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MATEMÁTICA
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REPRESENTAÇÂO DOS CONJUNTOS
Os conjuntos são representados por letras
maiúsculas e os elementos do mesmo são
representados entre chaves. Assim, teríamos:
O conjunto das letras do nosso alfabeto; L=
{a, b, c, d,..., z}.
O conjunto dos dias da semana: S=
{segunda, terça,... domingo}.
A representação de conjuntos pode ser feita
de três maneiras:
1º - Por extensão
Um conjunto pode ser descrito por
extensão: quando o número dos seus elementos for
finito e suficientemente pequeno enumerando
explicitamente todos os seus elementos colocados
entre chaves e separados por vírgulas.
Exemplos:
A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,...,
Novembro, Dezembro} - Conjunto dos meses do
ano.
V = {a, e, i, o, u} - Conjunto das vogais.
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…} Conjunto dos
números pares positivos.
2º - Por compreensão:
Um conjunto é representado por
compreensão quando: é enunciada uma
propriedade característica dos seus elementos. Isto
é, uma propriedade que os seus e só os seus
elementos possuam.
Exemplos:
B(meses do ano)
C= {letras do alfabeto}
D= {os meus CDs de música}
P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N}
Q = {x ∊ N: x é primo}
R = {x: x é um número natural par e
positivo}
3º - Por diagramas (diagramas de Venn)
Conjunto unitário
É o conjunto que possui um único elemento.
Assim, teríamos:
A= {fevereiro}, B = {Número primo que é par}.
Conjunto vazio
É o conjunto que não possui elementos.
É representado por: {} ou Ø
Assim teríamos: A= {} ou A = Ø
RELAÇÃO DE INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS
Seja por exemplo, o conjunto das letras do
nosso alfabeto:
B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,..., z}
Vemos que B é formado por um conjunto de
vogais (V) e um conjunto de consoantes (C). Logo
poderíamos dizer que o conjunto das vogais faz parte
do conjunto das letras do nosso alfabeto, e indica-se
por:
V ⊂ B ou B ⊃ V
Assim se lê cada um dos dois símbolos:
⊂ ..... “Está contido em”
⊃ ..... “Contém”
Em caso contrário indicaríamos por:
⊄ ..... “Não está contido em”
⊅ ..... “Não contém”
A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∊ A⇒ X ∊ B)
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Observação importante: O conjunto vazio
é o único conjunto que é subconjunto de qualquer
conjunto
RELAÇÃO DE IGUALDADE
Dois conjuntos, M e N, dizem-se iguais
quando todo elemento de M pertence a N, e todo
elemento de N pertence a M, ou seja, M é
subconjunto de N e N é subconjunto de M.
Logo: Se M ⊂ N e M ⊃ N → M=N
Exemplificando teríamos:
M = {Márcia, Maria, Fábio}
N = {Fábio, Maria, Márcia}
Podemos ver que os elementos de M estão
em N e que o mesmo acontece com os elementos
de N, então podemos dizer que M=N.
CONJUNTO UNIVERSO
REPRESENTAÇÃO DE VENN
Seja por exemplo, o conjunto dos dias da
semana que começam com S.
Logo:
S={ segunda-feira, sexta-feira, sábado}
Podemos verificar que esse conjunto é um
subconjunto do conjunto D dos dias da semana.
D={Terça-feira, quarta-feira, Quinta-feira,
Domingo}
Um modo prático e fácil de ilustrar este
conjunto é representando-o através de
REPRESENTAÇÃO DE VENN.
Consiste em representar os elementos de
um conjunto internamente a um retângulo
(geralmente) e os elementos dos subconjuntos,
limitados por uma linha fechada e não entrelaçada.
Assim teríamos:
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS:
∩ É a operação que permite determinar
conjunto dos elementos comuns a dois ou mais
conjuntos.
Indicação: ∩
Sejam dados: A={ 1, 2, 3, 4} e B={0, 1, 3 ,
5}
Temos: A ∩ B = { 1, 2, 3, 4} ∩ {0, 1, 3 , 5} =
{1, 3 }
A ∩ B = {x/ x ∊ A e x ∊ B}
2) UNIÃO DE CONJUNTOS: U
É a operação que permite determinar o
conjunto de todos os elementos pertencentes a dois
ou mais conjuntos.
Sejam dados: A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 0, 1, 3,
5} temos:
A U B = { 1, 2, 3, 4} U { 0, 1, 3, 5} = { 0, 1, 2,
3, 4, 5}
Esquemáticamente teríamos:
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A U B = {x/ x ∊ A ou x ∊ B}
RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
Quando um elemento está em um conjunto,
dizemos que ele pertence a esse conjunto.
Exemplos:
F = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
- lê-se: 2 pertence a F.
- lê-se: 3 não pertence a F.
Já entre conjuntos, é errado usar a relação
de pertinência. Assim, utilizamos as relações de
inclusão.
G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
- lê-se: F está contido em G.
- lê-se: G não está contido em F.
- lê-se: G contém F.
As principais operações com conjuntos são:
União
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3,
4, 5}, a união é o conjunto formado pela reunião dos
elementos de A e de B.
Representação: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3,
4, 5}, a diferença entre A e B é o conjunto formado
pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se de
A o que for comum com B.
Representação: A - B = {0, 1}.
CUIDADO: há um engano muito comum
nessa operação, que é pensar em todos os
elementos que aparecem, menos os repetidos, ou
seja, achar que a diferença seria dada, nesse
exemplo, por {0, 1, 4, 5}.
Intersecção
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, a
intersecção é o conjunto formado pelos elementos
comuns de A e B, isto é, pelos elementos "repetidos".
Representação: A B = { 2, 3}.
Produto Cartesiano
Exemplo: dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5}, o produto cartesiano de A por B é o
conjunto formado por todos os pares possíveis
formados com os elementos de A e de B. Esses
pares são chamados de ordenados, pois cada um é
formado por um elemento de A e um elemento de B,
nessa ordem.
Representação:
ou
ou ainda no Plano Cartesiano:
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Complementar
É uma modalidade de diferença de
conjuntos, que ocorre quando um conjunto está
contido em outro.
Exemplo: dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3},
o complementar de B em A é a diferença A - B.
Representação: CAB = A - B = {0, 1}.
Já o complementar de A em B é a diferença
B - A.
Representação: CBA = B - A= { }.
Cardinalidade
Cardinalidade é o número de elementos do
conjunto.
Representação:
n(A) = 3 - (o número de elementos do
conjunto A = {0, 1, 3} é 3)
Cardinalidade da união:
n(A B) = n(A) + n(B) - n(A " B)
O número de elementos da união de dois
conjuntos é igual à soma do número de elementos
de cada conjunto, menos a quantidade de
elementos repetidos.
NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais, por
definição, é formado pela união dos números
racionais com os irracionais.
Vejamos, a seguir, cada um destes
conjuntos numéricos.
1. CONJUNTO DOS NÚMEROS
NATURAIS (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
2. CONJUNTO DOSNÚMEROS INTEIROS
(Z)
O conjunto dos números naturais reunidos
com os números inteiros negativos forma o
Conjunto dos Números Inteiros Relativos.
Z = {... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4...}
OBS: O uso do asterisco (*) junto ao
símbolo de um conjunto numérico qualquer que
compreenda originalmente o elemento zero, indica
que este elemento foi retirado do conjunto.
Ex: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Z* = {... –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4...}
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS (Q)
É o conjunto dos números que podem ser
escritos em forma de fração. A letra “Q” que
representa o conjunto dos números racionais vem da
palavra quociente, isto é, um número racional é o
resultado do quociente (divisão) entre dois números
inteiros.
Q = {x x = a , sendo a Є Z e b Є Z*}
b
Na divisão entre dois números inteiros,
podem ocorrer três resultados: número inteiro,
número decimal com casas decimais finitas, ou
dízimas periódicas.
3.1. Números Inteiros
O número inteiro é racional, uma vez que
pode ser o resultado de uma divisão de dois números
inteiros e, portanto, pela definição, faz parte do
conjunto dos racionais.
Ex: 15 = 3, 8 = 4, –16 = –4, 21 = –7
5 2 4 –3
3.2. Números Decimais Finitos
Todos os números em sua forma decimal,
que contenham uma quantidade finita de algarismos
após a vírgula, também são resultado de uma fração
entre dois números inteiros.
Ex:
3 = 1,5 5 = 0,5 326 = 0,326 1 = 0,125
2 10 1000 8
3.3. Dízimas Periódicas
São números decimais com uma infinidade
de números após a vírgula, os quais se repetem. A
parte que se repete é chamada de período. Estes
números também resultam de uma fração entre dois
inteiros.
Ex: 2/9 = 0,222..., 1/3 = 0,3333..., 2/3=
0,6666...
4. CONJUNTO DOS NÚMEROS
IRRACIONAIS (I)
I = {x x não é quociente de números inteiros}
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Q
Z
I
N
São os números decimais que possuem
infinitos algarismos após a vírgula sem formar um
período.
Ex: √2 = 1,41421356...
= 3,1415926535...
5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
É a união dos conjuntos dos números
Racionais (Q) com o conjunto dos números
Irracionais (I).
R = Q I
N Z Q R
I R
Q R
Podemos dizer que existe uma
correspondência biunívoca entre os números reais
e os pontos de uma reta. Temos assim a reta real,
na qual colocamos apenas alguns números reais:
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Operações com Números Racionais
A adição (soma)
A adição é uma das quatro operações
básicas da álgebra. Consiste em combinar dois
números (chamados de termos, somandos ou
parcelas) em um único número, a soma. Para se
adicionar mais números, basta repetir a operação.
Em termos mais simples, podemos pensar na
operação de adição quando nosso desejo é juntar
coisas que estão separadas.
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Em um colégio, existem 3 turmas. A
primeira turma tem 14 alunos, a segunda tem 19
alunos e a terceira tem 15 alunos. Quantos alunos o
colégio possui?
Para determinarmos a quantidade de
alunos que o colégio possui, basta juntarmos os
alunos de todas as turmas. Isto é: somar a
quantidade de alunos de cada turma.
14 + 19 + 15 = 48
Portanto, existem 48 alunos neste colégio.
ADIÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
Em seu aniversário de 7 anos, Leonardo
recebeu presentes em dinheiro. Seu pai lhe deu R$
15,50, sua mãe R$ 7,65 e seu irmão R$ 8,28. Qual o
valor total recebido por Leonardo?
Para calcularmos o valor total recebido por
Leonardo, basta somarmos todos os valores
recebidos.
Para realizar a adição de números decimais,
as parcelas são dispostas de modo que se tenha
vírgula sobre vírgula.
A soma é feita por colunas, da direita para a
esquerda. Caso a soma da coluna ultrapasse o valor
9 (nove), somente preencheremos o campo de
resultado com o dígito direito do resultado obtido. Os
dígitos restantes ficarão acima da coluna
imediatamente à esquerda da coluna somada. No
caso da coluna somada ser a última, todos os dígitos
poderão ser incluídos no campo de resultado.
Neste exemplo, a primeira coluna a ser
somada tem os seguintes valores: 0, 5 e 8. Portanto,
0 + 5 + 8 = 13. Como o resultado ultrapassou o valor
9, preencheremos o campo de resultado somente
com o o dígito direito do resultado obtido (neste caso,
o número 3). O dígito 1 será incluído acima da coluna
imediatamente à esquerda da coluna calculada.
Na segunda coluna, os valores a serem
somados incluem o número 1 colocado acima desta
coluna. Portanto, 1 + 5 + 6 + 2 = 14. O mesmo
procedimento é utilizado até calcularmos todas as
colunas, obtendo-se assim a soma desejada.
Com este resultado, sabemos que o valor
total recebido por Leonardo é R$ 31,43.
ADIÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Podemos definir as frações como partes de
um todo. Por exemplo, teremos de uma pizza se
dividirmos esta pizza em 8 pedaços iguais e
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tomarmos 3 destas partes. Também definimos a
fração como o resultado da divisão de dois
números. Por exemplo, a fração é o resultado da
divisão de 3 por 8.
Para somar frações que tenham o mesmo
denominador, basta somar seus numeradores,
como no exemplo abaixo:
No caso de frações com denominadores
diferentes, devemos seguir alguns passos. Para
entendermos este processo, calcularemos a
seguinte soma de frações:
1.º Passo: Encontrar um número que seja
múltiplo de todos os denominadores (para isto,
podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em
outro tópico). Este número será o novo
denominador.
Podemos utilizar, neste exemplo, o número 30
como múltiplo de todos os denominadores.
2.º Passo: Representar todas as frações da
adição com este mesmo denominador. Para
representar cada fração com este novo
denominador, basta dividirmos este novo
denominador pelo numerador da fração, e então
multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta
mesma fração, obtendo assim o novo numerador
desta fração.
Nas frações de nosso exemplo as contas
são: 30 ÷ 3 × 7 = 70, 30 ÷ 2 × 4 = 60 e 30 ÷ 5 × 4 =
24. Portanto, temos:
Apenas simplificando, temos:
Propriedades Importantes da Adição
Comutatividade: A ordem das parcelas
não altera o resultado final da operação. Assim, se
x + y = z, logo y + x = z.
Associatividade: O agrupamento das
parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) +
z = w, logo x + (y + z) = w.
Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não
altera o resultado das demais parcelas. O zero é
chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x
+ y = z, logo x + y + 0 = z.
Fechamento: A soma de dois números
naturais será sempre um número natural.
Anulação: A soma de qualquer número e o
seu oposto é zero. Exemplo: 2 + (-2) = 0.
A SUBTRAÇÃO
A subtração pode ser considerada como o
oposto da adição. Pensamos em subtração quando
queremos tirar um valor de outro, para saber quanto
restará. Por exemplo, temos:
a - b = c
Nesta subtração, temos que: a é o
minuendo, b é o subtraendo e c é a diferença (ou
resto).
Subtração de Números Inteiros
Um carteiro, de nome Francisco, deve
entregar 100 correspondênciaspor dia. Se em
determinado dia, até seu almoço, Francisco entregar
63 correspondências, quantas ele deverá entregar
após o almoço para atingir sua meta?
Para determinarmos a quantidade de
correspondências que devem ser entregues após o
almoço, devemos subtrair o número de
correspondências já entregues. Ou seja, subtrair 63
de 100:
100 - 63 = 37
Portanto, Francisco deverá entregar 37
correspondências após o almoço.
Subtração de Números Decimais
Marta foi à feira e levou R$ 43,50. Durante
suas compras, Marta gastou 31,23. Com quanto
dinheiro Marta voltou para casa?
Para calcularmos o valor restante, basta
subtrairmos o valor gasto do valor inicial.
Para realizar a subtração de números decimais, as
parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula
sobre vírgula.
A subtração é feita por colunas, da direita
para a esquerda, onde devemos retirar do dígito do
minuendo o dígito do subtraendo. Caso o dígito do
minuendo seja menor do que o dígito do subtraendo,
devemos retirar uma unidade do dígito do minuendo
imediatamente à esquerda do dígito que está sendo
calculado, e somar 10 (dez) ao dígito do minuendo do
cálculo atual.
Neste exemplo, a primeira coluna a ser
subtraída apresenta os seguintes valores: 0 (dígito do
minuendo) e 3 (dígito do subtraendo). Como o dígito
do minuendo é menor que o dígito do subtraendo,
precisamos retirar 1 (um) do dígito do minuendo à
esquerda (neste caso, o dígito 5). Após isto, devemos
somar 10 (dez) ao dígito do minuendo do cálculo
atual. Portanto, o dígito 5 passa a valer 4, e o dígito 0
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passa a valer 10. Veja abaixo como ficou a
subtração após o cálculo da primeira coluna:
O mesmo procedimento é utilizado até
calcularmos todas as colunas, obtendo-se assim a
subtração desejada.
Com este resultado, sabemos que Marta
voltou para casa com R$ 12,27.
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Para subtrair frações que tenham o mesmo
denominador, basta subtrair seus numeradores,
como no exemplo abaixo:
No caso de frações com denominadores
diferentes, devemos seguir alguns passos. Para
entendermos este processo, calcularemos a
seguinte subtração de frações:
1.º Passo: Encontrar um número que seja
múltiplo de todos os denominadores (para isto,
podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em
outro tópico). Este número será o novo
denominador.
Podemos utilizar, neste exemplo, o número
30 como múltiplo de todos os denominadores.
2.º Passo: Representar todas as frações da
subtração com este mesmo denominador. Para
representar cada fração com este novo
denominador, basta dividirmos este novo
denominador pelo numerador da fração, e então
multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta
mesma fração, obtendo assim o novo numerador
desta fração.
Nas frações de nosso exemplo as contas
são: 30 ÷ 15 × 13 = 26 e 30 ÷ 2 × 1 = 15. Portanto,
temos:
Propriedades Importantes da Subtração
3) Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não
altera o resultado das demais parcelas. O zero é
chamado "elemento neutro" da adição. Assim, x - 0 =
x, y - 0 = y e x - 0 - y = x - y.
4) Fechamento: A diferença de dois
números naturais será sempre um número natural.
5) Anulação: Quando o minuendo é igual ao
subtraendo, a diferença será 0 (zero). Exemplo: 2 - 2
= 0.
A MULTIPLICAÇÃO
Em sua forma mais simples, a multiplicação
nada mais é do que uma simples forma de se somar
uma quantidade finita de números iguais. Na
multiplicação cada número é chamado de fator, e o
resultado da multiplicação é chamado de produto.
A multiplicação pode ser escrita de diversas
formas, todas elas equivalentes: 3 × 4 = 3 . 4 = 3 * 4.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação de números inteiros pode ser
considerada como uma soma de parcelas iguais. Por
exemplo:
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
O número 3 apareceu 4 vezes. Portanto, 4
vezes 3 é igual a 12. Da mesma forma temos:
3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Neste caso, o número 4 apareceu 3 vezes.
Então, 3 vezes 4 é igual a 12.
Problema: Sabemos que Patrícia treina
natação durante 45 horas a cada mês. Quantas
horas Patrícia treina durante um ano?
Para determinarmos quantas horas de
treinamento Patrícia realiza em um ano, devemos
multiplicar a quantidade de horas de treinamento em
um mês (15) pela quantidade de meses em um ano
(12).
Temos, portanto, a seguinte multiplicação a
ser realizada: 15 × 12.
Para realizarmos a multiplicação, montamos
a conta da seguinte maneira:
Da direita para esquerda, devemos
multiplicar cada dígito do segundo fator por todos os
dígitos do primeiro fator.
A disposição do resultado se dará da direita
para a esquerda, iniciando-se abaixo do dígito do
segundo fator que está sendo calculado.
Caso a multiplicação de dois dígitos
ultrapasse o valor 9 (nove), somente preencheremos
o campo de resultado com o dígito direito do
resultado obtido. Os dígitos restantes ficarão acima
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do dígito do primeiro fator, imediatamente à
esquerda do dígito calculado. No caso do dígito da
esquerda do primeiro fator, todos os dígitos
poderão ser incluídos no campo de resultado.
Neste exemplo, temos a seguinte
multiplicação: 2 × 5 = 10. Portanto, o 0 (zero) fica
abaixo do 2, e o 1 fica acima do dígito 1 do primeiro
fator.
Quando o dígito do primeiro fator estiver
sendo multiplicado e tiver herdado um número
acima, será feita a multiplicação normalmente, e
após isto será somado o valor que estiver acima
deste dígito, conforme mostra o exemplo abaixo,
onde 2 × 1 + 1 = 3
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser
decomposto num produto de dois ou mais
fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2
3
x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são
primos.
Chamamos de fatoração de 24 a
decomposição de 24 num produto de fatores
primos. Então a fatoração de 24 é 2
3
x 3.
De um modo geral, chamamos de
fatoração de um número natural,
maior
que 1, a sua decomposição num
produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um
número. Acompanhe, no exemplo, os passos para
montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo
seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o
quociente obtido pelo menor
divisor primo desse
quociente e assim
sucessivamente até obter o
quociente 1.
A figura ao lado mostra a
fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 3
2
x 5 x 7.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Diz-se que um número m é múltiplo comum
dos número a e b se m é múltiplo de a e também é
múltiplo de b, ou seja.
m = k × a e m = w × b
onde k e w números naturais.
Exemplos: Múltiplos comuns
(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.
Determinaremos agora todos os números
que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo
que obter todos os divisores naturais de 18.
18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18
18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9
18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6
O número 18 é múltiplo comum de todos os
seus divisores, logo:
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
Agora obteremos os múltiplos comuns dos
números a e b. Para isso denotaremospor M(a) o
conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos
múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os
conjuntos M(a) e M(b).
Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,
42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}
M(3) M(5)={0,15,30,45,...}
Como estamos considerando 0 (zero) como
número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de
todos os múltiplos de números naturais e será
sempre o menor múltiplo comum, mas por definição,
o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais
números naturais é o menor múltiplo comum a esses
números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:
M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}
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o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é
igual a 15.
Ao trabalhar com dois números a e b,
utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o
Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais
a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo
comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12
O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é
igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b.
Por exemplo, se a=3 e b=5:
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3) M(5)={0,15,30,45,...}
M(15)={0,15,30,45,60,...}
Observe que M(15)=M(3) M(5)
Método prático para obter o MMC
Do ponto de vista didático, o processo
acima é excelente para mostrar o significado do
MMC mas existe um método prático para realizar tal
tarefa sem trabalhar com conjuntos.
1. Em um papel faça um traço vertical,
de forma que sobre espaço livre tanto à direita
como à esquerda do traço.
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|
|
2. À esquerda do traço escreva os
números naturais como uma lista, separados por
vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo,
tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço
vertical e do lado direito do traço poremos o menor
número primo que divide algum dos números da
lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2.
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2
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| 2
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3. Dividimos todos os números da lista
da esquerda, que são múltiplos do número primo que
está à direita do traço, criando uma nova lista
debaixo da lista anterior com os valores resultantes
das divisões (possíveis) e com os números que não
foram divididos.
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4. Repetimos a partir do passo 3 até
que os valores da lista que está do lado esquerdo do
traço se tornem todos iguais a um.
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24
5. O MMC é o produto dos números
primos que colocamos do lado direito do traço e
neste caso: MMC(12,22,28)=924. Exemplo: Obtemos
o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:
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e depois dividimos todos os números da
lista da esquerda pelos números primos (quando a
divisão for possível), criando novas listas sob as
listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de
todos os números primos que colocamos do lado
direito do traço.
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3
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0
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Para obter o Máximo Divisor Comum
devemos introduzir o conceito de divisor comum a
vários números naturais. Um número d é divisor
comum de outros dois números naturais a e b se, d
divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa
que devem existir k1 e k2 naturais tal que:
a = k1 × d e b = k2 × d
Exemplos: Divisores comuns.
(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e
56=7x8.
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e
36=12x3.
Observação: Um número d é divisor de
todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores
comuns de dois números é finito, pois o conjunto
dos divisores de um número é finito. O conjunto dos
divisores de um número natural y, será denotado
por D(y).
Obteremos agora os divisores comuns aos
números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção
entre os conjunto D(16) e D(24).
D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}
Ocorre que o menor divisor comum entre os
números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor
divisor comum mas sim o maior divisor que pertence
simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.
Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo
Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por
exemplo, tomemos os conjuntos de divisores
D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:
MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8
Método prático para obter o MDC
De forma similar ao cálculo do MMC(a,b),
temos também um procedimento prático para
determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais,
pois encontrar conjuntos de divisores para cada
número pode ser trabalhoso. Para introduzir este
método, determinaremos o MDC entre os números
30 e 72, a título de exemplo.
1. Construímos uma grade com 3 linhas
e algumas colunas, pondo os números dados na
linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior
deles e na segunda coluna o menor.
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2
3
0
2. Realizamos a divisão do maior pelo
menor colocando o quociente no espaço sobre o
número menor na primeira linha e o resto da divisão
no espaço logo abaixo do maior número na terceira
linha.
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2
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2
3. Passamos o resto da divisão para o
espaço localizado à direita do menor número na linha
central.
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4. Realizamos agora a divisão do
número 30, pelo resto obtido anteriormente que é
12. Novamente, o quociente será colocado sobre o
número 12 e o resto da divisão ficará localizado
abaixo do número 30.
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7
2
3
0
1
2
1
2
6
5. Realizamos agora a (última!)
divisão do número 12, pelo resto obtido
anteriormente que é 6. De novo, o quociente será
posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará
localizado abaixo do número 12.
2 2 2
7
2
3
0
1
2
6
1
2
6 0
6. Como o resto da última divisão é 0
(zero), o último quociente obtido representa o MDC
entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:
MDC(30,72) = 6
RELAÇÃO ENTRE O MMC E MDC
Uma relação importante e bastante útil
entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b)
multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a
por b, isto é:
MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b
MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15
Esta relação é útil quando precisamos obter o
MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um
deles e usar a relação acima.
Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o
MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for
possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta
lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e
fazer:
5 × MMC(15,20) = 300
de onde se obtém que MMC(15,20)=60.
O CONJUNTO DOS NÚMEROS
INTEIROS
números inteiros
Na época do Renascimento, os matemáticos
sentiram cada vez mais a necessidade de um novo
tipo de número, que pudesse ser a solução de
equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0As Ciências precisavam de símbolos para
representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por
exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma
linguagem matemática para expressar a atração
entre dois corpos.
Quando um corpo age com uma força sobre
outro corpo, este reage com uma força de mesma
intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não
ficava somente em criar um novo número, era preciso
encontrar um símbolo que permitisse operar com
esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes
da época. Os matemáticos encontraram a melhor
notação para expressar esse novo tipo de número.
Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu
armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se
esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão,
MATEMÁTICA
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ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante
ao atual sinal de menos) na frente para não se
esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro
saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2
com dois traços cruzados (semelhante ao atual
sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no
saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade
inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos
poderiam, não somente indicar as quantidades,
mas também representar o ganho ou a perda
dessas quantidades, através de números, com sinal
positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros
como a reunião do conjunto dos números naturais,
o conjunto dos opostos dos números naturais e o
zero. Este conjunto é denotado pela letra Z
(Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode
ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z
(a) Conjunto dos números inteiros excluído
o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
(b) Conjunto dos números inteiros não
negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
(c) Conjunto dos números inteiros não
positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para
estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar
geometricamente o conjunto Z é construir uma reta
numerada, considerar o número 0 como a origem e
o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de
medida como a distância entre 0 e 1 e por os
números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que
a ordem que os números inteiros obedecem é
crescente da esquerda para a direita, razão pela
qual indicamos com uma seta para a direita. Esta
consideração é adotada por convenção, o que nos
permite pensar que se fosse adotada outra forma,
não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada
podemos afirmar que todos os números inteiros
possuem um e somente um antecessor e também um
e somente um sucessor.
Ordem e simetria no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número
que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e
o antecessor de um número inteiro é o número que
está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 é sucessor de 2
(b) 2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e) 0 é antecessor de 1
(f) 1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um
elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é
caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -
z estão à mesma distância da origem do conjunto Z
que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o
oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o
oposto de -5 é +5.
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número
Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo)
entre um número e seu elemento oposto e pode ser
denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
(a) |0| = 0
(b) |8| = 8
(c) |-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o
módulo de um número inteiro corresponde à distância
deste número até a origem (zero) na reta numérica
inteira.
Soma (adição) de números inteiros
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Para melhor entendimento desta operação,
associaremos aos números inteiros positivos a idéia
de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia
de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número
positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes
do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
(a) -3 + 3 = 0
(b) +6 + 3 = 9
(c) +5 - 1 = 4
Propriedades da adição de números
inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a
adição, isto é, a soma de dois números inteiros
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que
adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z,
isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe
(-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
Multiplicação (produto) de números
inteiros
A multiplicação funciona como uma forma
simplificada de uma adição quando os números são
repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o
fato de estarmos ganhando repetidamente alguma
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por
30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2,
obteremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2,
obteremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos que a multiplicação é um caso
particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e
b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem
nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números
inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de
sinais:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos
concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo
Propriedades da multiplicação de
números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a
multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números
inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que
multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z,
isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z
diferente de zero, existe um inverso z
-1
=1/z em Z, tal
que
z x z
-1
= z x (1/z) = 1
9 x 9
-1
= 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
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Potenciação de números inteiros
A potência a
n
do número inteiro a, é
definida como um produto de n fatores iguais. O
número a é denominado a base e o número n é o
expoente.
a
n
= a × a × a × a × ... × a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
a. 2
5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8
c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25
d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar
que a potência de todo número inteiro elevado a um
expoente par é um número positivo e a potência de
todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é
um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a
potência a² pode ser lida como: "a elevado ao
quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência
a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais
leituras são provenientes do fato que área do
quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a
medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido
por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.
Radiciação de números inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número
inteiro a é a operação que resulta em um outro
número inteiro não negativo b que elevado à
potência n fornece o número a. O número n é o
índice da raiz enquanto que o número a é o
radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a
observação seguinte para entender as razões pelas
quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da linguagem
HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz
n-ésima, usarei R
n
[a] para indicar a raiz n-ésima de
a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de
ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e
somente se, a=b
n
, isto é:
b=R
n
[a] se, e somente se, a=b
n
A raiz quadrada (de ordem 2) de um
número inteiro a é a operação que resulta em um
outro número inteiro não negativo que elevado ao
quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de
um número inteiro negativo no conjunto dos
números inteiros. A existência de um número cujo
quadrado é igual a um número negativo só será
estudada mais tarde no contexto dos números
complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em
materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas
aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número
inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo
resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número
inteiro a é a operação que resulta em um outro
número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao
número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos
somente aos números não negativos.
Exemplos:
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer a regra dos sinais
para o produto de números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz
de número inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível
extrair a raiz de qualquer número inteiro.
O CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS
Um número racional é o que pode ser escrito
na forma
m
n
onde m e n são números inteiros, sendo que
n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de
zero. Frequentemente usamos m/n para significar a
divisão de m por n. Quando não existe possibilidade
de divisão, simplesmente usamos uma letra como q
para entender que este número é um número
racional.
Como podemos observar, números racionais
podem ser obtidos através da razão (em Latim:
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os
números racionais é denotado por Q. Assim, é
comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
MATEMÁTICA
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Quando há interesse, indicamos Q+ para
entender o conjunto dos números racionais
positivos e Q_ o conjunto dos números racionais
negativos. O número zero é também um número
racional.
No nosso link Frações já detalhamos o
estudo de frações e como todo número racional
pode ser posto na forma de uma fração, então
todas as propriedades válidas para frações são
também válidas para números racionais. Para
simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a
palavra racionais para nos referirmos aos números
racionais.
Dízima periódica
Uma dízima periódica é um número real da
forma:
m,npppp...
onde m, n e p são números inteiros, sendo
que o número p se repete indefinidamente, razão
pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo.
A parte que se repete é denominada período.
Em alguns livros é comum o uso de uma
barra sobre o período ou uma barra debaixo do
período ou o período dentro de parênteses, mas,
para nossa facilidade de escrita na montagem desta
Página, usaremos o período sublinhado.
Exemplos: Dízimas periódicas
1. 0,3333333... = 0,3
2. 1,6666666... = 1,6
3. 12,121212... = 12,12
4. 0,9999999... = 0,9
5. 7,1333333... = 7,13
Uma dízima periódica é simples se a parte
decimal é formada apenas pelo período. Alguns
exemplos são:
1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3
2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui
uma parte que não se repete entre a parte inteira e
o período. Por exemplo:
1. 0,83333333... = 0,83
2. 0,72535353... = 0,7253
Uma dízima periódica é uma soma infinita
de números decimais. Alguns exemplos:
1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 +
0,0003 +...
2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 +
0,0003 + ...
3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
A conexão entre números racionais e
números reais
Um fato importante que relaciona os números
racionais com os números reais é que todo número
real que pode ser escrito como uma dízima periódica
é um número racional. Isto significa que podemos
transformar uma dízima periódica em uma fração.
O processo para realizar esta tarefa será
mostrado na sequência com alguns exemplos
numéricos. Para pessoas interessadas num estudo
mais aprofundado sobre a justificativa para o que
fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo
de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou
mesmo estudar números racionais do ponto de vista
do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na
Reta no âmbito do Ensino Superior.
A geratriz de uma dízima periódica
Dada uma dízima periódica, qual será a
fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de
fato um número racional denominado a geratriz da
dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima
periódica devemos trabalhar com o número dado
pensado como uma soma infinita de números
decimais. Para mostrar como funciona o método,
utilizaremos diversos exemplos numéricos.
1. Seja S a dízima periódica
0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período
tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este
número como uma soma de infinitos números
decimais da forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 10
1
=10
(o período tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima
expressão da última, obtemos:
10 S - S = 3
donde segue que
9 S = 3
Simplificando, obtemos:
S =
1
3
= 0,33333... = 0,3
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes.htm
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Exercício: Usando o mesmo argumento que
antes, você saberia mostrar que:
0,99999... = 0,9 = 1
2. Vamos tomar agora a dízima
periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe
que o período tem agora 2 algarismos. Iremos
escrever este número como uma soma de infinitos
números decimais da forma:
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por
10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha, assim:
100 T = 31 + T
de onde segue que
99 T = 31
e simplificando, temos que
T =
31
99
= 0,31313131... = 0,31
3. Um terceiro tipo de dízima periódica
é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe
um número com 1 algarismo após a vírgula
enquanto que o período tem também 1 algarismo.
Escreveremos este número como uma soma de
infinitos números decimais da forma:
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse
um número comum e passe a parte que não se
repete para o primeiro membro para obter:
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por
10
1
=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima
expressão da última para obter:
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
Assim:
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8
Para evitar os números decimais,
multiplicamos toda a expressão por 10 e
simplificamos para obter:
90 R = 647
Obtemos então:
T =
647
90
= 7,1888... = 7,18
4. Um quarto tipo de dízima periódica é
T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o
período tem 3 algarismos, sendo que os dois
primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não
nulo. Decomporemos este número como uma soma
de infinitos números decimais da forma:
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um
número comum e passe a parte que não se repete
para o primeiro membro para obter:
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por
10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima
expressão da última para obter:
1000(U-7) - (U-7) = 4
Assim:
1000U - 7000 - U + 7 = 4
Obtemos então
999 U = 6997
que pode ser escrita na forma:
T =
6997
999
= 7,004004... = 7,004
Números irracionais
Um número real é dito um número irracional
se ele não pode ser escrito na forma de uma fração
ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma
dízima periódica.
