Text Material Preview
EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.EXERCÍCIOS.
AULA 01.AULA 01.AULA 01.AULA 01.
1a Questão (Ref.: 201309030162)
Sabendo que vale a soma das matrizes:
[x1-5y]+[41-53]=[32-106]
Determinar os valores de x e y, respectivamente:
-3 e 1
-1 e -3
3 e -1
1 e -3
-1 e 3
2a Questão (Ref.: 201309030169)
Seja A = [124-3] determinar f(A), onde f(x) = 2x3 ¿ 4x + 5.
[-1352117-117]
[-1352104-117]
[-103502104-117]
[-35104-117]
[-1050104-117]
3a Questão (Ref.: 201309072362)
Nas matrizes
A1=[223552181520411442] e A2=[273161405043213719],
cada elemento aij da matriz Ap representa o número de alunos que um
professor iaprovou numa turma j durante o ano p. Assim, durante os dois anos considerados,
quantos alunos o professor 2 aprovou da turma 3?
66
51
43
61
63
4a Questão (Ref.: 201309030170)
Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique [x2x-1y-2y2-3]=I
x=1 e y=2
x=2 e y=1
x=1 e y=1
x=0 e y=0
x=2 e y=2
5a Questão (Ref.: 201309030165)
Uma confecção vai fabricar 3 modelos de vestidos utilizando materiais diferentes.
Considere a matriz A = aij, em que aij representa quantas unidades do material j
serão empregadas para fabricar um modelo de vestido do tipo i.
A = [502013421]
Qual é a quantidade total de unidades do material 3 que será empregada para fabricar três
vestidos do tipo 2?
12
20
6
9
18
6a Questão (Ref.: 201309030164)
Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática,
física e química.
Português Matemática Física Química
João 8 3 6 5
Maria 7 5 4 3
José 5 7 8 2
Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos,
determine a soma dos elementos a12, a22,a32 da matriz A.
10
20
15
12
18
AULA 02.AULA 02.AULA 02.AULA 02.
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030128)
Dizemos que uma matriz XXXX é uma Raiz Quadrada de uma matriz AAAA se X . X = AX . X = AX . X = AX . X = A ....
Sendo A =A =A =A = [2009] , temos:
duas matrizes XXXX1111 e XXXX2222 distintas
quatro matrizes XXXX1111 , XXXX2222 , XXXX3333 e XXXX4444 coincidentes duas a duas
a matriz XXXX inexistente
quatro matrizes XXXX1111 , XXXX2222 , XXXX3333 e XXXX4444 distintas
uma única matriz XXXX
2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029764)
O cálculo de AAAA x BBBB , sendo AAAA = [1 2 3] e BBBB = [-3 0 -2]t , é obtido por:
(1-3)(2+0)(3-2) = -4
[1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)] = [ -9] = -9
(1-2)(2+0)(3-3) = 0
[(1-3) (2-0) (3-2)] = [-2 2 1]t
[1x (-3) 2x0 3x(-2)] = [-3 0 -6]
3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309072655)
Seja A a matriz A=[2-12yx0z-1432].
Considere que A é uma matriz simétrica.
Determine uma matriz X sabendo que X+2At = 3I, onde At é a transposta da matriz A e I é
a matriz identidade de ordem 3.
[34-123-6-2-33]
[-12-823-6-8-6-4]
[12-823-6-8-6-3]
[-1-2-823-6-8-6-4]
[-3-2-82-1-6-8-6-3]
4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030172)
Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes.
