �
G
�2�
E
 B.:+HˆŁ‰:$& 'g
Q
g;$
Q
.:+HˆŁ‰&Z � g1�?81��.
.:+HˆŁ‰&Z � +7
 ‹,‹,C
Z � ‹,‹,C%_#
(b)
<eŒ]���
G
Zo�� B.:+7ˆ‡‰&$
G
 !‹,‹5Ci$A��‹D
 ‹,C�0�.:+7ˆM4 Watts 
P 29-20.
� (a) Sendo � a corrente no circuito, a ddp na bateria
. e´ �‡E���r���fl
�E e para que seja nula e´ preciso que
�BE��Ž�^�
�E . A lei de Kirchhoff das malhas diz-nos que
85�S��fl
�E1��fl
:GI��uZ‘�’+ . Substituindo-se �I�=�^�
�E
nesta expressa˜o nos fornece Zo��
�E\�2
3G .
(b) Como Z tem que ser positivo, precisamos ter 
�E“Y
3G . A ddp atrave´s da bateria com a maior resisteˆncia
interna pode ser anulada atrave´s de uma escolha apro-
priada de Z . A ddp atrave´s da bateria com a menor re-
sisteˆncia interna na˜o pode ser anulada.
P 29-22.
(a) Na Fig. 29-5a, mostre que a taxa na qual a energia
e´ dissipada em Z como energia te´rmica e´ um ma´ximo
quando Z”�=
 . (b) Mostre que esta poteˆncia ma´xima
vale <K��� G H cC;
5$ .
� (a) A corrente no circuito e´ dada pela relac¸a˜o
�A�
�
Q
Z
Com ela vemos que a expressa˜o <• !Z1$ que da´ a energia
te´rmica liberada em func¸a˜o de Z e´:
<• 'Zff$����
G
Zo�
�
G
Z
 c
Q
Zff$
G
Para encontrar o valor procurado de Z vamos procu-
rar o ponto maximo da curva <• 'Zff$ . O ponto de in-
flexa˜o de <• !Zff$ e´ obtido como raiz da primeira derivada:
–
<]
–
Zy��+ . Ou seja, da equac¸a˜o
–
<
–
Z
�
�
G
 c
Q
Zff$
G
�
8m�
G
Z
 '
Q
Zff$
‰
�
�
G
 c
Q
Zff$
‰	—
Q
Z��?85Z%˜‡��+D
Desta equac¸a˜o veˆ-se facilmente que a raiz procurada e´
ZF��
 . NOTA: para garantir que a poteˆncia seja real-
mente ma´xima e´ preciso ainda investigar-se a segunda
derivada de <• 'Zff$ ! Fac¸a isto.
(b) A poteˆncia ma´xima liberada e´:
<• 'Zy��
5$a���
G
ff�
�
G
 c
Q
5$
G
�
�
G
C;
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29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas
E 29-29.
Na Fig. 29-24 determine a corrente em cada resistor e a
diferenc¸a de potencial entre ™ e š . Considere � E �K� V,
� G �@� V, �
‰
��C V, Z E �d.3+,+]_ e Z G ���5+#_ .
� Aplicando a Lei das Malhas, no sentido anti-hora´rio,
nas duas malhas indicadas obtemos:
�DE[���iG\���
‰
���flG&Z%G›� + T
�U�BE„ZffE Q �iGœ� + T
que fornecem
�BE�
�HG
Z E
�
�
.3+,+
��+D
 +*� A
�
G
�
�1�?�#�2C
�5+
���N+7
 +,� A 
Note que �uG tem sentido contra´rio ao que foi arbitra-
do inicialmente no problema. Para encontrarmos a
diferenc¸a de potencial entre os pontos ™ e š computa-
mos as quedas de tensa˜o desde š ate´ ™ :
�Mž
Q
C
Q
�ff�o�M†*
De onde descobrimos que: � † �?� ž ��‹ Volts.
E 29-33.
Duas laˆmpadas, uma de resisteˆncia Z E e a outra de re-
sisteˆncia Z G , Z E Y�Z G esta˜o ligadas a uma bateria (a)
em paralelo e (b) em se´rie. Que laˆmpada brilha mais
(dissipa mais energia) em cada caso?
� (a) Seja � a fem da bateria. Quando as laˆmpadas sa˜o
conectadas em paralelo a diferenc¸a de potencial atreve´s
delas e a mesma e e´ a mesma que a fem da bateria. A
poteˆncia dissipada pela laˆmpada . e´ <^ER�”� G 5Z1E e a
poteˆncia dissipada pela laˆmpada 8 e´ Ÿ G ��� G mZ G . Co-
mo Z E e´ maior que Z G , a laˆmpada 8 dissipa energia a
uma taxa maior do que a laˆmpada . , sendo portanto a
mais brilhante das duas.
(b) Quando as laˆmpadas sa˜o conectadas em se´rie a
corrente nelas e´ a mesma. A poteˆncia dissipada pela
laˆmpada . e´ agora <^E2�� G ZffE e a poteˆncia dissipada
pela laˆmpada 8 e´ <eG#�@� G Z#G . Como Z1E e´ maior do que
Z#G , mais poteˆncia e´ dissipada pela laˆmpada . do que pe-
la laˆmpada 8 sendo agora a laˆmpada . a mais brilhante
das duas.
E 29-35.
Nove fios de cobre de comprimento   e diaˆmetro
–
esta˜o
ligados em paralelo formando um u´nico condutor com-
posto de resisteˆncia Z . Qual devera´ ser o diaˆmetro w de
um u´nico fio de cobre de comprimento   , para que ele
tenha a mesma resisteˆncia?
� De acoˆrdo com a Eq. 15 do Cap. 28, a resisteˆncia dos
9 fios juntos e´
ZK�¢¡
 
