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eTec | Brasil
MATEMÁTICA Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
01
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Razão, proporção e
grandezas proporcionais
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão Tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional
Janio Gustavo Barbosa
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá
por aqu
i...
1
Matemática A01
Olá! Estamos iniciando os nossos estudos em Matemática. Em nosso material impresso, você
verá alguns tópicos que lhe darão uma visão panorâmica de várias partes da Matemática,
como a Geometria, a Álgebra e a Matemática Financeira, envolvidas em situações comuns
da Segurança do Trabalho. Esse conteúdo será apresentado em 12 aulas.
Em nossa primeira aula, vamos abordar os conceitos de razão, proporção e de grandezas
proporcionais que aqui se apresentam traduzidos na linguagem matemática para que
possamos ampliá-los (inclusive estudando suas propriedades) e utilizá-los na resolução
de algumas situações escritas nessa linguagem.
Os conceitos de razão e proporção são utilizados em vários aspectos de nosso cotidiano.
Os exemplos aqui desenvolvidos abordarão alguns desses aspectos, porém você poderá
enriquecer o seu estudo, pesquisando sobre outras situações, quer sejam na Matemática,
quer sejam em outras áreas nas quais esses conhecimentos podem ser aplicados, a
exemplo de áreas profissionais como a de Construção Civil.
O estudo das grandezas proporcionais é utilizado quando observamos duas grandezas
relacionadas entre si, de modo que, quando uma sofre alguma alteração a outra
também varia. De acordo com a lei que define a relação entre essas duas grandezas
é que podemos descrevê-las como grandezas diretamente proporcionais ou
grandezas inversamente proporcionais.
Na aula 2, você estudará sobre regra de três simples e regra de três composta. Nas aulas 3 e
4, as diversas unidades de medidas. Já na aula 5, você terá a oportunidade de estudar sobre
o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas e, na aula 6, sobre cálculo de volume
de alguns sólidos geométricos. Nas aulas 6 e 7, você verá alguns tópicos de Matemática
Financeira, como fazer conversões monetárias, o cálculo de porcentagens, lucro ou prejuízo,
acréscimos e descontos sucessivos, como também o cálculo de juros simples e juros
compostos. E nas aulas 11 e 12, estudará um pouco sobre funções.
Para exercitar o seu raciocínio, disponibilizamos algumas atividades, ao longo do conteúdo,
que servem para você aplicar imediatamente o conhecimento adquirido em cada bloco do
assunto estudado. Também disponibilizamos para você uma série de exercícios ao final
de todo o conteúdo, envolvendo questões de todo o estudo realizado até aqui, em um só
bloco. Se, após resolver todas essas questões, você perceber que há necessidade de rever
alguns dos itens estudados, refaça os exercícios nos quais sentiu mais dificuldade e, se for
o caso, entre em contato com o tutor em seu pólo de apoio presencial. Ele lhe encaminhará
para o atendimento pelo tutor a distância ou pelo professor da disciplina.
�
Matemática A01
Objetivo
Entender o que é razão e proporção, aprendendo a identificar
seus elementos.
Saber estimar um valor desconhecido de uma proporção, utilizando-
se adequadamente de uma ou mais propriedades das proporções.
Entender de que maneira são conceituadas grandezas em
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.
Aplicar as propriedades das grandezas proporcionais (sejam direta
ou inversamente proporcionais) para a resolução de problemas.
É uma questão
de proporção?
Quando observamos uma imagem e dizemos que uma de suas partes é muito pequena em
relação às outras, estamos dizendo que
suas medidas não são proporcionais.
Observe a desproporcionalidade entre as
partes do corpo no quadro Abaporu, de
Tarsila do Amaral, apresentada na Figura 1.
Essa desproporcionalidade (intencional ou
não) é percebida quando, instintivamente,
comparamos as medidas dessa imagem
com as de outra que tomamos como
padrão ou, ainda, quando comparamos as
medidas de uma das partes com as de
outras partes dessa mesma imagem.
Na maioria dos desenhos de corpo humano, quando proporcionais, pode ser observado
que a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça. Já
em desenhos de corpos de crianças, a relação entre essas medidas pode variar. A altura
total pode ser a de cinco cabeças ou menos, como vemos em alguns desenhos como o
“Dexter” e “As Meninas Superpoderosas”, em que observamos que a altura total do corpo
corresponde, aproximadamente, à altura de duas cabeças, em cada personagem.
Figura 1 – Abaporu, de Tarsila do Amaral
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e:
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0
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2
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0
8
.
�
Matemática A01
Conhecendo
razão e proporção
Com as informações apresentadas no texto anterior, observarmos que, no desenho
proporcional de um corpo humano, podemos estabelecer uma comparação entre as
alturas da cabeça e do corpo.
Razão
Razão entre dois números
Nesse caso, para um corpo humano adulto, temos que a razão entre a altura da cabeça
e a altura total do corpo é de 1 para 7, que será escrita como
1
7
ou 1:7
De uma forma geral, podemos dizer que
A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente
de a por b.
A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é
a
b
ou a :b, onde b = 0.
A leitura dessa razão entre a e b é: ‘a para b’ ou ‘a está para b’.
Os números a e b são os termos da razão, na qual a é o antecedente, e b o
conseqüente (sendo b ≠ 0).
Na razão 1 : 7, o antecedente é 1 e o conseqüente é 7.
1
7
→ antecedente
→ conseqüente
Legal! Uma razão também
pode ser simplificada.
Olhe os exemplos 2 e 3.
�
Matemática A01
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
A razão de 2 para 5 é
2
5
ou 2:5.
Exemplo �
A razão de 4 para 20 é
4
20
=
4÷ 4
20÷ 4
=
1
5
ou 1:5.
Exemplo �
A razão de 12 para 4 é
12
4
=
12÷ 4
4÷ 4
=
3
1
= 3 .
Exemplo �
A razão entre
1
2
e 9 é
1
2
9
=
1
2
·
1
9
=
1
18
ou 1:18.
Exemplo 5
A razão entre 5 e 2
1
3
é
5
2
1
3
=
5
7
3
= 5 ·
3
7
=
5
1
·
3
7
=
15
7
ou 15:7.
5
Matemática A01
Razão entre duas grandezas
A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira
grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero).
Se as grandezas que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos
apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não
apresenta unidade de medida.
Observe os exemplos:
Exemplo 6
A razão entre 12 m e 15 m é
12m
15m
=
12÷ 3
15÷ 3
=
4
5
, ou seja, é 4 para 5.
Exemplo 7
A razão entre 20 cm e 3 m é
20 cm
3m
=
20 cm
300 cm
=
20÷ 10
300÷ 10
=
2÷ 2
30÷ 2
=
1
15
, ou seja, é 1 para 15.
Exemplo 8
A razão entre 15 minutos e 1 hora é
15min
1 h
=
15min
60min
=
15
60
=
15÷ 3
60÷ 3
=
5÷ 5
20÷ 5
=
1
4
, ou seja, é 1 para 4.
Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa
razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do conseqüente.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo 9
Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3 000 rotações. A razão entre
o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é
3 000 rotacoes
5 min
= 600 rotacoes/min.
A velocidade média desse torno, nesse período, é de 600 rotações/min.
Responda aqui
Praticando...
Escala é uma das razões
entre grandezas de mesma
natureza. Velocidade média
é uma das razões entre
grandezas de naturezas
diferentes.
1
6
Matemática A01
Exemplo 10
O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde
trabalha, é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância
percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é .
140 km
2 h
=
140
2
km/h = 70 km/h.
Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse
deslocamento é de 70 km/h.
1. Calcule a razão entre os números:
a) 12 e 21
b) 15 e 105
c) 1,2 e 3
d) 3 e 18
5
2. Calcule a razão entre as seguintes
grandezas:
a) 30 km e 3 l de álcool
b) 120 mm e 4 dm
c) 12 g e 4 cm3
d) 4 200 g e 60 kg
e) 25 d e 1 me 10 d
25 d = 25 dias
1 m = 1 mês
10 d = 10 dias
LEGENDA
7
Matemática A01
Proporção
Em duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi diagnosticada
a seguinte situação:
Filial Têm curso de informática completo Total de funcionários
A 6 8
B 9 12
A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o
número total de funcionários do escritório de cada filial é:
Filial A:
6
8
=
6÷ 2
8÷ 2
=
3
4
Filial B: 9
12
=
9÷ 3
12÷ 3
=
3
4
Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número,
logo podemos afirmar que 6
8
=
9
12
(ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas
expressões é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”.
∈ pertence
ℜ* conjunto
dos números reais
diferentes de zero
Assim: a, b, c e d
são números reais
diferentes de zero.
∈ ℜ *
Praticando... �
8
Matemática A01
Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre
os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.
A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma
ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.
De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, c e d), em certa
ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja,
se
a
b
=
c
d
, dizemos que os números a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção.
Termos de uma proporção
Se a, b, c e d ∈ ℜ * e a
b
=
c
d
, dizemos que:
a, b, c e d são os termos da proporção;
a e c são os antecedentes;
b e d são os conseqüentes;
a e d são os extremos da proporção;
b e c são os meios da proporção.
1. Indique o antecedente e o conseqüente em cada uma das razões
a seguir:
a) 12 para 7 b) 3:20
c) 5
1
3
:
12
5
d)
18
25
2. Destaque os extremos com e os meios com em cada proporção
a seguir:
a)
10
27
=
30
81
b)
1
8
=
15
120
c)
3
11
=
15
55
9
Matemática A01
Propriedade fundamental das proporções
Para verificar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. Na proporção
a
b
=
c
d
, podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos conseqüentes
das razões que a formam (b · d ou bd). Assim:
a
b
· bd =
c
d
· bd.
Simplificando, temos: a · d = c · b ou a · d = b · c.
Diante desse resultado, podemos afirmar o seguinte:
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicando a propriedade fundamental, podemos verificar se duas razões formam uma
proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.
Exemplo 11
A expressão
2
7
=
18
63 é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 63 = 126 .
O produto dos meios é: 7 . 18 = 126.
Podemos observar que 2 . 63 = 7 . 18
Resposta:
A expressão
2
7
=
18
63
é uma proporção.
10
Matemática A01
Exemplo 1�
A expressão
2
3
=
18
24
é uma proporção?
O produto dos extremos é: 2 . 24 = 48.
O produto dos meios é: 3 . 18 = 54.
Observe que 2 . 24 ≠ 3 . 18, logo dizemos que
2
3
=
18
24
.
Resposta:
A expressão
2
3
=
18
24
não é uma proporção.
Exemplo 1�
Verifique se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem,
formam uma proporção.
Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos:
11 . 30 = 330
Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 . 22 = 330
Assim: 11 . 30 = 15 . 22.
Comparando a igualdade anterior (11 . 30 = 15 . 22) e o que nos diz a
propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios), podemos considerar 11 e 30 como sendo os extremos
e os outros dois números como os meios dessa proporção.
Dessa forma, a proporção
11
15
=
15
30
é uma das proporções que podem ser
formadas por esses números.
Resposta: Uma das proporções que podemos formar com esses quatro
números, nessa ordem, é 11
15
=
15
30
.
Para descobrir se quatro números, em uma dada ordem, formam uma proporção, observe
o que vem a seguir:
11
Matemática A01
Recíproca da propriedade fundamental das proporções
Sejam a, b, c e d números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles
seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a · d = b · c.
Dividindo cada membro da igualdade pelo produto b · d, temos que:
ad
bd
=
bc
bd
Após a simplificação, temos:
a
b
=
c
d
Assim transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você
também verá no exemplo a seguir.
Exemplo 1�
Escreva a igualdade 3 . 35 = 7 . 15 em forma de proporção.
Dividindo ambos os membros da igualdade 3 . 35 = 7 . 15 pelo produto 3 . 35 . 15,
temos: 3 · 35
35 · 15
=
7 · 15
35 · 15
.
Ao simplificarmos essa expressão, obtemos a proporção
3
15
=
7
35
.
Cálculo de um termo desconhecido
Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos,
sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das
proporções. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 15
Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção
3
4
=
60
x
, temos:
3x = 4 . 60 ⇒ 3x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 3 ⇒ x = 80.
1�
Matemática A01
Exemplo 16
Na proporção
2
x
=
15
120
, quando aplicamos a propriedade fundamental das
proporções, temos: 15x = 120 . 2 ⇒ 15x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 15 ⇒ x = 16.
Transformações
Transformar uma proporção é escrevê-la com os mesmos termos em outra ordem,
ou seja, é encontrar proporções equivalentes à proporção dada, mudando apenas a
ordem dos termos.
Considere a proporção
3
5
=
12
20
. Observe que a igualdade entre as razões se
mantém quando:
alternamos os extremos:
20
5
=
12
3
⇒ 20 · 3 = 5 · 12 = 60;
alternamos os meios:
3
12
=
5
20
⇒ 3 · 20 = 12 · 5 = 60;
invertemos os termos:
5
3
=
20
12
⇒ 5 · 12 = 3 · 20;
transpomos as razões:
12
20
=
3
5
⇒ 12 · 5 = 20 · 3;
Proporções Múltiplas
Observe as razões
6
14
e
15
35
. Vemos, após a simplificação, que todas são iguais a
3
7
.
Logo, podemos escrever
6
14
=
15
35
=
3
7
, que é uma proporção múltipla.
1�
Matemática A01
Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade
entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de
série de razões iguais.
De forma geral:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n (onde a, b, c,..., n ∈ ℜ*) é uma proporção múltipla.
Propriedade fundamental das proporções múltiplas
Seja a proporção
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
. Considerando que cada uma dessas razões é igual
a um mesmo número k. Esse valor k é chamado de coeficiente de proporcionalidade
dessa proporção.
Assim, temos:
a
b
= k,
c
d
= k, . . .
m
n
= k
Quando isolamos o valor de cada antecedente, encontramos:
a = bk,
c = dk,
...,
m = nk
Somando essas igualdades, membro a membro, temos:
a+ c+ . . .+m = bk + dk + . . .+ nk
a+ c+ . . .+m = k · (b+ d+ . . .+ n)
Dividindo ambos os membros por (b +d + ... + n), temos:
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
= k, ou seja,
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
1�
Matemática A01
Assim, em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a
soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu
respectivo conseqüente.
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 17
1
5
=
3
15
=
5
25
=
6
30
⇒
⇒
1 + 3 + 5 + 6
5 + 15 + 25 + 30
=
1
5
ou
3
15
ou
5
25
ou
6
30
.
Observe que
1
5 é o coeficiente de proporcionalidade dessa proporção, pois
todas as razões são iguais a
1
5
.
Mais algumas propriedades das proporções
Considerando a proporção
a
b
=
c
d
, podemos observar as seguintes propriedades:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma
proporção.
A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes,
assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente.
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de
uma proporção.
A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus conseqüentes, assim
como cada antecedente está para seu respectivo conseqüente.
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
15
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo
antecedente.
A soma dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma
dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a+ b
a
=
c+ d
c
A diferença dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a
diferença dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.
a− b
a
=
c− d
c
IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo
conseqüente.
A soma entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a
soma entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a+ b
a
=
c+ d
c
A diferença entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como
a diferença entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.
a− b
b
=
c− d
d
Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:
Exemplo 18
Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre
eles é 1:2.
Número menor: x
Número maior: y
Dados do problema: x+ y = 54 e
x
y
=
1
2
Aplicando a Propriedade III na proporção
x
y
=
1
2
, temos:
x+ y
x
=
1 + 2
1
16
Matemática A01
Como x + y = 54 , temos:
54
x
=
3
1
Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a
equação resultante, temos:
3 · x = 54 · 1⇒ 3x = 54⇒ x = 54÷ 3⇒ x = 18
Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das
equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:
18 + y = 54⇒ y = 54− 18⇒ y = 36
Resposta: Os números procurados são 18 e 36.
Exemplo 19
Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e
que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.
Número maior: m
Número menor: n
Dados do problema: m – n = 12 e
m
n
=
6
5
Aplicando a propriedade IV na proporção
m
n
=
6
5
, temos:
m− n
m
=
6− 5
6
Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos:
12
m
=
1
6
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
m . 1 = 12 . 6
Responda aqui
Praticando... �
17
Matemática A01
Ou seja, m = 72 .
Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação
m – n = 12.
Assim: 72− n = 12⇒ −n = 12− 72⇒ −n = −60
Multiplicando por (-1) toda a equação, encontramos: n = 60
Resposta: os números procurados são 72 e 60.
1. Verifique se é uma proporção a expressão
2
13
=
10
65 .
�. Calcule o valor de x na proporção
x
5
=
x− 3
2
.
�. Aplicando as transformações, reescreva de 4 maneiras diferentes a
proporção
2
15
=
8
60
.
�. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e x
2
=
y
4
=
z
14
.
5. Se x – y = 18 e x
y
=
25
19
.
18
Matemática A01
Grandezas proporcionais
Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos
que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um
automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo
gasto para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a
variação na outra.
De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas em
grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais
Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as
condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve
providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas
instalações sanitárias.
19
Matemática A01
Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela:
Tabela 1 – Representação da NR 24 implementada em uma empresa
Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz
Número de funcionários 12 18 20 30 50
Quantidade mínima
necessária de água (em litros)
720 1 080 1 200 1 800 3 000
Note que:
enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta;
cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o
número de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual a 60, pois
720
12
=
1 080
18
=
1 200
20
=
1 800
30
=
3 000
50
= 60.
Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1 080, 1 200, 1 800, 3 000) e
(12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de
proporcionalidade é 60.
Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza a’ e a”, e os valores
correspondentes na segunda grandeza de b’ e b” , podemos apresentar a
seguinte proporção:
a
b
=
a
b
Alternando os extremos, obtemos:
b
b
=
a
a
Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores
de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.
As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas
são ditas diretamente proporcionais.
�0
Matemática A01
Exemplo �0
As seqüências (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais?
Para responder a essa
pergunta, temos que formar as razões entre os
números correspondentes e compará-las.
As razões são: 5
25
,
6
30
e
7
35
. Todas iguais a
1
5
.
Como todas as razões entre os termos correspondentes das
seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são
diretamente proporcionais.
Exemplo �1
Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente
proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?
As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências
diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse
número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.
Como
5
40
=
8
64
=
12
96
=
1
8
, temos que o coeficiente de proporcionalidade
é
1
8
.
Grandezas inversamente proporcionais
Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância
em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.
Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para
percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas.
Ou seja:
Velocidade média (km/h) 40 80
Tempo de percurso (h) 6 3
aumenta
diminui
�1
Matemática A01
Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo
percurso diminui, é reduzido à metade.
Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas
variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas
inversamente proporcionais.
As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira
seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes
na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e (
1
6
,
1
3
) são diretamente
proporcionais.
Assim:
40
1
6
=
80
1
3
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
40 ·
1
3
= 80 ·
1
6
.
A proporção formada (já simplificada) é
40
3
=
80
6
.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Exemplo ��
Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números
inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?
Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que:
1
1
20
=
2
2
10
=
5
1
4
= 20 .
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 20.
��
Matemática A01
Exemplo ��
Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente
proporcionais, determine os valores de m e n.
Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos:
m
1
2
=
−4
1
n
=
1
1
4
.
A última razão dessa proporção múltipla é
1
1
4
= 1 ·
4
1
= 4 ,
que é também o coeficiente de proporcionalidade.
Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:
m
1
2
= 4 ⇒ m ·
2
1
= 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2
−4
1
n
= 4⇒ −4 ·
n
1
= 4⇒ −4n = 4
Multiplicando por (-1), temos:
4n = – 4 ⇒ n = –1
Assim, temos:
m = 2 e n = –1.
Praticando... �
Responda aqui
��
Matemática A01
Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais
as seqüências de números:
a) ( 3, 5, 9) e (
1
15
,
1
9
,
1
5
) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)
Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos
na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões
envolvendo todo o conteúdo da presente aula.
Ex
er
cí
ci
os
��
Matemática A01
1.Determine a razão entre os números
a) 12 e 36
b) 60 e 15
c) 3 e 2,25
d) 1,05 e 3,5
e) 5
1
2
e 2
f) 4 e 3
1
5
�. Verifi que se a razão
10
25
é igual à razão
2
10
.
�. Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 15 m e 12 cm
b) 20 dam e 3 km
c) 1 g e 5 kg
d) 2 km e 0,5 m3
�. Calcule o valor de x na proporção
x
5
=
2− x
3
.
�5
Matemática A01
5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.
6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos
conseqüentes sejam 3 e 16.
7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x
y
=
9
11
.
8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são
diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os
seus elementos é
1
4
.
A B
4
6
12
Auto-avaliação
�6
Matemática A01
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em:
20 jun. 2008.
Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de
qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e
também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente
todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente.
Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas
proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns
exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando
esses conhecimentos.
Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou
exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não
tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:
Escreva o conceito de razão.
Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente.
Const rua uma proporção que tenha coef ic iente de
proporcionalidade 0,5.
Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o
número de operários empregados para a construção de uma casa:
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê?
Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo
de grandezas inversamente proporcionais.
1.
�.
�.
�.
5.
Para Consulta
�7
Matemática A01
Razão:
a:b ou
a
b
(lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*.
Termos da Razão:
Considerando a razão
a
b
, a é o antecedente e b é o conseqüente.
Proporção:
É a igualdade entre duas razões. Por exemplo:
a
b
=
c
d
, onde a, b, c e d
são números reais diferentes de zero.
Propriedade fundamental das proporções:
Considerando a proporção
a
b
=
c
d
, temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em
uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.
Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções
Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c,
temos que
ad
bd
=
bc
bd
, ou seja, que
a
b
=
c
d
.
Proporção múltipla:
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k ⇒
⇒
a+ c+ . . .+m
b+ d+ . . .+ n
=
a
b
=
c
d
= . . . =
m
n
= k
Outras propriedades das proporções:
I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes
de uma proporção
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos
conseqüentes de uma proporção
a− c
b− d
=
a
b
ou
a− c
b− d
=
c
d
�8
Matemática A01
III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o
respectivo antecedente
a+ c
b+ d
=
a
c
ou
a+ c
b+ d
=
c
d
V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e
seu respectivo conseqüente
a+ b
b
=
c+ d
d
ou
a− b
b
=
c− d
d
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática.
São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).
02
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Regra de três
matemática
Você ve
rá
por aqu
i...
coordenadora da Produção dos materias
Marta Maria Castanho Almeida
Pernambuco
coordenador de edição
Ary Sergio Braga Olinisky
coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão tipográfica
Adriana Rodrigues Gomes
Design instrucional
Janio Gustavo Barbosa
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da aBNt
Verônica Pinheiro da Silva
adaptação para o módulo matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão técnica
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
ministério da educação
Você ve
rá
por aqu
i...
�
Matemática a02
Objetivo
...um processo de resolução de problemas, muito utilizado na Matemática, que pode ser
aplicado em situações que envolvem o cálculo de um termo desconhecido e a relação de
proporcionalidade entre duas ou mais grandezas. Esse processo de resolução, chamado
de regra de três, pode ser classificado em regra de três simples ou regra de três
composta, de acordo com o número de grandezas envolvidas. Esse processo também
pode ser utilizado como um segundo método para calcular porcentagens.
Em nossa aula, disponibilizamos para você algumas atividades após cada bloco de
conteúdos para que seja possível a aplicação imediata dos conhecimentos recém
estudados e, ao final da aula, uma lista de exercícios com questões objetivas, envolvendo
todos os assuntos desenvolvidos na aula.
Leia atenciosamente cada conteúdo e responda às questões correspondentes. Caso
surja alguma dúvida, procure refazer seus cálculos com calma e, se necessário, entre
em contato com o seu tutor.
Perceber regra de três como um problema que envolve duas ou mais
grandezas.
Classificar em diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais duas grandezas envolvidas em um problema.
Identificar uma regra de três simples.
Classificar uma regra de três que envolve duas grandezas como regra
de três simples direta ou regra de três simples inversa.
Identificar uma regra de três composta.
Resolver problemas pelo processo de regra de três.
2
Matemática a02
Para começo
de conversa...
Sara e Rita são duas crianças que vivem fazendo
apostas para ver quem sabe mais.
Certo dia, quando voltavam da escola, Sara, a mais
velha, disse:
– Duvido que você consiga medir a altura daquele
poste.
Rita, a mais nova, nem tremeu e falou:
– Essa é fácil... Vou lhe responder em alguns
minutos...
Puxando uma régua da bolsa da escola, Rita mediu
um palito de picolé que encontrou no chão. Colocou
o palito de picolé na vertical e também mediu a
sombra que ele projetava no chão. Anotou essas
medidas e foi medir a sombra do poste com uma
fita métrica que sua mãe lhe emprestou para usar
nas aulas de Matemática. Voltou para o caderno e
fez algumas continhas. Logo, gritou:
– O poste mede três metros e meio.
– Como foi que você fez isso? – perguntou Sara.
– Foi um jeitinho que minha tia me ensinou. Ela
tem um livro que tem muitos problemas que são
resolvidos dessa forma – respondeu Rita.
– Me diz como é... Eu também quero saber – exigiu
Sara.
E saíram falando de outras situações que podem
ser resolvidas por um processo muito utilizado na
Matemática, chamado de regra de três.
�
Matemática a02
Pensando a regra de três
Nesta aula, veremos um processo de resolução de problemas, muito utilizado na
Matemática, que aplica a relação de proporcionalidade entre grandezas. Esse processo
de resolução de problemas recebe o nome de regra de três.
Quando um problema apresenta exatamente duas grandezas, o processo de resolução
recebe o nome de regra de três simples. Quando envolve três grandezas ou mais recebe
o nome de regra de três composta.
Regra de três simples
Uma regra de três simples pode ser classificada em direta ou inversa, de acordo com
a relação de proporcionalidade existente entre as grandezas envolvidas.
�
Matemática a02
exemplo �
Se 30 metros de tecido custam R$ 318,00, quanto custará uma peça com 5
metros desse mesmo tecido?
Vamos adotar alguns passos para a resolução:
Solução:
�º. passo: Organizar os dados em um quadro de comparação das
grandezas.
2º. passo: Devemos analisar a variação das grandezas, indicando o sentido
dessa variação.
Se o comprimento diminui, o que ocorre com o preço? Para uma quantidade
menor de tecido, temos um preço também menor, ou seja, quando uma
grandeza varia, a outra também varia no mesmo sentido.
Regra de três simples direta
Em uma regra de três direta, as grandezas são diretamente proporcionais entre si.
Lembre-se de que podemos classificar duas grandezas em diretamente proporcionais
se as duas variam no mesmo sentido, ou seja, quando uma aumenta, a outra também
aumenta ou quando uma diminui, a outra também diminui. Por exemplo, distância
percorrida e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior uma
distância, maior o tempo gasto ao percorrê-la.
Vejamos alguns exemplos desse tipo de regra de três:
comprimento (m) Preço (R$)
30 318
5 x
Representamos o valor que se
quer determinar por uma variável.
Nesse caso x.
comprimento (m) Preço (R$)
30 318
5 x
(+)
(–)
(+)
(–)
�
Matemática a02
Estamos usando setas indicativas para observar a variação de uma grandeza
em relação à outra. As setas podem partir do menor para o maior valor ou,
ao contrário, do maior valor para o menor. Não há obrigatoriedade para essa
indicação, porém você deve estabelecer um padrão para todos os pares de
grandezas. Em nossas aulas, vamos utilizar a direção do menor para o maior.
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados.
Quando a regra de três simples envolve grandezas diretamente proporcionais,
escrevemos a proporção diretamente do quadro de comparação.
A proporção formada, para o nosso exemplo, é:
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, temos:
30 ⋅ x = 318 ⋅ 5 ⇒ 30 x = 1 590 ⇒ x = 1 590 ÷ 30 ⇒ x = 53
�º. passo: Elaborar uma resposta, de acordo com o que se pede no
problema.
Resposta: Cinco metros desse mesmo tecido custariam R$ 53,00.
30
5
=
318
x
(Eq. 01)
Observe que, nos problemas de regra de três,
as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser
expressas em uma mesma unidade de medida.
geralmente, consideramos condições idênticas. Em um problema
que envolva operários e número de peças produzidas, por exemplo,
consideramos que os operários produzam igualmente e que as condições
de trabalho também sejam iguais para todos eles.
exemplo 2
Se 18 operários produzem 378 peças por dia de determinado produto,
quantas peças seriam produzidas se essa linha de produção contasse
com 25 operários?
⋅
Operários
Nº de Peças
(Unidades)
18 378
25 x
�
Matemática a02
Solução:
�º. passo: Organize os dados por grandeza. Assim, teremos um quadro de
comparação das grandezas.
2º. passo: Analise a variação das grandezas, indicando o sentido dessa
variação.
Operários
Nº de Peças
(Unidades)
18 378
25 x
(–)
(+)
(–)
(+)
Se o número de operários aumenta, o que ocorre com o número de peças a
serem produzidas? Para um número maior de operários, temos um número
de peças que também será maior, ou seja, quando uma grandeza varia a
outra também varia no mesmo sentido.
Lembre-se: estamos utilizando as setas de indicação do valor menor para
o valor maior de cada grandeza.
�º. passo: Escreva e resolva
uma proporção com os dados.
Nesse caso, a proporção formada será
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
18 ⋅ x = 318 ⋅ 25 ⇒ 18 x = 9 450 ⇒ x = 9 450 ÷ 18 ⇒ x = 525
�º. passo: Elabore uma resposta, de acordo com o que se pede no enunciado
do problema.
Resposta: Vinte e cinco operários produziriam 525 peças desse produto
por dia.
(Eq. 02)
18
25
=
378
x
�
Responda aqui
Praticando...
�
Matemática a02
�. Um operário recebe R$ 920,00 por sua produção em 20 dias de trabalho.
Sob as mesmas condições, quanto receberá pelo que produzir em
45 dias?
2. Em uma fazenda, em 30 dias, são utilizadas 1,2 toneladas de ração para
alimentar os animais. Qual é a quantidade necessária para alimentar os
mesmos animais em 7 dias?
�. Em uma empresa, 20 funcionários produzem 5 000 peças por semana.
Quantas peças seriam produzidas semanalmente, se para essa produção
contassem com 36 funcionários?
a)
b)
c)
Regra de três simples inversa
Em uma regra de três simples inversa, uma das grandezas é inversamente proporcional
à outra.
Lembre-se de que podemos classificar duas grandezas em inversamente
proporcionais se as duas variam em sentido contrário, ou seja, quando
uma aumenta, a outra diminui. Por exemplo, velocidade média e tempo são
grandezas inversamente proporcionais, pois quanto maior for a velocidade
média ao percorrer certa distância, menor será o tempo gasto nesse
percurso.
�
Matemática a02
exemplo �
Se 3 operários fazem uma obra em 20 dias, em quantos dias 12 operários
fariam a mesma obra?
�º. passo: Organizar os dados em um quadro de comparação das
grandezas.
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa
variação.
Se o número de operários aumenta, o número de dias para realizar o mesmo
trabalho diminui. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados.
Nesse caso, com duas grandezas inversamente proporcionais, precisamos
escrever as razões de forma que as setas indicativas estejam apontando
no mesmo sentido. Podemos inverter a primeira ou a segunda razão. Aqui,
vamos inverter a segunda razão. Assim, a proporção formada será
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
12 ⋅ x = 3 ⋅ 20 ⇒ 12 x = 60 ⇒ x = 60 ÷ 12 ⇒ x = 5
�º. passo: Elabore uma resposta, de acordo com o que se pede no
problema.
Resposta: Doze operários fariam a mesma obra em 5 dias.
Operários tempo (dias)
3 20
12 x
(Eq. 03)
3
12
=
x
20
�
Matemática a02
exemplo �
Em uma pequena empresa, 18 funcionários trabalham durante 5 dias para
produzir um lote de peças. Quantos dias serão necessários para produzir o
outro lote de peças (idêntico ao primeiro) se para isso só tiverem disponíveis
15 funcionários?
Solução
�º. passo: Organizar os dados em um quadro de comparação das
grandezas.
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa
variação.
Se o número de funcionários diminui, o número de dias para produzir um
lote idêntico ao anterior aumenta. Logo, as grandezas são inversamente
proporcionais.
�º. passo: Escreva e resolva uma proporção com os dados.
Invertendo a segunda razão, para que as setas indicativas apontem no
mesmo sentido, a proporção formada será
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
15 ⋅ x = 18 ⋅ 5 ⇒ 15x = 90 ⇒ x = 90 ÷ 15 ⇒ x = 6
�º. passo: Elabore uma resposta, de acordo com o que se pede no enunciado
do problema.
Resposta: Quinze operários produziriam um lote de peças (idêntico ao
anterior) em 6 dias.
Funcionários tempo (dias)
18 5
15 x
Funcionários tempo (dias)
18 5
15 x(–)
(+)
(+)
(–)
(Eq. 04)
18
15
=
x
5
tempo (dias) Operários
35 20
x 14
tempo (dias) Operários
35 20
x 14(–)
(+)
(+)
(–)
�0
Matemática a02
exemplo �
Um empreiteiro prevê que determinada obra poderá ser realizada em 35 dias,
empregando 20 operários, porém só conseguiu contratar 14 homens para
esse serviço. Com esse grupo reduzido de trabalhadores, qual será a nova
previsão de dias necessários para a realização dessa mesma obra?
Solução
�º. passo: Organizar em um quadro de comparação das grandezas.
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa
variação.
Se o número de operários diminui, o número de dias para realizar a mesma
obra aumenta. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados.
Invertendo a segunda razão, a proporção formada será (Eq. 05)
35
x
=
14
20
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
14 ⋅ x = 20 ⋅ 35 ⇒ 14x = 700 ⇒ x = 700 ÷ 14 ⇒ x = 500
�º. passo: Elaborar uma resposta para o que se pede no problema.
Resposta: Catorze operários fariam a mesma obra em 50 dias.
��
Matemática a02
exemplo �
No refeitório de uma empresa, foi previsto um estoque de alimentos para
durar 30 dias para as refeições de seus 40 funcionários. Após quantos dias
terão que fazer reposição de estoque se, em um determinado mês, foram
contratados mais 8 novos funcionários?
Solução
Veja que a quantidade de funcionários passa de 40 para 48.
�º. passo: Organizar em um quadro de comparação das grandezas.
2º. passo: Analisar a variação das grandezas, indicando o sentido dessa
variação.
Se o número de operários aumenta, o número de dias de duração do estoque
diminui. Logo as grandezas são inversamente proporcionais.
�º. passo: Escrever e resolver uma proporção com os dados.
Invertendo a segunda razão, a proporção formada será (Eq. 06)
30
x
=
48
40
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
48 ⋅ x = 30 ⋅ 40 ⇒ 48x = 1 200 ⇒ x = 1 200 ÷ 48 ⇒ x = 25
�º. passo: Elaborar uma resposta para o que se pede no problema.
Resposta: Com a contratação de 8 novos operários, o estoque de alimentos
do refeitório só durará 25 dias.
tempo (dias) Funcionários
30 40
x 48
tempo (dias) Funcionários
30 40
x 48(–)
(+)
(+)
(–)
2Praticando...
Responda aqui
�2
Matemática a02
�. A uma velocidade média de 64 km/h, um automóvel fez, em 5 horas, o
percurso entra as cidades A e B. Qual seria o tempo gasto se a velocidade
média do veículo nesse percurso fosse igual a 80 km/h?
2. O estoque de ração de uma avicultura é sempre abastecido com a mesma
quantidade de ração a cada 15 dias. Essa quantidade de alimento é
suficiente para alimentar, por todo período, suas 600 aves. Se fossem
adquiridas mais 300 aves, essa mesma quantidade de alimento duraria
quantos dias?
�. Uma empreiteira contratou 24 homens para realizar uma obra que,
segundo previsão da própria empresa, seria concluída em 15 dias. Antes
do início da obra, 4 homens desistiram. A previsão do novo prazo de
realização da obra passa a ser de quantos dias?
Horas/dia Dias Operários
Produção
(unidades)
8 12 30 1 000
6 x 48 1 200
��
Matemática a02
E nos problemas com três ou mais grandezas, como é feita essa classificação?
Nesse caso, comparamos essas grandezas duas a duas, e esse é o assunto que
veremos a seguir.
Regra de três composta
Como já foi dito antes, na regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas
relacionadas entre si.
Nesse caso, em apenas uma grandeza é dado um valor conhecido e para as demais
grandezas são dados dois valores. Na resolução desse tipo de situação-problema, vamos
utilizar um método semelhante ao utilizado na resolução de regras de três simples.
exemplo �
Trabalhando 8 horas por dia, durante 12 dias, 30 operários produzem 1 000
unidades de determinado eletrodoméstico. Quantos dias serão necessários
para que 48 operários, trabalhando 6 horas por dia, produzam 1 200 unidades
desse mesmo produto?
Solução
�º. passo: Organizar os pares de valores de cada grandeza
2º. passo: Identificar as grandezas em inversamente ou diretamente
proporcionais. A indicação das setas será feita comparando-se cada uma
das grandezas com a que apresenta o termo desconhecido. Observamos a
variação de cada par de grandezas, considerando que as demais grandezas
permanecem inalteradas.
� horas/dia
� horas/dia
�2 dias
x
Diminui Aumenta
��
Matemática a02
a) comparando horas por dia e dias:
Se o número de horas por dia de trabalho diminui, devemos trabalhar um
número maior de dias para realizar o mesmo trabalho. Ou seja, essas
grandezas são inversamente proporcionais. Assim, as setas apontam para
direções opostas.
b) comparando operários e dias:
Se o número de operários aumenta, podemos diminuir o número de dias
para realizar um trabalho. Ou seja, essas duas grandezas são inversamente
proporcionais. Assim, as setas apontam em direções opostas.
c) comparando produção e dias:
Quando o número de unidades a serem produzidas aumenta, precisamos
de mais dias para essa produção. Por isso, as grandezas produção e dias
são diretamente proporcionais. Assim, as setas apontam para a mesma
direção.
�º. passo: Construir a esquematização geral dos dados e realizar a inversão
dos pares identificados como inversamente proporcionais.
A partir da seta da grandeza que tem o valor desconhecido (neste caso,
dias), colocaremos as setas das demais grandezas. Quando as grandezas
comparadas são diretamente proporcionais, as setas indicam a mesma
direção ou, caso as grandezas envolvidas sejam inversamente proporcionais,
as setas apresentadas indicam direções opostas. Lembre-se de que, nesse
exemplo, somente as grandezas ‘operários’ e ‘produção’ são grandezas
diretamente proporcionais.
�0 operários
�� operários
�2 dias
x
Aumenta Diminui
� 000 unid.
� 200 unid.
�2 dias
x
Aumenta Aumenta
��
Matemática a02
Invertendo as razões das grandezas inversamente proporcionais à grandeza
‘dias’, que são as grandezas ‘horas/dia’ e ‘operários’, obtemos:
�º. passo: Montar a proporção e calcular o valor desconhecido
A solução por esse processo é a proporção obtida da igualdade entre a razão
que apresenta o valor desconhecido e o produto das demais razões (após
a inversão das que apresentam grandezas inversamente proporcionais a
que apresenta o x). Observe:
12
x
=
6
8
·
48
30
·
1 000
1 200
(Eq. 07)
ou
12
x
=
6 · 48 · 1 000
8 · 30 · 1 200
Invertendo as razões, temos:
x
12
=
8 · 30 · 1 200
6 · 48 · 1 000
Isolando o valor de x, temos:
x =
12 · 8 · 30 · 1 200
6 · 48 · 1 000
Resolvendo os produtos e simplificando-os por 1 000, obtemos:
x =
3 456 000
288 000
⇒ x =
3 456
288
⇒ x = 12
Resposta: Seriam necessários 12 dias, nessas condições, para realizar o
mesmo trabalho.
Horas/dia Dias Operários
Produção
(unidades)
8 12 30 1 000
6 x 48 1 200
Diminui Aumenta Diminui Aumenta
Horas/dia Dias Operários
Produção
(unidades)
6 12 48 1 000
8 x 30 1 200
��
Matemática a02
Observe a aplicação desse processo de resolução, nos exemplos a seguir:
exemplo �
Na alimentação de 2 bois, durante 8 dias, são consumidos 2 420 kg de
ração. Qual a quantidade de ração que seria necessária para alimentar 5
bois, durante 12 dias?
Solução
�º. passo:
exemplo �
Se 20 homens, trabalhando durante 15 dias, constroem 500 m de uma
estrada, quantos homens seriam necessários para construir 900 metros
dessa estrada em 30 dias?
Solução
�º. passo: 2º. passo:
Homens/dia Dias metros de uma estrada
20 15 500
x 30 900
Homens/dia Dias metros de uma estrada
20 15 500
x 30 900
�º. passo:
�º. passo:
20 30 500
x 15 900
(Eq. 08)20
x
=
30
15
·
500
900
20
x
=
30 · 500
15 · 900
⇒
20
x
=
15 000
13 500
⇒
x
20
=
13 500
15 000
⇒ x · (15 000) = 20 · (13 500)
⇒ 15 000x = 270 000 ⇒ x =
270 000
15 000
⇒ x = 18
Resposta: São necessários 18 homens para fazer esse trabalho.