[2013] [-1102]
2
0
5
7
6
5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030175)
Suponha que tenhamos dois alunos X e Y que obtiveram as seguintes notas nos meses de
março e abril:
março Português Matemática Física
Aluno X 7 6 6
Aluno Y 6 4 5
Podemos ter matrizes representativas das notas de cada aluno nos dois meses: A e B,
respectivamente. Determinando a matriz que representa as médias de cada aluno em cada
uma das matérias, obtemos:
Média Português Matemática Física
Aluno X 6,5 4 5
Aluno Y 5,5 4 5,5
Média Português Matemática Física
Aluno X 6,5 4,5 5
Aluno Y 5,5 4,5 5,5
Média Português Matemática Física
Aluno X 6,5 4,5 5
Aluno Y 5 4,5 5
Média Português Matemática Física
Aluno X 7,5 4,5 5
Aluno Y 5,5 5 5,5
Média Português Matemática Física
Aluno X 6 4 5
Aluno Y 5,5 4,5 5,5
6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070871)
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados
segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a
matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes
ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha
representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem
o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se
afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a:
102 e 63
140 e 62
63 e 55
74 e 55
87 e 93
AULA 03.AULA 03.AULA 03.AULA 03.
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030893)
Considere as matrizes A=[abc532246] e B=[a51b32c23] de determinantes não nulos.
Apresente uma relação entre os determinantes das matrizes A e B.
det A = det B
det A = 2 det B
det B = 2det A
det A = 3det B
det A = -det B
2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309070881)
Para encontrar o valor referente ao número de pessoas que não possui automóvel, em
pequeno município do estado de Goiás, um centro de pesquisa teve que resolver o
determinante abaixo representado. Após a solução pela regra de Cramer, foi verificado que o
número de habitantes que não possui automóvel é igual a :
1002 pessoas
102 pessoas
1020 pessoas
10 200 pessoas
12 000 pessoas
3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030999)
Dada a matriz [1000010000100012] calcule o valor de det (10A-1)
2
5
1/2
20
10
4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030139)
Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes
nos pontos (1, 0, -2), (1, 2, 4) e (7, 1, 0)
c) 26
b) 24
a) 22
e) 30
d) 28
5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030964)
Alexandre Teophile Vandermonde foi um matemático francês do século XVIII. Foi, também,
músico e químico. O seu nome está associado a uma matriz especial: a matriz de
Vandermonde, que é uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, com n linhas e n colunas, cujas
linhas apresentam potências consecutivas. Assim:
[[1,1,1,...],[a1,a2,a3,...,an],[a12,a22,a32,...,an2],[...],[a1n,a2n,a3n,...,ann]]
[1 1 a b] é a matriz de Vandermonde de 2ª ordem ;
[1 1 1 a b c a2 b2 c2] é a matriz de Vandermonde de 3ª ordem e assim sucessivamente.
Resolva o determinante da matriz de Vandermonde de 3ª ordem.
(a-b-c)(b-c)
(c-a)(c-b)(b-c)
(a-b)(b-c)(c-a)
(b-a)(b-c)
(a-b)(a-c)
6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030133)
Calcule o determinante da matriz quadrada A dada abaixo:
A= [9 1 9 9 9 9 0 9 9 2 4 0 0 5 0 9 0 3 9 0 6 0 0 7 0]
c) det A= 9
a) det A = 12
d) det A = 18
e) det A = -18
b) det A = -12
AULA 04.AULA 04.AULA 04.AULA 04.
1.1.1.1.
Considere a matriz 3x3 A=[1 a 3 5 2 6 -2 -1 -3]. Determine o valor de a para que a
matriz A não admita inversa.
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 12
5
4
1
3
2.2.2.2.
As matrizes A=[1 m 1 3] e B=[p -2 -1 1] são inversas. Calcule os valores de m e p. Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2
m=3 e p=2
m=2 e p=3
m=1 e p=2
m=2 e p=1
m=3 e p=1
3.3.3.3.
Sejam A = [25-1-324] e B = [13110-1]. Calcule A.B e marque a alternativa
correta.
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3
A.B = I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 . A é dita inversível, porém B não é a sua
inversa, visto que B é uma matriz 2x3
A.B = I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 e A é dita inversível e B é a sua inversa
A.B não existe
A.B = I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2 , porém, A não é dita inversível, visto que A é
uma matriz 3x2
A.B ≠ I2 , sendo I2 a matriz identidade 2x2
4.4.4.4.