Exemplo: O número real abaixo é um número
irracional, embora pareça uma dízima periódica:
x=0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o
algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos
números reais que não são dízimas periódicas e dois
números irracionais muito importantes, são:
e = 2,718281828459045...,
Pi = 3,141592653589793238462643...
que são utilizados nas mais diversas
aplicações práticas como: cálculos de áreas,
volumes, centros de gravidade, previsão
populacional, etc...
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Exercício: Determinar a medida da diagonal
de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O
resultado numérico é um número irracional e pode
ser obtido através da relação de Pitágoras. O
resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por
R[2] para simplificar as notações estranhas.
Representação, ordem e simetria dos
racionais
Podemos representar geometricamente o
conjunto Q dos números racionais através de uma
reta numerada. Consideramos o número 0 como a
origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a
unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e
por os números racionais da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que
a ordem que os números racionais obedecem é
crescente da esquerda para a direita, razão pela
qual indicamos com uma seta para a direita. Esta
consideração é adotada por convenção, o que nos
permite pensar em outras possibilidades.
Dizemos que um número racional r é menor
do que outro número racional s se a diferença r-s é
positiva. Quando esta diferença r-s é negativa,
dizemos que o número r é maior do que s. Para
indicar que r é menor do que s, escrevemos:
r < s
Do ponto de vista geométrico, um número
que está à esquerda é menor do que um número
que está à direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero,
possui um elemento denominado simétrico ou
oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico
que tanto q como -q estão à mesma distância da
origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo,
temos que:
(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de 5 é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico
funciona como a imagem virtual de algo colocado
na frente de um espelho que está localizado na
origem. A distância do ponto real q ao espelho é a
mesma que a distância do ponto virtual -q ao
espelho.
Módulo de um número racional
O módulo ou valor absoluto de um número
racional q é maior valor entre o número q e seu
elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de
duas barras verticais | |, por:
|q| = max{-q,q}
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.
Do ponto de vista geométrico, o módulo de
um número racional q é a distância comum do ponto
q até a origem (zero) que é a mesma distância do
ponto -q à origem, na reta numérica racional.
A soma (adição) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou
pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a
adição entre os números racionais a/b e c/d, da
mesma forma que a soma de frações, através de:
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
Propriedades da adição de números
racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a
operação de adição, isto é, a soma de dois números
racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que
adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q,
isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q
em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais:A subtração
de dois números racionais p e q é a própria operação
de adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Na verdade, esta é uma operação
desnecessária no conjunto dos números racionais.
A Multiplicação (produto) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou
pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o
produto de dois números racionais a/b e c/d, da
mesma forma que o produto de frações, através de:
a
×
c
=
ac
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b d bd
O produto dos números racionais a e b
também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou
ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números
racionais, devemos obedecer à mesma regra de
sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1)× (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de
dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o
produto de dois números com sinais diferentes é
negativo.
Propriedades da multiplicação de números
racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a
multiplicação, isto é, o produto de dois números
racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que
multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio
q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q
diferente de zero, existe q
-1
=b/a em Q, tal que
q × q
-1
= 1
Esta última propriedade pode ser escrita
como:
a
b
×
b
a
= 1
Divisão de números racionais: A divisão de
dois números racionais p e q é a própria operação
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto
é:
p ÷ q = p × q
-1
Provavelmente você já deve ter sido
questionado: Porque a divisão de uma fração da
forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o
produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarece a
questão:
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
=
ad
bc
Na verdade, a divisão é um produto de um
número racional pelo inverso do outro, assim esta
operação é também desnecessária no conjunto dos
números racionais.
Propriedade distributiva (mista)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Potenciação de números racionais
A potência q
n
do número racional q é um
produto de n fatores iguais. O número q é
denominado a base e o número n é o expoente.
q
n
= q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a
potência q² pode ser lida como: q elevado ao
quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode
ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente
do fato que área do quadrado pode ser obtida por
A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o
volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a
medida da aresta do cubo.
Raízes de números racionais
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um
número racional q é a operação que resulta em um
outro número racional r que elevado à potência n
fornece o número q. O número n é o índice da raiz
enquanto que o número q é o radicando (que fica sob
o estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as
razões pelas quais evito usar o símbolo de radical
neste trabalho. Assim:
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r = R
n
[q] equivale a q = r
n
Por deficiência da linguagem HTML, que
ainda não implementou sinais matemáticos,
denotarei aqui a raiz n-ésima de q por R
n
[q].
Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz
quadrada (de ordem 2) de um número racional q
por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um
número racional q é a operação que resulta em um
outro número racional r não negativo que elevado
ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos
números racionais.
Exemplos:
(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-
12)²=144.
Observação: Não existe a raiz quadrada de
um número racional negativo no conjunto dos
números racionais. A existência de um número cujo
quadrado seja igual a um número negativo só será
estudada mais tarde no contexto dos Números
Complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em
materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas
aulas o aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Não existe um número racional não
negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em
um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número
racional q é a operação que resulta na obtenção de
um um outro número racional que elevado ao cubo
seja igual ao número q. Aqui não restringimos os
nossos cálculos são válidos para números
positivos, negativos ou o próprio zero.
Exemplos:
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais
para a multiplicação de números racionais,
concluímos que:
(1) Se o índice n da raiz for par, não existe
raiz de número racional negativo.
(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível
extrair a raiz de qualquer número racional.
Média aritmética e média ponderada
Média aritmética: Seja uma coleção formada
por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média
aritmética entre esses n números é a soma dos
mesmos dividida por n, isto é:
A=
x1 + x2 + x3 +...+ xn
n
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as
idades:
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33
então a idade média do grupo pode ser
calculada pela média aritmética:
A
=
12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33
9
=
352
9
= 39,11
o que significa que a idade média está
próxima de 39 anos.
Média aritmética ponderada:Consideremos
uma coleção formada por n números racionais: x1, x2,
x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um
peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn.
A média aritmética ponderada desses n números é a
soma dos produtos de cada um por seu peso,
dividida por n, isto é:
P=
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn
p1 + p2 + p3 +...+ pn
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que
trabalha (com salário por dia), em uma empresa é
formado por sub-grupos com as seguintes
características:
12 ganham R$ 50,00
10 ganham R$ 60,00
20 ganham R$ 25,00
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15 ganham R$ 90,00
7 ganham R$ 120,00
Para calcular a média salarial (por dia) de
todo o grupo devemos usar a média aritmética
ponderada:
P=
50×12 + 60×10 + 25×20 +
90×15 + 120×7
12 + 10 + 20 + 15 + 7
=
389
0
64
=60,7
8
Médias geométrica e harmônica
Média geométrica: Consideremos
umacoleção formada por n números racionais não
negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica
entre esses n números é a raiz n-ésima do produto
entre esses números, isto é:
G = R
n
[x1 x2 x3 ... xn]
Exemplo: A a média geométrica entre os
números 12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R
4
[12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação prática: Dentre todos os
retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o
retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é,
o mais econômico? A resposta a este tipo de
questão é dada pela média geométrica entre as
medidas do comprimento a e da largura b, uma vez
que a.b=64.
A média geométrica G entre a e b fornece a
medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta: É o retângulo cujo comprimento
mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8
cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro
neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação
em que as medidas dos comprimentos forem
diferentes das alturas, teremos perímetros maiores
do que 32 cm.
Interpretação gráfica: A média geométrica
entre dois segmentos de reta pode ser obtida
geometricamente de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace
um segmento de reta que contenha a junção dos
segmentosAB e BC, de forma que eles formem
segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento
AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com
um compasso centrado em O e raio OA, trace uma
semi-circunferencia começando em A e terminando
em C. O segmento vertical traçado para cima a partir
de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A
medida do segmento BD corresponde à média
geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.
Média harmônica: Seja uma coleção formada
por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A
média harmônica H entre esses n números é a
divisão de n pela soma dos inversos desses n
números, isto é:
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais surge para
designar a união do conjunto dos números racionais
e o conjunto dos números irracionais. É importante
lembrar que o conjunto dos números racionais é
formado pelos seguintes conjuntos: Números
Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os
conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –
3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5,
1,32365498...., 3,141592....
Podemos concluir que o conjunto dos
números reais é a união dos seguintes conjuntos:
N U Z U Q U I = R ou Q U I = R
Os números reais podem ser representados
por qualquer número pertencente aos conjuntos da
união acima. Essas designações de conjuntos
numéricos existem no intuito de criar condições de
resolução de equações e funções. As soluções
devem ser dadas obedecendo padrões matemáticos
e de acordo com a condição de existência da
incógnita na expressão.
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Todo número decimal é um número
irracional? Para as pessoas que têm dúvida quanto
a isso, veremos, neste artigo, como definir o
conjunto dos números irracionais e observaremos
alguns exemplos de números importantes na
matemática, que são “constantes irracionais”.
Os números irracionais são aqueles que
não podem ser representados por meio de uma
fração. O surgimento desses números veio de um
antigo problema que Pitágoras se recusava a
aceitar, que era o cálculo da diagonal de um
quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta
que mede √2. Este número deu início ao estudo de
um novo conjunto, representado pelos números
irracionais.
Encontrando a diagonal do quadrado
Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas
encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usarmos a
calculadora”. Entretanto, na época em que
começaram estes estudos, o único mecanismo para
encontrar os valores das raízes quadradas envolvia
os números quadrados (√2²,√3²,√4², …).
Com o estudo contínuo dos elementos da
matemática, os matemáticos se depararam com a
necessidade de calcular o comprimento de uma
circunferência; e com cálculos contínuos, notaram
que um número se repetia para qualquer que fosse
a circunferência, número este que outrora foi
denominado de número pi (π).
Esse número é encontrado através da
razão do comprimento pelo diâmetro da
circunferência.
Razão para o valor do número pi
Esse é um dos números que foi citado no
início do texto: a constante π é de fundamental
importância para a área de geometria e
trigonometria.
Veremos alguns exemplos de números
irracionais e notaremos que a sua parte decimal
não possui nenhuma estrutura que possa ser
fundamentada em forma de fração, assim como
ocorre em frações periódicas.
Constantes irracionais ou números
transcendentais:
Números irracionais
Números irracionais obtidos pela raiz
quadrada de um número:
Números irracionais obtidos pela radiciação
Estes são os números irracionais, cujo valor
da última casa decimal nunca saberemos.
Com isso, podemos falar que números
irracionais são aqueles que em sua forma decimal
são números decimais infinitos e não periódicos.
Em outras palavras, são aqueles números que
possuem infinitas casas decimais e em nenhuma
delas obteremos um período de repetição.
O conjunto dos números irracionais é
representado pela letra I ( i maiúscula) .
O conjunto dos números reais é formado a
partir da união dos seguintes conjuntos:
Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....)
Números Inteiros: (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....)
Números Racionais: (números na forma de
a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex:
1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....)
Números Irracionais: (números decimais não
periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....)
Intervalo Real
Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ ,
{xЄR/a < x < b}
Aberto à esquerda e aberto à direita
Intervalo aberto em a e fechado em b,
]a,b], {xЄR/a < x ≤ b}
Aberto à esquerda e fechado à direita
Intervalo fechado em a e aberto em b,
[a,b[, {xЄR/a ≤ x < b}
Fechado à esquerda e aberto à direita
Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b],
{xЄR/a ≤ x ≤ b}
Fechado à esquerda e fechado à direita
Intervalos infinitos
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{xЄR/x > a}
{xЄR/x<a}
{xЄR/x≥a}
{xЄR/≤a}
FATORIAL
Ao produto dos números naturais começando
em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial
de n e representamos por n!.
Segundo tal definição, o fatorial de 5 é
representado por 5! e lê-se 5 fatorial.
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120,
assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24,
como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é
igual a 2 . 1 que é igual a 2.
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a
1.
Abaixo, no final da página, temos uma tabela
com os 28 primeiros fatoriais. Repare que apesar do
número 27 ser relativamente baixo, o seu fatorial
possui 29 dígitos!
Escrevendo um fatorial a partir de um
outro fatorial menor
Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1,
mas note que também podemos escrevê-lo de outras
formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!,
3! e 2!:
1. 5! = 5 . 4!
2. 5! = 5 . 4 . 3!
3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!
Para um fatorial genérico temos:
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n -
2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
Observe atentamente os exemplos seguintes:
1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
3. (n + 1)! = (n + 1) . n!
Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para
termos uma visão mais clara destas sentenças:
1. 9! = 9 . 8!
2. 9! = 9 . 8 . 7!
3. 7! = 7 . 6!
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Estes conceitos são utilizados em muitos
dos problemas envolvendo fatoriais.
1.1 Simplificação envolvendo fatoriais
Observe a fração abaixo:
Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!.
Então podemos escrever a fração da seguinte
forma:
Agora podemos simplificar o 3! do
numerador com o 3! do denominador. Temos então:
Veja outros exemplos:
Gerando uma sequência de números
compostos consecutivos a partir de um fatorial
Na páginaonde falamos sobre múltiplos de
um número natural foi explicado que se a um
número que é múltiplo de n, somarmos n ou
qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como
resultado um número que também é múltiplo de n.
3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8
3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9
Repare que 8, resultado da soma de 6 com
2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo
ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3,
que também é divisível por 3.
Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de
3!, temos que eles formam uma sequência de dois
números compostos (não primos) consecutivos a
partir do fatorial de três.
3! possui três fatores, mas só podemos
considerar os fatores maiores que 1, por isto só
pudemos somar dois e três. Note neste exemplo,
que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que
não é um número composto. Sete é um número
primo.
Exemplos de problemas envolvendo
fatoriais
Qual deve ser o valor numérico de n para
que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira?
O primeiro passo na resolução deste
problema consiste em escrevermos (n + 2)! em
função de n!, em busca de uma equação que não
mais contenha fatoriais:
Conforme explicado na página onde tratamos
sobre o cálculo rápido das raízes de equações do
segundo grau, podemos resolver rapidamente esta
equação respondendo à seguinte pergunta: Quais
são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo
produto é igual -18?
Rapidamente concluímos que as raízes
procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial
de números negativos, já que eles não pertencem ao
conjunto dos números naturais, ficamos apenas com
a raiz igual a 3.
Portanto:
O valor numérico de n para que a equação
seja verdadeira é igual a 3.
A partir de fatoriais, obtenha uma
sequência com sete números compostos
consecutivos.
Como eu devo obter 7 números compostos
consecutivos na sequência, eu preciso partir ao
menos de 8!:
8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320
Como 8! é igual a 40320, o primeiro número
da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último
será 40320 + 8 = 40328.
Logo:
A sequência 40322, 40323, 40324, 40325,
40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do
enunciado.
Tabela com os fatorais de 0 a 27
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
MATEMÁTICA
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12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
21 51090942171709440000
22 1124000727777607680000
23 25852016738884976640000
24 620448401733239439360000
25 15511210043330985984000000
26 403291461126605635584000000
27 10888869450418352160768000000
PRINCÍPIO DA CONTAGEM
Em uma carteira escolar temos quatro livros
de diferentes matérias, empilhados de cima para
baixo nesta exata ordem:
Português, matemática, história e geografia.
Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras
no total podemos empilhar tais livros nesta carteira?
Vamos pensar sobre o problema.
Na escolha do primeiro livro a ser colocado
na carteira temos 4 possibilidades, pois ainda não
colocamos nenhum livro nela, temos então quatro
livros a escolher: Português, matemática, história e
geografia.
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Se começarmos a pilha com o livro de
português, na escolha do próximo livro a ser
colocado sobre ele, temos 3 possibilidades:
matemática, história e geografia.
Se escolhermos o livro de história como o
segundo livro da pilha, para o terceiro livro temos 2
possibilidades apenas: matemática e geografia.
Se colocarmos na pilha o livro de geografia,
para o último livro temos obviamente 1
possibilidade: matemática.
Veja pela figura ao lado que as 4
possibilidades do primeiro livro podem ser
combinadas com cada uma das 3 possibilidades do
segundo livro, que podem ser combinadas com
cada uma das 2 possibilidades do terceiro livro, que
podem finalmente ser combinadas com 1
possibilidade do quarto livro. Matematicamente o
número total de possibilidades seria:
4 . 3 . 2 . 1 = 24
Neste cálculo utilizamos o princípio
fundamental da contagem.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem diz
que um evento que ocorre em n situações
independentes e sucessivas, tendo a primeira
situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda
situação ocorrendo de m2 maneiras e assim
sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo
de mn maneiras, temos que o número total de
ocorrências será dado pelo produto:
Exemplos
Quantos são os números naturais de dois
algarismos que são múltiplos de 5?
Como o zero à esquerda de um número
não é significativo, para que tenhamos um número
natural com dois algarismos ele deve começar com
um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.
Para que o número seja um múltiplo de 5, o
mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos
apenas 2 possibilidades.
A multiplicação de 9 por 2 nos dará o
resultado desejado.
Logo:
São 18 os números naturais de dois
algarismos que são múltiplos de 5.
Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares
de meias. De quantas maneiras poderei me calçar
utilizando um par de meias e um de sapatos?
Pelo princípio fundamental da contagem
temos que multiplicar 4, que é o número de
elementos do primeiro conjunto, por 10 que
corresponde ao número de elementos do segundo
conjunto.
Portanto:
Poderei me calçar de 40 maneiras
diferentes.
De quantas formas podemos dispor as
letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra
seja sempre a letra R?
Para a última letra, segundo o enunciado
temos apenas uma possibilidade que é a letra R.
Para a primeira, segunda, terceira e quarta
letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1
possibilidades. Assim temos:
Note que este exemplo é semelhante ao caso
dos livros, explicado no início da página, só que
neste caso teríamos mais um livro, digamos de
ciências, que sempre seria colocado na pilha por
último.
Podemos dispor as letras da palavra
FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra
seja sempre a letra R.
Quantos números naturais com 3
algarismos podemos formar que não comecem com
16, nem com 17?
Neste exemplo iremos fazer o cálculo em
duas partes. Primeiro iremos calcular quantos são os
números com três algarismos.
Como neste caso na primeira posição não
podemos ter o dígito zero, o número de
possibilidades para cada posição é respectivamente:
9, 10 e 10.
Portanto temos 900 números naturais com
três dígitos.
Agora vamos calcular quantos deles
começam com 16 ou 17.
Para a primeira posição temos apenas uma
possibilidade, o dígito 1. Para a segunda temos 2,
pois servem tanto o dígito 6, quanto o 7.
Para a terceira e última posição temos todos
os dígitos possíveis, ou seja, 10 possibilidades.
Multiplicando tudo temos 20.
Logo, subtraindo 20 de 900 obtemos 880.
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Existem 880 números naturais nestas
condições.
São quantos os números ímpares com
três algarismos, que não possuemdígitos repetidos
e que de trás para frente também são ímpares?
Os números devem ser ímpares, temos
então 5 possibilidades para o último algarismo.
A história do "de trás para frente", em
outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo
também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi
utilizado na última posição, temos então apenas 4
disponíveis para a primeira posição.
Para o dígito central temos apenas 8
possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram
utilizados.
Multiplicando 4 por 8 e por 5 obtemos 160.
Assim sendo:
São 160 os números ímpares que
satisfazem a todas estas condições.
ARRANJO SIMPLES
No campeonato mundial de Fórmula 1 de
2009, participaram 25 pilotos, dos quais se
destacaram o inglês Jenson Button, que foi o
campeão, o alemão Sebastian Vettel, que foi o vice-
campeão e o brasileiro Rubens Barrichello, que ficou
com a terceira colocação.
Obviamente o agrupamento ( Jenson Button,
Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ) difere do
agrupamento ( Sebastian Vettel, Jenson Button,
Rubens Barrichello ), pois neste caso a ordem no
grupo é um fator que o diferencia.
Se ao invés do brasileiro Rubens Barrichello,
o terceiro colocado tivesse sido o australiano Mark
Webber, o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian
Vettel, Mark Webber ) seria distinto do agrupamento (
Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello
), pois teríamos participantes diferentes nestes
agrupamentos.
Arranjo Simples
Em casos como este, com elementos
distintos, onde tanto a ordem de posicionamento no
grupo, quanto a natureza dos elementos, os
elementos em si, causam diferenciação entre os
agrupamentos, estamos diante de um caso de
arranjos simples.
Considerando-se os 25 pilotos
participantes, qual o número total de
possibilidades para os três primeiros colocados?
Para o campeão teríamos 25 possibilidades.
Para o vice-campeão e para o terceiro colocado,
teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades.
Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:
25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.
Fórmula do Arranjo Simples
Ao trabalharmos com arranjos simples, com n
elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n,
podemos recorrer à seguinte fórmula:
Neste mesmo exemplo, utilizando a fórmula
temos:
Exemplos
Qual o número de anagramas que
podemos formar com as letras da palavra
PADRINHO?
Neste exemplo temos um arranjo simples
com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então
A8, 8:
Portanto:
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Podemos formar 40320 anagramas com
as letras da palavra PADRINHO.
Em uma escola está sendo realizado um
torneio de futebol de salão, no qual dez times estão
participando. Quantos jogos podem ser realizados
entre os times participantes em turno e returno?
Como o campeonato possui dois turnos, os
jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A
tratam-se de partidas distintas, então estamos
trabalhando com arranjos simples onde importa a
ordem dos elementos. Devemos calcular A10, 2:
Então:
Podem ser realizados 90 jogos entre os
times participantes.
Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto
e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os
agrupamentos possíveis para os três primeiros
colocados?
Obviamente, como em qualquer corrida, a
ordem de chegada é um fator diferenciador dos
agrupamentos. Como temos 7 corredores e
queremos saber o número de possibilidades de
chegada até a terceira posição, devemos calcular
A7, 3:
Logo:
210 são os agrupamentos possíveis para
os três primeiros colocados.
COMBINAÇÃO SIMPLES
Uma conceituada escola de idiomas está
realizando uma promoção onde você escolhe três
cursos, dos cinco disponíveis, e paga apenas
2
/3 do
valor da mensalidade de cada um dos cursos
escolhidos.
Podemos facilmente perceber que alguém
que tenha escolhido os cursos de inglês, espanhol e
alemão, fez as mesmas escolhas que outro alguém
que tenha escolhido alemão, inglês e espanhol, por
exemplo, pois a ordem dos cursos de idioma em si,
não gera distinção entre uma escolha e outra.
Se alguém escolheu inglês, espanhol e
alemão e outra pessoa escolheu inglês, espanhol e
francês, também claramente podemos perceber que
se tratam de escolhas distintas, pois nem todos os
cursos que uma pessoa escolheu, são os mesmos
escolhidos pela outra pessoa.
Considerando-se os 5 idiomas
disponíveis, qual o número total de
possibilidades se escolhermos três idiomas de
cada vez?
Neste caso do curso de idiomas, podemos
obter o número total de possibilidades, calculando
inicialmente o arranjo simples A5, 3:
Só que fazendo assim, estamos
considerando distintos, os agrupamentos ( inglês,
espanhol, alemão ) de ( espanhol, inglês, alemão ),
por exemplo, e de todas as suas permutações.
Como sabemos, a permutação de 3
elementos, P3 é igual a 3!, que é igual a 6, portanto
se dividirmos 60 por 6, estaremos eliminando as
ocorrências duplicadas em função da mera mudança
de ordem dos elementos. Assim sendo, 60 : 6 = 10.
Portanto o número de opções possíveis é
igual a 10.
Combinação Simples
Este exemplo é o típico caso, onde
agrupamentos com elementos distintos, não se
alteram mudando-se apenas a ordem de
posicionamento dos elementos no grupo. A
diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos
elementos, quando há mudança de elementos. Neste
caso estamos tratando de combinação simples.
Fórmula da Combinação Simples
Ao trabalharmos com combinações simples,
com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤
n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
Ao utilizarmos a fórmula neste nosso
exemplo, temos:
Exemplos
Com 12 bolas de cores distintas, posso
separá-las de quantos modos diferentes em
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saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada
saco?
Como a ordem das bolas não causa
distinção entre os agrupamentos, este é um caso
de combinação simples. Vamos então calcular
C12, 4:
Portanto:
Posso separá-las de 495 modos
diferentes.
Um fabricante de sorvetes possui a
disposição 7 variedades de frutas tropicais do
nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a
duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os
tipos de sorvete disponíveis?
Os sorvetes de umbu com siriguela e de
siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um
mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção
apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas.
Temos um caso de combinação simples que será
resolvido através do cálculo de C7, 2:
Logo:
Serão disponíveis 21 sabores diferentes.
As 14 crianças de uma família serão
separadas em grupos de 5, para que elas
arrecadem prendas para a quermesse da fazenda
onde vivem. De quantas maneiras as crianças
poderão ser agrupadas?
Identificamos neste exemplo um caso de
combinação simples, pois a ordem das crianças é
irrelevante, não causando distinção entre os
agrupamentos com elementos distintos. Vamos
calcular C14, 5:
Então:
As crianças poderão ser agrupadas de
2002 maneiras diferentes.
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Quando estudamos o princípio fundamental
da contagem tínhamos quatro livros (português,
matemática, história e geografia) e calculamos o
número total de formas que poderíamos empilhá-los
em uma carteira escolar. Em outras palavras,fazíamos uma permutação no posicionamento destes
livros na pilha sobre a carteira.
Permutação Simples
A cada um dos agrupamentos que podemos
formar com certo número de elementos distintos, tal
que a diferença entre um agrupamento e outro se dê
apenas pela mudança de posição entre seus
elementos, damos o nome de permutação simples.
Neste caso o agrupamento de livros (
português, matemática, história, geografia ), difere do
agrupamento ( matemática, história, português,
geografia ), pois embora os elementos de ambos os
grupos sejam os mesmos, há mudança no
posicionamento de ao menos um dos seus
elementos.
Fórmula da Permutação Simples
Segundo o princípio fundamental da
contagem vimos que o número de agrupamentos
possíveis deste exemplo era dado por:
4 . 3 . 2 . 1 = 24
Na página sobre fatoriais vimos que
4 . 3 . 2 . 1 é igual a 4!, então se chamarmos de Pn a
permutação simples de n elementos distintos,
podemos calculá-la através da seguinte fórmula:
Pn = n!
Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula
temos:
Exemplos
Quantos anagramas podemos formar a
partir da palavra ORDEM?
Um anagrama é uma palavra ou frase
formada com todas as letras de uma outra palavra ou
frase. Normalmente as palavras ou frases resultantes
são sem significado, como já era de se esperar.
Como a palavra ORDEM possui 5 letras
distintas, devemos calcular o número de
permutações calculando P5. Temos então:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Portanto:
O número de anagramas que podemos
formar a partir da palavra ORDEM é igual 120.
Na fila do caixa de uma padaria estão três
pessoas. De quantas maneiras elas podem estar
posicionadas nesta fila?
Temos que calcular P3, então:
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P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Logo:
As três pessoas podem estar posicionas
de seis maneiras diferentes na fila.
Quantos são os anagramas que podemos
formar a partir das letras da palavra ERVILHAS,
sendo que eles comecem com a letra E e terminem
com vogal?
Como na primeira posição sempre teremos
a letra E, o número de possibilidades nesta posição
é igual a 1, podemos até dizer que é igual a P1.
Para a última posição temos disponíveis as
letras I e A, pois a letra E já está sendo utilizada no
começo, então para a oitava letra temos que
calcular P2:
P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Como para as demais posições temos 6
letras disponíveis, calculemos então P6:
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Multiplicando tudo:
1 . 720 . 2 = 1440
Então:
A partir da palavra ERVILHAS podemos
formar 1440 anagramas que comecem com a letra
E e terminem em vogal.
Como já vimos, a permutação simples de n
elementos distintos é dada por Pn, então como na
palavra CURIÓ temos 5 letras distintas, o número
de anagramas seria igual a P5, ou seja, será igual a
5! que é igual a 120.
Quantos anagramas podemos formar a
partir das letras da palavra ARARA?
Note que embora esta palavra também
tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras
distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a letra R
que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta
situação?
Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a
permutação de cinco letras distintas resulta em 120
possibilidades.
Como na palavra ARARA a letra A ocorre
três vezes, a permutação destas três letras A é
P3 = 3! = 6, ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos
obter 20 que é o número de permutações, já
desconsiderando-se as permutações entre as três
letras A.
O mesmo iremos fazer em relação à letra
R, só que neste caso o número de permutações
desta letra é P2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por
2 temos como resultado 10, que é o número total de
permutações das letras da palavra ARARA, sem
considerarmos as permutações das letras A entre si,
e das letras R também entre elas mesmas.
Permutação com Elementos Repetidos
A cada um dos agrupamentos que podemos
formar com certo número de elementos, onde ao
menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a
diferença entre um agrupamento e outro se dê pela
mudança de posição entre seus elementos, damos o
nome de permutação com elementos repetidos.
Fórmula da Permutação com Elementos
Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento é
repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e
assim sucessivamente, o número total de
permutações que podemos obter é dada por:
A resolução do exemplo com o uso da
fórmula é:
Exemplos
Quantos anagramas podemos obter a
partir das letras da palavra PARAR?
Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas
duas delas são repetidas duas vezes cada, na
solução do exemplo vamos calcular P5
(2, 2)
:
Portanto:
O número de anagramas que podemos
formar a partir das letras da palavra PARAR é igual
30.
Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas
vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo
colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor,
onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical.
De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta
coluna de bolas?
Neste caso de permutação com elementos
repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores
diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos
calcular P10
(4, 3, 2)
:
Então:
Eu poderei formar esta coluna de bolas de
12600 maneiras diferentes.
Dos números distintos que são formados
com todos os algarismos do número 333669, quantos
desses são ímpares?
Neste exemplo, número ímpares serão
aqueles terminados em 3 ou 9.
No caso dos números terminados em 3
devemos calcular P5
(2, 2)
, pois um dos dígitos três
será utilizado na última posição e dos 5 dígitos
restantes, teremos 2 ocorrências do próprio
algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:
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Agora no caso dos números terminados em
9 devemos calcular P5
(3, 2)
, pois o dígito 9 será
utilizado na última posição e dos 5 dígitos que
sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências
do dígito 6:
Como temos 30 números terminados em 3
e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40
números ímpares.
Logo:
Dos números formados, 40 deles são
ímpares.
FATORAÇÃO
Definição de Fatoração
A fatoração é a transformação da soma e/ou
subtração de vários termos em um produto de
diversos fatores.
Vejamos alguns exemplos onde temos
alguns dos principais tipos de fatoração:
Na sequência vemos como tratar cada um
destes tipos de fatoração em particular.
A fatoração é um recurso que utilizamos na
simplificação de sentenças matemáticas. Quando for
o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma
fração ou de uma equação, por exemplo.
Fator Comum: ax + bx = x(a + b)
A forma mais básica de fatoração é a
colocação de fatores comuns em evidência.
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a
todos os termos e por isto é possível colocá-lo em
evidência:
Colocamos o fator 5 em evidência o
destacando e o multiplicando pela a expressão
quociente da divisão da sentença original por tal
fator, inserida entre parênteses:
Exemplos
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Agrupamento:ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
No tipo de fatoração por agrupamento não
temos um fator que é comum a todos os termos, no
entanto temos fatores que são comuns a alguns
termos e outros fatores que são comuns a outros
termos.
Vejamos o exemplo abaixo:
Note que o fator x é comum aos dois
primeiros termos, assim como o fator y é comum
aos dois últimos termos, então podemos colocá-los
em evidência:
Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em
comum e que também pode ser colocado em
evidência:
Assim sendo:
Obviamente, como mostrado abaixo,
podemos continuar os cálculos somando 4 com 6,
mas o foco aqui é a fatoração em si:
No lugar dos fatores x e y, poderíamos
evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são
comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y,
no caso do 6:
E ao colocarmos o fator (x + y) em
evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido
anteriormente, apenas com uma mudança na
ordem dos fatores, que como sabemos não altera o
produto:
Exemplos
Diferença de Dois Quadrados: a
2
-
b
2
= (a + b)(a - b)
Este os próximos quatro tipos de fatoração
que veremos estão relacionados aos produtos
notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da
soma pela diferença de dois termos nos leva à
diferença de dois quadrados, então podemos utilizar
de forma inversa este conhecimento na fatoração da
diferença de dois quadrados.
Vejamos este exemplo na sequência:
Visto que a
2
- b
2
= (a + b)(a - b), podemos
realizar a fatoração como a seguir:
Tal fatoração foi realizada se encontrando o
valor de a e b, que são respectivamente a raiz
quadrada do primeiro e do segundo termo e então os
substituindo em (a + b)(a - b).
Logo:
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Soma:
a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
Quando desenvolvemos o quadrado da soma
de dois termos chegamos a um trinômio quadrado
perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só
que temos os membros em ordem inversa. Então o
quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada
de um trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?
Se o pudermos escrever como a
2
+ 2ab + b
2
estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito,
que fatorado é igual a (a + b)
2
.
Obtemos o valor de a extraindo a raiz
quadrada de x
2
no primeiro termo e o valor de b
extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo,
portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos
do trinômio a
2
+ 2ab + b
2
devemos chegar a uma
variação do trinômio original:
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Realizando a substituição de a e b, vamos
então analisar a
2
+ 2ab + b
2
termo a termo para
verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio
original.
Quando substituímos a por x em a
2
chegamos ao x
2
original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab
obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b
2
chegamos a 7
2
, equivalente ao 49 do terceiro termo
do polinômio original.
Como foi possível escrever x
2
+ 14x + 49 na
forma a
2
+ 2ab + b
2
, então estamos mesmo diante
de um trinômio quadrado perfeito que pode ser
fatorado assim:
Portanto:
Se o polinômio em questão não fosse um
trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar
a fatoração desta forma, visto que a conversão de
x
2
+ 14x + 49 em a
2
+ 2ab + b
2
levaria a um
polinômio diferente do original. Por exemplo, se o
trinômio fosse x
2
+ 15x + 49, o segundo termo 15x
iria diferir do segundo termo obtido via substituição
de a e b que é 14x, portanto não teríamos um
trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo
a termo para verificar se realmente tínhamos um
trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará
fazer tal verificação quando no enunciado da
questão estiver explícito que os polinômios
realmente são trinômios quadrados perfeitos.