Bois Dias kg de ração
2 8 2420
5 12 x
��
Matemática a02
2º. passo:
�º. passo:
�º. passo:
Efetuando o produto entre as razões:
Bois Dias kg de ração
2 8 2 420
5 12 x
2 8 2 420
5 12 x
(Eq. 09)
2 420
x
=
8
12
·
2
5
2 420
x
=
16
60
2 420
x
=
8
12
·
2
5
2 420
x
=
16
60
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
Resposta: São necessários 9 075 kg de ração.
16 · x = 60 · (2 420) ⇒ 16x = 145 200 ⇒ x =
145 200
16
⇒ x = 9 075
�
Responda aqui
Praticando...
�. Na perfuração de um poço de 160 m de profundidade, 40 operários de
uma construtora levaram 21 dias. Para a perfuração de um poço de 200
metros, a construtora contratou 30 operários. Em quantos dias essa
segunda equipe terá concluído esse outro poço?
2. Quinze pedreiros realizam uma obra em 10 dias, trabalhando 8 horas por
dia. Quantos dias 20 pedreiros, trabalhando 4 horas por dia, levariam para
realizar a mesma obra?
�. Em 6 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 90 tortas. Para fazer 40
tortas, 4 confeiteiros levariam quantos dias?
�. Um trabalhador autônomo fabrica 50 objetos em 3 dias, trabalhando 2
horas por dia. Quantas horas por dia deve trabalhar para fabricar 100
objetos do mesmo tipo em 4 dias?
��
Matemática a02
Responda aqui
aplicações do estudo
de regra de três
Porcentagem
Muitas vezes, ouvimos expressões como: “o índice de reajuste da categoria é de 12,5%”,
“desconto de até 50% na semana do Natal”, “a inflação de junho foi de 0,25%” e “os
preços subiram em média 0,32%”.
��
Matemática a02
Todas essas expressões envolvem um conceito denominado porcentagem (ou
percentagem).
Utilizar o conceito de porcentagem é comparar duas razões em uma proporção direta,
em que uma das razões tem conseqüente igual a 100 e, entre os outros três termos,
um é desconhecido. Na verdade, resolver um problema de porcentagem é partir da
seguinte regra de três:
Sendo A e B valores absolutos de uma parte e do todo, respectivamente, a ser estudado,
e C, o valor percentual correspondente à parte A.
Como já foi dito anteriormente, a proporção é direta, ou seja, podemos formar diretamente
a proporção A
B
=
C
100
, que podemos descrever como ‘a parte A está para o todo B
assim como a porcentagem C está para 100%’.
Que tal alguns exemplos?
Valor
absoluto
Valor
percentual
A C
B 100
exemplo �0
a) Calcular 20% de 130.
Calcular 20% de 130 equivale a determinar o valor x que está para 130,
assim como 20 está para 100. Ou seja,
Assim, podemos formar a proporção:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
Resposta: O valor procurado é 26.
Valor
absoluto
Valor
percentual
x 20
130 100
(Eq. 10)
x
130
=
20
100
100 · x = 130 · 20 ⇒ 100x = 2 600 ⇒ x =
2 600
100
⇒ x = 26
20
Matemática a02
exemplo ��
O valor 28 representa qual porcentagem de 200?
Podemos formar a seguinte proporção:
Com a aplicação da propriedade fundamental das proporções, teremos:
Resposta: O valor procurado é 14.
28
200
=
x
100
(Eq. 11)
200 · x = 100 · 28 ⇒ 200x = 2 800 ⇒ x =
2 800
200
⇒ x = 14
exemplo �2
De qual quantia R$ 15,00 representa 8%?
Resposta: R$ 15,00 equivale a 8% de R$ 187,50.
15
x
=
8
100
(Eq. 12)
8 · x = 15 · 100 ⇒ 8x = 1 500 ⇒ x =
1 500
8
⇒ x = 187, 50
Lembre que o cálculo percentual não é resolvido apenas pelo processo da regra de três.
Se você já resolveu todas as atividades e já conferiu seus cálculos, resolva a lista de
exercícios a seguir:
20
Matemática a02
Valor
absoluto
Valor
percentual
28 x
200 100
exercícios
2�
Matemática a02
�) Um trem percorre 120 km
em 3h. Para percorrer 200 km, mantendo a mesma
velocidade média, esse trem levará:
a) 4 horas. b) 4 horas e 30 minutos. c) 5 horas. d) 5 horas e meia.
2) Se um automóvel faz 60 km com 5 litros de gasolina, a quantidade de litros de gasolina
que esse automóvel gastaria para percorrer 180 km, nas mesmas condições, é de:
a) 9 litros. b) 12 litros. c) 14 litros. d) 15 litros.
�) Um ônibus com velocidade média de 60 km/h percorre a distância entre duas cidades
em 4h. O tempo que esse veículo levará para percorrer a mesma distância, se
aumentar a velocidade média para 80 km/h, será:
a) 1 hora e 30 minutos. b) 2 horas. c) 2 horas e 20 minutos. d) 3 horas.
�) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. O número de páginas que o
livro teria, se houvesse 45 linhas por páginas, seria igual a:
a) 280. b) 240. c) 230. d) 210.
�) Se 10 pedreiros levam 60 dias para construir uma casa, o tempo que 6 pedreiros
levariam para construir uma casa idêntica seria de:
a) 100 dias. c) 120 dias. d) 150 dias. e) 180 dias.
�) Trinta operários construíram 600 m de uma ponte, trabalhando 8 horas por dia, durante
20 dias. O tempo com que, nas mesmas condições, 50 operários, trabalhando 6 horas
por dia, construiriam 1 200 m de ponte, é de:
a) 32 dias. b) 31 dias. c) 29 dias. d) 27 dias.
�) Em uma locadora de automóveis, oito carros iguais consomem 100 litros de gasolina,
em cinco dias. Quantos carros, idênticos aos primeiros, consomem 500 litros, em
10 dias?
a) 19. b) 20. c) 22. d) 23.
�) Que quantia corresponde a 30% de R$ 180,00?
a) R$ 27,00. b) R$ 48,40. c) R$ 54,00. d) R$ 64,40.
22
Matemática a02
auto-avaliação
2�
Matemática a02
Leitura complementar
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 20 jun. 2008.
Entre os vários tópicos encontrados no site Só Matemática, você encontrará um resumo
sobre regra de três simples e regra de três composta. Basta se cadastrar para ter livre
acesso ao conteúdo.
Nesta aula, perpassamos pelos conceitos de regra de três (simples e composta);
identificamos regra de três simples; percebemos a diferença entre direta e
inversa, bem como resolvemos cada um dos tipos, com estas envolvidas. Também
verificamos possibilidades envolvendo regra de três composta, com três ou quatro
grandezas. E introduzimos um breve estudo sobre porcentagem, aplicando àquilo
que estudamos em regra de três.
�. Relacione os itens da primeira coluna com os da segunda:
a) Processo de resolução de problemas onde se tem pares de valores
para cada uma das grandezas envolvidas e apenas um desses valores é
desconhecido.
b) Apenas duas grandezas estão envolvidas e uma é inversamente proporcional
a outra.
c) Processo de resolução de problemas onde se têm três ou mais grandezas
envolvidas.
d) Apenas duas grandezas estão envolvidas e uma é diretamente proporcional
a que apresenta o valor desconhecido.
( ) é chamado de regra de três composta.
( ) é chamado de regra de três simples direta.
( ) é chamado de regra de três.
( ) é chamado de regra de três simples inversa.
2�
Matemática a02
2. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F), nas afirmativas a seguir:
a. 20% de 1 900 é 38 . ( )
b. Se dois operários pintam uma sala em três dias, três operários fariam o
mesmo serviço em quatro dias e meio. ( )
c. Três cavalos bebem 40 litros de água em dois dias. Nessas condições, em
três dias, cinco cavalos beberiam 100 litros de água. ( )
Para consulta
Regra de três simples
Processo prático de resolução de problemas que envolvem três valores conhecidos
e um desconhecido. Dois desses valores se referem a uma mesma grandeza.
Através desse processo, determina-se um valor a partir dos outros três.
etapas desse processo de resolução:
�º. passo: organização dos dados e construção de um quadro de comparação
das grandezas;
2º. passo: análise da variação de uma grandeza em relação à outra, indicando o
sentido dessa variação;
�º. passo: escrever e resolver uma proporção com os dados;
�º. passo: elaborar uma resposta, a partir do que se pede no problema.
Regra de três simples direta
Envolve duas grandezas diretamente proporcionais. As setas indicativas apontam
para a mesma direção. A resolução é a partir da proporção formada diretamente
das razões que formamos em cada grandeza, no quadro de comparação de
grandezas.
Regra de três simples inversa
Envolve duas grandezas inversamente proporcionais. As setas indicativas apontam
para direções opostas. A resolução é a partir da proporção formada após a
inversão de uma das razões que formamos em cada grandeza, no quadro de
comparação de grandezas.
2�
Matemática a02
Regra de três composta
Envolve três grandezas ou mais. Comparada àquela que apresenta o valor
desconhecido, as demais grandezas podem ser diretamente ou inversamente
proporcionais.
etapas desse processo de resolução:
�º. passo: construir um quadro com os dados do problema, apresentando os
valores de cada grandeza em colunas e, em cada linha, os elementos de
grandezas diferentes que se correspondem;
2º. passo: identificar os tipos de variação de uma grandeza em relação à outra,
comparando sempre a grandeza que apresenta o valor desconhecido com
uma outra. Repetir essa comparação até que todas as grandezas sejam
identificadas como diretamente ou inversamente proporcionais em relação à
grandeza que apresenta o valor desconhecido;
�º. passo: inverter as razões das grandezas inversamente proporcionais àquela
que apresenta o valor desconhecido. Construir e resolver a proporção formada
pela igualdade entre a razão que contém o valor desconhecido e a formada
pelo produto das outras razões;
�º. passo: elaborar uma resposta, de acordo com o que se pede no problema.
Porcentagem:
A
B
=
C
100 , onde A, B e C são números diferentes de zero e um desses valores
é desconhecido.
Respostas das atividades:
atividade �:
�. Por 45 dias de trabalho, o operário receberá R$ 2 070,00.
Valor absoluto Valor percentual
A C
B 100
2�
Matemática a02
2. São necessários 280 kg.
�. Nessas condições, seriam produzidas 9 000 peças.
atividade 2:
�. O mesmo percurso seria feito em 4h.
2. Durariam 30 dias.
�. O novo prazo seria de 18 dias.
atividade �:
�. A segunda equipe terá concluído em 35 dias.
2. Levariam 15 dias.
�. Levariam 8 dias.
�. Deve trabalhar 3 horas por dia.
Respostas dos exercícios
�) 5 horas.
2) 5 litros.
�) 3 horas.
�) 240.
�) 100 dias.
�) 32 dias.
�) 20.
�) R$ 54,00.
Respostas da auto-avaliação
�. A ordem da segunda coluna é c, d, a, b.
2. F, F, V
Observe que:
(a) 20% de 1 900 é 380. (É uma regra de três simples direta)
(b) A resposta correta seria 2 dias. (É uma regra de três simples inversa)
(c) Todas as grandezas são diretamente proporcionais entre si.
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São
Paulo: Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. matemática financeira para concursos: mais de 1.500
aplicações. São Paulo: Atlas, 2003.
2�
Matemática a02
anotações
2�
Matemática a02
anotações
03
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Conhecendo as unidades de medidas
(parte I)
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
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Diagramação
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Mariana Araújo de Brito
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Arte e ilustração
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Revisão Tipográfica
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Revisão das Normas da ABNT
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Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá
por aqu
i...
Objetivo
�
Matemática A03
...um breve estudo sobre a leitura, a correta representação e como efetuar algumas
operações com as unidades de medidas de tempo, de comprimento e medidas de área.
Esses conteúdos foram desenvolvidos através de uma teoria básica, ilustrada através
de diversos exemplos, intercalada também com algumas atividades.
Essas atividades que se encontram em três blocos, ao longo desta aula, apresentam-se
após cada parte do conteúdo, ou seja, temos uma atividade apenas sobre as unidades de
tempo, uma segunda atividade somente sobre as unidades de medidas de comprimento
e uma terceira e última atividade sobre as unidades de medidas de superfície.
Para fixar mais o conteúdo temos, ao final da aula, uma lista de exercícios envolvendo todo o
conteúdo estudado nesta aula e, ocasionalmente, algum conteúdo de aulas anteriores.
Reserve um tempo para seus estudos e boa aula.
Conhecer as medidas de tempo mais usuais e identificar os
respectivos símbolos dessas medidas.
Utilizar corretamente o símbolo de determinada unidade de medida.
Saber identificar as unidades de medidas de tempo, de comprimento
ou de superfície mais utilizadas.
Resolver, sempre que se fizer necessário, situações práticas que
envolvam a conversão de uma dada medida expressa em certa
unidade em uma medida equivalente, expressa em outra unidade
de mesma espécie.
�
Matemática A03
Para começo
de conversa...
A necessidade de medir é muito antiga e surgiu com a origem das civilizações.
Antigamente, quando se tratava de medir alguma coisa (a extensão de um
terreno ou o comprimento de um pedaço de tecido), cada um usava o que
estava mais próximo, fosse o tamanho do próprio pé ou a extensão do seu
braço ou de seus passos etc., ou seja, não existiam as medidas padronizadas
que temos hoje. E como essas medidas mudam de pessoa para pessoa,
isso sempre causava confusão.
Com o passar do tempo, foram sendo criados padrões para essas medidas.
Em cada comunidade, em cada região, foi sendo estabelecido um sistema de
medidas próprio, tendo como base medidas de pouca ou nenhuma precisão,
como as que têm como referência alguma parte do corpo humano, como,
por exemplo, polegada, palmo, pé, braça e côvado.
Não precisamos dizer que isso gerava uma grande confusão no comércio, pois
as pessoas de uma comunidade ou região nem sempre conheciam o sistema
de medidas de outras comunidades, ou não havia equivalência entre diferentes
unidades de medidas.
Havia a necessidade de se ter um sistema de medidas que reduzisse as
confusões geradas pelas diferenças de padrões sobre uma mesma medida e,
em 1789, surgiu o Sistema Métrico Decimal, a pedido do Governo Republicano
Francês à Academia de Ciências Francesa.
O governo francês solicitou que fosse criado um sistema de medidas que
tivesse uma “constante natural” como base. Assim, surgiu o Sistema Métrico
Decimal, que foi adotado também por outros países posteriormente, inclusive
pelo Brasil. Esse sistema adotou inicialmente três unidades básicas de medida:
o metro, o litro e o quilograma.
Com o desenvolvimento científico e tecnológico que veio a seguir, era necessário
criar as mais diversas medidas e estabelecer medidas cada vez mais precisas.
Com esse propósito, em 1960, o Sistema Métrico Decimal foi substituído pelo
Sistema Internacional de Unidades (SI), mais amplo, complexo e sofisticado.
Esse sistema, o SI, foi adotado pelo Brasil em 1962 e, a partir de 1988, passou
a ser obrigatório em todo o país.
3
Matemática A03
Estudando as
unidades de medidas
Unidades de tempo
O sol, por muito tempo, foi usado como referencial para medidas de tempo. O intervalo
de tempo entre duas passagens sucessivas do sol por um mesmo meridiano é chamado
de dia solar.
A unidade de tempo adotada como unidade padrão pelo Sistema Internacional (SI) é o
segundo (s ), que é equivalente a
1
86 400 de um dia solar médio.
Algumas situações apresentam medidas maiores que o segundo. Nelas podemos
observar alguns múltiplos do segundo. Eis alguns:
o minuto (min), que é igual a 60 s;
a hora (h), que é igual a 60 min, ou ainda, a 60 . 60 s = 3 600 s;
o dia (d ), que é igual a 24 h, ou seja, 24 . 3 600 s = 86 400 s.
Algumas situações apresentam medidas menores que o segundo. São os submúltiplos
do segundo. Entre eles, temos:
o décimo de segundo, que é igual a 0,1 s;
o centésimo de segundo, que é igual a 0,01 s;
o milésimo de segundo, que é igual a 0,001 s.
�
Matemática A03
Uso correto das medidas de tempo
Ao escrevermos uma medida de tempo como 1,3 h, por exemplo, não devemos substituir
por 1 h 30 min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
1, 3h = 1h+
3
10
h = 1h+
3
10
· 60min = 1h+
180
10
min = 1h+ 18min
Ou seja, 1,3 h = 1 h 18 min.
Ao escrever as medidas de tempo, observe o uso correto dos símbolos para hora,
minuto e segundo.
Ao representar medidas de tempo, também observe a escrita correta dos símbolos
correspondentes de cada unidade de medida.
Correto 10 h 32 min 10 h 32 min 12s
Errado
10:32 h
10 hrs 32 mins
10 h 32’ 12”
10 h 32 m 12 seg
Existem duas unidades de medidas angulares, a unidade minuto, representada pelo
símbolo (‘), e a unidade segundo, representada pelo símbolo (“), medidas homônimas
às unidades de tempo que vimos a pouco, porém somente devem ser utilizadas para
medidas angulares e não para medidas de tempo.
Operações com medidas de tempo
Em algumas situações precisamos realizar operações com medidas de tempo.
Vejamos algumas dessas situações:
Exemplo �
As duas músicas preferidas de Carol têm 5 min 32 s e 4 min 26 s. Qual
é o tempo que ela leva para ouvir as duas músicas, uma após a outra,
sem pausa entre elas?
5min 32 s
+ 4min 26 s
9min 58 s
Para resolver essa questão basta somarmos as medidas, colocando os
termos de mesma unidade um abaixo do outro.
Assim, o tempo total que Carol leva para ouvir as duas músicas, sem pausa
entre elas, é de 9 min 58 s.
�
Matemática A03
Exemplo �
Qual é a soma das medidas 3 h 05 min 20 s, 2 h 03 min e 1 h 25 s?
3h 05min 20 s
2h 03min 00 s
+ 1h 00min 25 s
6h 08min 45 s
A soma das medidas é 6 h 08 min 45 s.
Nas duas situações acima, efetuamos uma adição de medidas de tempo. Como você
pôde observar, nos dois exemplos anteriores, quando realizamos uma adição com esse
tipo de medida, devemos somar as partes que têm as mesmas unidades entre si.
Vejamos outros exemplos:
Exemplo 3
Em um CD-R podem ser gravados até 80 min de músicas. Se um CD-R já
contém 50 min 12 s de música, quanto tempo de gravação tem disponível
em seu espaço livre?
Para resolver essa questão, devemos “retirar” do tempo total de gravação
do CD-R o tempo de gravação que já está ocupado. Assim, temos:
80min 00 s
− 50min 12 s
? s
Para poder realizar essa operação, devemos “pedir emprestado” 1 min
e transformá-lo em 60 s, ou seja, substituímos 80 min por 79 min 60 s.
Assim:
79min 60 s
− 50min 12 s
29min 48 s
O tempo de gravação disponível no CD-R é de 29 min 48 s.
�
Matemática A03
Exemplo �
Em um treino de Fórmula 1, os tempos obtidos por dois pilotos foram (a) 1 min
15 s 306 e (b) 1 min 15 s 978. Qual a diferença entre
esses dois tempos?
Para resolver essa operação tomamos o tempo maior (b) e subtraímos o
tempo menor (a). Assim, temos:
1min 15 s 978
− 1min 15 s 306
0min 00 s 672
A diferença entre os dois tempos é de 672 milésimos de segundos.
Nas duas situações anteriores, efetuamos a subtração de medidas de tempo. Também aqui
efetuamos a operação entre termos que têm a mesma unidade. Sempre que necessário
precisamos “pedir emprestado” de um termo que apresenta uma unidade maior.
Exemplo �
Calcule 12 h 15 min 25 s – 5 h 23 min 45 s.
Temos:
12h 15min 25 s
− 05h 23min 45 s
? s ? s
Emprestando 1min e convertendo-o em 60s, que são adicionados aos
segundos já existentes, temos: 12 h 14 min 85 s – 5 h 23 min 45 s. Ou:
12h 14min 85 s
− 05h 23min 45 s
? s 40 s
Entretanto, para efetuar a subtração entre os minutos, temos que pedir
emprestado 1 h e convertê-la em 60 minutos, adicionando-os aos minutos
já existentes. Assim:
11h 74min 85 s
− 05h 23min 45 s
06h 51min 40 s
A diferença entre os tempos é de 6 h 51 min 40 s.
�
Matemática A03
Às vezes, a operação a ser realizada com unidades de medidas é a multiplicação por
um número real. Vejamos, agora, essa operação no exemplo a seguir:
Exemplo �
Se, em um determinado circuito, um ciclista consegue percorrer cada volta
em 12 minutos, quanto tempo levaria para percorrer seis voltas, nesse
mesmo circuito, se mantivesse essa velocidade média?
Nesse caso, basta multiplicarmos por 6 o tempo de percurso, ou seja,
o tempo total para as 6 voltas, com a mesma velocidade média, é de
6 . 12 min = 72 min.
Lembrando que 72 min = 60 min + 12 min = 1 h 12 min, podemos afirmar
que o ciclista levaria 1 h 12 min para percorrer seis voltas.
No exemplo anterior, efetuamos uma multiplicação com medidas de tempo.
Após a multiplicação, em algumas situações, devemos “arrumar” a medida que
apresentar “excessos”.
Algumas vezes, em determinadas situações, precisamos dividir uma medida de tempo
por um número. Vejamos uma dessas situações:
Exemplo �
Quando um medicamento é receitado pelo médico para ser tomado
três vezes ao dia, fazemos a divisão de um dia (24 h) por três para
saber com qual freqüência ele deverá ser tomado. Assim, fazemos:
1 d ÷ 3 = 24 h ÷ 3 = 8 h.
Ou seja, esse medicamento deve ser administrado a cada 8 horas.
Às vezes, a divisão pede um pouco mais de cuidado. Vejamos um exemplo para
essa situação.
�Praticando...
�
Matemática A03
Exemplo �
Efetuando a divisão 12 h ÷ 5, temos:
12 5
-10 2,4
020
-20
00
2, 4h = 2h+ 0, 4h = 2h+
4
10
· 60min = 2h+
240
10
min 2h+ 24min = 2h 24min
�. Leia as seguintes medidas de tempo e coloque-as em ordem
crescente:
a. 11 h 03 s b. 1 min 55 s 387 c. 5 h 03 min 37 s
�. Em um torneio de bicicleta de certo bairro, um ciclista percorreu o
circuito com os seguintes tempos: (1ª. volta) 12 min 05 s; (2ª. volta)
11 min 55 s e (3ª. volta) 12 min 01 s. As três voltas foram feitas por esse
atleta completando que tempo total?
3. Um piloto de Fórmula 1 fez com seu carro uma volta em 1 min 35 s 896,
no primeiro treino livre de certo grande prêmio. Após alguns ajustes no
motor, nesse mesmo treino, esse piloto conseguiu reduzir seu tempo para
1 min 28 s 325. Em quanto tempo foi reduzido, por esse piloto, o tempo
de percurso de uma volta?
�. Considerando que o ponteiro de minutos de um relógio defeituoso dê
uma volta completa em 1 min 08 s, quanto tempo levará para que esse
ponteiro dê 60 voltas completas?
�. Um torno produz, a cada minuto, um total de 600 rotações. Quantas
rotações ele produz por segundo? Nessas condições, quanto tempo dura
cada uma de suas rotações?
�
Matemática A03
Unidades de
comprimento
O SI adota o metro (m) como medida fundamental de comprimento, cujo nome vem do
grego métron e significa “medida”.
Inicialmente, foi instituído que a medida do metro seria
1
10 000 000 da distância do
Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa pela cidade de Paris (França).
No Brasil, essa medida (o metro) foi adotada oficialmente em 1928.
Existem outras unidades, além do metro, que utilizamos para representar uma medida
de comprimento. Algumas unidades são consideradas múltiplos do metro e outras, seus
submúltiplos. As que fazem parte desses dois grupos têm como radical a palavra metro
e um prefixo que indica sua relação de multiplicidade como metro. São elas:
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro hectômetro Decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Quando escrevemos grandes medidas, utilizamos os múltiplos do metro. Quando
escrevemos pequenas medidas, utilizamos seus submúltiplos. Para medidas
extremamente pequenas, que exige uma maior precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10−6 m
nanômetro (nm) = 10−9 m
angströn (Å) = 10−10 m
Para distâncias muito grandes, utilizamos a unidade Ano-luz (distância percorrida pela
luz em um ano) que é o mesmo que 9,5 . 1012 km.
Algumas unidades como o pé (ft), a polegada (in), a milha (mi) e a jarda (yd) são
unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal e que são mais utilizadas em
países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
1 polegada = 2,54 cm
1 pé = 30,48 cm
1 jarda = 91,44 cm
1 milha terrestre = 1 609 m
1 milha marítima = 1 852 m
�0
Matemática A03
Exemplo �
Para fazer a leitura da medida 8,14 dm, devemos seguir alguns passos:
�º. passo: Construir o quadro de unidades.
km hm dam m dm cm mm
�º. passo: Escrever a medida no quadro de unidades, inserindo primeiramente
o último algarismo da parte inteira acompanhado da vírgula, logo abaixo
da unidade correspondente, e os demais algarismos, um a um, abaixo de
suas respectivas unidades.
km hm dam m dm cm mm
8, 1 4
3º. passo: A parte inteira deve ser lida acompanhada da unidade de medida
onde se encontra a vírgula e a parte decimal acompanhada da unidade de
medida do último algarismo da mesma. Ou seja, a leitura dessa medida é
oito decímetros e catorze milímetros.
Leitura das medidas de comprimento
A leitura de uma medida de comprimento deve ser feita em algumas etapas.
Primeiramente, devemos lembrar a ordem das unidades de comprimento.
Para isso, podemos construir um quadro de unidades.
Em seguida, localizamos o algarismo que deve ser colocado no quadro sob a unidade
que acompanha a medida. Esse algarismo é o algarismo da parte inteira que se encontra
mais próximo da vírgula. Ele e a vírgula são inseridos nessa casa.
Os demais algarismos são inseridos no quadro, ocupando a mesma ordem que ocupavam
no valor numérico da medida a ser lida.
Por último, fazemos a leitura da parte inteira seguida da unidade onde a vírgula se encontra
e da parte decimal seguida da unidade onde se localiza seu último algarismo.
km hm dam m dm cm mm
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
��
Matemática A03
Vejamos outro exemplo:
Exemplo �0
Fazendo a leitura da medida 13, 258 hm, temos:
�º. passo:
km hm dam m dm cm mm
�º. passo:
km hm dam m dm cm mm
1 3, 2 5 8
3º. passo: A leitura da medida é treze hectômetros e duzentos e cinqüenta
e oito decímetros.
Conversão de medidas
Converter medidas de comprimento é realizar a transformação de uma medida em
outra equivalente, escrita com outra unidade. Para realizar essa conversão, precisamos
lembrar-nos da relação de multiplicidade entre essas unidades. No sistema métrico,
cada unidade é 10 vezes maior que a unidade a sua direita.
Quando convertemos uma medida para uma unidade menor que a unidade dada,
devemos multiplicar o valor numérico que representa a medida por 10, sucessivamente,
quantas vezes forem necessárias. Ou ainda, quando convertemos uma medida
para uma
unidade menor que a unidade dada é preciso dividir o valor numérico que a representa
por 10, sucessivamente, quantas vezes forem necessárias.
��
Matemática A03
Exemplo ��
Escreva a medida 72,146 hm em metros (m).
Para transformar a unidade de medida de hectômetros (hm) para
metros (m) (duas unidades à direita), devemos multiplicar o valor numérico
dessa medida por 10 . 10, ou seja, por 100. Veja a figura:
km hm dam m dm cm mm
�10 �10
Então, temos: 72, 146 x 100 = 7 214,6.
Assim: 72, 146 hm = 7 214,6 m
Exemplo ��
Transforme 17,185 dam em centímetros (cm).
Observe a figura:
km hm dam m dm cm mm
�10 �10 �10
Para transformar a unidade de medida de decâmetro (dam) para cm
(três unidades à direita), devemos multiplicar seu valor numérico por
10 . 10 . 10, ou seja, devemos multiplicá-lo por 1 000. Então, temos:
17, 185 . 1.000 = 17 185.
Assim: 17, 185 dam = 17 185 cm.
Exemplo �3
Transforme 58,3 m em decâmetros (dam).
Veja a figura:
km hm dam m dm cm mm
�10
Para transformar m em dam (uma unidade à esquerda) devemos dividir por 10.
Então, temos: 58,3 ÷ 10 = 5,83.
Assim: 58,3 m = 5,83 dam.
Perímetro
Perímetro de um polígono
é o nome dado à soma
das medidas dos lados
desse polígono.
�3
Matemática A03
Exemplo ��
Transforme 1 233 m em quilômetros (km).
Observe a figura a seguir:
km hm dam m dm cm mm
�10 �10 �10
Para transformar m em km (três unidades à esquerda) devemos dividir seu
valor numérico por 10 três vezes consecutivas, ou seja, devemos dividi-lo
por 1.000. Então, temos: 1 233 ÷ 1 000 = 1, 233.
Assim: 1 233 m = 1, 233 km.
Atenção! Quando encontramos uma expressão que envolve a adição ou
subtração de medidas de comprimento com diferentes unidades, devemos
inicialmente transformá-las para que todos esses termos apresentem uma
mesma unidade a fim de podermos efetuar essas operações.
Operações com medidas de comprimento
Em alguns momentos, é necessário efetuar algumas operações com medidas de
comprimento. Aqui você verá a adição e a subtração de medidas de comprimento, a
multiplicação de medidas de comprimento por um número e a divisão de medidas de
comprimento por um número, através de algumas situações em que essas operações
podem ser utilizadas.
Perímetro e semiperímetro de um polígono
Considere um retângulo cujas medidas de seus lados chamaremos de a e b.
O perímetro desse retângulo é dado pela expressão:
Perímetro = a + b + a + b
Perímetro = 2 . a + 2 . b, ou ainda, Perímetro = 2 . (a + b).
Na Geometria, o perímetro de um polígono recebe o símbolo 2p, pois se representa o
semiperímetro (medida muito utilizada) pela letra p.
��
Matemática A03
Exemplo ��
Considere um retângulo que tem altura igual a 5 cm e 12 cm de comprimento.
Calcule o perímetro desse polígono.
O perímetro desse retângulo é igual a 5 cm + 12 cm + 5 cm + 12 cm, ou
seja, é igual a 34 cm.
Assim, o perímetro desse retângulo pode ser representado pela expressão
2p = 2 . (a + b) e seu semiperímetro pela expressão p = a + b.
Em um polígono regular, as medidas dos lados são todas iguais, então o perímetro de
um polígono regular é o produto do número de lados pela medida do lado. Assim, se
um polígono tem n lados de mesma medida (aqui representada por a), dizemos que o
perímetro e o semiperímetro do polígono são representados pelas expressões:
Perímetro: 2p = n . a
Semiperímetro: p =
n · a
2
O quadro abaixo apresenta as expressões para os perímetros de alguns
polígonos regulares:
Polígono Perímetro Semiperímetro
Triângulo eqüilátero 2p = 3 . a p =
3 · a
2
Quadrado 2p = 4 . a p =
4 · a
2
⇒ p = 2 · a
Pentágono regular 2p = 5 . a p =
5 · a
2
Hexágono regular 2p = 6 . a p =
6 · a
2
⇒ p = 3 · a
Octógono regular 2p = 8 . a p =
8 · a
2
⇒ p = 4 · a
Decágono regular 2p = 10 . a p =
10 · a
2
⇒ p = 5 · a
Em situações que envolvem o cálculo do perímetro ou do semiperímetro de algumas
figuras geométricas, efetuamos, possivelmente, a adição de medidas de comprimento,
a multiplicação de medidas de comprimento por um número e a divisão de uma medida
de comprimento por um número.
P
Posição
inicial
Posição
final
P
P
P
P
C
P
P
P
P
��
Matemática A03
Aqui efetuamos a adição de medidas de comprimento, porém quando essas figuras
geométricas são polígonos regulares, as operações efetuadas são a multiplicação
e a divisão.
Exemplo ��
Calcule o perímetro de um quadrado, sabendo que cada um de seus lados
mede 8,5 cm.
Um quadrado é um polígono regular (todos os seus lados têm a mesma
medida), logo seu perímetro mede 4 . (8,5 cm), ou seja, mede 34 cm.
Exemplo ��
Sabendo-se que o perímetro de um hexágono mede 42 cm, calcule a medida
de cada lado desse polígono.
Como o hexágono é um polígono regular de seis lados, seu perímetro pode
ser representado pela expressão 6 . a. Quando igualamos essa expressão
a 42 cm, podemos encontrar o valor de a, ou seja:
6 . a = 42 cm ⇒ a = 42 cm ÷ 6 ⇒ a = 7 cm
A medida de cada lado do hexágono é igual a 7 cm.
Comprimento da Circunferência
Em uma bicicleta, cada um dos pneus tem raio r igual a 26 cm. Cada volta desses pneus
equivale, na horizontal, a quantos centímetros?
Marque um ponto em um dos pneus (pode ser na parte que encosta no chão) e desloque
a bicicleta até que o ponto esteja na mesma posição. Marque o início e o fim dessa
volta com a ajuda de um barbante.
�Praticando...
��
Matemática A03
Medindo o comprimento C correspondente ao deslocamento do pneu nessa volta,
você terá aproximadamente 163,28 cm, que é um valor um pouco mais que o triplo do
diâmetro (D ) de cada pneu.
Lembre-se:
Diâmetro (D ) é o dobro da medida do raio de uma circunferência.
Observe que, se dividirmos o comprimento C pelo diâmetro (D ), teremos um valor
próximo de 3,14. Ou seja:
C
D
∼= 3, 14
A esse valor 3, 1415... que é encontrado na divisão de C por D, na Matemática, é associada
a letra grega π (lê-se: “PI”). Assim:
C
D
= π ⇒ C = D · π ⇒ C = 2rπ ⇒ C = 2πr
Podemos aplicar a fórmula C=2π para determinar o comprimento de qualquer
circunferência.
�. Faça a leitura de cada medida a seguir e escreva-as abaixo, em
ordem crescente:
a. 12,6 dam b. 105,38 m
c. 2,306 hm d. 125,8 dm
Exemplo ��
Quanto mede o comprimento da circunferência de raio igual a 10 cm?
Aplicando a fórmula do comprimento da circunferência, temos:
C = 2⋅π⋅r ⇒ C = 2 . 3,14 . 10 ⇒ C = 62,8 cm
A circunferência tem comprimento igual a 62,8 cm.
Responda aqui
��
Matemática A03
�. Complete as igualdades a seguir, apresentando uma medida equivalente
à medida dada:
a. 12,6 dam = ........... cm b. 105,38 m = ........... hm
c. 2,306 hm = ........... dm d. 125,8 dm = ........... dam
3. O perímetro de um octógono é igual a 12 cm. Quanto mede cada lado
desse polígono?
�. O semiperímetro de um terreno retangular é igual a 32 m. Sabendo que
a largura desse terreno está para a sua profundidade, assim como três
está para cinco, quais são as dimensões desse retângulo?
��
Matemática A03
Unidades de área
Quando, em nosso cotidiano, deparamos com questões como “qual é a área desse
cômodo?”, “quantos metros quadrados de cerâmica são necessários para revestir
esse piso?” ou “preciso calcular a área das paredes desse apartamento” estamos nos
preocupando com a área de uma superfície.
Algumas pessoas confundem área e superfície, mas devemos lembrar que superfície
é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é um número que representa a
medida dessa grandeza.
A unidade fundamental para medidas de superfície é o metro quadrado (m2), que
corresponde à medida da superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2
Para medir pequenas superfícies recorremos ao dm2, o cm2 e o mm2, enquanto o
dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies.
��
Matemática A03
Vejamos como podemos fazer a leitura de medidas com essas unidades nos
exemplos a seguir.
Leitura das medidas de comprimento
Para fazer a leitura de medidas de superfície, vamos construir um quadro de unidades,
inserir o valor numérico dessa medida e, finalmente, fazer a leitura da medida dada.
Vejamos como podemos fazer a leitura das medidas de superfície nos exemplos a seguir:
Exemplo ��
Leia a seguinte medida: 75,18 m2.
Devemos estabelecer algumas etapas para fazer a leitura de uma medida
de superfície:
�º. Passo – Primeiramente devemos construir o quadro de unidades.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
�º. Passo – Inserir os dois últimos números da parte inteira (juntamente
com a vírgula) sob a unidade indicada ao lado da medida, neste caso o
metro quadrado (m2). Os demais algarismos serão inseridos dois a dois
sob as unidades das casas vizinhas, de acordo com suas posições no valor
numérico da medida dada.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
75, 18
3º. Passo – Fazemos a leitura: setenta e cinco metros quadrados de dezoito
decímetros quadrados.
Exemplo �0
Leia a seguinte medida: 931,8 m2.
Construindo o quadro de unidades (�º. passo) e inserindo os algarismos
nos devidos espaços (�º. passo), obtemos:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
9 31, 80
A medida 931,8 m2 tem a seguinte leitura: novecentos e trinta e um metros
quadrados e oitenta decímetros quadrados.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�0
Matemática A03
Exemplo ��
Leia a seguinte medida: 0, 425 dam2 .
Construindo o quadro de unidades (�º. passo) e inserindo os algarismos
nos devidos espaços (�º. passo), obtemos:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 42 50
A leitura da medida 0,425dam2 é: quatro mil duzentos e cinqüenta
decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
Nas regiões agrícolas, as medidas mais utilizadas para medição de superfícies de plantio
ou de propriedades são as medidas agrárias. A principal unidade das medidas agrárias
é o are (a), que possui um múltiplo, o hectare (ha) e um submúltiplo, o centiare (ca).
Múltiplo Principal unidade Submúltiplo
hectare (ha) are (a) centiare (ca)
100 a 1 a 0,01a
1 hm2 1 dam2 1 m2
Outras medidas como o alqueire, por exemplo, também são utilizados nessas regiões,
porém têm padrões variáveis de uma região para outra. Esse tipo de medida é utilizado
onde você mora? Que tal pesquisar na Internet sobre esse assunto?
Conversão de medidas de superfície
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades
de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior.
Na conversão de medidas, se a unidade na qual a medida vai ser expressa está à direita
da unidade da medida original, devemos multiplicar seu valor numérico por 100, tantas
vezes quantas forem as posições entre as unidades. Para a conversão para uma unidade
à esquerda da unidade da medida original, devemos dividir seu valor numérico por 100,
tantas vezes quantas forem as posições entre as unidades.
��
Matemática A03
Observe as transformações realizadas nos exemplos a seguir:
Exemplo ��
Escreva a medida 5,41 m2 em mm2.
Observe a figura:
km hm dam m dm cm mm
�10 �10
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar
o valor numérico da medida por 100 . 100 . 100, portanto o multiplicaremos
por 1 000 000. Ou seja, 5,41 . 1 000 000 = 5 410 000.
Assim: 5,41 m2 = 5 410 000 mm2.
Exemplo �3
Converta a medida 108,6 dam2 para outra medida equivalente em km2.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
�100 �100
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir o
valor numérico da medida por 100 . 100, ou seja, devemos multiplicá-lo por 10 000.
Logo, faremos 108,6 ÷ 10 000 = 0, 01086 km2.
Assim: 108,6 dam2 = 0,01086 km2.
Responda aqui
3Praticando...
��
Matemática A03
�) Leia as seguintes medidas de área abaixo e escreva-as em
ordem crescente:
a. 11,8 m2 b. 819,34 dam2
c. 0,215 km2 d. 2,5 dm2
�) Transforme cada uma das medidas a seguir em outra equivalente com
a unidade apresentada:
a. 11,8 m2 = .......... mm2. b. 819,34 dam2 = ........ m2.
c. 0,215 km2 = ............dm2. d. 2,5 dm2 = ........ m2.
3) A medida 125 ha é o mesmo que
a. 1,25 km2. b. 12,5 hm2.
c. 125 dam2. d. 1 250 m2.
�3
Matemática A03
Se você sentiu alguma dificuldade na resolução de alguma atividade anterior,
não se preocupe. Releia a seção do conteúdo correspondente, inclusive com
mais atenção aos detalhes apresentados nos exemplos e tente resolver
novamente as atividades.
Se você fez todas as atividades e não sentiu dificuldades, parabéns! Agora,
que tal passar para a resolução dos exercícios a seguir?