Considere as afirmações
I - Se ABABABAB = IIII, então AAAA é inversível
II - Se AAAA é inversível e kkkk é um número real diferente de zero, então (kA)(kA)(kA)(kA)----1111= kAkAkAkA----1111
III - Se AAAA é uma matriz 3x3 e a equação AXAXAXAX = [100] tem solução única, então AAAA é
inversìvel
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4
I é verdadeira, II e III são falsas
I e II são falsas, III é verdadeira
I, II e III são verdadeiras
I, II e III são falsas
I e III são verdadeiras, II é falsa
5.5.5.5.
Diz-se que uma matriz A é não singular ou inversível se admite inversa. Verifique se
a matriz quadrada A=[1a3526-2-1-3] é não singular. Caso seja, calcule a inversa.
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5
A é não inversível
A é não singular e sua inversa é A-1= [012-11-31313-23]
A é não singular e sua inversa é A-1 = [012-1-1-31-1-2]
A é não singular e sua inversa é A-1= [012-1-1-313-13-23]
A é singular
6.6.6.6.
Determinar a condição da variável K para que a Matriz abaixo seja inversível.
[23-21K23-14]
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6
K=0
K≠67
K=67
K≠-67
K=-67
AULA 05.AULA 05.AULA 05.AULA 05.
1.1.1.1.
Durante um ano, Vicente economizou parte do seu salário, o que totaliza
R$100.000,00. Sendo um jovem com boa visão para os negócios, resolve investir
suas economias em um negócio relacionado à área alimentícia que deverá resultar
em um rendimento de R$9400,00, sobre seus investimentos anuais. A aplicação
oferece um retorno de 4% ao ano e o título, 10%. O valor para ser investido é
decidido pelo investidor e um valor y, obrigatório, é decidido pelo acionista
principal da empresa. Com base nessas informações, é possível calcular os valores
de x e y, resolvendo-se um sistema de duas equações dado por :
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1
É correto afirmar que os valores de x e y são respectivamente iguais a:
30.000 e 70.000
10.000 e 90.000
60.000 e 40.000
65.000 e 35.000
80.000 e 20.000
2.2.2.2.
Para qual(is) valor(es) da constante KKKK o sistema, abaixo indicado, não tem solução.
xxxx ---- yyyy = 5= 5= 5= 5
2x 2x 2x 2x ---- 2y =2y =2y =2y = KKKK
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2
K = 0K = 0K = 0K = 0
KKKK ≠≠≠≠ 10101010
KKKK ≠≠≠≠ ----10101010
K = 10K = 10K = 10K = 10
K = K = K = K = ----10101010
3.3.3.3.
Um estudante de engenharia analisou um circuito elétrico e formulou o seu
funcionamento por meio das três equações abaixo. Calcule o valor da corrente
elétrica representada pela variável I2.
I1 - 2I2 +3I3 = 6
-2I1 – I2 + 2I3 = 2
2I1 + 2I2 + I3 = 9
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3
0
1
-1
2
-2
4.4.4.4.
Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma
das idades de duas pessoas totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas
pessoas é igual a 20. Abaixo está representado o sistema referente a essa situação. É
correto afirmar que a idade da pessoa mais velha corresponde a :
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4
76 anos
82 anos
60 anos
50 anos
58 anos
5.5.5.5.
(UERJ - 2000, adaptada)
Uma indústria produz 3 tipos de cornetas. A tabela indica os preços praticados para
uma produção total de 100 unidades
tipo
quantidade
produzida
custo de produção
por unidade
preço de venda
por unidade
1 xxxx 2,00 3,00
2 yyyy 4,00 5,00
3 zzzz 5,00 pppp
total 100 320,00 460,00
As quantidades x,x,x,x, yyyy e zzzz são números naturais, diferentes de zero. Sendo pppp um
número inteiro tal que 6 < p < 116 < p < 116 < p < 116 < p < 11 , os possíveis valores de pppp são:
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5
p =p =p =p = 7777 eeee p = 9p = 9p = 9p = 9
p = 7,p = 7,p = 7,p = 7, p = 8,p = 8,p = 8,p = 8, e p = 10p = 10p = 10p = 10
p = 7p = 7p = 7p = 7
7777 ≤≤≤≤ pppp ≤≤≤≤ 10101010
p = 8p = 8p = 8p = 8 eeee p = 10p = 10p = 10p = 10
6.6.6.6.