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença:
a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
Assim como o caso da soma visto acima,
de forma análoga temos o caso da diferença.
Vejamos este outro trinômio:
Como 2x é a raiz quadrada de 4x
2
, do
primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do
terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir,
substituindo a por 2x e b por 5 temos:
Como os respectivos termos do polinômio
original e do polinômio acima são iguais, temos um
trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio
quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a
2
-
2ab + b
2
= (a - b)
2
:
Logo:
Exemplos
Cubo Perfeito - Soma:
a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= (a + b)
3
Na sentença acima temos um polinômio e a
sua forma fatorada, que nada mais é que o cubo da
soma de dois termos.
Se temos um polinômio a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
podemos fatorá-lo como (a + b)
3
.
Vamos analisar o polinômio abaixo:
Nosso objetivo é escrevê-lo na forma
a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
, substituindo a por 7 que é a
raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a
raiz cúbica de 27y
3
:
Como visto nos dois tipos anteriores, também
neste tipo e no próximo, se não estiver claro no
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enunciado da questão que realmente se trata de um
cubo perfeito, precisamos verificar se todos os
membros do polinômio original são iguais aos
termos do polinômio obtido via substituição de a e b
em a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
. Como os respectivos
termos do polinômio original e do polinômio acima
são iguais, temos de fato um cubo perfeito:
Então temos um cubo perfeito que é
fatorado como:
Cubo Perfeito - Diferença: a
3
-
3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= (a - b)
3
A forma fatorada do polinômio no primeiro
membro da sentença acima é o cubo da diferença
de dois termos.
O polinômio a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
é fatorado
como (a - b)
3
.
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma
análoga a que fizemos no tipo de fatoração anterior:
Extraímos a raiz cúbica de 8a
3
que é 2a e
de 343b
3
que é 7b e então substituímos a e b
respectivamente por 2a e 7b em a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
-
b
3
:
Como os respectivos termos do polinômio
original e do polinômio acima são iguais, temos um
cubo perfeito:
Então:
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
A adição ou subtração algébrica de
monômios é denominada polinômio.
Vejamos alguns exemplos de polinômios:
No primeiro exemplo temos um polinômio de
apenas um monômio. Os demais possuem vários
monômios, estes monômios são denominados
termos do polinômio.
O segundo exemplo é um polinômio de dois
termos: 3x
3
y e 2xy
2
.
Grau de um Polinômio
O grau de um polinômio reduzido, não nulo, é
o grau do seu termo de maior grau.
O polinômio -5x
4
+ 14x
5
y
2
- 7x
3
y
2
é do grau 7,
pois o seu termo de maior grau é o segundo, que é
do grau 7.
O polinômio 4a
2
b
3
+ 5a
5
é do grau 5, pois
ambos os termos do polinômio são deste grau.
Grau de um Polinômio em Relação a uma
Certa Incógnita
Em relação à variável x o polinômio -
5x
4
+ 14x
5
y
2
- 7x
3
y
2
é do grau 5, pois o termo de
maior grau nesta variável é do grau 5, que é o
segundo termo.
Analisando o mesmo polinômio em relação à
variável y, ele é do grau 2, já que tanto no segundo,
quantono terceiro termo o grau nesta variável é dois.
O polinômio 4a
2
b
3
+ 5a
5
é do grau 5 na
variável a e do grau 3 em relação à variável b.
Redução de Termos Semelhantes
Assim como fizemos no caso dos monômios,
também podemos fazer a redução de polinômios
através da adição algébrica dos seus termos
semelhantes.
No exemplo abaixo realizamos a soma
algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do
segundo com o quarto termo, reduzindo um
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polinômio de quatro termos a um outro de apenas
dois.
Polinômios reduzidos de dois termos
também são denominados binômios. Polinômios
reduzidos de três termos, também são
denominados trinômios.
Veja abaixo alguns exemplos de redução
de polinômios através da soma ou subtração de
termos semelhantes:
Multiplicação de Polinômios
Temos tanto o caso da multiplicação de um
monômio por um polinômio, quanto o caso da
multiplicação de um polinômio por um polinômio.
Multiplicação de um Polinômio por um
Monômio
No primeiro caso a multiplicação é realizada
multiplicando-se o monômio por cada um dos
termos do polinômio.
Vejamos a multiplicação abaixo:
Repare que multiplicamos 7xy
2
por ambos
os termos do polinômio, aplicamos a propriedade
distributiva da multiplicação.
Caso você ainda tenha dúvidas sobre como
realizar a multiplicação de monômios, faça um
revisão antes de prosseguir neste tema.
Veja mais alguns exemplos:
Multiplicação de um Polinômio por um
Polinômio
No caso da multiplicação de polinômio por
polinômio efetuamos a multiplicação de cada um
dos termos do primeiro polinômio, por cada um dos
termos do segundo polinômio e depois realizamos a
redução do polinômio resultante.
Vamos analisar a multiplicação abaixo a qual
separamos em três linhas para podermos observá-la
mais facilmente:
Na primeira linha temos os dois polinômios a
serem multiplicados.
Os dois primeiros produtos na segunda linha
foram obtidos da multiplicação de 3a
2
b por cada um
dos dois termos do segundo polinômio, 2a e 7a
2
b
3
.
Os dois últimos produtos na segunda linha
foram obtidos multiplicando-se agora o segundo
termo do primeiro polinômio, também por cada um
dos dois termos do segundo.
A terceira linha que é o resultado final, já que
não há termos semelhantes a reduzir, é o resultado
após a multiplicação dos monômios entre parênteses
na linha anterior.
Para multiplicar mais de dois polinômios,
comece multiplicando os dois primeiros, depois
multiplique o polinômio obtido pelo terceiro e assim
por diante até multiplicar por todos.
Para a multiplicar
, por exemplo, primeiro
multiplique , que como vimos acima
é igual a , então multiplique por
.
Divisão de Polinômios
Como no caso da multiplicação, temos tanto
a divisão de um polinômio por um monômio, quanto a
divisão de um polinômio por um polinômio. Vamos
tratar cada um dos casos individualmente.
Divisão de um Polinômio por um Monômio
Este é o caso mais simples, pois podemos
fazê-lo dividindo cada um dos monômios que formam
o polinômio, pelo monômio em questão.
Vamos analisar a divisão do polinômio
abaixo:
Note que desmembramos o polinômio em
duas partes, dividindo tanto 14x
3
y
2
por 7xy
2
, quanto
7xy
3
.
Em caso de dúvida consulte a divisão de
monômios, que foi explicada em detalhes na página
sobre este tema.
Observe mais estes exemplos:
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Divisão de um Polinômio por um
Polinômio
Para realizarmos a divisão de polinômios é
preciso que eles estejam reduzidos e ordenados.
O conceito da redução de termos
semelhantes foi visto acima, quanto à ordenação de
polinômios, dizemos que um polinômio está
ordenado em relação à determinada variável,
quando o grau de todos os monômios que os
compõe, em relação a esta variável, estão
ordenados de forma crescente ou decrescente.
O polinômio -5x
4
+ 6x
5
- 7x
3
, não está
ordenado em relação a variável x, já o polinômio
6x
5
- 5x
4
- 7x
3
está ordenado de forma decrescente
em relação a esta variável. Observe que os
expoentes desta incógnita decrescem de 5 a 3.
Para explicar o procedimento da divisão de
polinômios pelo método das chaves, vamos dividir
8a
2
- 2ab -15b
2
por 2a - 3b.
A primeira coisa a verificar é se o grau do
dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Se for
menor o quociente será zero e o resto será o
próprio dividendo.
Repare que ambos os polinômios estão
ordenados de forma decrescente em relação à
incógnita a:
A divisão de polinômios é muito semelhante
à divisão de números naturais. Vamos começar
dividindo o monômio 8a
2
pelo monômio 2a e
colocar o quociente 4a abaixo da chave:
Agora vamos multiplicar por -4a, o valor
oposto do quociente, cada um dos monômios do
divisor 2a - 3b e colocar o resultado embaixo do
dividendo:
Executamos então a soma dos monômios:
Continuamos a divisão baixando o terceiro
monômio do dividendo:
Agora dividimos 10ab por 2a, que vai dar 5b
e também o colocamos abaixo da chave:
Multiplicamos por -5b, o valor oposto de 5b,
cada um dos monômios do divisor 2a - 3b e
colocamos o resultado embaixo do primeiro resto
parcial:
Por fim executamos a soma que resultará em
zero, indicando uma divisão exata:
Como pudemos ver o procedimento da
divisão de polinômios e bastante simples e
semelhante à divisão de números naturais.
Para fechar o tema vamos a um outro
exemplo, só que desta vez veremos uma divisão com
um resto diferente de zero.
Vamos dividir 2x
4
- 7x
3
+ 3x
2
por x - 2:
Dividimos o monômio 2x
4
pelo monômio x,
que resulta em 2x
3
e o colocamos abaixo da chave:
Agora vamos multiplicar por -2x
3
, o valor
oposto do quociente, cada um dos monômios do
divisor x - 2 e colocar o resultado embaixo do
dividendo:
Executamos a soma dos monômios:
Continuamos a divisão baixando o último
monômio do dividendo:
Dividimos então -3x
3
por x, que vai dar -3x
2
e
o colocamos também abaixo da chave:
Então Multiplicamos por 3x
2
, que é o valor
oposto de -3x
2
, cada um dos monômios do divisor x -
2 e colocamos o resultado embaixo do primeiro resto
parcial:
Como anteriormente, efetuamos a soma dos
monômios:
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Note que o resto -3x
2
é um polinômio de
grau 2, que não é de grau inferior ao grau do
divisor, que é um polinômio de grau 1, então
devemos continuar a divisão.
Dividimos -3x
2
por x e colocamos o
resultado -3x abaixo da chave:
Multiplicamos por 3x, que é o simétrico de -
3x, cada um dos monômios do divisor x - 2 e
botamos o resultado embaixo do segundo resto
parcial:
Somamos então os monômios:
Como tanto -6x, quanto x - 2 são de grau 1,
devemos continuar a divisão:
Dividimos então -6x por x, que vai dar -6 e
também o inserimos abaixo da chave:
Multiplicamos por 6, que é o simétrico de -6,
novamente cada um dos monômios do divisor x - 2
e botamos o resultado embaixo do terceiro resto
parcial:
Somamos mais uma vez os monômios:
Agora o grau do resto -12 é igual a 0 e,
portanto, inferior aograu do divisor que é 1, então
terminamos a divisão por aqui.
Se você realizar a multiplicação do
quociente 2x
3
- 3x
2
- 3x - 6 por x - 2 irá obter 2x
4
-
7x
3
+ 3x
2
+ 12 que somado a -12 resultará em 2x
4
-
7x
3
+ 3x
2
, exatamente o dividendo original.
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Denomina-se equação do 2° grau, qualquer
sentença matemática que possa ser reduzida à forma
ax
2
+ bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são
números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes
da equação. Observe que o maior índice da incógnita
na equação é igual a dois e é isto que a define como
sendo uma equação do segundo grau.
Equação do 2° grau completa e equação
do 2° grau incompleta
Da definição acima temos obrigatoriamente
que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do
2° grau completa. A sentença matemática -2x
2
+ 3x -
5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau
completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são
diferentes de zero.
-x
2
+ 7 = 0 é um exemplo de equação do 2°
grau incompleta, pois b = 0.
Neste outro exemplo, 3x
2
- 4x = 0 a equação
é incompleta, pois c = 0.
Veja este último exemplo de equação do 2°
grau incompleta, 8x
2
= 0, onde tanto b, quanto c são
iguais a zero.
Resolução de equações do 2° grau
A resolução de uma equação do segundo
grau consiste em obtermos os possíveis valores reais
para a incógnita, que torne a sentença matemática
uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da
equação.
Fórmula Geral de Resolução
Para a resolução de uma equação do
segundo grau completa ou incompleta, podemos
recorrer à fórmula geral de resolução:
Esta fórmula também é conhecida como
fórmula de Bhaskara.
O valor b
2
-4ac é conhecido como
discriminante da equação e é representado pela
letra grega Δ. Temos então que Δ = b
2
-4ac, o que
nos permitir escrever a fórmula geral de resolução
como:
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Resolução de equações do 2° grau
incompletas
Para a resolução de equações incompletas
podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:
Para o caso de apenas b = 0 temos:
Portanto para equações do tipo ax
2
+ c = 0,
onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada
para calcularmos as suas raízes.
Observe no entanto que a equação só possuirá
raízes no conjunto dos números reais se .
Para o caso de apenas c = 0 temos:
Portanto para equações do tipo
ax
2
+ bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre
será igual a zero e a outra será dada pela fórmula
.
Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:
Podemos notar que ao contrário dos dois
casos anteriores, neste caso temos apenas uma
única raiz real, que será sempre igual a zero.
Discriminante da equação do 2° grau
O cálculo do valor do discriminante é muito
importante, pois através deste valor podemos
determinar o número de raízes de uma equação do
segundo grau.
Como visto acima, o discriminante é
representado pela letra grega Δ e equivale à
expressão b
2
- 4ac, isto é: Δ = b
2
- 4ac.
Discriminante menor que zero
Caso Δ < 0, a equação não tem raízes
reais, pois :
Discriminante igual a zero
Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes
reais e iguais, pois :
Discriminante maior que zero
Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes
reais e diferentes, pois :
Conjunto Verdade de equações do 2°
grau
A partir do estudado acima, podemos
esquematizar o conjunto verdade das equações do
segundo grau completas e incompletas como a
seguir:
Para o caso das equações completas temos:
Para o caso das equações incompletas onde
somente b = 0 temos:
Para o caso das equações incompletas onde
somente c = 0 temos:
E no caso das equações incompletas onde
tanto b = 0, quanto c = 0 temos:
Exemplo de resolução de uma equação do
segundo grau
Encontre as raízes da equação: 2x
2
- 6x -
56 = 0
Aplicando a fórmula geral de resolução à
equação temos:
Observe que temos duas raízes reais
distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos
para Δ o valor 484, que é maior que zero.
Logo:
As raízes da equação 2x
2
- 6x - 56 = 0
são: -4 e 7.
Inequação de 2º Grau
As inequações são expressões matemáticas
que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais
de desigualdades:
>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente
As inequações do 2º grau são resolvidas
utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve
ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo
de formular o conjunto solução.
Exemplo 1
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 <
0.
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S = {x ? R / –7/3 < x < –1}
Exemplo 2
Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
S = {x ? R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2}
Exemplo 3
Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
S = {x ? R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
Exemplo 4
Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
S = {x ? R / x < 3 e x > 3}
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Os sistemas a seguir envolverão equações
do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas
representações gráficas constituem uma reta e uma
parábola, respectivamente. Resolver um sistema
envolvendo equações desse modelo requer
conhecimentos do método da substituição de termos.
Observe as resoluções comentadas a seguir:
Exemplo 1
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6
x = 6 – y
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Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + y² = 20
(6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da
equação por 2)
y² – 6y + 8 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4
a = 1, b = –6 e c = 8
Determinando os valores de x em relação
aos valores de y obtidos:
Para y = 4, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2
Par ordenado (2; 4)
Para y = 2, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 2
x = 4
Par ordenado (4; 2)
S = {(2: 4) e (4; 2)}
Exemplo 2
Isolando x ou y na 2ª equação:
x – y = –3
x = y – 3
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + 2y² = 18
(y – 3)² + 2y² = 18
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da
equação por 3)
y² – 2y – 3 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
a = 1, b = –2 e c = –3
Determinando os valores de x em relação
aos valores de y obtidos:
Para y = 3, temos:
x = y – 3
x = 3 – 3
x = 0
Par ordenado (0; 3)
Para y = –1, temos:
x = y – 3
x = –1 –3
x = –4
Par ordenado (–4; –1)
S = {(0; 3) e (–4; –1)}
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Geralmente quando queremos determinar
certos elementos de um conjunto,ordenamos esses
elementos seguindo um determinado padrão.
Dizemos que esse conjunto corresponde a uma
sequencia ou sucessão. Elementos de uma
sequencia podem ser de vários tipos. Veremos
alguns exemplos propostos a seguir:
A escalacão de um time de futebol
escritos em ordem alfabética: (Deola, Marcio,
Marcos, Kleber, Valdivia,...,Victor).
Anos em que aconteceram os jogos
panamericanos no período de 1991 a 2007: (1991,
1995, 1999, 2003, 2007)
Sequência dos números primos: (2,
3, 5, 7, 11, 13, ...)
Cada um desses elementos dos conjuntos
que chamamos de sequência ou sucessões é
denominado termo. Na sequência que
anteriormente dizemos ser uma escalação de um
time de futebol, Deola é o primeiro termo, Marcio o
segundo termo, e assim por diante. De um modo
geral , a representação dos termos de uma
sequência é dada por uma letra e um índice que
indica a posição do termo na sequência.
O primeiro termo da sequência, por
exemplo, pode aparecer indicado como A1, O
segundo termo por A2, o terceiro termo por A3 e
assim sucessivamente. Além dessas definições de
sequências indicamos também o n-ésimo termo
conhecido também pela notação definida An. O
elemento An (termo geral) pode representar
qualquer termo da sequência assim quando formos
nos referir por exemplo ao 15° termo da sequência,
basta indicarmos por An=A15.
Indicamos também por An qualquer
elemento que queremos tomar, pois An é conhecido
principalmente por ser um termo de ordem n. A
representação de uma sequência dada por
definição é : (A1, A2, A3, A4, ..., An).
Se uma sequência qualquer possui o último
termo dizemos que ela é uma sequência finita. Se
essa sequência não possui o último termo, dizemos
que é infinita. Veja os exemplos a seguir:
Sequência finitas
Números primos entre 2 e 29 (2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29); Posição relativa de times de
futebol da primeira divisão do futebol brasileiro (1°,
2°, 3°, 4°, 5°, ..., 20°).
Sequências infinitas
Números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...); O
conjunto entre todos os números primos (2, 3, 5, 11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...); O conjunto de todos os
números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...).
As sequências são os pré requisitos
essenciais para compreendermos o estudo das
progressões geométricas e progressões aritméticas,
conhecidas usualmente com PA e PG. As
progressões são sequências numéricas com algumas
propriedades específicas e com alguns tratamentos
particulares, a identificação e o conhecimento sobre o
assunto de sequências e sucessões é uma
ferramenta de grande auxílio no estudo de
progressões.
Para definirmos o que é uma sequência
dizemos que é todo conjunto de elementos
numéricos ou não que são colocados em uma certa
ordem.
LEI DE FORMAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS
Termo em função da posição
Expressa an em função de n.
Exemplo:
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Chamamos de progressão aritmética, ou
simplesmente de PA, a toda sequência em que cada
número, somado a um número fixo, resulta no
próximo número da sequência. O número fixo é
chamado de razão da progressão e os números da
sequência são chamados de termos da progressão.
Observe os exemplos:
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com
razão 10.
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com
razão 2.
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com
razão 3.
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com
razão -4.
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com
razão -20.
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos,
com razão 0.
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o
segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e
o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa
PA.
145, 159, 173, 187, 201
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a
razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.
32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11
Símbolos usados nas progressões
Em qualquer seqüência, costumamos indicar
o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o
terceiro termo por a3, e assim por diante.
Generalizando, o termo da seqüência que está na
posição n é indicado por an.
Veja alguns exemplos
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3
= 22 e a4 = 32
Quando escrevemos que, numa seqüência,
tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5
indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No
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caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o
símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º
posição. No caso o valor do quinto termo é 7.
A razão de uma PA é indicada por r, pois
ela representa a diferença entre qualquer termo da
PA e o termo anterior.
Observe os exemplos:
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a
razão é r = 7, pois:
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:
a2 – a1 = 15 – 20 = -5
a3 – a2 = 10 – 15 = -5
a4 – a3 = 5 – 10 = -5
Classificação das progressões
aritméticas
Uma PA é crescente quando cada termo, a
partir do segundo, é maior que o termo que o
antecede. Para que isso aconteça é necessário e
suficiente que a sua razão seja positiva.
Exemplo:
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note
que sua razão é positiva, r = 4
Uma PA é decrescente quando cada termo,
a partir do segundo, é menor que o termo que o
antecede. Para que isso aconteça é necessário e
suficiente que a sua razão seja negativa.
Exemplo:
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente.
Note que sua razão é negativa, r = -10
Uma PA é constante quando todos os seus
termos são iguais. Para que isso aconteça é
necessário e suficiente que sua razão seja igual a
zero.
Exemplo:
Determine x para que a seqüência (3+ x,
5x, 2x + 11) seja PA.
5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x
5x – 3 – x = 2x +11 – 5x
5x – x – 2x + 5x = 11 + 3
7x = 14
x = 14/7 = 2
Fórmula do termo geral da PA
an = a1 + (n – 1).r
Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17,
21,...)
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?
a61 = 9 + (61 – 1).4
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249
Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em
que a1 = 2 e a8 = 3
an = a1 + ( n – 1 ).r
a8 = a1 + (8 – 1 ).r
a8 = a1 + 7r
3 = 2 + 7r
7r = 3 – 2
7r = 1
r = 1/7
Determinar o número de termos da PA
(4,7,10,...,136)
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3
an = a1 + (n – 1).r
136 = 4 + (n – 1).3
136 = 4 + 3n – 3
3n = 136 – 4 + 3
3n = 135
n = 135/3 = 45 termos
Determinar a razão da PA tal que:
a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18
a4 = a1 + (4 – 1).r a3 = a1 + (3 – 1).r a5 = a1 +
4r
a4 = a1 + 3r a3 = a1 + 2r
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a1 + a1 + 3r = 12
a1 + 2r + a1 + 4r = 18
2a1 + 3r = 12
2a1 + 6r = 18
3r = 6
r = 6/3 = 2
Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos
entre 1 e 25, nessa ordem .
Interpolar (ou inserir) cinco meios
aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa
determinar a PA de primeirotermo igual a 1 e último
termo igual a 25.
(1,_,_,_,_,_,25)
a7 = a1 + 6r
25 = 1 + 6r
6r = 24
r = 24/6
r = 4
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
Representação genérica de uma PA
PA de três termos:
(x, x + r, x + 2r)
ou
(x – r, x , x + r), em que a razão é r
PA de quatro termos:
(x, x + r, x + 2r, x + 3r)
ou
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é
2r
Cálculo da soma dos n primeiros termos de
uma PA
Em uma pequena escola do principado de
Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor
Buttner propôs a seus alunos que somassem os
números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos
depois, um gurizote de oito anos de idade
aproximou-se da mesa do senhor Buttner e,
mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O
professor, assombrado, constatou que o resultado
estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos
maiores matemáticos de todos os tempos: Karl
Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por
ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a
soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é
igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o
penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do
terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual
a 101; e assim por diante, a soma de dois termos
equidistantes dos extremos é igual a soma dos
extremos.
1 2 3 4..................................97 98 99 100
4 + 97 = 101
3 + 98 = 101
2 + 99 = 101
1 + 100 = 101
Como são possíveis cinquenta somas iguais
a 101, Gauss concluiu que:
1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 +
99 + 100 = 50.101 = 5050
Esse raciocínio pode ser estendido para o
cálculo da soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética qualquer:
Calcular a soma dos trinta primeiros termos
da PA (4, 9, 14, 19,...).
a30 = a1 + (30 – 1).r
a30 = a1 + 29r
a30 = 4 + 29.5 = 149
Calcular a soma dos n primeiros termos da
PA (2, 10, 18, 26,...).
an = 2 + (n – 1).8
an = 2 + 8n – 8
an = 8n – 6
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Determine a soma dos termos da PA (6, 10,
14,..., 134).
Calcule a soma dos múltiplos de 7
compreendidos entre 100 e 300.
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).
O primeiro múltiplo de 7 compreendido
entre 100 e 300 é o 105.
O último múltiplo de 7 compreendido entre
100 e 300 é o 294.
294 = 105 + (n – 1).7
294 = 105 + 7n – 7
7n = 294 – 105 + 7
7n = 196
n = 196/7 = 28
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Denominamos de progressão geométrica, ou
simplesmente PG, a toda seqüência de números não
nulos em que cada um deles, multiplicado por um
número fixo, resulta no próximo número da
seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da
progressão e os números da seqüência recebem o
nome de termos da progressão.
Observe estes exemplos:
8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG
de 8 termos, com razão 2.
5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com
razão 3.
3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com
razão 1/10
Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º
termo é 12. Escreva os termos dessa PG.
2, 12, 72, 432, 2592
Numa PG de 4 termos, o último termo é 500
e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.
4,20,100,500
Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a
razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.
3,30,300,3000,30000,300000
a6 = 300000
Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a
razão é -3. Escreva os termos dessa PG.
-90,270,-810,2430,-7290
Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é
30. Qual a razão dessa PG.
q = 30/180 = 3/18 = 1/6
A razão é 1/6
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Fórmula do termo geral de uma progressão
geométrica.
Determinar o 15º termo da progressão
geométrica (256, 128, 64,...).
Determinar a razão da PG tal que:
Determinar o número de termos da PG (128,
64, 32,......, 1/256).
Determinar a razão da PG tal que:
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Representação genérica de uma PG:
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a
razão é q;
(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³),
com razão q;
(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.
Determinar a PG de três termos, sabendo
que o produto desses termos é 8 e que a soma do
segundo com o terceiro termo é 10.
Soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da
PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:
Se q = 1, então Sn = n.a1
Calcular a soma dos dez primeiros termos da
PG (3, 6, 12,....).
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Na Matemática, o conceito de função é
inteiramente ligado às questões de dependência entre
duas grandezas variáveis. Toda função possui uma lei de
formação algébrica que relaciona dois ou mais conjuntos
através de cálculos matemáticos. Dizemos que para toda
função temos um conjunto denominado domínio e sua
respectiva imagem.
Por exemplo, podemos estabelecer uma relação
de dependência entre o preço do litro do combustível e a
quantidade de litros usados no abastecimento de um
carro. Suponhamos que o preço do litro de gasolina seja
R$ 2,50, dessa forma, podemos determinar a seguinte
função y = 2,5 * x, que determina o preço a pagar y em
decorrência da quantidade de litros abastecidos x.
A partir dessa função podemos construir a
seguinte tabela de valores:
Toda situação problema envolvendo relações entre
grandezas, é determinada por uma lei de formação
algébrica. Observe mais um problema relacionado a uma
situação cotidiana.
Numa viagem, um automóvel mantém uma
velocidade constante de 60 km/h. Com o passar do
tempo, esse veículo irá percorrer uma determinada
distância. De tal modo, podemos determinar a distância
percorrida pelo veículo relacionando a velocidade média
e o tempo do movimento utilizando a seguinte expressão
matemática, D = V * t, onde D: distância, V: velocidade
média e t: tempo. Observe a tabela de valores para essa
função:
Observe que nesse caso a variável dependente é
a velocidade e a variável independente é o tempo.
As funções possuem grande aplicabilidade nas
situações em geral relacionadas ao ensino da Matemática.
Utilizamos funções na Administração, na Economia, na
Física, na Química, na Engenharia, nas Finanças, entre
outras áreas do conhecimento.
Observe o exemplo:
Uma indústria de brinquedos possui um custo
mensal de produção equivalente a R$ 5.000,00 mais R$
3,00 reais por brinquedo produzido. Determine a lei de
formação dessa função e o valor do custo na produção de
2.000 peças.
A lei de formação será formada por uma parte fixa
e outra variável. Observe:
C = 5000 + 3 * p, onde C: custo da produção e p:
o número de brinquedos produzidos. Como serão
produzidos2.000 brinquedos temos:
C = 5000 + 3 * 2000
C = 5000 + 6000
C = 11.000
O custo na produção de 2.000 brinquedos será de
R$ 11.000,00.
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FUNÇÃO DE 1º GRAU
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau,
ou função afim, a qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b
são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é
chamado de coeficiente de x e o número b é
chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções
polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º
grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos
eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x -
1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de
seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1;
portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e
outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no
plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0
-
1
0
Já vimos que o gráfico da função afim y =
ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente
angular da reta e, como veremos adiante, a está
ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente
linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b.
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em
que a reta corta o eixo Oy.
Para a confecção de apostilas uma gráfica
cobra um valor de R$ 5,00 referentes ao custo da
capa, contra-capa e da encadernação, mais um valor
de R$ 0,50 para cada página da apostila.
Repare que há uma relação de dependência
entre duas grandezas, o número de páginas da
apostila e o seu custo total.
Para cada número de páginas existe um
valor único para a apostila. Estamos então diante de
uma função que pode ser definida como:
Ou, se trabalharmos com números
fracionários, por:
Graficamente temos a seguinte
representação da função no plano cartesiano:
Toda função na forma
, com ( e
) é denominada função afim, ou função
polinomial do 1° grau. Como sabemos, o polinômio
ax + b é um polinômio do primeiro grau na variável
x.
Como podemos observar o gráfico desta
função é formado por uma reta. Toda função afim é
representada no plano cartesiano por uma reta não
paralela ao eixo x, ou eixo das abscissas.
Normalmente f(x) é representado pela letra y,
como no caso deste gráfico. Então a função também
pode ser definida por:
Representação Gráfica de uma Função
Afim
Para montarmos o gráfico de uma função
polinomial do 1° grau basta conhecermos dois
pares ordenados cujo primeiro elemento pertence
http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
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ao domínio da função e o segundo pertence à sua
imagem.
Para o primeiro par ordenado vamos
escolher aquele onde x = 0. Substituindo x por 0 na
regra de associação ou lei de formação da
função, temos:
Então o nosso par ordenado será (0, 5)
representado no gráfico ao lado pelo ponto A:
Voltando ao problema da apostila, o ponto
(0, 5) do gráfico da função nos indica que caso a
apostila não tenha nenhuma página, o seu custo
será de R$ 5,00 referentes ao custo da capa,
contra-capa e da encadernação apenas.
Para o outro par ordenado, arbitrariamente
podemos escolher o ponto com abscissa igual a 4
e realizarmos os cálculos como no caso do primeiro
ponto, agora trocando x por 4:
Tal ponto pode ser observado neste outro
gráfico, representado pelo ponto B:
O ponto (4, 7) do gráfico da função nos
aponta que o custo de uma apostila com 4 páginas
é de R$ 7,00.
Como sabemos que o gráfico de uma
função polinomial do 1° grau é uma reta, basta
traçarmos uma reta unindo tais pontos, como
podemos ver no gráfico abaixo:
Observe que obtivemos o mesmo gráfico do
início das explicações deste tópico.
Neste exemplo partimos da lei de formação
da função, escolhemos arbitrariamente dois pontos
conhecidos e a partir deles montamos o gráfico da
função. Agora vamos obter a regra de associação
da função a partir de quaisquer dois pontos
conhecidos pertencentes à função.
RAIZ DA FUNÇÃO AFIM
Observe no gráfico acima que a reta da
função intercepta o eixo das abscissas no ponto (-
10, 0).
Este valor de x = -10 que leva a y = 0 é
denominado raiz da função ou zero da função.
Sendo a função, para
encontramos a sua raiz basta substituirmos y por 0 e
solucionarmos a equação do primeiro grau obtida:
Obtendo a Lei de Formação de uma
Função Afim a partir de Dois Pontos da Reta
No gráfico acima vemos que o ponto (0, 5)
pertence à função, então na sentença
podemos trocar x por 0 e y por 5,
quando então iremos obter que b = 5:
Novamente segundo o gráfico o ponto (-10,
0) também pertence à função e já que b = 5 temos:
Observe que substituímos y, x e b por 0, -10
e 5 respectivamente, obtendo a =
1
/2.
Visto que a =
1
/2 e b = 5, temos:
Portanto a função cujo gráfico
passa pelos pontos (-10, 0) e (0, 5) é definida por:
http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
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Exatamente como havíamos visto no
começo da matéria.
Vale ressaltar que chegaríamos à mesma
definição da função, quaisquer que fossem os dois
pontos distintos pertencentes a reta exemplo, que
utilizássemos na realização dos cálculos.
FUNÇÃO DE 2.º GRAU
Ao estudarmos a função afim vimos que
sua lei de formação é baseada em um polinômio
do primeiro grau na variável x. Analogamente a
lei de formação de uma função quadrática é
baseada num polinômio do segundo grau na
variável x.
Toda função na forma
, com ( ,
e ) é denominada função
quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Lembre-se que o polinômio ax
2
+ bx + c é
um polinômio do segundo grau na variável x.
Representação Gráfica de uma Função
Quadrática
Devido ao fato de o gráfico de uma função
polinomial do 2° grau ser uma parábola e não
uma reta, como no caso de uma função afim, para
montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer
apenas dois pares ordenados pertencentes à
curva da função, no caso da função quadrática
precisamos de mais alguns pontos para termos
uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.
Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela
abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:
x y = -x
2
+ 10x - 14
2 y = -2
2
+ 10 . 2 - 14 = 2
3 y = -3
2
+ 10 . 3 - 14 = 7
4 y = -4
2
+ 10 . 4 - 14 = 10
5 y = -5
2
+ 10 . 5 - 14 = 11
6 y = -6
2
+ 10 . 6 - 14 = 10
7 y = -7
2
+ 10 . 7 - 14 = 7
8 y = -8
2
+ 10 . 8 - 14 = 2
Na tabela temos cada um dos sete pontos
destacados no gráfico.
Para traçá-lo primeiro identificamos no plano
cartesiano cada um dos pontos setepontos da
tabela e depois fazemos as interligações, traçando
linhas curvas de um ponto a outro seguindo a
curvatura própria de uma parábola.
Normalmente é mais fácil traçarmos a
parábola se a começarmos pelo seu vértice, que
neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto
máximo do gráfico desta parábola.