Ex
er
cí
ci
os
��
Matemática A03
�. A leitura “doze hectômetros e quinhentos e vinte e seis decímetros”
corresponde à medida:
a. 12 h 526 dm
b. 12, 526 dm
c. 12, 526 hm
d. 12, 0526 hm
�. Podemos ler a medida 72, 098 dam como sendo
a. setenta e dois decímetros e noventa e oito décimos de milímetros.
b. setenta e dois decâmetros e noventa e oito milímetros.
c. setenta e dois decâmetros e noventa e oito centímetros.
d. setenta e dois decâmetros e noventa e dois decímetros.
3. O quádruplo de 325,1 mm é o mesmo que
a. 13, 004 dm.
b. 130, 04 dm.
c. 1 300,4 dm.
d. 13 004 dm.
�. A quinta parte da medida 12,5 km é
a. 2 500 hm
b. 250 hm
c. 25 hm
d. 2,5 hm
��
Matemática A03
�. Se convertermos a medida 103,58 dam2, encontramos:
a. 10 358 metros quadrados.
b. 10 358 decímetros quadrados.
c. 10 358 centímetros quadrados.
d. 10 358 milímetros quadrados.
�. A leitura da medida da área do quadrado cujo lado mede 12,5 m é
a. cento e cinqüenta e seis metros quadrados e vinte e cinco
decímetros quadrados.
b. cento e vinte e cinco metros quadrados e vinte e cinco
centímetros quadrados.
c. cem metros quadrados e oitenta e cinco centímetros quadrados.
d. quarenta e oito metros quadrados e cinqüenta decímetros.
�. Considere um terreno cujas medidas são as seguintes: 4,25 m, 625 cm,
0,5 dam e 4 800 mm. Qual é o comprimento mínimo de arame necessário
para cercar esse terreno, utilizando uma cerca de cinco fi os?
Exemplo de cerca de 5 fios
Auto-avaliação
��
Matemática A03
Você viu, nesta aula, como representar medidas adequadamente, como fazer
a leitura e uma correta conversão de medidas de tempo, de comprimento
e de superfície, observando, também, como efetuar operações dessas
medidas, quando necessário ou solicitado.
�. Quais são as unidades de medidas de tempo mais utilizadas no seu
dia-a-dia?
�. Procure um artigo ou notícia em seu jornal local ou em revistas que
apresente ao menos uma medida de tempo. Verifique se a representação
dessa medida está correta.
3. Com a ajuda de uma régua, descubra as dimensões dos seguintes
objetos pessoais:
a. celular b. agenda c. calculadora
d. caneta e. lápis f. borracha
�. Determine as dimensões de seu quarto e calcule
a. o perímetro desse cômodo.
b. o semiperímetro desse cômodo.
c. a área do piso desse cômodo.
�. A medida 3,2 min é o mesmo que
a. 3 minutos e 22 segundos. b. 3 minutos e 20 segundos.
c. 3 minutos e 12 segundos d. 3 minutos e 2 segundos.
Para Consulta
��
Matemática A03
�. A medida 12, 625 dam é o mesmo que
a. 12 625 cm. b. 12 625 dm.
c. 12 625 m. d. 12 625 km.
�. A medida 62 400 mm2 é o mesmo que
a. 00, 624 km2. b. 0, 624 m2.
c. 6,24 dm2. d. 62,4 cm2.
Unidades de medidas de tempo:
Segundo (s) = Unidade fundamental
1 minuto (1 min) = 60 s; 1 hora (1 h) = 60 min = 3 600 s; 1 dia (1 d) = 86 400 s
Submúltiplos do segundo:
décimo de segundo (= 0,1 s);
centésimo de segundo (= 0,01 s);
milésimo de segundo (= 0,001 s).
Unidades de medidas de comprimento
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro hectômetro Decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Outras medidas:
mícron (µ) = 10-6 m
nanômetro (nm) = 109 m
angströn (Å) = 10-10 m
1 polegada = 2,54 cm
1 pé = 30,48 cm
1 jarda = 91,44 cm
1 milha terrestre = 1 609 m
1 milha marítima = 1 852 m
��
Matemática A03
Leitura das medidas de comprimento
Leia a parte inteira do número seguida da unidade onde a vírgula se encontra
e, logo depois, a parte decimal seguida da unidade onde se localiza seu
último algarismo no quadro de unidades.
km hm dam m dm cm mm
Conversão de medidas de comprimento
km hm dam m dm cm mm
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
Aplicações de operações com medidas de comprimento:
Perímetro de um retângulo: 2 . (a + b), a e b são as medidas dos lados.
Perímetro e semiperímetro de alguns polígonos regulares:
Polígono regulares Perímetro Semiperímetro
Triângulo eqüilátero 2p = 3 . a p =
3 · a
2
Quadrado 2p = 4 . a p =
4 · a
2
⇒ p = 2 · a
Pentágono regular 2p = 5 . a p =
5 · a
2
Hexágono regular 2p = 6 . a p =
6 · a
2
⇒ p = 3 · a
Octógono regular 2p = 8 . a p =
8 · a
2
⇒ p = 4 · a
Decágono regular 2p = 10 . a p =
10 · a
2
⇒ p = 5 · a
Comprimento da Circunferência:
C
2r
= π ⇒ C = 2πr
Unidades de medidas de superfície:
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001m2
Leitura de medidas de superfície:
Leia a parte inteira seguida da unidade de medida onde a vírgula está
localizada e, logo depois, leia a parte decimal seguida da unidade onde se
encontra o último algarismo à direita no quadro de unidades.
km� hm� dam� m� dm� cm� mm�
Medidas Agrárias:
Múltiplo Principal unidade Submúltiplo
hectare (ha) are (a) centiare (ca)
100 a 1 a 0,01 a
1 hm2 1 dam2 1 m2
Conversão de unidades de medidas de superfície
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
��
Matemática A03
Leitura de medidas de superfície:
Leia a parte inteira seguida da unidade de medida onde a vírgula está
localizada e, logo depois, leia a parte decimal seguida da unidade onde se
encontra o último algarismo à direita no quadro de unidades.
km� hm� dam� m� dm� cm� mm�
Medidas Agrárias:
Múltiplo Principal unidade Submúltiplo
hectare (ha) are (a) centiare (ca)
100 a 1 a 0,01 a
1 hm2 1 dam2 1 m2
Conversão de unidades de medidas de superfície
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
�100
REFERÊNCIAS
INMETRO. Unidades legais de medidas. Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/
consumidor/unidLegaisMed.asp#n_letra>. Acesso em: 28 jun. 2008.
SÓ MATEMÁTICA. Medidas de comprimento. Disponível em: <http://www.somatematica.
com.br/fundam/comprimento/comprimento.php>. Acesso em: 21 jun. 2008a.
______. Medidas de superfície. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/
fundam/medsup.php>. Acesso em: 21 jun. 2008b.
SOUZA, Maria Helena; SPINELLI, Walter. Matemática: 5ª a 8ª séries. São Paulo:
Ática, 2003.
Anotações
30
Matemática A03
04
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Conhecendo as unidades de medidas
(parte II)
Matemática
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
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Design Gráfico
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Diagramação
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José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
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Revisão Tipográfica
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Design Instrucional
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Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
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Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
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Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
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equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
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Matemática A04
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Objetivo
Em nossa aula, concluiremos o nosso estudo sobre as unidades de medida. Veremos,
então, as unidades de medida de volume, as unidades de medida de capacidade e as
unidades de medida de massa, observando a escrita correta de todas elas.
Você verá também como converter uma medida em outra equivalente, observando a
relação de multiplicidade entre elas e observando algumas relações de equivalência
entre essas unidades.
Ao longo de toda a aula, você encontrará diversas atividades para verificar os
conhecimentos recém adquiridos. Para complementar seu estudo, ao final da aula,
você encontrará uma lista de exercícios que contém questões envolvendo todo o
conteúdo estudado nesta aula.
Escrever corretamente uma unidade de medida de volume,
de capacidade ou de massa.
Executar corretamente uma conversão de medidas.
Resolver situações do cotidiano nas quais seja necessário
efetuar operações com medidas de volume, capacidade ou
de massa.
�
Matemática A04
Para começo de conversa...
A produção diária nacional de gás natural somou 53,3 milhões de metros cúbicos, segundo informações disponibilizadas pelo artigo de Cirilo Júnior, em 03 de julho de 2008, publicado pelo UOL. Essa informação apresenta uma medida
53,3 milhões de metros cúbicos, que é uma medida de volume.
“[...] Seu tanque tem capacidade para pouco mais de 26 mil litros de combustível”.
Essas informações, publicadas no dia 30 de setembro de 2006, referem-se à aeronave
Boeing, modelo 737-800, também disponibilizadas pelo UOL.
Encontrar informações com medidas de volume, medidas de capacidade e medidas
de massa, em várias situações, faz parte do nosso dia-a-dia. É necessário, então, que
saibamos ler, escrever e efetuar operações de forma correta com essas medidas, para
que não sejam cometidos equívocos.
Vamos aos estudos?
1m
1m
1m
3
Matemática A04
Conhecendo mais algumas
unidades de medidas
UNIDADES DE MEDIDAS DE VOLUME
Para se determinar a medida de um volume é necessário ter em mãos três informações
sobre o corpo para o qual se quer determinar essa medida. Essas informações são
as três dimensões – comprimento, largura e altura – do objeto envolvido. Somente
com essas informações é que podemos calcular medidas de volume.
Metro cúbico - a unidade fundamental de volume
Figura 1 – Cubo de volume igual a 1 m3
O Sistema Internacional de Unidades (SI) estabelece o metro cúbico como a unidade
fundamental de volume.
O metro cúbico (m3) corresponde à medida do espaço
ocupado por um cubo com
1 m de aresta.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Para medir volume de objetos pequenos temos as unidades: decímetro cúbico,
centímetro cúbico e milímetro cúbico. Essas unidades são os submúltiplos do
metro cúbico.
�
Matemática A04
Para medir o volume de objetos grandes, usamos as unidades metros cúbico, decâmetro
cúbico, hectômetro cúbico e quilômetro cúbico. Essas três últimas são os múltiplos
do metro cúbico.
Observe o quadro a seguir:
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
109 m3 106 m3 103 m3 1 m3 10 − 3 m3 10 − 6 m3 10 − 9 m3
No quadro anterior, podemos ver que cada uma das unidades de medidas de volume
é 1 000 vezes maior que a unidade imediatamente à sua direita. Conseqüentemente,
cada unidade é igual a 0,001 (um milésimo) do valor da unidade imediatamente
à sua esquerda.
Leitura das
medidas de volume
Para ler uma medida de volume vamos usar o mesmo método utilizado para a leitura de medidas de comprimento e das medidas de superfície, porém com a seguinte diferença: para cada unidade do quadro de unidades associamos três
algarismos do valor numérico da medida.
EXEMPLO 1:
Leia a medida 12,5 cm3.
Para fazer a leitura da medida, temos que (a) construir o quadro de unidades
e (b) inserir, primeiramente, os três algarismos à esquerda da vírgula na
unidade de medida indicada acima (ou seja, m3). Nesse caso, vamos
escrever o 12 (doze) com a vírgula sob a unidade cm3.
Os demais algarismos são escritos “três a três” nas unidades vizinhas.
Assim, escrevemos o algarismo 5 sob a unidade mm3, completando a casa
com 00 (dois zeros).
�
Matemática A04
EXEMPLO 2:
Leia a seguinte medida: 0,425 m3.
Para fazer a leitura da medida, temos que (a) construir o quadro de unidades
e (b) inserir primeiramente os três algarismos à esquerda da vírgula na
unidade de medida indicada acima (ou seja, m3). Nesse caso, vamos
escrever o 0 (zero) com a vírgula sob a unidade m3.
Os demais algarismos são escritos “três a três” nas unidades vizinhas.
Assim, escrevemos 425 sob a unidade dm3.
Logo, temos:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
0, 425
A leitura dessa medida é ‘quatrocentos e vinte e cinco decímetros cúbicos”.
Logo, temos:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
12, 500
A leitura dessa medida é “doze centímetros cúbicos e quinhentos milímetros
cúbicos”.
EXEMPLO 3:
Como pode ser lida a medida 0,183 dam3?
Primeiro, construímos o quadro de unidades e inserimos os algarismos
três a três, obtendo a seguinte situação:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
0, 183
A leitura dessa medida é “cento e oitenta e três metros cúbicos”.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
�1000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�
Matemática A04
EXEMPLO 4:
Transformar 8,425 m3 para dm3.
Observe o diagrama:
Conversão de medidas de volume
Converter uma medida de volume em outra é realizar a transformação de uma medida
em outra equivalente. Para isso, devemos lembrar que toda unidade vale 1 000 vezes a
unidade imediatamente à sua direita. Conseqüentemente, cada unidade é um milésimo
do valor da unidade imediatamente à sua esquerda.
Que tal vermos outro exemplo?
Veja que para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos
multiplicar por 1 000 o valor numérico da medida. Assim, temos 8,425.
1 000 = 8 425.
A medida 8,425 m3 é igual a 8 425 dm3.
Vamos realizar a transformação pelo mesmo método utilizado na transformação de medidas
de comprimento e das medidas de superfície, como você verá nos exemplos a seguir.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
�1000 �1000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
�1000 �1000
�
Matemática A04
EXEMPLO 5:
Transformar a medida 5,19 dm3 em mm3.
Observe o diagrama a seguir:
Para transformar uma medida apresentada em dm3 em outra apresentada em
mm3 (duas unidades à direita) é necessário multiplicar seu valor numérico
duas vezes consecutivas por 1 000. Assim: 5,19 . 1 000 . 1 000 = 5 190 000.
Logo: 5,19 dm3 é igual a 5 190 000 mm3.
Os dois exemplos anteriores apresentaram uma transformação de uma medida para
outra de unidade menor. Agora, que tal vermos uma transformação de uma medida em
outra de unidade maior? Vejamos mais um exemplo.
EXEMPLO 6:
Converta 15 000 000 m3 em hm3.
Observando o diagrama, podemos perceber que essa transformação pede
que façamos a divisão do valor numérico por 1 000 duas vezes consecutivas,
que é o mesmo que dividi-lo por 1 000 . 1 000 (=1 000 000).
Assim: 15 000 000 ÷ 1 000 000 = 15.
Logo, a medida 15 000 000 m3 é igual a 15 hm3.
Responda aqui
Praticando... 1
�
Matemática A04
1. Qual é a leitura da medida 34,52 hm3.
2. Faça a transformação da medida 41,5 cm3 para mm3.
3. A medida 0,321 dam3 é o mesmo que
a) 3,21 m3.
b) 32,1 m3.
c) 321 m3.
d) 3210 m3.
4. Em uma pequena cidade foram construídas 15 cisternas de 18 m3. Com
esse empreendimento, o volume de águas que pode ser acumulado
aumentou em quantos metros cúbicos?
Responda aqui
�
Matemática A04
�0
Matemática A04
Unidades de medidas
de capacidade
Quando nos deparamos nas reportagens, rótulos e panfletos informativos com situações como “o tanque de combustível desse carro tem capacidade para 50 litros de combustível”, “capacidade do vasilhame: 900 ml” ou “caixa d’água
com capacidade de 2 000 l”, vemos em comum um mesmo tipo de informação: uma
medida de capacidade.
Determinar a capacidade de um recipiente é saber com qual volume o seu interior pode
ser preenchido; em outras palavras, é determinar o seu volume interno.
Para determinar a capacidade de um recipiente, podemos preenchê-lo completamente
com um líquido qualquer e, depois, medir o volume de líquido utilizado para esse
preenchimento. Independente da forma que escolhermos para determinar a capacidade
de um corpo, devemos, primeiramente, conhecer um pouco sobre o assunto.
Unidade fundamental de capacidade
A unidade fundamental de medida de capacidade é o litro. Uma caixa cúbica com aresta
igual a 1 dm (ou 10 cm). Assim, 1l = 1 dm3 = 1 000 cm3.
��
Matemática A04
Múltiplos e submúltiplos do litro
O quadro a seguir apresenta o litro e seus múltiplos e submúltiplos.
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
Observe que cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Conseqüentemente, cada unidade é um décimo do valor da unidade imediatamente
à sua esquerda.
Relação do litro com as unidades
de medida de volume
Podemos estabelecer relações de equivalência entre algumas unidades de medidas
de capacidade com algumas unidades de medida de volume.
1 l = 1 dm3
1 ml = 1 cm3
1 kl = 1 m3
Leitura das medidas de capacidade
EXEMPLO 7:
Leia a seguinte medida: 7,923 dal.
Após construir o quadro de unidades e inserir os algarismos do valor numérico
da medida “um a um” – começando do primeiro algarismo à esquerda da
vírgula e a própria vírgula – sob a unidade indicada na medida, temos:
kl hl dal l dl cl ml
7, 9 2 3
Uma das leituras dessa medida é “sete decalitros e novecentos e vinte
e três centilitros”. Outra leitura seria “setenta e nove litros e vinte
e três centilitros”.
kl hl dal l dl cl ml
�10 �10
kl hl dal l dl cl ml
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
��
Matemática A04
EXEMPLO 8:
Leia a medida 0,056 kl.
Após construir o quadro de unidades, devemos inserir os algarismos
“um
a um”, a partir do algarismo imediatamente à esquerda da vírgula. Esse
algarismo e a vírgula são inseridos sob a unidade indicada na medida (nesse
caso, sob a unidade kl).
kl hl dal l dl cl ml
0, 0 5 6
Uma das leituras que podemos fazer dessa medida é “cinqüenta e seis litros”.
Conversão de medidas de capacidade
Conversão de medidas é a transformação de medidas em outras de unidades diferentes.
Para converter medidas de capacidade, no sistema métrico decimal, observe que cada
unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente à sua direita, ou,
ainda, que cada unidade de capacidade é 0,1 (um décimo) da medida imediatamente
a sua esquerda, como você pode observar no diagrama a seguir:
Vejamos alguns exemplos de transformação de medidas de capacidade:
EXEMPLO 9:
Transformar 8,53 dl para ml.
Em primeiro lugar, observe o diagrama:
Para transformar dl para ml (duas unidades à direita) devemos multiplicar
o valor numérico da medida por 10, duas vezes consecutivas, ou seja,
devemos multiplicá-lo por 10 . 10 = 100. Ou seja: 8,53 . 100 = 853.
Assim: 8,53 dl = 853 ml.
�3
Matemática A04
Operações com medidas de capacidade
Podemos efetuar algumas operações com as medidas de capacidade. Veja os
exemplos a seguir:
EXEMPLO 10:
Em uma festa, o consumo total de refrigerante foi o seguinte: 10 unidades
de 2 l, 8 unidades de 1,5 l, 6 unidades de 600 ml e 24 unidades de 350 ml.
Qual a quantidade total de refrigerante consumido nessa festa?
Para responder a essa pergunta, teremos que efetuar multiplicações e
adições. Vejamos a quantidade de refrigerante por tipo de vasilhame:
10 ⋅ 2 l = 20 l
08 ⋅ 1,5 l = 12 l
6 ⋅ 600 ml = 3 600 ml = 3,6 l
24 ⋅ 350 ml = 8 400 ml = 8,4 l
Agora, podemos calcular a quantidade total de refrigerante consumido no
evento: 20 l + 12 l + 3,6 l + 8,4 l = 44 l.
Na festa, foram consumidos 44 litros de refrigerante.
EXEMPLO 11:
Um reservatório com capacidade de 100 000 l, quando completamente
cheio, pode acumular um volume correspondente a quantas caixas d’água
de 1 250l?
Para resolver essa questão, basta efetuarmos a divisão: 100 000l ÷ 1 250 l.
Assim, teremos: 10 000 l ÷ 1 250 l = 80.
O reservatório com capacidade de 100 000l é capaz de acumular um volume
d’água suficiente para abastecer 80 caixas d’água de 1 250 l.
Praticando... 2
��
Matemática A04
1. A capacidade de um tanque de água é de 10 000 litros. Sabendo-se que
esse reservatório está apenas com 80% de sua capacidade ocupada,
falta completá-lo com quantos litros d’água?
2. Duas caixas de suco de 900 ml de capacidade é capaz de abastecer
inteiramente quantos copos de 150 ml?
3. Em um vasilhame foram adicionadas 3 colheres de sopa de água
sanitária a 3 litros de água. Considerando que cada colher de sopa de
água sanitária contenha 15 ml do produto, qual é a quantidade final de
líquido nessa mistura?
EXEMPLO 12:
Em um balde graduado, há 2,99 l de água e acrescentamos a esse líquido
já existente 10 ml de desinfetante. Considere que a capacidade desse
vasilhame é de 12 litros e responda: (a) Qual é a quantidade total de líquido
existente no balde? (b) Qual é a razão entre o volume ocupado pelo líquido
existente no balde e a capacidade total desse vasilhame?
Para responder a essas questões, devemos somar as duas medidas
citadas; para isso, precisamos converter todas as medidas para uma
mesma unidade. Vamos converter todas as medidas para ml.
Para transformar a medida 2,99 l para ml, devemos multiplicar seu valor
numérico por 1 000. Assim: 2,99 ⋅ 1 000 = 2 990. Logo 2,99 l = 2 990 ml.
O volume total de líquido no balde é 2 990 ml + 10 ml = 3 000 ml.
A capacidade do balde é 12 l = 12 . 1 000 ml = 12 000 ml, e a razão
entre o volume ocupado pelo líquido e a capacidade do vasilhame é:
3 000 ml
12 000 ml
=
3
12
=
1
4
.
Responda aqui
��
Matemática A04
Peso bruto
e Peso líquido
Peso bruto: é o nome
comum dado à soma
da massa total do
produto, ou seja,
massa do conteúdo
mais a massa da
embalagem.
Peso líquido: massa
apenas do conteúdo
de um produto, sem
contar com a da
embalagem.
��
Matemática A04
Unidades de medida
de massa
Existe muita confusão entre os conceitos de peso e massa, inclusive nas embalagens
de produtos industrializados é comum vermos os termos peso bruto e peso líquido.
É um equívoco comum.
Massa é o nome que damos à quantidade de matéria que um corpo possui e peso é
o nome que damos à força com que esse corpo é atraído ao centro da terra.
A massa é constante, independente do local onde o corpo se encontre. O peso varia
de acordo com o local onde o corpo se localiza.
Unidade fundamental de massa
O quilograma é a unidade fundamental de massa, porém o grama é citado como a
unidade principal desse tipo de unidade.
Observe que a palavra grama (unidade de medida de massa de um corpo) é um substantivo
masculino, portanto a medida 500 g é lida como: “quinhentos gramas”.
Como padrão, o quilograma (kg) é igual à massa de 1 dm3 de água destilada à
temperatura de 4ºC.
Múltiplos e submúltiplos do grama
O quadro a seguir apresenta os múltiplos e submúltiplos do grama.
Múltiplos
Unidade
principal
Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g
Nas unidades de medida de massa, cada unidade de volume é 10 vezes maior
que a unidade imediatamente à direita. Por isso, cada unidade é 0,1 da unidade
imediatamente à esquerda.
kg hg dag g dg cg mg
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
��
Matemática A04
Assim, temos:
Observe no diagrama que 1 g = 10 dg ou que 1 kg = 10 hg.
Relações Importantes das medidas de massa
com as medidas de volume e de capacidade
Existem algumas relações entre as medidas de massa com as medidas de volume
e de capacidade.
Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC, são válidas as
seguintes equivalências:
1 kg ⇔ 1 dm3 ⇔ 1 l
1 m3 ⇔ 1 kl ⇔ 1 t
1 cm3 ⇔ 1 ml ⇔ 1 g
Observe que, quando medimos grandes massas, as seguintes unidades especiais
podem ser utilizadas:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
Leitura das medidas de massa
Para realizar a leitura das medidas de massa, vamos seguir o mesmo procedimento aplica-
do às medidas estudadas anteriormente. Primeiro passo: construir o quadro de unidades.
Segundo passo: inserir os algarismos do valor numérico no quadro de unidades.
Nesse caso, vamos inserir os algarismos um a um, começando do que está imediatamente
à esquerda da vírgula, que será inserido juntamente com a vírgula sob a unidade que
está indicada na medida.
kg hg dag g dg cg mg
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
��
Matemática A04
EXEMPLO 13:
Leia a seguinte medida: 53,412 hg.
Devemos inserir o algarismo 3 e a vírgula sob a unidade hectograma (hg) e
os demais nas casas vizinhas, de acordo com a posição que se encontram
no valor numérico.
kg hg dag g dg cg mg
5 3, 4 1 2
A medida é lida como “cinqüenta e três hectogramas e quatrocentos e doze
decigramas”.
EXEMPLO 14:
Leia a medida: 0,015 g.
Construindo o quadro de unidades e inserindo os algarismos “um a um”,
temos:
kg hg dag g dg cg mg
0, 0 1 5
A medida é lida como “quinze miligramas”.
Conversão de medidas de massa
Observe o diagrama a seguir:
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente à sua
direita e cada unidade de massa é 0,1 (um décimo) da unidade imediatamente
à sua esquerda.
kg hg dag g dg cg mg
�10 �10
kg hg dag g dg cg mg
�10
��
Matemática A04
Para realizar a conversão de medidas de
massa, temos que observar essa relação de
multiplicidade entre as unidades de medidas.
Observe como são realizadas essas transformações, nos exemplos a seguir:
EXEMPLO 15:
Converta 1,325 kg em dag.
Veja o diagrama:
Para transformar kg em dag (duas unidades à direita) devemos multiplicar
por 10 duas vezes consecutivas.
Assim, temos: 1,325 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1,325 ⋅ 100 =132,5
Ou seja: 1,325 kg = 132,5 dag
EXEMPLO 16:
Converta 82,5 hg em kg.
Para realizar essa transformação, devemos dividir 82,5 por 10.
Assim: 82,5 ÷10 = 8,25.
A medida 82,5 hg é igual a 8,25 kg.
kg hg dag g dg cg mg
�10 �10
kg hg dag g dg cg mg
�10 �10 �10 �10
�0
Matemática A04
EXEMPLO 17:
Converta a medida 0,05 dag em dg.
Para realizar essa conversão, temos que efetuar a seguinte multiplicação:
0,05 ⋅ 10 ⋅ 10 = 0,05 ⋅ 100 = 5
A medida 0,05 dag é igual a 5 dg.
EXEMPLO 18:
Converta a medida 12 300 cg em hg.
Para realizar essa conversão de medidas, devemos efetuar a seguinte
divisão: 12 300 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 12 300 ÷ 10 000 = 1,23.
A medida 12 300 cg é igual a 1,23 hg.
Responda aqui
Praticando... 3
��
Matemática A04
1. A embalagem de um produto apresenta as seguintes informações: peso
bruto 5,35 hg, peso líquido 52,86 dag. Quanto pesa a embalagem de uma
unidade desse produto?
2. Considere o produto descrito na questão anterior. Qual é a massa total
de 10 unidades desse produto acondicionadas em uma caixa de papelão
que pesa 98 g?
������
Ex
er
cí
ci
os
Matemática A01
Se você já resolveu todas as atividades encontradas ao longo da
aula e não resta nenhuma dúvida, aproveite para ampliar seus
conhecimentos resolvendo a lista de exercícios a seguir que con-
templa todos os assuntos vistos nesta aula.
1. Converta
a. 7,135 km3 em hm3. b. 328 cm3 em dm3.
c. 185 hm3 em dam3. d. 8,35 kl em dl.
e. 7,15 dal em hl. f. 99,9 ml em cl.
g. 90,36 cl em dl. h. 88 kl em dl.
i. 502 ml em l. j. 595 cl em dal.
2. A expressão 3 540 dm3 + 5 000 000 mm3 é igual a
a. 3 545 m3. b. 3,545 m3.
c. 35,45 m3. d. 354,5 m3.
3. A soma 0,802 m3 + 10 dal + 1 hl, é igual a
a. 1 002 l. b. 100,2 l.
c. 10,02 l. d. 1,002 l.
4. A expressão 37 l + 33 750 l − 14.185 l é igual a
a. 19 602 kl. b. 1 960,2 kl.
c. 196,02 kl. d. 19,602 kl.
Auto-avaliação
�3
Matemática A04
Em nossa aula, vimos um breve estudo sobre as unidades de medidas de
volume, as unidades de medidas de capacidade e as unidades de medida
de massa. Vimos, também, como efetuar operações com essas medidas,
inclusive o que fazer para converter medidas.
1. A medida 1,752 hm3 pode ser lida como sendo
dezessete hectômetros cúbicos e quinhentos e vinte decâmetros cúbicos.
cento e setenta e cinco quilômetros cúbicos e dois hectômetros cúbicos.
um hectômetro cúbico e setecentos e cinqüenta e dois milímetros cúbicos.
mil setecentos e cinqüenta e dois decâmetros cúbicos.
a)
b)
c)
d)
2. Convertendo a medida 1,85 cm3 para
mm3, temos:
1,85 mm3.
18,5 mm3.
185,0 mm3.
1 850 mm3.
a)
b)
c)
d)
3. A medida 0,874 dam3 é o mesmo que
8,74 m3.
87,4 m3.
874 m3.
8 740 m3.
a)
b)
c)
d)
4. O volume de água que pode ser
acumulado em 25 reservatórios
idênticos de 36 m3 é
900 000 dm3.
90 000 m3.
9 000 dm3.
900 m3.
a)
b)
c)
d)
5. Cada unidade de certo produto tem
as seguintes características: conteúdo
pesando 238 g; embalagem de metal
pesando 1,2 dag. Dez unidades desse
produto juntas pesam
25 kg.
2,5 kg.
0,25 kg.
0,025 kg.
a)
b)
c)
d)
Responda aqui
��
Matemática A04
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
�1000
Para Consulta
��
Matemática A04
Unidades de Medidas de Volume
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
109 m3 106 m3 103 m3 1 m3 10−3 m3 10−6 m3 10−9 m3
Conversão de medidas de volume
Cada uma das unidades de medidas de volume é 1 000 vezes maior que a unidade
imediatamente à sua direita. Conseqüentemente, cada unidade é igual a 0,001 (um
milésimo) do valor da unidade imediatamente à sua esquerda.
Leitura de medidas de volume
Para fazer a leitura da medida, temos que (a) construir o quadro de unidades e
(b) inserir primeiramente os três algarismos à esquerda da vírgula na unidade de
medida indicada. Os demais algarismos serão inseridos “três a três” no quadro de
unidades de acordo com a posição no valor numérico da medida.
Leia a parte inteira da medida de volume, seguida da unidade onde se localiza a
vírgula e, logo depois, a parte decimal, seguida da unidade onde se localiza seu
último algarismo no quadro de unidades.
Quadro de unidades de medidas de volume:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
kl hl dal l dl cl ml
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
��
Matemática A04
Unidades de medidas de capacidade
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1.000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
Conversão de medidas de volume
Observe que cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Conseqüentemente, cada unidade é um décimo do valor da unidade imediatamente
à sua esquerda.
Relação do litro com as unidades de medidas de volume
1 l = 1 dm3
1 ml = 1 cm3
1 kl = 1 m3
Leitura das medidas de capacidade
Após construir o quadro de unidades e inserir os algarismos do valor numérico da
medida “um a um” – começando do primeiro algarismo à esquerda da vírgula e a
própria vírgula, inseridos sob a unidade indicada na medida, leia a parte inteira da
medida, seguida da unidade onde se localiza a vírgula e, logo depois, leia a parte
decimal seguida da unidade onde se localiza seu último algarismo.
Quadro de unidades de medidas de capacidade:
kl hl dal l dl cl ml
kg hg dag g dg cg mg
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
�10
��
Matemática A04
Unidades de medida de massa
Múltiplos
Unidade
principal
Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g
Conversão de medidas de massa:
Nas unidades de medida de massa, cada unidade de volume é 10 vezes maior
que a unidade imediatamente à direita. Por isso, cada unidade é 0,1 da unidade
imediatamente à esquerda.
Relações Importantes das medidas de massa com as medidas de volume e de
capacidade
1 kg ⇔ 1dm3 ⇔ 1 l
1 m3 ⇔ 1 kl ⇔ 1 t
1 cm3 ⇔ 1 ml ⇔ 1 g
Outras unidades de medidas de massa:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1 000 kg
1 megaton = 1 000 t ou 1.000.000 kg
Leitura das medidas de massa
Para realizar a leitura das medidas de massa, construa o quadro de unidades.
Segundo passo: insira os algarismos do valor numérico no quadro de unidades
“um a um”, começando do que está imediatamente à esquerda da vírgula, que será
inserido juntamente com a vírgula sob a unidade que está indicada na medida.
Quadro de unidades de medidas de massa:
kg hg dag g dg cg mg
Anotações
��
Matemática A04
Referências
BOEING �3� é o jato comercial mais vendido do mundo. Folha Online, 30 set. �00�.
Disponível em: <http://www�.folha.uol.com.br/folha/cotidiano/ult��u������.shtml>.
Acesso em: �3 jul. �00�.
CIRILO JÚNIOR. Petrobras bate recorde de produção de petróleo em junho no Brasil.
Folha Online, Rio de Janeiro, 3 jul. �00�. Disponível em: <http://www�.folha.uol.com.
br/folha/dinheiro/ult��u������.shtml>. Acesso em: �3 jul. �00�.
SOUZA, Maria Helena; SPINELLI, Walter. Matemática: �ª a �ª séries. São Paulo:
Ática, �003.
INMETRO. Unidades legais de medidas. Disponível em: <http://www.inmetro. gov.
br/consumidor/unidLegaisMed.asp#n_letra>. Acesso em: �� jun. �00�.
05
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Calculando áreas
de figuras geométricas planas
matemática
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coordenador de edição
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Diagramação
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Revisão das Normas da aBNt
Verônica Pinheiro da Silva
adaptação para o módulo matemático
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Revisão técnica
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
ministério da educação
Você ve
rá
por aqu
i...
�
Matemática a05
Objetivo
... como realizar o cálculo de áreas de quadriláteros, de áreas de triângulos e de áreas
de círculos, ou seja, como calcular a área de figuras geométricas que estão ao nosso
redor, em objetos que estão em contato contínuo conosco.
Dentro do estudo de área dos quadriláteros, você verá como calcular a área das seguintes
figuras geométricas: quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos.
No estudo de áreas dos triângulos, você verá como determinar esse cálculo de diversas
maneiras: (I) com as medidas da base e altura do triângulo; (II) com as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo; (III) com as medidas dos lados de um triângulo
equilátero e (IV) com as medidas dos lados de um triângulo qualquer.
No estudo de área do círculo, você verá uma demonstração da fórmula da área dessa
figura e como calcular a área dessa figura a partir da medida do seu raio.
Conhecer medidas necessárias para realização de cálculos
geométricos.
Calcular área de figuras geométricas planas, quando necessário
ou solicitado.
�
Matemática a05
Para começo
de conversa...
Deserto pode afetar 16% da área do país
A terra vermelha e quase sem cobertura vegetal de Gilbués, no sul do Piauí,
parece se desmanchar ao abrir crateras e ondulações que avançam a cada
dia sobre a cidade. É o efeito mais visível de um processo de desertificação,
que consome a área e amplia a miséria da população mais carente. [...]
Esse é um problema que preocupa o mundo inteiro e que, no Brasil, pode
afetar 1.300.000 km2 (16% do total) e 31,6 milhões de pessoas, o que
representa 18% da população no país, caso nada seja feito.
Folha de São Paulo, 12 dez. 2004.
Fonte: <http://www.esquel.org.br/modules.php?name=News&file=article&sid=50> acesso em: 22 jul. 2008.
Em decorrência de uma gestão descontrolada dos recursos naturais, áreas cada vez
maiores são envolvidas em desastres ecológicos.
Até em temas de atualidade como os problemas ambientais vemos a Matemática
envolvida. Nesse caso, falamos de áreas cada vez maiores que estão sendo
desertificadas. Mas como podemos calcular uma área? Se a área de 1.300.000
quilômetros quadrados fosse correspondente à área de um triângulo equilátero qual
seria a medida dos lados desse triângulo? E se essa área fosse de um quadrado, qual
seria a medida de seus lados?
Vamos aos estudos e, certamente, você poderá responder a essas perguntas ao final
desta aula.
1
1
�
Matemática a05
estudando áreas
O que é medir a área de uma superfície?
Medir a área da superfície de uma figura plana é comparar a área da superfície dessa
figura plana com a área da superfície de uma figura tomada como medida padrão.
Calcular a área da superfície de uma figura plana é descobrir o quanto ela ocupa no
plano, contando quantas unidades padrão de área “cabem” na figura.
Unidade padrão de área
Figura �
Comumente, um quadrado com lados de medida igual a 1 (veja a Figura 1) é utilizado
como unidade de área padrão.
A área de um quadrado é obtida pela expressão A = a2; a é a medida de seus lados. Essa
medida a pode corresponder a 1 metro, 1 centímetro, 1 quilômetro, 1 hectômetro... ou
mesmo corresponder a qualquer medida de comprimento que se tome como padrão.
A área do quadrado unitário, ou seja, do quadrado com lados de medidas unitárias (1
unidade de comprimento) é, então, igual a A = a2 = (1)2 = 1 unidade de área (1 u.a.),
como você pode observar na Figura 2.
1
1
a2=1
�
Matemática a05
área de quadrados
exemplo �
Para determinar a área do quadrado cujos lados medem 20 cm, podemos
calcular o quadrado de 20 cm. Assim: A = (20 cm)2 = 400 cm2.
Caso seja necessário representar essa medida em metros quadrados,
podemos fazer a conversão de medidas de superfície que aprendemos na
aula anterior, obtendo 0,4 m2.
Se tiver alguma dúvida de como fazer essa conversão, releia a seção
“conversão de medidas de superfície”, na aula 4.
Figura � − Área o quadrado unitário
Calcular a área de um quadrado é obter o produto da medida da base por si mesma, ou
seja, é obter o quadrado da medida de um de seus lados. Assim: A = a2.
Responda aqui
�Praticando...
5
Matemática a05
área de outros quadriláteros
Quadrilátero é toda fi gura geométrica plana que possui quatro lados.
Em um quadrilátero, dois lados não-consecutivos ou dois ângulos não-consecutivos são
chamados de opostos.
Um quadrilátero ABCD, como o da Figura 3, apresenta:
o lado AB oposto ao lado CD e o lado BC oposto ao lado AD;
o ângulo A oposto ao ângulo C e o ângulo B oposto ao ângulo D.
�. Calcule a área do quadrado cujo lado mede 1,5 cm.
�. Calcule a área do quadrado cujo perímetro é 12 dm.
�. Calcule a medida dos lados de um quadrado cuja área é igual a 1,2769m2.
�. Calcule a área do quadrado cujas diagonais medem 12
√
2 cm.
C
Vértices
Vértices
Diagonais
D
A B
C
D
A
B
�
Matemática a05
Em um quadrilátero ABCD, como o da Figura 4, temos os seguintes elementos
comuns:
Vértices: nome dado aos pontos A, B, C, e D (pontos de interseção entre os lados).
Lados: os segmentos de reta AB,BC,CD e DA.
Diagonais: são duas. Os segmentos de retas AC e BD.
Ângulos internos: são quatro. Os ângulos Â, B^, C^ e D^.
Figura � − Quadrilátero ABCD
Além dos quadrados, que estudamos no item anterior, dentro do grupo dos quadriláteros,
vamos estudar como calcular a área dos retângulos, dos paralelogramos e dos
trapézios.
Figura � − Quadrilátero ABCD
1 u.a
b
a
6 u
3
u
�
Matemática a05
área de Retângulos
O retângulo ABCD, apresentado na Figura 5, tem altura medindo a unidades e
comprimento medindo b unidades.
Os segmentos horizontais e os segmentos verticais que passam pelo interior do
retângulo dividem o retângulo em a ⋅ b quadrados, tendo 1 unidade de área, cada um.
Figura 5 − Retângulo de área a · b
Figura � − Retângulo
�
Matemática a05
exemplo �
Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 5 unidades de
comprimento (5 u.c.) e o comprimento da altura é 7 unidades de comprimento
(7 u.c.).
Considerando que a área do retângulo é dada pela expressão A = b ⋅ h,
temos:
A = b ⋅ h = (5 u.c.) ⋅ (7 u.c.) = 35 u.a.
Em situações do dia a dia, no cálculo de áreas em situações práticas,
usamos
medidas de comprimento em unidades conhecidas como: metro,
decímetro, centímetro, etc.
exemplo �
Na Figura 6, vemos um retângulo ABCD, que mede 6 unidades de
comprimento e 3 unidades de altura.
Os segmentos horizontais que passam no meio do retângulo e os segmentos
verticais dividem o retângulo em dezoito quadrados, tendo 1 unidade de
área, cada um. A área do retângulo ABCD é a soma das áreas desses
dezoito quadrados.
O número de unidades de área do retângulo é o mesmo com o obtido pelo
produto do número de unidades do comprimento da base pelo número
de unidades da altura. A área do retângulo pode ser representada pela
expressão: A = b ⋅ h.