(PUC-SP)
A solução do Sistema
(a(a(a(a----1)x1)x1)x1)x1111 + bx+ bx+ bx+ bx2222 = 1= 1= 1= 1
(a+1)x(a+1)x(a+1)x(a+1)x1111 + 2bx+ 2bx+ 2bx+ 2bx2222 = 5= 5= 5= 5, são respectivamente: xxxx1111 = 1= 1= 1= 1 e xxxx2222 = 2= 2= 2= 2 . Logo,
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6
a=1a=1a=1a=1 e b=0b=0b=0b=0
a=1a=1a=1a=1 e b=2b=2b=2b=2
a=0a=0a=0a=0 e b=0b=0b=0b=0
a=0a=0a=0a=0 e b=1b=1b=1b=1
a=2a=2a=2a=2 e b=0b=0b=0b=0
SIMULADO 01.SIMULADO 01.SIMULADO 01.SIMULADO 01.
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309022850) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
Resolva a equação abaixo, sabendo que o elemento A é a matriz dada.
X = A2 + 2(A.A) + A.A-1
1 0 -1
A = -1 1 0
0 -2 1
4 7 2
X = -6 1 9
0 -1 2
1 2 -3
X = -1 4 3
0 -12 14
4 6 -6
X = -6 4 3
2 -12 4
5 6 -8
X = -3 3 3
-1 -12 10
5 7 -2
X = -1 4 3
0 -12 14
2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029952) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
Considere as afirmações
I - Se ABABABAB = IIII, então AAAA é inversível
II - Se AAAA é inversível e kkkk é um número real diferente de zero, então (kA)(kA)(kA)(kA)----1111= kAkAkAkA----1111
III - Se AAAA é uma matriz 3x3 e a equação AXAXAXAX = [100] tem solução única, então AAAA é inversìvel
I e III são verdadeiras, II é falsa
I, II e III são verdadeiras
I, II e III são falsas
I e II são falsas, III é verdadeira
I é verdadeira, II e III são falsas
3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029764) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
O cálculo de AAAA x BBBB , sendo AAAA = [1 2 3] e BBBB = [-3 0 -2]t , é obtido por:
[(1-3) (2-0) (3-2)] = [-2 2 1]t
(1-3)(2+0)(3-2) = -4
(1-2)(2+0)(3-3) = 0
[1x(-3) + 2x0 + 3x(-2)]= [ -9] = -9
[1x (-3) 2x0 3x(-2)] = [-3 0 -6]
4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029758) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
Considere a matriz AAAA, nxnnxnnxnnxn, Se duas linhas (ou duas colunas) de AAAA forem proporcionais, então,
o determinante da matriz AAAA é:
igual a zero
um número real diferente de zero e igual à constante de proporcionalidade
inexistente
um número real diferente de zero
igual ao número n
5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026109) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
Calcule o A.B.
A=[10-12] B=[2-112]
[2-105]
[0-105]
[1-104]
[1-105]
[2-125]
6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029891) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
Se AAAA é uma matriz 2x3 e BBBB é uma matriz 3x4, então
BABABABA é uma matriz 4x2
ABABABAB é uma matriz 2x4
ABABABAB não está definida
BABABABA é uma matriz 3x3
ABABABAB é uma matriz 3x3
7777aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029799) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
Calcule o determinante da matriz A, considerando que, α ε IR.
cos α sen α
A =
sen α cos α
1
cos2 α - sen2 α
cos α x sen α
tg α
2cos α x sen α
8888aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029766) Pontos: 1,01,01,01,0 / 1,01,01,01,0
O determinante da matriz AAAA = [aaaaijijijij] , 3x3, onde:
aaaaijijijij = i i i i ---- jjjj , se iiii <<<< jjjj e aaaaijijijij = iiii + j+ j+ j+ j , se iiii >>>> jjjj é igual a
34
-34
-26
26
0
9999aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309054462)
Sendo A uma matriz, demonstre que se A é antissimétrica, então A2 é simétrica.