Ponto de Intersecção da Parábola com o
Eixo das Ordenadas
De uma forma geral a parábola sempre
intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Na função y = -x
2
+ 10x - 14, vista acima, o
coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da
parábola do gráfico da função com o eixo das
ordenadas ocorre no ponto (0, -14).
Raiz da Função Quadrática
Observe no gráfico anterior que a parábola
da função intercepta o eixo das abscissas em dois
pontos. Estes pontos são denominados raiz da
função ou zero da função.
Uma função quadrática possui de zero a
duas raízes reais distintas.
Sendo a função,
para encontramos as suas raízes basta igualarmos y
a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau
obtida:
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoAfim.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Polinomios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
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Estes são os valores de x que levam a y =
0, estes valores são portanto as raízes desta
função.
Vértice e Concavidade da Parábola
Podemos observar que no gráfico da
função y = -x
2
+ 10x - 14 o seu vértice é o ponto
máximo e que a sua concavidade é para baixo.
Agora vamos observar o gráfico da função
y = x
2
+ 3x + 1:
Como podemos perceber, esta outra
parábola é côncava para cima e o seu vértice é o
seu ponto mínimo.
Observando apenas a lei de formação das
duas funções, qual o seu palpite para esta
divergência entre os dois gráficos?
Vamos identificar os coeficientes destas
funções.
Para a função y = -x
2
+ 10x - 14 temos:
Já para a função y = x
2
+ 3x + 1 temos:
Já tem algum palpite?
Observe que na primeira função o
coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda
função este mesmo coeficiente é positivo.
O gráfico da função
é côncavo para baixo
quando a < 0:
Por outro lado quando a > 0 o gráfico da
função tem a sua concavidade voltada para cima:
1.2 Coordenadas do Vértice da Parábola
A abscissa do vértice xv é dada pela
fórmula:
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida
calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:
Vamos tomar como exemplo novamente a
função y = -x
2
+ 10x - 14 e calcularmos as
coordenadas do seu vértice para conferirmos com o
ponto indicado na tabela inicial.
Seus coeficientes são:
Então para a abscissa do vértice xv temos:
A ordenada do vértice yv vamos obter pelas
duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula,
mas para isto antes precisamos calcular o
discriminante da equação -x
2
+ 10x - 14 = 0:
Visto que o discriminante é igual a 44, a
ordenada do vértice é:
Da outra maneira o cálculo seria:
http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx
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Portanto o vértice da parábola é o ponto (5,
11) como apontado inicialmente pela tabela.
1.3 Valor Mínimo ou Máximo da Função
Quadrática
Acima aprendemos a identificar pela lei de
formação de uma função se a parábola do seu
gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e
também aprendemos como calcular as
coordenadas do vértice desta parábola.
Ficamos sabendo também que as funções
polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0
possuem um valor máximo, ao ponto que quando
o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.
Com base nestes conhecimentos podemos
calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma
função quadrática.
1.3.1 Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da
Função Quadrática
Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x
2
- 4x + 5:
Os seus coeficientes são:
Esta função é côncava para cima, pois o
seu coeficiente a > 0.
O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim
calculado:
1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que
obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:
Conhecendo o discriminante podemos
calcular yv:
Observe que para valores de x menores que
a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo
até atingir um valor mínimo que é a ordenada do
vértice ou f(xv).
Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo
da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.
Para a > 0 o conjunto imagem da função
polinomial do 2° grau é:
1.3.2 Valor Máximo e Ponto de Máximo da
Função Quadrática
Vamos analisar agora este outro gráfico da
função f(x) = -x
2
+ 4x + 2:
Os coeficientes da regra de associação
desta função são:
Esta função é côncava para baixo já que o
seu coeficiente a < 0.
O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que
calculamos assim:
MATEMÁTICA
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6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que
agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em
vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir
dele calcularmos yv, como fizemos no caso do
valor mínimo:
Neste caso veja que para valores de x
menores que a abscissa do vértice, o valor de y
vai aumentando até atingir um valor máximo que
é a ordenada do vértice, que como sabemos é
f(xv).
Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor
máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da
função f.
Para a < 0 o conjunto imagem da função
quadrática é:
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Por gráfico entendemos uma figura com o
objetivo de transmitir uma informação qualquer. Os
meios de comunicação (revistas, jornais, televisão)
utilizam frequentemente este recurso para veicular
de maneira clara, simples e compacta vários tipos
de informação, tais como: resultados de pesquisa
de opinião, dados estatísticos, variação de
indicadores financeiros, etc.
O termo gráfico em matemática, geralmente
é usado quando estamos a descrever uma figura
por meio de uma condição que é satisfeita pelos
pontos da figura e por nenhum outro ponto.
Uma das representações gráficas mais
comuns e importantes em matemática é o gráfico
de uma função.
Podemos representar graficamente uma
função usando vários tipos de gráficos: gráficos de
barras, correspondência ou relação entre conjuntos,
gráfico cartesiano.
O gráfico cartesiano de uma função é o
conjunto de todos os pontos (x, y) do plano que
satisfazem a condição y = f(x), ou seja, o gráfico de
uma função é o conjunto de todos os pontos do
plano da forma (x, f(x)), com x variando no domínio
de f.
Os gráficos cartesianos permitem visualizar
"a forma" geométrica de uma função e as suas
principais características.Qualquer curva plana representa o gráfico
de alguma função?
(Resolva o exercício abaixo. Ele poderá
ajudá-lo a obter uma resposta para esta pergunta)
Verifique quais dos gráficos abaixo, são
gráficos de funções:
( a )
( b )
( c )
MATEMÁTICA
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( d )
( e )
( f )
Dos exemplos estudados, podemos concluir
que o gráfico de uma função é uma curva plana com
a característica especial que qualquer recta vertical
só a intercepta num único ponto.
Porque é esta condição
necessária?
O gráfico de uma função
pode ser simétrico em relação ao eixo x ?
E em relação ao eixo y ?
O que representam os pontos
onde o gráfico de uma função corta o eixo x ?
Dizemos que duas funções y = f(x) e y = g(x)
são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x) =
g(x) , para todos os valores de x do seu domínio
comum.
e y = x + 1 não são iguais
porque têm domínios diferentes. O ponto x = 1
pertence ao domínio de y = x +1, mas não pertence
ao domínio de .
O que acontece com os valores de f(x)
quando x se aproxima de 1 ?
Para responder observe a animação abaixo:
MATEMÁTICA
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Dizemos, então, que o limite da função
quando x tende para 1 é 2, ou em notação
matemática, .
Estudemos agora, a função
. É claro que esta função não está
definida para x= 0. Além disso, lembrando que
, concluímos,
imediatamente, que esta função é constante e igual
a 1 para valores positivos de x , e é constante e
igual a -1 para os valores negativos de x .
Traçamos abaixo o gráfico dessa função.
O que acontece com os
valores dessa função, quando x se
aproxima de zero pela direita?
E quando x se aproxima de
zero pela esquerda ?
Notamos, neste caso, que o
comportamento de f(x) difere daquele do exemplo
anterior, pois a função assume valores diferentes,
quando x se aproxima de zero pela direita e, pela
esquerda. Neste caso, dizemos que a função não
tem limite no ponto x = 0 .
Considere a função y = (1 / x).. Pode-se
concluir, imediatamente, que y assumirá valores
positivos, quando x for positivo y será negativo
quando x for negativo e que y não está definido
quando x = 0. Mas, o que acontece com os valores
da função, quando x se aproxima de zero?
Neste caso, notamos que à medida que x
se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela
esquerda, os valores correspondentes de f(x)
crescem sem limite, em valor absoluto. Dizemos,
então, que quando x tende para zero pela
esquerda, a função f(x) tende para - ∞ e quando x
tende para zero pela direita, a função tende para +
∞. Em notação matemática, escrevemos
e
, respectivamente.
Observe ainda, como este comportamento
"aparece" no gráfico da função.
Podemos perceber que, à medida em que x
cresce em valor absoluto, o gráfico da função
aproxima-se cada vez mais da recta y = 0 e, quando
x se aproxima de zero, o gráfico da função aproxima-
se da recta x = 0.
A recta x = 0 é chamada assimptota vertical e
a recta y = 0 é chamada assimptota horizontal ao
gráfico da função.
Em resumo, dizemos que uma recta é uma
assimptota ao gráfico de uma função quando, à
medida que um ponto se move ao longo da curva, a
distância desse ponto à recta aproxima-se de zero
indefinidamente, sem nunca chegar a zero.
MATEMÁTICA
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TEOREMA DE PITÁGORAS
O Teorema de Pitágoras é considerado
uma das principais descobertas da Matemática, ele
descreve uma relação existente no triângulo
retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo
pode ser identificado pela existência de um ângulo
reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é
formado por dois catetos e a hipotenusa, que
constitui o maior segmento do triângulo e é
localizada oposta ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos quadrados
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido
no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Foi através do Teorema de Pitágoras que
os conceitos e as definições de números irracionais
começaram a ser introduzidos na Matemática. O
primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao
ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo
com catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo
retângulo abaixo:
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um
prédio a outro com uma bicicleta especial,
percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como
demonstra o esquema a seguir:
MATEMÁTICA
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Qual é a medida mínima do comprimento
do cabo de aço?
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)
TEOREMA DE TALES
A história da Geometria Descritiva ganha vida
nas descobertas do grande matemático grego Tales
de Mileto. Sábio do século VI a.C., Tales tornara-se
conhecido como pai da geometria descritiva após
grande contribuição não somente nesse campo, mas
em muitas outras extensões da matemática.
Além da matemática, Tales contribuiu, com
seus estudos, para o desenvolvimento da Astronomia
e da Filosofia. Ainda sobre ele, supõe-se que passara
um tempo vivendo no Egito, onde foi convocado para
calcular a altura de uma pirâmide, realizando o
cálculo com êxito e ficando muito famoso. Para
realizar tamanha façanha, visto que à época
pouquíssimos (ou nenhum) recursos foram-lhe
disponibilizados, Tales utilizou o que hoje
conhecemos como o Teorema de Tales.
Algumas considerações preliminares
O enunciado do Teorema de Tales será
compreensível a partir da consideração, nesse
primeiro momento, de alguns elementos básicos: um
feixe de retas paralelas r, s e t que cortam as retas
transversais u e v.
Neste exemplo, o feixe de retas é formado
por apenas três retas paralelas e duas transversais,
mas outros feixes podem ser formados com maior
número de retas paralelas contidas num mesmo
plano.
No feixe acima, destacam-se os seguintes
elementos:
Pontos correspondentes: A e
D, B e E, C e F;
Segmentos correspondentes:
AB e DE, BC e EF, AC e DF.
O teorema de Tales
Se duas retas transversais são cortadas por
um feixe de retas paralelas, então a razão entre
quaisquer dois segmentos determinados em uma das
transversais é igual à razão entre os segmentos
correspondentes da outra transversal.MATEMÁTICA
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No feixe de retas exemplificado
anteriormente, podemos destacar, de acordo com o
Teorema de Tales, as seguintes razões:
Aplicação do teorema
Aprenda a calcular área e perímetro de um
quadrado.
A área é a quantidade de espaço na superfície.
Calcular área é um dos exercícios mais pedidos em
Matemática. Na Olimpíada de Matemática, Enem e
vestibulares é comum encontrar questões que
envolvam como calcular área.
Para calcular a área de um quadrado, basta elevar
ao quadrado a medida de um lado. Exemplo: O lado
de um quadrado mede 8 cm.
A = L x L
A= 8×8
A= 64 cm
Perímetro
Perímetro é a soma dos lados de uma figura. Ainda
usando as medidas do exemplo acima, vamos
calcular qual é o perímetro de um quadrado.
P= L + L + L + L = 4xL
P= 4×8
P= 32
Portanto, o perímetro do quadrado do exemplo é 32
cm e área é 64 cm.
Aprenda como calcular área e perímetro de um
triângulo.
Área é a quantidade de espaço de uma superfície.
Perímetro pode ser definido como o comprimento da
http://aprovadonovestibular.com/como-calcular-area-e-perimetro-de-um-quadrado-matematica.html
http://aprovadonovestibular.com/como-calcular-area-e-perimetro-de-um-quadrado-matematica.html
http://aprovadonovestibular.com/como-calcular-area-e-perimetro-de-triangulo-%E2%80%93-matematica.html
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curva em torno de uma figura fechada e limitada.
Calcular área e perímetro é muito comum em
exercícios de vestibulares.
Para calcular a área de um triângulo há várias
formas e depende do tipo de triângulo.
A = área
b = base
h = altura
Triângulo equilátero
l = lado
Caso deseje calcular a altura de um triângulo
equilátero.
Como calcular perímetro de um triângulo
Para calcular o perímetro de um triângulo basta
somar o valor dos lados dele.
P = L + L + L
Imagine a seguinte situação:
Aproveitando uma promoção de uma loja de
materiais para construção, uma família resolve
trocar o piso da sala de sua residência. Sabem
que a sala mede 4 metros de largura e possui
um comprimento de 5,5 metros. Sabem também
que o ladrilho desejado é quadrado, com 25 cm
de lado. Quantos ladrilhos serão necessários
para ladrilhar o piso da sala inteira?
Área é a denominação dada à medida de uma
superfície. Na situação acima estamos nos
referindo às áreas da sala e do ladrilho.
Partindo-se deste princípio, o nosso problema se
resume ao cálculo da razão entre as áreas da sala
e do ladrilho.
Para que você saiba solucionar, dentre outros, o
problema acima, vamos então nos atentar ao
método de cálculo da área das figuras geométricas
planas mais comuns.
De qualquer forma, no final da página você
encontra a resolução detalhada do problema
acima.
Cálculo da Área do Triângulo
Denominamos de triângulo a um polígono de três
lados.
Observe a figura ao lado. A letra h representa a
medida da altura do triângulo, assim como letra b
representa a medida da sua base.
A área do triângulo será metade do produto do valor
da medida da base, pelo valor da medida da altura,
tal como na fórmula abaixo:
A letra S representa a área ou superfície do triângulo.
No caso do triângulo equilátero, que possui os três
ângulos internos iguais, assim como os seus três
lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:
Onde l representa a medida dos lados do triângulo.
Exemplos
A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto
que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a
área deste triângulo?
Do enunciado temos:
Utilizando a fórmula:
A área deste triângulo é 12,25 cm
2
.
Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm.
Qual é a área deste triângulo equilátero?
Segundo o enunciado temos:
Substituindo na fórmula:
http://aprovadonovestibular.com/como-calcular-area-e-perimetro-de-triangulo-%E2%80%93-matematica.html
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
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http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1
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MATEMÁTICA
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A área deste triângulo equilátero é de
aproximadamente 10,8 mm
2
.
Cálculo da Área do Paralelogramo
Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e
paralelos é denominado paralelogramo.
Com h representando a medida da sua altura e com
b representando a medida da sua base, a área do
paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b
por h, tal como na fórmula abaixo:
Exemplos
A medida da base de um paralelogramo é de 5,2
dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm.
Qual é a área deste polígono?
Segundo o enunciado temos:
Substituindo na fórmula:
A área deste polígono é 7,8 dm
2
.
Qual é a medida da área de um paralelogramo
cujas medidas da altura e da base são
respectivamente 10 cm e 2 dm?
Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:
Substituindo na fórmula:
A medida da área deste paralelogramo é 200
cm
2
ou 2 dm
2
.
Cálculo da Área do Losango
O losango é um tipo particular de paralelogramo.
Neste caso além dos lados opostos serem paralelos,
todos os quatro lados são iguais.
Se você dispuser do valor das medidas h e b, você
poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter
a área do losango.
Outra característica do losango é que as suas
diagonais são perpendiculares.
Observe na figura à direita, que a partir das diagonais
podemos dividir o losango em quatro triângulos
iguais.
Consideremos a base b como a metade da diagonal
d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para
calcularmos a área de um destes quatro triângulos.
Bastará então que a multipliquemos por 4, para
obtermos a área do losango. Vejamos:
Realizando as devidas simplificações chegaremos à
fórmula:
Exemplos
As diagonais de um losango medem 10 cm e 15
cm. Qual é a medida da sua superfície?
Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula
que envolve as diagonais, cujos valores temos
abaixo:
Utilizando na fórmula temos:
A medida da superfície deste losango é de 75 cm
2
Qual é a medida da área de um losango cuja base
mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm?
Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a
fórmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a
altura da figura geométrica, cujos valores temos
abaixo:
Segundo a fórmula temos:
MATEMÁTICACentral de Atendimento: (91) 3278-5713 / 8163-1764 ou pelo site: www.apostilasautodidata.com.br Página 61
A medida da área do losango é de 108 cm
2
.
Cálculo da Área do Quadrado
Todo quadrado é também um losango, mas nem
todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo
modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem
todo retângulo é um quadrado.
O quadrado é um losango, que além de possuir
quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares,
ainda possui todos os seus ângulos internos iguais
a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares,
as diagonais também são iguais.
Por ser o quadrado um losango e por ser o losango
um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo
da área do quadrado, as mesmas fórmulas
utilizadas para o cálculo da área tanto do losango,
quanto do paralelogramo.
Quando dispomos da medida do lado do quadrado,
podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:
Como h e b possuem a mesma medida, podemos
substituí-las por l, ficando a fórmula então como
sendo:
Quando dispomos da medida das diagonais do
quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:
Como ambas as diagonais são idênticas, podemos
substituí-las por d, simplificando a fórmula para:
Exemplos
A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede
17 cm. Qual a superfície desta tampa?
Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:
Substituindo na fórmula temos:
Portanto a superfície da tampa desta caixa é de
289 cm
2
.
A medida do lado de um quadrado é de 20 cm.
Qual é a sua área?
Como o lado mede 20 cm, temos:
Substituindo na fórmula temos:
A área do quadrado é de 400 cm
2
.
A área de um quadrado é igual a 196 cm
2
. Qual a
medida do lado deste quadrado?
Temos que S é igual a 196.
Utilizando a fórmula temos:
Como a medida do lado não pode ser negativa,
temos que o lado do quadrado mede 14 cm.
Cálculo da Área do Retângulo
Por definição o retângulo é um quadrilátero
equiângulo (todo os seus ângulos internos são
iguais), cujos lados opostos são iguais.
Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos
um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.
Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da
sua área é realizado da mesma forma.
Se denominarmos as medidas dos lados de um
retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte
fórmula:
Exemplos
Um terreno mede 5 metros de largura por 25
metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?
Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:
Utilizando a fórmula:
MATEMÁTICA
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A área deste terreno é de 125 m
2
.
A tampa de uma caixa de sapatos tem as
dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta
tampa?
Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:
Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:
Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é
de 450 cm
2
.
Cálculo da Área do Círculo
A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo
seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor,
qualquer que seja circunferência. Este valor
irracional constante é representado pela letra grega
minúscula pi, grafada como:
Por ser um número irracional, o número pi possui
infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros,
podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos
com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou
até mesmo 3,14.
O perímetro de uma circunferência é obtido através
da fórmula:
O cálculo da área do círculo é realizado segundo a
fórmula abaixo:
Onde r representa o raio do círculo.
Exemplos
A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual
é a área da lente desta lupa?
Como informado no enunciado, o diâmetro da
circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos
leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que
corresponde à metade deste valor:
Substituindo-o na fórmula:
A área da lente da lupa é de 78,54 cm
2
.
Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos
milímetros quadrados ele possui de superfície?
Do enunciado, temos que o valor do raio r é:
Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:
A superfície do círculo é de 228,05 mm
2
.
Cálculo da Área de Setores Circulares
O cálculo da área de um setor circular pode ser
realizado calculando-se a área total do círculo e
depois se montando uma regra de três, onde a área
total do círculo estará para 360°, assim como a área
do setor estará para o número de graus do setor.
Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor
circular e α o seu número de graus, temos:
Em radianos temos:
A partir destas sentenças podemos chegar a esta
fórmula em graus:
E a esta outra em radianos:
Onde r representa o raio do círculo referente ao setor
e α é o ângulo também referente ao setor.
Exemplos
Qual é a área de um setor circular com ângulo de
30° e raio de 12 cm?
Aplicando a fórmula em graus temos:
A área do setor circular é de 37,6992 cm
2
.
Qual é a superfície de um setor circular com ângulo
de 0,5 rad e raio de 8 mm?
Aplicando a fórmula em radianos temos:
MATEMÁTICA
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A superfície do setor circular é de 16 mm
2
.
Cálculo da Área de Coroas Circulares
O cálculo da área de uma coroa circular pode ser
realizado calculando-se a área total do círculo e
subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito.
Podemos também utilizar a seguinte fórmula:
Onde R representa o raio do círculo e r representa
o raio do círculo inscrito.
Exemplos
Qual é a área de uma coroa circular com raio de
20 cm e largura de 5 cm?
Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15,
substituindo na fórmula temos:
A área da coroa circular é de 549,78 cm
2
.
Qual é a superfície de uma coroa circular com r =
17 e R = 34?
Aplicando a fórmula em temos:
A superfície desta coroa circular é 2723,7672.
Resolução Detalhada do Problema no Começo
da Página
Para resolvermos tal problema, primeiramente
vamos calcular a área da sala.
Para podermos utilizar a fórmula do cálculo da área
de um retângulo, vamos atribuir os 4 m da largura à
letra h e os 5,5 m do comprimento à letra b:
Resolvendo através da fórmula:
Agora que sabemos que a sala tem uma área de 22
m
2
, precisamos conhecer a área do ladrilho.
Como o ladrilho é quadrado, precisamos calcular a
área de um quadrado, só que devemos trabalhar
em metros e não em centímetros, pois a área da
sala foi calculada utilizando-se medidas em metros
e não medidas em centímetros. Poderíamos ter
convertido as medidas da sala em centímetros, para
trabalharmos apenas com centímetros. O importante
é que utilizemos sempre a mesma unidade
(múltiplo/submúltiplo).
A transformação de 25 cm em metros é realizada
dividindo-se tal medida por 100:
Então a medida dos lados dos ladrilhos é de 0,25 m.
Se tiver dúvidas sobre como realizar tal conversão,
por favor acesse a página que trata sobre as
unidades de medidas, lá você encontrará várias
informações sobre este assunto, incluindo vários
exemplos e um link para uma calculadora sobre o
tema.
Voltando ao problema, como o ladrilho é quadrado, a
área do ladrilho com lado l = 0,25 é igual a:
Como dito no começo da página, a resolução do
problema se resume ao cálculo da razão entre a área
da sala e a área do ladrilho.
Como a sala tem uma área de 22 m
2
e o ladrilho de
0,0625 m
2
, temos a seguinte razão:
Ou seja, paraladrilhar o piso da sala inteira serão
necessários ladrilhos 352.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um
ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus
elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a
hipotenusa.
Relações métricas
Para um triângulo retângulo ABC podemos
estabelecer algumas relações entre as medidas de
seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da
hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a
hipotenusa.
b² = a.n c² = a.m
- O produto dos catetos é igual ao produto da
http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasMedida.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraConversaoUnidadesMedida.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraConversaoUnidadesMedida.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://matematica-online-clc.blogspot.com.br/2009/03/relacoes-metricas-no-triangulo.html
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hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.
b.c = a.h
- O quadrado da altura é igual ao produto das
projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA
DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)
13² = 12² + x² 5.12 = 13.y
169 = 144 + x² y = 60/13
x² = 25
x = 5
b)
c)
d)
Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado
l.
Determine x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é eqüilátero.
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZToZ8rhhbI/AAAAAAAAAN8/hKMucF9WgQo/s1600-h/tri4.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTo0Mw6moI/AAAAAAAAAOE/67jmdceolK4/s1600-h/tri6+4.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTqFXm2xvI/AAAAAAAAAOU/VUlx7O_Vktw/s1600-h/tri75.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTqiiG-IkI/AAAAAAAAAOc/Jyx8H6GQJgM/s1600-h/tri8.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTrDu1GIJI/AAAAAAAAAOk/UEi38tRenV8/s1600-h/trig9.jpg
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b)
c)
Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
Razões trigonométricas
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos
definir:
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto
oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
senÊ = e/a senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto
adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto
oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ,
sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....
Ângulos notáveis
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de
alguns ângulos. Esses ângulos chamados de
notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições
de seno, cosseno e tangente, vamos determinar
esses valores para os ângulos notáveis. Considere
um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura
AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos
agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões
trigonométricas ao triângulo AMC temos:
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de
45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal
divide o quadrado em dois triângulos retângulos
isósceles.
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTrjwblBGI/AAAAAAAAAO0/ET_5IMT57ZY/s1600-h/tri34.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTrSSpytWI/AAAAAAAAAOs/Nc4G2C4RRBg/s1600-h/trij112.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTtPvKIB5I/AAAAAAAAAPM/bMAoFRrLAJc/s1600-h/trir38.jpg
http://4.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTtfzoW9yI/AAAAAAAAAPU/9luWkczYGZ8/s1600-h/tris40.jpg
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No triângulo ABD, temos:
Observação: sen45° = cos45°
PRISMA
1. Prismas regulares
Prisma: Figura espacial que possui duas
faces poligonais opostas, paralelas e congruentes,
denominadas bases, separadas por uma distância
chamada altura. As demais faces possuem forma
de paralelogramos, sendo os lados os segmentos
que unem os vértices correspondentes das duas
bases. O prisma é regular quando suas bases
forem polígonos regulares.
1.1 Prisma reto: O prisma é dito reto
quando as arestas laterais forem perpendiculares
às bases. Neste caso as faces laterais serão
retângulos.
Definições complementares
Al → total da área lateral, que é a soma das áreas
dos paralelogramos
Ab → área do polígono da base (vide fórmulas no
artigo Quadrilátero - Cálculo de áreas)
h → altura do prisma (distância entre as duas bases
e perpendicular a elas)
Área total:
AT = Al + 2. Ab
Volume do prisma:
V = Ab . h
1.2 Prisma oblíquo: quando as arestas laterais não
são perpendiculares às bases.
As fórmulas para cálculo das áreas e do volume
continuam as mesmas, pois a altura é sempre a
distância entre as duas bases e perpendicular a elas
ou ao plano que as contém.
PIRÂMIDES REGULARES
Pirâmide: Uma figura espacial que possui
uma face poligonal denominada base, e faces
laterais em forma de triângulos com um vértice em
comum. A distância deste vértice até a base da
pirâmide é sua altura. A pirâmide é regular quando
sua base for um polígono regular.
2.1 Pirâmide reta: A pirâmide é reta quando
todos as faces laterais forem todas triângulos iguais.
Neste caso a projeção do vértice da pirâmide sobre a
base coincide com o centro geométrico da base.
Definições complementares
Al → total da área lateral que é a soma das
áreas dos triângulos laterais
Ab → área do polígono da base (vide
fórmulas no artigo Quadrilátero - Cálculo de áreas)
h → altura da pirâmide (distância entre a
base, perpendicular a ela, e o vértice)
Área total: AT = Al + Ab
http://4.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTt0wr6p5I/AAAAAAAAAPc/eFzcV9hROsU/s1600-h/triu41.jpg
http://educacao.uol.com.br/matematica/calculo-de-areas-2-quadrilateros.jhtm
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Volume da pirâmide:
Pirâmide oblíqua: É aquela em que os
triângulos que formam as faces laterais são
diferentes ente si. Neste caso, a projeção do vértice
da pirâmide sobre a base não coincide com o
centro geométrico da mesma.
As fórmulas para cálculo dasáreas e do
volume continuam as mesmas, pois a altura é
sempre a distância entre o vértice e a base,
perpendicular a ela ou ao plano que a contém.
O tronco de pirâmide é obtido ao se
realizar uma secção transversal numa pirâmide,
como mostra a figura:
O tronco da pirâmide é a parte da figura
que apresenta as arestas destacadas em vermelho.
É interessante observar que no tronco de
pirâmide as arestas laterais são congruentes entre
si; as bases são polígonos regulares semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles,
congruentes entre si; e a altura de qualquer face
lateral denomina-se apótema do tronco.
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base
maior e base menor, e a área da superfície lateral.
De acordo com a base da pirâmide, teremos
variações nessas áreas. Mas observe que na
superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles,
independente do formato da base da pirâmide. Por
exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono
regular, teremos seis trapézios isósceles na
superfície lateral.
A área total do tronco de pirâmide é dada
por:
St = Sl + SB + Sb
Onde
St → é a área total
Sl → é a área da superfície lateral
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
Cálculo do volume do tronco de pirâmide.
A fórmula para o cálculo do volume do tronco
de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o
volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide
obtida após a secção transversal que produziu o
tronco. Colocando em função de sua altura e das
áreas de suas bases, o modelo matemático para o
volume do tronco é:
Onde,
V → é o volume do tronco
h → é a altura do tronco
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
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ÁREA E VOLUME DE UM CILINDRO
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro
fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura
é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um
retângulo de dimensões :
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as
áreas das bases
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar
novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um
plano , se todo plano , paralelo ao plano ,
intercepta os sólidos e determina secções de
mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 =
ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo
retângulo e de todo cilindro é o produto da área da
base pela medida de sua altura:
Vcilindro
= ABh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a
área do círculo de raio r ;
portanto seu volume é:
Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um
quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é
chamado cilindro eqüilátero.
:
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um
ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone
circular o conjunto de todos os segmentos
.
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Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os
seguintes elementos:
altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma
extremidade no ponto V e outra num ponto
da circunferência
raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação:reta determinada pelo
centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular
à base é chamado cone reto, também denominado
cone de revolução. Ele pode ser gerado pela
rotação completa de um triângulo retângulo em
torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos
a seguinte relação:
g2 = h2
+ R2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução,
por um plano que contém o eixo de rotação é
chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também
será eqüilátero:
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CONE
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone
circular reto, obtemos um setor circular de raio g e
comprimento :
Assim, temos de considerar as seguintes
áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área
da base
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver
como calcular volumes de sólidos de revolução.
Observe a figura:
d =
distância
do centro
de
gravidade
(CG) da
sua
superfície
ao eixo e
S=área
da
superfície
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin,
que, quando uma superfície gira em torno de um
eixo e, gera um volume tal que:
Vamos, então, determinar o volume do cone
de revolução gerado pela rotação de um triângulo
retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância
do eixo de rotação. Logo:
ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Arquimedes estudou também a área da
superfícia esférica, a fronteira da esfera sólida.
Alguns livros de geometria diferencial atribuem-lhe o
seguinte resultado
Teorema 3 (Arquimedes) A projecção
cilíndrica de sobre a superfície
cilindríca é equiareal, ie. preserva as áreas.
Recordemos que a projecção cilíndrica
corresponde à projecção tomada na horizontal dos
pontos de um paralelo na esfera sobre a respectiva
circunferência no cilindro. Para vermos tal projecção
em cartas ou mapas da esfera, utilizamos
coordenadas, e então, para termos um aberto de
, temos de retirar um semi-meridiano da esfera
incluindo os pólos (como um corte).
Denotam-se as esferas de dimensão e raio
por . Temos então um ponto descrito
por , um ângulo relativo ao desvio do semi-
meridiano retirado e uma altura correspondente ao
paralelo. Calcula-se então o elemento de área:
(
3)
onde é o raio da esfera. De imediato
obtemos um corolário pouco conhecido.
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Corolário 1 Todos os anéis de com a
mesma altura têm exactamente a mesma área.
Com efeito, tal área será dada pelo integral
(4
)
Figura 5: Dois resultados com origem no
teorema de Arquimedes.
Em particular, área . E
usando argumentos como os que vimos no início
(fig. 2) pode-se descobrir de novo o volume da
esfera. Sob a perspectiva do ângulo, temos que
uma área lunar (a superfície entre dois semi-
meridianos fazendo um ângulo ) é .
Vejam-se os dois resultados na figura 5. O último
permite-nos provar:
Proposição1 A área de um triângulo
esférico (cf. figura 6) sobre a superfície esférica de
raio 1 é .
Seja a área que se procura. Repare-se
que o triângulo dado tem um dual, antípoda, e cada
um dos três ângulos admite duas correspondentes
áreas iguais. Notêmo-las respectivamente por
. Pelo resultado acima, temos
Por outro lado,
, pelo que
agora o valor de se torna fácil de encontrar.
Figura: Área do triângulo esférico é
.
Note-se que o triângulo considerado é
geodésico, ie. as suas arestas são `rectas' da esfera,
ou seja caminhos mais curtos entre quaisquer dois
dos seus pontos. Sabe-se que estes caminhos são
dados por arcos de circunferência máximos, ie. com
raio igual ao da esfera.
A projeção cilíndrica conserva as áreas - não
as distâncias! Não é uma isometria. Para tal, basta
ver a projeção de um paralelo, que aumenta. Ou a de
um meridiano, que diminui. Mas a geodesia é uma
matéria que merece um estudo próprio...
Os trabalhos de Arquimedes são
verdadeiramente assombrosos pela exiguidade de
instrumentos matemáticos de que ele dispunha! O
seu Método ainda hoje é estudado
1
, pois não só a
Física que envolve é útil e verdadeira como a relação
com a matemática está no âmago dos problemas
actuais. Por isso ele é considerado um dos três
maiores matemáticos de sempre.
Não esqueçamos todo o trabalho teórico
construído por Arquimedes ao longo de 75 anos. Ele
encontra-se nas suas obras referenciadas por
historiadores e cronistas gregos, romanos ou árabes,
que o inglês Thomas L. Heath, reconhecido
historiador e tradutor de Arquimedes, ordenou
cronologicamente como segue: Do Equilíbrio de
Planos I, A Quadratura da Parábola, Do Equilíbrio de
Planos II, Da esfera e do Cilindro I, II, Das Espirais,
Dos Conóides e Esferóides, Dos Corpos Flutuantes I,
II, Da Medida do Círculo e O Arenário. Faltando-nos
ainda descobrir onde se integram o Método dos
Teoremas Mecânicos e Stomachion (obra
seguramente tardia) e O livro dos Lemas
VOLUME DA ESFERA
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
em Matemática 10 comentários
A esfera surge da revolução de uma
semicircunferência. Observe:
http://home.uevora.pt/~rpa/ArquiGD/node2.html#fig2
http://home.uevora.pt/~rpa/ArquiGD/node4.html#fig5
http://home.uevora.pt/~rpa/ArquiGD/node4.html#fig6
http://home.uevora.pt/~rpa/ArquiGD/footnode.html#foot281
http://www.mundoeducacao.com.br/autor/marcos-noe-pedro-da-silva
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/volume-esfera.htm#comentarios
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Esse corpo circular possui inúmeras
aplicações cotidianas. Seu volume depende do
tamanho do raio, que é à distância do centro da
esfera a qualquer ponto da extremidade. A fórmula
matemática utilizada para determinar o volume da
esfera é a seguinte:
Exemplo 1
Uma esfera possui raio medindo 5 cm. Determine o
volume dessa esfera.