�Praticando...
�
Matemática a05
exemplo �
Para calcular a área de um retângulo com 3 m de altura e 10 cm de base,
podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade
de área.
Para representar a área em metros quadrados, devemos apresentar as
medidas em metros, assim h = 3 m e b = 10 cm = 0,10 m, a área obtida
será:
A = b ⋅ h ⇒ A = (3 m) ⋅ (0,10 m) ⇒ A = 0,30 m2.
Para representar a área em centímetros quadrados, devemos apresentar
as medidas em centímetros
Como h = 3 m = 300 cm e b = 10 cm, a área do retângulo será dada por:
A = b ⋅ h = (300 cm) ⋅ (10 cm) ⇒ A = 3 000 cm2.
�. Calcule a área do retângulo cujas dimensões medem, respectivamente,
1,5 dm e 1,2 dm.
�. Calcule a área do retângulo cujo perímetro é 12 dm e cuja altura está
para seu comprimento, assim como 1 está para 5.
�. A área de um retângulo é igual a 13,5 m2. Calcule a medida de sua altura
sabendo que essa medida está para o comprimento dessa mesma figura
assim como 2 está para 3.
E
D C
A B
E
h
D C
A B
D Cb
A B
h
E E
b
A EE’
D’
A=B
C=D
h
Figura 8. a
Figura 8. b
Figura 8. c
�0
Matemática a05
área de Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem
dois pares de lados opostos paralelos.
No quadrilátero da Figura 7, temos
AB // CD e AD // BC.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser
tomado como sua base (cuja medida será
chamada de b). Nesse caso, tomamos
como base o segmento AB. A altura do
paralelogramo corresponde à medida h do
segmento perpendicular à reta que contém
a base até o ponto onde este segmento de
reta intercepta o lado oposto do paralelo-
gramo. Nesse caso, o segmento de reta
perpendicular à base é o segmento DE.
Para compreender como calcular a área do
paralelogramo, imagine o recorte da figura
em duas partes, obtendo um triângulo
retângulo e um quadrilátero, como na
Figura 8.a.
Transfira o triângulo retângulo (Figura 8.b)
para o outro extremo da figura. A figura
resultante, como você pode ver na Figura
8.b, é um novo quadrilátero: o retângulo
de vértices E’, E, D e D’.
A figura obtida é um retângulo cuja base
mede b unidades de comprimento e cuja
altura mede h unidades de comprimento.
Lembre-se que h coincide com a medida da
altura do paralelogramo. Portanto, a área
do paralelogramo ABCD pode ser obtida
da mesma expressão de área do retângulo
E’EDD’ que é igual a A = b ⋅ h.
Figura � – Paralelogramo
E
D b = 30m C
A B
h
=
12
m
��
Matemática a05
Nos paralelogramos podemos observar as seguintes propriedades:
os lados opostos são congruentes;
cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
os ângulos opostos são congruentes;
as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
exemplo 5
Determine a área do terreno em forma de paralelogramo, representado na
Figura 9.
Figura �
Nesse caso, a medida b da base do paralelogramo pode ser a medida da
frente do terreno e h a medida de sua profundidade. Substituindo os valores
das medidas de base e da altura do paralelogramo na expressão da área
do paralelogramo ABCD, temos:
A = b ⋅ h ⇒ A = 30 m ⋅ 12 m ⇒ A = 360 m2.
A área do terreno é igual a 360 m2.
Responda aqui
�Praticando...
��
Matemática a05
�. Determine a área do paralelogramo, cuja altura é igual a 48 mm e cujas
bases medem 12 cm.
�. Calcule a área do paralelogramo cujas bases medem 20 cm e cuja altura
tem o mesmo comprimento igual ao da diagonal de um quadrado cujos
lados medem 8
√
2 cm.
exemplo �
Determine a altura do paralelogramo que tem 30 mm de base, para que ele
tenha área igual a 3,9 cm2.
A área do paralelogramo é dada pela expressão A = b ⋅ h.
Observe que: b = 30 mm = 3 cm e que A = 3,9 cm2.
A = b ⋅ h ⇒ 3,9 cm2 = 3 cm ⋅ h ⇒ 3 cm ⋅ h = 3,9 cm2
⇒ h =
3, 9 cm2
3 cm
⇒ h = 1, 3 cm
D
CA
B
d1
d2
Figura �0 – Losango
��
Matemática a05
área de Losangos
O losango é uma figura geométrica que apresenta as
seguintes características:
possui duas diagonais que podem ter medidas
diferentes, na Figura 10, representadas por d
1
(diagonal menor – segmento AC ) e por d
2 (diagonal
maior – segmento BD );
suas diagonais se cruzam formando ângulos de 90º
no centro do losango e dividindo-o em 4 triângulos
retângulos.
A área do losango é o semiproduto da soma das medidas das diagonais, ou seja,
A =
(d1 · d2)
2
. Veja, na demonstração a seguir, como essa fórmula foi encontrada.
Demonstração:
Tome dois losangos, como os da Figura 11.a, dividindo um desses losangos sobre as
diagonais, ou seja, em 4 partes iguais, que são triângulos retângulos (Figura 11.b).
Encaixe as quatro partes do primeiro losango no segundo losango (o inteiro) para formar
uma figura já conhecida.
Uma das figuras conhecidas que pode ser formada é um retângulo de altura, que tem a
mesma medida da diagonal maior e cuja base tem a mesma medida da diagonal menor
(Figura 11.c). Ou seja, a área do retângulo é dada por: A = b⋅h ⇒ A = d
1
⋅ d
2
.
Como essa expressão é referente à área de dois losangos, podemos afirmar que:
2 ⋅ A = d
1
⋅ d
2 ⇒ A =
(d1 · d2)
2
.
Figura ��
D C
A BE
b2
h
b1b1
�Praticando...
��
Matemática a05
área de trapézios
Trapézio é qualquer quadrilátero que apresenta somente
dois lados paralelos e que chamamos de bases.
O menor desses lados paralelos é chamado de base
menor, de medida b
1
.
O maior desses lados paralelos é a base maior, de
medida b
2
.
�. Calcule a área do losango cujas diagonais medem 2,0 m e 1,8 m.
�. A medida da diagonal maior de um losango é igual a 18 cm e a diagonal
menor mede dois terços dessa medida. Determine a área desse
losango.
exemplo �
Qual é a área do canteiro em forma de losango cujas diagonais medem
2,5 m e 1,8 m?
Para calcular a fórmula do losango, temos a expressão A =
(d1 · d2)
2
.
Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos:
A =
(d1 · d2)
2
⇒ A =
(2, 5m) · (1, 8m)
2
⇒ A =
4, 5m2
2
⇒ A = 2, 25m2
Figura �� – Trapézio
D C
A B
D C
A B
�5
Matemática a05
A menor distância entre as bases é a altura do trapézio, que representaremos pela
medida h. Na Figura 12, destacamos a altura como segmento DE.
Existem vários tipos de trapézios, vejamos quais são e as características que os
diferenciam.
tipos de trapézios
Trapézio retângulo: é aquele que apresenta dois ângulos retos.
Observe, na Figura 13, que (I) os lados AD e BC são paralelos, (II) os ângulos A e D
são ângulos retos e (III) a medida do segmento AB é altura do trapézio.
Trapézio isóscele (ou isósceles): é aquele em que os lados não-paralelos são congruentes
(de mesma medida).
Observe que no trapézio da Figura 14:
Figura �� – Trapézio Retângulo
Figura �� – Trapézio Isóscele
D C
A B
E
b2
b2
h
b1
b1
��
Matemática a05
os lados AB e CD são congruentes (m(AB) = m(CD));
as diagonais AC e BD são congruentes (m(AC) = m(BD));
há dois pares de ângulos internos congruentes: os ângulos  e B^ e os ângulos
C^ e D^.
Trapézio escaleno: É aquele em que
os lados não-paralelos não são congruentes.
Na Figura 15, vemos um trapézio escaleno, pois os lados não-paralelos não têm a
mesma medida (AD e BC não são congruentes).
Figura �5 – Trapézio Escaleno
cálculo de área do trapézio
A área do trapézio é a média aritmética das medidas das bases multiplicada pela medida
da altura, isto é, A =
(b1 + b2)
2
· h, ou seja A =
(b1 + b2) · h
2
.
Para entender como foi obtida essa fórmula, podemos construir dois trapézios idênticos
e encaixando-o lado a lado, para encontrar um paralelogramo cujas bases tem medida
b
1
+ b
2
e altura de medida h. A área da figura obtida pela união dos dois trapézios é igual
a (b
1
+ b
2
) · h, que é o dobro da área de cada trapézio (veja Figura 16).
Figura �� – Área de dois trapézios idênticos
D C
A B
��
Matemática a05
exemplo �
Determine a área do trapézio cuja altura h é igual a 80 cm e cujas bases
medem 1,5 m e 1,2 m.
Os dados do enunciado são: h = 80 cm = 0,80 m; b
1
= 1,2 m; e b
2
= 1,5 m
Substituindo-os na expressão da área do trapézio, temos:
A =
(b1 + b2) · h
2
⇒ A =
(1, 2m+ 1, 5m) · 0, 80m
2
⇒
A =
2, 7m · 0, 80m
2
⇒ A = 1, 08m2.
A área do trapézio é de 1,08 m.
Assim, temos que dividir por 2 para obter a área do trapézio e obter: A =
(b1 + b2) · h
2
.
exemplo �
Determine a área do trapézio isóscele apresentado na Figura 17.a, cujas
medidas são as seguintes: m(AD) = m(BC) = 5 cm, m(AB) = 13 cm e
m(CD) = 7 cm.
Figura ��a
D C
A B
13 cm
3 cm 3 cm
7 cm
5 cm5 cm
h h
D C
A B
13 cm
7 cm
5 cm5 cm
hh
��
Matemática a05
Antes de calcular a área desse trapézio, temos que calcular a altura da
figura. Para isso, vamos traçar segmentos perpendiculares às duas bases
(Figura 17.b) e com isso, dividir o trapézio em dois triângulos retângulos
idênticos e um retângulo.
Figura ��b
Cada um dos triângulos retângulos idênticos, da Figura 17.c, tem dois lados
com medidas conhecidas: a hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede
3 cm. O cateto coincide com a altura do trapézio, cuja medida é h, e é o que
precisamos determinar.
Figura ��c
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:
(medida do cateto
1
)2 + (medida do cateto
2
)2 = (medida da hipotenusa)2
⇒ h2 + (3cm)2 = (5cm)2 ⇒ h2 + 9cm2 = 25cm2 ⇒ h2 = (25 - 9)cm2 ⇒ h2 = 16cm2
⇒ h = 4cm
5Praticando...
��
Matemática a05
Agora que sabemos a altura do trapézio podemos calcular sua área,
utilizando a fórmula:
A =
(b1 + b2) · h
2
A =
(7 cm+ 13 cm) · 4 cm
2
=
20 cm · 4 cm
2
⇒ A = 40 cm2.
A área do trapézio isóscele é igual a 40 cm2.
�. Calcule a área do trapézio que apresentam bases que medem 15 m, 20 m
e altura que mede 1,8 dam.
�. Calcule a área do trapézio cuja medida da base menor é igual a 12 cm, a
medida da base maior é o dobro da medida da base menor, e a medida
da altura é 15 cm.
área de outras figuras geométricas
Seria impossível, aqui, estudarmos o cálculo de área de todas as figuras planas
existentes, por isso estudaremos somente as mais comuns. Além das áreas dos
quadriláteros, que vimos no início desta aula, vamos também estudar sobre as áreas
dos triângulos e dos círculos.
área de triângulos
Triângulo é a figura geométrica que apresenta três lados e três ângulos internos, como
o apresentado na Figura 18.
C
A BE
h
�0
Matemática a05
exemplo �0
Calcule a área do triângulo cujas medidas de base e altura são,
respectivamente, iguais a 20 cm e 18 cm.
Para calcular a área desse triângulo temos que substituir os valores de b
e h na fórmula
A =
b · h
2
.
Assim: A =
20 cm · 18 cm
2
⇒ A =
360 cm2
2
⇒ A = 180 cm2.
A área do triângulo é igual a 180 cm2.
Figura �� – Triângulo ABC
área de um triângulo conhecendo-se
as medidas da base e da altura
A área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de
sua altura, isto é, A =
b · h
2
.
área do triângulo equilátero
Para calcular a área de um triângulo equilátero basta conhecer a medida de seus lados.
Observe o exemplo a seguir:
C
A
a/2
a a
a/2
B
h
��
Matemática a05
exemplo ��
Determine a área do triângulo equilátero cujo lado está sendo representado
por a.
Para calcular a área do triângulo equilátero pela fórmula A =
b · h
2
, é preciso
calcular, primeiramente, o valor de h.
Veja, na Figura 19, que a altura do triângulo equilátero dividiu-o em dois
triângulos idênticos. Como esses triângulos são retângulos, podemos aplicar
o Teorema de Pitágoras para calcular a medida de h.
Lembre-se de que se a = 5 m ⇒ a
2
=
5
2
m = 2, 5m.
Vejamos: h2 +
a
2
2
= (a)2 ⇒ h2 +
a2
4
= a2 ⇒ h2 = a2 −
a2
4
h2 =
4a2
4
−
a2
4
⇒ h2 =
3a2
4
⇒ h =
3a2
4
⇒ h =
a
√
3
2
m.
Agora podemos calcular a área do triângulo equilátero:
A =
a ·
a
√
3
2
2
⇒ A =
a2 ·
√
3
2
2
=
a2 ·
√
3
2
·
1
2
⇒ A =
a2 ·
√
3
4
,
em que a é a medida do lado do triângulo equilátero.
Figura �� – Triângulo
triângulo equilátero
Triângulo que
apresenta três
lados congruentes.
C
A BBase
Al
tu
ra
��
Matemática a05
exemplo ��
Calcule a área do triângulo equilátero que tem perímetro igual a 12 cm.
Para calcular a área do triângulo, devemos lembrar que o perímetro de um
triângulo equilátero é dado pela expressão 3a. Como 3a = 12 cm ⇒ a = 12
cm ÷ 3 ⇒ a = 4 cm.
Assim a área do triângulo equilátero é:
A =
a2 ·
√
3
4
⇒ A =
(4 cm)2 ·
√
3
4
⇒ A =
16 cm2 ·
√
3
4
⇒ A = 4 ·
√
3 cm2
Como o valor de
√
3 é aproximadamente 1,73, a área do triângulo mede,
aproximadamente, 4 ∙ (1,73) cm2, ou seja, cerca de 6,92 cm2.
exemplo ��
Calcule a área do triângulo retângulo cujos lados menores medem
1,5 m e 2,0 m.
área de um triângulo retângulo
Para calcular a área de um triângulo retângulo, basta conhecer as medidas de
seus catetos.
Figura �0 – Triângulo Retângulo
��
Matemática a05
Em um triângulo retângulo, os lados menores são chamados de catetos.
Quando consideramos um dos catetos como a base do triângulo, como na
Figura 20, o outro cateto passa a coincidir com a altura da figura.
Para calcular a fórmula do triângulo retângulo, temos a fórmula A =
b · h
2
e, nesse caso, o produto b ⋅ h é o produto dos catetos.
Assim: A =
b · h
2
⇒ A =
(1, 5m) · (2, 0m)
2
=
3, 0m2
2
⇒ A = 1, 5m2.
cálculo da área de um triângulo
pela fórmula de Heron
Considere o perímetro de um triângulo de lados a, b e c, ou seja, 2p = a + b + c. O valor
do semiperímetro dessa figura é p =
a+ b+ c
2
.
A área do triângulo citado pode ser expressa pela fórmula A =
p · (p− a) · (p− b) · (p− c),
que é chamada fórmula de Heron.
exemplo ��
Para obter a área de uma região triangular cujos lados medem 21 cm, 28 cm e
45 cm, basta substituir a por 21 cm, b por 28 cm,c por 45 cm, para obter:
2p = (21 + 28 + 45) cm ⇒ 2p = 94 cm ⇒ p = 47 cm.
Assim:
A =
p · (p− a) · (p− b) · (p− c)
A =
47 · (47− 21) · (47− 28) · (47− 45)
A =
47 · (26) · (19) · (2)
A =
√
46 436 ⇒ A = 215,49013898552295471810525668626... ⇒ A ≅ 215,5 cm2
A área do triângulo é de, aproximadamente, 215,5 cm2.
�Praticando...
��
Matemática a05
�. Calcule a área de um triângulo cuja base mede 28 cm e cuja altura é de
16 cm.
�. Em um triângulo retângulo, os lados menores medem 6 cm e 8 cm. Calcule
a área do triângulo.
�. Em um triângulo equilátero, cada lado mede 25 cm. Calcule a área desse
triângulo.
�. As medidas dos lados de um triângulo são 32 mm, 54 mm e 48 mm. Calcule
a área da figura.
5. Calcule a área do triângulo escaleno cujos lados apresentam as seguintes
medidas: 28 dm, 30 dm e 42 dm.
área
do círculo
Um círculo é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos
internos de uma circunferência. Também chamamos círculo ao conjunto
de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (a
que chamamos raio).
A área A de um círculo pode ser expressa matematicamente por A = π ⋅ r 2, onde r é o
raio da circunferência e π (Pi) uma constante, cujo valor conhecemos na aula 4.
Demonstração:
Considere dois círculos de raios iguais a r, divididos em fatias extremamente finas que
se assemelhem a triângulos.
Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>.
acesso em: 13 out. 2008.
�5
Matemática a05
Abra-os para que possam ser encaixados um no outro.
Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>.
acesso em: 13 out. 2008.
Dessa forma, você obterá um paralelogramo cujas bases têm medida igual a 2 ⋅ π ⋅ r e
cuja altura tem medida igual a r.
C = 2¢π¢r
r
O paralelogramo obtido tem área igual a A = b ⋅ h = (2 ⋅ π ⋅ r) ⋅ r2 = 2 ⋅ π ⋅ r2
Lembre-se de que essa medida é obtida a partir da área de dois círculos, então para
encontrar a área de um círculo de raio igual a r, temos:
AC = (2 ⋅ π ⋅ r2) ÷ 2 ⇒ AC = π ⋅ r2, onde π = 3,141592653589... ⇒ π ≅ 3,14
Recordando: Na aula 4, você viu que π (Pi) é o valor constante resultante do
quociente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.
C
D
= π ∼= 3, 14
D = 2 ⋅ r
Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>.
acesso em: 13 out. 2008.
Responda aqui
exemplo �5
�Praticando...
��
Matemática a05
Determine a área de um círculo cujo raio mede 15 cm.
Para calcular a área do círculo, vamos substituir essa medida (r = 15 cm) e
substituir π por 3,14 na fórmula AC = π ⋅ r2. Logo, obteremos:
AC = π ⋅ r2 ⇒ AC = (3,14) ⋅ (15 cm)2, ⇒ AC = (3,14) ⋅ 225 cm 2 ⇒ AC = 706 cm2.
�. Calcule a área do círculo cujo raio mede 10 cm.
�. Calcule a área do círculo cujo diâmetro mede 10 cm.
exercícios
��
Matemática a05
�. Sabendo que a área de um quadrado é 49 cm2, podemos afi rmar que seu
perímetro é igual a
a) 14 cm. b) 21 cm. c) 28 cm. d) 35 cm.
�. As medidas de área e do perímetro do retângulo com altura de 25 dam e base
de 12 dam, são, respectivamente,
a) 3 000 m2 e 7,4 m. b) 30 000 m2 e 74 m.
c) 300 000 m2 e 740 m. d) 3 000 000 m2 e 7 400 m.
�. A área de 220 mm2 é equivalente à área de um paralelogramo de altura e bases,
respectivamente, iguais a
a) 2,2 dm e 10 mm. b) 1,1 cm e 20 mm.
c) 1,1 dm e 1,0 cm. d) 2,2 cm e 1,0 mm.
�. Um terreno em forma de trapézio tem a base menor igual a 28 m, a base maior
igual a 32 m e a altura igual a 30. A área desse terreno é
a) 900 m2. b) 720 m2. c) 630 m2. d) 540 m2.
5. Considere um triângulo equilátero de lado 8 cm. A área desse triângulo mede,
aproximadamente,
a) 27,7 cm2. b) 22,7 cm2. c) 20,7 cm2. d) 20,2 cm2.
�. A expressão mais adequada para calcular a área de um triângulo escaleno,
cujas medidas dos lados são conhecidas, é
a) A = 2 ⋅ (b + h) - (a∙c) b) A = 2 ⋅ (a + b + c) ÷ h
c) A = (a + b + c) ⋅ h ÷ 2 d) A =
p · (p− a) · (p− b) · (p− c)
�. Um triângulo tem lados que medem 12 cm, 10 cm e 8 cm. A área desse triângulo
é de, aproximadamente,
a) 39,7 cm2. b) 112,8 cm2. c) 283,7 cm2. d) 487,4 cm2.
�. Para confeccionar um tipo de almofada, é necessário um pedaço de tecido
em forma de triângulo retângulo cujos catetos medem 2 m e 1,8 m. A área do
tecido utilizado para confeccionar a almofada é igual a
a) 1,8 m2. b) 2,0 m2. c) 2,4 m2. d) 3,6 m2.
�. A área de um círculo com raio de 5 cm mede, aproximadamente,
a) 58,7 cm2. b) 75,8 cm2. c) 78,5 cm2. d) 87,5 cm2.
R
es
po
st
a
��
Matemática a05
��
Matemática a05
auto-avaliação
Nesta aula, você viu como calcular a área de quadriláteros (quadrados, retângulos,
paralelogramos, trapézios e losangos), de triângulos (conhecendo-se as medidas
da base e da altura dessa figura; conhecendo-se a medida do lado de um triângulo
equilátero; conhecendo-se os catetos de um triângulo retângulo; ou conhecendo-
se as medidas dos lados de um triângulo qualquer) e de círculos (utilizando a
medida do raio da figura).
�. Quais as características de um quadrado unitário?
�. O que significa calcular a área de uma superfície?
�. Como calculamos a área de um quadrado qualquer?
�. Quais são as medidas necessárias para calcular a área de um retângulo?
5. Qual é a expressão algébrica que representa a área de um paralelogramo que
tem base com medida igual a m cm e altura igual a y cm?
�. Considere as seguintes medidas de um trapézio: altura igual a 2b, base
maior medindo 3c e base menor medindo 2c. Qual a expressa algébrica que
representa a área desse trapézio?
�. As medidas dos lados de um triângulo são 2m, 2n e 2s. Qual á a expressão
algébrica do semiperímetro dessa figura?
�. Considere o triângulo da questão 7 e a = 2 cm, b = 3m e c = 4 cm. Calcule a
área do triângulo utilizando essas medidas.
�. Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 16 cm e 21 cm, calcule a
medida da área.
�0. Em um triângulo, a base mede 2 m e a altura, 180 cm. Calcule a medida da
área dessa figura em decímetros quadrados.
��. Um triângulo equilátero tem lados medindo 16 cm. Determine a área dessa
figura.
��. Se um círculo tem raio igual a m
2
, determine a medida de sua área.
Para consulta
�0
Matemática a05
área de figuras planas
Área do quadrado unitário: A = a2 = (1)2 = 1 u. a
Área do quadrado: A = a2 , na qual a é a medida do lado do quadrado.
Área do retângulo: A = a ⋅ h, na qual b é a medida da base e h, a medida
da altura da figura.
Área do paralelogramo: A = b ⋅ h, na qual b é a medida da base e h, a
medida da altura.
Área do losango: A =
(d1 · d2)
2
, na qual d
1
e d
2
são as medidas das
diagonais.
Área do trapézio: A =
(b1 + b2) · h
2
, na qual b
1
e b
2
são as medidas das bases
e h, a medida da altura.
área do triângulo:
(I) A =
b · h
2
, em que b é a medida da base e h, a medida da altura;
(II) A =
a2 ·
√
3
4
, em que a é a medida do lado de um triângulo equilátero;
(III) A =
b · c
2
, em que b e c são as medidas dos catetos de um triângulo
retângulo;
(IV) A =
p · (p− a) · (p− b) · (p− c) , em que e a, b e c são as medidas
dos lados de um triângulo qualquer e p é a medida do semiperímetro da
figura, ou seja, p =
a+ b+ c
2
.
Área do círculo: A = π ⋅ r 2, onde r é o raio da circunferência e π ≅ 3,14.
��
Matemática a05
Referências
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio dos Santos. matemática e realidade:
8ª série. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005.
INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO. círculo, perímetro, área e abordagem experimental
de Pi (p ). Disponível em: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/
vnm-/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf>. Acesso em 22 jul. 2008.
anotações
anotações
��
Matemática a05
06
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Calculando volume de sólidos geométricos
MATEMÁTICA
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd Cp1Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd Cp1 7/1/2009 15:21:567/1/2009 15:21:56
Coordenadora da Produção dos Materias
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Coordenador de Edição
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Tipográfi ca
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Jeremias Alves A. Silva
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Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd Cp2Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd Cp2 7/1/2009 15:22:087/1/2009 15:22:08
Você ve
rá
por aqu
i...
1
Matemática A06
Objetivo
...o que são sólidos geométricos e como podem ser realizados os cálculos do volume de alguns
desses sólidos, sejam essas formas geométricas espaciais, classifi cadas como poliedros ou como
não poliedros.
Em cada seção, você encontrará diversos exemplos que servem para um melhor entendimento do
conteúdo.
Várias atividades estão dispostas ao longo desta aula, após cada etapa do conteúdo desenvolvido
e, ao fi nal, você encontrará uma lista de exercícios que poderá ser resolvida para uma maior fi xação
dos conteúdos.
Da mesma forma que nas nossas aulas anteriores, após todas as atividades e exercícios serem
resolvidos, encontra-se à sua disposição uma auto-avaliação para a verifi cação de sua aprendizagem,
em uma das últimas seções desta aula.
Na seção “Para consulta”, você encontrará um resumo dos tópicos principais de nossa aula, inclusive
com fórmulas, com o objetivo de possibilitar uma pesquisa rápida, caso seja necessário, na resolução
das atividades e exercícios.
Organize um horário para seus estudos, não guarde dúvidas e fi que sempre atento aos prazos de
entrega de atividades. Procure sempre o atendimento no pólo em que foi matriculado.
Vamos agora começar a nossa aula?
Saber descrever o que é um sólido.
Distinguir um poliedro de um não poliedro.
Saber calcular o volume de um sólido seja ele um poliedro ou
um não poliedro.
�
�
�
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt1Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt1 7/1/2009 15:22:087/1/2009 15:22:08
2
Matemática A06
Ao nosso redor, continuamente, na
natureza ou em construções feitas
pelo homem, vemos os mais variados
formatos.
Algumas construções são inspiradas
em sólidos geométricos. Podemos
ver isso em construções prediais ou
em estruturas naturais, seja para
acrescentar toques de originalidade na
arquitetura de um local ou para registrar
traços de uma cultura, como é o caso
das pirâmides do Egito, por exemplo.
Estamos, diariamente, em contato com
diversos objetos de formatos variados.
Na Matemática, esse conjunto de
objetos ou corpos estudados que
têm características semelhantes são
chamados de sólidos geométricos.
Todos os objetos que nos cercam
ocupam um determinado espaço.
Calcular o volume desses objetos é
medir o espaço que eles ocupam.
Para começo de conversa...
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt2Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt2 7/1/2009 15:22:117/1/2009 15:22:11
Cubo PrismaParalelepípedo Pirâmide
Figura 1 – Exemplos de poliedros
3
Matemática A06
Aprendendo a calcular
o volume de sólidos
O que são sólidos geométricos?
Aos diversos objetos que nos rodeiam podemos denominar de sólidos. Alguns sólidos são
limitados por superfícies planas (os chamados poliedros), outros (os chamados de não
poliedros) são limitados por superfícies curvas ou por superfícies planas e curvas.
Cilindro Cone Esfera
Figura 2 – Exemplos de não poliedros
O cubo, o paralelepípedo, o prisma e a pirâmide são exemplos de poliedros.
Os elementos mais importantes de um poliedro são as arestas, as faces e os vértices. Um
poliedro também pode ser defi nido como um sólido geométrico cuja superfície é composta
por um número fi nito de faces planas, em que cada uma dessas faces é um polígono.
Como exemplos de não poliedros temos o cilindro, o cone e a esfera.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt3Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt3 7/1/2009 15:22:137/1/2009 15:22:13
4
Matemática A06
Quando associamos o nome de um sólido conhecido (cubo, esfera,
paralelepípedo, cone,...) a alguns dos objetos que nos rodeiam devemos
lembrar que cada um desses nomes não indica propriamente um objeto, mas
sim um sólido geométrico que não tem existência real, somente imaginária,
e que matematicamente representa o conjunto de todos os sólidos com
uma dada forma.
Figura 3 – Exemplos de objetos que representam sólidos geométricos
Uma caixa de suco ou de leite é um objeto que representa bem um sólido o qual, na
Matemática, chamamos de paralelepípedo retângulo. Uma lata de legumes em conserva
é um bom exemplo de um objeto com a forma de cilindro.
O que signifi ca medir o volume de um sólido?
Medir o volume de um sólido é descobrir a medida do espaço ocupado por esse sólido.
Ou seja, para medir o volume de um sólido, comparamos o espaço ocupado por esse
sólido com o espaço ocupado por uma medida de volume tomada como padrão.
Como podemos calcular o volume dos sólidos?
De acordo com o formato do sólido, cujo volume se quer medir, temos uma fórmula
especial. Por isso, vamos conhecer alguns formatos e de sólidos e como calcular cada
volume correspondente.
No grupo dos sólidos denominados poliedros (que apresentam apenas superfícies
planas), estudaremos o cálculo do volume de:
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt4Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt4 7/1/2009 15:22:157/1/2009 15:22:15
Cubo Cubo planificado
Figura 4 – Cubo planifi cado
5
Matemática A06
cubos;
paralelepípedos retângulos;
prismas;
pirâmides.
No grupo dos sólidos denominados de não poliedros (que apresentam superfícies planas
e curvas), estudaremos os cálculos de volume de:
cilindros;
cones;
esfera.
O que é um cubo?
O cubo é o sólido geométrico que apresenta seis faces quadradas idênticas.
Em um cubo, cada segmento de reta que se encontra na interseção duas faces é
chamado de aresta. Um cubo possui 12 arestas congruentes.
Cada ponto que se encontra na interseção de três faces é chamado de vértice do cubo.
Um cubo possui 8 vértices.
�
�
�
�
�
�
�
Como calcular o volume de um cubo?
Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar a medida de sua altura pela medida
de sua largura e pela medida de sua profundidade. Como, em um cubo, essas três
medidas são iguais, basta substituir uma dessas medidas na fórmula V = a3.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt5Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt5 7/1/2009 15:22:167/1/2009 15:22:16
6
Matemática A06
Vejamos um exemplo:
a
a
a
Figura 5
Exemplo 1
Considere o cubo cujas arestas medem 2 m. Calcule o volume desse cubo.
2 m
2 m
2 m
Figura 6
Para calcular o volume desse cubo podemos utilizar a expressão V = a3, em
que a mede 2 m. Logo, temos: V = (2 m)3 = (2)3 ⋅ (m)3 = 8 m3.
Podemos dizer que o volume desse cubo equivale à soma dos volumes de
oito cubos de 1 m3.
2 m
2 m
2 m
=
Figura 7 – Comparação entre o volume de um cubo com arestas de 2 m e um cubo com arestas de 1 m.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt6Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt6 7/1/2009 15:22:177/1/2009 15:22:17
7
Matemática A06
Responda aqui
1Praticando...
1. Calcule o volume do cubo que tem arestas medindo 10 cm.
2. Calcule o volume do cubo cujas faces medem 25 mm2.
O que é um paralelepípedo?
Paralelepípedo é o nome dado a um sólido cujas faces são paralelogramos. Um
paralelepípedo tem seis faces, sendo idênticas e paralelas entre si duas a duas. Os
paralelepípedos podem ser paralelepípedos retângulos ou paralelepípedos
oblíquos.
O que é um paralelepípedo retângulo?
Chama-se paralelepípedo retângulo àquele em que todas as faces são quadriláteras
e apresentam todos os ângulos internos de 90º (ângulos retos). Todas as faces são
perpendiculares às faces adjacentes.
Um paralelepípedo retângulo apresenta também 12 arestas (das quais 4 são arestas
laterais e 8 são arestas de base) e 8 vértices.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt7Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt7 7/1/2009 15:22:197/1/2009 15:22:19
8
Matemática A06
largura
profundidade
altura
Figura 8
Como calcular o volume de um paralelepípedo
retângulo?
O volume de um paralelepípedo retângulo é calculado através do produto das medidas
de sua largura, de sua altura e de sua profundidade. Ou seja, podemos representar o
volume de um paralelepípedo retângulo pela expressão V = a ⋅ b ⋅ c, onde a, b e c são
as medidas de altura, largura e profundidade desse sólido.
Exemplo 2
Um paralelepípedo retângulo tem altura igual a 3 cm, largura medindo 2 cm e
profundidade de 5 cm. Calcule o volume desse paralelepípedo retângulo.
O volume desse paralelepípedo retângulo pode ser obtido substituindo suas
medidas na expressão V = a ⋅ b ⋅ c. Assim, temos V = 3 cm ⋅ 5 cm ⋅ 2 cm
= 30 cm3.
Figura 9
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt8Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt8 7/1/2009 15:22:197/1/2009 15:22:19
9
Matemática A06
Responda aqui
2Praticando...
Um paralelepípedo pode ser classifi cado como oblíquo se suas faces laterais
não são perpendiculares entre si.
Figura 10
1. Calcule o volume do paralelepípedo retângulo cujas dimensões são: altura
medindo 12 cm, largura medindo 10 cm e profundidade de 15 cm.
2. Um paralelepípedo retângulo tem volume igual a 60 cm2. Calcule sua
altura, sabendo que duas de suas faces são quadrados idênticos de
área igual a 25 cm2, cada.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt9Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt9 7/1/2009 15:22:207/1/2009 15:22:20
10
Matemática A06
Conhecendo os prismas
Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas,
ambas com mesma forma e área. Essas faces são chamadas de bases.
As linhas que se encontram na interseção entre cada uma das bases e uma face lateral
são chamadas de arestas de base. As arestas que se encontram na interseção de duas
faces laterais são chamadas de arestas laterais. As laterais de um prisma são sempre
formadas por quadriláteros.
bases
Figura 11
Cada prisma recebe um nome especial de acordo a forma de suas bases. Assim, se
temos triângulos nas bases, teremos um prisma triangular; se temos quadrados nas
bases, teremos um prisma quadrangular; se temos hexágonos nas bases, teremos um
prisma hexagonal.
Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma hexagonal
Figura 12
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt10Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt10 7/1/2009 15:22:217/1/2009 15:22:21
11
Matemática A06
Observe que o prisma quadrangular reto é outro nome do paralelepípedo
retângulo.
Quando as faces de um prisma são perpendiculares às bases, ou seja, forma com estas
bases ângulos de 90º, dizemos que o prisma é reto. Quando as faces laterais do prisma
não são perpendiculares às bases, dizemos que esse prisma é oblíquo. Nesse caso, a
altura do prisma é diferente da medida de suas arestas laterais (como o representado
na Figura 13).
M
ed
id
a
da
a
re
st
a
M
ed
id
a
da
a
ltu
ra
Figura 13
Calculando o volume de um prisma
Seja um prisma reto ou oblíquo, para calcular seu volume é necessário substituir suas
medidas na expressão V = Ab ⋅ h resolver as operações necessárias. Observe que, na
expressão V = Ab ⋅ h, Ab é a medida da base e h a medida da altura desse sólido.
Que tal ver mais alguns exemplos?
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt11Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt11 7/1/2009 15:22:237/1/2009 15:22:23
Exemplo 3
12
Matemática A06
Calcule o volume de um prisma triangular com as seguintes características:
altura de 10 cm e bases formadas por triângulos equiláteros com arestas
de 2 cm.
Nesse exemplo, a primeira parte do cálculo consiste em determinar a área
das bases do prisma, que são triângulos equiláteros.
Em um triângulo equilátero, a área é representada pela seguinte expressão:
Ab =
a2 · √3
4
, onde a é a medida da aresta.
Assim:
Ab =
(2 cm)2 · √3
4
⇒ Ab = 4 ·
√
3 cm2
4
⇒ Ab ∼= 1, 73 cm2
Logo:
Exemplo 4
Determine o volume de um prisma cuja altura mede 5 dm e cuja base é um
quadrado de 2 dm de aresta.
A área da base é igual a (2 dm)2 = 4 dm2.
Para calcular o volume desse sólido, basta multiplicar a área de sua base
pela medida de sua altura, ou seja, V = Ab ⋅ h = 4 dm
2 ⋅ 5 dm = 20 dm3.
O volume do prisma é igual a 20 dm3.
Ou seja, o volume do prisma triangular regular é de aproximadamente
17,3 cm3.
V = Ab · h ⇒ V = (2 cm)
2 · √3
4
· 10 cm ⇒ V = 4
√
3 cm2
4
· 10 cm ⇒ V ∼= 17, 3 cm3
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt12Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt12 7/1/2009 15:22:247/1/2009 15:22:24
Exemplo 5
13
Matemática A06
Calcule o volume de um prisma hexagonal regular cuja altura e arestas de
base medem 10 cm.
Calculando a área da base, temos que substituir a medida
das arestas de base na expressão Ab = 6 · a
2 · √3
4
ou seja,
Ab = 6 · (10 cm)
2 · √3
4
=
6 · 100 cm2 · √3
4
⇒ Ab = 600 ·
√
3 cm2
4
⇒ Ab = 150
√
3 cm2 ⇒ Ab ∼= 259, 81 cm2 .
O volume do prisma é o produto da área da base pela altura, ou seja,
V = Ab ⋅ h ⇒ V ≅ 259,8 cm
2 ⋅ 10 cm ⇒ V ≅ 2.598,1 cm3.
O volume aproximado desse prisma é de 2.598,1 cm3.
Responda aqui
3Praticando...
1. Calcule o volume de um prisma quadrangular cuja altura mede 20 cm e
cujas arestas de base medem 11 cm.
2. Determine o volume do prisma triangular cuja altura mede 18 cm e cujas
bases são triângulos equiláteros de perímetro igual a 36 cm.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt13Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt13 7/1/2009 15:22:257/1/2009 15:22:25
14
Matemática A06
Pirâmides
Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e por faces laterais que se
unem em um ponto comum chamado de vértice da pirâmide.
As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o número dessas faces
laterais corresponde ao número de lados do polígono da base. Os segmentos de retas
que se encontram na interseção de duas faces laterais são chamados de arestas
laterais.
O número de faces laterais é igual ao número de lados da fi gura que forma sua base.
Uma pirâmide pode ser classifi cada de acordo com o formato de sua base.
Classifi cação das pirâmides
de acordo com o formato da base
triangular quadrangular pentagonal hexagonal
base: triângulo base: quadrado base: pentágono base: hexágono
Disponível em:<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/piramide/piramide.htm>. Acesso em: 08 set.08.
Atenção:
Uma pirâmide triangular também recebe o nome especial de Tetraedro.
Chamamos de Tetraedro Regular a toda pirâmide cujas faces são triângulos
retângulos equiláteros.
Podemos também classifi car uma pirâmide como reta – quando todas as arestas
laterais são congruentes – ou como oblíqua – quando suas arestas laterais não são
congruentes.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt14Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt14 7/1/2009 15:22:267/1/2009 15:22:26
Exemplo 6
15
Matemática A06
Figura 14 – pirâmide oblíqua
Volume de pirâmides
O volume da pirâmide pode ser representado pela expressão V =
1
3
· (Ab · h)ou
V =
Ab · h
3
, em que Ab é a área da base da pirâmide e h a medida de sua altura.
http://www.liceofoscarini.it/fi sica94/foto/solpiroblirreg3.jpg. Acesso em: 08. set 08.
Observe que:
Em um tetraedro regular, a altura
do sólido é igual a h =
a · √6
3
e a área da
base (que é um triângulo equilátero) é igual a Ab =
a2 · √3
4
, em que a é a
medida da aresta do tetraedro.
Que tal agora mais alguns exemplos?
Calcule o volume da pirâmide cuja altura é de 15 cm e cuja base quadrada
tem arestas de 20 cm de comprimento.
Inicialmente, é necessário determinar a área da base.
Assim, temos: Ab = (20 cm)
2 ⇒ Ab = 400 cm
2.
Substituindo as medidas da área da base e da altura na expressão que
representa o volume, teremos:
V =
1
3
·Ab · h ⇒ V = 13 · 400 cm
2 · 15 cm ⇒ V = 6 000 cm
3
3
⇒ V = 2 000 cm3
O volume dessa pirâmide é igual a 2.000 cm3.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt15Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt15 7/1/2009 15:22:277/1/2009 15:22:27
Exemplo 7
16
Matemática A06
Determine o volume da pirâmide hexagonal regular cuja base tem área igual
a Ahr = 6
√
3 cm2 e cuja altura é igual a
10
√
3
3
cm.