Sua Resposta:
Compare com a sua resposta: (A2)T = (A.A)T = AT.AT = (-A).(-A) = A2
10101010aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309053023)
Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o desenvolvimento de Laplace.
Sua Resposta: Det = -1. (-1)^5 . [2 -1 1 4] + 3.(-1)^4.[1 4 -2 3] = -1.(-1).(7) + 3.(1).(-5) = 7 -
15 = -8
Compare com a sua resposta:
Escolhendo a terceira linha, temos: -2.(-1)4.[(-1).(-1)-3.4]+3.(-1)5.[2.(-1)-3.1]+0.(-1)6.[2.4-(-
1).1]=-2.(-11)-3.(-5)+0=22+15=37
AULA 06.AULA 06.AULA 06.AULA 06.
1.1.1.1.
O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa
que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de
processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas
de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado.
Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem,
respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas:
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1
2, 3, 1
1, 2, 3
4, 5, 1
2, 1, 3
1, 4, 5
2.2.2.2.
Resolva o sistema linear não homogêneo e determineo valor da soma das
incógnitas :
x+2y+2z=-1
x+3y+2z=3
x+3y+z=4
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2
3
-4
4
-3
10
3.3.3.3.
Sejam os vetores vvvv1111 =[13-1] , vvvv2222 =[-5-82] e bbbb =[3-5k] . Para que valores de k a
equação, abaixo indicada, é possível e determinada?
x vx vx vx v1111 + y v+ y v+ y v+ y v2222 = b= b= b= b
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3
K ∈ ℝ
K = 0
K ≠ 0
K = 11
K = -11
4.4.4.4.
Considere o sistema abaixo indicado e marque a alternativa correta
x x x x ---- 6666 yyyy = 5= 5= 5= 5
y y y y ---- 4 z + w = 04 z + w = 04 z + w = 04 z + w = 0
---- x + 6 y + z + 5 w = 3x + 6 y + z + 5 w = 3x + 6 y + z + 5 w = 3x + 6 y + z + 5 w = 3
---- y + 5 z + 4 w = 0y + 5 z + 4 w = 0y + 5 z + 4 w = 0y + 5 z + 4 w = 0
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4
o sistema é possível e determinado com solução: x = x = x = x = ----1;1;1;1; y = y = y = y = ----1;1;1;1; z = 1 e w = 5z = 1 e w = 5z = 1 e w = 5z = 1 e w = 5
o sistema é possível e indeterminado
o sistema é possível e determinado com solução: x = 5;x = 5;x = 5;x = 5; y = z =y = z =y = z =y = z = w =w =w =w = 0000
o sistema é possível e determinado com solução: x = 5;x = 5;x = 5;x = 5; y = 0;y = 0;y = 0;y = 0; z = 1 e w = 4z = 1 e w = 4z = 1 e w = 4z = 1 e w = 4
o sistema é impossível
5.5.5.5.
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com n equações
e n variáveis. Seja A a matriz dos coeficientes das variáveis deste sistema.
Se detA = 0 então pode-se garantir que:
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5
Este sistema não tem solução
Este sistema não admite uma única solução
Este sistema admite uma única solução
Este sistema não tem infinitas soluções
Este sistema admite infinitas soluções
6.6.6.6.
Considere um sistema de equações lineares de coeficientes reais com 3 equações
e 3 variáveis (X, Y, Z). Seja A a matriz 3x3 dos coeficientes das variáveis deste
sistema. Se o determinante de A for igual a 0 (det A= 0), então pode-se admitir
que o referido sistema:
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6
Possui três soluções distintas para cada variável
Não possui solução real para qualquer das três variáveis
Possui mais de uma solução para cada variável
Possui duas soluções distintas para cada variável
Possui uma única solução para cada variável
AULA 07.AULA 07.AULA 07.AULA 07.
1.1.1.1.
Encontre as condições em X, Y, Z de modo que (x, y, z) є R3 pertença ao espaço
gerado por r = (2, 1, 0), s= (1, -2, 2) e t = (0, 5, -4).