‹;"
� ¡
 
‹,£
–
G
�C
T
onde " e´ a a´rea de cada fio individual.
A resisteˆncia de um fio u´nico equivalente, com mesmo
comprimento   e´
Z#¤U� ¡
 
£jw
G
mC
Para que tenhamos ZŽ��Z1¤ vemos que e´ preciso ter-se
w¥��g
–
, que e´ a resposta procurada.
P 29-39.
Dispo˜e-se de um certo nu´mero de resistores de .:+¦_ ,
cada um deles capaz de dissipar somente . W. Que
nu´mero mı´nimo de tais resistores precisamos dispor nu-
ma combinac¸a˜o se´rie-paralelo, a fim de obtermos um
resistor de .3+%_ capaz de dissipar pelo menos � W?
� Divida os resistores em § grupos em paralelo, sendo
cada um destes grupos formado por um arranjo em se´rie
de ¨ resistores. Como todos os resistores sa˜o iguais, a
resisteˆncia equivalente e´
.
Z total
�
§
¨jZ
Como desejamos que Z total �KZ , precisamos escolher
¨©��§ .
A corrente em cada resistor e´ a mesma e temos um total
de ¨ G deles, de modo que a poteˆncia total dissipada e´
< total ��¨
G
< , sendo < a poteˆncia dissipada por apenas
um resistor. ´E pedido que < total Yª�,< , onde <«�.
W. Portanto, precisamos que ¨ G seja maior que � . O
menor nu´mero inteiro satisfazendo esta condic¸a˜o e´ g , o
que fornece o nu´mero mı´nimo de resistores necessa´rios:
¨
G
��‹ , ou seja, treˆs ramos em paralelo, cada ramo con-
tendo treˆs resistores em se´rie.
P 29-40.
� (a) Estando conectadas em paralelo, na˜o apenas a ddp
sobre as duas baterias e´ a mesma como tambe´m a cor-
rente � (positiva para a esquerda) que circula por elas e,
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portanto, 8m� a corrente que circula em Z . A regra das
malhas nos fornece �	���fl
%�?8m�uZ@�@+ , de modo que
�^�
�
 Q 8,Z
A poteˆncia dissipada e´
<d���
G
ZK�
�
G
Z
 '
 Q 85Zff$
G
O valor ma´ximo e´ obtido colocando-se igual a zero a
derivada de < em relac¸a˜o a Z :
–
<
–
Z
�
�
G
 c
 Q 8,Zff$
G
�
C,�
G
Z
 c
 Q 8,Z1$
‰
�
�
G
 c
1�?85Zff$
 '
 Q 8,Z1$
‰
Desta u´ltima expressa˜o verificamos que < tem um va-
lor extremo (que tanto pode ser um ma´ximo quanto um
mı´nimo), para Zy��
,58 .
Para verificar
que para ZK��
,,8 o valor de < realmente
e´ ma´ximo, voceˆ ainda precisa calcular
–
G
<]
–
Z
G
e ve-
rificar que tal derivada e´ negativa para Z”�ª
5,8 . Na˜o
deixe de conferir e, principalmente, perceber bem que
nos problemas de ma´ximo e mı´nimo, e´ sempre impres-
cindı´vel o ca´lculo da segunda derivada antes de se poder
afirmar a natureza das soluc¸o˜es.
(b) A taxa ma´xima de dissipac¸a˜o de energia e´ obtida
substituindo-se Zy��
5,8 na expressa˜o da poteˆncia:
< max �
�
G
,,8
 h8m
5$
G
�
�
G
J5
P 29-46.
Na Fig. 29-33, �DEy��g V, �HGd�¬. V, ZffEK����_ ,
Z
G
�…8“_ , Z
‰
�C­_ e as duas baterias sa˜o ideiais.
(a) Qual e´ a taxa de dissipac¸a˜o de energia em Z E ? Em
Z
G ? Em Z