Substituindo os valores da área da base e da altura da pirâmide, podemos
calcular o volume da pirâmide:
Responda aqui
4Praticando...
1. Determine o volume do tetraedro regular no qual cada uma das faces
tem área igual a 12
√
3 cm2 .
2. Calcule o volume do tetraedro cuja altura mede 10 cm e cuja base tem
Lados que medem 4 cm, 6 cm e 8 cm.
3. Calcule o volume da pirâmide cuja altura mede 6 cm e cuja base é um
quadrado de área igual a 16 cm2.
V =
1
3
·Ab · h ⇒ V = 13 · 6
√
3 cm2 · 10
√
3
3
cm
⇒ V = 6
√
3 · 10√3
3 · 3 cm
3 ⇒ V = 60 · (
√
3)2
9
cm3
⇒ V = 60 · 3
9
cm3 ⇒ V = 180
9
cm3 ⇒ V = 20 cm3
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt16Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt16 7/1/2009 15:22:287/1/2009 15:22:28
17
Matemática A06
Cilindro
Um cilindro é um sólido geométrico não poliedro que apresenta duas bases paralelas
circulares congruentes e uma face lateral que liga as duas bases. Quando as linhas
que formam a face lateral são perpendiculares às bases dizemos que o cilindro é reto,
caso contrário, dizemos que é oblíquo (como o representado na Figura 15).
o′
o
r
r
Figura 15 – Cilindro oblíquo
São elementos do cilindro:
bases: os círculos idênticos de centro O e O’ e raios r;
altura: a distância h entre os planos α e β;
geratriz: qualquer segmento da superfície lateral de extremidades nos pontos das
circunferências das bases que seja paralelo ao eixo central.
Calculando o volume de um cilindro
O volume de um cilindro pode ser representado pela expressão: V = π ⋅ r2 ⋅ h. Observe
que π é um número irracional cujo valor é aproximadamente 3,14, r é a medida do raio
do cilindro e h é a medida de sua altura.
Para calcular o volume do cilindro devemos substituir esses valores na expressão
correspondente e resolver as operações indicadas.
Veja mais alguns exemplos:
�
�
�
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt17Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt17 7/1/2009 15:22:297/1/2009 15:22:29
Exemplo 8
Exemplo 9
18
Matemática A06
Determine o volume de um cilindro cuja medida do diâmetro da base e da
altura do sólido sejam iguais a 10 cm.
Para calcular o volume do cilindro você deve substituir os valores conhecidos
na expressão V = π ⋅ r2 ⋅ h. Antes, porém, lembre-se de que a medida do
diâmetro D é igual ao dobro da medida do raio, ou seja,
Calcule o volume de um cilindro que tem base medindo 60 cm2 e cuja altura
mede 20 cm.
Para calcular o volume do cilindro, temos
Ab = π ⋅ r
2 ⇒ Ab = 60 cm
2
h = 20 cm
V = π ⋅ r
2. h ⇒ V = 60 cm
2 . 20 cm ⇒ V = 1200 cm
3 .
O volume do cilindro é igual a 1 200 cm3.
D = 2 · r ⇒ r = D
2
⇒ r = 10 cm
2
⇒ r = 5 cm
Assim,
V = π · r2 · h ⇒ V = 3, 14 · (5 cm)2 · 10 cm ⇒ V = 785 cm3
O volume do cilindro é igual a 785 cm3.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt18Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt18 7/1/2009 15:22:297/1/2009 15:22:29
19
Matemática A06
Responda aqui
5Praticando...
1. Calcule o volume do cilindro cuja base tem raio igual a 5 cm e cuja altura
mede 12 cm.
2. Determine o volume de um cilindro cujo raio mede 6,3 cm e cuja altura
é igual a 25 mm.
Cone
Um cone é um sólido geométrico classifi cado como não poliedro que apresenta uma
única base circular e uma face lateral.
No cone podem ser destacados os seguintes elementos:
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt19Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt19 7/1/2009 15:22:307/1/2009 15:22:30
20
Matemática A06
eixo
vértice
geratriz
al
tu
ra
base
Figura 16 – cone reto
(Disponível no endereço:< http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.htm>.)
O vértice de um cone é o ponto para o qual concorrem todos os segmentos de reta que
formam a superfície lateral desse sólido.
Geratriz é cada um dos segmentos de reta que tem uma extremidade no vértice do cone
e a outra na circunferência que envolve a base.
A base de um cone é formada pelo círculo no qual ele se apóia e pela circunferência
que delimita esse círculo.
O eixo do cone é a reta defi nida pelos centros de todas as seções paralelas à base, ou
ainda, é a reta defi nida pelo vértice do cone e pelo centro de sua base.
A altura do cone é a distância do vértice do cone ao plano que contém a sua base.
Volume de um cone
O volume do cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura, ou seja,
pode ser representado pela expressão V =
1
3
· (Ab · h) ⇒ V = Ab · h3 , sendo Ab a área
da base do cone e h a medida de sua altura.
Lembrando que a base do cone é um círculo de raio r, ou seja, de área da base
igual a π ⋅ r2, podemos representar o volume de um cone pela expressão
V =
1
3
· π · r2 · h ou V = π · r
2 · h
3
.ou
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt20Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt20 7/1/2009 15:22:307/1/2009 15:22:30
Exemplo 10
21
Matemática A06
Determine o volume de um cone cuja altura mede 10 cm e cuja base tem
raio medindo 5 cm.
O volume de um cone é dado pela expressão: V =
1
3
· π · r2 · h.
Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos:
O volume aproximado do cone é 261,67 cm3.
Exemplo 11
Calcule o volume de um cone cuja altura é igual a 8 cm e cuja base tem
área igual a 78,5 cm2.
O volume de um cone é dado pela expressão:
6Praticando...
1. Determine o volume do cone que tem altura igual a 1,2 m e raio igual
a 0,6 m.
2. Calcule o volume do cilindro que apresenta altura igual a 35 mm e diâmetro
igual a 1,2 cm.
V =
1
3
· 3, 14 · (5 cm)2 · (10 cm) ⇒ V = 3, 14 · 250 cm
3
3
⇒ V = 785
3
cm3
V ∼= 261, 67 cm3
V =
1
3
· π · r2 · h ou V = 1
3
·Ab · h
Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos:
V =
1
3
·Ab · h ⇒ V = 13 · 78, 5 cm
2 · 8 cm ⇒ V = 628
3
cm3 ⇒ V ∼= 209, 33 cm3
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt21Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt21 7/1/2009 15:22:317/1/2009 15:22:31
22
Matemática A06
O que é uma esfera?
Podemos descrever uma esfera como sendo:
um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão
eqüidistantes de outro ponto fi xo e interior, chamado centro;
uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma
distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a
distância em relação ao centro é a mesma;
sólido obtido pela rotação de um círculo por qualquer reta que passa por seu
diâmetro.
Elementos de uma esfera
Para determinarmos o volume de uma esfera, precisamos conhecer alguns de seus
elementos (veja a Figura 17):
�
�
�
o
r
Figura 17 – Esfera
Raio: distância de um ponto qualquer da superfície esférica até o centro.
Centro: ponto O que se encontra no ponto médio do diâmetro da superfície esférica.
Responda aqui
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt22Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd
CpTxt22 7/1/2009 15:22:327/1/2009 15:22:32
Exemplo 12
Responda aqui
7Praticando...
23
Matemática A06
Calcule o volume da esfera que tem raio igual a 5 cm.
Para calcular o volume da esfera é preciso substituir os valores conhecidos
na expressão V =
4
3
· π · r3. Assim temos:
O volume da esfera é igual a 1 570 cm3.
Volume de uma esfera
A expressão que utilizamos no cálculo do volume de uma esfera é:
V =
4
3
· π · r3, sendo r a medida do raio da esfera.
1. Determine o volume máximo de combustível que pode ser acumulado em
um tanque esférico de raio interno igual a 1 m.
2. Calcule o raio de uma esfera cujo volume é igual a
V =
4
3
· (3, 14) · (5 cm)3 ⇒ V = 4 · 3, 14 · 125 cm
3
3
⇒ V = 1 570 cm3
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt23Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt23 7/1/2009 15:22:337/1/2009 15:22:33
Exemplo 13
24
Matemática A06
Sólidos equivalentes
Alguns objetos têm o mesmo volume, ou seja, ocupam o mesmo espaço, embora
possam ter formas diferentes.
Quando dois sólidos geométricos possuem o mesmo volume dizemos que
são sólidos geométricos equivalentes.
Mas, quando é que isso ocorre? Vejamos no exemplo a seguir.
Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes medidas: 2 cm de altura,
3 cm de largura e 4 cm de profundidade. Um segundo paralelepípedo
apresenta as seguintes medidas: 2 cm de altura, 6 cm de largura e 2 cm
de profundidade.
3 m
2 m 4 m
Figura 18 – Paralelepípedo retângulo
A base do primeiro paralelepípedo (Figura 18) mede 3 cm ⋅ 4 cm = 12 cm2.
Multiplicando a área de sua base pela medida de sua altura, temos: 12 cm2 ⋅ 2 cm =
24 cm3.
A área do volume do primeiro paralelepípedo retângulo é V = 24 cm3.
A base do segundo paralelepípedo retângulo (Fig. 19) mede 6 cm ⋅ 2 cm = 12 cm2.
Multiplicando a área desse segundo sólido pela medida de sua altura, temos: 12
cm2 ⋅ 2 cm = 24 cm3.
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt24Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt24 7/1/2009 15:22:337/1/2009 15:22:33
25
Matemática A06
O volume do segundo paralelepípedo retângulo é V = 24 cm3.
Os dois paralelepípedos retângulos têm o mesmo volume, portanto são sólidos
geométricos equivalentes.
Que tal agora resolver algumas atividades?
6 m
2 m
2 m
Figura 19 – Paralelepípedo retângulo
Responda aqui
8Praticando...
1. Uma esfera cujo raio mede 1,2 m é um sólido equivalente a um cilindro
de raio 0,6 m. Calcule a altura do cilindro.
2. Considere um cone de raio igual a 5 cm e altura igual a 10 cm. Esse
sólido é equivalente a um cilindro de raio igual a 2,5 cm. Qual é a altura
do cilindro?
Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt25Mat_A06_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt25 7/1/2009 15:22:357/1/2009 15:22:35
Ex
er
cí
ci
os
26
Matemática A06
Se você resolveu todas as atividades encontradas ao longo desta aula e não
tem mais dúvidas, resolva agora a lista de exercícios a seguir.
1. Imagine um cubo no qual a soma das medidas das arestas é igual a 12 dm.
O volume desse cubo é igual a
a) 1 200 cm3. b) 1 100 cm3. c) 1 000 cm3. d) 950 cm3.
2. Imagine que a área da base de uma pirâmide é igual à área de cada uma
das bases de um prisma. Se o quádruplo do volume da pirâmide é igual
ao volume do prisma, a expressão da altura da pirâmide (h) em função da
altura do prisma (H) será
a) h =
3
4
−H . b)
h =
3 ·H
4
. c) h =
3
4
+ H . d) h =
3
4 ·H .
3. Imagine um cone reto e um paralelepípedo retângulo. Considere que:
o paralelepípedo retângulo tem altura igual a 12 cm e seu volume equivale
ao dobro do volume do cone;
as duas faces do paralelepípedo retângulo (de área a ⋅ b) têm a mesma
medida que a superfície da base do cone.
Com base nesses dados, podemos afi rmar que a altura do cone é igual a
a) 18 cm. b) 17 cm. c) 16 cm. d) 15 cm.
4. Luiz descobriu que para armazenar com segurança um sundae cuja
casquinha é um cone de raio r e altura h é preciso depositá-lo em um
vasilhame cilíndrico cujo espaço interno tem também altura h e raio r
(conforme a Figura 20). Ao guardar esse sorvete no vasilhame cilíndrico,
podemos representar o volume do espaço não ocupado no vasilhame pela
expressão
a) 4 · π · r2 · h
3
b) 2 · π · r2 · h
3
c) 3 · π · r
2 · h
2
d) 5 · π · r
2 · h
2
�
�
h
r
Figura 20
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R
es
po
st
a
27
Matemática A06
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28
Matemática A06
28
Matemática A06
Nesta aula, você aprendeu a descrever o que é um sólido, a observar as
principais características de um sólido para classifi cá-lo como poliedro ou
não poliedro, e também a calcular o volume de diferentes sólidos.
Auto-avaliação
1. Descreva, com suas palavras, o que é um sólido.
2. O que signifi ca medir o volume de um sólido?
3. Dê 2 exemplos de sólidos classifi cados como ‘poliedros’.
4. Dê 2 exemplos de sólidos classifi cados como ‘não poliedros’.
5. Preencha no quadro a seguir o número de arestas e faces de cada
sólido.
SÓLIDO ARESTAS FACES
Cubo
Paralelepípedo retângulo
Prisma triangular
Prisma pentagonal regular
Prisma hexagonal regular
Tetraedro
Pirâmide quadrangular regular
Pirâmide hexagonal regular
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29
Matemática A06
Leitura complementar
“Donald no País da Matemágica” é uma animação com duração de 27 minutos da
empresa Walt Disney Productions, disponível em DVD, na coleção “Fábulas Disney’”,
sobre uma viagem feita por Donald que nos permite rever diversos conhecimentos
matemáticos e as relações desses conhecimentos com outras áreas do conhecimento
humano, como a música e as artes, entre outros. Que tal conferir?
Referências
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. Disponível em www. <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/
icm21/solidos_geometricos.htm>. Acesso em 26 jul. 08.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera_(geometria). Acesso em 06 set. 08.
http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/ativ_wingeo2/volpiramide.html
Acesso em 26jul.08.
http://www.infoescola.com/matematica/calculando-volumes-de-solidos-geometricos/.
Acesso em 26 jul. 08.
Para Consulta
Fórmulas úteis
Área de um triângulo escaleno
At esc =
√
p · (p− a) · (p− b) · (p− c) , sendo p = a + b + c
3
e a, b e c as
medidas dos lados do triângulo
Área de um triângulo equilátero
Ateq =
a2 · √3
4
, onde a é a medida do lado do triângulo equilátero.
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30
Matemática A06
Área de um quadrado
Aq = a
2, em que a é a medida do lado do quadrado.
Área de um hexágono regular
Ahr =
6 · a2 · √3
4
, em que a é a medida do lado do hexágono regular.
Para as expressões usadas no cálculo de volumes a seguir considere:
Ab = área da base; a, b e c são medidas dos lados; h = medida da altura; e
V = volume.
Volume do cubo: V = a ⋅ a ⋅ a ⇒ V = a3
Volume do paralelepípedo: V = a ⋅ b ⋅ c
Volume do prisma: V = Ab ⋅ h
Volume da pirâmide: V =
1
3
· (Ab · h)
Volume do cilindro:
V =
1
3
· π · r2 · h
Volume do cone: V =
1
3
· π · r2 · h
Volume da esfera: V =
4
3
· π · r3
Observe que o
volume de um prisma
é igual ao triplo
do volume de uma
pirâmide de mesma
base e altura.
OBSERVE
Note que o volume
de um cilindro é igual
ao triplo do volume
de um cone de
mesmo raio e altura.
NOTE
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Anotações
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Matemática A06
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Anotações
32
Matemática A06
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07
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Moeda, câmbio e conversões monetárias
MATEMÁTICA
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Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
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Adaptação para o Módulo Matemático
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EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
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Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
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Objetivo
Você ve
rá
por aqu
i...
1
Matemática A07
... Um estudo sobre o que é moeda e um breve relato sobre a história do dinheiro. Verá
também algumas defi nições de câmbio e como realizar conversões monetárias.
Você encontrará duas atividades com questões subjetivas, no corpo desta aula, para
que pratique o conteúdo recém-estudado, e também uma lista de exercícios com
questões objetivas com todo o conteúdo abordado neste material para reforçar sua
aprendizagem.
Ao fi nal da aula, você pode resolver uma auto-avaliação, na qual será possível determinar
se é necessário ou não reler esse material e, se achar conveniente, refaça algumas
questões.
A seção Para consulta apresenta de forma simplifi cada todo o conteúdo apresentado
na aula e pode servir de apoio para a resolução das questões.
Saber descrever o signifi cado de moeda.
Saber defi nir o que é câmbio.
Saber resolver situações que envolvam a conversão de moedas
de diferentes países.
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�
�
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2
Matemática A07
Para começo de conversa...
Antigamente, nas primeiras atividades comerciais, não havia moeda. O tipo de atividade comercial utilizado era o escambo, uma simples troca de mercadoria por mercadoria ou de serviço por mercadoria e que originou todas as atividades
comerciais que conhecemos hoje. Neste tipo de atividade comercial, o escambo, o
valor da mercadoria dependia apenas da quantidade de tempo ou do trabalho humano
que foi necessário para produzi-la.
Assim, se alguém cultivasse e colhesse milho em uma quantidade maior que a necessária
para manter a si e aos seus, trocava esse excesso de produção com o de outra pessoa
(ou grupo) que tivesse plantado e colhido outra cultura mais que o necessário, por
exemplo, feijão.
Essa forma primitiva de comércio foi dominante no início da civilização humana e ainda
pode ser encontrada atualmente, porém, ainda traz certas difi culdades, por não haver
uma medida padrão entre os elementos a serem trocados.
Com a evolução das negociações comerciais, alguns produtos passaram a ser mais
procurados do que outros. Os de maior aceitação passaram a assumir a função de
moeda, sendo adotados como elemento de troca por outras mercadorias e servindo como
valor padrão na avaliação dos demais. Eram as chamadas moedas–mercadorias.
Entre as principais moedas–mercadorias, temos o gado e o sal, cuja utilização foi tão
marcante que se fazem presentes até hoje em nosso vocabulário, em palavras como
pecúnia (dinheiro) e pecúlio (dinheiro acumulado), que derivam do latim pecus (gado);
na palavra capital (patrimônio), que vem do latim capita (cabeça); a palavra salário
(remuneração geralmente efetuada em dinheiro, realizada pelo empregador por serviço
desenvolvido por seu empregado) teve origem em Roma, com a utilização do sal para
o pagamento de serviços prestados.
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3
Matemática A07
Segundo Sousa (2008, extraído da Internet), “o dinheiro é comumente
reconhecido como um meio de troca aceito no pagamento de bens, serviços
e dívidas”.
Com o passar do tempo, as moedas–mercadorias se tornaram inconvenientes para as
transações comerciais, pois havia instabilidade de valor, a difi culdade de fracionamento
e a perecibilidade, que impedia o acúmulo de patrimônio.
Quando o homem descobriu o metal, logo passou a utilizá-lo para fabricar seus utensílios
e armas, anteriormente feitos de pedra e, por apresentar diversas vantagens em relação
a outros materiais, o metal passou a ser utilizado como principal padrão de valor e meio
de troca.
Inicialmente, o metal era trocado em seu estado natural, em barras ou sob a forma de
objetos. Quando comercializado, já manufaturado, exigia aferição de peso e avaliação
de seu grau de pureza a cada troca. Depois, ganhou peso determinado e forma defi nida
(geralmente em discos circulares), recebendo uma marca com seu valor e também do
responsável por sua emissão.
Essa medida veio facilitar as negociações, dispensando as constantes pesagens e
permitindo uma rápida informação da quantidade de metal disponível para a troca.
Com a evolução do dinheiro, veio a necessidade da criação de estabelecimentos
responsáveis pelo depósito e guarda desses bens, que são os bancos. Com os bancos
surgiu uma nova atividade fi nanceira em que o próprio dinheiro é uma mercadoria.
Estudando moeda, câmbio
e conversões monetárias
O que é moeda?
Moeda é o elemento através do qual são efetuados os acordos monetários. Vale aqui
destacar que existem diferentes defi nições de “moeda”.
Em geral, a moeda é emitida e controlada pelo governo do país que o emite, único
responsável que pode fi xar e controlar seu valor.
Dom Sebastião, rei de
Portugal, determinou a
circulação de moedas
portuguesas no Brasil
em 1568. Nessa época,
as moedas-mercadorias
eram o pau-brasil, o açúcar
e o ouro, que formaram
os ciclos econômicos no
Brasil Colônia.
(WIKIPÉDIA, 2008, extraído
da Internet).
Histórico das Moedas
no Brasil
Real (plural: Réis) - de
1500 a 08/out/1834.
Mil Réis - de 08/
out/1834 a 01/
Nov/1942.
Conto de Réis (um
milhão de réis).
Cruzeiro - de 01/
Nov/1942 a 13/
fev/1967.
Cruzeiro Novo - de
13/fev/1967 a 15/
mai/1970.
Cruzeiro - de 15/
mai/1970 a 28/
fev/1986.
Cruzado - de 28/
fev/1986 a 15/
jan/1989.
Cruzado novo - de
15/jan/1989 a 15/
mar/1990.
Cruzeiro - de 15/
mar/1990 a 01/
ago/1993.
Cruzeiro Real - de
01/ago/1993 a 01/
jul/1994.
Real (plural: Reais) - de
01/jul/1994 até os
dias atuais.
(WIKIPÉDIA, 2008, extraído
da Internet).
�
�
�
�
�
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�
�
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MOEDAS-MERCADORIAS
MOEDA
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4
Matemática A07
Hoje, as moedas são mais utilizadas para o pagamento de quantidades de menor valor.
O rápido processo
de circulação de valores e o grau cada vez maior de complexidade
das economias fi zeram surgir outras formas de pagamento, como o cheque e o cartão
de crédito, por exemplo.
A palavra moeda tem uma defi nição mais abrangente do que o simples objeto de valor
padronizado de material metálico, já que envolve mais que apenas o dinheiro (em papel
ou metal), mas também o valor depositado em instituições bancárias e as operações
que podem ser feitas a partir daí.
A moeda é, hoje, parte integrante da sociedade, controla, interage e participa dela,
independentemente da cultura. Sejam quais forem os meios de troca, sempre se tenta
basear em um valor qualquer para avaliar outro.
Câmbio e conversões monetárias
Fonte: <http://www.brasilescola.com/upload/e/meu-artigo-cambio.jpg>. Acesso em: 23 set. 2008.
Câmbio é a operação de troca entre moedas de diferentes países.
Segundo Crespo (1996, p. 76), a defi nição mais comum da palavra câmbio é “a que
se refere a transferências de somas de dinheiro sem a necessidade de efetivamente
transportarmos moedas”.
No Brasil, os valores em dinheiro são escritos separando-se a parte inteira da parte
decimal com o uso da vírgula, porém algumas moedas estrangeiras utilizam um ponto
para isso. Para não criar confusão para você, escreveremos todas as moedas estrangeiras
com o mesmo critério, adotado para a representação de valores em reais.
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5
Matemática A07
Exemplo 1
Digamos que você esteja de viagem para o Canadá e precise comprar
dólares canadenses. Para isso, deve levar uma quantia em reais e comprar
uma quantia da moeda válida no Canadá, em uma instituição autorizada
para realizar essa operação.
Para viajar para outro país, uma pessoa deve ter moedas que sejam válidas no país
estrangeiro. Uma das coisas que deve providenciar é se dirigir a uma instituição
autorizada e comprar uma quantia da moeda do país de destino. Para que essa troca
(ou compra) seja feita, é necessário se ter primeiramente uma informação: qual é o
tipo de câmbio praticado.
Existem vários tipos de câmbio, mas apenas dois são os mais praticados, que são o
câmbio fi xo e o câmbio fl utuante.
No câmbio fi xo, o Banco Central tem a função de comprar ou vender moeda estrangeira,
em geral o dólar, para manter essa moeda a um valor fi xo em moeda nacional. No Brasil,
até 1999, era praticado o câmbio fi xo, ou seja, US$ 1 era equivalente a R$ 1. Hoje,
estamos em um regime de câmbio fl utuante.
Exemplo 2
No câmbio fi xo, uma pessoa que quisesse adquirir cinco mil dólares, gastaria
para isso R$ 5.000,00.
No câmbio fl utuante, a razão de equivalência entre moedas de diferentes nações se
altera de acordo com a oferta e procura do mercado. Para efetuar a troca entre diferentes
moedas, deve-se saber a taxa de equivalência entre essas moedas, que é chamada de
taxa de câmbio.
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US$ R$
1,00 1,8547
5.000,00 x
6
Matemática A07
Exemplo 3
Observe o quadro a seguir, que apresenta algumas cotações de moedas
estrangeiras, em 26 de setembro de 2008*.
Moeda Símbolo Valor (em R$)
Dólar americano US$ 1,8547
Euro € 2,70953
Franco suíço Sw.Fr. 1,70125
Iene japonês ¥ 0,017468
Fonte: (*) Cotações obtidas através da conversão de moedas,
disponível no endereço: <http://www4.bcb.gov.br/?TXCONVER SAO>. Acesso em: 27 set. 2008.
A conversão de moedas pode ser efetuada por uma regra de três – recurso já estudado
em aulas anteriores, utilizado na resolução de problemas.
Observe o exemplo a seguir:
Exemplo 4
Utilizando a cotação do dólar americano, apresentado na tabela do exemplo
3, calcule quantos reais são necessários para que sejam adquiridos US$
5.000,00.
Com as informações cambiais do exemplo 3, podemos escrever a seguinte
regra de três:
Como as duas grandezas (dólares e reais) são diretamente proporcionais,
podemos formar a seguinte proporção:
1
5 000
=
1, 8547
x
⇒ x = 5 000 · 1, 8547 ⇒ x = 9 273, 5
Para se adquirir US$ 5.000,00, seriam necessários R$ 9.273,50.
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1Praticando...
Exemplo 5
US$ R$
1,00 1,8547
x 250,00
7
Matemática A07
Que tal mais um exemplo?
Com 250 reais, quantos dólares americanos pode-se obter, se recorrer à
cotação do exemplo 3?
Basta recorrer a uma regra de três. Observe:
Como as duas grandezas (dólares e reais) são diretamente proporcionais,
podemos formar a seguinte proporção:
Poderão ser adquiridos, aproximadamente, US$ 134,79.
1
x
=
1, 8547
250, 00
⇒ x · 1, 8547 = 250, 00 ⇒ x = 250, 00÷ 1, 8547 ⇒ x ∼= 134, 79
1. Determine, utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, qual a quantia
equivalente em reais necessária para se adquirir uma nota de 5 euros.
2. Descubra, utilizando o quadro de cotações do exemplo 3, qual a quantia,
equivalente em reais, necessária para se adquirir € 1.253,00.
3. Um empresário precisa comprar mercadorias no valor de US$ 2.852,00. Qual
é o valor que terá que disponibilizar em reais, quando o dólar estava cotado
em R$ 1,82?
4. Um comerciante compra mercadorias no valor de US$ 2.000,00. Com o
pagamento a vista, ele recebe um desconto de 20%. Utilizando o quadro de
cotações do exemplo 3, quantos reais ele precisou disponibilizar para esse
pagamento?
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Responda aqui
8
Matemática A07
Essas operações de conversões de moedas podem ser feitas por intermédio de bancos
do mesmo país e de países distintos. Quando o câmbio se faz entre bancos de mesmo
país, é chamado interior; quando é realizado entre bancos de países distintos, exterior.
Quando, nas operações de câmbio, são envolvidos apenas dois bancos, dizemos que o
câmbio é direto; quando, entre as instituições envolvidas, há um banco intermediário,
dizemos que o câmbio é indireto. Ou seja, quando compramos dólares canadenses em
que negociam apenas dois bancos, um brasileiro e um canadense, o câmbio é direto.
Porém, se convertemos os reais disponíveis em dólares americanos e, logo depois,
convertemos os dólares americanos em dólares canadenses, o câmbio é indireto.
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Exemplo 6
US$ R$
1 1,8547
2.000,00 x
R$ ¥
1 0,017468
3.709,40 y
9
Matemática A07
Com US$ 2.000,00 posso adquirir quantos ienes japoneses?
Primeiramente, precisamos construir uma regra de três para determinar
quantos reais equivalem à quantia citada em dólares. Para isso, vamos
utilizar as cotações apresentadas no exemplo 3.
Daí, podemos escrever a seguinte proporção:
1
2 000
=
1, 8547
x
⇒ x = 2 000, 00 · 1, 8547 ⇒ x = 3 709, 4
A quantia disponível em reais é de R$ 3.709,40.
Agora, para calcular a quantia que pode ser adquirida em ienes, construímos
uma nova regra de três.
Podemos, então, escrever:
1
3 709, 40
=
0, 017468
y
⇒= 3 709, 40 · 0, 017468
⇒ y = 64, 7957992 ⇒ y ∼= 64, 79
Serão adquiridos, aproximadamente, ¥ 64,79.
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2
Responda aqui
Praticando...
Responda aqui
10
Matemática A07
1. Converta 12.000 euros em dólares, utilizando a cotação apresentada no
exemplo 3.
2. Utilizando as cotações apresentadas no exemplo 3, complete o quadro
a seguir:
R$ US$ € Sw.Fr. ¥
5.000,00
5.000,00
5.000,00
5.000,00
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt10Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt10 8/1/2009 09:35:598/1/2009
09:35:59
Exercícios
11
Matemática A07
1. Conforme os valores apresentados no quadro de cotações do exemplo 3,
a quantia de 1 200 dólares equivalem, aproximadamente, a
a) € 821,41. b) R$ 2.300,52. c) ¥ 12.231,48. d) Sw. Fr. 2.080,47.
2. Uma pessoa recebe uma herança de US$ 50.000,00. Essa quantia, pelo quadro
do exemplo 3, é equivalente a
a) R$ 68.970,00. b) R$ 72.000,00. c) R$ 86.780,00. d) R$ 92.735,00.
3. Um comerciante francês compra de uma empresa brasileira mercadorias no
valor de R$ 5.000,00 e recebe um pagamento de mercadorias de uma empresa
britânica no valor de € 5.000,00. Considerando as cotações apresentadas
no exemplo 3 e a realização apenas dessas duas operações, o saldo do
empresário é igual a
a) R$ 13.547,65. b) R$ 8.547,65. c) R$ 6.166,35. d) R$ 4.253,35.
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12
Matemática A07
Leitura complementar
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
Para saber mais sobre conversões monetárias, procure um bom livro na
biblioteca mais próxima. Duas boas opções de leitura, para esse assunto, são
os livros de Matemática comercial e fi nanceira fácil e Matemática fi nanceira para
concursos.
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Conversão de moedas. Disponível em: <http://www4.
bcb.gov.br/?TXCONVERSAO>. Acesso em: 28 set. 2008.
Na Internet, em alguns sites, você encontra conversores de moedas. Um desses
conversores você encontra em uma das páginas do portal do Banco Central do Brasil.
Para utilizar, basta escolher as moedas envolvidas na conversão e digitar o valor em
que se quer determinar a cotação sem o uso de vírgulas (para US$ 1,00, escrever 100
no espaço referente ao valor), como pode ver na tela a seguir, clicando, em seguida, na
palavra ‘conversão’.
Nesta aula, você aprendeu o signifi cado de moeda, algumas defi nições de
câmbio e a resolver situações que envolvem a conversão de moedas de
diferentes países.
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt12Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt12 8/1/2009 09:36:028/1/2009 09:36:02
13
Matemática A07
Se você já resolveu todas as questões propostas nessa aula até aqui e
não tem nenhuma dúvida, resolva as questões que são apresentadas na
auto-avaliação a seguir. Caso sinta necessidade, releia a presente aula e
refaça as questões. Se suas dúvidas persistirem, entre em contato com
seu tutor.
1. Moeda pode ser defi nida como
a) Produto perecível usado na troca de mercadorias.
b) Simples troca de mercadoria por mercadoria e de serviço por
mercadoria.
c) O meio circulante utilizado na aquisição de mercadorias e no
pagamento de serviços.
d) Produto cujo valor depende apenas do tempo e da quantidade de
trabalho humano necessário para sua produção.
2. Escambo é
a) Produto perecível usado na troca de mercadorias.
b) Simples troca de mercadoria por mercadoria e de serviço por
mercadoria.
c) O meio circulante utilizado na aquisição de mercadorias e no
pagamento de serviços.
d) Produto cujo valor depende apenas do tempo e da quantidade de
trabalho humano necessário para sua produção.
3. No câmbio fi xo, qual a quantia, em dólares, que pode ser adquirida com
R$ 52.325,40?
4. No câmbio fl utuante, com a cotação do dólar a R$ 1,85, qual a quantia,
em reais, equivalente a US$ 25.000,00?
5. Qual a quantia necessária, em reais, para se adquirir uma nota de 20
euros?
Auto-avaliação
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt13Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt13 8/1/2009 09:36:038/1/2009 09:36:03
Para Consulta
US$ R$
1 C
B x
14
Matemática A07
6. Qual a quantia, em dólares, equivalente a 60 notas de 20 euros?
7. Uma pessoa recebe 20.000 euros do pagamento de uma herança e precisa
quitar uma dívida de R$ 18.900,00. Responda:
a) Qual o valor da herança, em reais?
b) Considerando que foram realizadas as duas operações, qual o saldo
do herdeiro?
Quadro com cotações, utilizado no exemplo 3
Moeda Símbolo Valor (em R$)
Dólar americano US$ 1,8547
Euro € 2,70953
Franco suíço Sw.Fr. 1,70125
Iene japonês ¥ 0,017468
Fonte: (*) Cotações obtidas através da conversão de moedas, disponível no endereço: http://www4.bcb.gov.
br/?TXCONVER SAO. Acesso em: 27set.08.
Conversão de uma quantia em dólar para uma quantia em reais
B é a quantia em dólar que se quer converter, C a cotação do dólar, na
data de interesse para a conversão e x é o valor em reais que se quer
determinar.
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt14Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt14 8/1/2009 09:36:038/1/2009 09:36:03
US$ R$
1 C
x D
€ R$
1 P
N x
€ R$
1 P
x Q
¥ R$
1 M
J x
€ R$
1 P
N x
15
Matemática A07
Conversão de uma quantia em reais para uma quantia em dólares
C é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão, D é a quantia
em reais que se quer converter em dólares e x é o valor em dólares que se
quer determinar.
Conversão de uma quantia em euros para uma quantia em reais
N é a quantia, em euro, que se quer converter, P a cotação do euro, na
data de interesse para a conversão, e x é o valor em reais que se quer
determinar.
Conversão de uma quantia em reais para uma quantia em euros
P é a cotação do euro, na data de interesse para a conversão, Q é a quantia
em reais que se quer converter em euros e x é o valor em euros que se
quer determinar.
Conversão de uma quantia em ienes para uma quantia em dólares
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt15Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt15 8/1/2009 09:36:048/1/2009 09:36:04
€ R$
1 S
M x
R$ US$
1 W
V y
16
Matemática A07
J é a quantia, em iene, que se quer converter, M a cotação do iene, em
reais, na data de interesse para a conversão, e x a quantia em reais que
se quer determinar. N é a quantia em reais calculada na primeira regra de
três, ou seja, é o próprio valor de x, e P é a cotação do dólar, na data de
interesse para a conversão. A variável y é o valor, em dólares, que se quer
determinar.
Conversão de uma quantia em euros para uma quantia em dólares
M é a quantia, em euros, que se quer converter, S a cotação do euro, em
reais, na data de interesse para a conversão, e x é o valor em reais, após a
conversão. V é a quantia em reais calculada na primeira regra de três e W
é a cotação do dólar, na data de interesse para a conversão, e a variável y
é o valor em dólares que se quer determinar.
Respostas da ATIVIDADE 1
1. Aproximadamente R$ 13,55. 2. R$ 3.395,04 (aproximadamente).
3. R$ 5.190,64. 4. R$ 2.967,52.
Respostas da ATIVIDADE 2
1. US$ 17.530,79 (aproximadamente).
2. (em valores aproximados para centésimos)
R$ US$ € Sw.Fr. ¥
87,34 47,09 32,23 51,34 5.000,00
8.506,25 4.586,32 3.139,38 5.000,00 486.961,87
13.547,65 7.304,50 5.000,00 7.963,35 775.569,61
5.000,00 2.695,85 1.845,34 2.939,02 286.237,69
Respostas dos EXERCÍCIOS
1. Opção a. 2. Opção d. 3. Opção b.
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Matemática A07
Referências
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
O QUE é câmbio. Disponível em: <http://www.trinolex.com/dicas_view.
asp?icaso=dicas&id=104>. Acesso em: 23 set. 2008.
SOUSA, RAINER. História da moeda. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/
historia/historia-da-moeda.htm>. Acesso em: 23 set. 2008.
WIKIPÉDIA. Moeda. Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Moeda. Acesso em: 23
set. 2008.
Anotações
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18
Matemática A07
Anotações
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt18Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt18 8/1/2009 09:36:048/1/2009 09:36:04
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Matemática A07
Anotações
Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt19Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd CpTxt19 8/1/2009 09:36:058/1/2009 09:36:05
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Matemática A07
Anotações
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Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd V_Ct_cp3Mat_A07_Z_RF_SF_080109.indd V_Ct_cp3 8/1/2009 09:36:058/1/2009 09:36:05
08
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Taxa de porcentagem e outros tópicos
de matemática fi nanceira
MATEMÁTICA
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd Cp1Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd Cp1 12/1/2009 09:42:5612/1/2009 09:42:56
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfi co
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
Arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão Tipográfi ca
Adriana Rodrigues Gomes
Design Instrucional
Janio Gustavo Barbosa
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
Jeremias Alves A. Silva
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da ABNT
Verônica Pinheiro da Silva
Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
Rosilene Alves de Paiva
EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd Cp2Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd Cp2 12/1/2009 09:43:0112/1/2009 09:43:01
Você ve
rá
por aqu
i...
Objetivo
1
Matemática A08
Saber resolver situações que envolvam taxa de porcentagem,
lucro ou prejuízo em operações com mercadorias e descontos
ou acréscimos sobre preços de produtos, inclusive de forma
sucessiva.
�
...um estudo que apresenta alguns tópicos abordados na Matemática Financeira.
Aqui você terá a oportunidade de estudar o que é taxa de porcentagem, como calcular
a porcentagem de um valor dado, calcular qual a taxa de porcentagem correspondente
à razão entre dois valores, solucionar problemas que envolvem lucro e prejuízo em
operações com mercadorias, calcular descontos e acréscimos sobre preços de
mercadorias, inclusive em situações que envolvem cálculo de preços com acréscimos
sucessivos ou descontos sucessivos.
Todo o conteúdo é apresentado através de exemplos diversos e é intercalado com
algumas atividades que propõem questões subjetivas. A lista de exercícios, no fi nal da
aula, apresenta questões objetivas para uma melhor fi xação dos conteúdos.
Após a resolução de todas as atividades, você poderá verifi car sua aprendizagem na
seção “Auto-avaliação”.
Bons estudos!
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt1Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt1 12/1/2009 09:43:0112/1/2009 09:43:01
20
38
14
72
22 16
10
4842
54
24
120
0
20
40
60
80
100
120
140
Ensino
Fundamental
Ensino Médio Ensino Superior Total
Feminino
Masculino
Total
2
Matemática A08
Para começo
de conversa
Atente para a seguinte situação, criada para fi ns desta aula: em uma empresa que
contrata 120 funcionários, observou-se:
Gráfi co 1 – Escolaridade dos 120 funcionários da Empresa SAÚDE PERFEITA S.A., segundo o sexo.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt2Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt2 12/1/2009 09:43:0312/1/2009 09:43:03
Exemplo 1
3
Matemática A08
Podemos afi rmar que a razão entre o número de funcionários do sexo feminino e o total
de funcionários é de 72 para 120, ou mesmo:
72
120
=
72÷ 12
120÷ 20 =
6
10
=
6 · 10
10 · 10 =
60
100
= 60% , ou seja, ‘setenta e dois para cento e
vinte’ é igual a ‘sessenta para cem’ ou ‘sessenta por cento’.
Signifi ca dizer que a cada 100 funcionários, 60 são do sexo feminino. Essa idéia fi ca
simplifi cada na taxa percentual 60%.
Na Empresa SAÚDE PERFEITA, outras porcentagens podem ser observadas, a partir dos
dados apresentados no Gráfi co 1. Mas antes de determinar essas porcentagens, que
tal aprender um pouco sobre taxa de porcentagem?
Taxa de porcentagem
É comum, no nosso dia-a-dia, vermos expressões que indicam percentuais de acréscimos
ou de descontos em preços, como as seguintes:
“Nessa liquidação, o cliente recebeu um desconto de vinte por cento em todas as
mercadorias”, “o rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de quase um
por cento”, “a média de reajustes nos combustíveis foi de dois por cento” ou “seis por
cento daquela comunidade já contraiu a virose”.
Essas expressões envolvem uma razão especial denominada porcentagem ou
percentagem. A representação numérica de uma porcentagem é uma taxa percentual
ou taxa de porcentagem.