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1
X + Y – Z = 0
2X – 4Y – 5Z = 0
2X – 3Y + 2Z ≠ 0
2X - 3Y + 2Z = 0
2X – 4Y – 5Z ≠ 0
2.2.2.2.
Considere as seguintes afirmações:
a) Se W e S são subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V e W⊂S e W é
linearmente independente, então, S também é linearmente independente (l.i.).
b) Um conjunto unitário, cujo elemento é diferente de zero, é linearmente
independente. (l.i.).
c) A intercessão de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.
d) A união de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.
e) O subconjunto W={f : R=>R/f(1)=1} é um subespaço vetorial das funções
reais de variável real.
Assinale as afirmações verdadeiras:
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2
a,b,c
b,c,d
a,c,e
a,c,de
b,c,e
3.3.3.3.
Considere o subespaço W representado por:
{[2ca-bb -3ca+2b]} onde a, b e c pertencem aos reais.
Determine uma base e a dimensão de W.
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3
c) {(12-1-3),(-3014),(0010)} e a dim W =3
a) {(12-1-3),(-3014)} e a dim W =2
d) {(12-1-3),(-4507)} e a dim W =2
e) {(12-1-3),(-3014)} e a dim W =4
b) {(12-1),(-301)} e a dim W =2
4.4.4.4.
Considere o espaço V = R2 munido das seguintes operações assim definidas:
(a,b) + (c,d) = (ac,bd) e k.(a,b) = (ak,b), onde k é um escalar.
Apresente os axiomas de espaço vetorial que são violados.
(Lembrete: Axiomas de espaço vetorial:
S1:u+v=v+u , S2: u+(v+w)=(u+v)+w, S3: existe 0 tal que v+0=v , S4: para todo
v existe (-v) tal que v+(-v)=0 , M1: (m+n).v = m.v+n.v , M2: k.(u+v) = k.u+k.v,
M3: (m.n).v = m(n.v) , M4: 1.v = v)
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4
S3 , S4 e M2
M1 , M2 e M3
S4 e M2
S1 , S2 e M1
S2 e M3
5.5.5.5.
Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os
seguintes subconjuntos de V:
W1={A=[abcd]: det A≠0}
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5
W2={A=[a0bc]}
W3={A=[abcd]: det A=1}
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares}
W5={A=[abcd]: a,b,c,d são números racionais}
Selecione os subespaços vetoriais de V
W2 , W4 e W5
W1, W2 e W4
W2 e W5
W2 e W4
W1, W2 e W5
6.6.6.6.
Complete a afirmativa abaixo com a alternativa correta:
Os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp em um Espaço Vetorial VVVV formam uma base para VVVV se ..
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6
um dos vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp é o vetor nulo
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp geram VVVV e são linearmente independentes
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp formam um subespaço de VVVV
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp formam um subconjunto de VVVV
os vetores vvvv1111,,,, vvvv2222,,,, ... ,... ,... ,... , vvvvpppp são linearmente dependentes
AULA 08.AULA 08.AULA 08.AULA 08.
1.1.1.1.
Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,-1,3) e de v =
(2,4,0):
I - (3, 3, 3)
II - (2, 4, 6)
III - (1, 5, 6)
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1
II - III
I - III
II
I
I - II - III
2.2.2.2.
Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) é combinação linear de u = (3, 0, 2) e
de v = (2, -1, -5)
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2
K = -10
K = -2
K = 0
K = -12
K = 8
3.3.3.3.
Qual a condição para que o vetor x→=(x,y,z) seja combinação linear de v1=(1,-1)
e v2=(1,0)?
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3
x+2y=z
x-y=z
x+y=z
-x+y=z
x+y=-z
4.4.4.4.
Dados os vetores: vvvv1111 = [22-1] , vvvv2222 = [341] , vvvv3333 = [121] e vvvv4444 = [284] , marque
a alternativa correta
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4
vvvv2222 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 ,,,, vvvv3333 e vvvv4444
vvvv1111 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 , vvvv3333 e vvvv4444
vvvv4444 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 , vvvv3333 e vvvv4444
vvvv4444 é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 e vvvv3333
vvvv4444 não é combinação linear de vvvv1111 , v, v, v, v2222 e vvvv3333
5.5.5.5.