A esfera possui 523,33 cm³ de volume.
Exemplo 2
Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas
e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r.
Qual é o raio R do cilindro?
Volume da esfera metálica de raio r
Volume da esfera metálica de raio 2r
Somar os volumes das esferas
Volume do cilindro será igual ao volume das
esferas.
Volume do cilindro = π * r² * h, onde altura igual a 3r.
Vamos determinar o raio R do cilindro.
π * R² * 3r = 12 * π * r³
R² = 12 * r³ / 3r
R² = 4r²
R = 2r
Temos que o raio do cilindro é 2r.
Exemplo 3
Vamos considerar que o raio do planeta Terra meça,
aproximadamente, 6380 km. Determine o volume do
planeta.
Exemplo 4
Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000
unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm.
Determine o volume de cada bombom e a quantidade
de chocolate necessária para produzir esse número
de bombons.
Volume de cada bombom
A quantidade de chocolate necessária para a
produção das 20 000 unidades é de:
4,18 * 20 000 = 83 600 cm³
Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³
corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos.
A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o
volume de cada bombom será de 4,18 cm³.
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PRODUTO CARTESIANO
Quando estudamos o plano cartesiano
vimos também o conceito de par ordenado. Agora
com base nestes conceitos estudaremos o produto
cartesiano.
O produto cartesiano de dois conjuntos A
e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo
que x pertence ao conjunto A e y pertence ao
conjunto B.
Vamos tomar como exemplo os seguintes
conjuntos A e B:
O produto cartesiano de A por B,
representado por é igual a:
Note que segundo a definição de produto
cartesiano, todos os elementos de são
pares ordenados em que o primeiro elemento
pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.
Representação em um Diagrama de
Flechas
Também podemos representar
através de uma diagrama de flechas.
Repare que de cada elemento de A parte
uma seta para cada elemento de B:
No total são 9 flechas, uma para cada par
ordenado resultante do produto cartesiano de A
por B.
Representação no Plano Cartesiano
Uma outra forma de representação é através
do sistema de coordenadas cartesianas.
Veja que graficamente localizamos no plano
cartesiano todos os nove elementos de :
Os elementos de A e B estão representados
respectivamente nos eixos x e y.
Finalmente também podemos representar
por:
A cartesiano B é o conjunto dos pares
ordenados (x, y), tal que x pertence a A e y pertence
a B.
Par ordenado: são dois elementos em uma ordem
fixa, (x,y)
Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e
B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B
o conjunto indicado por A X B, formado por todos os pares
ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao
conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B:
{ ( , ) | }A X B x y x A e y B
Obs.: Para saber quantos elementos existem
neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de
elementos do conjunto A pela quantidade de elementos
do conjunto B.
http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx
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Relação Binária
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios,
chamamos de relação binária (R) de A em B
qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B,
ou seja, R A X B .
O conjunto A é chamado de
domínio, isto é, origem ou conjunto de partida
de R.
O conjunto B é chamado de
contradomínio, isto é, destino ou conjunto de
chegada de R.
Os elementos de A são chamados
de x e os elementos de B são chamados de y.
O conjunto formado por todos os y
pertencentes à relação chamamos de imagem.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B =
{4,5,6}, efetuando o produto cartesiano A X B,
temos:
A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,4),(3,5), (3,6)}
Vamos considerar uma relação binária do
produto cartesiano A X B, em que, o y é o dobro de
x. Na linguagem simbólica:
{ ( , ) | 2 }xR y R x y A X B y x .
Ou seja, a relação pedida é: R = {(2,4),
(3,6)}
Esta relação pode ser representada por um
diagrama de flechas e também por um gráfico
cartesiano:
Neste exemplo temos:
Domínio: D = {1,2,3}
Contradomínio: CD = (4,5,6}
Imagem: Im = {4,6}
Domínio e Imagem de uma Relação.
Seja S uma relação não vazia de A em B,
isto é:
S = { (x, y) .
A × B=.
xSy }
Definição 2.2.
Domínio de uma relação.
O “domínio da relação S ” é o conjunto dos
elementos x .
A para os quais existe um elemento y .
B tal que (x, y) 2S.
Isto é o domínio de S é o subconjunto de
elementos de A formado pelas primeiras
componentes dos pares ordenados que pertencem a
relação.
A notação para indicar o domínio da relação
S é D(S) assim definido:
D(S)= { x .
A=.
y .
B;(x, y) 2S}
Definição 2.3.
Imagem de uma relação.
A “imagem ou contradomínio da relação S” é
o conjunto dos elementos y .
B para os quais existe um elemento x .
A tal que (x, y) .
A × B.
Isto é, a imagem de S é o subconjunto de B
formado pelas segundas componentes dos pares
ordenados que pertencem a relação .
A notação para indicar a imagem da relação
S é Im(S)= { y .
B=.
x .
A;(x, y) 2S}
Exemplo 2.3.
O domínio e imagem da relação do Exemplo
(2.2) é respectivamente:
D(S)= f3, 4, 5, 6} Im(S)= f1, 2, 3, 4}
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Domínio, contradomínio e imagem de uma
função.
Como nem toda relação é uma função, às vezes,
alguns elementos poderão não ter correspondentes
associados para todos os números reais e para
evitar problemas como estes, costuma-se definir o
Domínio de uma função f, denotado por Dom(f),
como o conjunto onde esta relação f tem
significado.
Consideremos a função real que calcula a raiz
quadrada de um número real. Deve estar claro que
a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim
como não são reais as raízes quadradas de
quaisquer números negativos, dessa forma o
domínio desta função só poderá ser o intervalo
[0, ), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os
reais.
Como nem todos os elementos do contradomínio
de uma função f estão relacionados, define-se a
Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto
de todos os elementos do contradomínio que estão
relacionados com elementos do domínio de f, isto é:
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
Observe que, se uma relação R é uma função de A
em B, então A é o domínio e B é o contradomínio
da função e se x é um elemento do domínio de uma
função f, então a imagem de x é denotada por f(x).
Exemplos: Cada função abaixo, tem características
distintas.
1. f:R R definida por f(x)=x²
Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, )
2.
3. f:[0,2] R definida por f(x)=x²
Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]
4. A função modular é definida por f:R R
tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R
e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:
5. Uma semi-circunferência é dada pela
função real f:R R, definida por
Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e
seu gráfico é dado por:
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No círculo trigonométrico temos arcos que
realizam mais de uma volta, considerando que o
intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco
dado pelo número real x = 5π/2, quando
desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π +
π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π =
2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta
(π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x
= 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem
também do número π/2. Existem outros infinitos
números reais maiores que 2π e que possuem a
mesma imagem. Observe:
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta
Podemos generalizar e escrever todos os arcos
com essa característica na seguinte forma: π/2 +
2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo
todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.
Estes arcos são representados no plano cartesiano
através de funções circulares como: função seno,
função cosseno e função tangente.
Características da função seno
É uma função f : R → R que associa a cada número
real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da
função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes,
e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º
quadrantes. Observe:
Gráfico da função f(x) = senx
Características da função cosseno
É uma função f : R → R que associa a cada número
real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal da
função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e
é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes.
Observe:
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Gráfico da função f(x) = cosx
Características da função tangente
É uma função f : R → R que associa a cada número
real x a sua tangente, então f(x) = tgx.
Sinais da função tangente:
Valores positivos nos quadrantes
ímpares.
Valores negativos nos quadrantes pares.
Crescente em cada valor.
Gráfico da função tangente
Relações básicas
sen
2
α + cos
2
α = 1
tan α cot α = 1
1 + tan
2
α = 1 / cos
2
α
1 + cot
2
α = 1 / sen
2
α
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Relações com quadrantes
Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para
radianos:
90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360
→ 2π
sen (90 + α) = + cos α
sen (90 − α) = + cos α
sen (180 + α) = − sen α
sen (180 − α) = + sen α
cos (90 + α) = − sen α
cos (90 − α) = + sen α
cos (180 + α) = − cos α
cos (180 − α) = − cos α
tab (90 + α) = − cot α
tan (90 − α) = + cot α
tan (180 + α) = + tan α
tan (180 − α) = − tan α
cot (90 + α) = − tan α
cot (90 − α) = + tan α
cot (180 + α) = + cot α
cot (180 − α) = − cot α
sen (270 + α) = − cos α
sen (270 − α) = − cos α
sen (360 + α) = + sen α
sen (360 − α) = − sen α
cos (270 + α) = + sen α
cos (270 − α) = − sen α
cos (360 + α) = + cos α
cos (360 − α) = + cos α
tan (270 + α) = − cot α
tan (270 − α) = + cot α
tan (360 + α) = + tan α
tan (360 − α) = − tan α
cot (270 + α) = − tan α
cot (270 − α) = + tan α
cot (360 + α) = + cot α
cot (360 − α) = − cot α
sen (−α) = − sen α
cos (−α) = + cos α
tan (−α) = − tan α
cot (−α) = − cot α
sen (α ± k 360) = + sen α
cos (α ± k 360) = + cos α
tan (α ± k 180) = + tan α
cot (α ± k 180) = + cot α
O símbolo k significa um número inteiro e positivo.
Relações com soma / diferença de
ângulos
sen (α β) = sen α cos β cos α sen β
cos (α β) = cos α cos β sen α sen β
tan (α β) = (tanα tan β) / (1 tan α tan β)
cot (α β) = (cot α cot β 1) / (cot β cot α)
Relações com soma / diferença / produto
de funções
sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2
sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2
cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2
cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α −
β)/2
a sen x + b cos x = √ (a
2
+ b
2
) sen (x + φ)
onde φ = arctan b/a se a ≥ 0 ou φ = arctan
b/a ± π se a < 0
tan α tan β = sen (α β) / (cos α cos β)
cot α cot β = sen (β α) / (sen α sen β)
sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α
+ β)
sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α
− β)
cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α
− β)
tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) =
− (tan α − tan β) / (cot α − cot β)
cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) =
− (cot α − cot β) / (tan α − tan β)
cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) =
− (cot α − tan β) / (tan α − cot β)
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Relações diversas
sen α = 2 sen α/2 . cos α/2
cos α = cos
2
α/2 − sen
2
α/2
tan α = sen α / cos α
cot α = cos α / sen α
sen α = tan α / √(1 + tan
2
α)
cos α = cot α / √(1 + cot
2
α)
tan α = sen α / √(1 − sen
2
α)
cot α = cos α / √(1 − cos
2
α)
sen α = √(cos
2
α − cos 2α)
cos α = 1 − 2 sen
2
α/2
tan α = √[ (1/cos
2
α) − 1 ]
cot α = √[ (1/sen
2
α) − 1 ]
sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ]
cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ]
tan α = [ √(1 − cos
2
α) ] / cos α
cot α = [ √(1 − sen
2
α) ] / sen α
sen α = 1 / √(1 + cot
2
α)
cos α = 1 / √(1 + tan
2
α)
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos
2
α − sen
2
α
cos 2α = 2 cos
2
α − 1
cos 2α = 1 − 2 sen
2
α
tan 2α = 2 tan α / (1 − tan
2
α)
tan 2α = 2 / (cot α − tan α)
cot 2α = (cot
2
α − 1) / (2 cot α)
cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan α
sen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]
cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]
tan α/2 = sen α / (1 + cos α)
cot α/2 = sen α / (1 − cos α)
tan α/2 = (1 − cos α) / sen α
cot α/2 = (1 + cos α) / sen α
tan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]
cot α/2 = √[ (1 + cos α) / (1 − cos α) ]
Relações de funções inversas
Relações básicas
arccos x = π/2 − arcsen x
arccot x = π/2 − arctan x
Relações de soma / subtração
arcsen a arcsen b = arcsen [ a √(1 − b
2
) b
√(1 − a
2
) ]
arccos a arccos b = arccos [ a b √(1 − a
2
)
√(1 − b
2
) ]
arctan a arctan b = arctan [ (a b) / (1 a
b) ]
arccot a arccot b = arccot [ (a b 1) / (b
a) ]
Relações entre funções (para x > 0)
arcsen x = arccos √(1 − x
2
) = arctan [ x / √(1 −
x
2
) ] = arccot [ √(1 − x
2
) / x ]
arccso x = arcsen √(1 − x
2
) = arctan [ √(1 −
x
2
) / x ] = arccot [ x / √(1 − x
2
) ]
arctan x = arcsen [ x / √(1 + x
2
) ] = arccos [ 1 /
√(1 + x
2
) ] = arccot [ 1 / x ]
arccot x = arcsen [ 1 / √(1 + x
2
) ] = arccos [ x /
√(1 + x
2
) ] = arctan [ 1 / x ]
Para x < 0, valem as relações:
arcsen (−x) = − arcsen x
arccos (−x) = π − arccos x
arctan (−x) = − arctan x
arccot (−x) = π − arccot x
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Triângulo retângulo é todo triângulo que
tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo
em A e seus elementos são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a
hipotenusa.
Relações métricas
Para um triângulo retângulo ABC podemos
estabelecer algumas relações entre as medidas de
seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da
hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a
hipotenusa.
b² = a.n c² = a.m
- O produto dos catetos é igual ao produto da
hipotenusa pela altura relativa a hipotenusa.
b.c = a.h
- O quadrado da altura é igual ao produto das
projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos
quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA
DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)
13² = 12² + x² 5.12 = 13.y
169 = 144 + x² y = 60/13
x² = 25
x = 5
b)
c)
d)
Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado
l.
http://4.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnaJUxL8I/AAAAAAAAANk/iE2Sgt_1fZ8/s1600-h/tri.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTnxo2-3YI/AAAAAAAAANs/teEPmduXuug/s1600-h/tri1.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZToEwTFeOI/AAAAAAAAAN0/Wbm__LDAiPE/s1600-h/tria.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZToZ8rhhbI/AAAAAAAAAN8/hKMucF9WgQo/s1600-h/tri4.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTo0Mw6moI/AAAAAAAAAOE/67jmdceolK4/s1600-h/tri6+4.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTqFXm2xvI/AAAAAAAAAOU/VUlx7O_Vktw/s1600-h/tri75.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTqiiG-IkI/AAAAAAAAAOc/Jyx8H6GQJgM/s1600-h/tri8.jpg
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Determine x nas figuras.
a)
O triângulo ABC é eqüilátero.
b)
c)
Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
Razões trigonométricas
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos
definir:
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto
ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
senÊ = e/a senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto
adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo.
cosÊ = o/a cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto
oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ,
sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:
senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....
Ângulos notáveis
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de
alguns ângulos. Esses ângulos chamados de
notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições
de seno, cosseno e tangente, vamos determinar
esses valores para os ângulos notáveis. Considere
um triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura
AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos
agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões
trigonométricas ao triângulo AMC temos:
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTrDu1GIJI/AAAAAAAAAOk/UEi38tRenV8/s1600-h/trig9.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTrjwblBGI/AAAAAAAAAO0/ET_5IMT57ZY/s1600-h/tri34.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTrSSpytWI/AAAAAAAAAOs/Nc4G2C4RRBg/s1600-h/trij112.jpg
http://3.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTsj-cxL4I/AAAAAAAAAO8/FezR6gNkx2w/s1600-h/trin35.jpg
http://4.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTs2ku_G0I/AAAAAAAAAPE/QRcSdeLW5wI/s1600-h/triq36.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTtPvKIB5I/AAAAAAAAAPM/bMAoFRrLAJc/s1600-h/trir38.jpg
MATEMÁTICACentral de Atendimento: (91) 3278-5713 / 8163-1764 ou pelo site: www.apostilasautodidata.com.br Página 82
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de
45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal
divide o quadrado em dois triângulos retângulos
isósceles.
No triângulo ABD, temos:
Observação: sen45° = cos45°
MEDIDA DE UM ARCO, O GRAU E O
RADIANO, RELAÇÃO ENTRE ARCOS E
ÂNGULO
Circunferência
Seja um ponto qualquer do plano e
um número real. A circunferência de centro
e raio é o lugar geométrico dos pontos desse
plano tais que
Arco de circunferência
Consideremos uma circunferência de
centro Sejam e dois pontos distintos de
Um arco de circunferência de extremos e
é cada uma das partes em que fica dividida
uma circunferência por dois de seus pontos.
Quando teremos dois arcos: o arco
nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma
circunferência).
Arco de circunferência e ângulo central
correspondente
http://4.bp.blogspot.com/_48xzWKwbkdU/SZTtfzoW9yI/AAAAAAAAAPU/9luWkczYGZ8/s1600-h/tris40.jpg
MATEMÁTICA
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A medida de um arco é, por definição, a
medida do ângulo central correspondente. Medir
significa comparar com uma unidade padrão
previamente adotada. Contudo, para evitar
possíveis divergências na escolha da unidade para
medir um mesmo arco, as unidades de medida
restringem-se a três principais: o grau ( ), o radiano
( ) e o grado, sendo este último não muito
comum.
O grau
Um grau é um arco de circunferência cujo
comprimento equivale a da circunferência que
contém o arco a ser medido. Portanto, a medida,
em graus, de um arco de uma volta completa (uma
circunferência) é
Submúltiplos do grau
O minuto ou
seja,
O segundo
ou seja, e
O radiano
Um radiano é um arco de circunferência
cujo comprimento é igual ao raio da circunferência
que contém o arco a ser medido. É a unidade do
Sistema Internacional (SI).
Conseqüentemente, para medir um ângulo
em radianos, convém calcular a razão entre o
comprimento do arco pelo raio ou seja, calcular
quantos radianos mede o arco Portanto, como
consequência da definição de radiano, podemos
estabelecer a seguinte relação:
onde e devem estar na mesma
unidade de comprimento.
O comprimento de uma circunferência de raio
é Logo, a medida do arco de uma volta
completa, em radianos, é
Para converter
unidades, podemos usar as correspondências
ou e uma regra
de três simples.
O grau
O grau foi introduzido junto com o Sistema
métrico, durante a Revolução francesa mas, ao
contrário do sucesso das outras medidas, não pegou.
Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos
topográficos e geodésicos feitos na França.
É a medida de um arco cujo comprimento
equivale a da circunferência que contém o arco
a ser medido. É evidente que, para conversão de
unidades, pode-se utilizar as relações
ou
e uma regra de três
simples.
O ciclo trigonométrico
Consideremos no plano um sistema de eixos
perpendiculares em que Seja
uma circunferência de centro raio
e o ponto
MATEMÁTICA
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A cada número real associaremos um
único ponto de
Se então tomamos
Se realizamos, a partir de
um percurso de comprimento no sentido anti-
horário e marcamos o ponto como final desse
percurso.
Se realizamos, a partir de
um percurso de comprimento no sentido
horário, e marcamos o ponto como final desse
percurso.
Assim, a circunferência sobre a qual foi
fixado o ponto como orientação é
chamada ciclo trigonométrico ou circunferência
trigonométrica.
O ponto é chamado imagem de no
ciclo trigonométrico.
O sistema de eixos perpendiculares
divide o ciclo trigonométrico em quatro partes,
cada uma das quais é chamada quadrante.
Ângulos côngruos
Os ângulos e em graus, são côngruos ou
congruentes se, e somente se,
para algum ou seja,
se e têm a mesma imagem no ciclo
trigonométrico. Para indicar que e são côngruos
escrevemos
Por exemplo, os ângulos e são
congruentes, pois
Expressão geral dos arcos que têm
imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..
Consideremos um sistema de eixos
perpendiculares e uma circunferência de
centro e raio Sendo um ponto qualquer
pertencente à a imagem de um ângulo na
circunferência, podemos estabelecer uma expressão
geral dos arcos que têm imagem em um determinado
ponto do ciclo trigonométrico.
Por exemplo, a expressão geral dos arcos
que têm imagem no ponto dar-se-á por
ou
sendo o número de
voltas completas. Quando deve-se andar no
sentido anti-horário; se deve-se andar no
sentido horário.
MATEMÁTICA
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Analogamente, temos:
Para
ou
Para
ou
Para
ou
Para ou
ou
Para ou
ou
Para ou ou ou
ou
Considerando a figura acima, a expressão
geral dos arcos que têm imagem em ou é:
em graus:
em radianos:
Expressão geral dos arcos que têm imagem
em
em graus:
em radianos:
No caso da figura seguinte, a expressão
geral dos arcos fica:
em graus:
em radianos:
Primeira determinação positiva
A primeira determinação positiva de um
ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.
Por exemplo, os ângulos (em graus) -15
o
,
315
o
, 2115
o
, -2505
o
são congruentes, sendo sua
primeira determinação positiva o ângulo 315
o
.
Analogamente, os ângulos (em radianos)
, e são congruentes, sendo sua
primeira determinação positiva o ângulo .
Para se resolver o problema de determinar a
primeira determinação positiva é preciso:
1. dividir o ângulo pelo valor do círculo
trigonométrico (360
o
ou , conforme o problema
seja apresentado em graus ou radianos)
2. se este número não for inteiro,
arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente
inferior
3. tomar o número inteiro com sinal
contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter
agora -n)
4. somar ao ângulo inicial este valor
inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo
trigonométrico (360
o
ou , conforme o problema
seja apresentado em graus ou radianos)
Exemplos:
MATEMÁTICA
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Se o ângulo inicial é -580
o
Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa)
(note que não é preciso fazer a divisão até
o fim, já que estamos apenas interessados
na parte inteira da divisão)
Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -
2
Trocar o sinal -> 2
Somar -580
o
com 2 x 360
o
-> 140
o
Se o ângulo inicial é
Dividir por -> 4
Sendo inteiro, manter -> 4
Trocar o sinal -> -4
Somar com -> 0
Se o ângulo inicial é
Dividir por -> ou,
aproximadamente, 4,(alguma coisa)
Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
Trocar o sinal -> -4
Somar com ->
Imagens de alguns arcosimportantes
Primeira volta no sentido anti-
horário:
Ângulos correspondentes
Em graus:
Em radianos:
MATEMÁTICA
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INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Quando encontramos função trigonométrica
da incógnita ou função trigonométrica de
alguma função da incógnita em pelo menos um
dos membros de uma inequação, dizemos que esta
inequação é trigonométrica.
Exemplos:
1) sen x > e sen
2
x + tg 2 são inequações
trigonométricas.
2) ( sen 30º) . (x
2
- 1) > 0
não são
inequações trigonométricas.
Resolver uma inequação como f(x) < g(x),
por exemplo, significa determinar o conjunto S dos
números s, sendo s elemento do domínio de f e de
g, tais que f(s) < g(s).
O conjunto S é chamado de conjunto
solução da inequação e todo elemento de S é uma
solução da inequação.
Assim, na inequação sen x > , os
números são algumas de suas soluções e
os números não o são.
RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
Quase todas as inequações
trigonométricas, quando convenientemente tratadas
e transformadas, podem ser reduzidas a pelo
menos uma das inequações fundamentais. Vamos
conhecê-las, a seguir, através de exemplos.
1º caso : sen x < sen a (sen x sen a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
encontramos,
inicialmente,
, que é uma solução
particular no intervalo . Acrescentando
às extremidades dos intervalos
encontrados, temos a solução geral em IR, que é:
O conjunto solução é, portanto:
Por outro lado, se a inequação fosse
, então, bastaria incluir
as extremidades de
e o conjunto solução seria:
2º caso: sen x> sen a (sen x sen a)
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Por exemplo, ao resolvermos a inequação sen x >
sen ou sen x > encontramos, inicialmente,
, que é uma uma
solução
particular no intervalo .
Acrescentando às extremidades dos
intervalos encontrados, temos a solução geral em
IR, que é:
O conjunto solução é , portanto:
3º caso: cos x< cos a (cos x cos a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
encontramos,
inicialmente,
, que é uma solução particular no
intervalo
.
Acrescentando às extremidades do
intervalo encontrado, temos a solução geral em IR,
que é:
O conjunto solução é, portanto:
Por outro lado, se a inequação fosse cos x cos
ou cos x , então, bastaria incluir as
extremidades de e o conjunto solução seria:
http://www.somatematica.com.br/emedio/inequacoest/inequacoest2.php
http://www.somatematica.com.br/emedio/inequacoest/inequacoest2.php
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As equações lineares assim como os
sistemas de equações são muito utilizados no
cotidiano das pessoas.
Exemplo: Uma companhia de navegação
tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega
cargas em containers de três tipos I, II e III. As
capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:
Tipo do Recipiente I II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3
Quais são os números de recipientes x1, x2
e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia
deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II
e 33 do tipo III?
Montagem do sistema linear
4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático
inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity
College de Cambridge. Na sua vida, Cayley
encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os
três maiores produtores de materiais no campo da
Matemática. Em 1858, Cayley apresentou
representações por matrizes. Segundo ele, as
matrizes são desenvolvidas a partir da noção de
determinante, isto é, a partir do exame de sistemas
de equações, que ele denominou: o sistema.
Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes
quadradas em termos de transformações lineares
homogêneas.
Equação linear
É uma equação da forma
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
onde
x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais
ou complexos);
b1 é o termo independente (número real
ou complexo).
Exemplos de equações lineares
1. 4 x + 3 y - 2 z = 0
2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3
3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1
4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i
Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada
de x>0.
Exemplos de equações não-lineares
1. 3 x + 3y R[x] = -4
2. x
2
+ y
2
= 9
3. x + 2 y - 3 z w = 0
4. x
2
+ y
2
= -9
Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é
solução da equação linear
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1
se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato
implicar que o membro da esquerda é identicamente
igual ao membro da direita, isto é:
a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1
Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da
equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7
na equação dada, teremos:
2×5 + 3×6 - 2×7 = 14
Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares ou sistema
linear é um conjunto formado por duas ou mais
equações lineares. Um sistema linear pode ser
representado na forma:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
onde
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x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
a11, a12, ..., amn são os coeficientes;
b1, b2, ..., bm são os termos
independentes.
Solução de um sistema de equações
lineares
Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é
solução do sistema linear:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
se satisfaz identicamente a todas as
equações desse sistema linear.
Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma
solução do sistema linear:
2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2
pois satisfaz identicamente a todas as
equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e
y=0, os dois membros de cada igualdade serão
iguais em todas as equações.
Consistência de Sistemas Lineares
O número de soluções de um sistema
linear determina a sua classificação de duas
maneiras com relação à sua consistência:
Sistema possível ou consistente: Quando
tem pelo menos uma solução.
a. Se tem uma única solução, o sistema é
determinado.
b. Se tem mais que uma solução, o
sistema é indeterminado.
Sistema impossível ou inconsistente: Se não
admite qualquer solução.
Exemplos de sistemas com respeito às
suas soluções
Sistema com uma única solução: As
equações lineares abaixo representam duas retas
no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como
interseção.
x + 2y = -1
2x - y = 8
Sistema com infinitas soluções: As equaçõeslineares
representam retas paralelas sobrepostas no plano
cartesiano, logo existem infinitos pontos que
satisfazem a ambas as equações (pertencem a
ambas as retas).
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
Sistema que não tem solução: As equações
lineares representam retas paralelas no plano
cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam
às duas retas.
x + 3y = 4
x + 3y = 5
Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes se admitem a
mesma solução.
Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e
S2 indicados abaixo:
S1
3x + 6y = 42
2x - 4y = 12
S2
1x + 2y = 14
1x - 2y = 6
pois eles admitem a mesma solução x=10 e
y=2.
Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são
equivalentes, usamos a notação S1~S2.
Operações elementares sobre sistemas
lineares
Existem três tipos de operações elementares
que podem ser realizadas sobre um sistema linear de
equações de forma a transformá-lo em um outro
sistema equivalente mais simples que o anterior. Na
sequência trabalharemos com um exemplo para
mostrar como funcionam essas operações
elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que
aparece à direita) já mostra o resultado da ação da
operação elementar. Nas linhas iniciais de cada
tabela, você encontra a operação que foi realizada.
1. Troca de posição de duas equações do
sistema
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Troca a Linha 1 com a Linha 3
x + 2y - z = 2
2x-3y+2z=0
4x + y - 5z = 9
~
4x + y - 5z = 9
2x-3y+2z=0
x + 2y - z = 2
2. Multiplicação de uma equação por um
número não nulo
Multiplica a Linha 1 pelo número 3
x + 2y - z = 2
2x-3y+2z=0
4x+y-5z=9
~
3x + 6y - 3z = 6
2x-3y+2z=0
4x+y-5z=9
A equação resultante fica na linha 1
3. Adição de duas equações do sistema
Adição da Linha 2 com a Linha 3
x+2y-z=2
2x -3y + 2z = 0
4x + y - 5z = 9
~
3x+6y-3z=6
2x-3y+2z=0
6x - 2y - 3z = 9
A equação resultante fica na linha 3
Resolução de sistemas lineares por
escalonamento
Com o auxílio das três Operações
Elementares sobre linhas, podemos resolver
sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona
este processo através de um exemplo.
Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações
e 3 incógnitas.
3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41
Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar
a soma da linha i com a linha j com o resultado na
linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que
multiplicamos a linha i pela constante k e o
resultado ficou na linha i.
Passo 1: L1-L2->L1
3x + 1y +
1z = 20
2x - 1y - 1z
= -15
-4x+1y-
5z=-41
~
1x + 2y +
2z = 35
2x-1y-
1z=-15
-4x+1y-
5z=-41
Passo 2: L2-2.L1->L2
1x + 2y +
2z = 35
2x - 1y -
1z = -15
-4x+1y-
5z=-41
~
1x+2y+2z=35
0x - 5y - 5z =
-85
-4x+1y-5z=-
41
Passo 3: L3+4.L1->L3
1x + 2y + 2z = 35
0x-5y-5z=-85
-4x + 1y - 5z = -41
~
1x+2y+2z=35
0x-5y-5z=-85
0x + 9y + 3z = 99
Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3
1x+2y+2z=35
0x - 5y - 5z = -85
0x + 9y + 3z = 99
~
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 3y + 1z = 33
Passo 5: L3-3.L2->L3
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 3y + 1z = 33
~
1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y - 2z = -18
Passo 6: (-1/2)L3->L3
1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y - 2z = -18
~
1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y + 1z = 9
Passo 7: L2-L3->L2
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 0y + 1z = 9
~
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 0z = 8
0x+0y+1z=9
Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1
1x + 2y + 2z = 35
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9
~
1x + 0y + 0z = 1
0x+1y+0z=8
0x+0y+1z=9
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Passo 9: Simplificar coeficientes
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9
~
x =
1
y =
8
z =
9
Após o escalonamento, observamos que a
solução obtida é exatamente fornecida pelo último
sistema.
Sistemas lineares homogêneos
Um sistema linear é homogêneo quando os
termos independentes de todas as equações são
nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo
menos a solução trivial, que é a solução
identicamente nula. Assim, todo sistema linear
homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá
ser determinado se admitir somente a solução trivial
ou indeterminado se admitir outras soluções além
da trivial.
Exemplo: O sistema
2x - y + 3z = 0
4x + 2y - z = 0
x - y + 2z = 0
é determinado, pois possui a solução x=0,
y=0 e z=0.
Regra de Cramer
Esta regra depende basicamente sobre o
uso de determinantes. Para indicar o determinante
de uma matriz X, escreveremos det(X).
Seja um sistema linear com n equações e n
incógnitas:
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn
A este sistema podemos associar algumas
matrizes:
Matriz dos coeficientes: Formada pelos
coeficientes das incógnitas do sistema,
aqui indicada pela letra A.
Matriz dos coeficientes
a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann
Matriz Aumentada do sistema: Formada
todos os coeficientes das incógnitas do
sistema e também pelos termos
independentes.
Matriz Aumentada
a11 a12 ... a1j ... a1n b1
a21 a22 ... a2j ... a2n b2
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann bn
Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida
ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da
matriz A, pelos termos independentes das
equações do sistema.
Matriz da incógnita xj
a11 a12 ... b1 ... a1n
a21 a22 ... b2 ... a2n
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... bn ... ann
Quando as posições j=1,2,3 estão
relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas
incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.
Se det(A) é diferente de zero, é possível
obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por
det(A), isto é:
xj = det(Aj) / det(A)
Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser
consistente, se todos os determinantes nxn da matriz
aumentada do sistema forem iguais a zero.
Um sistema impossível: Seja o sistema
2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 40
A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão
mostradas abaixo.
2 3 4
1 -2 3
3 1 7
2 3 4 27
1 -2 3 15
3 1 7 40
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Como det(A)=0, devemos verificar se todos
os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz
aumentada são nulos. Se existir pelo menos um
deles não nulo, o sistema será impossível e este é
o caso pois é não nulo o determinante da sub-
matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz
aumentada:
2 3 27
1 -2 15
3 1 40
Um sistema indeterminado: Consideremos
agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos
40 por 42 na última linha!)
2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 42
A matriz A e a matriz aumentada Au do
sistema, estão abaixo:
2 3 4
1 -2 3
3 1 7
2 3 4 27
1 -2 3 15
3 1 7 42
Aqui, tanto det(A)=0 como todos os
determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz
aumentada são nulos, então o sistema é possível e
indeterminado. Neste caso, observamos que a
última linha é a soma das duas primeiras e como
estas duas primeiras dependem de x, y e z, você
poderáencontrar as soluções, por exemplo, de x e
y em função de z.
Um sistema com solução única: Seja o sistema
2x + 3y + 4z = 27
1x - 2y + 3z = 15
3x + 1y + 6z = 40
A matriz A e a matriz dos termos
independentes do sistema estão indicados abaixo.