‰
? (b) Qual e´ a poteˆncia da bateria . ? e da
bateria 8 ?
� (a) Usando a lei das malhas e a lei dos no´s obtemos o
sistema de treˆs equac¸o˜es envolvendo as treˆs inco´gnitas
�BE , �flG e �
‰
:
�
E
���
‰
Z
‰
���
E
Z
E
� +
T
�iG
Q
�uG&Z#GU���fiE(Z1E� +
T
�
‰
� �BE
Q
�uG,
Resolvendo estas equac¸o˜es, encontramos:
�BE�
�DE(Z%G
Q
�HG&Z
‰
Z
E
Z
G`Q
Z
E
Z
‰
Q
Z
G
Z
‰
�
�
.3‹
A
T
�uG®�
�DE~ZffE[���iG; 'ZffE Q Z
‰
$
Z E Z G`Q Z E Z
‰
Q Z G Z
‰
�
g
.:‹
A
T
�
‰
�
�DEm !Z1E Q Z#G:$^���HG&ZffE
Z E Z G`Q Z E Z
‰
Q Z G Z
‰
�
J
.:‹
A 
A poteˆncia dissipada em cada resistor e´
<AEU���
G
E
Z1E� +7
 g5C*� W T
<eG]���
G
G
Z%Gœ� +7
 +;�,+ W
T
<
‰
���
G
‰
Z
‰
� +7
°¯m+;‹ W 
(b) As poteˆncias fornecidas sa˜o:
<AE®� Q �
‰
�DEU��.,
b85�,g W
<eG›� �X�uG(�HG]���N+7
/.3�5J W 
O resultado para a segunda fonte e´ negativo pois a cor-
rente � G percorre-a no sentido contra´rio ao sentido de
sua fem.
Observe que .;
 8,�,gff��+D
 g,C;� Q +7
 +;�5+ Q +7
/.3�,J , como de-
veria ser.
P 29-50.
� (a) O fio de cobre e a capa de alumı´nio esta˜o conec-
tados em paralelo, de modo que a ddp sobre eles e´ a
mesma e, portanto,
�u±�Z#±r���
O
Z
O[T
onde o subı´ndice ‘C’ refere-se ao cobre e ‘A’ ao
alumı´nio. Para cada um dos fios sabemos que Z²�
¡i³
(" , ou seja,
Z#±?�´¡
±
³
£j™
G
T
Z
O
� ¡
O
³
£� !š
G
�S™
G
$
T
que substituidas em �u±�Z#±r��� O Z O fornecem
�
±
¡
±
™
G
�
�uO
¡
O
š
G
�S™
G
Resolvendo esta equac¸a˜o juntamente com a equac¸a˜o
�^���u±
Q
�
O , onde � e´ a corrente total, obtem-se
�fl± �
™
G
¡
±��
 !š
G
�S™
G
$
¡
±
Q
™
G
¡
O
�
O
�
 hš
G
�S™
G
$
¡
±��
 !š
G
�S™
G
$
¡
±
Q
™
G
¡
O
Numericamente, encontramos para o denominador o va-
lor de g7
/.:+�0�.:+
ˆ
E
€
_r9:§
‰
, e
�
±
��.,
/.,. A
T
�uOS��+D
 J;‹,g A 
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Marc¸o de 2006, a`s 8:21
(b) Considere o fio de cobre. Sendo �µ�¶.38 Volts a
ddp, usamos a expressa˜o
����� ± Z ± �
� ±
¡
±
³
£j™
G
T
de onde obtemos
³
�
£j™
G
�
� ± Z ±
��.385� metros 
P 29-51.
� Primeiro, devemos obter uma func¸a˜o Z1E5 c·‡$ que
fornec¸a o valor da resisteˆncia do pedac¸o de Z  que esta´
em paralelo com Z , bem como Z G c·Ł$ , que fornec¸a a
resisteˆncia do pedac¸o restante de Z  , de modo que te-
nhamos sempre Z  q¸Z E '·‡$ Q Z G c·Ł$ , qualquer que
seja o valor de · .
O enunciado do problema informa que a resisteˆncia Z 
e´ uniforme, isto e´, varia linearmente de + a Z  . Portanto,
ZffEm c·Ł$¹�
·
³
Z

T
Z#G, c·Ł$¹� Z

�SZ1E, c·Ł$a�ª);.U�
·
³
-
Z

T
onde · deve ser medido na mesma unidade que
³
, por
exemplo, em centı´metros.
Chamando-se de ZNº o paralelo de Z com ZffE temos
Z
º
�»Z#Z
E
7 'Z
Q
Z
E
$ e, consequentemente, a re-
sisteˆncia equivalente total Z]¼ do circuito e´
Z%¼A��Z
º]Q
Z
G
��Z
ºNQ�½
.U�
·
³ffi¾
Z