12% é uma taxa de porcentagem (ou taxa percentual).
Uma taxa de porcentagem pode ser escrita como uma razão
centesimal.
Razão centesimal é toda razão que tem o conseqüente 100.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt3Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt3 12/1/2009 09:43:0612/1/2009 09:43:06
Exemplo 2
Exemplo 3
4
Matemática A08
Veja alguns exemplos de razões centesimais:
1
100
,
2
100
,
20
100
,
152
100
e
275
100
.
Escrever a porcentagem 12% é escrever a razão centesimal 12
100
ou escrever
0,12, que é seu valor equivalente na forma unitária.
Observe algumas taxas percentuais e como essas podem ser escritas na
forma de razão centesimal, no exemplo a seguir:
Percentual Razão centesimal
0,01%
0, 01
100
ou
1
10 000
2,5%
2, 5
100
ou
25
1 000
5%
5
100
28%
28
100
147%
147
100
235,8%
235, 8
100
ou
2 358
1 000
2.000%
2 000
100
ou
20
1
Calculamos uma porcentagem através de uma proporção na qual cada razão
exibe uma relação entre dois valores, o primeiro representa a parte e o outro
representa o todo. Em uma das razões essa relação é feita entre os valores
absolutos e na outra razão essa relação é entre os valores percentuais, ou
seja, uma das razões tem conseqüente igual a 100.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt4Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt4 12/1/2009 09:43:0712/1/2009 09:43:07
5
Matemática A08
Ou
Valor absoluto da parte valor percentual da parte
valor absoluto do todo valor percentual do todo
= ainda, como o todo
corresponde a 100%, temos:
Quando precisamos calcular a porcentagem de uma quantidade é porque dispomos
de três elementos conhecidos de uma proporção e pretendemos calcular o quarto
elemento. Nesse cálculo, estamos lidando com um caso de regra de três, assunto já
abordado em aulas anteriores. Veja o exemplo a seguir.
Valor absoluto da parte valor percentual da parte
valor absoluto do todo 100
=
Exemplo 4
Pedro vendeu 20% de seus 150 carrinhos. Quantos carrinhos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos substituir os valores conhecidos
na seguinte proporção:
Ou seja,
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos que:
100 ⋅ x = 150 ⋅ 20 ⇒ 100 ⋅ x = 3 000 ⇒ x = 3 000 ÷ 100 ⇒ x = 30
Pedro vendeu 30 carrinhos.
Valor absoluto da parte valor percentual da parte
valor absoluto do todo 100
=
x
150
=
20
100
Para esse mesmo problema, podemos resolver de uma segunda maneira. Observe:
2ª. resolução do exemplo 4:
20% de 150 =
20
100
· 150
=
0,20 ⋅ 150 = 30 (carrinhos)
Isso se justifi ca, pois calcular uma porcentagem de uma quantidade é o mesmo que
calcular uma razão de uma quantidade, que pode ser resolvido como na segunda
resolução do exemplo 4.
Veja mais um exemplo:
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt5Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt5 12/1/2009 09:43:0812/1/2009 09:43:08
1Praticando...
6
Matemática A08
Exemplo 5
Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 32,00 foi vendida com 25%
de desconto. De quanto foi a economia, em reais, nessa compra?
Temos que:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
100 ⋅ x = 32 ⋅ 25 ⇒ 100 ⋅ x = 800 ⇒ x = 800 ÷ 100 ⇒ x = 8
Nessa compra houve uma economia de R$ 8,00.
Que tal praticar um pouco resolvendo algumas atividades?
Valor absoluto da parte valor percentual da parte x 25
valor absoluto do todo 100 32 100
= =⇒ =
1. Calcule as seguintes porcentagens:
a) 12% de 300 revistas. b) 25% de 1 200 kg.
c) 8% de 75 gols. d) 2% de R$ 250,00.
2. Uma pessoa devia R$ 2.800,00 e pagou 5% dessa dívida. Quanto falta pagar,
em reais, para liquidar a sua dívida?
3. Um corretor imobiliário recebeu R$ 3.200,00 pela comissão de venda de um
apartamento. Sabendo que ele cobra 5% de taxa de comissão, por quanto foi
vendida a propriedade em questão?
4. Considerando os valores do Gráfi co 1, responda ao que se pede a seguir.
Calcule, em relação ao número total de funcionários, as taxas de
porcentagens
a) de funcionários do sexo feminino que apenas concluíram o ensino
fundamental.
b) de funcionários do sexo masculino que apenas concluíram o ensino médio.
c) de funcionários do sexo feminino que concluíram o ensino superior.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt6Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt6 12/1/2009 09:43:0812/1/2009 09:43:08
Responda aqui
7
Matemática A08
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt7Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt7 12/1/2009 09:43:0812/1/2009 09:43:08
8
Matemática A08
Lucro e prejuízo em
operações com mercadorias
A idéia de porcentagem está muito presente em alguns tópicos de Matemática Financeira,
como lucro e prejuízo em operações com mercadorias e em descontos e acréscimos.
Quando você compra uma mercadoria, paga por ela um determinado preço que é chamado
de preço de custo, e quando vende uma mercadoria, estabelece para esse produto um valor
correspondente ao produto, que é chamado de preço de venda.
O preço de custo de uma mercadoria é formado por todas as despesas que são geradas
pela aquisição de matéria prima, pela fabricação (inclusive com custos das instalações), pela
estocagem, pelo transporte e pela manutenção desse produto.
Custos de
produção +
estocagem
Custo de
manutenção +
impostos
Custo de
transporte
Preço de Custo+ + =
O preço de venda é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da
mercadoria/produto/serviço, as despesas variáveis, como impostos, comissões, etc., as
despesas fi xas proporcionais, ou seja, aluguel, água, luz, telefone, salários e outros custos.
Esse preço de custo deve ainda prever algum lucro.
CUSTOS
DIRETOS
DESPESAS
VARIÁVEIS
(comissões +
impostos + ...)
DESPESAS FIXAS
PROPORCIONAIS
PREÇO DE
VENDA
+ + =
A compra ou venda de uma mercadoria pode ser efetuada com lucro ou com prejuízo.
Quando o preço de venda é maior que o preço de custo, dizemos que a venda foi
efetuada com lucro.
Quando o preço de venda é menor que o preço de custo, dizemos que houve prejuízo
na operação de venda.
Preço de custo
Preço de
Venda
V – C = L< ⇒
Preço de custo Preço de
Venda
C – V = P
< ⇒
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt8Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt8 12/1/2009 09:43:0912/1/2009 09:43:09
9
Matemática A08
A esse lucro (ou prejuízo podemos associar uma taxa, que aqui representaremos por i, que
pode ser calculada utilizando como referência o preço de custo ou o preço de venda.
iC
C
=
x
100
⇒ iC = x% de C ou
iL
L
=
y
100
⇒ iL = y% de L
Observe que essa taxa pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.
Exemplo 6
A taxa i = 10% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada como
i = 0,10 (quando escrita na forma unitária).
A taxa i = 3% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada como
i = 0,03 (quando escrita na forma unitária).
A taxa de 1,5% (escrita na forma percentual) também pode ser apresentada como
i = 0,015 (quando escrita na forma unitária).
Para simplifi car a escrita de algumas situações, em nossa aula, vamos
representar algumas palavras por uma de suas letras iniciais. O preço
de custo será representado por C. O preço de venda será representado
por V. O valor do lucro será representado por L. O valor do prejuízo será
representado por P.
Vejamos, então, cada um dos casos citados anteriormente:
Lucro sobre o preço de custo
Quando um comerciante efetua uma venda com lucro sobre o preço de custo, signifi ca
que o preço de venda é superior ao preço de custo e que esse lucro foi comparado com
o preço de custo da mercadoria.
Lembre-se:
Na venda de um
produto, temos lucro
quando o preço de
venda é maior que o
preço de custo.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt9Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt9 12/1/2009 09:43:0912/1/2009 09:43:09
Exemplo 7
Exemplo 8
10
Matemática A08
O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 10,00. Para ser vendida com um
lucro de 25% sobre o preço de custo, qual será seu preço de venda?
Utilizando as informações que a questão nos apresenta, temos:
C =10,00 e L = 25% de C ⇒ L = 0,25 ⋅ C ⇒ L = 0,25 ⋅ R$ 10,00 ⇒ L= R$ 2,50
V = C + L ⇒ V = 10,00 + 2,50 ⇒ V = R$ 12,50
Ou, resolvendo de uma segunda maneira, podemos escrever:
V = C + L ⇒ V = C + 0,25 ⋅ C ⇒ V = (1+0,25) ⋅ C ⇒V = 1,25 ⋅ C (eq.1)
Para calcular o valor de V, podemos substituir o valor de C na eq.1 e obtemos:
V = 1,25 ⋅ 10,00 ⇒ V = R$ 12,50
Por qualquer uma forma de resolução, o resultado encontrado para o valor de
venda da mercadoria é de R$ 12,50.
Que tal mais um exemplo?
Um comerciante vendeu uma mercadoria por R$ 560,00 para obter um lucro
de 12% sobre o preço de custo. Descubra qual foi o preço de custo dessa
mercadoria.
Sabemos que:
L = 12 % de C ⇒ L = 0,12 ⋅ C e
C + L = 560 ⇒ C + 0,12 ⋅ C = 560 ⇒ C ⋅ (1 + 0,12) = 560
⇒ C · (1, 12) = 560 ⇒ C = 560
1, 12
⇒ C = 500
O preço de custo da mercadoria é igual a R$ 500,00.
Vejamos mais um exemplo:
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt10Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt10 12/1/2009 09:43:0912/1/2009 09:43:09
Exemplo 9
11
Matemática A08
Cada unidade de um determinado produto custou R$ 30,00. Querendo obter
um lucro de 20% sobre esse preço de custo, qual deverá ser o preço de
venda por unidade?
C = R$ 30,00 e L = 20% de C ⇒ L = 0,20 ⋅ (R$ 30,00) ⇒ L = R$ 6,00
Lembrando, também, que: V – C = L.
Assim: V – 30 = 6 ⇒ V = 6 + 30 = 36.
O preço de venda, por unidade, desse produto é de R$ 36,00.
De uma forma geral, podemos escrever: V = C + L (eq.2) e L = i ⋅ C (eq.3),
em que i é a taxa de lucro sobre o preço de custo.
Quando substituímos o valor de L da eq.3 na eq.2, temos:
V = C + i ⋅ C ⇒ V = (1+i) ⋅ C
V = (1+i) ⋅ C é a fórmula que relaciona o preço de venda e o preço de
custo, em uma venda com lucro sobre o preço de custo.
2Praticando...
1. Um comerciante comprou um objeto de R$ 250,00. Desejando ganhar 14%
sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?
2. Um aparelho de som foi vendido por R$ 480,00. Qual o lucro obtido,
sabendo que o mesmo foi calculado como 20% sobre o preço de
custo?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt11Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt11 12/1/2009 09:43:1012/1/2009 09:43:10
Responda aqui
Exemplo 10
12
Matemática A08
Lucro sobre
o preço de venda
Quando afi rmamos que um objeto foi vendido com lucro sobre o preço de venda signifi ca
dizer que o percentual de lucro foi calculado tomando-se como referência o preço de
venda, ou seja, tomando o preço de venda como 100%.
Ruth comprou uma blusa por R$ 40,00 e resolveu vendê-la com um lucro de
20% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço dessa mercadoria?
Sabemos que: V = 40 + L (eq.4) e L = 20% de V ⇒ L = 0,20 V (eq.5)
Substituindo a eq.5 na eq.4, temos: V – 0,20 V = 40 ⇒ (1 – 0,20) ⋅ V = 40
⇒ 0,80 ⋅ V = 40 ⇒ V = 40 ÷ 0,80 ⇒ V = 50.
O preço de venda dessa mercadoria deve ser igual a R$ 50,00.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt12Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt12 12/1/2009 09:43:1012/1/2009 09:43:10
Exemplo 11
13
Matemática A08
Observe mais um exemplo:
Uma roupa foi vendida, com um lucro de 15% sobre o preço de venda, por
R$ 120,00. Qual foi o preço de custo dessa mercadoria?
Temos que V = C + L, ou seja, C = V – L (eq.6), sendo L = 0,15 ⋅ V (eq.7).
Assim, quando substituímos a eq.7 na eq.6, temos:
C = V – 0,15 ⋅ V ⇒ C = (1 – 0,15) ⋅ V ⇒ C = 0,85 ⋅ V
Substituindo V por R$ 120,00, temos:
C = 0,85 ⋅ 120 ⇒ C = 102
O preço de custo dessa roupa foi de R$ 102,00.
De uma forma geral: C = V – L e L = i ⋅ V ⇒ C = V – i ⋅ V ⇒ C = (1 – i) ⋅ V
⇒ (1− i) · V = C ⇒ V = C
1− i .
V = C ÷ (1 – i) é a fórmula que relaciona o preço de venda com o preço de
custo, quando ocorre uma operação de venda com lucro sobre o preço de
venda.
3Praticando...
1. Um produto foi vendido com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Se
esse produto foi vendido por R$ 60,00, qual o valor de preço de custo desse
produto?
2. Um eletrodoméstico que custou R$ 450,00 foi vendido com um lucro de 10%
sobre o preço de venda. De quanto foi o lucro?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt13Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt13 12/1/2009 09:43:1112/1/2009 09:43:11
Prejuízo
Na venda de um
produto, temos
prejuízo quando o
preço de venda é
menor que o preço
de custo.
14
Matemática A08
Prejuízo sobre o preço de custo
Quando dizemos que uma mercadoria foi vendida com prejuízo sobre o preço de custo,
signifi ca que o preço de venda dessa mercadoria foi menor que o preço de custo, e esse
prejuízo foi comparado ao preço de custo dessa mercadoria.
Responda aqui
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt14Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt14 12/1/2009 09:43:1112/1/2009 09:43:11
Exemplo 12
Exemplo 13
15
Matemática A08
Um comerciante vendeu um produto com um prejuízo de 5% sobre o preço
de custo. Qual foi o preço de venda dessa mercadoria, se o preço de custo
foi de R$ 40,00?
Nesse caso, temos:
P = C – V ⇒ V = C – P (eq.8) e P = 5% de C ⇒ P =
5
100
· C
(eq.9).
Substituindo o valor de P da eq.9 na eq.8, temos:
V = C − 5
100
· C ⇒ V = (1− 5
100
) · C ⇒ V = 100− 5
100
· C
⇒ V = 95
100
· C ⇒ V = 0, 95 · C
Substituindo o valor de C por R$ 40,00, temos:
V = 0,95 ⋅ 40 ⇒ V = 38
A mercadoria foi vendida por R$ 38,00.
Vejamos mais um exemplo:
Um celular foi vendido com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo.
Se esse produto foi adquirido pelo preço de R$ 300,00, por qual preço foi
vendido?
Temos que:
V = C – P (eq.10) e P = 30% de C ⇒ P = 0,3 (eq.11)
Substituindo o valor de P da eq.11 na eq.10, temos:
V = C – 0,3 ⋅ C ⇒ V = (1 – 0,3) ⋅ C ⇒ V = 0,7 ⋅ C
Substituindo C por R$ 300,00, temos:
V = 0,7 ⋅ 300 ⇒ V = 210
O celular foi vendido por R$ 210,00.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt15Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt15 12/1/2009 09:43:1212/1/2009 09:43:12
4Praticando...
Responda aqui
16
Matemática A08
De uma forma geral, podemos escrever: V = C – P e P = i ⋅ C, o que nos
garante que V = C – i ⋅ C ⇒ V = (1 – i) ⋅ C, sendo i a taxa de prejuízo
sobre o preço de custo.
V = (1 – i) ⋅ C é a fórmula que relaciona o preço de venda com o preço de
custo em uma venda com prejuízo sobre o preço de custo.
1. Um equipamento foi vendido por R$ 22.000,00, com prejuízo sobre o preço
de custo. Determine o preço de custo.
2. Determine o preço de custo de um imóvel que foi vendido por R$
120.000,00 dando ao proprietário inicial um prejuízo de 10% sobre o preço
de custo.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt16Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt16 12/1/2009 09:43:1212/1/2009 09:43:12
Exemplo 14
Exemplo 15
17
Matemática A08
Prejuízo sobre o preço de venda
Quando se diz que uma venda foi realizada com prejuízo sobre o preço de venda signifi ca
dizer que estamos comparando o prejuízo com o preço de venda da mercadoria, em
uma venda que foi realizada por um preço não satisfatório para o vendedor. Vejamos o
exemplo a seguir:
Se certo objeto for vendido por R$ 30,00, haverá um prejuízo de 15% sobre
o preço de venda. Quanto custou esse objeto?
Temos que: V = C – P (eq.12) e P = 0,15 ⋅ V. (eq.13).
Assim, quando substituímos a eq.13 na eq.12, temos:
C = V + P ⇒ C = V + 0,15 ⋅ V ⇒ C = (1 + 0,15) ⋅ V ⇒ C = 1,15 ⋅ V
Substituindo V por R$ 30,00, temos: C = 1,15 ⋅ 30 ⇒ C = 34,50
O preço de custo do objeto foi de R$ 34,50.
Que tal mais um exemplo?
Uma casa que custa R$ 60.000,00 foi vendida com um prejuízo de 5% sobre
o preço de venda. Qual é o preço de venda do imóvel?
Como houve prejuízo, temos P = C – V, ou seja, V = C – P (eq.14)
Sabemos que C = 60 000 e P = 0,15 ⋅ V. Substituindo essas expressões
na eq.19, temos: V = 60 000 – 0,15 ⋅ V ⇒ V + 0,15 ⋅ V = 60 000
⇒ V ⋅ (1 + 0,15) = 60 000 ⇒ 1,15 ⋅ V = 60 000 ⇒ V = (60 000) ÷ (1,15)
⇒ V ≅ 52.173,91.
O preço de venda da casa foi de, aproximadamente, R$ 52.173,91.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt17Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt17 12/1/2009 09:43:1312/1/2009 09:43:13
5Praticando...
Responda aqui
18
Matemática A08
De uma forma geral, P = C – V e como P = i ⋅ V, temos que
i ⋅ V = C – V ⇒ V + i ⋅ V = C ⇒ V ⋅ (1 + i) = C ⇒ C = (1 + i) ⋅ V
C = (1 + i) ⋅ V é a fórmula para preço de custo em uma venda com prejuízo
sobre o preço de venda e i é a taxa de prejuízo sobre o preço de venda.
1. Calcule o preço de venda de uma mercadoria que custou R$ 50,00 e foi
revendida com um prejuízo de 5% sobre o preço de venda.
2. Ao revender uma camiseta por R$ 27,00, Maria teve um prejuízo de 10%
sobre o preço de venda. Qual foi o preço de custo dessa camiseta?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt18Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt18 12/1/2009 09:43:1312/1/2009 09:43:13
19
Matemática A08
Descontos e acréscimos
Nas operações com mercadorias vemos situações que tratam de descontos e de
acréscimos. Que tal estudarmos sobre isso?
Descontos
Quando o preço de um produto sofre um desconto, podemos escrever seu novo preço
da seguinte forma: B = A – i ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 – i).
B = A ⋅ (1 – i) é a expressão que representa o novo preço do produto, sendo A o preço
inicial; B, o preço após desconto e i, a taxa unitária de desconto.
Descontos sucessivos
Quando um produto sofre um desconto após o outro, temos uma operação comercial
com descontos sucessivos (ou abatimentos sucessivos). O valor fi nal desse produto
será obtido pelo produto de seu valor inicial pelos fatores de desconto.
De uma forma geral, o cálculo do preço B após o desconto sobre o preço A pode ser
feito da seguinte forma: B = A – iA ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 – iA) (eq.15)
O cálculo do preço C, após o segundo desconto incidir sobre o preço B, será
C = B – iB ⋅ B ⇒ C = B ⋅ (1 – iB) (eq.16)
Substituindo o valor de B, da eq.15 na eq.16, temos:
C = A ⋅ (1 – iA) ⋅ (1 – iB), que é o preço do produto após dois descontos consecutivos.
Que tal vermos um exemplo?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt19Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt19 12/1/2009 09:43:1312/1/2009 09:43:13
Exemplo 16
Exemplo 17
20
Matemática A08
Um
produto recebeu um desconto de 10% e logo em seguida um desconto
de 5%. De quanto foi o desconto total sobre o produto?
Já vimos que o preço de um produto após dois descontos sucessivos pode
ser representado pela expressão: C = A ⋅ (1 – iA) ⋅ (1 – iB), onde iA e iB são
as taxas correspondentes aos referidos descontos.
Substituindo iA = 10% = 0,10 e iB = 5% = 0,05 na expressão do valor de C, temos:
C = A ⋅ (1 – 0,10) ⋅ (1 – 0,05) ⇒ C = A ⋅ (0,90) ⋅ (0,95) ⇒ C = A ⋅ 0,855.
Como 0,855 = 1 – 0,145, temos C = A (1 – 0,145) ⇒ iC = 0,145 ou iC = 14,5%.
O desconto real após os dois descontos sucessivos foi de 14,5%.
E se tivermos mais descontos sucessivos? Vejamos mais um exemplo.
Uma mercadoria teve descontos sucessivos de 3%, 2% e 8%. Sabendo-
se que seu preço inicial era de R$ 42,00, qual o preço fi nal após os três
descontos?
Utilizando um raciocínio semelhante ao do exemplo anterior, podemos
representar o preço fi nal da mercadoria pela expressão a seguir:
D = A ⋅ (1 – iA) ⋅ (1 – iB) ⋅ (1 – iC)
D = 42 ⋅ (1 – 0,03) ⋅ (1 – 0,02) ⋅ (1 – 0,08)
D = 42 ⋅ (0,97) ⋅ (0,98) ⋅ (0,92)
D = 42 ⋅ 0,874552
D = 36,731184 ⇒ D ≅ 36,73
O preço fi nal foi de, aproximadamente, R$ 36,73.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt20Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt20 12/1/2009 09:43:1312/1/2009 09:43:13
21
Matemática A08
De uma forma geral, podemos escrever a expressão do preço fi nal após n
descontos através da seguinte expressão:
Pf = Pi ⋅ (1 – i1) ⋅ (1 – i2) ⋅ (1 – i3) ⋅ (1 – i4) ⋅ ... ⋅ (1 – in); Pf e Pi são,
respectivamente, os valores do preço final e do preço inicial de um
produto.
6Praticando...
Responda aqui
1. Ana Maria pretende vender seu carro pelo valor de mercado que era
R$ 20.000,00, porém o valor do automóvel sofreu três desvalorizações
consecutivas de 3%, 5% e de 6,5%. Qual é o valor de mercado desse
veículo após essas desvalorizações?
2. Bernardo comprou um imóvel por R$ 80.000,00 para revender, mas o valor
do imóvel teve decréscimos de 3%, 4%, 5% e 2%, consecutivamente.
Após essas desvalorizações, qual é o valor do imóvel?
3. Uma fatura de R$ 6.000,00 sofre dois abatimentos sucessivos de 5% e
4%. Qual o valor líquido a pagar?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt21Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt21 12/1/2009 09:43:1412/1/2009 09:43:14
Exemplo 18
22
Matemática A08
Acréscimos
Quando um produto sofre um acréscimo, temos uma operação comercial, em que o
valor fi nal desse produto pode ser obtido pela seguinte expressão:
B = A + i ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 + i), sendo A o preço inicial do produto; B, o preço depois
do acréscimo e i, a taxa unitária do acréscimo.
Acréscimos sucessivos
Quando um produto sofre um acréscimo após o outro, temos uma operação comercial
com acréscimos sucessivos. O valor fi nal desse produto será obtido pelo produto de
seu valor inicial pelos fatores de acréscimo.
O cálculo do preço B após o acréscimo sobre o preço A pode ser feito da seguinte
forma: B = A + iA ⋅ A ⇒ B = A ⋅ (1 + iA) (eq.16)
O cálculo do preço C, após o segundo acréscimo incidir sobre o preço B, será
C = B + iB ⋅ B ⇒ C = B ⋅ (1 + iB) (eq.17)
Substituindo o valor de B, da eq.16 na eq.17, temos:
C = A ⋅ (1 + iA) ⋅ (1 + iB), que é o preço do produto após dois acréscimos consecutivos.
Uma duplicata no valor de R$ 5.000,00 foi paga após o vencimento e, por
isso, sobre seu valor inicial, incidiram acréscimos sucessivos de 2% e 3%.
Quanto foi pago pela duplicata no ato de sua liquidação?
Como os acréscimos foram sucessivos, para o cálculo do valor final
utilizaremos a expressão C = A ⋅ (1 + iA) ⋅ (1 + iB), substituindo os valores
conhecidos.
C = 5 000 ⋅ (1 + 0,02) ⋅ (1 + 0,03) ⇒ C = 5 000 ⋅ (1,02) ⋅ (1,03)
⇒ C = 5 000 ⋅ (1,0506) ⇒ C = 5 253,00
O valor pago pela duplicata foi de R$ 5.253,00
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt22Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt22 12/1/2009 09:43:1412/1/2009 09:43:14
Exemplo 19
23
Matemática A08
Que tal mais um exemplo?
Um produto que custava R$ 4,00 sofreu acréscimos sucessivos de 1%, 2%
e 1,5%. Qual é o valor fi nal desse produto?
Utilizando a expressão D = A ⋅ (1 + iA) ⋅ (1 + iB) ⋅ (1 + iC) para o cálculo
do preço fi nal do produto e, substituindo os valores conhecidos, temos:
D = 4 ⋅ (1 + 0,01) ⋅ (1 + 0,02) ⋅ (1 + 0,015) ⇒ D = 4 ⋅ (1,045653) ⇒ D ≅ 4,18
O preço fi nal do produto é, aproximadamente, de R$ 4,18.
De uma forma geral, podemos escrever a expressão do preço fi nal após n
acréscimos através da seguinte expressão:
Pf = Pi ⋅ (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ (1 + i3) ⋅ (1 + i4) ⋅ ... ⋅ (1 + in), onde Pf e Pi
são, respectivamente, os valores do preço fi nal e do preço inicial de um
produto.
7Praticando...
1. No ato da liquidação, uma fatura de R$ 1.500,00 sofre acréscimos
sucessivos de 2%, 3% e 5%, por motivo de atraso em seu pagamento.
Quanto foi pago para liquidar a dívida representada por essa fatura?
2. O preço de uma mercadoria sofreu acréscimos sucessivos de 12% e 5%.
Qual foi o preço fi nal do produto, se seu preço inicial era de R$ 50,00?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt23Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt23 12/1/2009 09:43:1412/1/2009 09:43:14
24
Matemática A08
Responda aqui
Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais dúvida, que tal
resolver a lista de exercícios a seguir?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt24Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt24 12/1/2009 09:43:1512/1/2009 09:43:15
Ex
er
cí
ci
os
25
Matemática A08
RE
VIS
ÃO
1. Um comerciante comprou um objeto por R$ 48,00. Para incentivar suas
vendas, anunciou um preço para esse produto com um prejuízo de
2% sobre o preço de venda. O preço de venda desse produto nessa
promoção foi de
a) R$ 54,60. b) R$ 57,60.
c) R$ 58,60. d) R$ 64,60.
2. Renata comprou um objeto por R$ 52,00. Para obter um lucro de 20%
sobre o preço de venda, deve vendê-lo por
a) R$ 62,00. b) R$ 63,50.
c) R$ 65,00. d) R$ 68,00.
3. Marina comprou um relógio por R$ 125,00, mas logo depois decidiu
vendê-lo. Com um prejuízo de 8% sobre o preço de venda, o preço que
conseguiu receber pelo relógio foi, aproximadamente, de
a) R$ 105,68. b) R$ 110,02.
c) R$ 115,74. d) R$ 120,03.
4. Pedro comprou uma TV por R$ 650,00. Para obter um lucro de 30% sobre
o preço de custo, deverá revender esse produto por
a) R$ 652,50. b) R$ 654,00.
c) R$ 664,50. d) R$ 669,50.
5. Após dois descontos sucessivos de 10% e de 8%, uma fatura de
R$ 8.000,00 tem o valor líquido a pagar de
a) R$ 6.624,00. b) R$ 6.642,00.
c) R$ 6.264,00. d) R$ 6.462,00.
6. Por causa do atraso em seu pagamento, uma fatura de R$ 5.000,00
sofre dois aumentos sucessivos de 10% e 15%. O valor fi nal dessa
fatura é de
a) R$ 6.325,00. b) R$ 6.352,00.
c) R$ 6.235,00. d) R$ 6.523,00.
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt25Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt25 12/1/2009 09:43:1512/1/2009 09:43:15
R
es
po
st
a
26
Matemática A08
RE
VIS
ÃO
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt26Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt26 12/1/2009 09:43:1812/1/2009 09:43:18
27
Matemática A08
Leitura complementar
Para ver mais alguns exemplos e exercícios sobre porcentagens, que é o conteúdo
dominante desta aula, acesse os seguintes endereços:
EXATAS. Porcentagem. Disponível em: <http://www.exatas.mat.br/porcentagem.htm>.
Acesso em: 30 out. 2008.
WIKIPÉDIA. Porcentagem. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Percentagem>.
Acesso em: 30 out. 2008.
Para saber um pouco mais sobre como formar o preço de venda, preço de custo e
outros assuntos, acesse o endereço:
SEBRAERN. Aprenda com o SEBRAE. Disponível em:
<http://www2.rn.sebrae.com.br/modules/wfsection/article.php?articleid=43>. Acesso
em 1º nov.08.
Nesta aula, você aprendeu o que é preço de venda e o que é preço de custo
de um produto, como
calcular o lucro ou prejuízo sobre o preço de venda,
como calcular o lucro ou prejuízo sobre o preço de compra, como calcular o
preço de venda (ou de custo) dado o percentual de lucro sobre o preço de
venda (ou de custo).
Auto-avaliação
1. Carol comprou um brinquedo por R$ 80,00 e o revendeu por R$ 104,00.
Qual a taxa de lucro (a) sobre o preço de custo? (b) sobre o preço de
venda?
Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt27Mat_A08_Z_RF_SF_120109.indd CpTxt27 12/1/2009 09:43:2012/1/2009 09:43:20
Para Consulta
m% =
m
100
Valor absoluto da parte valor percentual da parte x 25
valor absoluto do todo 100 32 100
= ⇒ =
28
Matemática A08
2. Anderson vendeu um objeto com um prejuízo de 12% sobre o preço
de venda. Sabendo que o objeto lhe custou R$ 558,00, qual foi o valor
apurado em sua venda?
3. Caio vendeu um objeto com 15% de prejuízo e outro objeto com 35% de
lucro, ambos sobre o preço de custo. Por quanto vendeu cada um deles,
se cada objeto custou R$ 748,00?
4. Gabriela Pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro
empresas. Na primeira, lucrou 100% e em cada uma das demais perdeu
15%. Ao fi nal das operações, houve lucro ou prejuízo? De quanto?
Taxa de Porcentagem
Formatos
Taxa percentual Razão centesimal Taxa unitária
m%
m
100
Número decimal resultante
da divisão de m por 100.
Lucro
Lucro (L) existe em uma venda na qual o preço de venda (V) é maior que
o preço de custo (C). L = V – C
Prejuízo
Prejuízo (P) existe em uma venda na qual o preço de venda (V) é menor
que o preço de custo (C). P = C – V
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29
Matemática A08
Vendas
Com lucro
Sobre C L = V – C; L = i ⋅ C; V = (1 + i) ⋅ C
Sobre V L = V – C; L = i ⋅ V; V =
C
1− i
Com prejuízo
Sobre C P = C – V; P = i ⋅ C; V = (1 – i) ⋅ C
Sobre V P = C – V; P = i ⋅ V;
V =
C
1 + i
Descontos sucessivos:
Pf = Pi ⋅ (1 – i1) ⋅ (1 – i2) ⋅ (1 – i3) ⋅ (1 – i4) ⋅ ... ⋅ (1 – in), sendo Pf e
Pi respectivamente, os valores do preço fi nal e do preço inicial de um
produto.
Acréscimos sucessivos:
Pf = Pi ⋅ (1 + i1) ⋅ (1 + i2) ⋅ (1 + i3) ⋅ (1 + i4) ⋅ ... ⋅ (1 + in), sendo Pf e
Pi respectivamente, os valores do preço fi nal e do preço inicial de um
produto.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo:
Atlas, 2002.
CÁLCULO do preço de custo e preço de venda. Disponível em: <http://www.portal.inf.
br/custos.htm>. Acesso em: 23 set. 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
SEBRAERN. Aprenda com o SEBRAE. Disponível em:
<http://www2.rn.sebrae.com.br/modules/wfsection/article.php?articleid=43>. Acesso
em 01nov.08.
WIKIPÉDIA. Porcentagem. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Percentagem>.
Acesso em: 30 out. 2008.
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30
Matemática A08
Anotações
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Anotações
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Anotações
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09
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Juros simples
MATEMÁTICA
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd Cp1Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd Cp1 7/1/2009 14:52:357/1/2009 14:52:35
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
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Coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
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Mariana Araújo de Brito
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Revisão Tipográfi ca
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Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
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Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
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EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
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Você ve
rá
por aqu
i...
1
Matemática A09
A Matemática Financeira é a parte da Matemática que se baseia na utilização de procedimentos matemáticos para simplifi cação das operações fi nanceiras, e é também um instrumento adequado no estudo de algumas opções de
fi nanciamentos de bens de consumo ou de investimentos.
Em nossa aula, apresentamos o que são juros simples e faremos um estudo sobre
alguns procedimentos matemáticos, como o cálculo de juros e de outros elementos do
regime de capitalização simples na resolução de algumas situações, como determinar o
capital aplicado, a taxa de juros aplicada, ou o prazo de um investimento ou empréstimo,
quando se têm os demais dados envolvidos.
Neste material, apresentamos o conteúdo juntamente com exemplos e disponibilizamos
algumas atividades (através de questões subjetivas) e uma lista de exercícios (com
questões objetivas).
Na seção Auto-avaliação, ao fi nal desta aula, você encontrará mais uma oportunidade
para verifi car e redirecionar sua aprendizagem.
Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula,
que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões da
presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
Saber descrever o que é o regime de capitalização simples.
Saber descrever o que são juros.
Saber descrever o que são juros simples e resolver situações-
problema que envolvam o cálculo dos juros simples ou nas
quais seja necessário, no regime de capitalização simples,
determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor do
capital aplicado.
�
�
�
Objetivo
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt1Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt1 7/1/2009 14:52:447/1/2009 14:52:44
Regime de
capitalização
é o processo pelo qual
os juros são formados.
�
2
Matemática A09
Para começo
de conversa...
Quando é necessário pedir emprestado algum valor em dinheiro ou comprar algo utilizando um fi nanciamento, é comum haver o pagamento de um valor a mais, além do fi nanciado (ou emprestado), referente ao uso ou “aluguel” do valor
envolvido. Esse valor que foi acrescido é o que chamamos de juro.
A forma como é calculado esse juro é que defi ne o regime de capitalização empregado.
Existem dois tipos: o regime de juros simples e o regime de juros compostos.
Em nossa aula, estudaremos o regime de juros simples (ou de capitalização simples),
fi cando o sistema de juros compostos para ser abordado na nossa próxima aula.
Vamos começar a nossa aula?
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt2Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt2 7/1/2009 14:52:477/1/2009 14:52:47
Juro e Taxa de Juros
Juro e taxa de
juros são coisas
diferentes
�
3
Matemática A09
E s t udando
juros simples
O valor monetário aplicado em alguma operação fi nanceira é chamado de Capital (também chamado de Principal, Valor Aplicado, Valor Atual ou Valor Presente). Usa-se, em inglês, o termo PRESENT VALUE (daí as letras PV nas teclas das
calculadoras fi nanceiras).
Juros é a remuneração que se recebe pela aplicação do Capital em alguma atividade
produtiva. Como já comentamos, no regime de capitalização simples (ou de juros
simples), em cada intervalo de tempo, o juro é sempre calculado sobre o capital inicial
investido ou tomado por empréstimo.
O uso do regime de juros simples é visto no processo de desconto simples de duplicatas
e nas operações de curtíssimo prazo, porém seu uso é bem menos empregado que o
do regime de juros compostos.
No regime de capitalização composta (ou de juros compostos), em cada intervalo de
tempo, o juro sempre é calculado sobre o saldo acumulado até o início do presente
intervalo. A maioria das operações que abrangem a aplicação ou o empréstimo de
dinheiro emprega o regime dos juros compostos.
Os juros compostos são geralmente usados no fi nanciamento de compras em médio
prazo (ou em longo prazo), nas compras com cartão de crédito, nas aplicações
fi nanceiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fi xa,
nos empréstimos bancários, entre outros exemplos. Mas esse já é um assunto que
discutiremos na próxima aula.
O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível para essas operações fi nanceiras
são fatores para a defi nição de um elemento que indica qual deve ser a remuneração.
Esse elemento é chamado de taxa de juros.
A taxa de juros é um valor (na forma percentual ou na forma unitária) que indica qual
remuneração será paga ao dinheiro emprestado (ou investido), para um determinado
período. Na forma percentual ou na forma unitária uma taxa de juros sempre apresenta
a indicação do período de tempo a que se refere. Observe esses formatos no exemplo
a seguir.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt3Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt3 7/1/2009 14:52:517/1/2009 14:52:51
Exemplo 1
4
Matemática A09
Observe alguns exemplos de taxas de juros apresentadas, cada uma, em
dois formatos diferentes:
Forma percentual Forma unitária
0,3% ao dia ou 0,3% a.d. 0,003 ao dia ou 0,003 a.d.
1,3% ao mês ou 1,3% a.m. 0,013 ao mês ou 0,013 a.m.
17,5% ao trimestre ou 17,5% a.t. 0,175 ao trimestre ou 0,175 a.t.
129,8% ao ano ou 129,8% a.a. 1,298 ao ano ou 1,298 a.a.
Observe que na apresentação da taxa de juros na forma unitária, não se escreve
o símbolo % (‘por cento’) e seu valor numérico é igual a um centésimo do valor
expresso na taxa percentual.
Devemos lembrar que uma taxa de juros de x%, signifi ca dizer que de cada 100
unidades monetárias (digamos, 100 reais, por exemplo) envolvidas na aplicação
fi nanceira, serão pagos x reais de remuneração.
Já falamos que o regime será de juros simples quando o percentual de juros for
calculado apenas sobre o capital inicial. Nesse regime de capitalização não há
incidência de juros sobre juros, em cada período.
Para resolver as situações que apresentaremos a seguir, representaremos o
capital inicial emprestado (ou aplicado) pela letra P, a taxa de juros por i e o
número de períodos de tempo por n.
A fórmula básica utilizada nos cálculos que envolvem juros simples é J = P ⋅ i ⋅ n,
porém, nesses cálculos também podemos utilizar uma regra de três composta,
recurso de resolução de problemas que já aprendemos e utilizamos em aulas
anteriores. Observe o exemplo a seguir:
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt4Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt4 7/1/2009 14:52:517/1/2009 14:52:51
Exemplo 2
5
Matemática A09
Uma dívida de R$ 3.000,00 deve ser paga com juros de 2% a.m. pelo regime
de juros simples e devemos pagá-la em 6 meses. Qual é o valor dos juros
que serão pagos?
Lembre que, se a taxa de juros é de 2% a. m., signifi ca dizer que para cada
R$ 100,00 da dívida serão pagos R$ 2,00 a cada mês. Assim, podemos
escrever a seguinte regra de três:
Essa é uma regra de três composta e as grandezas envolvidas são
diretamente proporcionais, o que nos permite escrever a seguinte
proporção:
Capital (R$) Tempo (meses) Juros (R$)
100,00 1 2,00
3.000,00 6 x
Vemos no cálculo do valor de x, que é o valor dos juros que se queria determinar, que
os juros podem ser calculados pelo ‘produto do capital inicial pelo número de períodos
de tempo e pela taxa de juros’, ou seja, J = P · n · i ou J = P · i · n.
Atenção!
Para utilizarmos a fórmula J = P · i · n, a taxa de juros i deve estar
na sua forma unitária. Ou seja, se, no enunciado do problema, temos
i = 5% a.m., devemos utilizar i = 0,05 a.m. na fórmula.
Agora, que tal praticar um pouco o que acabou de aprender?
100
3 000
=
1
6
=
2
x
⇒ 2
x
=
100
3 000
· 1
6
⇒ 2
x
=
100
3 000 · 6 ⇒ 100 · x = 3 000 · 6 · 2
⇒ x = 3 000 · 6 · 2
100
⇒ x = 3 000 · 6 · 2
100
⇒ x = 3 000 · 6 · 0, 02 ⇒ x = 360
J = P · n · i
Foram produzidos juros de R$ 360,00.
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Responda aqui
1Praticando...
1. Qual é o valor dos juros a serem pagos pelo empréstimo, a uma taxa de
juros simples de 30% a.a., de R$ 1.200,00, pelo período de 2 anos?