2 3 4
1 -2 3
3 1 6
27
15
40
Como det(A)=7, o sistema admite uma
única solução que depende dos determinantes das
matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela
substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos
termos independentes das três equações, temos:
Ax=
27 3 4
15 -2 3
40 1 6
Ay=
2 27 4
1 15 3
3 40 6
Az=
2 3 27
1 -2 15
3 1 40
Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a
solução do sistema é dada por:
x = det(Ax)/det(A) = 65/7
y = det(Ay)/det(A) = 1/7
z = det(Az)/det(A) = 14/7
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Um polinômio qualquer pode ser
representado pela expressão:
a0 x
n
+ a1 x
n – 1
+ a2 x
n -2
+ ... + an – 1 x + an
A função polinomial será definida por:
P(x) = a0x
n
+ a1x
n – 1
+ a2x
n -2
+ ... + an – 1x + an
Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos
e n N.
• Valor numérico de um polinômio
Se observarmos um polinômio qualquer
P(x) = 5x
4
– 3x
3
+ x
2
– x + 2, para acharmos o seu
valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter
um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que
encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por
2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 5 . 2
4
– 3 . 2
3
+ 2
2
– 2 + 2
P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2
P(2) = 80 – 24 + 4
P(2) = 56 + 4
P(2) = 60
Concluímos que o valor numérico do
polinômio P(x) = 5x
4
– 3x
3
+ x
2
– x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.
• Raiz ou zero do polinômio
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) =
- 2x
3
+ 5x
2
– x + 1 = 0, a raiz dele será um número
qualquer b se, somente se, o valor numérico do
polinômio for zero quando
x = b.
Exemplo:
P(x) = x
2
- 1, para calcularmos o zero da
função, devemos colocar P(x) = 0, então:
x
2
- 1 = 0
x
2
= 1
x = + 1 ou – 1
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio
P(x) = x
2
- 1.
• Grau de um polinômio
Um polinômio é formado por vários
monômios separados por operações, então o grau de
um polinômio corresponde ao monômio de maior
grau. O único polinômio que não possui grau é o
polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:
• P(x) = x
3
- x
2
+ 2x -3 → temos 3
monômios que possuem grau, o que tem maior grau
é x
3
, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.
P(x) = x
3
- x
2
+ 2x -3 é do 3º grau.
• P(x) = 5x
0
= 5 → grau
zero.
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TEOREMA DO RESTO
O teorema de D‟Alembert é uma
consequência imediata do teorema do resto, que são
voltados para a divisão de polinômio por binômio do
tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio
G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual
a P(a), para x = a.
O matemático francês D‟Alembert provou,
levando em consideração o teorema citado acima,
que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x –
a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0)
se P(a) = 0.
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de
polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo
preciso resolver toda a divisão para saber se o resto
é igual ou diferente de zero.
Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x
2
+ 3x – 10) : (x –
3).
Como diz o Teorema de D‟Alembert, o resto
(R) dessa divisão será igual a:
P(3) = R
3
2
+ 3 * 3 – 10 = R
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9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Exemplo 2
Verifique se x
5
– 2x
4
+ x
3
+ x – 2 é divisível
por x – 1.
Segundo D‟Alembert, um polinômio é
divisível por um binômio se P(a) = 0.
P(1) = (1)
5
– 2*(1)
4
+ (1)
3
+ (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1
Como P(1) é diferente de zero, o polinômio
não será divisível pelo binômio x – 1.
Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto
da divisão do polinômio
P(x) = x
4
– mx
3
+ 5x
2
+ x – 3 por x – 2 seja 6.
Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) =
6
P(2) = 2
4
– m*2
3
+ 5*2
2
+ 2 – 3
2
4
– m*2
3
+ 5*2
2
+ 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x
3
+ x
2
– 6x + 7 por 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)
3
+ (–1/2)
2
– 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
(T.F.A)
Qualquer equação algébrica, de grau
restritamente positivo, aceita no campo complexo
pelo menos uma raiz.
Em relação a este teorema vamos considerar
apenas as observações e exemplos abaixo:
O teorema fundamental da álgebra apenas
garante a existência de pelo menos uma raiz, ele não
demonstra qual o número de raízes de uma equação
algébrica nem como resolver tais raízes.
O T.F.A. somente tem valor para C, já para R
este teorema não é válido. Isso quer dizer que em
uma equação algébrica a condição de existência de
raiz R é incerta, já em R é certeza que sempre terá
pelo menos uma raiz.
Exemplo: A equação x2 + 1 = 0 não possue
raiz real, porém aceita no campo complexo os
números i e – i como raízes.
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Potenciação de números complexos na
forma trigonométrica
Forma trigonométrica
Todo número complexo escrito da forma z =
a + bi pode ser escrito em função de seu módulo e
de seu argumento. Essa outra forma de representar
um número complexo é chamada de forma
trigonométrica. A forma trigonométrica facilita as
operações envolvendo números complexos, por
isso a importância de se compreender bem essa
representação.
Veremos como realizar a potenciação de
números complexos na forma trigonométrica.
Potenciação
Considere um número complexo qualquer escrito
na forma trigonométrica:
Queremos obter uma expressão para o
cálculo de z
n
, onde n é um número natural. Segue
que:
Podemos reescrever essa expressão da
seguinte forma:
Que pode ser simplificada para:
Que é chamada de Fórmula de Moivre para
potenciação de números complexos.
ou
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OPERAÇÕES DE NÚMEROS
COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Considere dois números complexos
quaisquer:
1. Multiplicação
O produto de z1 por z2 será dado por:
Observe que o número complexo resultante é tal
que:
Seu módulo é igual ao produto dos módulos de z1 e
z2 e seu argumento é igual à soma dos argumentos
de z1 e z2.
Importante: Esse procedimento pode ser
generalizado para a multiplicação de n números
complexos:
2. Divisão
O quociente entre z1 e z2 será dado por:
Operações na forma algébrica
A forma algébrica a + bi admite todas as
operações, assim como em R, substituindo i
2
por -
1, sempre que necessário.
Adição
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b+ d) i
Subtração
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi
2
=
= ac + (ad + bc)i – bd
Logo:
(a + bi) x (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i
Divisão
A Divisão entre a + bi e c + di ≠ 0 ocorre através
da multiplicação entre o numerador e o
denominador da fração pelo conjugado do
denominador que é c – di.
Portanto:
Logo:
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OPOSTO, CONJUGADO E IGUALDADE
DE NÚMEROS COMPLEXOS.
Para determinarmos o oposto, o conjugado e a
igualdade de qualquer número complexo
precisamos conhecer alguns fundamentos.
Oposto
O oposto de qualquer número real é o seu
simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é
+5. O oposto de um número complexo respeita
essa mesma condição, pois o oposto do número
complexo z será – z.
Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o
seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.
Conjugado
Para determinarmos o conjugado de um número
complexo, basta representar o número complexo
através do oposto da parte imaginária. O conjugado
de z = a + bi será:
Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:
z = – 2 – 7i, o seu conjugado será
Igualdade
Dois números complexos serão iguais se, e
somente se, respeitarem a seguinte condição:
Partes imaginárias iguais
Partes reais iguais
Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d +
ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi =
ei.
Observações:
A soma de números complexos opostos será
sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.
O conjugado do conjugado de um número
complexo será o próprio número complexo.
Não existe relação de ordem no conjunto dos
números complexos, então não podemos
estabelecer quem é maior ou menor.
Exemplo 1
Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu
oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.
Oposto
- z = 2 - 6i
Conjugado
Oposto do conjugado
Exemplo 2
Determine a e b de modo que .
-2 + 9i = a – bi
Precisamos estabelecer a propriedade da relação de
igualdade entre eles. Então:
a = - 2
b = - 9
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Estabelecemos uma função através da
relação entre duas grandezas (duas incógnitas),
sendo que uma incógnita será dependente e essa
terá que estar relacionada com apenas um valor
que será a incógnita independente.
Seguindo essa definição, será considerada
função modular toda função onde essa incógnita
dependente estiver dentro de módulos. Veja
exemplos de funções modulares:
f(x) = |x| ou y = |x|, onde y incógnita
independente e x incógnita dependente.
f(x) = |x -1|
f(x) = |x – 3| + 2
f(x) = x2
|x|
Considerando a definição de módulo de um número
real, podemos definir função modular como sendo:
Função modular é toda função dos reais
para os reais, escrita pela lei f(x) = |x|, sendo
caracterizada da seguinte forma:
f(x) = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0
Exemplo 1:
Construa o gráfico de função modular f(x) = |2x2 –
4x|. Aplicando a definição de módulo, teremos:
f(x) = 2x2 – 4x se 2x2 – 4x ≥ 0
-(2x2 – 4x) se -2x2 + 4x < 0
2x2 – 4x ≥ 0
2x2 – 4x = 0
x‟ = 0
x” = 2
-2x2 + 4x < 0
-2x2 + 4x =0
x‟ = 0
x” = 2
A união dos dois gráficos, considerando a
definição de módulo, formará o gráfico da função f(x)
= |2x2 – 4x|.
A função exponencial é uma das mais
importantes funções da matemática. Descrita como
e
x
(onde e é a constante matemática neperiana, base
do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas
maneiras equivalentes: a primeira, como uma série
infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
A curva e
x
jamais toca o eixo x, embora apresente
tendência a se aproximar deste.
Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é
qualquer número real ou complexo.
Se x é real, então e
x
é sempre positivo e
crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o
http://1.bp.blogspot.com/_HoaPhQ9Vmy0/S0Ss83mTqEI/AAAAAAAABNs/P85jXYXgLFY/s1600-h/modular1(1).jpg
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logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer
valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano,
pode-se definir funções exponenciais mais
genéricas, como abaixo:
a
x
= e
xlna
Para todo a > 0 e .
A função exponencial também gera funções
trigonométricas (como pode ser visto na equação
de Euler para análises complexas), e as funções
hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função
elementar, exceto as polinomiais são criadas a
partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a
adição e a multiplicação" como é expressado nas
seguintes leis exponenciais:
a
0
= 1
a
1
= a
a
x + y
= a
x
a
y
a
x
b
x
= (ab)
x
Estas são válidas para todos os números
positivos reais a e b e todos os números reais x.
Expressões envolvendo frações e raízes podem
freqüentemente serem simplificadas usando-se a
notação exponencial porque:
Função exponencial e equações
diferenciais
A maior importância das funções
exponenciais nos campos das ciências é o fato de
que essas funções são múltiplas de suas próprias
derivadas:
Se a taxa de crescimento ou de decaimento
de uma variável é proporcional ao seu tamanho,
como é o caso de um crescimento populacional
ilimitado, juros continuamente computados ou
decaimento radiativo, então a variável pode ser
escrita como uma função exponencial do tempo.
A função exponencial então resolve a
equação diferencial básica
e é por essa razão comumente encontrada
em equações diferenciais. Em particular a solução de
equações diferenciais ordinárias pode
freqüentemente ser escrita em termos de funções
exponenciais. Essas equações incluem a equação de
Schrödinger e a equação de Laplace assim como as
equações para o movimento harmônico simples.
Função exponencial no plano complexo
Quando considerada como uma função
definida no plano complexo, a função exponencial
retém as importantes propriedades:
e
z + w
= e
z
e
w
e
0
= 1
para todos z e w. A função exponencial no
plano complexo é uma função holomórfica que é
periódica com o período imaginário 2πi que pode serescrita como
e
a + bi
= e
a
(cosb + isinb)
onde a e b são valores reais. Essa fórmula
conecta a função exponencial com as funções
trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o
logaritmo neperiano a argumentos complexos
resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos
definir como uma exponenciação mais geral:: z
w
=
e
wlnz
para todos os números complexos z e w.
Isto é também uma função multivalente. As
leis exponenciais mencionadas acima permanecem
verdade se interpretadas propriamente como
afirmações sobre funções multivalentes.
É fácil ver, que a função exponencial
descreve qualquer curva no plano complexo a uma
espiral logarítmica no plano complexo com centro em
0, nada como o caso de uma reta paralela com os
eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou
um círculo.
Função exponencial para matrizes e
álgebras de Banach
A definição de função exponencial exp dada
acima pode ser usada palavra por palavra para cada
álgebra de Banach, e em particular para matrizes
quadradas. Neste caso temos
e
x + y
= e
x
e
y
se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula
geral envolvendo comutadores aqui)
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e
0
= 1
e
x
é invertível com inverso e
-x
a derivada da exp no ponto x é
aquela descrição linear que transforma u
em u·e
x
.
No contexto das álgebras de Banach não
comutativas, como as álgebras de matrizes ou
operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a
função exponencial é freqüentemente considerada
como uma função de um argumento real:
f(t) = e
tA
onde A é um elemento fixo da álgebra e t é
qualquer número real. Essa função tem importantes
propriedades:
f(s + t) = f(s)f(t)
f(0) = 1
f'(t) = Af(t)
Mapa exponencial nas álgebras de Lie
O "mapa exponencial" que passa uma
álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as
propriedades acima, o que explica a terminologia.
De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um
grupo de Lie de todos os números positivos reais
com multiplicação, a função exponencial para
argumentos reais é um caso especial da situação
da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a
álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais
quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as
matrizes quadradas invertíveis, a função para
matrizes quadradas é um caso especial do mapa
exponencial da álgebra de Lie.
Toda função definida pela lei de formação
f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0, é denominada
função logarítmica de base a. Nesse tipo de função
o domínio é representado pelo conjunto dos
números reais maiores que zero e o contradomínio,
o conjunto dos reais.
Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
f(x) = log4x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log0,5x
Determinando o domínio da função logarítmica
Dada a função f(x) = (x – 2)(4 – x), temos as seguintes
restrições:
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3
Realizando a intersecção das restrições 1, 2
e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.
Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x <
4}
Gráfico de uma função logarítmica
Para a construção do gráfico da função
logarítmica devemos estar atentos a duas situações:
a > 1
0 < a < 1
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte
forma:
Função crescente
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte
forma:
Função decrescente
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Características do gráfico da função
logarítmica, y = logax
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois
ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0),
então a raiz da função é x = 1.
Note que y assume todos as soluções reais, por
isso dizemos que a Im(imagem) = R.
Através dos estudos das funções logarítmicas,
chegamos à conclusão de que ela é uma função
inversa da exponencial. Observe o gráfico
comparativo a seguir:
Podemos notar que (x,y) está no gráfico da
função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na
função exponencial de mesma base.
A função exponencial
A função exponencial natural é a função exp:R
R+, definida como a inversa da função logarítmo
natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela
reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em
relação à identidade dada pela reta y=x.
Como o domínio da função Logaritmo natural é o
conjunto dos números reais positivos, então a
imagem da função exp é o conjunto dos números
reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto
R de todos os números reais, então o domínio de exp
também é o conjunto R de todos os números reais.
Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x),
observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0
No Ensino Médio, a função exponencial é definida a
partir da função logarítmica e ciclicamente define-se
a função logarítmica em função da exponencial
como:
f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)
Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.
Exemplos:
1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1)
1/2
]=(x+1)
1/2
4. exp[Ln((x+1)
1/2
]=(x+1)
1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(x
k
)]=x
k
7. exp[(7(Ln(3)-
Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]
7
)=(3/
4)
7
A Constante e de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática
definida por
e = exp(1)
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/logaritm.htm
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O número e é um número irracional e positivo e em
função da definição da função exponencial, temos
que:
Ln(e)=1
Este número é denotado por e em homenagem ao
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um
dos primeiros a estudar as propriedades desse
número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos
decimais, é:
e=2,71828182845904523536028747135266249775
7
Conexão entre o número e e a função
exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.)
pode ser escrita como a potência de base e com
expoente x, isto é:
e
x
= exp(x)
Significado geométrico de e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a
área da região do primeiro quadrante localizada sob
a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja
unitária, então o valor de v será igual a e.
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número
racional, então:
1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)]
k
Simplificações matemáticas
Podemos simplificar algumas expressões
matemáticas com as propriedades das funções
exponenciais e logaritmos:
1. exp[Ln(3)]=3.
2. Ln[exp(20x)]=20x.
3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(2
5
)]=2
5
=32.
4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².
Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciaiscomo
g(x)=a
x
, onde a é um número real positivo diferente
de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o
expoente é um número racional r.
Tomando x=a
r
na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:
a
r
=exp[Ln(a
r
)]
Como Ln[a
r
]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:
a
r
= exp[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação
que todo número real pode ser escrito como limite de
uma sequência de números racionais, justifica a
definição para g(x)=a
x
, onde x é um número real:
a
x
=exp[x.Ln(a)]
Leis dos expoentes
Se x e y são números reais, a e b são números reais
positivos, então:
1. a
x
a
y
=a
x+y
2. a
x
/a
y
=a
x-y
3. (a
x
)
y
=a
x.y
4. (a b)
x
=a
x
b
x
5. (a/b)
x
=a
x
/b
x
6. a
-x
=1/a
x
Relação de Euler
Se i é a unidade imaginária e x é um número real,
então vale a relação:
e
ix
= exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
Algumas Aplicações
Funções exponenciais desempenham papéis
fundamentais na Matemática e nas ciências
envolvidas com ela, como: Física, Química,
Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia,
Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns
exemplos com aplicações destas funções.
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Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi
encontrado morto em uma sala com temperatura
ambiente constante. O legista tomou a temperatura
do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era
de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao
local e tomou novamente a temperatura do corpo e
constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius.
Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo,
sabendo-se que a temperatura média de um corpo
humano normal é de 37 graus Celsius?
Partindo de estudos matemáticos pode-se construir
uma função exponencial decrescente que passa
pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas
representam o tempo e as ordenadas a temperatura
do corpo.
A curva que descreve este fenômeno é uma função
exponencial da forma:
f(t) = C e
A t
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)
21
A função exponencial que rege este fenômeno de
resfriamento deste corpo é dada por:
f(t) = 124,09468 e
-0,0645385t
e quando f(t) = 37 temos que:
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos
que pode ser observado através do gráfico.
Observação: Neste exemplo, usamos a construção
de um gráfico e as propriedades operatórias das
funções exponenciais e logarítmicas.
Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por
psicólogos e educadores na descrição do processo
de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam
um papel importante.
A curva básica para este tipo de estudo é da forma:
f(x) = c - a e
-k.x
onde c, a e k são constantes positivas. Considerando
o caso especial em que c=a temos uma das
equações básicas para descrever a relação entre a
consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de
reforços x.
A função:
f(x) = c - a e
-k.x
cresce rapidamente no começo, nivela-se e então
aproxima-se de sua assíntota y=c.
Estas curvas também são estudadas em Economia,
na representação de várias funções de custo e
produção.
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas
Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of
Population" formulou um modelo para descrever a
população presente em um ambiente em função do
tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos
em certa população no instante t. Tomou as
hipóteses que os nascimentos e mortes naquele
ambiente eram proporcionais à população presente e
a variação do tempo conhecida entre os dois
períodos. Chegou à seguinte equação para descrever
a população presente em um instante t:
N(t)=No e
rt
onde No é a população presente no instante inicial
t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de
população.
O gráfico correto desta função depende dos valores
de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a
forma do gráfico será semelhante ao da função
y=Ke
x
.
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha
pouca ou nenhuma influência sobre a população.
Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de
sobrevivência e de crescimento de cada espécie de
população do que um modelo que mostre o que
realmente ocorre.
Consideremos por exemplo uma população de
bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta
equação se esta população duplicar a cada 20
minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma
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camada em volta da terra de 30 cm de espessura.
Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são
nulos, a população obedece ao modelo N=Noe
rt
. Na
realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente
oferece resistência ao seu crescimento e tende a
mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores
são, a quantidade disponível de alimentos,
acidentes, guerras, epidemias,...
Como aplicação numérica, consideremos uma
colônia de bactérias se reproduzindo normalmente.
Se num certo instante havia 200 bactérias na
colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias.
Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas
da última contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então
No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então
N(12)=600=200 e
r12
logo
e
12r
=600/200=3
assim
ln(e
12r
)=ln(3)
Como Ln e exp são funções inversas uma da outra,
segue que 12r=ln(3), assim:
r=ln(3)/12=0,0915510
Finalmente:
N(48) = 200 e
48.(0,0915510)
= 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja,
48 horas do início da contagem, haverá 16200
bactérias.
Desintegração radioativa: Os fundamentos do
estudo da radioatividade ocorrerram no início do
século por Rutherford e outros. Alguns átomos são
naturalmente instáveis, de tal modo que após algum
tempo, sem qualquer influência externa sofrem
transições para um átomo de um novo elemento
químico e durante esta transição eles emitem
radiações. Rutherford formulou um modelo para
descrever o modo no qual a radioatividade decai.
Se N=N(t) representa o número de átomos da
substância radioativa no instante t, No o número de
átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva
chamada de constante de decaimento, então:
N(t) = No e
-k.t
esta constante de decaimento k, tem valores
diferentes para substâncias diferentes, constantes
que são obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T,
denominada meia-vida do elemento químico, que é
o tempo necessário para que a quantidade de
átomos da substância decaia pela metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
No/2 = No e
-k.T
assim
T=Ln(2)/k
Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida
de alguns elementos químicos:
Substância Meia-vida T
Xenônio 133 5 dias
Bário 140 13 dias
Chumbo 210 22 anos
Estrôncio 90 25 anos
Carbono 14 5.568 anos
Plutônio 23.103 anos
Urânio 238 4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:
k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
O conceito de função logarítmica está implícito na
definição de Napier e em toda a sua obra sobre
logaritmos.
Chama-se função logarítmica de base a à
correspondência
g: lR
+
lR
x loga x , com a > 0, a ≠ 1.
Principais Características
Função logarítmica
0 < a < 1
Função logarítmica
a > 1
g: lR
+
lR
x loga x
● Domínio = lR
+
● Contradomínio = lR
●
g é injectiva
g: lR
+
lR
x loga x
● Domínio = lR
+
● Contradomínio = lR
●
g é injectiva
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●
g(x) = 0 <=> x = 1
● g é continua e
diferenciável em lR
+
●
A função é estritamente
decrescente.
●
limx→0
+
loga x = + ∞
●
limx→+∞ loga x = - ∞
●
x = 0 é assimptota
vertical
●
g(x) = 0 <=> x = 1
● g é continua e
diferenciável em lR
+
●
A função é estritamente
crescente.
●
limx→0
+
loga x = - ∞
●
limx→+∞ loga x = + ∞
●
x = 0 é assimptota
vertical
Deste tipo de funções as mais importantes são as
de base e.
Exemplos de aplicações da Função Logarítmica
Exemplo 1: Cultura de Bacilos
O número de bacilos existentes numa determinada
cultura, no instante t, é dado por
N = N0 . 2
(t/k)
em que N0 e k são constantes. As variáveis t e N
estão expressas em horas e milhões de unidades,
respectivamente.
a) Interpreta o significado das constantes N0 e k.
b) Qual a função que exprime, o número de horas
que esta função leva a passar de N0 para N, em
função de N?
Resolução:
a) No instante t = 0 vem N = N0.2
0
logo N = N0.
Portanto, N0 é o número de bacilos existentes no
início da contagem do tempo.
Fazendo t = k vem N = N0.2 . Isto significa que k é o
número de horas que decorrem até duplicar o
número de bacilos.
b) N / N0 = 2
(t/k)
<=> t / k = log2 (N / N0) <=> t = k
log2 (N / N0)
Vemos que a expressão de t, em função de N,
envolve um logaritmo da variável independente,
logo é uma função logarítmica.
Exemplo 2: Sismos
Segundo Richter (Sismologia Elementar, 1958) a
magnitude M dum tremor de terra, que ocorra a 100
km de certo sismógrafo, é dada por
M = log10 A +3
onde A é a amplitude máxima em mm, do registo
feito pelo aparelho.
a) Qual é o significado da constante 3?
b) Certo tremor de terra de magnitude M1 produz
um registo de amplitude A1. Exprime, em função de
M1, a magnitude M doutro sismo cujo registo tem de
amplitude 100A1, nas mesmas condições.
Resolução:
a) Para A = 1, vem M = 3. Isto significa que o tremor
de terra tem magnitude 3, se provoca um registo de
amplitude máxima 1 mm, nas condições indicadas.
b) Para uma amplitude 100A1 vem:
M = log10 (100A1) + 3 = log10 100 + log10 A1 +3
= 2 + (log10 A1 +3).
Portanto M = 2 + M1.
Assim temos uma função logarítmica.
Derivada da função logarítmica
● Derivada de f(x) = log x
Calculando a derivada de f(x) = log x, pela definição
de derivada de uma função,
f(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h ,
num ponto a Є lR
+
, temos que f`(a) = 1/a. Como a é
um ponto qualquer do domínio, temos que:
(log(x))` = 1/x ⍱ x Є lR
+
(base e)
Recorrendo à regra da derivação da função
composta e sendo u = f(x), vem que:
(log u)` = u`/ x (base e)
em todo o ponto onde u seja positiva e derivável.
● Derivada de f(x) = loga x
Tomando agora para base, qualquer outro número
positivo (diferente de 1 e de e) temos:
(loga x)`= 1 / xln a
e, sendo u função de x:
(loga u)`= u`/ uln a.
LOGARITMO
Na matemática, o logaritmo (do grego:
logos= razão e arithmos= número), de base b, maior
que zero e diferente de 1, é uma função que faz
corresponder aos objectos x a imagem y tal que
Usualmente é escrito como logb x = y. Por
exemplo: portanto Em
termos simples o logaritmo é o expoente que uma
dada base deve ter para produzir certa potência e
o inverso da operação é identificada como
Antilogaritmo, dessa forma teremos com símbolo
Antilog 4 = 81 nessa operação matemática de
base 3. No último exemplo o logaritmo de 81 na base
3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar
para resultar 81.
1
2
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#cite_note-COLWEB-1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#cite_note-2
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O logaritmo é uma de três funções
intimamente relacionadas. Com b
n
= x, b pode ser
determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e
x com exponenciais.
Um logaritmo duplo é a inversa da
exponencial dupla. Um superlogaritmo ou hiper-
logaritmo é a inversa da função superexponencial.
O superlogaritmo de x cresce ainda mais
lentamente que o logaritmo duplo para x grande.
Um logaritmo discreto é uma noção
relacionada na teoria finita de grupos. Para alguns
grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto
seja muito difícil de ser calculado, enquanto
exponenciais discretas são bem fáceis. Esta
assimetria tem aplicações em criptografia.
Condições de Existência
y = loga x
a > 0 e a ≠ 1 (base)
x > 0 (logaritmando)
Logaritmos e exponenciais: inversas
Logaritmos em várias bases: vermelho
representa a base e, verde a base 10, e lilás a base
1,7. Inverta a base some com o expoente x e
multiplique as equações depois de somar as raízes
das duas equações. Note como logaritmos de todas
as bases passam pelo ponto (1, 0).
Para cada base (b em b
n
), existe uma
função logaritmo e uma função exponencial; elas
são funções inversas.
3
Com b
n
= x:
Exponenciais determinam x
quando dado n; para encontrar x, se
multiplica b por b (n) vezes.
Logaritmos determinam n
quando dado x; n é o número de vezes que
x precisa ser dividido por b para se obter 1.
Depois que seu logaritmo estiver dividido
some novamente com o coeficiente e
chegará a um resultado parcialmente
correto.
Usando logaritmos
Três curvas para três bases diferentes: b = 2
(curva amarela ), b = e (curva vermelha ) e b =
0,5 (curva azul ).
Uma função logb(x) é definida quando x é um
número real positivo e b é um número real positivo
diferente de 1. Veja identidades logarítmicas para
várias leis que definem as funções logarítmicas.
Logaritmos podem também ser definidos para
argumentos complexos. Isso é explicado na página
do logaritmo natural.
Para inteiros b e x, o número logb(x) é
irracional (i.e., não é um quociente de dois inteiros)
se b ou x possui um fator primo que o outro não
possui (e em particular se eles são co-primos e
ambos maiores que 1). Em alguns casos este fato
pode ser provado rapidamente: por exemplo, se log23
fosse racional, ter-se-ia log= n/m para alguns inteiros
positivos n e m, implicando que 2
n
. Mas essa última
identidade é impossível, uma vez que 2
n
é par e 3
m
é
ímpar.
Bases não especificadasEngenheiros,
biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou
(ocasionalmente) "loge(x)" quando se trata do
logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log10(x)
ou, no contexto da computação, log2(x).
Algumas vezes Log(x) (L
maiúsculo) é usado significando log10(x),
pelas pessoas que usam log(x) com l
minúsculo significando loge(x).
A notação Log(x) também é
usada pelos matemáticos para se referir ao
ramo principal da função logaritmo natural.
Nas linguagens de
programação mais usadas, incluindo C, C++,
Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG"
significa o logaritmo natural.
A maior parte das razões para se pensar em
logaritmos na base 10 tornaram-se obsoletas logo
após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram
populares (para mais sobre esse assunto, veja
logaritmo comum). Não obstante, uma vez que
calculadoras são feitas e normalmente usadas por
engenheiros, as convenções usadas por eles foram
incorporadas nas calculadoras, agora a maioria dos
não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na
http://pt.wikipedia.org/wiki/Radicia%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencialhttp://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Superexponencial&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_discreto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_grupos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Criptografia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Logarithms.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Logarithms.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_inversa
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#cite_note-PROJLIC-3
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Log-graph.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Log-graph.png
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidades_logar%C3%ADtmicas
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
http://pt.wikipedia.org/wiki/Inteiro
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fator_primo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Co-primo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Computa%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_bin%C3%A1rio&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Ramo_principal&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagens_de_programa%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagens_de_programa%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Linguagem_de_programa%C3%A7%C3%A3o_C
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B
http://pt.wikipedia.org/wiki/Pascal_(linguagem_de_programa%C3%A7%C3%A3o)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fortran
http://pt.wikipedia.org/wiki/BASIC
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_comum&action=edit&redlink=1
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base 10 de x e usam "ln(x)" para se referir ao
logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida
em 1893 por Irving Stringham, professor de
matemática da Universidade de Berkeley. Até 2005,
alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a
maioria usa "log". Em Ciência da Computação o
logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar
confusão. Este uso foi sugerido por Edward
Reingold e popularizado por Donald Knuth.
Quando "log" é escrito sem uma base (b
faltando em logb), o significado pode normalmente
ser determinado através do contexto:
logaritmo natural (loge) em
Análise;
logaritmo binário (log2) com
intervalos musicais e em assuntos que
lidam com bits;
logaritmo comum (log10)
quando tabelas de logaritmos são usadas
para simplificar cálculos manuais;
logaritmo indefinido quando
a base é irrelevante.
Usos dos logaritmos
Logaritmos são úteis para se resolver
equações cujos expoentes são desconhecidos. Eles
possuem derivadas simples, por isso eles são
comumente usados como soluções de integrais.
Além disso, várias quantidades na ciência são
expressas como logaritmos de outras quantidades;
veja escala logarítmica para uma explicação e uma
lista.
Funções exponenciais
Algumas vezes (especialmente em análise)
é necessário calcular exponenciais arbitrárias
usando-se apenas a exponencial
natural
Propriedades Algébricas
Logaritmos trocam números por expoentes.
Mantendo-se a mesma base, é possível tornar
algumas poucas operações mais fáceis:
Ope
ração com
números
Op
eração
com
expoentes
Identidade
logarítmica
Ope
ração com
Op
eração
Identidade
logarítmica
números com
expoentes
Demonstração
Sendo e
Provando assim que
Antes da calculadora eletrônica, isto fazia
com que operações difíceis de dois números fossem
muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os
logaritmos dos dois números (multiplique e divida) ou
o primeiro número (potência ou raiz, onde um número
já é um expoente) em uma tabela de logaritmos
comuns, realizava-se uma operação mais simples
neles, e se encontrava o resultado numa tabela.
Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações
usando logaritmos, mas mais rapidamente e com
menor precisão do que usando tabelas. Outras
ferramentas para realizar multiplicações antes da
invenção da calculadora incluem ossos de Napier e
calculadoras mecânicas.
Na álgebra abstrata, esta propriedade das
funções logarítmicas pode ser resumida observando-
se que qualquer uma delas com uma base fixa é um
isomorfismo do grupo de números reais estritamente
positivos sobre a multiplicação para o grupo de todos
os números reais sobre a adição.
Mudança de base
Apesar de existirem identidades muito úteis,
a mais importante para o uso na calculadora é a que
permite encontrar logaritmos com bases que não as
que foram programadas na calculadora (normalmente
loge e log10). Para encontrar um logaritmo com uma
base b usando qualquer outra base a:
Demonstração
http://pt.wikipedia.org/wiki/University_of_California,_Berkeley
http://pt.wikipedia.org/wiki/2005
http://pt.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=E_(mathematical_constant)&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_bin%C3%A1rio&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(m%C3%BAsica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bit
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_comum&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_indefinido&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
http://pt.wikipedia.org/wiki/Escala_logar%C3%ADtmica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial
http://pt.wikipedia.org/wiki/Calculadora
http://pt.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gua_de_c%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ossos_de_Napier
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstrata
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
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tendo que
aplicando um logaritmo de base k obtém-se
Tudo isso implica que todas as funções
logaritmo (qualquer que seja sua base) são
similares umas às outras.
Cálculo
Para calcular a derivada de uma função
logarítmica a seguinte fórmula é usada :
onde ln é
o logaritmo natural, i.e. com a base e. Fazendo b =
e:
A seguinte fórmula é para obter a integral
da função logaritmo
Operações relacionadas
O cologaritmo de um número é o logaritmo
do recíproco deste, sendo cologb(x) = logb(1/x)
= −logb(x).
O antilogaritmo é usado para mostrar o
inverso de um logaritmo. Ele é escrito da seguinte
maneira: antilogb(n) e significa o mesmo que b
n
.
4
História
Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço
do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar
uma concepção sobre logaritmos. O método dos
logaritmos naturais foi proposto pela primeira vez
em 1614, em um livro intitulado Mirifici
Logarithmorum Canonis Descriptio escrito por John
Napier, Barão de Merchiston na Escócia, quatro
anos após a publicação de sua memorável
invenção.