Como a corrente fornecida pela bateria e´ a mesma cor-
rente que passa tanto atrave´s de Z#G quanto do paralelo
ZNº , vemos facilmente que a diferenc¸a de potencial �M¿
sobre Z (que obviamente coincide com �ŁE sobre ZffE )
pode ser obtida da relac¸a˜o
�e�
�
Z%¼
�
�D¿
Z
º
 fl�
�‡E
Z
º
$
T
ou seja,
�
¿
�
Z
º
Z
¼
��
A poteˆncia pedida e´ enta˜o:
<f¿ �
�
G
¿
Z
�
.
ZKÀ
�fZ#ZffE&7 'Z
Q
ZffE($
 fi.U��·Ł
³
$BZ

Q
Z1Z1E:H !Z
Q
Z1E&$�Á
G
T
que, simplificada, fornece o resultado final
<e¿S�
.:+,+;ZW c�j·vmZ

$
G
 fi.:+;+,ZImZ

Q .3+5·•��·
G
$
G
T
onde · deve ser medido em centı´metros.
P 29-52.
A Fig. 29-11a (pg. 143) mostra .38 resistores, cada um de
resisteˆncia Z , formando um cubo. (a) Determine ZffE
‰
,
a resisteˆncia equivalente entre as extremidades da dia-
gonal de uma face. (b) Determine ZffEfi , a resisteˆncia
equivalente entre as extremidades da diagonal do cubo.
(Veja o Exemplo 29-4, pg. 143.)
� (a) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e g , o
‘truque’ e´ perceber que temos os pontos 8 e C no mes-
mo potencial, bem como os pontos � e J esta˜o no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o
altere as correntes. .....
Longos ca´lculos....: Z E
‰
��g,ZI�C .
(b) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e ¯ , o ‘tru-
que’ e´ perceber que temos os pontos C e � no mesmo
potencial, bem como os pontos g e � esta˜o no mesmo
potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo-
do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o
altere as correntes. .....
Longos ca´lculos....: ZffEfiÂ%�@�5ZIm� .
29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas
P 29-56.
Qual e´ a corrente, em termos de � e Z , indicada pe-
lo amperı´metro " na Fig. 29-41? Suponha que a re-
sisteˆncia do amperı´metro seja nula e a bateria seja ideal.
� Chamemos de a o terminal positivo da bateria, de b o
terminal negativo, de c o terminal do amperı´metro que
esta´ ligado entre 85Z e Z e, finalmente, de d o terminal
do amperı´metro que esta´ ligado entre Z e Z .
Chamemos de �fiE a corrente que flui atrave´s de 8,Z de
a para c. Analogamente, de �flG a corrente fluindo de a
para d. Finalmente, chamemos de �uO a corrente que flui
atrave´s do amperı´metro, indo de d para c. Assim, a cor-
rente de c para b sera´ �BE
Q
�uO , enquanto que a corrente
de d para b sera´ �uG%�r�uO . Estas informac¸o˜es devem ser
colocadas sobre a Figura do problema, para simplificar
o uso da lei das malhas.
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Verifique que a corrente que sai e que entra nos termi-
nais da bateria tem o mesmo valor, �BE Q �uG , como na˜o
poderia deixar de ser.
Da lei das malhas, aplicada aos circuitos bacb e badb
obtemos duas equac¸o˜es independentes:
� †&ž ��� � 85Z#�BE Q ZW '�fiE Q �uOA$
� Z#� GaQ ZW c� G ��� O $(
Ale´m disto, temos que
� †(à � 8,Z%�BE
� †(Ä � Z#�uGm
Pore´m, como a resisteˆncia do amperı´metro (suposto
ideal aqui) e´ nula, sabemos que �DO«qÅ� ÃuÄ �¢+ , ou
seja, que
� †(à q@� †(Ä 
Estas treˆs u´ltimas equac¸o˜es implicam termos
�flGN�o8m�BE
que, substituido na expressa˜o acima para � †&ž nos permi-
te determinar que �BEU�o8m�e7 h¯5Z1$ e que, finalmente,
�
O
�
�
¯5Z
P 29-58.
� A corrente em Z#G e´ � . Seja �BE a corrente em ZffE e
suponha-a para baixo. De acordo com a lei dos no´s, a
corrente no voltı´metro e´ �v�z�
E , para baixo. Aplicando a
lei das malhas no lac¸o da esquerda obtemos
�	���uZ
G
���
E
Z
E
���h
ff��+D
Aplicando a mesma lei no lac¸o da direita temos
�BE(Z1E[�� c�f�2�BE&$fiZffÆr��+D
Resolvendo estas equac¸o˜es encontramos
�e�
Z
E�Q
Z
Æ
Z1Æ
�BE
T
que quando substituida na primeira das equac¸o˜es acima
fornece-nos
�	�
 !Z1E
Q
ZffÆa$& 'Z#G
Q
m$
Z1Æ
�
EAQ
Z
E
�
E
��+
T
ou seja
�
E
�
�ÇZffÆ
 'ZffE
Q
ZffÆ`$( 'Z#G
Q
5$
Q
Z1E(Z1Æ
A leitura no voltı´metro sera´, portanto, �BE~ZffE , que e´ dada
por
 'gD