2. Em um investimento de R$ 3.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de
3% a.m., no sistema de capitalização simples, qual é o valor dos juros
a serem recebidos?
Lembre-se
30% a.a. = 0,3 a.a. e
3% a.m. = 0,03 a.m.
�
�
6
Matemática A09
Observe que nas situações anteriores, expressamos a taxa i e o período
n, na mesma unidade de tempo, mas nem sempre isso ocorre. Quando
a unidade de tempo da taxa e do prazo da aplicação diferem podemos
converter um desses valores para que ambos apresentem a mesma unidade
de tempo.
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7
Matemática A09
Exemplo 3
Pelo empréstimo de R$ 1.200,00 a uma taxa de 15% a.t., no período de 2 meses
e 15 dias, que juros, no regime de capitalização simples, serão pagos?
Para converter a taxa de 15% a. t. (15% ao trimestre) para uma taxa diária,
devemos considerar que o trimestre comercial tem 90 dias, assim:
i = 15% a.t. =
15%
90
a. d. ⇒ i = 0,1667% a. d. (aproximando para 4 casas
decimais)
i = 0,001667 a.d.
n = 2 m 15 d = (2 · 60 + 15) d = (120 + 15) d = 135 d
Logo, J = P · i · n ⇒ J = 1 200 · 0,001667 · 135 · J = 270,054 ⇒ J ≅ 270,05.
Os juros pagos pelo empréstimo serão de R$ 270,05.
Que tal ver alguns exemplos?
Considere duas taxas i e i’ (percentuais ou unitárias) correspondentes a dois
períodos de tempo n e n’ (em uma mesma unidade de tempo). Se
'n
n
'i
i
= ,
dizemos que i e i’ são taxas proporcionais.
Exemplo 4
Veja mais alguns exemplos:
Calcule a taxa mensal proporcional a 48% ao ano.
Como 1 ano corresponde ao período de 12 meses, podemos escrever:
i
i′
=
n
n′
⇒ x
0, 48
=
1
12
⇒ 12 · x = 0, 48 · 1 ⇒ 12 · x = 0, 48
⇒ x = 0, 48÷ 12 ⇒ x = 0, 04
Trimestre
Observe que
é mais fácil
transformar
trimestre em dias
do que o inverso.
�
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt7Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt7 7/1/2009 14:52:527/1/2009 14:52:52
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Matemática A09
Exemplo 6
Determine os juros a serem recebidos pela aplicação, a uma taxa de 36%
a.a., de um capital de R$ 2.500,00, durante 10 meses.
Temos:
P = R$ 2.500,00
i = 36% a.a. = 0,36 a.a. = (0,36 ÷ 12) a.m. = 0,03 ao mês.
n = 10 m
J = P ⋅ i ⋅ n ⇒ J = 2 500 ⋅ 0,03 ⋅ 10 ⇒ J = 750
Os juros a serem recebidos são iguais
a R$ 750,00.
A taxa proporcional é igual a 0,04 a.m. (ou seja, 4% a.m.).
Observe que a taxa de juros foi convertida para ter a mesma unidade de
tempo do prazo da aplicação.
Exemplo 5
Determine a taxa de juros mensal proporcional à taxa de 1,8% ao dia.
O mês comercial é composto de 30 dias, portanto podemos escrever:
i
i′
=
n
n′
⇒ x
1, 8
=
30
1
⇒ 1 · x = 1, 8 · 30 ⇒ x = 54
Que tal ver mais um exemplo?
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Responda aqui
2Praticando...
9
Matemática A09
Agora podemos fazer mais algumas atividades.
1. Calcule a taxa anual proporcional a 12% ao trimestre.
2. Determine a taxa diária proporcional a 15% ao mês.
3. Qual a taxa proporcional a 0,25% ao dia?
4. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de
3% a.m., durante 180 dias.
5. Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 35.000,00, a uma taxa
de 20% ao trimestre, durante 2 anos.
6. Calcule o juro devido pelo empréstimo de um capital de R$ 5.000,00, a
uma taxa de 18% a.t., por um período de 2 meses.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt9Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt9 7/1/2009 14:52:547/1/2009 14:52:54
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Matemática A09
Exemplo 7
Um empréstimo de R$ 5.400,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11
do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 48% a.a., qual o juro total a ser
pago?
Temos que
P = R$ 5.400,00
i = 0,3% a.d. = 0,0003 a.d.
n = valor desconhecido (em dias).
Juro simples comercial e juro simples exato
Nos cálculos de juros, em nossa aula, consideramos 1 ano = 360 dias, 1 semestre = 180
dias, 1 trimestre = 90 dias ou 1 mês = 30 dias. Nesse caso, obtemos o que chamamos
de juro simples comercial.
A técnica de cálculos que considera os períodos de tempo iguais aos do calendário (1
ano = 365 ou 366 dias, 1 mês = 28, 29, 30 ou 31 dias,...) calcula o que chamamos de
juro simples exato. Porém, mesmo nos juros simples comerciais ou nos juros simples
exatos, o cálculo do tempo pode ser exato ou aproximado.
Para que o cálculo do tempo seja exato, podemos utilizar uma técnica que utiliza a
consulta à Tabela de Cálculo de Tempo (TCT), na seção para consulta.
Determinação de número exato de dias
Esse cálculo do número exato de dias pode ser feita de duas maneiras diferentes:
Pela contagem direta no calendário, observando o número exato de dias de cada
mês.
Pelo uso da Tabela de Cálculo de Dias, para a contagem exata de dias.
Para entender melhor, observe o seguinte exemplo:
�
�
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt10Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt10 7/1/2009 14:52:547/1/2009 14:52:54
MESES
DIAS Jan. Fev. Março Abril Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
01 01 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
02 02 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
03 03 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
04 04 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
05 05 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
06 06 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
07 07 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
08 08 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
09 09 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 332 364
31 31 90 151 212 243 304 365
11
Matemática A09
Consultando a TCD, temos:
para o dia 25/11 temos o valor 329;
para o dia 20/07 temos o valor 201.
�
�
Tabela 1 – Tabela para contagem de dias (TCD)
Fonte: Crespo (1996, p. 202).
O número exato de dias entre 20 de julho e 25 de novembro de um mesmo ano é
a diferença entre esses dois valores, ou seja: n = 329 – 201 ⇒ n = 128 dias.
Assim: J = 5 400 · 0,0003 · 128 ⇒ J = 207,36
São produzidos R$ 207,36 de juros.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt11Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt11 7/1/2009 14:52:547/1/2009 14:52:54
Que tal mais um exemplo?
3Praticando...
12
Matemática A09
Exemplo 8
Em um investimento foi aplicado um capital de R$ 3.200,00, à taxa de 0,5%
ao dia, de 14/02 a 20/12 do mesmo ano. Qual foi o valor do juro produzido
no investimento?
P = R$ 3.200,00
i = 0,5% a.d. = 0,005 a.d.
Pela TCT, o valor correspondente a 20/12 é 354 e o correspondente a 14/02
é 45, logo:
n = 354 – 45 ⇒ n = 309 dias
J = P · i · n ⇒ J = 3 200 · 0,005 · 309 ⇒ J = 4 944
Nessas condições, são produzidos R$ 4.944,00 de juros.
Agora, você pode exercitar o que aprendeu na atividade a seguir.
1. Quanto foi pago de juro pelo empréstimo de R$ 4.000,00, do dia 25/01/08
a 14/02/08, à taxa de 0,6% ao dia?
2. Calcule o juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 5.000,00, do dia 19 de
agosto ao dia 18 de outubro do mesmo ano, à taxa de 0,48% ao dia?
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt12Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt12 7/1/2009 14:52:557/1/2009 14:52:55
Responda aqui
13
Matemática A09
Cálculo do montante
Em algumas situações é necessário calcular mais do que apenas os juros. Observe o
exemplo a seguir.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt13Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt13 7/1/2009 14:52:567/1/2009 14:52:56
Exemplo 9
Exemplo 10
14
Matemática A09
Para pagar um empréstimo de R$ 2.500,00, por 3 meses, a uma taxa de juros
de 5% ao mês pelo regime de juros simples, deve ser paga que quantia
total, em reais?
Calculando os juros a serem pagos:
J = P · i · n ⇒ J = 2 500 · 0,05 · 3 = 375.
Calculando a quantia total a ser paga:
P + J = 2.500 + 375 = 2 875.
O valor total a ser pago pela dívida é de R$ 2.875,00.
Quando somamos os juros (J) ao valor principal (P), temos um valor
chamado de montante, que representaremos por M.
Assim, Montante = Principal + Juros ⇒ M = P + J ⇒ M = P + (P · i · n)
⇒ M = P · (1 + i · n)
Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 8.000,00 à taxa de 10,5%
a.m. durante 270 dias.
Observe que a taxa i = 10,5% a.m. (ou i = 0,105 a.m.) indica uma unidade
de tempo diferente da que está indicada em n = 270 dias.
A primeira providência é converter um desses valores para que possamos
trabalhar, em i e n, com a mesma unidade de tempo.
Considerando 1 mês comercial como 30 dias, temos que:
n = 270 ÷ 30 ⇒ n = 9 meses.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt14Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt14 7/1/2009 14:52:567/1/2009 14:52:56
Exemplo 11
Exemplo 12
15
Matemática A09
Assim:
M = P · (1 + i · n) ⇒ M = 8 000 · (1 + 0,105 · 9) ⇒ M = 8 000 · (1 + 0,945)
⇒ M = 8 000 · (1,945) ⇒ M = 15 560
O montante é igual a R$ 15.560,00.
Qual é o capital que, por empréstimo, por um período de 6 meses, a uma taxa
de juro simples de 3,5% a.m., gera uma dívida total de R$ 3.206,50?
Como M = P + J ⇒ 3 206,50 = P · (0,035 · 6 + 1)
⇒ 3 206,50 = P · (0,21 + 1) ⇒ P · 1,21 = 3 206,50
⇒ P = (3 206,50) ÷ 1,21 ⇒ P = 2 650
O capital que gera esse montante
é de R$ 2.650,00.
Agora, observe o exemplo a seguir:
Determine os juros simples e o valor total de uma dívida que se
referem ao empréstimo de R$ 4.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a.,
durante 142 dias.
No sistema de capitalização simples, temos: J = P · i · n.
Considerando o ano comercial igual a 360 dias e convertendo a taxa
anual de 36% em uma taxa diária, temos:
i = 36% a.a. = 36%
360
a.d. = 0,1% a.d. ⇒ i = 0,0001 a.d.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt15Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt15 7/1/2009 14:52:567/1/2009 14:52:56
16
Matemática A09
Com a taxa e o prazo do empréstimo se referindo à mesma unidade de
tempo, ou seja, dias, podemos escrever:
J = 4 000 · 0,001 · 142 = R$ 568,00
Para o cálculo do total da dívida (ou montante da dívida), temos:
M = P + J ⇒ M = 4 000 + 568 ⇒ M = 4 568
Os juros simples produzidos no empréstimo foram de R$ 568,00, somando
um montante a ser pago de R$ 4.568,00.
Agora você pode praticar um pouco o que aprendeu.
4Praticando...
1. Determine o valor do total da dívida contraída pelo empréstimo de
R$ 5.000,00, à taxa de 5% a.m., pelo regime de juros simples, pelo prazo
de 5 meses.
2. Calcule qual é o montante acumulado na aplicação de R$ 4.580,00, à taxa
de 2% a.m., durante 8 meses.
3. Em quantos meses o capital de R$ 3.000,00, à taxa de 45% a.a., produzirá
um montante de 3.562,50?
4. A que taxa anual a importância de R$ 2.000,00, produzirá um montante
de R$ 2.600,00, em 6 meses?
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt16Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt16 7/1/2009 14:52:577/1/2009 14:52:57
17
Matemática A09
Responda aqui
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt17Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt17 7/1/2009 14:52:577/1/2009 14:52:57
Exemplo 14
18
Matemática A09
Cálculo do capital
Em algumas situações precisamos calcular o valor do capital, em um sistema de
capitalização simples. Veja o exemplo a seguir:
Que capital devo aplicar para obter, em 35 dias, à taxa diária de 0,12%, juros
de R$ 151,20?
Temos:
P = ?
i = 0,12% a.d. = 0,0012 a.d.
n = 35 dias
J = R$ 151,20 ⇒ P · 0,0012 · 35 = 151,20 ⇒ P · 0,042 = 151,20
⇒ P = 151,20 ÷ 0,042 ⇒ P = 3 600
O capital que deve ser aplicado é de R$ 3.600,00.
Exemplo 13
Calcule o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.m.,
rende R$ 300,00 de juros em 75 dias?
Temos que:
J = 300
i = 12% a.m. = 0,12 a.m. = 0,004 a.d.
n = 75 dias
Como J = P · i · n, temos:
300 = P · 0,004 · 75 ⇒ 300 = 0,3 · P ⇒ P = 300 ÷ 0,03 ⇒ P = 1 000
O capital aplicado foi de R$ 1.000,00.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt18Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt18 7/1/2009 14:52:577/1/2009 14:52:57
19
Matemática A09
Agora, que tal praticar um pouco?
Responda aqui
5Praticando...
1. Calcule o capital que colocado à taxa de 4% a.m., durante 5 meses, rende
R$ 600,00 de juros?
2. Que importância devo aplicar à taxa de 1,5% a.d., para render, em 10
meses, juros de R$ 750,00?
3. Determine em quantos dias o capital de R$ 5.700,00, aplicado à taxa de
2,5% a.m., produz juros de R$ 14,25.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt19Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt19 7/1/2009 14:52:587/1/2009 14:52:58
Cálculo da taxa de juros
Nas situações em que é preciso calcular a taxa de juros aplicada, substitua os valores
conhecidos, efetue as operações indicadas e isole o valor de i, lembrando sempre que
a taxa e o prazo devem estar em uma mesma unidade de tempo. Observe o exemplo a
seguir e resolva a atividade correspondente.
Exemplo 15
Exemplo 16
20
Matemática A09
A que taxa mensal o capital de R$ 560,00 rende juros de R$ 67,20, em 4
meses?
Temos:
P = R$ 560,00
i = ?
n = 4 meses
J = R$ 67,20
Como J = P · i · n ⇒ 67,20 = 560 · i · 4 ⇒ 67,20 = 2240 · i ⇒ 2240 · i =
67,20 ⇒ i = 67,20 ÷ 2240 ⇒ i = 0,03 a.m. (ou seja, ι = 3% a.m.).
A taxa de juros aplicada é igual a 3% ao mês.
Veja mais um exemplo.
A que taxa anual a importância de R$ 5.200,00 rende, em 9 meses juros de
R$ 624,00?
Convertendo o tempo de 8 meses em ano, temos que:
n = (9 ÷ 12) = 0,75 ano.
Os demais dados conhecidos são:
P = R$ 5.200,00
J = R$ 624,00
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt20Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt20 7/1/2009 14:52:587/1/2009 14:52:58
Responda aqui
6Praticando...
21
Matemática A09
J = P · i · n ⇒ 624 = 5.200 · i · 0,75 ⇒ 624 = 3900 · i ⇒ 3900 · i = 624
⇒ i = 624 ÷ 5.200 ⇒ i = 0,12 a.m. ou i = 12 % a.m.
A taxa aplicada foi de 12% ao mês.
1. Qual é a taxa mensal proporcional a 6% ao ano?
2. Qual é a taxa anual proporcional a 0,025 ao dia? (Sendo 1 a = 360 d).
3. Calcule a taxa diária proporcional a 3,6% ao bimestre.
4. A que taxa foi colocada a importância de R$ 1.300,00 para que, durante
1 ano e 3 meses, rendesse um juro de R$ 260,00?
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt21Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt21 7/1/2009 14:52:587/1/2009 14:52:58
Exemplo 17
Exemplo 18
22
Matemática A09
Cálculo do prazo da operação
Em alguma situação podemos ter a necessidade de calcular o prazo da operação (seja
essa de empréstimo, fi nanciamento ou aplicação fi nanceira).
Em quantos dias o capital de R$ 400,00, aplicado à taxa mensal de 3,6%,
renderá juros de R$ 21,60?
Temos:
P = R$ 400,00
i = 3,6% a.m. = 0,036 ao mês = (0,036 ÷ 30) a.d. = 0,0012 ao dia
J = R$ 21,60, ou seja, 400 · 0,0012 · n = 21,60 ⇒ 0,48 · n = 21,60
⇒ n = 21,60 ÷ 0,48 ⇒ n = 45 dias
O prazo da aplicação é de 45 dias.
Veja mais um exemplo.
Se a taxa de uma aplicação é de 120% ao ano, quantos meses serão
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Dobrar o capital aplicado signifi ca ter um montante igual ao dobro do capital
inicial, ou seja, é M = 2 · P
Para desenvolver os cálculos temos i = 120% a.a. = 1,2 a.a. e a expressão
do montante que é M = P (1 + i · n)
Substituindo os valores conhecidos, temos:
2 · P = P · (1 + 1,2 · n)
Dividindo ambos os lados da igualdade por P e resolvendo a equação resultante,
temos: 2 = 1 + 1,2 · n ⇒ 2 – 1 = 1,2 · n ⇒ 1 = 1,2 · n ⇒ n = 1 ÷ 1,2
⇒ n = 0,8333 ano ⇒ n = 10 meses
O tempo de aplicação necessário para duplicar o capital, nas condições
acima, é de 10 meses.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt22Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt22 7/1/2009 14:52:587/1/2009 14:52:58
Responda aqui
7Praticando...
23
Matemática A09
1. Por quantos meses o capital de R$ 4.000,00 deverá ser aplicado para
render R$ 1.200,00 à taxa de 3% ao mês?
2. Por quantos dias devemos aplicar o capital de R$ 5.000,00 para render
R$ 875,00, à taxa de 0,5% ao dia?
3. Calcule o prazo de aplicação do capital de R$ 460,00 para render R$ 49,60
de juros, quando aplicado à taxa de 0,15% ao dia.
4. Determine a taxa trimestral que foi aplicada ao capital de R$ 5.000,00,
em 36 dias, para produzir R$ 360,00 de juros.
Se você já resolveu todas as atividades e não resta nenhuma dúvida, resolva
agora essa lista de exercícios a seguir.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt23Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt23 7/1/2009 14:52:597/1/2009 14:52:59
Ex
er
cí
ci
os
24
Matemática A09
1. O juro gerado pela aplicação de R$ 500,00, à taxa de 15% ao ano, durante
2,5 anos é de
a) R$ 187,50. b) R$ 178,50. c) R$ 185,70. d) R$ 158,70.
2. O juro a ser pago pelo empréstimo de R$ 6.250,00, durante 2 trimestres,
à taxa de 5% ao semestre é de
a) R$ 351,20. b) R$ 321,50. c) R$ 312,50. d) R$ 302,51.
3. O prazo da aplicação do capital de R$ 5.000,00, à taxa de 36% a.a.,
para obtermos R$ 3.600,00 de juros comerciais aproximados (1 a =
360 dias) é de
a) 3 semestres. b) 60 meses. c) 680 dias. d) 2 anos.
4. Pelo empréstimo de R$ 1.200,00 à taxa trimestral de 1,5%, foram pagos
R$ 240,00 de juros.
O prazo do empréstimo foi de
a) 40 meses. b) 42 meses. c) 43 meses. d) 48 meses.
5. A taxa mensal proporcional a 60% ao ano, nos juros comerciais
aproximados, é
a) 0,005. b) 0,05. c) 0,5. d) 5.
6. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em 30/05 de um determinado
ano, à taxa diária de 0,5% e resgatado em 12/08 do mesmo ano. Esse
investimento rendeu juros de
a) R$ 180,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 18.000,00. d) R$ 118.000,00.
7. O capital que, aplicado em um investimento à taxa mensal de 1,2% por
um semestre gerou um juro de R$ 144,00, é igual a
a) R$ 120,00. b) R$ 1.200,00. c) R$ 1.800,00. d) R$ 2.000,00.
8. O montante resultante da aplicação de um capital de R$ 4.800,00 à taxa
diária de 2% por um período de 75 dias é igual a
a) R$ 12.000,00. b) R$ 10.200,00. c) R$ 9.800,00. d) R$ 9.600,00.
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt24Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt24 7/1/2009 14:52:597/1/2009 14:52:59
R
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st
a
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Matemática A09
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26
Matemática A09
Se você já resolveu todas as atividades e exercícios, verifi que sua aprendizagem com
a auto-avaliação mais adiante.
Auto-avaliação
Em nossa aula, você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização
simples, o que são juros e o que são juros simples. Aprendeu, também,
a resolver situações, no regime de capitalização simples, que envolvam o
cálculo dos juros simples, da taxa de juros, o prazo da aplicação ou o valor
do capital aplicado.
1. Com suas palavras descreva o que são juros simples.
2. O que é uma taxa de juros?
3. Associe a coluna da direita com a coluna da esquerda para que
sejam feitas correspondências entre as taxas percentuais e unitárias
correspondentes.
(a) 12,5 % ao mês ( ) 1,25 ao semestre
(b) 12,5% ao dia ( ) 0,0125 ao dia
(c) 1,25% ao dia ( ) 0,125 ao trimestre
(d) 125% ao ano ( ) 0,125 ao dia
(e) 125% ao semestre ( ) 1,25 ao ano
(f) 12,5% ao trimestre ( ) 0,125 ao mês
Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt26Mat_A09_Z_RF_SF_070109.indd CpTxt26 7/1/2009 14:53:107/1/2009 14:53:10
27
Matemática A09
4. Considere 1 ano correspondente a 360 dias e complete o quadro abaixo
escrevendo as taxas trimestrais proporcionais a cada uma das taxas
citadas.
Taxas unitárias Taxas trimestrais proporcionais
0,0545 a.m.
0,36 a.a.
0,1 a.m.
0,006 a.m.
1,2 a.a.
0,0024 a.d.
5. Assinale V (se verdadeira) ou F (se falsa) cada uma das afi rmativas
abaixo.
a) ( ) O juro produzido pelo capital de R$ 8.000,00, durante 10 meses,
à taxa mensal de 1,2% é de R$ 96,00.
b) ( ) O montante produzido pelo investimento de R$ 8.000,00, durante
10 meses, à taxa diária de 0,0004 é de R$ 8.960,00.
c) ( ) O número exato de dias que transcorre entre 20 de janeiro e 25
de junho de um mesmo ano que é bissexto é de 155 dias.
d) ( ) Em um ano bissexto, entre 23 de fevereiro e 15 de maio,
transcorrem 82 dias.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática fi nanceira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo:
Atlas, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e fi nanceira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
MERCHEDE, Alberto. Matemática fi nanceira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
SÓ MATEMÁTICA. Juros simples. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/
emedio/fi nan2.php>. Acesso em: 23 set. 2008.
______. Matemática fi nanceira: conceitos básicos. Disponível em: <http://
www.somatematica.com.br/emedio/fi nan.php>. Acesso em: 23 set. 2008.
______. Relação entre juros e progressões. Disponível em: <http://www.
somatematica.com.br/emedio/fi nan4.php>. Acesso em: 25 set. 2008.
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Para Consulta
MESES
DIAS Jan. Fev. Março Abril Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
01 01 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
02 02 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
03 03 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
04 04 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
05 05 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
06 06 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
07 07 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
08 08 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
09 09 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 332 364
31 31 90 151 212 243 304 365
28
Matemática A09
Fórmulas úteis
Considere para as fórmulas a seguir que P é o capital, i é a taxa de juros
(na forma unitária) e n o número de períodos (com unidade de temo igual
à da taxa de juros).
Juros simples: J = P · i · n
Montante: M = P · (1 + i · n)
Capital: P = J ÷ (i ⋅ n) ou P = M ÷ (1 + i · n)
Tabela para contagem de dias (TCD)(*)
N
O
TA
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*
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e
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an
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10
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Juros Compostos
matemática
coordenadora da Produção dos materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
coordenador de edição
Ary Sergio Braga Olinisky
coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
Ivana Lima
Diagramação
Ivana Lima
José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
arte e ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão tipográfica
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Design instrucional
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Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
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Revisão das Normas da aBNt
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adaptação para o módulo matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão técnica
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
ministério da educação
Você ve
rá
por aqu
i...
... um breve estudo que apresenta o que são juros compostos, como calculá-los e como
utilizar alguns procedimentos matemáticos, no cálculo de outros elementos do regime de
capitalização composta na resolução de algumas situações
do dia-a-dia como o cálculo
do montante produzido por uma aplicação (ou empréstimo), por exemplo.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e disponibilizamos,
após cada conteúdo apresentado, algumas atividades (com questões subjetivas) e, ao
final de todo o conteúdo, uma lista de exercícios (com questões objetivas).
Na seção Auto-avaliação, ao final desta aula, você encontrará mais uma oportunidade
para verificar e, se necessário, redirecionar sua aprendizagem.
Na seção Para consulta, disponibilizamos um resumo do assunto estudado nesta aula,
que servirá de material de apoio para um consulta rápida na resolução das questões da
presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
1
Matemática a10
Objetivo
Saber descrever o que é o regime de capitalização composta.
Saber descrever o que são juros compostos.
Saber resolver situações que envolvam o cálculo dos juros
compostos ou, no regime de capitalização composta, determinar
a taxa de juros, o prazo da aplicação, o valor do capital aplicado
ou o montante produzido.
�
Matemática a10
Na aula anterior, vimos que quando é preciso pedir algum dinheiro emprestado ou
comprar algum produto com pagamento parcelado, ou seja, através de um financiamento,
é comum haver o pagamento de um valor chamado de juro, que é a remuneração que
se recebe pela aplicação do Capital em alguma atividade produtiva.
Nesta aula, estudaremos o regime de juros compostos (ou de capitalização composta)
que é o mais utilizado nas operações financeiras.
Para começo
de conversa...
�
Matemática a10
estudando juros
compostos
O regime de capitalização que utiliza os juros compostos é chamado de regime de
capitalização composta. Nesse tipo de capitalização, o juro que é calculado em cada
intervalo de tempo irá compor o capital inicial sobre o qual será calculado o juro do
próximo período. Veja o exemplo:
exemplo 1
Marcos abriu uma caderneta de poupança com um valor de R$ 1.000,00.
Considerando uma previsão da taxa de rendimento de 1% ao mês, o capital
inicial de R$ 1.000,00 terá os seguintes rendimentos:
Período capital (R$) Juros (R$) montante (R$)
1º. 1.000,00 10,00 1.010,00
2º. 1.010,00 10,10 1.020,10
3º. 1.020,10 10,20 1.030,30
4º. 1.030,30 10,30 1.040,60
5º. 1.040,60 10,40 1.051,00
Observe que em cada intervalo o juro produzido foi somado ao capital,
formando, assim, o montante do período, que é o capital inicial dos juros a
serem calculados no próximo período.
Os juros compostos são os mais utilizados e geralmente aplicados no financiamento de
compras, nas aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações
em fundos de renda fixa, nos empréstimos bancários, entre outras situações.
A taxa de juros é o elemento que define qual deve ser o valor da remuneração a ser
paga pelo dinheiro recebido por empréstimo ou aplicado em um investimento.
Em nossa aula, representaremos o capital inicial pela letra P, a taxa de juros por i e o
número de períodos de tempo por n.
�
Matemática a10
cálculo do montante
No regime dos juros compostos, como os juros produzidos ao fim de cada período
passam a fazer parte do capital ou montante que serviu de base para cálculo do período
seguinte, temos:
1º. Período:
Capital inicial = P
Juros = P ⋅ i ⋅ 1 = P · i
Montante = P + P ⋅ i = P · (1 + i)
2º. Período:
Capital inicial = P ⋅ (1 + i)
Juros = P ⋅ (1 + i) ⋅ i ⋅ 1 = P ⋅ (1 + i) · i
Montante = P · (1 + i) + P ⋅ (1 + i) · i =
= P ⋅ (1 + i) ⋅ (1 + i) = P ⋅ (1 + i)2
3º. Período:
Capital inicial = P ⋅ (1 + i)2
Juros = P ⋅ (1 + i)2 ⋅ i ⋅ 1 = P ⋅ (1 + i)2 · i
Montante = P · (1 + i)2 + P ⋅ (1 + i)2 · i =
= P ⋅ (1 + i)2 ⋅ (1 + i) = P ⋅ (1 + i)3
4º. Período:
Capital inicial = P ⋅ (1 + i)3
Juros = P ⋅ (1 + i)3 ⋅ i ⋅ 1 = P ⋅ (1 + i)3 · i
Montante = P · (1 + i)3 + P ⋅ (1 + i)3 · i =
= P ⋅ (1 + i)3 ⋅ (1 + i) = P ⋅ (1 + i)4
...
n-ésimo período:
Capital inicial = P ⋅ (1 + i ⋅ n)n-1
Juros = P ⋅ (1 + i)k-1 ⋅ i ⋅ 1 = P ⋅ (1 + i)n-1 · i
Montante = P · (1 + i)n-1 + P ⋅ (1 + i)n-1 · i =
= P ⋅ (1 + i)n-1 ⋅ (1 + i) = P ⋅ (1 + i)n
Lembre-se: uma taxa de juros pode ser apresentada na forma percentual
ou na forma unitária.
�
Matemática a10
A expressão M = P · (1 + i)n representa o montante acumulado em
determinado período em uma aplicação financeira onde P é o capital inicial,
i é a taxa de juros constante em todos os períodos e n é o número de
períodos da aplicação.
Segundo Crespo (1996, p. 110), o fator (1 + i)n é chamado de fator de capitalização ou
fator de acumulação de capital.
Que tal observar um exemplo?
exemplo �
Qual o montante acumulado na aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de juros
composta de 2% ao mês, por 6 meses?
Temos que M = P · (1 + i)n
M = 5 000 · (1 + 0,02)6 = 5 000 · (1,02)6 ⇒ M = 5 000 · 1, 126162419264
⇒ M ≅ 5 630,81
O montante acumulado foi de, aproximadamente, R$ 5.630,81.
Lembre-se de que a taxa i deve apresentar a mesma unidade de tempo
que o valor n.
�
Matemática a10
capitalização composta
é o ato de somar os juros
produzidos com o valor
principal em um dado
período.
capitalização
Agora você já pode resolver algumas questões sobre esse assunto.
Responda aqui
1Praticando...
1. Calcule o montante acumulado na aplicação de R$ 2.000,00, por 5
trimestres, à taxa de 10% ao semestre.
�. Calcule o montante acumulado na aplicação de R$ 4.200,00, por 4 meses,
à taxa de 2% ao mês.
cálculo dos juros
O sistema de juros compostos (ou de capitalização composta ) é mais comum e usado
no sistema financeiro, por isso fique atento para aprender como aplicar esses conceitos,
pois sempre aparecerão situações que envolvem este tipo de cálculo.
Como já temos a expressão que representa o montante, quando for necessário efetuar o
cálculo apenas dos juros, simplesmente devemos diminuir o valor principal do montante
ao final do período dado.
Assim, para representar os juros produzidos em um período, temos:
J = M – P ⇒ J = P ⋅ (1 + i)n – P ⇒ J = P ⋅ [(1 + i)n – 1]. Veja o exemplo a seguir:
�
Matemática a10
exemplo �
Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização
composta do capital de R$ 6.000,00, à taxa mensal de 1,2%, por 4 meses?
Temos que:
J = P ⋅ [(1 + i)n – 1] ⇒ J = 6 000 ⋅ [(1 + 0,012)4 – 1]
⇒ J = 6.000 ⋅ [(1,012)4 – 1] ⇒ J = 6 000 ⋅ [1,048870932736 – 1]
⇒ J = 293,225596416 ⇒ J ≅ 293,23
Foram produzidos R$ 293,93 de juros.
Responda aqui
�Praticando...
Que tal resolver mais algumas questões?
1. O valor de R$ 3.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, por 5 meses
no regime de capitalização composta. Calcule o montante acumulado
nessa aplicação.
�. Determine o valor dos juros produzidos na aplicação da questão
anterior.
�
Matemática a10
Uso de tabela financeira ou de calculadora?
Para simplificar os cálculos e evitar que seja necessário calcular potências quando
é preciso calcular o fator de capitalização, foram criadas as tabelas financeiras, que
já trazem calculado o valor da expressão (1 + i)n, para vários valores de n (prazo de
capitalização ou número de períodos de capitalização) e de i (taxa de juros). Em geral,
nas tabelas, os dados são lidos da seguinte forma:
Localize na coluna da esquerda a linha correspondente ao valor de n (número de
períodos);
Na linha superior, localize a coluna correspondente ao valor da taxa i. No cruzamento
dessa linha e dessa coluna, temos a célula que indica o valor da potência que é o
fator de capitalização procurado. Assim, o uso da tabela envolve três elementos:
número de períodos, taxa de juros e fator de capitalização. Observe isso no
exemplo a seguir.
Determine o fator de capitalização, de um investimento no qual foi aplicada
a taxa de 2% a.m., durante 5 meses.
Como a unidade de tempo da taxa de juros e do prazo da aplicação é a
mesma, não haverá conversão de unidades, basta localizar diretamente na
tabela financeira a célula interseção entre o número de período n = 5 e da
taxa i = 2%.
taxas percentuais (i)
Nº. De
PeRÍODOS (n)
0,5% 1% 1,5% 2% 2,5%
1 1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,025000
2 1,010025 1,020100 1,030225 1,040400 1,050625
3 1,015075 1,030301 1,045678 1,061208 1,076891
4 1,020150 1,040604 1,061364 1,082432 1,103813
5 1,025251 1,051010 1,077284 1,104081 1,131408
6 1,030377 1,061520 1,093443 1,126162 1,159693
7 1,035529 1,072135 1,109845 1,148686 1,188686
8 1,040707 1,082857 1,126493 1,171659 1,218403
exemplo �
�
Matemática a10
Observação:
Fatores de capitalização utilizando arredondamento para seis
casas decimais.
Para 5 períodos de capitalização a uma taxa de 2% (na mesma unidade de
tempo), o fator de capitalização procurado é 1,104081.
No uso da calculadora, dependendo do tipo desse equipamento, você pode encontrar
um valor com maior precisão para o fator de capitalização calculado.
No caso de uma calculadora científica que tenha a tecla x^y ou x y, basta que você
digite 1,02, a tecla x^y ou x y, digite 5 e em seguida a tecla =. Você obterá, então, o fator
de capitalização com o maior número de casas decimais que sua calculadora puder
apresentar no visor. Nesse caso, teremos 1,1040808032, se a calculadora apresentar
12 dígitos ou mais. Leia o manual de sua calculadora, antes de utilizá-la. Veja agora
mais um exemplo.
exemplo �
Qual o valor do juro produzido pelo capital de R$ 3.000,00, quando aplicado
à taxa de 1,5% ao dia em 8 dias?
Como taxa e prazo de capitalização estão em uma mesma unidade de
tempo, podemos localizar diretamente, na tabela, o fator de capitalização;
no cruzamento da linha de n = 8 e na coluna de i = 1,5%, encontramos o
fator a 1,126493.
Logo, temos:
M = 3 000 ⋅ 1,126493 ⋅ M = 3379,479 ⇒ M ≅ 3379,48
J = M – P ⇒ J = 3 379,48 – 3 000,00 ⇒ J = 379,48
Foram produzidos R$ 379,48 de juros nessa aplicação.
�Praticando...
10
Matemática a10
Nos exemplos anteriores, a unidade de tempo na taxa de juros e no prazo do investimento
é a mesma. E quando essa unidade de tempo da taxa e do período de aplicação diferem?
Simples. Você converte uma delas. Veja como resolver esse tipo de situação, no exemplo
a seguir.
exemplo �
Qual é o fator de capitalização de um investimento com prazo de 2 meses
e taxa de 0,5% ao dia?
n = 2 meses = 60 dias (no calendário comercial)
Logo, o fator de capitalização passa a ser (1,005)60, que apresentado com
um arredondamento para 8 casas decimais será igual a 1,34885015.
Agora você já pode resolver algumas outras questões. Vamos lá?
1. Calcule o fator de capitalização de uma aplicação que envolve um
empréstimo por 3 meses de um capital à taxa de 0,5% ao dia.
�. Determine o valor de cada fator de capitalização que envolve um
empréstimo a juros simples,
a) por um período de 5 meses, a uma taxa de 4,5% ao mês.
b) por um período de 1 ano e 6 meses, a uma taxa de 2% ao mês.
c) por um período de 24 meses, a uma taxa de 25% ao ano.
d) Por um período de 1 ano e 4 meses, a uma taxa de 3% ao mês.
e) Por um período de 15 meses, a uma taxa de 9% ao trimestre.
Responda aqui
11
Matemática a10
cálculo do montante para
períodos não tabelados
Algumas situações não apresentam períodos que estejam contemplados em
nossas tabelas financeiras. Nesse caso, podemos utilizar as propriedades das
potências. Agora, observe o exemplo a seguir.
exemplo �
Calcule o montante de R$ 5.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante
35 meses.
Como não temos n = 35 em nossas tabelas, encontraremos o fator de
capitalização utilizando a seguinte propriedade das potências:
(1 + i) a + b = (1 + i) a ⋅ (1 + i) b. Assim, encontraremos
M = 5 000 ⋅ (1 + 0,035)35 ⇒ M = 5 000 ⋅ (1 + 0,035)5 + 30
⇒ M = 5 000 ⋅ (1 + 0,035)5 ⋅ (1 + 0,035)30
⇒ M = 5 000 ⋅ 1,187686 ⋅ 2,806794
⇒ M = 16.667,94969342
⇒ M ≅ 16.667,95
O montante produzido foi de R$ 16.667,95.
Responda aqui
�Praticando...
1�
Matemática a10
Agora, você pode resolver algumas questões na atividade a seguir.
1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 4.000,00, à taxa de 2% ao
mês, pelo prazo de 32 meses.
�. Determine o total da dívida contraída pelo empréstimo de R$ 12.000,00,
à taxa mensal de 1,5% ao mês, pelo período de 3 anos.
cálculo do capital
A fórmula do montante no regime de juros compostos é Mn = P ⋅ (1 + i)n.
Quando precisamos calcular o valor principal ou capital, podemos isolar o valor
de P. Assim: P ⋅ (1 + i)n = Mn ⇒ P = Mn ÷ (1 + i)n ou P = Mn ⋅ (1 + i)– n .
Os valores de (1 + i)– n são os inversos dos valores apresentados nas tabelas
financeiras dispostas ao final desta aula. Esses fatores (1 + i)– n são chamados
de fatores de atualização.
Que tal ver um exemplo sobre esse assunto?
exemplo �
exemplo �
1�
Matemática a10
Calcule o valor do capital aplicado à taxa de 3% ao mês, por 5 meses, a
juros simples, que produziu o montante de R$ 4.057,46.
Temos que:
M = 4.057,46, n = 5 meses e i = 3% ao mês = 0,03 a.m.
Substituindo esses valores na fórmula do montante, teremos:
4.057,46 = P ⋅ (1 + 0,03)5 ⇒ P = 4.057,46 ÷ (1 + 0,03)5 ⇒
P = 4.057,46 ÷ 1,1592740743 ⇒ P ≅ 3.500,00
Ou seja, o capital inicial foi de R$ 3.500.
cálculo do prazo
Em algumas situações temos que calcular o valor do capital. Para isso, usaremos
também a expressão do montante nos juros compostos e isolamos o valor de P (capital
inicial ou principal). Vejamos um exemplo a seguir.
Determine o prazo no qual, no regime de juros compostos, um empréstimo
de R$ 11.000,00, à taxa de 15% ao semestre, pode ser quitado em um único
pagamento de R$ 22.125,00.
No enunciado, temos M = 22 125, P = 11 000 e i = 15% ao semestre = 0,15 a.s.
Logo:
22 125 = 11 000 ⋅ (1,15)n ⇒ 22 125 ÷ 11 000 = (1,15)n ou 2,011364 = (1,15)n
Comparando com os valores tabelados na coluna de i = 15%, encontramos
que o valor mais próximo para o período é n = 5.
Logo, o prazo para que o empréstimo seja quitado em um só pagamento é
de 5 semestres.
Que tal resolver algumas questões agora?
1�
Matemática a10
Responda aqui
�Praticando...
1. Uma TV de R$ 3.200,00 pode ser vendida sem entrada para pagamento
de uma única prestação de R$ 4.049,00, ao final de 6 meses. Qual é a
taxa de juro mensal cobrada pela loja?
�. Jorge recebeu uma proposta para investir R$ 12.000,00, hoje, para receber
R$ 16.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do
investimento proposto no regime de juros compostos?
taxa efetiva e taxa nominal
Uma taxa é denominada efetiva quando sua unidade de tempo é o mesmo que o do
período de capitalização. Por exemplo, um valor capitalizado mensalmente a uma taxa
de 3% ao mês é um exemplo de taxa efetiva. Uma capitalização anual a uma taxa de
120% ao ano é outro exemplo de taxa efetiva.A taxa nominal tem unidade de tempo
diferente da unidade de tempo do período de capitalização. Nesse caso, é necessário
fazermos a conversão da unidade proporcionalmente.