5
Este método contribuiu para o avanço da
ciência, e especialmente a astronomia, fazendo
com que cálculos muito difíceis se tornassem
possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e
computadores, era uma ferramenta constantemente
usada em observações, navegação e outros ramos
da matemática prática. Além de sua imensa
utilidade na realizaçãode cálculos práticos, os
logaritmos também têm um papel muito importante
em matemática teórica. De início, Napier chamou
os logaritmos de "números artificiais" e os
antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde,
Napier formou a palavra logaritmo, para significar
um número que indica uma razão: λoγoς (logos) que
significa razão, e αριθμoς (arithmos) significando
número. Napier escolheu dessa forma porque a
diferença entre dois logaritmos determina a razão
entre os números dos quais eles são tomados, de
forma que uma série aritmética de logaritmos
corresponde a uma série geométrica de números. O
termo antilogaritmo foi introduzido no final do século
XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na
matemática, persistiu em coleções de tabelas até não
ser mais usado. Napier não usou uma base como a
concebemos hoje, mas seus logaritmos eram na
base Para facilitar interpolações e cálculos, é útil
fazer a razão na série geométrica próximo de 1.
Napier escolheu
e Bürgi escolheu
Os logaritmos
originais de Napier não tinham log 1=0, ao invés
disso tinham log = 0. Desse modo se é um
número e é seu logaritmo tal qual calculado por
Napier, Uma vez que
é aproximadamente é
aproximadamente
Tabelas de logaritmos
Antes do advento do computador e da
calculadora, usar logaritmos significava usar tabelas
de logaritmos, que tinham de ser criadas
manualmente. Logaritmos de base-10 são úteis em
cálculos quando meios eletrônicos não são
disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes,
incluindo o uso de características e mantissas de
logaritmos comuns (i.e., base-10). Em 1617, Briggs
publicou a primeira versão de sua própria lista de
logaritmos comuns, contendo os logaritmos com oito
dígitos de todos os inteiros inferiores a 1.000. Em
1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética
Logarítmica", contendo os logaritmos de todos os
inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000, juntos
com uma introdução que explicava a história, a teoria
e o uso dos logaritmos. O intervalo de 20.000 a
90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua
tabela, que apareceu em 1628, os logaritmos eram
de somente 10 dígitos. Foram descobertos mais
tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso não
pode ser considerado uma grande quantidade,
quando se é considerado que a tabela foi um
resultado de um cálculo original, e que é possível
haver erros quando mais de 2.100.000 números são
utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja
também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de
Astronomia" de Maio, 1872.) Uma edição do trabalho
de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado
em Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus
Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal. A tabela
de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar
http://pt.wikipedia.org/wiki/Similar
http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#cite_note-UOLEDU-4
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Joost_B%C3%BCrgi&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/1614
http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier
http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier
http://pt.wikipedia.org/wiki/Esc%C3%B3cia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo#cite_note-USP-5
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%A9rie_aritm%C3%A9tica&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_geom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XVII
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XVII
http://pt.wikipedia.org/wiki/Computador
http://pt.wikipedia.org/wiki/Calculadora
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_comum&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Mantissa
http://pt.wikipedia.org/wiki/1617
http://pt.wikipedia.org/wiki/1624
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Adrian_Vlacq&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/1628
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_Junho
http://pt.wikipedia.org/wiki/1872
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leipzig
http://pt.wikipedia.org/wiki/1794
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Jurij_Vegal&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paris
http://pt.wikipedia.org/wiki/1795
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em 100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos
números entre 100.000 e 108.000, visando diminuir
os erros de interpolação, que eram grandes no
início da tabela; e essa adição era geralmente
incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão
publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por
Mr. Sang, em 1871, cuja tabela tinha os logaritmos
de 7 casas de todos os números abaixo de
200.000. Briggs e Vlacq também publicaram tabelas
originais de logaritmos de funções trigonométricas.
Além das tabelas mencionadas acima, uma grande
coleção, chamada Tables du Cadastre, foi feita sob
a direção de Prony, por um cálculo original, sob a
ajuda do governo republicano francês. Esse
trabalho, que continha os logaritmos de 9 dígitos de
todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos
dos números entre 100.000 e 200.000, existe
apenas no manuscrito in seventeen enormous
folios, no observatório de Paris. Esse trabalho foi
iniciado em 1792, e para garantir uma grande
precisão de todos os cálculos, o trabalho foi
realizado de duas formas diferentes, e ambos os
manuscritos foram subsequentemente e
cuidadosamente unidos, tendo todo o trabalho sido
realizado em um período de dois anos (English
Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony").
Interpolação cúbica poderia ser utilizada para
encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão
similar. Para os estudantes de hoje, que contam
com a ajuda de calculadoras, o trabalho a respeito
das tabelas acima mencionada, é pequeno para o
avanço dos logaritmos.
Logaritmo
Para calcular logb(x) se b e x são números
racionais e x ≥ b > 1:
Se n0 é o maior número natural tal que b
n
0 ≤
x ou, alternativamente,
então
Este algoritmo recursivamente produz a
fração contínua
Para usar um número irracional como
entrada, basta aplicar o algoritmo a sucessivas
aproximações racionais. O limite da Sucessão
matemática resultante deve convergir para o
resultado correto.
Prova do algoritmo
identidade
manipulação algébrica
identidade logarítmica
identidade logarítmica
troca de base
Trivia
Notação alternativa
Algumas pessoas usam a notação
b
log(x) em
vez de logb(x).
Relações entre logaritmos comum, natural
e binário
Em particular, temos os seguintes resultados:
log2(e) ≈ 1,44269504
log2(10) ≈ 3,32192809
loge(10) ≈ 2,30258509
loge(2) ≈ 0,693147181
log10(2) ≈ 0,301029996
log10(e) ≈ 0,434294482
Um relação curiosa é a aproximação log2(x) ≈
log10(x) + ln(x), com precisão de 99,4%, ou 2 dígitos
significativos. Isso porque
1
/ln(2) −
1
/ln(10) ≈ 1 (na
verdade vale 1,0084...).
Outra relação interessante é a aproximação
log10(2) ≈ 0,3 (na verdade vale 0,301029995). Com
isso, com um erro de apenas de 2,4%, 2
10
≈ 10³,ou
seja, 1024 é aproximadamente 1000.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Interpola%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/1871
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Prony&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a
http://pt.wikipedia.org/wiki/1792
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Recurs%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_(matem%C3%A1tica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Identidade_logar%C3%ADtmica&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Aproxima%C3%A7%C3%A3o
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Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro
fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo
(minutos)
Produção
(Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Observe que uma grandeza varia de acordo
com a outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção
também duplica.
5 min ----> 100Kg
10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção
também triplica.
5 min ----> 100Kg
15 min ----> 300Kg
Assim:
Duas grandezas variáveis
dependentes são diretamente
proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual a razão entre
os valores correspondentes da 2ª
Verifique na tabela que a razão entre dois
valores de uma grandeza é igual a razão entre os
dois valores correspondentes da outra grandeza.
PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO
O estudo da proporção é divido em duas
propriedades: Propriedade fundamental das
proporções e propriedade da soma dos termos em
uma proporção.
Propriedade fundamental da proporção
Quando fazemos a proporção de duas razões
iremos ter os termos dos meios e dos extremos.
5 = 10 ou 5 : 8 = 10 : 16
8 16
Os números 5, 8, 10 e 16 são os termos
dessa proporção sendo que 5 e 16 são os termos dos
extremos e 8 e 10 são os termos dos meios.
Essa propriedade diz:
O produto dos meios é igual ao produto
dos extremos
Portanto, se pegarmos a proporção acima e
aplicarmos essa propriedade iremos obter o seguinte
resultado:
Produto dos termos dos meios: 8 x 10 = 80
Produto dos termos dos extremos: 5 x 16 = 80
Assim, verificamos que a propriedade é verdadeira.
Propriedades da soma dos termos em uma
proporção
Uma proporção é composta por duas razões, ou seja,
por quatro termos, pois cada razão possui 2 termos,
veja:
Essa propriedade diz:
Se somar os dois termos da primeira
razão e dividir pelo primeiro ou pelo segundo
termo irá obter uma razão igual à soma dos dois
termos da segunda razão dividida pelo terceiro ou
quarto termo.
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Veja o exemplo abaixo:
Dada a seguinte proporção:
Formando duas outras proporções iguais
entre si.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
Elementos históricos sobre a Regra de
três
Embora os gregos e os romanos
conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-
las na resolução de problemas. Na Idade Média, os
árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No
século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os
princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do
ábaco), com o nome de Regra dos três números
conhecidos.
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Uma regra de três simples direta é uma
forma de relacionar grandezas diretamente
proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas
grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras
duas grandezas W e Z também diretamente
proporcionais, de forma que tenham a mesma
constante de proporcionalidade K.
X
Y
= K e
W
Z
= K
assim
X
Y
=
W
Z
Exemplo: Na extremidade de uma mola
(teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um
corpo com a massa de 10Kg e verificamos que
ocorreu um deslocamento no comprimento da mola
de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de
massa na extremidade dessa mola, qual será o
deslocamento no comprimento da mola?
(Kg=quilograma e cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida
procurada. De acordo com os dados do problema,
temos:
Massa do
corpo (Kg)
Deslocamento da
mola (cm)
10 54
15 X
As grandezas envolvidas: massa e
deslocamento, são diretamente proporcionais.
Conhecidos três dos valores no problema, podemos
obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela,
podemos montar a proporção:
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10
15
=
54
X
Observamos que os números 10 e 15
aparecem na mesma ordem que apareceram na
tabela e os números 54 e X também aparecem na
mesma ordem direta que apareceram na tabela
anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810,
assim X=81 e o deslocamento da mola será de
81cm.
Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma
forma de relacionar grandezas inversamente
proporcionais para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos
duas grandezas inversamente proporcionais A e B
e outras duas grandezas também inversamente
proporcionais C e D de forma que tenham a mesma
constante de proporcionalidade K.
A · B = K e C · D = K
segue que
A · B = C · D
logo
A
C
=
D
B
Exemplo: Ao participar de um treino de
Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade
média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s.
Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual
seria o tempo gasto no mesmo percurso?
(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T.
De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h) Tempo (s)
180 20
200 T
Relacionamos grandezas inversamente
proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo
espaço percorrido. Conhecidos três valores,
podemos obter um quarto valor T.
180
200
=
T
20
Os números 180 e 200 aparecem na
mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto
que os números 20 e T aparecem na ordem inversa
da ordem que apareceram na tabela acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que
200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a
velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará
18s para realizar o mesmo percurso.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é um processo de
relacionamento de grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma
mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um
problema dessa ordem é montar uma tabela com
duas linhas, sendo que a primeira linha indica as
grandezas relativas à primeira situação enquanto que
a segunda linha indica os valores conhecidos da
segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores
associados às grandezas para uma primeira situação
e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados
às grandezas para uma segunda situação, montamos
a tabela abaixo lembrando que estamos interessados
em obter o valor numérico para uma das grandezas,
digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor
numérico Z1 e todas as medidas das outras
grandezas.
Situação
Grandeza
1
Grandeza
2
Grandeza
3
Grandeza
4
Grandeza
5
Grand...
Grandeza
?
Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1
Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2
Quando todas as grandezas são diretamente
proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:
Z1
Z2
=
A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …
A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …
Quando todas as grandezas são diretamente
proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda
grandeza (com a letra B,por exemplo) que é
inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos
a proporção com B1 trocada de posição com B2:
Z1
Z2
=
A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1
…
A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2
…
As grandezas que forem diretamente
proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma
ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que
as grandezas que forem inversamente proporcionais
à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela
que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas
envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a
terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e
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as outras duas B e D inversamente proporcionais à
grandeza Z, deveremos resolver a proporção:
Z1
Z2
=
A1 · B2 · C1 ·D2
A2 · B1 · C2 ·D1
Observação: O problema difícil é analisar
de um ponto de vista lógico quais grandezas são
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais. Como é muito difícil realizar esta
análise de um ponto de vista geral, apresentaremos
alguns exemplos para entender o funcionamento da
situação.
Exemplos:
1. Funcionando durante 6 dias, 5
máquinas produziram 400 peças de uma
mercadoria. Quantas peças dessa mesma
mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais
às primeiras, se essas máquinas funcionarem
durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela
letra X. De acordo com os dados do problema,
vamos organizar a tabela:
No. de
máquinas (A)
No. de
dias (B)
No. de
peças (C)
5 6 400
7 9 X
A grandeza Número de peças (C) servirá de
referência para as outras grandezas. Analisaremos
se as grandezas Número de máquinas (A) e
Número de dias (B) são diretamente proporcionais
ou inversamente proporcionais à grandeza C que
representa o Número de peças. Tal análise deve
ser feita de uma forma independente para cada par
de grandezas.
Vamos considerar as grandezas Número de
peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso
de lógica para constatar que se tivermos mais
máquinas operando produziremos mais peças e se
tivermos menos máquinas operando produziremos
menos peças. Assim temos que estas duas
grandezas são diretamente proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas
Número de peças e Número de dias. Novamente
devemos usar a lógica para constatar que se
tivermos maior número de dias produziremos maior
número de peças e se tivermos menor número de
dias produziremos menor número de peças. Assim
temos que estas duas grandezas também são
diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas
envolvidas são diretamente proporcionais, logo,
basta resolver a proporção:
400
x
=
5×6
7×9
que pode ser posta na forma
400
x
=
30
63
Resolvendo a proporção, obtemos X=840,
assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias
serão produzidas 840 peças.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia,
percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos
dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar
5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias
procurado pela letra X. De acordo com os dados do
problema, vamos organizar a tabela:
Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)
200 4 2
500 5 X
A grandeza Número de dias (C) é a que
servirá como referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e
Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou
inversamente proporcionais à grandeza C que
representa o Número de dias. Tal análise deve ser
feita de uma forma independente para cada par de
grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias
e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que
se rodarmos maior número de dias, percorreremos
maior quilometragem e se rodarmos menor número
de dias percorreremos menor quilometragem. Assim
temos que estas duas grandezas são diretamente
proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as
grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar
que para realizar o mesmo percurso, se tivermos
maior número de dias utilizaremos menor número de
horas por dia e se tivermos menor número de dias
necessitaremos maior número de horas para p
mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são
inversamente proporcionais e desse modo:
2
X
=
200×
5
500×
4
que pode ser posta como
2
X
=
1000
2000
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Resolvendo esta proporção, obtemos X=4,
significando que para percorrer 500 Km, rodando 5
h por dia, o motociclista levará 4 dias.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve
início com os jogos de cartas, dados e de roleta.
Esse é o motivo da grande existência de exemplos
de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria
da probabilidade permite que se calcule a chance de
ocorrência de um número em um experimento
aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido
em iguais condições, podem fornecer resultados
diferentes, ou seja, são resultados explicados ao
acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de
ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de
experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório. A letra que representa
o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado,
simultaneamente, sendo S o espaço amostral,
constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4,
R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes
eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um
número primo aparece}, C={coroas e um número
ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são
mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os
elementos de S constituídos de um K e um número
par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S
constituídos de números primos:
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
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Para obter C, escolhemos os pontos de S
constituídos de um R e um número ímpar:
C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB =
{K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não
estão em A ou C;
B A
c
C
c
= {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos,
porque A C =
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as
possibilidades são igualmente prováveis, então a
probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado,
um número par pode ocorrer de 3 maneiras
diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto,
P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito)
é equiprovável quando seus eventos elementares
têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S
(finito), a probabilidade de ocorrência de um evento
A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A‟ são eventos complementares,
então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidadede um evento é sempre
um número entre (probabilidade de evento
impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é
necessário que já tenha alguma informação sobre o
evento que se deseja observar. Nesse caso, o
espaço amostral se modifica e o evento tem a sua
probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a
P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer
E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3,
condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de
ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1
e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas
e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de
cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade
de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e
considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) =
10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos
independentes quando a probabilidade de ocorrer um
deles não depende do fato de os outros terem ou não
terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos
independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) =
P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas
e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e
repondo a sorteada na urna, qual será a
probabilidade de a primeira ser vermelha e a
segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a
probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e
azul na segunda retirada é igual ao produto das
probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) =
P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na
primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda
retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto,
temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma
consideradas todas as bolas, pois houve reposição.
Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola
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vermelha na primeira retirada não influenciou a
segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de
eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a
união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a
E1 e E2, estes eventos estarão computados no
cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam
considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a
união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) +
P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco,
forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no
azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os
possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí,
temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos
meios de comunicação, expressões matemáticas
relacionadas com porcentagem. O termo por cento é
proveniente do Latim per centum e quer dizer por
cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador
b=100, é chamada taxa de porcentagem ou
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento
aparece nas principais obras de aritmética de autores
italianos do século XV. O símbolo %surgiu como uma
abreviatura da palavra cento utilizada nas operações
mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento,
escrevemos 10% e isto significa que em cada 100
unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de
80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80,
isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por
cento, escrevemos M% e para calcular M% de um
número N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1. Um fichário tem 25 fichas
numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão
etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm
a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a
etiqueta com número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com
número par e 12 fichas com número ímpar.
2. Num torneio de basquete, uma
determinada seleção disputou 4 partidas na primeira
fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias
obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que
representa essa porcentagem. Esse problema pode
ser expresso da seguinte forma:
X% de 4 = 3
Assim:
(X/100).4 = 3
4X/100 = 3
4X = 300
X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias
foi de 75%.
3. Numa indústria há 255 empregadas.
Esse número corresponde a 42,5% do total de
empregados da indústria. Quantas pessoas
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trabalham nesse local? Quantos homens trabalham
nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de
empregados dessa indústria. Esse problema pode
ser representado por:
42,5% de X = 255
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas,
sendo que há 345 homens.
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive
um desconto de 8% sobre o preço marcado na
etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria,
qual o preço original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se
obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o
preço que paguei representa 100%-8%=92% do
preço original e isto significa que
92% de X = 690
logo
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X / 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$
750,00.
É frequente o uso de expressões que
refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por
base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de
15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo
de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de
10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto
de R$10,00
Dos jogadores que jogam no
Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no
Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o
número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns
exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal
de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são
chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos.
Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a
taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa
a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao
aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
Exemplos:
Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valorcorrespondente à porcentagem
procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um
campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em
gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse
jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por
R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa
percentual de lucro obtida?
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Montamos uma equação, onde somando os
R$250,00 iniciais com a porcentagem que
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte
nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de
20%.
Uma dica importante: o FATOR DE
MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10%
a um determinado valor, podemos calcular o novo
valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que
é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de
20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.
Veja a tabela abaixo:
Acréscimo
ou Lucro
Fator de
Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de
R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator
de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na
forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator de
Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de
R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
* Como calcular porcentagem
Todo o cálculo de porcentagem, como
informado, é baseado no número 100.
O cálculo de tantos por cento de uma
expressão matemática ou de um problema a ser
resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser
feito, na soma, por meio de uma proporção simples.
Para que se possam fazer cálculos com
porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:
1) A taxa está para porcentagem (acréscimo,
desconto, etc), assim como o valor 100 está para a
quantia a ser encontrada.
Exemplificando:
Um título tem desconto 10%, sobre o valor
total de R$ 100,00. Qual o valor do título?
30% : R$ 100,00
100% : X
X = R$ 30,00
2) O número que se efetua o cálculo de
porcentagem é representado por 100.
Exemplificando:
Efetue o cálculo 10% de 50
100% : 50
10% : X
X = 5
Obs. Nos dois exemplos dados foram usados
o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados
em tutoriais anteriores.
3) O capital informado tem sempre por
igualdade ao 100.
Exemplificando:
Efetua-se o resgate de um cheque pré-
datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um
desconto de 20%
100% : R$ 150,00
20% : X
X = R$ 30,00
* Exemplos para fixação de definição
1) Um jogador de basquete, ao longo do
campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram
de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos
o jogador fez do total de 250 pontos.
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10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25
100 100
Portanto, do total de 250 pontos o jogador
fez 25 pontos de 02 pontos.
2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e
revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a
taxa percentual de lucro ?
Neste caso é procurado um valor de
porcentagem no qual são somados os R$ 300,00
iniciais com a porcentagem aumentada e que tenha
como resultado o valor de R$ 340,00
300 + 300.X/100 = 340
3X = 340 – 300
X = 40/3
X = 13,333 (dízima periódica)
Assim, a taxa de lucro obtida com esta
operação de revenda foi de 13,33%
* Fator Multiplicante
Há uma dica importante a ser seguida, no
caso de cálculo com porcentagem. No caso se
houver acréscimo no valor, é possível fazer isto
diretamente através de uma operação simples,
multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator
de multiplicação.
Veja:
Tenho um produto X, e este terá um
acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao
prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor
do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo
produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo
então o fator multiplicante é 1,20.
Observe esta pequena tabela:
Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de
um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 =
R$ 23,40
E assim sucessivamente, é possível montar
uma tabela conforme o caso.
Da mesma forma como é possível, ter um
fator multiplicante quando se tem acréscimo a um
certo valor, também no decréscimo ou desconto,
pode-se ter este fator de multiplicação.
Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 –
taxa de desconto (isto na forma decimal)
Veja:
Tenho um produto Y, e este terá um
desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta
multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso
o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de
acréscimo então o fator multiplicante é 0,80.
Observe esta pequena tabela:
Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de
um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$
53,94
E assim sucessivamente, é possível montar
uma tabela conforme o caso.
* Exercícios resolvidos de porcentagem
Os exercícios propostos estão resolvidos, em
um passo-a-passo prático para que se possa
acompanhar a solução de problemas envolvendo
porcentagem e também para que se tenha uma
melhor fixação sobre o conteúdo.
1) Qual valor de uma mercadoria que custou
R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de
17%?
Solução:
100% : 555
17 X
X = 555x17 /100 = 9435/100
X = 94,35
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Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 +
R$ 94,35
Preço Final: R$ 649,35
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido
também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 =
R$ 649,35
2) Um aluno teve 30 aulas de uma
determinada matéria. Qual o número máximo de
faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será
reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento)
das aulas ?
Solução:
100% : 30
30% : X
X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9
X = 9
Assim, o total de faltas que o aluno poderá
ter são 9 faltas.
3) Um imposto foi criado com alíquota de
2% sobre cada transação financeira efetuada pelos
consumidores. Se uma pessoa for descontar um
cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido
quanto?
100% : 15.250
0,7% : X
Neste caso, use diretamente o sistema de
tabela com fator multiplicador. O capital principal
que é o valor do cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 =
R$ 14.945,00
Assim, o valor líquido do cheque após
descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo
que os 2% do valor total representam a quantia de
R$ 305,00.
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$
305,00 = R$ 15.250,00
Obs. Os quadros dos cálculos foram
colocados em cada operação repetidamente, de
propósito, para que haja uma fixação, pois é
fundamental conhecer “decoradamente” estas
posições.
JUROS
Juros representam a remuneração do Capital
empregado em alguma atividade produtiva. Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes:simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada
intervalo de tempo sempre é calculado
sobre o capital inicial emprestado ou
aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de
cada intervalo de tempo é calculado a partir
do saldo no início de correspondente
intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo
de tempo é incorporado ao capital inicial e
passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do
dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar
um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de
esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir
seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a
emprestar esta quantia a alguém, menos paciente,
deve ser recompensado por esta abstinência na
proporção do tempo e risco, que a operação
envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro
disponível no mercado para empréstimos definem
qual deverá ser a remuneração, mais conhecida
como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros
compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza
juros compostos. Estão incluídas: compras a médio
e longo prazo, compras com cartão de crédito,
empréstimos bancários, as aplicações financeiras
usuais como Caderneta de Poupança e aplicações
em fundos de renda fixa, etc. Raramente
encontramos uso para o regime de juros simples: é o
caso das operações de curtíssimo prazo, e do
processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será
paga ao dinheiro emprestado, para um determinado
período. Ela vem normalmente expressa da forma
percentual, em seguida da especificação do período
de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de
juros é a unitária, que é igual a taxa percentual
dividida por 100, sem o símbolo %:
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0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o
percentual de juros incidir apenas sobre o valor
principal. Sobre os juros gerados a cada período
não incidirão novos juros. Valor Principal ou
simplesmente principal é o valor inicial emprestado
ou aplicado, antes de somarmos os juros.
Transformando em fórmula temos:
J = P .
i . n
Onde:
J =
juros
P = principal
(capital)
i = taxa de
juros
n = número
de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00
que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo
regime de juros simples e devemos pagá-la em 2
meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal
temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x
Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da
aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.
durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] =
R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o
período n, na mesma unidade de tempo, ou seja,
anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o
valor equivalente em anos, já que um ano comercial
possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00
a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos
por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a.,
durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001
a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à
mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos
calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros
simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros
em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja:
3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em
relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.
Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150%
ao ano, quantos meses serão necessários para
dobrar um capital aplicado através de
capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais
comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros
gerados a cada período são incorporados ao principal
para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em
que os juros são incorporados ao principal.
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Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês
anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês
anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)
n
Importante: a taxa i tem que ser expressa
na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de
juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta
diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de
R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1
ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)
n
, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)
12
= 6000. (1,035)
12
Fazendo x = 1,035
12
e aplicando logaritmos,
encontramos:
log x = log 1,035
12
=> log x = 12 log 1,035
=> log x = 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
O QUE LEVAR EM ‘CONTA’ NO
PROCESSO DE AVALIAÇÃO E PLANEJAMENTO
EM MATEMÁTICA?
Avaliar e planejar são ações precípuas do
trabalho pedagógico. Contudo, muitas vezes a
avaliação e o planejamento podem está dissociados,
na medida em que a concepção de avaliação do
professor não produz um planejamento coerente com
os resultados identificados em termos de
aprendizagem e, portanto, coerente com as
necessidades de aprendizagens do aluno. Por outro
lado, o planejamento nem sempre produz uma ação
avaliativa coerentes com os objetivos de
aprendizagem nele prescrito. Essa dissonância está
associada a concepções de avaliação e de
planejamento que não levam em consideração,
respectivamente, decisão e subsídio, ou seja,
“enquanto o planejamento é o ato pelo qual
decidimos o que construir, a avaliação é o ato crítico
que nos subsidia na verificação de como estamos
construindo o nosso projeto” (LUCKESI, 1999, p.
118) a complexidade do que é ensinar e aprender,
uma vez que estes envolvem aspectos de ordem
didática que passam desapercebidos ou até mesmo
são desconhecidos pelo professor.
Além disso, a concepção que se tinha de
uma didática capaz de abranger todas as
especificidades das diferentes áreas de
conhecimento levou a um grau de generalização da
avaliação que muito pouco contribuiu para um
planejamento que, de fato, respondesse às
particularidades e problemas que são própios ao
processo de apropriação/contruçãodo conhecimento
matemático. Com isso, queremos dizer que os
estudos sobre avaliação, na sua quase totalidade,
não contemplam a especificidade do saber. Não se
quer negar aqui a importância que tais estudos
representam ou representaram para a melhoria da
qualidade do ensino e da aprendizagem. Como
exemplos, poder-se-ia destacar os trabalhos de
Perrenoud (2000; 1999a; 1999b); Paro (2001); Souza
(1997); Lüdke & Mediano (1992); Luckesi (1999);
Saul (1988); Hoffman (1991; 1993; 2000). A
propósito, são nesses autores que as escolas e seus
professores têm encontrado o apoio teórico para o
desenvolvimento do trabalho pedagógico.
Contudo, a avaliação deve, levar em conta a
especificidade do conhecimento tratado. De fato, se o
conhecimento matemático tem uma forma própria de
produção e expressão, então ele requer uma
abordagem que considere as características desse
conhecimento. Se isso é verdade, a avaliação da
aprendizagem não é independente do conteúdo, da
mesma forma que uma didática geral não dá conta
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de uma “transposição didática” que um determinado
conhecimento requer (CHEVALLARD, 1991).
Nesse sentido, para melhor investigar o
processo de avaliação é preciso considerar os
resultados das pesquisas em didática da
matemática, uma vez que esta
é uma das tendências da grande área de
educação matemática, cujo objeto de estudo é a
elaboração de conceitos e teorias que sejam
compatíveis com a especificidade educacional do
saber escolar matemático, procurando manter
fortes vínculos com a formação de conceitos
matemáticos, tanto em nível experimental da prática
pedagógica, como no território básico da pesquisa
acadêmica (PAIS, 2001).
De modo mais específico, é no âmbito do
que se ficou conhecido como sistema didático, onde
tais pesquisas se configuram. É na estrutura do
sistema didático onde se pode estudar a interação
de três elementos que, dentre outros, lhe são
constitutivos: o professor, o aluno e o saber. E é
essa tríade de relações que vai dar sentido aos
estudos relacionados ao contrato didático.
Contudo, no âmbito da educação
matemática, o número de pesquisas voltadas para
a avaliação da aprendizagem ainda é pequeno.
Quanto a isso, Maciel (2003) afirma que
São poucas as pesquisas no Brasil que
enfocam o tema avaliação na área de Educação
Matemática. No período entre os anos 1970 e 1992
só foram realizadas 6 (seis) pesquisas enfocando o
tema avaliação da aprendizagem (FIORENTINI,
1993); no período subseqüente até os dias de hoje
pudemos contabilizar mais 8 (oito) trabalhos, a
partir do banco de dados de teses do Centro de
Estudos, Memória e Pesquisa em Educação
Matemática (CEMPEM-FE/UNICAMP).
Pensar, entretanto, a avaliação da
aprendizagem em matemática significa levantar
mais questões que possíveis respostas, pois a
maior parte das pesquisas que tratam da
avaliação em matemática relaciona-se à avaliação
de Rede, como, por exemplo, à análise dos
resultados do SAEB e do ENEM – Exame
Nacional do Ensino Médio - ou ainda pesquisas
voltadas para a investigação do significado do erro
na aprendizagem de matemática. Mesmo
reconhecendo a importância dessas pesquisas
para a melhoria do ensino e da aprendizagem em
matemática, elas não contemplam uma
abordagem do processo de avaliação da
aprendizagem de matemática em si. Isto é, de que
modo o conhecimento matemático entra no “jogo
didático” influenciando nas decisões do professor,
considerando que este se relaciona de uma
determinada forma com o conhecimento
matemático. Relação que se constitui também a
partir de suas concepções sobre ensino e
aprendizagem de matemática, conforme já
dissemos anteriormente.
Nesse sentido, conforme Nascimento (2003,
p. 54):
É preciso dizer que ensinar não produz
necessariamente aprendizagem. E, portanto, que a
avaliação cumpriu o seu papel, pelo menos numa
certa concepção. Mais que isso, é possível existir
aprendizagem sem ensino. Ou ainda que, em
algumas situações, os alunos aprendem apesar do
“ensino”. De fato, aprendizagem é algo do sujeito e a
avaliação pode nos dar indícios, informações em
relação a sua aprendizagem e ao ensino ministrado,
para que se possa corrigir rumos, aprofundar
aspectos, rever posições, enfim tomar decisões que
possibilitem o avanço das aprendizagens e
fortaleçam o projeto educativo.
Essa complexidade do ensinar e aprender
também faz parte do ato de avaliar. Nascimento
(2003, p. 54) vai afirmar que:
Hoje, mais que ontem, sabemos que a
aprendizagem não depende exclusivamente da
transmissão de conhecimentos, pelo menos por dois
motivos: primeiro porque a transmissão em si está
mais relacionada à memorização e a reprodução
daquilo que foi “ensinado” e menos à construção do
conhecimento; segundo porque a transmissão não é
o processo mais adequado para que o sujeito
construa sua autonomia intelectual e, portanto, para
se apropriar do seu processo de aprendizagem e ser
seja capaz de aprender a aprender. Assim, ensinar,
aprender e avaliar têm atributos epistemológicos
diferentes, ainda que fazendo parte de um mesmo
processo.
DANTE (1999, p. 4), por sua vez, ao procurar
desmistificar o processo de avaliação vai indicar
alguns aspectos em relação aos quais o professore
deve dar mais ênfase ou menos ênfase:
Maior ênfase
• Avaliar o que os alunos sabem, como
sabem e como pensam matematicamente.
• Avaliar se o aluno compreendeu os
conceitos, os procedimentos e se desenvolveu
atitudes positivas em relação à Matemática.
• Avaliar o processo e o grau de criatividade
das soluções dadas pelo aluno.
• Encarar a avaliação como parte integrante
do processo de ensino.
• Focalizar uma grande variedade de
tarefas matemáticas e adotar uma visão global da
Matemática.
• Propor situações-problema que
envolvam aplicações de conjunto de idéias
matemáticas.
• Propor situações abertas que tenham mais
que uma solução.
• Propor que o aluno invente, formule
problemas e resolva-os.
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• Usar várias formas de avaliação,
incluindo as escritas (provas, testes, trabalhos,
auto-avaliação), as orais (exposições,
entrevistas, conversas informais) e as de
demonstração (materiais pedagógicos).
• Utilizar materiais manipuláveis,
calculadoras e computadores na avaliação.
Menor ênfase
• Avaliar o que os alunos não sabem.
• Avaliar a memorização de definições,
regras e esquemas.
• Avaliar apenas o produto, contando o
número de respostas certas nos testes e provas.
• Avaliar contando o número de respostas
certas nas provas, com o único objetivo de
classificar.
• Focalizar um grande número de
capacidades específicas e isoladas.
• Propor exercícios e problemas que
requeiram apenas uma capacidade.
• Propor problemas rotineiros que
apresentam uma única solução.
• Propor que o aluno resolva uma série de
problemas já formulados.
• Utilizar apenas provas e testes escritos.
• Excluir materiais manipuláveis,
calculadoras e computadores na avaliação.
Como atividades centrais do minicurso,
serão abordadas, inicialmente, atividades que se
refriram a experiências vividas pelos participantes
do minicurso em relação à avaliação em
matemática, quando alunos da educação básica.
Posteriormente os professores-cursistas serão
solicitados a resolver alguns questões envovlvendo
conhecimentos de diferentes áres de conhecimento
para quea partir daí se possa iniciar a discussão do
que é « aprender », “ensinar”, “planejar” e “avaliar”.