 + V $( !�7
 +“02.3+
‰
$& !8,�,+;$
 'g,+;+ Q .3+,+;$& !8;�5+ Q �7
 +�0�.:+
‰
$ Q h8,�,+;$( h�H
 +�02.3+
‰
$
expressa˜o esta que nos fornece o valor
�BE(Z1E� .,
/.38 Volts 
A corrente na auseˆncia do voltı´metro pode ser obtida da
expressa˜o de �fiE~Z1E no limite Z1Ær馃 :
� E Z E �
�ÇZ E
Z1E Q Z#G Q 
�
 'gD
 + V $( h8,�,+]_U$
8;�5+]_ Q g,+,+#_ Q .:+;+]_
� .;
Ê.�� Volts 
O erro fracional e´
Erro �
.,
/.3�%�X.,
/.38
.,
/.3�
��+D
 +;g,+
T
ou seja, g1Ë .
P 29-63.
A ponte de Wheatstone. Na Fig. 29-44 ajustamos o valor
de Z1Ì ate´ que os pontos ™ e š fiquem exatamente com
o mesmo potencial. (Verificamos esta condic¸a˜o ligan-
do momentaneamente um amperı´metro sensı´vel entre ™
e š ; se estes pontos estiverem no mesmo potencial, o
amperı´metro na˜o defletira´.) Mostre que, apo´s essa ajus-
tagem, a seguinte relac¸a˜o e´ va´lida:
Z#Íffi�@Z
Ì
Z
G
ZffE
� Chamando de �uÎ a corrente que passa de ZffE para Z#G
e de � Ä a corrente que passa de Z Ì para Z%Í , temos, su-
pondo � † �@� ž :
�
Î
Z
E
���fiÄ:Z#Ì e � Î Z G ���fiÄ&Z Í 
Portanto, da raza˜o entre estas duas expresso˜es encontra-
mos o resultado pedido.
� Procedimento sugerido por um aluno: Seja � E a cor-
rente em ZffE e Z%G e considere-a positiva quando apontar
na direc¸a˜o do ponto “a” ao passar por ZffE . Seja �uG a cor-
rente em Z Ì e Z#Í , considerando-a positiva quando ela
apontar na direc¸a˜o do ponto “b” ao passar por Z Ì . Com
esta convenc¸a˜o a regra da malhas fornece
 'ZffE
Q
Z%G3$u�BE`�X !Z%Í
Q
Z
Ì
$u�uG]��+7
 hÏ,$
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Como os pontos “a” e “b” esta˜o no mesmo potencial,
temos �BE~ZffE=�›�uG:Z Ì . Esta u´ltima equac¸a˜o nos da´
�uG“�F�BE~ZffE&5Z Ì , que quando substituida na equac¸a˜o (*)
acima produz
 'Z E�Q Z G $H� E �� 'Z Í]Q Z#Ì($
Z1E
Z%G
� E 
donde tiramos facilmente Z Í �@Z1ÌMZ G 5Z E .
P 29-64.
Se os pontos ™ e š na Fig. 29-44 forem ligados por um
fio de resisteˆncia 
 , mostre que a corrente no fio sera´
�^�
�` 'Z Ì ��Z#Í;$
 'Z Q 85
5$( 'Z1Ì Q Z Í $ Q 8,Z#̄Z Í
T
onde � e´ a fem da bateria ideal. Suponha que Z E �
Z
G
�oZ e que Z  �y+ . Esta fo´rmula e´ consistente com
o resultado do Problema 63? e do 56?
�
29.2.5 Circuitos RC
E 29-66.
Quantas constantes de tempo devem decorrer ate´ que um
capacitor em um circuito Zfft esteja carregado com me-
nos de . % de sua carga de equilı´brio?
� A equac¸a˜o que rege a carga de um capacitor e´
�1�ot#�a B.N��Ð]Ñ,Ò
Ó*Ô
$��ot#�a B.U��ÐfÑ,Ò
Õ
$
onde Ö e´ a constante de tempo. A carga de equilı´brio e´
atingida para ���yÉ , valendo enta˜o �ff��t#� . Portanto
.3+,+#�.
.:+,+
t#�2�ot#�a B.U��ÐfÑ,Ò
Õ
$
T
ou seja, ×/Ø
—
.U��+D
 ‹;‹m˜M�d�UCM
 �;+;�1�K�U�‚mÖ , fornecendo
����CM
 �;+;�^Ö7
E 29-68.
� (a) Basta igualar-se as duas expresso˜es para a carga
num capacitor:
�Ù� tff�
� t#�#);.U��Ð;ˆ
¼'ڂÛ
-
T
de onde tiramos que
�R�S�
�
�@Ð;ˆ
¼'Ú�Û
T
ou seja
�
�
Ö
� ln ) .38%�S�
.38 -
� ln ¯
.38	Ü
�N+7
b�5g,‹D
Desta expressa˜o, para ���K.;
 gffi0	.:+
ˆŁÝ
segundos, encon-
tramos
Öl�
.;
 gW0�.:+
ˆ‡Ý
+D
 �,g,‹ Ü
87
 CM.38\Þ s 
(b)
ty�
Ö
Z
�
8H
 CD.38ffi0�.:+
ˆŁÝ
.���02.3+
‰
��+D
Ê.3�7.102.3+HˆŁß F 
P 29-69.
Um capacitor com uma diferenc¸a de potencial de .3+,+ V
e´ descarregado atrave´s de um resistor quando uma cha-
ve entre eles e´ fechada no instante �ffi�ª+ . No instante
���.3+ s a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor
e´ . V. (a) Qual e´ a constante de tempo do circuito? (b)
Qual e´ a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor no
instante ���K.m¯ s?
� (a) A diferenc¸a de potencial � atrave´s das placas do
capacitor esta´ relacionada a` carga � na placa positiva pe-
la relac¸a˜o �¥���,,t , onde t e´ a capacitaˆncia. Como a
carga em um capacitor que se descarrega e´ controlada
por �•�d�  Ð
ˆ
¼'Ú�Û
, onde �  e´ a carga no instante �U��+ e
Ö e´ a constante de tempo, isto significa que
�“ '�B$a���

�
ˆ
¼'Ú�Û
T
onde �  q��  5t e´ a diferenc¸a de potencial existente no
instante inicial. Portanto
֓�d�
�
ln !�[5�  $ ���
.3+
ln
—
.mi.:+;+m˜`Ü
87
Ê.m¯ s 
(b) Para ���d.m¯ s, �‚�֓�d.m¯,,8H
/.�¯
Ü
¯i
 J,g e obtemos
���o�

Ð;ˆ
¼'Ú�Û
�� B.:+;+;$HÐ;ˆ
Â&à
ƒ�‰
Ü
g7
 ‹,�W0�.:+7ˆ
G V 
P 29-71.
Um capacitor de .]Þ F com uma energia inicial armaze-
nada de +7
b� J e´ descarregado atrave´s de um resistor de
. M _ . (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual
o valor da corrente atrave´s do resistor no momento em
que a descarga inicia? (c) Determine � ± , a voltagem
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atrave´s do capacitor, e �D¿ , a voltagem atrave´s do resis-
tor, em func¸a˜o do tempo. (d) Expresse a taxa de gerac¸a˜o
de energia te´rmica no resistor em func¸a˜o do tempo.
� (a) A energia armazenada num capacitor e´ áA±â�
�
G

H !8;tff$ , onde t e´ a capacitaˆncia e �  e´ a carga inicial
na placa. Portanto
�

��ã 8;tIá ± � ã 87 B.ff02.3+
ˆ‡Ý
F $( !+7
b� J $
� .ff0�.:+7ˆ‡‰ C
� . mC 
(b) A carga em func¸a˜o do tempo e´ �1�@�  Ð
ˆ
¼'ڂÛ
, onde Ö
e´ a constante de tempo. A corrente e´ a derivada da carga
em relac¸a˜o ao tempo:
�A�d�
–
�
–
�
�
�

Ö
Ð,ˆ
¼'Ú�Û
[O sinal negativo e´ necessa´rio pois a corrente de descar-
ga flui no sentido oposto ao sentido da corrente que fluiu
durante o processo de carga.]
A corrente inicial e´ dada pela expressa˜o acima no ins-
tante �A��+ : �  �@�  �Ö . A constante de tempo e´
Öl�@Zffty�� fi.I0�.:+7ˆ‡Ý F $( fi.ff0�.:+;ÝN_U$��d. s 
Portanto
�

�
.ff0�.:+
ˆ‡‰
C
. s
��. mA 
(c) Substitua �1�@�  Ð
ˆ
¼cÛ
em �M±r���,,t obtendo enta˜o
�
±
 c�B$a�
�

t
Ð;ˆ
¼'ڂÛ
�
.ff02.3+
ˆŁ‰
C
.ff02.3+
ˆŁÝ
F
Ð,ˆ
¼'Ú&ä
E s å
� fi.ff0�.:+;‰:$^Ð;ˆ
¼ V
T
onde � e´ medido em segundos.
Substitua �^�� '�  mÖD$HÐ
ˆ
¼'Ú�Û
em �D¿S���uZ , obtendo
�D¿U '�B$¹�
�

Z
Ö
Ð
ˆ
¼'Ú�Û
�
 B.I0�.:+
ˆŁ‰
C $& fi.ff0�.:+
Ý
_U$
 B. s $
Ð,ˆ
¼'Ú&ä
E s å
� B.I0�.:+,‰:$HÐ;ˆ
¼ V
T
com � medido em segundos.
(d) Substitua �A�� !�  �ÖD$HÐ
ˆ
¼'Ú�Û
em <d���
G
Z , obtendo
<• c�B$¹�
�
G

Z
Ö
G
Ð
ˆ
G
¼'Ú�Û
�
 fi.ff0�.:+
ˆŁ‰
C $ G B.ff02.3+
Ý
_U$
 B. s $ G
Ð
ˆ
G
¼'Ú&ä
E s å
� fi.3$7Ð
ˆ
G
¼ W
T
novamente com � medido em segundos.
P 29-72.
Um resistor de g M _ e um capacitor de .UÞ F esta˜o liga-
dos em um circuito de uma u´nica malha com uma fonte
de fem com �2�@C V. Apo´s . s de feita a ligac¸a˜o, quais
sa˜o as taxas nas quais: (a) a carga do capacitor esta´ au-
mentando; (b) a energia esta´ sendo armazenada no ca-
pacitor; (c) a energia te´rmica esta´ aparecendo no resistor
e (d) a energia esta´ sendo fornecida pela fonte de fem?
�
(a) A carga na placa positiva do capacitor e´ dada por
�1�ot#�
À
.U�SÐ;ˆ
¼'Ú�Û
Á
T
onde � e´ a fem da bateria, t e´ a capacitaˆncia, e Ö e´ a
constante de tempo capacitiva. O valor de Ö e´
Öl��ZfftK�� !gW02.3+,ÝU_U$( B.I02.3+HˆŁÝ F $��@g s 
Para �A�d. s temos
�
Ö
�
. s
g s Ü
+D
 g;g,g
e a taxa com a qual a carga esta´ aumentando e´
–
�
–
�
�
t#�
Ö
Ð;ˆ
¼'Ú�Û
�
 B.ff02.3+
ˆŁÝ
F $& cC V $
g s
Ð;ˆ

à
‰‚‰�‰
Ü
‹D
 �;��02.3+Hˆ
 C/s 
Observe que ‘Coulombs/segundo’ e´ a definic¸a˜o de
Ampe`re, a unidade de corrente.
(b) A energia armazenada no capacitor e´ dada por áA±?�
�
G
H h8,tff$ e sua taxa de carga e´
–
á
±
–
�
�
�
t
–
�
–
�
Para �A�d. s temos
�»� t#�
À
.U�SÐ
ˆ
¼'Ú�Û
Á
� fi.ffi02.3+
ˆ‡Ý F $( 'C V $
À
.U��Ð
ˆ