Escreva o vetor v = (5,-2) como combinação linear dos vetores v1=(1,-1) e
v2=(1,0).
Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5
3v1+3v2
3v1+2v2
-2v1+3v2
2v1+2v2
2v1+3v2
6.6.6.6.
Dado o conjunto de vetores SSSS = { ( 2, = { ( 2, = { ( 2, = { ( 2, ----5 ) , ( 5 ) , ( 5 ) , ( 5 ) , ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) }}}} e sendo WWWW o conjunto de
todos os vetores gerados por combinação linear dos vetores ( 2, ( 2, ( 2, ( 2, ----5 )5 )5 )5 ) e ( e ( e ( e ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) ,
denotado por W = Span { S }W = Span { S }W = Span { S }W = Span { S } , marque a alternativa correta
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6
os vetores ( 2, ( 2, ( 2, ( 2, ----5 )5 )5 )5 ) e e e e ( ( ( ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) estão em WWWW
os vetores ( 2, ( 2, ( 2, ( 2, ----5 )5 )5 )5 ) e e e e ( ( ( ( ----1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 )1 , 3 ) não estão em WWWW
WWWW possui 2 vetores
o vetor nulo não está em WWWW
WWWW possui uma quantidade finita de vetores
AULA 09.AULA 09.AULA 09.AULA 09.
1111aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026030)
Qual a condição para K, para que os vetores sejam Linearmente Independentes? v1 = (1, -2,
K); v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, -1, -2).
K ≠ -2
K ≠ -1
K ≠ -5
K ≠ 0
K ≠ 5
2222aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309029917)
Considere as afirmações abaixo:
I - Se vvvv1111, ... ,v, ... ,v, ... ,v, ... ,v4444 estão no RRRR4444 e vvvv3333 = 2 v= 2 v= 2 v= 2 v1111 + v+ v+ v+ v2222, então { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333,,,, vvvv4444 } é linearmente dependente.
II - Se vvvv1111, ... ,v, ... ,v, ... ,v, ... ,v4444 estão no R4 e vvvv1111 não é múltiplo escalar de vvvv2222, então { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333,,,, vvvv4444} é
linearmente independente
III - Se vvvv1111, ... ,v, ... ,v, ... ,v, ... ,v4444 estão no R4 e { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333 } é linearmente dependente. então { vvvv1111 ,,,, vvvv2222 ,,,, vvvv3333,,,,
vvvv4444 } é, também, linearmente dependente.
I, II e III são falsas
I e III são falsas, II é verdadeira
I, II e III são verdadeiras
I e II são falsas, III é verdadeira
I e III são verdadeiras, II é falsa
3333aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309069815)
Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}. Sabendo que as coordenadas
do vetor (1, 4, 9), na base β são (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b-c).
1
-3
-2
2
3
4444aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030969)
Considere os vetores do R3: u = (1,3,5) ; v = (2,-1,3) e w = (-3,2,-4). Resolva a equação
vetorial x.u+y.v+z.w=0 e decida a dependência linear dos vetores (l.i. ou l.d.).
x=y=z=0 e os vetores são l.d.
x=-z/7 e y=11z/7 e os vetores são l.i.
x=-z/7 e y=11z/7 e os vetores são l.d.
x=y=z=0 e os vetores são l.i.
x=-1;y=11 e z=7 e os vetores são l.i.
5555aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309030117)
Considere as assertivas abaixo:
I - Se nenhum dos vetores de RRRR3333 no conjunto S = {vvvv1111, vvvv2222, vvvv3333} é um múltiplo escalar de um dos
outros vetores, então S é um linearmente independente;
II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o RRRR5555;
III - Se {uuuu, vvvv, wwww} é um conjunto linearmente independente, então uuuu, vvvv e wwww não estão no RRRR2222;
IV- Sejam uuuu, vvvv e wwww vetores não nulos do RRRR5555, vvvv não é um múltiplo de uuuu , e wwww não é uma
combinação linear de uuuu e v. Então {uuuu, vvvv, wwww} é linearmente independente.