Aí supomos que estarão presentes elementos ainda
predominantes do ideário pedagógico no que se
refere especialmente à avaliação da aprendizagem
escolar. Em seguida os professores cursistas serão
solicitados a analisar alguns „protocolo‟s de alunos
referentes a questões de “provas” e “testes” de
matemática que foram aplicados por professores
dessa disciplina em diferentes séries do ensino
fundamental, nível de ensino para o qual o
minicurso se destina.
FORMAS DE AVALIAR O ALUNO
EM MATEMÁTICA
A educação, ao longo da história, passou por
diversas mudanças visando à melhoria do ambiente
escolar, a reformulação das grades curriculares, a
criação de escolas voltadas para a inclusão social e
educação especial. Mas nessas mudanças, debates
e discussões envolvendo pessoas do meio
educacional e membros representantes da sociedade
abordaram incessantemente a forma de avaliar o
conhecimento adquirido pelo aluno.
Atualmente a avaliação se tornou algo mais
aberto e menos mecanizado, diferente de tempos
atrás, quando as escolas avaliavam seus alunos
através de provas extensas confeccionadas com
exercícios estáticos. Nessas provas os estudantes
não dispunham do pleno direito de resolver os
problemas utilizando suas próprias habilidades. Eram
obrigados a desempenhar resoluções de acordo com
a metodologia imposta pelo professor tradicional.
As avaliações presentes não deixaram
totalmente a característica tradicional, mas são
mescladas com questões de múltipla escolha, além
disso, os jovens possuem a liberdade de buscar
métodos auxiliares na resolução das questões, desde
que apresente fundamentos matemáticos plausíveis.
A avaliação contínua é responsável, em
algumas instituições escolares, por 50% da
composição total da nota. Essa avaliação presa o
trabalho diário realizado pelo aluno, participação nas
aulas, responsabilidade com as atividades diárias,
comprometimento com os estudos, responsabilidade,
dinamismo e comportamento exemplar de acordo
com o ambiente escolar. Esse modelo de avaliação
tornou-se uma forma de envolver o aluno no
cotidiano da escola, visto que uma avaliação
contínua de baixo rendimento compromete
diretamente o conceito bimestral.
As questões deixaram de ser estáticas,
abordando situações cotidianas e interdisciplinares,
isto é, criando relações entre as ciências. As
questões de múltipla escolha despertam no
estudante uma visão crítica, pois na escolha da
alternativa correta ele utiliza parâmetros de
comparação entre o conhecimento adquirido e o
exposto na avaliação.
Outra forma de avaliação é a aplicação
semanal ou quinzenal de testes abordando
conteúdos específicos. Esses testes podem ser
aplicados no fechamento de algum capítulo do livro
didático. Essa metodologia tem o objetivo de verificar
sobre o entendimento do estudante sobre o conteúdo
recente. Os trabalhos também constituem uma
importante ferramenta de avaliação, visto que exige
por parte dos alunos uma organização na sua
confecção, promovendo um senso de organização e
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de responsabilidade, o qual deverá ser aproveitado
futuramente.
Portanto, vimos que existem inúmeras
formas de avaliar um aluno, de acordo com o
ambiente escolar, em relação ao comportamento,
utilizando provas discursivas e de múltipla escolha,
trabalhos escolares, tarefas de casa,
comprometimento escolar, participação nas aulas e
nos eventos escolares. Todos esses meios são
utilizáveis na constituição de uma nota bimestral.
INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO
Os instrumentos de avaliação de
aprendizagem devem ser largamente utilizados ao
longo do período letivo. Esses instrumentos de
avaliação devem permitir ao professor colher
informações sobre a capacidade de aprendizado
dos alunos, medida, em especial, pela competência
dos mesmos para resolver problemas e
instrumentalizar o conhecimento para a tomada de
decisões.
Cabe ao professor da disciplina, definir os
instrumentos que serão utilizados para melhor
acompanhar o processo de aprendizado de seus
alunos.
Não existem instrumentos específicos de
avaliação capazes de detectar a totalidade do
desenvolvimento e aprendizagem dos alunos. É
diante da limitação que cada instrumento de
avaliação comporta que se faz necessário pensar
em instrumentos diversos e mais adequados com
suas finalidades, para que dêem conta, juntos, da
complexibilidade do processo de aprender.
Alguns exemplos de instrumentos de
avaliação.
1. OBSERVAÇÃO
O ato de observar é uma característica
própria e é através dele que informamos sobre o
contexto em que estamos, para nele nos situarmos
de forma satisfatória de acordo com normas e
valores dominantes.
Aspectos Negativos:
É um instrumento de pouca utilização de
registro e de falta de sistematização, os dados
colhidos, muitas vezes, se perdem ou não são
utilizados de forma produtiva para refletirem sobre a
prática pedagógica e o desenvolvimento dos
alunos.
Aspectos Positivos
Através da observação, os educadores
podem conhecer melhor os alunos, analisar seu
desempenho nas atividades em sala de aula e
compreender seus avanços e dificuldades. Ao
mesmo tempo, os alunos poderão tomar consciência
dos processos vividos pelo grupo.
A observação exige do professor:
Eleger o objeto de investigação ( um aluno,
uma dupla, um grupo etc);
Elaborar objetivos claros (descobrir dúvidas,
avanços etc);
Identificar contextos e momentos específicos
(durante a aula, no recreio etc);
Estabelecer formas de registros apropriados (
vídeos, anotações etc).
Indicações
Observações em atividades livres, no recreio,
individuais, etc.
2. REGISTRO / FICHAS
Tem como função acompanhar o processo
educativo vivido por alunos e professores, é através
dele que se torna possível realizar uma análise crítica
e reflexiva do processo de avaliação.
Aspectos Positivos:
Contribui para que os dados significativos da
prática de trabalho não se percam. Alguns recursos
podem ser utilizados, são eles:
1. Caderno de campo do professor: registro
de aulas expositivas, anotações em sala de aula,
projetos, relatos, debates, etc.
2. Caderno de Anotações para cada grupo de
alunos: anotações periódicas sobre acontecimentos
significativos do cotidiano escolar.
3. Diário do aluno: registro de caráter
subjetivo ou objetivo que aluno e professores fazem
espontaneamente.
4. Arquivo de atividades: coleta de exercícios
e produções dos alunos, datadas e com algumas
observações rápidas do professor. Esse arquivo
serve como referência histórica do desenvolvimento
do grupo.
Indicações:
Permite aos educadores perceberem e
analisarem ações e acontecimentos, muitas vezes
despercebidos no cotidiano escolar.
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3. DEBATE
O debate nos permite nas situações de
interação, trocar idéias com as pessoas,
compreender as idéias do outro, relacioná – las e
ampliar conhecimentos sobre o tema ou assunto
discutido.
Aspectos positivos
Favorável para que alunos e professores
incorporem conhecimentos, exige que se
expressem com suas próprias palavras,
exemplifiquem e estabeleçam relações com outros
conhecimentos, pois o aluno expõe à turma sua
forma de compreender o tema em questão.
4. AUTO - AVALIAÇÃO
Aspectos Positivos
É uma atividadede reflexão fundamental na
aprendizagem, que visa levantar:
- o caminho percorrido pelo aluno para às
sua respostas e resultados;
- as evidências de que conseguiu aprender;
- as evidências das dificuldades que ainda
enfrenta e, a partir delas, o reconhecimento das
superações que precisam ser conquistadas.
Indicações
Incentivar a consciência crítica dos alunos,
em relação aos modos de agir que utilizam frente
às tarefas que lhes são propostas.
5. TRABALHO EM GRUPO
É todo tipo de produção realizada em
parceria pelos alunos, sempre orientadas pelo
professor.
Aspectos positivos:
Estimula os alunos à cooperação e
realização de ações conjuntas, propiciam um
espaço para compartilhar, confrontar e negociar
idéias. É necessário que haja uma dinâmica interna
das relações sociais, mediada pelo conhecimento,
potencializado por uma situação problematizadora,
que leve o grupo a colher informações, explicar
suas idéias, saber expressar seus argumentos.
Permite um conhecimento maior sobre as
possibilidades de verbalização e ação dos alunos
em relação às atividades propostas.
É necessário considerar as condições de
produção em que se derão: o tempo de realização, o
nível de envolvimento e de compromisso dos alunos,
os tipos de orientações dadas, as fontes de
informação e recursos materiais utilizados.
6. PARTICIPAÇÃO EM SALA DE AULA
Trata – se de analisar o desempenho do
aluno em fatos do cotidiano da sala de aula ou em
situações planejadas.
Aspectos Positivos:
Permite que o professor perceba como o
aluno constrói o conhecimento, já que é possível
acompanhar de perto todos os passos desse
processo. É necessário que o professor faça
anotações no momento em que os fatos a serem
considerados ocorrem, ou logo em seguida, para que
sejam evitadas as generalizações e os julgamentos
com critérios subjetivos. Habilita o professor a
elaborar intervenções específicas para cada caso e
sempre que julgar necessário.
7. SEMINÁRIO
É a exposição oral que permite a
comunicação das informações pesquisadas de forma
eficaz, utilizando material de apoio adequado.
Aspectos Positivos:
Contribui para a aprendizagem tanto do
ouvinte como do expositor, pois exige desta
pesquisa, planejamento e organização das
informações, além de desenvolver a capacidade de
expressão em público.
Aspectos Negativos:
Às vezes, alguns professores utilizam de
comparações nas apresentações entre o inibido e o
desinibido.
7. PORTFÓLIO
Volume que reúne todos os trabalhos
produzidos pelo aluno durante o período letivo.
Presta – se tanto para a avaliação final como para a
avaliação do processo de aprendizagem do aluno.
Aspecto positivo:
Evidencia as qualidades do estudante,
registra seus esforços, seus progressos, o nível de
raciocínio lógico atingido e, portanto, seu
desempenho na disciplina. Também ensina ao aluno
a organização.
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Tem finalidade de auxiliar o educando
desenvolver a capacidade de refletir e avaliar seu
próprio trabalho.
8. PROVA DISSERTATIVA
Caracteriza – se por apresentar uma série
de perguntas (ou problemas, ou temas, no caso da
redação), que exijam capacidade de estabelecer
relações, de resumir, analisar e julgar.
Aspectos Positivos
Avalia a capacidade de analisar um
problema central, abstrair fatos, formular idéias e
redigi – las: permite que o aluno exponha seus
pensamentos, mostrando habilidades organização,
interpretação e expressão.
9. PROVA COM CONSULTA
Apresenta características semelhantes às
provas dissertativas, diferenciando – se pelo fato de
o aluno pode consultar livros ou apontamentos para
responder.
Aspectos Positivos:
Se bem elaborada, pode permitir que o
aluno demonstre não apenas o seu conhecimento
sobre o conteúdo objeto da avaliação, mas ainda, a
sua capacidade de pesquisa, de buscar a resposta
correta e relevante.
10. PROVA OBJETIVA
Caracteriza –se uma série de perguntas
diretas para respostas curtas, com apenas uma
solução possível ou em que o aluno tenha que
avaliar proposições, julgando –as verdadeiras ou
falsas.
Aspectos Negativos
Favorece a memorização e sua análise não
permite constatar, com boa margem de acerto,
quanto o aluno adquiriu em termos de
conhecimento.
11. PROVA ORAL
Situação em que os alunos, expõem
individualmente seus pontos de vista sobre pontos
do conteúdo ou resolvem problemas em contato
direto com o professor. Bastante útil para
desenvolver a oralidade e a habilidade de
argumentação.
MATERIAIS CONCRETOS
As dificuldades encontradas por alunos e
professores no processo ensino-aprendizagem da
matemática são muitas e conhecidas. Por um lado, o
aluno não consegue entender a matemática que a
escola lhe ensina, muitas vezes é reprovado nesta
disciplina, ou então, mesmo que aprovado, sente
dificuldades em utilizar o conhecimento "adquirido",
em síntese, não consegue efetivamente ter acesso a
esse saber de fundamental importÂncia.
O professor, por outro lado, consciente de
que não consegue alcançar resultados satisfatórios
junto a seus alunos e tendo dificuldades de, por si só,
repensar satisfatoriamente seu fazer pedagógico
procura novos elementos - muitas vezes, meras
receitas de como ensinar determinados conteúdos -
que, acredita, possam melhorar este quadro. Uma
evidência disso é, positivamente, a participação cada
vez mais crescente de professores nos encontros,
conferências ou cursos.
São nestes eventos que percebemos o
grande interesse dos professores pelos materiais
didáticos e pelos jogos. As atividades programadas
que discutem questões relativas a esse tema são as
mais procuradas. As salas ficam repletas e os
professores ficam maravilhados diante de um novo
material ou de um jogo desconhecido. Parecem
encontrar nos materiais a solução - a fórmula mágica-
para os problemas que enfrentam no dia-a-dia da
sala de aula.
O professor nem sempre tem clareza das
razões fundamentais pelas quais os materiais ou
jogos são importantes para o ensino-aprendizagem
da matemática e, normalmente são necessários, e
em que momento devem ser usados.
Geralmente costuma-se justificar a
importÂncia desses elementos apenas pelo caráter
"motivador" ou pelo fato de se ter "ouvido falar" que o
ensino da matemática tem de partir do concreto ou,
ainda, porque através deles as aulas ficam mais
alegres e os alunos passam a gostar da matemática.
Entretanto, será que podemos afirmar que o
material concreto ou jogos pedagógicos são
realmente indispensáveis para que ocorra uma
efetiva aprendizagem da matemática?
Pode parecer, a primeira vista, que todos
concordem e respondam sim a pergunta. Mas isto
não é verdade. Um exemplo de uma posição
divergente é colocada por Carraher & Schilemann
(1988), ao afirmarem, com base em suas pesquisas,
que "não precisamos de objetos na sala de aula, mas
de objetivos na sala de aula, mas de situações em
que a resolução de um problema implique a utilização
dos princípios lógico-matemáticos a serem
ensinados" (p. 179). Isto porque o material "apesar
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de ser formado por objetivos, pode ser considerado
como um conjunto de objetos 'abstratos' porque
esses objetos existem apenas na escola, para a
finalidade de ensino, e não tem qualquer conexão
com o mundo da criança" (p. 180). Ou seja, para
estes pesquisadores, o concreto para a criançanão
significa necessariamente os materiais
manipulativos, mas as situações que a criança tem
que enfrentar socialmente.
As colocações de Carraher & Schilemann
nos servem de alerta: não podemos responder sim
aquelas questões sem antes fazer uma reflexão
mais profunda sobre o assunto.
Com efeito, sabemos que existem
diferentes propostas de trabalho que possuem
materiais com características muito próprias, e que
os utilizam também de forma distinta e em
momentos diferentes no processo ensino-
aprendizagem.
Qual seria a razão para a existência desta
diversidade?
Na verdade, por trás de cada material, se
esconde uma visão de educação, de matemática,
do homem e de mundo; ou seja, existe, subjacente
ao material, uma proposta pedagógica que o
justifica.
O avanço das discussões sobre o papel e a
natureza da educação e o desenvolvimento da
psicologia, ocorrida no seio das transformações
sociais e políticas contribuíram historicamente para
as teorias pedagógicas que justificam o uso na sala
de aula de materiais "concretos" ou jogos fossem,
ao longo dos anos, sofrendo modificações e
tomando feições diversas.
Até o séc. XVI, por exemplo, acreditava-se
que a capacidade de assimilação da criança era
idêntica ã do adulto, apenas menos desenvolvida. A
criança era considerada um adulto em miniatura.
Por esta razão, o ensino deveria acontecer de
forma a corrigir as deficiências ou defeitos da
criança. Isto era feito através da transmissão do
conhecimento. A aprendizagem do aluno era
considerada passiva, consistindo basicamente em
memorização de regras, formulas, procedimentos
ou verdades localmente organizadas. Para o
professor desta escola - cujo o papel era o de
transmissor e expositor de um conteúdo pronto e
acabado - o uso de materiais ou objetos era
considerado pura perda de tempo, uma atividade
que perturbava o silêncio ou a disciplina da classe.
Os poucos que os aceitavam e utilizavam o faziam
de maneira puramente demonstrativa, servindo
apenas de auxiliar a exposição, a visualização e
memorização do aluno. Exemplos disso são: o
flanelógrafo, as réplicas grandes em madeira de
figuras geométricas, desenhos ou cartazes fixados
nas paredes... Em síntese, estas constituem as
bases do chamado "Ensino Tradicional" que existe
até hoje em muitas de nossas escolas.
Já no séc. XVII, este tipo de ensino era
questionado. Comenius (1592-1671) considerado o
pai da Didática, dizia em sua obra "Didática Magna"
(1657) que "...ao invés de livros mortos, por que não
podemos abrir o livro vivo da natureza? Devemos
apresentar a juventude as próprias coisas, ao invés
das suas sombras" (Ponce, p.127).
No séc. XVIII, Rousseau (1727 - 1778), ao
considerar a Educação como um processo natural do
desenvolvimento da criança, ao valorizar o jogo, o
trabalho manual, a experiência direta das coisas,
seria o percursor de uma nova concepção de escola.
Uma escola que passa a valorizar os aspectos
biológicos e psicológicos do aluno em
desenvolvimento: o sentimento, o interesse, a
espontaneidade, a criatividade e o processo de
aprendizagem, as vezes priorizando estes aspectos
em detrimento da aprendizagem dos conteúdos.
Ë no bojo dessa nova concepção de
educação e de homem que surgem, primeiramente,
as propostas de Pestalozzi (1746 - 1827) e de seu
seguidor Froebel (1782 - 1852). Estes foram os
pioneiros na configuração da "escola ativa".
Pestalozzi acreditava que uma educação seria
verdadeiramente educativa se proviesse da atividade
dos jovens. Fundou um internato onde o currículo
adotado dava ênfase à atividades dos alunos como
canto, desenho, modelagem, jogos, excursões ao ar
livre, manipulação de objetos onde as descrições
deveriam preceder as definições; o conceito
nascendo da experiência direta e das operações
sobre as coisas [ 4, pp. 17 - 18].
Posteriormente, Montessori (1870 - 1952) e
Decroly (1871 - 1932), inspirados em Pestalozzi iriam
desenvolver uma didática especial (ativa) para a
matemática.
A médica e educadora italiana, Maria
Montessori, após experiências com crianças
excepcionais, desenvolveria, no início deste século,
vários materiais manipulativos destinados a
aprendizagem da matemática. Estes materiais, com
forte apelo a "percepção visual e tátil", foram
posteriormente estendidos para o ensino de classes
normais. Acreditava não haver aprendizado sem
ação: "Nada deve ser dado a criança, no campo da
matemática, sem primeiro apresentar-se a ela uma
situação concreta que a leve a agir, a pensar, a
experimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na
abstração" (Azevedo, p. 27)
Entre seus materiais mais conhecidos
destacamos: "material dourado", os "triÂngulos
construtores" e os "cubos para composição e
decomposição de binômios, trinômios".
Decroly, no entanto, não põe nada na mão da
criança materiais para que ela construa mas sugere
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como ponto de partida fenômenos naturais (como o
crescimento de uma planta ou a quantidade de
chuva recolhida num determinado tempo, para por
exemplo, introduzir medições e contagem). Ou seja,
parte da observação global do fenômeno para, por
análise, decompô-lo.
Castelnuovo (1970) denomina o método
Decroly de "ativo - analítico" enquanto que o de
Montessori de "ativo - sintético" (sintético porque
construtivo). Em ambos os métodos falta, segundo
Castelnuovo, uma "certa coisa" que conduz a
criança à indução própria do matemático. é com
base na teoria piageteana que aponta para outra
direção: A idéia fundamental da ação é que ela seja
reflexiva..."que o interesse da criança não seja
atraído pelo objeto material em si ou pelo ente
matemático, senão pelas operações sobre o objeto
e seus entes. Operações que, naturalmente, serão
primeiro de caráter manipulativo para depois
interiorizar-se e posteriormente passar do concreto
ao abstrato. Recorrer a ação, diz Piaget, não
conduz de todo a um simples empirismo, ao
contrário, prepara a dedução formal ulterior, desde
que tenha presente que a ação, bem conduzida,
pode ser operatória, e que a formalização mais
adiantada o é também" [4, pp. 23-28].
Assim interpreta Castelnuovo, o 'concreto'
deve ter uma dupla finalidade : "exercitar as
faculdades sintéticas e analíticas da criança" ;
sintética no sentido de permitir ao aluno construir o
conceito a partir do concreto; analítica por que,
nesse processo, a criança deve discernir no objeto
aqueles elementos que constituem a globalização.
Para isso o objeto tem de ser móvel, que possa
sofrer uma transformação para que a criança possa
identificar a operação - que é subjacente [4, pp. 82 -
91]
Resumindo, Castelnuovo defende que "o
material deverá ser artificial e também ser
transformável por continuidade" (p. 92). Isto porque
recorrermos aos fenômenos naturais, como sugere
Decroly, nele há sempre continuidade, porém, são
limitados pela própria natureza e não nos levam a
extrapolar, isto é, a idealizar o fenômeno por outro
lado, podem conduzir ã idéia de infinito, porem lhes
faltam o caráter de continuidade e do movimento (p.
92).
Para contrapor ao que acabamos de ver,
gostaríamos de dizer algumas palavras sobre outra
corrente psicológica: o behaviorismo, que também
apresenta sua concepção de material, e
principalmente, de jogo pedagógico. Segundo
Skinner (1904), a aprendizagem é uma mudança de
comportamento (desenvolvimento de habilidades ou
mudanças de atitudes) que decorre como resposta
a estímulos esternos, controlados por meio de
reforços. A matemática, nesta perspectiva, é vista,
muitas vezes, como um conjunto de técnicas,
regras, fórmulas e algoritmos que os alunos tem de
dominar para resolver os problemas que o mundotecnológico apresenta.
Os Métodos de ensino enfatizam, além de
técnicas de ensino como instrução programada
(estudo através de fichas ou módulos instrucionais) o
emprego de tecnologias modernas audiovisuais
(retroprojetor, filmes, slides ...) ou mesmo
computadores.
Os jogos pedagógicos, nesta tendência,
seriam mais valorizados que os materiais concretos.
Eles podem vir no início de um novo conteúdo com a
finalidade de despertar o interesse da criança ou no
final com o intuito de fixar a aprendizagem e reforçar
o desenvolvimento de atitudes e habilidades.
Para Irene Albuquerque (1954) o jogo
didático "..,serve para fixação ou treino da
aprendizagem. é uma variedade de exercício que
apresenta motivação em si mesma, pelo seu objetivo
lúdico... Ao fim do jogo, a criança deve ter treinado
algumas noções, tendo melhorado sua
aprendizagem" (p. 33)
Veja também a importÂncia dada ao jogo na
'formação educativa' do aluno "... através do jogo ele
deve treinar honestidade, companheirismo, atitude de
simpatia ao vencedor ou ao vencido, respeito as
regras estabelecidas, disciplina consciente, acato às
decisões do juiz..." (Idem, p. 34)
Esta diversidade de concepções acerca dos
materiais e jogos aponta para a necessidade de
ampliar nossa reflexão.
Queremos dizer que, antes de optar por um
material ou um jogo, devemos refletir sobre a nossa
proposta político-pedagógica; sobre o papel histórico
da escola, sobre o tipo de aluno que queremos
formar, sobre qual matemática acreditamos ser
importante para esse aluno.
O professor não pode subjugar sua
metodologia de ensino a algum tipo de material
porque ele é atraente ou lúdico. Nenhum material é
válido por si só. Os materiais e seu emprego sempre
devem, estar em segundo plano. A simples
introdução de jogos ou atividades no ensino da
matemática não garante uma melhor aprendizagem
desta disciplina.
Ë freqüente vermos em alguns professores
uma mistificação dos jogos ou materiais concretos.
Até mesmo na Revista "Nova Escola" esta
mistificação, pode ser percebida como mostra o
seguinte fragmento: "Antes a matemática era o terror
dos alunos. Hoje ... as crianças adoram porque se
divertem brincando, ao mesmo tempo que aprendem
sem decoreba e sem traumas..." Mariana Manzela (8
anos) confirma isto : "é a matéria que eu mais gosto
porque tem muitos jogos" [ No.39, p. 16].
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Ora, que outra função tem o ensino de
matemática senão o ensino da matemática? Ë para
cumprir esta tarefa fundamental que lançamos mão
de todos os recursos que dispomos.
Ao aluno deve ser dado o direito de
aprender. Não um 'aprender' mecÂnico, repetitivo,
de fazer sem saber o que faz e por que faz. Muito
menos um 'aprender' que se esvazia em
brincadeiras. Mas um aprender significativo do qual
o aluno participe raciocinando, compreendendo,
reelaborando o saber historicamente produzido e
superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada
e parcial da realidade.
O material ou o jogo pode ser fundamental
para que isto ocorra. Neste sentido, o material mais
adequado, nem sempre, será o visualmente mais
bonito e nem o já construído. Muitas vezes, durante
a construção de um material o aluno tem a
oportunidade de aprender matemática de forma
mais efetiva.
Em outro momentos, o mais importante não
será o material, mas sim, a discussão e resolução
de uma situação problema ligada ao contexto do
aluno, ou ainda, à discussão e utilização de um
raciocínio mais abstrato.
SOFTWARES EDUCACIONAIS
Uma Pletora de Poliedros
geometria espacial, poliedros, a fórmula de Euler,
dualidade, seções planas, planificação, truncamento
e estrelamento, JavaView. Nível: ensino médio.
Projeções em Perspectiva
geometria espacial, projeções em perspectiva,
objetos impossíveis, JavaView. Nível: ensino médio.
Projeções Ortogonais
geometria espacial, projeções ortogonais, curvas no
espaço, nós, poliedros equiprojetivos, JavaView.
Nível: ensino médio.
Trip-Lets
geometria espacial, projeções ortogonais,
permutações, vocabulário, JavaView. Nível: ensino
médio.
Os Sólidos Platônicos
geometria espacial, sólidos platônicos, JavaView.
Nível: ensino médio.
Mysterium Cosmographicum
geometria espacial, sólidos platônicos, esferas
inscritas e circunscritas, modelo de Kepler para o
universo, JavaView. Nível: ensino médio.
Jogo da Tomografia
geometria espacial, poliedros, corpos redondos, toro,
superfícies poliédricas, seções planas, JavaView.
Nível: ensino médio.
Superfícies e Sólidos de Revolução
geometria espacial, superfícies e sólidos de
revolução, simetria, volumes, método da exaustão,
funções, funções definidas por partes, JavaView.
Nível: ensino médio.
Jogo da Classificação dos Triângulos
geometria do triângulo, coordenadas no plano,
geometria analítica, geometria discreta, GeoGebra.
Nível: ensino médio.
MATEMÁTICA
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Jogo da Classificação dos Quadriláteros
geometria dos quadriláteros, coordenadas no
plano, geometria analítica, geometria discreta,
lógica matemática, GeoGebra. Nível: ensino médio.
O Número de Ouro
o número de ouro, razão áurea, razão e proporção,
sequência de Fibonacci, matemática e artes,
matemática e biologia, GeoGebra. Nível: ensino
médio.
Pavimentação com Polígonos Regulares
polígonos regulares, ângulos internos, ângulos
centrais, círculo circunscrito, círculo inscrito,
pavimentação, mosaicos, contagem, sistemática,
GeoGebra. Nível: ensino médio.
Demonstrações Sem Palavras
geometria, álgebra, visualização, argumentação,
GeoGebra. Nível: ensino médio.
Anatomia de Uma Função Quadrática
função quadrática, raízes, parábola, foco, diretriz,
vértice, forma padrão, GeoGebra. Nível: ensino
médio. Nível: ensino médio.
A Expansão Decimal de Um Número
reta numérica, expansão decimal, frações
irredutíveis, dízimas periódicas, GeoGebra. Nível:
ensino médio.
Como b depende de a?
funções reais, relação entre álgebra e geometria,
reta numérica, GeoGebra. Nível: ensino médio.
Funções Trigonométricas
função de Euler, medidas de ângulos, funções
trigonométricas, GeoGebra. Nível: ensino médio.
Epiciclos e Interpolação Trigonométrica
funções trigonométricas, movimentos circulares,
epiciclos, astronomia, interpolação, DFT, séries de
Fourier, números racionais e irracionais, GeoGebra.
Nível: ensino médio.
Matrizes e Imgens Digitais
matrizes, operações com índices, simetrias. Nível:
ensino médio.
Estatística das Letras, Palavras e Períodos
distribuições de frequências, variáveis qualitativas,
variáveis quantitativas, histogramas, média, mediana,
moda, variância, desvio padrão, mineração de textos,
linguística computacional. Nível: ensino médio.
Rodas da Fortuna
simulação, distribuições de frequências,
histogramas, probabilidade, método de Monte Carlo,
números aleatórios, números pseudoaleatórios,
congruência de números inteiros, a agulha de Buffon.
Nível: ensino médio.
Projeto Ótimo
funções reais, modelagem, problemas de
otimização. Nível: ensino médio.
O Triângulo de Pascal
coeficientes binomiais, triângulo de Pascal, triângulo
de Sierpinski. Nível: ensino médio.
Distribuições de Frequências e Seus Gráfico
distribuições de frequências,variáveis qualitativas,
variáveis quantitativas discretas e contínuas,
histogramas. Nível: ensino médio.
Pesquisas Estatísticas no Dia a Dia
pesquisas estatísticas, pesquisas por amostragem,
censos. Nível: ensino médio.
Medidas de Posição
média, mediana, moda, assimetria, valores atípicos.
Nível: ensino médio.
Medidas de Dispersão
desvio médio absoluto, variância, desvio padrão,
coeficiente de variação. Nível: ensino médio.
Probabilidade: Dois Dados
experimento aleatório, eventos equiprováveis,
operações com eventos, probabilidade. Nível: ensino
médio.
Probabilidade: Eventos Equiprováveis
experimento aleatório, eventos equiprováveis,
operações com eventos, probabilidade. Nível: ensino
médio.
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Taxas e Índices
combinação, permutação, jogo de dados. Nível:
ensino médio.
Razão e Porcentagem
razão, porcentagem, frações equivalentes, taxas,
índices. Nível: ensino médio.
Matemática Financeira: Juros
juros copostos, taxas, índices. Nível: ensino médio.
Matemática Financeira: Aplicações
juro composto, rendimento da poupança, inflação.
Nível: ensino médio.
Gráficos e Suas Escalas
histograma, gráficos de colunas e de linhas,
escalas. Nível: ensino médio.
Probabilidade: diagramas de árvore
teorema da probabildidade total, probabilidade
condicional, diagrama de árvore. Nível: ensino
médio.
Conhecendo o Boxplot
quartis, resumo dos cinco números, boxplot. Nível:
ensino médio.
Construindo Boxplots
quartis, resumo dos cinco números, boxplot. Nível:
ensino médio.
Probabilidade: Lançamento de Dados
quartis, resumo dos cinco números, boxplot. Nível:
ensino médio.
Faça Sua Pesquisa
pesquisa estatística; levantamento de dados. Nível:
ensino médio.
A Geometria das Médias
médias aritmética, geométrica, harmônica,
quadrática. Nível: ensino médio.
Tangrans Pitagóricos
áreas e semelhanças de figuras, Teorema de
Pitágoras, polígonos quaisquer, semicírculos. Nível:
ensino médio.
Jogos Artísticos Geométricos
regularidade, congruência e posicionamento de
figuras planas, polígonos equivalentes. Nível: ensino
médio.
Variação da Função Afim
função afim, variação, sequências, polinômios,
progressão aritmética, GeoGebra. Nível: ensino
médio.
Variação da Função Quadrática
função quadrática, variação, sequências, polinômios,
progressão aritmética, GeoGebra. Nível: ensino
médio.
Variação da Função Exponencial
função exponencial, variação, sequências,
progressão geométrica, GeoGebra. Nível: ensino
médio.
EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS
A Pipa Tetraédrica de Alexander Graham Bell
contagem, razão e proporção, semelhanças de
figuras geométricas espaciais, áreas e volumes,
princípio da similitude. Nível: ensino médio.
Tangrans Pitagóricos Concretos e Virtuais
áreas e semelhanças de figuras, Teorema de
Pitágoras, polígonos quaisquer, semicírculos. Nível:
ensino médio.
Tangrans Geométricos Especiais Concretos e
Virtuais
regularidades, semelhanças, figuras equivalentes.
Nível: ensino médio.
Jogos Artísticos Geométricos Concretos e Virtuais
regularidade, congruência e posicionamento de
figuras planas, polígonos equivalentes. Nível: ensino
médio.
MATEMÁTICA
Central de Atendimento: (91) 3278-5713 / 8163-1764 ou pelo site: www.apostilasautodidata.com.br Página 135
Polígonos Equivalentes Modelando
regularidade, congruência e posicionamento de
figuras planas, áreas e polígonos equivalentes.
Nível: ensino médio.
Cônicas
lugares geométricos muito especiais, curvas
envolventes, parábolas, elipses, hipérboles. Nível:
ensino médio.
Cônicas como Curvas Luminosas
superfícies de revolução, seções planas do cone e
do cilindro, cônicas. Nível: ensino médio.
Sólidos e Superfícies de Revolução
congruências, semelhanças; sólidos e superfícies
de revolução, volumes.
Poliedros de Platão e Seus Duais
poliedros de Platão, poliedros duais, cálculo e
planificações de arestas. Nível: ensino médio.
Função Simetria Axial Plana
involução, simetria axial, interações com a biologia
e física. Nível: ensino médio.
Elementos Básicos de Trigonometria
razões trigonométricas, teodolitos, aplicações.
Nível: ensino médio.
Visualizando e Modelando Poliedros de Mesmo
Volume
arestas de poliedros, móbiles, volumes de
poliedros, desenho. Nível: ensino médio.
ATIVIDADES DE ÁUDIO
Matemática e Natureza
sequência de Fibonacci, filotaxia, espiral logarítmica,
princípio da similitude, proporções, volumes, áreas,
máximos e mínimos, modelagem, operações,
psicologia, biologia matemática. Nível: ensino médio.
Grandes Temas e Problemas da Matemática
caos, sistemas dinâmicos, iterações de funções,
combinatória, teoria dos grafos, teoria dos números.
Nível: ensino médio.
Curiosidades Matemáticas
Gauss, progressões aritméticas, progressões
geométricas, números primos, criptografia,
sequências, infinito. Nível: ensino médio.