à
‰�‰‚‰
Á
Ü
.,
/.:g�0�.:+
ˆ‡Ý C
T
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de modo que
–
�
–
�
� )
.,
/.:g�02.3+
ˆŁÝ
C
.ff0�.:+
ˆ‡Ý
F -
 '‹D
 �;�ffi0�.:+ ˆ
 C/s $
Ü
.,
 +,J�0�.:+HˆŁÝ W 
(c) A taxa com a qual a energia esta´ sendo dissipa-
da no resistor e´ dada por <�æ� G Z . A corrente e´
‹7
b�,��0�.:+
ˆ
 A, de modo que
<d�� '‹7
b�,��0�.:+7ˆ
 A $ G !gW0�.3+,Ýj_U$
Ü
8H
°¯�CW0�.:+HˆŁÝ W 
(d) A taxa com a qual a energia e´ fornecida pela bateria
e´
�fl�©�� !‹7
b�,��02.3+Hˆ
 A $( 'C V $
Ü
g7
 J;8�0�.:+7ˆ‡Ý W 
A energia fornecida pela bateria e´ ou armazenada no
capacitor ou dissipada no resistor. O princı´pio da
conservac¸a˜o da energia requer que
�fl�z�
–
á�±a
–
�
Q
�
G
Z�
Os valores nume´ricos acima satisfazem o princı´pio de
conservac¸a˜o, como se pode verificar facilmente.
P 29-78.
No circuito da figura abaixo, �2�K.;
 8 kV; td���7
b�%Þ F;
Z
E
�¥Z
G
�ªZ
‰
�¥+D
b¯5g M _ . Com t completamente
descarregado, a chave ç e´ subitamente fechada ( �a�o+ ).
(a) Determine as correntes atrave´s de cada resistor para
����+ e ���oÉ . (b) Trace um gra´fico que descreva quali-
tativamente a queda do potencial �DG atrave´s de Z#G desde
�%��+ a �]�FÉ . (c) Quais sa˜o os valores nume´ricos de
�MG em �ffi�=+ e ���’É . (d) Deˆ o significado fı´sico de
���oÉ no presente problema.
� (a) Em ����+ o capacitor esta´ completamente des-
carregado e a corrente no ramo do capacitor e´ a que
terı´amos se o capacitor fosse substituido for um fio con-
dutor. Seja �BE a corrente em ZffE ; tome-a positiva quando
aponta para a direita. Seja �flG a corrente em Z%G , positiva
quando apontar para baixo. Seja �
‰
a corrente em Z
‰
,
positiva quando apontar para baixo.
Usando a lei dos no´s e a lei das malhas obtemos
Lei dos no´s è �BE\���uG Q �
‰
T
Malha esquerda è �R�2�BE(Z1E[���uG&Z#G]��+ T
Malha direita è �uG(Z#GU�2�
‰
Z
‰
�@+7
Como todas as resisteˆncias sa˜o iguais, podemos des-
prezar os subı´ndices, escrevendo apenas Z , onde Z”q
ZffEU�@Z%G]�@Z
‰
.
A u´ltima das treˆs equac¸o˜es acima nos diz que �
‰
�ª�uG
resultado que, substituido na primeira das equac¸o˜es aci-
ma, nos da �uG]���BE&,8 . Com isto tudo, na˜o e´ difı´cil agora
usar-se a equac¸a˜o do meio para obter-se que
�BEU�
8m�
g;Z
�
87 B.,
b8ffi0�.:+
‰
V $
gM '+D
b¯5g�0�.:+
Ý
_U$ffiÜ
.;
Ê.ff0�.:+7ˆ‡‰ A
e, consequentemente, que
�
G
���
‰
�
�
g,Z
�
.,
b8�02.3+
‰
V
gD !+7
°¯mg�02.3+
Ý
_U$
Ü
�H
b��02.3+
ˆM4 A 
Em ���oÉ o capacitor estara´ completamente carrega-
do sendo portanto zero a corrente no ramo que conte´m
o capacitor. Enta˜o �fiEU���uG e a lei das malhas fornece
�	���fiE~Z1E[���uG&Z#G]��+
T
o que nos fornece a soluc¸a˜o
�
E
���
G
�
�
85Z
�
.,
b8�02.3+
‰
V
87 !+7
°¯mg�02.3+
Ý
_U$
Ü
J7
b8�02.3+
ˆM4 A 
(b) Considere a placa superior do capacitor como sen-
do positiva. Isto e´ consistente com a corrente que
flui em direc¸a˜o a esta placa. As leis dos no´s e das
malhas sa˜o �BEd���flG
Q
�
‰
, �o�d�BE~Zé�d�BE~Zê�¹+ , e
�I !�,5tff$]���
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�uG(Zµ�â+ . Use a primeira equac¸a˜o
para substituir �BE na segunda e obter �­�28m�uG(Z��z�
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Zo�
+ . Portanto � G � c�K�Ž�
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Zff$‚H h85Zff$ . Substitua es-
ta expressa˜o na terceira equac¸a˜o acima obtendo enta˜o
�I !�,5tff$\�d '�
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Zff$
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 c�e,8,$\�d '�
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ZI58,$•�«+ . Substitua
agora �
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por
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� obtendo
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g,Z
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–
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8
Como na˜o e´ difı´cil de reconhecer, esta e´ a equac¸a˜o de
um circuito Zfft em se´rie, exceto que a constante de tem-
po e´ Ö?�>g,Zfft158 e a diferenc¸a de potencial aplicada e´
�^58 . A soluc¸a˜o e´, portanto,
�H '�B$��
t#�
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Marc¸o de 2006, a`s 8:21
A corrente no ramo que conte´m o capacitor e´
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 c�B$`�
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–
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A corrente no ramo do centro e´
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G ¼'Ú&ä
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enquanto que a diferenc¸a de potencial ao atravessar-se
Z G e´
�MG* c�B$a���flG:Zy�
�
��g1��Ð;ˆ
G ¼'Ú&ä
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Á
Gra´fico de �DG; c�B$ : fac¸a-o voceˆ mesmo, usando a equac¸a˜o
acima!! ´E uma curva que parte do valor ì5G]���emg , cres-
cendo assimpto´ticamente para o valor �e58 .
(c) Para ���o+ , o fator exponencial Ð
ˆ
G ¼'Ú&ä
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¿ ±
å e´ igual a
. e
�DG%�
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g
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 8�0�.:+
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g
��C;+;+ V 
Para �A�oÉ , o fator exponencial Ð
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G Ú&ä
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¿ ±
å e´ zero e
�DG%�
�
8
�
.;
 8�0�.:+
‰
V
8
���,+;+ V 
(d) O significado fı´sico de “tempo infinito” e´ um certo
intervalo de tempo suficientemente grande para que se
possa considerar como sendo zero o valor da corrente
que circula no ramo contendo o capacitor. Tal intervalo
de tempo devera´ ser muitas vezes maior que a constante
de tempo caracterı´stica do circuito em questa˜o.
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