As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras
As afirmações I e IV são verdadeiras e as afirmações II e III são falsas
As afirmações I e III são falsas e as afirmações II e IV são verdadeiras
As afirmações III e IV são falsas e as afirmações I e II são verdadeiras
As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas
6666aaaa QuestãoQuestãoQuestãoQuestão (Ref.: 201309026775)
Considere os vetores x, y, e z dos conjuntos I, II e III abaixo. Analise os mesmos quanto à
dependência linear dentro de cada conjunto.
I - x = (1, 1, -1), y = (2, -3, 1) , z = (8, - 7, 1);
II - x = (1, -2, -3), y = (2, 3, -1), z = (3, 2, 1);
III - x = (x1, x2), y = (y1, y2) , z = (z1, z2).
Podemos afirmarque:
Os conjuntos I e II são linearmente dependentes
Os conjuntos I e III são linearmente dependentes
Os conjuntos II e III são linearmente dependentes
Somente o conjunto III é linearmente dependente
Todos os conjuntos I, II e III são linearmente dependentes
AULA 10.AULA 10.AULA 10.AULA 10.
1.1.1.1.
Uma Transformação linear é um mapeamento de um espaço vetorial V para um
espaço vetorial W. Qualquer transformação linear pode ser representada por
uma matriz. Seja um vetor (x1 ,x2) e considere as transformações realizadas pelas
matrizes abaixo. Quais as transformações sobre os pontos (x1 ,x2), no plano:
A = [1 00-1] B = [-100-1] C = [0-11 0] D = [1000]
Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1Quest.: 1
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2, x1), (x1, 0)
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (0 , x2)
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x1, x2), (x1, 0)
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,x2)
(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,0)
2.2.2.2.
Considere uma transformação linear T:R2=> R2 tal que [ T ]β=[1112] (a matriz
associada à transformação em relação à base β) onde β = {(1,2) , (0,1)} é uma
base de R2. Determine a lei da transformação linear.
Lembrete: Para determinar a lei da transformação é preciso da matriz de T em
relação à base canônicaα.
Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2Quest.: 2
T(x,y)=(x+y,x+4y)
T(x,y)=(-x-7y,x+4y)
T(x,y)=(x-y,x+2y)
T(x,y)=(-x+y,-7x+4y)
T(x,y)=(-x+y,-7x+2y)
3.3.3.3.
Dado o conjunto β={(-1,0,3),(1,1,1),(2,k,-2)}, seja k o menor inteiro positivo que
torne β uma base do ℝ3,
determine as coordenadas do vetor v=(2,3,-2) na base β, ou seja, o vetor v] β
Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3Quest.: 3
(-3,3,-2)
(3,-3,2)
(-3,0,-2)
(1,1,1)
(-2,3,2)
4.4.4.4.
Dada a matriz A = [10-94-2] encontre o polinômio característico da matriz A.
Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4Quest.: 4
λ2-16
λ2-8λ+4
λ2-4
λ2-10λ+2
λ2-8λ+16
5.5.5.5.
Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3 Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5Quest.: 5
{( 1, 1, 2), (1, 2, 5), ( 5, 3, 4)}
{(1, 2, 3),(1, 0, -1), (3, -1, 0) , (2, 1, -2)}
{(0,0,1), (0, 1, 0)}
{(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)}
{(1, 1, 1), (1, -1, 5)}
6.6.6.6.
Determine uma base para o subespaço W do RRRR3333 gerado pelos vetores
vvvv1111=( 2-8 6), vvvv2222 = ( 3-7-1), vvvv3333=(-1 6-7) e a dimensão de W.
Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6Quest.: 6
wwww1111=( 2 0 0), w2222 = ( 052) e a dim W= 2
wwww1111=( 2-8 6), w2222 = ( 3-7-1), w3333=(-1 6-7) e a dim W=3
wwww1111=( 2 0 0), w2222 = ( 300) e a dim W= 2
wwww1111=( 20 0), w2222 = ( 350), w3333=(-1 20) e a dim W = 3
wwww1111=( 2 0 0), w2222 = ( 352) e a dim W= 2