Por exemplo, uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização mensal, será
transformada para efeito de cálculos em 18% ÷ 12 = 1,5 % ao mês.
No regime de juros
compostos, sempre que
a taxa e o período de
capitalização apresentem
unidades de tempo
diferentes, a taxa deve
ser considerada taxa
nominal e devem ser
convertida para a unidade
adequada.
efetiva
1�
Matemática a10
exemplo 10
Qual o montante produzido por R$ 5.000,00, aplicado sob juros compostos
trimestrais, taxa de 180% ao ano, durante 1 ano?
Como 180% ao ano é a taxa nominal, pois a capitalização é trimestral,
devemos
dividi-la por 4 para transformar em trimestral. (180 ÷ 4 = 45%
a.t). Devemos também considerar n = 4 (pois 1 ano = 4 trimestres).
M = 5 000 · (1,45)4 = 5 000 · 4,42050625 = 22.102,53125 ≅ 22.102,53.
O montante é de R$ 22.102,53
Responda aqui
�Praticando...
1. Uma taxa nominal de 18% ao semestre é capitalizada mensalmente. Calcule
a taxa efetiva.
�. Qual o valor do montante produzido pela aplicação de um capital de
5.000,00, à taxa de 24% ao ano, ao final de 2 anos, com juros capitalizados
trimestralmente?
�. Um banco emprestou a quantia de R$ 12.000,00 por 2 anos. Sabendo que
o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal, qual a taxa
efetiva anual e qual é o montante a ser devolvido ao final dos 2 anos?
1�
Matemática a10
taxas equivalentes no regime de
capitalização composta
São aquelas que, no regime de juros compostos, aplicadas ao mesmo principal, durante
o mesmo prazo, produzem os mesmos montantes. Por exemplo, 10% ao mês, sob juros
compostos, é uma taxa equivalente a 21% ao bimestre.
Verifiquemos o que acontece, quando aplicadas a um capital de 100 reais.
10% ao mês 21% ao bimestre
Capital Montante Capital Montante
1º. Mês R$ 100,00 R$ 110,00 R$ 100,00 ...
2º. Mês R$ 110,00 R$ 121,00 ... R$ 121,00
Como os capitais e os montantes são iguais, podemos obter as taxas equivalentes
através de igualdades geradas pelos fatores de correção, elevados aos expoentes
convenientes. Ou seja:
(1 + ia)
1 = (1 + is)
2 = (1 + it)
4 = (1 + im)
12 = (1 + id)
360
ou
(1 + is) = (1 + it)
4 = (1 + im)
6 = (1 + id)
180
ou
(1 + it) = (1 + im)
3 = (1 + id)
90
ou
(1 + im) = (1 + id)
30
Para entender melhor, observe o exemplo a seguir.
Responda aqui
�Praticando...
1�
Matemática a10
exemplo 11
Qual a taxa semestral, equivalente para juros compostos a 3% ao mês?
(1 + is) = (1 + im)
6 ⇒ (1 + is) = (1,03)
6 ⇒ (1 + is) = 1,194052 ⇒
(1 + is) = 1 + 0,194052 ⇒ is = 0,194052 ⇒ is = 19,4052%.
Logo este fator corresponde a uma taxa de 19,4052% ao semestre.
Agora, que tal resolver mais estas questões?
1. Qual a taxa trimestral, equivalente para juros compostos, a 242,102%
ao ano?
�. Qual a taxa anual equivalente a 3,6% ao mês, no regime de juros
compostos?
Agora que você resolveu todas as atividades, resolva também as questões da lista de
exercícios a seguir.
ex
er
cí
ci
os
1�
Matemática a10
1. José conseguiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para sua empresa, que
deverá ser pago ao fi nal de 1 ano, acrescido de juros compostos de 0,5%
ao mês. Ao fi nal do prazo estabelecido, ele deverá pagar um montante
aproximado, de
a) R$ 20.566,66 b) R$ 20.996,56
c) R$ 21.233,56 d)R$ 22.356,662
�. George aplicou certo capital à taxa composta de 1% ao mês. Esse
investimento produziu um montante de R$ 4.650,00 ao fi nal de 8 meses.
O valor aplicado foi, aproximadamente, de
a) R$ 5.035,29 b) R$ 5.305,29
c) R$ 5.503,29 d) R$ 5.903,29
�. A taxa anual equivalente a 1,3% a.m. é, aproximadamente, de
a) 15,6% b) 16,8%
c) 18,6% d) 21,3%
�. A taxa efetiva de um investimento capitalizado mensalmente a uma taxa
de 21% ao ano é
a) 1,75% ao mês. b) 1,8% ao trimestre.
c) 1,9% ao mês. d)1,95% ao trimestre.
�. O prazo necessário para a aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 3% ao mês
produzir um rendimento de R$ 2.128,80 é de, aproximadamente,
a) 8 meses. b) 10 meses.
c) 12 meses. c) 14 meses.
Período Capital inicial Juros Montante
1º. mês
2º. mês
3º. mês
4º. mês
5º. mês
1�
Matemática a10
auto-avaliação
Em nossa aula você aprendeu a descrever o que é o regime de capitalização
composta e o que são juros compostos. Aprendeu também a resolver
situações que envolvam o cálculo dos juros compostos ou, no regime de
capitalização composta, determinar a taxa de juros, o prazo da aplicação, o
valor do capital aplicado ou o montante produzido.
Agora que você já resolveu todas as atividades e todos
os exercícios, verifi que sua aprendizagem com a auto-
avaliação a seguir, que envolve assuntos das aulas 9 e 10.
1. Descreva com suas palavras o que são juros compostos.
�. Qual a taxa mensal que aplicada a um capital de R$ 150,00, durante
60 dias, produziu, a juros simples, um montante de R$ 153,00?
�. André investiu R$ 12.000,00, por 5 meses, à taxa de 2% ao mês,
sob o regime de juros compostos. Apresente no quadro abaixo o
desenvolvimento dessa aplicação.
�0
Matemática a10
�. Qual o montante acumulado na aplicação de R$ 3.000,00, no regime de
juros compostos, à taxa de 2,5% ao mês, por 9 meses?
�. Qual é o valor dos juros produzidos na aplicação no regime de capitalização
composta do capital de R$ 10.000,00, à taxa mensal de 1,5%, por 10
meses?
�. Qual o montante produzido por R$ 2.500,00, aplicados sob taxa efetiva
de 12% ao trimestre, em 15 meses?
�. Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples
de 5% ao mês, triplique de valor?
�. Em um empréstimo realizado no Banco T. Ira Tudo S.A. foi pago um total
de R$ 1.639,09. O prazo da operação foi de 3 meses e a taxa de juros
compostos foi de 3% ao mês. Qual foi o valor do empréstimo?
�. O preço de uma mercadoria era R$ 2.800,00, ou então, uma entrada
de 20% e mais um pagamento de R$ 2.688,00, após 40 dias, com
financiamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que está sendo
cobrada pela loja?
10. Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses
e, em seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples
de 5% ao mês. Qual o capital inicial, se o montante final foi de R$
30.888,00?
11. Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 2.700,00, dispondo
de R$ 9.000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o capital
deve ser aplicado?
1�. Um investidor aplicou R$ 600.000,00 a juros compostos mensais, durante
2 anos e recebeu um montante de R$ 3.804.708,60. Qual foi a taxa da
operação?
1�. O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si,
como 4 está para 20. O tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa
anual do investimento?
1�. Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao
bimestre?
1�. Qual a taxa bimestral, equivalente para juros compostos, a 131,3060%
ao ano?
�1
Matemática a10
1�. Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de
juros compostos equivalente mensal.
1�. Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos
produzidos por certo capital são iguais à metade deste, se usarmos a
taxa de 8% a.a, com capitalização anual?
1�. O capital de R$ 37.500,00 é colocado ao regime de capitalização
composta sob taxa efetiva de 9% ao trimestre. No fim de certo tempo,
o montante atingiu R$ 62.891,25. Calcule o número de meses que foram
necessários.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. matemática financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo:
Atlas, 2002.
CRESPO, Antônio Arnot. matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo:
Saraiva, 1996.
JUROS. Disponível em <http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/
matematicaconcursos024.asp>. Acesso em 16set.08
MERCHEDE, Alberto. matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações.
São Paulo: Atlas, 2003.
SÁ, Ilydio Pereira de. curso básico de matemática comercial e financeira. Disponível
em: <http://magiadamatematica.com/wp-ontent/uploads/matematica-financeira-curso-
basico-administracao.pdf>. Acesso em: 12 out. 2008.
______. matemática financeira nos vestibulares. Disponível em: <http://
magiadamatematica.com/wp-content/uploads/vestibulares.pdf>. Acesso em: 12 out.
2008.
��
Matemática a10
Para consulta
Juros compostos
Cálculo do montante: M = P · (1 + i)n; P
é o capital inicial, i é a taxa
de juros constante em todos os períodos e n é o número de períodos da
aplicação (ou empréstimo).
cálculo do juro: J = M – P ⇒ J = P · (1 + i)n – P ⇒ J = P · [(1 + i)n – 1].
cálculo de montante para período n não tabelado:
M = P · (1 + i)a + b = P · (1 + i)a · (1 + i)b, sendo a e b valores de n
tabelados.
cálculo do capital:
P = Mn ÷ (1 + i)
n ou P = Mn · (1 + i)
– n
taxas equivalentes:
(1 + ia)
1 = (1 + is)
2 = (1 + it)
4 = (1 + im)
12 = (1 + i
d
)360
ou
(1 + is) = (1 + it)
4 = (1 + im)
6 = (1 + id)
180
ou
(1 + it) = (1 + im)
3 = (1 + id)
90
ou
(1 + im) = (1 + id)
30
��
Matemática a10
tabelas de fatores de capitalização (1 + i)n
tabela 1 – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 0,5% a 4,5%.
taXaS PeRceNtUaiS
n i = 0,5% i = 1% I = 1,5% i = 2% i = 2,5% i = 3% i = 3,5% i = 4% i = 4,5%
1 1,005000 1,010000 1,015000 1,020000 1,025000 1,030000 1,035000 1,040000 1,045000
2 1,010025 1,020100 1,030225 1,040400 1,050625 1,060900 1,071225 1,081600 1,045000
3 1,015075 1,030301 1,045678 1,061208 1,076891 1,092727 1,108718 1,124864 1,045000
4 1,020151 1,040604 1,061364 1,082432 1,103813 1,125509 1,147523 1,169859 1,045000
5 1,025251 1,051010 1,077284 1,104081 1,131408 1,159274 1,187686 1,216653 1,045000
6 1,030378 1,061520 1,093443 1,126162 1,159693 1,194052 1,229255 1,265319 1,045000
7 1,035529 1,072135 1,109845 1,148686 1,188686 1,229874 1,272279 1,315932 1,045000
8 1,040707 1,082857 1,126493 1,171659 1,218403 1,266770 1,316809 1,368569 1,045000
9 1,045911 1,093685 1,143390 1,195093 1,248863 1,304773 1,362897 1,423312 1,045000
10 1,051140 1,104622 1,160541 1,218994 1,280085 1,343916 1,410599 1,480244 1,045000
11 1,056396 1,115668 1,177949 1,243374 1,312087 1,384234 1,459970 1,539454 1,045000
12 1,061678 1,126825 1,195618 1,268242 1,344889 1,425761 1,511069 1,601032 1,045000
13 1,066986 1,138093 1,213552 1,293607 1,378511 1,468534 1,563956 1,665074 1,045000
14 1,072321 1,149474 1,231756 1,319479 1,412974 1,512590 1,618695 1,731676 1,045000
15 1,077683 1,160969 1,250232 1,345868 1,448298 1,557967 1,675349 1,800944 1,045000
16 1,083071 1,172579 1,268986 1,372786 1,484506 1,604706 1,733986 1,872981 1,045000
17 1,088487 1,184304 1,288020 1,400241 1,521618 1,652848 1,794676 1,947900 1,045000
18 1,093929 1,196147 1,307341 1,428246 1,559659 1,702433 1,857489 2,025817 1,045000
19 1,099399 1,208109 1,326951 1,456811 1,598650 1,753506 1,922501 2,106849 1,045000
20 1,104896 1,220190 1,346855 1,485947 1,638616 1,806111 1,989789 2,191123 1,045000
21 1,110420 1,232392 1,367058 1,515666 1,679582 1,860295 2,059431 2,278768 1,045000
22 1,115972 1,244716 1,387564 1,545980 1,721571 1,916103 2,131512 2,369919 1,045000
23 1,121552 1,257163 1,408377 1,576899 1,764611 1,973587 2,206114 2,464716 1,045000
24 1,127160 1,269735 1,429503 1,608437 1,808726 2,032794 2,283328 2,563304 1,045000
25 1,132796 1,282432 1,450945 1,640606 1,853944 2,093778 2,363245 2,665836 1,045000
26 1,138460 1,295256 1,472710 1,673418 1,900293 2,156591 2,445959 2,772470 1,045000
27 1,144152 1,308209 1,494800 1,706886 1,947800 2,221289 2,531567 2,883369 1,045000
28 1,149873 1,321291 1,517222 1,741024 1,996495 2,287928 2,620172 2,998703 1,045000
29 1,155622 1,334504 1,539981 1,775845 2,046407 2,356566 2,711878 3,118651 1,045000
30 1,161400 1,347849 1,563080 1,811362 2,097568 2,427262 2,806794 3,243398 1,045000
��
Matemática a10
tabela � – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 5% a 9,5%
taXaS PeRceNtUaiS
n i = 5% i = 5,5% I = 6% i = 6,5% i = 7% i = 7,5% i = 8% i = 8,5% i = 9% i = 9,5%
1 1,050000 1,055000 1,060000 1,065000 1,070000 1,075000 1,080000 1,085000 1,090000 1,095000
2 1,102500 1,113025 1,123600 1,134225 1,144900 1,155625 1,166400 1,177225 1,188100 1,199025
3 1,157625 1,174241 1,191016 1,207950 1,225043 1,242297 1,259712 1,277289 1,295029 1,312932
4 1,215506 1,238825 1,262477 1,286466 1,310796 1,335469 1,360489 1,385859 1,411582 1,437661
5 1,276282 1,306960 1,338226 1,370087 1,402552 1,435629 1,469328 1,503657 1,538624 1,574239
6 1,340096 1,378843 1,418519 1,459142 1,500730 1,543302 1,586874 1,631468 1,677100 1,723791
7 1,407100 1,454679 1,503630 1,553987 1,605781 1,659049 1,713824 1,770142 1,828039 1,887552
8 1,477455 1,534687 1,593848 1,654996 1,718186 1,783478 1,850930 1,920604 1,992563 2,066869
9 1,551328 1,619094 1,689479 1,762570 1,838459 1,917239 1,999005 2,083856 2,171893 2,263222
10 1,628895 1,708144 1,790848 1,877137 1,967151 2,061032 2,158925 2,260983 2,367364 2,478228
11 1,710339 1,802092 1,898299 1,999151 2,104852 2,215609 2,331639 2,453167 2,580426 2,713659
12 1,795856 1,901207 2,012196 2,129096 2,252192 2,381780 2,518170 2,661686 2,812665 2,971457
13 1,885649 2,005774 2,132928 2,267487 2,409845 2,560413 2,719624 2,887930 3,065805 3,253745
14 1,979932 2,116091 2,260904 2,414874 2,578534 2,752444 2,937194 3,133404 3,341727 3,562851
15 2,078928 2,232476 2,396558 2,571841 2,759032 2,958877 3,172169 3,399743 3,642482 3,901322
16 2,182875 2,355263 2,540352 2,739011 2,952164 3,180793 3,425943 3,688721 3,970306 4,271948
17 2,292018 2,484802 2,692773 2,917046 3,158815 3,419353 3,700018 4,002262 4,327633 4,677783
18 2,406619 2,621466 2,854339 3,106654 3,379932 3,675804 3,996019 4,342455 4,717120 5,122172
19 2,526950 2,765647 3,025600 3,308587 3,616528 3,951489 4,315701 4,711563 5,141661 5,608778
20 2,653298 2,917757 3,207135 3,523645 3,869684 4,247851 4,660957 5,112046 5,604411 6,141612
21 2,785963 3,078234 3,399564 3,752682 4,140562 4,566440 5,033834 5,546570 6,108808 6,725065
22 2,925261 3,247537 3,603537 3,996606 4,430402 4,908923 5,436540 6,018028 6,658600 7,363946
23 3,071524 3,426152 3,819750 4,256386 4,740530 5,277092 5,871464 6,529561 7,257874 8,063521
24 3,225100 3,614590 4,048935 4,533051 5,072367 5,672874 6,341181 7,084574 7,911083 8,829556
25 3,386355 3,813392 4,291871 4,827699 5,427433 6,098340 6,848475 7,686762 8,623081 9,668364
26 3,555673 4,023129 4,549383 5,141500 5,807353 6,555715 7,396353 8,340137 9,399158 10,586858
27 3,733456 4,244401 4,822346 5,475697 6,213868 7,047394 7,988061 9,049049 10,245082 11,592610
28 3,920129 4,477843 5,111687 5,831617 6,648838 7,575948 8,627106 9,818218 11,167140 12,693908
29 4,116136 4,724124 5,418388 6,210672 7,114257 8,144144 9,317275 10,652766 12,172182 13,899829
30 4,321942 4,983951 5,743491 6,614366 7,612255 8,754955 10,062657 11,558252 13,267678 15,220313
��
Matemática a10
tabela � – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 10% a 25%
taXaS PeRceNtUaiS
n i = 10% i = 11% I = 12% i = 12,5% i = 15% i = 17,5% i = 18% i = 20% i = 24% i = 25%
1 1,100000 1,110000 1,120000 1,125000 1,150000 1,175000 1,180000 1,200000 1,240000 1,250000
2 1,210000 1,232100 1,254400 1,265625 1,322500 1,380625 1,392400 1,440000 1,537600 1,562500
3 1,331000 1,367631 1,404928 1,423828 1,520875 1,622234 1,643032 1,728000 1,906624 1,953125
4 1,464100 1,518070 1,573519 1,601807 1,749006 1,906125 1,938778 2,073600 2,364214 2,441406
5 1,610510 1,685058 1,762342 1,802032 2,011357 2,239697 2,287758 2,488320 2,931625 3,051758
6 1,771561 1,870415 1,973823 2,027287 2,313061 2,631644 2,699554 2,985984 3,635215 3,814697
7 1,948717 2,076160 2,210681 2,280697 2,660020 3,092182 3,185474 3,583181 4,507667 4,768372
8 2,143589 2,304538 2,475963 2,565785 3,059023 3,633314 3,758859 4,299817 5,589507 5,960464
9 2,357948 2,558037 2,773079 2,886508 3,517876 4,269144 4,435454 5,159780 6,930988 7,450581
10 2,593742 2,839421 3,105848 3,247321 4,045558 5,016244 5,233836 6,191736 8,594426 9,313226
11 2,853117 3,151757 3,478550 3,653236 4,652391 5,894087 6,175926 7,430084 10,657088 11,641532
12 3,138428 3,498451 3,895976 4,109891 5,350250 6,925552 7,287593 8,916100 13,214789 14,551915
13 3,452271 3,883280 4,363493 4,623627 6,152788 8,137524 8,599359 10,699321
16,386338 18,189894
14 3,797498 4,310441 4,887112 5,201580 7,075706 9,561590 10,147244 12,839185 20,319059 22,737368
15 4,177248 4,784589 5,473566 5,851778 8,137062 11,234869 11,973748 15,407022 25,195633 28,421709
16 4,594973 5,310894 6,130394 6,583250 9,357621 13,200971 14,129023 18,488426 31,242585 35,527137
17 5,054470 5,895093 6,866041 7,406156 10,761264 15,511141 16,672247 22,186111 38,740806 44,408921
18 5,559917 6,543553 7,689966 8,331926 12,375454 18,225590 19,673251 26,623333 48,038599 55,511151
19 6,115909 7,263344 8,612762 9,373417 14,231772 21,415068 23,214436 31,948000 59,567863 69,388939
20 6,727500 8,062312 9,646293 10,545094 16,366537 25,162705 27,393035 38,337600 73,864150 86,736174
21 7,400250 8,949166 10,803848 11,863231 18,821518 29,566179 32,323781 46,005120 91,591546 108,420217
22 8,140275 9,933574 12,100310 13,346134 21,644746 34,740260 38,142061 55,206144 113,573517 135,525272
23 8,954302 11,026267 13,552347 15,014401 24,891458 40,819806 45,007632 66,247373 140,831161 169,406589
24 9,849733 12,239157 15,178629 16,891201 28,625176 47,963272 53,109006 79,496847 174,630639 211,758237
25 10,834706 13,585464 17,000064 19,002602 32,918953 56,356844 62,668627 95,396217 216,541993 264,697796
26 11,918177 15,079865 19,040072 21,377927 37,856796 66,219292 73,948980 114,475460 268,512071 330,872245
27 13,109994 16,738650 21,324881 24,050168 43,535315 77,807668 87,259797 137,370552 332,954968 413,590306
28 14,420994 18,579901 23,883866 27,056438 50,065612 91,424010 102,966560 164,844662 412,864160 516,987883
29 15,863093 20,623691 26,749930 30,438493 57,575454 107,423211 121,500541 197,813595 511,951559 646,234854
30 17,449402 22,892297 29,959922 34,243305 66,211772 126,222273 143,370638 237,376314 634,819933 807,793567
��
Matemática a10
tabela � – Fatores de capitalização com taxas percentuais de 27,5% a 50%
taXaS PeRceNtUaiS
n i = 27,5% i = 30% I = 32,5% i = 35% i = 37,5% i = 40% i = 42,5% i = 45% i = 47,5% i = 50%
1 1,27500 1,30000 1,32500 1,3500 1,37500 1,40000 1,42500 1,45000 1,4750 1,5000
2 1,62563 1,69000 1,75563 1,8225 1,89063 1,96000 2,03063 2,10250 2,1756 2,2500
3 2,07267 2,19700 2,32620 2,4604 2,59961 2,74400 2,89364 3,04863 3,2090 3,3750
4 2,64266 2,85610 3,08222 3,3215 3,57446 3,84160 4,12344 4,42051 4,7333 5,0625
5 3,36939 3,71293 4,08394 4,4840 4,91489 5,37824 5,87590 6,40973 6,9817 7,5938
6 4,29597 4,82681 5,41122 6,0534 6,75797 7,52954 8,37316 9,29411 10,2980 11,3906
7 5,47736 6,27485 7,16987 8,1722 9,29221 10,54135 11,93175 13,47647 15,1895 17,0859
8 6,98363 8,15731 9,50007 11,0324 12,77678 14,75789 17,00274 19,54088 22,4045 25,6289
9 8,90413 10,60450 12,58760 14,8937 17,56808 20,66105 24,22890 28,33427 33,0467 38,4434
10 11,35277 13,78585 16,67857 20,1066 24,15611 28,92547 34,52619 41,08469 48,7439 57,6650
11 14,47478 17,92160 22,09910 27,1439 33,21465 40,49565 49,19982 59,57280 71,8972 86,4976
12 18,45535 23,29809 29,28131 36,6442 45,67014 56,69391 70,10974 86,38056 106,0484 129,7463
13 23,53057 30,28751 38,79774 49,4697 62,79645 79,37148 99,90638 125,25182 156,4214 194,6195
14 30,00147 39,37376 51,40700 66,7841 86,34512 111,12007 142,36660 181,61513 230,7216 291,9293
15 38,25188 51,18589 68,11428 90,1585 118,72453 155,56810 202,87240 263,34194 340,3144 437,8939
16 48,77115 66,54166 90,25142 121,7139 163,24623 217,79533 289,09317 381,84582 501,9637 656,8408
17 62,18321 86,50416 119,58313 164,3138 224,46357 304,91347 411,95777 553,67643 740,3965 985,2613
18 79,28359 112,45541 158,44765 221,8236 308,63741 426,87885 587,03982 802,83083 1092,0848 1477,8919
19 101,08658 146,19203 209,94314 299,4619 424,37644 597,63040 836,53174 1164,10470 1610,8251 2216,8378
20 128,88539 190,04964 278,17466 404,2736 583,51760 836,68255 1192,05773 1687,95181 2375,9670 3325,2567
21 164,32887 247,06453 368,58142 545,7693 802,33671 1171,35558 1698,68226 2447,53013 3504,5513 4987,8851
22 209,51931 321,18389 488,37039 736,7886 1103,21297 1639,89781 2420,62222 3548,91869 5169,2132 7481,8276
23 267,13713 417,53905 647,09076 994,6646 1516,91784 2295,85693 3449,38666 5145,93210 7624,5895 11222,7415
24 340,59984 542,80077 857,39526 1342,7973 2085,76202 3214,19970 4915,37600 7461,60154 11246,2695 16834,1122
25 434,26479 705,64100 1136,04872 1812,7763 2867,92278 4499,87958 7004,41079 10819,32224 16588,2476 25251,1683
26 553,68761 917,33330 1505,26455 2447,2480 3943,39383 6299,83141 9981,28538 15688,01725 24467,6651 37876,7524
27 705,95170 1192,53329 1994,47553 3303,7848 5422,16651 8819,76398 14223,33167 22747,62501 36089,8061 56815,1287
28 900,08842 1550,29328 2642,68008 4460,1095 7455,47896 12347,66957 20268,24763 32984,05626 53232,4640 85222,6930
29 1147,61273 2015,38126 3501,55111 6021,1478 10251,28356 17286,73740 28882,25287 47826,88158 78517,8844 127834,0395
30 1463,20624 2619,99564 4639,55522 8128,5495 14095,51490 24201,43236 41157,21034 69348,97829 115813,8794 191751,0592
anotações
��
Matemática a10
anotações
��
Matemática a10
11
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Função: definição, domínio e imagem
matemática
coordenadora da Produção dos materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
coordenador de edição
Ary Sergio Braga Olinisky
coordenadora de Revisão
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico
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Diagramação
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Mariana Araújo de Brito
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arte e ilustração
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Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da aBNt
Verônica Pinheiro da Silva
adaptação para o módulo matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão técnica
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equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
ministério da educação
Você ve
rá
por aqu
i...
Objetivo
1
Matemática a11
...o início de um estudo sobre alguns elementos da Álgebra, como o Sistema de
Coordenadas Cartesianas formalizado por Descartes, em 1637, na obra La Geómetrie.
Verá também o conceito de uma relação entre conjuntos e o conceito de função, como
também os conceitos de domínio, de contradomínio e de imagem de uma função, como
elaborar o estudo do sinal de uma função e como determinar o domínio de uma função
real. Na próxima aula, concluiremos o estudo sobre funções iniciado aqui, dando maior
enfoque à construção de gráficos de funções de vários tipos.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e
disponibilizamos, após cada conteúdo apresentado, algumas atividades (com questões
subjetivas) e, ao final de todo o conteúdo, uma lista de exercícios (com questões
objetivas). E, na seção Auto-avaliação, ao final desta aula, você encontrará mais uma
oportunidade para verificar sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la.
Na seção Para consulta, disponibilizamos um material de apoio para uma consulta rápida
que lhe auxiliará na resolução de atividades relacionadas com o conteúdo aqui estudado.
Saber construir um sistema de coordenadas cartesianas,
localizando nesse sistema alguns pontos dados, bem como
descrever as coordenadas de pontos situados em planos
cartesianos.
Saber conceituar relações entre conjuntos, bem como os
conjuntos domínio, contradomínio e imagem de uma relação
entre dois conjuntos.
Saber conceituar função, assim como domínio, contradomínio
e imagem de uma função.
Saber realizar o estudo do sinal de uma função.
Determinar o domínio de uma função real.
�
Matemática a11
Para começo
de conversa
Na compra de um tecido, o preço a se pagar depende da metragem comprada, ou seja,
o preço da compra está em função do comprimento do tecido comprado.
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura indicada depende da altura atingida pela
coluna desse elemento químico, quando esse se dilata, ou seja, a temperatura é dada
em função da altura do mercúrio contido em sua coluna central.
São muitas as situações do cotidiano nas quais utilizamos o conhecimento intuitivo
de função, porém no estudo de funções, precisamos compreender alguns conceitos
mais formais. Conceitos esses que veremos nesta aula e na próxima. Vamos começar
nossos estudos?
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
II Q
III Q IV Q
I Q
Ei
xo
d
as
o
rd
en
ad
as
y
Eixo das abscissas x
�
Matemática a11
conhecendo a
Linguagem das funções
Sistema de coordenadas cartesianas
Quando você envia um e-mail pela internet ou um torpedo pelo celular, precisa incluir
informações sobre o destinatário (a pessoa ou grupo de pessoas) que vai receber a
mensagem.
Essas informações são as coordenadas para a localização do destinatário.
Em outras situações do dia a dia também utilizamos sistemas de coordenadas, como o
nome de um bairro, o nome de uma rua e um número nessa rua que indica a localização
de um domicílio, por exemplo. Um ponto sobre a superfície terrestre pode ser localizado
também por dois números chamados de latitude e de longitude.
Do mesmo modo, para localizar um ponto sobre um plano, podemos tomar como base
o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.
Plano cartesiano
Para localizar um ponto no plano, podemos inserir nesse plano um sistema cartesiano
ortogonal de coordenadas chamado comumente de plano cartesiano.
O plano cartesiano, como você pode ver no gráfico 1, é formado pela união de dois eixos
perpendiculares entre si que se cruzam no ponto O – origem de ambos os eixos. O eixo
horizontal é chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo −−→OX . O eixo vertical é
chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo −−→OY .
Regime de
capitalização
O conceito do que
chamamos hoje
de coordenadas
cartesianas já era
utilizado por alguns
matemáticos, quando
René Descartes
(1596-1650), ou
cartesius (em latim),
o formalizou em sua
obra La Géométrie
(1637).
Gráfico 1 – Plano Cartesiano
0
II Q
y
x
III Q IV Q
I Q
P(4;3)
T(4;-3)S(-4;-3)
R(-4;3)
4-4
3
-3
x > 0 e y < 0
x > 0 e y > 0 x < 0 e y > 0
x < 0 e y < 0
�
Matemática a11
Os eixos dividem um plano formando quatro ângulos retos. Cada uma dessas partes do
plano é chamada de quadrante. Os quadrantes são enumerados no sentido anti-horário.
Temos assim, iniciando do canto superior à direita, primeiro quadrante (I Q), segundo
quadrante (II Q), terceiro quadrante (III Q) e quarto quadrante (IV Q).
No plano cartesiano, como pode ser visto no gráfico 2, cada ponto P do plano cartesiano
é formado por um par ordenado (a; b) de números reais, indicados entre parênteses, que
representam a abscissa e a ordenada do ponto, respectivamente. Cada ponto, indicado
por um par ordenado de números chamados de coordenadas do ponto.
Para marcar um ponto P em um plano cartesiano, basta traçar uma perpendicular ao
eixo dos y que passa pela abscissa a e uma perpendicular ao eixo dos y que passa
pela ordenada b, como pode ser visto no Gráfico 2.
As coordenadas do ponto O (origem do plano cartesiano) é (0; 0), ou seja, os dois eixos
se encontram no ponto dos eixos onde x = 0 e y = 0. As coordenadas do ponto P, no
Gráfico 3, é (4; 3). A abscissa é 4 e a ordenada é 3. Indicamos o ponto por P (4; 3).
O primeiro número indica a medida do deslocamento horizontal, a partir da origem,
para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica
a medida do deslocamento vertical, a partir da origem, para cima (se positivo) ou para
baixo (se negativo).
Observe os sinais de x e de y em cada quadrante, no gráfico 3:
0
II Q
y
x
III Q IV Q
I Q
b P(a;b)
a
Gráfico � – Localização do ponto P (a; b)
Gráfico � – Sinais das coordenadas em cada quadrante
exemplo 1
Gráfico � – Pontos A e B no plano cartesiano
0
y
x
A(0;3)
B(1;0)
1
3
�
Matemática a11
Observe com atenção:
os pontos que se encontram sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum
quadrante;
todo ponto sobre o eixo dos y tem abscissa nula;
todo ponto sobre o eixo dos x tem ordenada nula;
dois pontos são iguais se as abscissas forem iguais e se as ordenadas forem iguais.
Ou seja, (a; b) = (m; n), se, e somente se, a = m e b = n.
Veja o exemplo a seguir.
O ponto A(0; 3) localiza-se sobre o eixo −−→OY , pois tem abscissa nula.
O ponto B(1; 0) localiza-se sobre o eixo −−→OX , pois tem ordenada nula.
Os pontos A e B não se localizam sobre nenhum quadrante.
Responda aqui
1Praticando...
v
x0
�
Matemática a11
1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (0; 0) B (– 5; 0)
C (0; – 5) D (3; – 2)
E (4; 2) F (2; 4)
G (–2; 3) H (–1; -4)
I (3; 0) J (0; 3)
�. Determine o valor real de m para que o ponto C(8; m – 5) se localize
sobre o eixo das abscissas.
�. Calcule o valor real de r para que o ponto D(
r − 2
5
; 5) se localize sobre
o eixo das ordenadas.
�. Calcule os valores reais de t para que o ponto H
−
7
5
;
t− 2
2
pertença
ao 2º quadrante.
�. Calcule entre os números reais os valores de a e de b de modo que pontos
M(a – 3; – 2) e N(2; b + 5) sejam iguais.
exemplo �
Figura 1 – Diagrama do produto cartesiano AXB
Figura � – Diagrama do produto cartesiano BXA
B A
.1
.2
5.
7. .3
BXA = {(5; 1), (5; 2), (5; 3), (7; 1), (7; 2), (7; 3)}
Figura � – Diagrama do produto cartesiano AXA
A A
.1
.2
.3
1.
2.
3.
AXA = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
7
Matemática a11
Produto cartesiano
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por
B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y
pertence ao conjunto B.
AXB = {(x; y) x ∈ A e y ∈ B}
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. Assim, podemos obter os
produtos cartesianos AXB, BXA, AXA e BXB como você pode ver a seguir.
A B
1.
2.
.5
.73.
AXB = {(1; 5), (1; 7), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7)}
exemplo �
Figura � – Diagrama do produto cartesiano BXB
B B
5.
7.
.5
.7
BXB = {(5; 5), (5; 7), (7; 5), (7; 7)}
0
y
F G H
C D E
x
C (1;5)
D (2;5)
E (3;5)
F (1;7)
G (2;7)
H (3;7)
1 2 3
5
7
Gráfi co � – Produto cartesiano AXB
8
Matemática a11
Há duas maneiras de representar o produto cartesiano. Uma delas é a representação
por um diagrama, como fi zemos no exemplo 2 ou por uma representação em um
plano cartesiano. Veja como fazer uma representação de AXB no plano cartesiano,
no exemplo a seguir.
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}.
Temos AXB = {(1; 5), (2; 5), (3; 5), (1; 7),
(2; 7), (3; 7)}, como você pode observar no
gráfi co 5.
�
Matemática a11
�Praticando...
1. Complete o quadro com as coordenadas de cada um dos pontos
destacados no plano cartesiano do gráfico 6.
Ponto Abscissa Ordenada
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
R
T
�. Construa um plano cartesiano para representar o produto cartesiano
CXD, onde C = {1, 3, 5, 7} e D = {0, 2, 4}.
Responda aqui
F T A
H T
C N G
B R P
MK
L
I
D
E
0
y
x1 5 8-3-6
5
J
7
-4
-7
Gráfico � – Pontos em um plano cartesiano
exemplo �
10
Matemática
a11
Relação entre conjuntos
Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Em
uma relação R de A em B todo par ordenado tem a forma (a; b), tal que a ∈ A e b ∈ B.
Uma relação de A em B também é chamada de relação binária de A em B.
Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, o conjunto {(1; 7), (2; 7),
(3; 7)} é uma relação, pois é um subconjunto do produto cartesiano AXB.
Observe que 1∈A, 2∈A, 3∈A e 7∈B.
(3;7)(2;7)(1;7)
0
y
x1 2 3
5
7
Gráfi co 7 – A relação R1 no plano cartesiano
A
D(R
1
) Im(R
1
)
B
1.
2.
.5
.73.
Figura � – Diagrama de R1
exemplo �
11
Matemática a11
Na relação R
1
, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B, conjunto
de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elemento de cada par ordenado
de R
1
formam o domínio da relação, cuja notação é D(R
1
). Ou seja, D(R
1
) = {1; 2; 3} =
A. Na relação R
1
, o conjunto de partida coincide com o domínio da relação.
Os segundos elementos de cada par ordenado de R
1
compõem o conjunto-imagem da
relação, cuja notação é Im (R
1
). Ou seja, Im(R
1
) = {7}.
Que tal mais um exemplo?
Considere os conjuntos C = {-2; 0; 1; 2} e D = {0; 2; 3; 4}. Construa o
diagrama da relação R
2
= {(x; y) | x ∈ C e y ∈D, onde y = x2}.
1º. Passo: devemos desenhar uma linha circular para cada conjunto e inserir
seus elementos correspondentes no interior dessas linhas.
C D
-2.
0.
1.
.0
.2
.3
.42.
�º. Passo: indicar com setas as correspondências entre os elementos do
domínio da relação e os do conjunto-imagem.
Observe que, na relação R
2
, o domínio não coincide com o conjunto de
partida. O conjunto de partida é C e o domínio de R
2
é D(R
2
) = {– 2, 0,
2}. O conjunto de chegada (ou contradomínio) é D e o conjunto-imagem
é Im(R
2
) = {0, 4}.
Figura � – Diagrama de R2
�Praticando...
Responda aqui
1�
Matemática a11
1. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem em cada uma
das relações R:A→B a seguir, quando:
a) A = {1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1, 2} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a – 2}
b) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a}
c) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a2}
d) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 4} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2}
e) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2 – 1}
exemplo �
1�
Matemática a11
Funções no Plano cartesiano
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10, 11, 12, 13} e a relação de A
em B descrita por R
3
= {(1; 8), (2; 9), (3; 9), (4; 10)}.
Observe a representação dessa relação no diagrama (Figura 7).
A B
1.
2.
3.
.8.9
.10
.11
.12
.134.
Figura 7 – Diagrama de R3
Note que todo elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do
conjunto B. Com essa característica especial, essa relação é chamada de função.
Toda relação de A em B, em que cada elemento do conjunto A é também elemento
do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único
elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: uma relação
em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada
uma função f de A em B.
Uma das notações mais comuns para representar uma função de A em B, é: f: A→B.
Veja que nem todas as relações são funções, como você pode observar nos dois
exemplos a seguir.
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R
4
= {(1,
5), (2, 6), (3, 6), (4, 7), (1, 7)} não é uma função em AXB, pois o valor 1 do
domínio da relação está associado a dois valores distintos do contradomínio,
que são 5 e 7.
A B
1.
2.
3.
.5.6
.7
4.
Figura 8 – Diagrama de R4
exemplo 7
1�
Matemática a11
Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R
5 = {(1, 5), (2, 6), (4, 7)} não
é uma função em AXB, pois nem todos os elementos domínio da relação (o
conjunto A) estão associados a elementos do contradomínio (o conjunto B).
Veja que o valor 3 (do domínio) não tem correspondente no contradomínio.
A B
1.
2.
3.
.5.6
.7
4.
Figura � – Diagrama de R5
São três conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio
e o conjunto-imagem.
O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a
função deve ser defi nida.
O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser
relacionados a elementos do domínio.
O conjunto-imagem é o conjunto de valores que efetivamente se corresponde
com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do
contradomínio.
Uma função f: A→B continua sendo uma relação, por isso os conceitos de domínio
(D), contradomínio (CD) e conjunto-imagem (Im) continuam válidos. Ou seja: se R é
uma função f: A→B, temos que:
o domínio da relação R e da função f é o mesmo conjunto A, ou seja, D(R) = D(f) = A;
O contradomínio da relação R e da função f é o conjunto B, ou seja, CD(R) =
CD(f) = B.
Agora observe os exemplos a seguir.
exemplo 10
1�
Matemática a11
exemplo 8
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é a
imagem de x = – 2?
O que precisamos determinar é o valor de f(– 2), ou seja, o valor da função
quando x = – 2.
Logo, basta substituir o valor de x por – 2 e calcular o valor numérico da
expressão resultante.
Assim: f (–2) = – 2 + 2 ⇒ f(– 2) = 0.
Ou seja, a imagem de –2 é 0.
exemplo �
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é o
elemento do domínio cuja imagem é igual a – 2?
O que se quer descobrir nessa questão é qual o valor de x que tem f(x)
igual a – 2, ou seja:
f(x) = – 2 ⇒ x + 2 = – 2 ⇒ x = – 2 – 2 ⇒ x = – 4
O valor do domínio que tem imagem –2 é x = – 4.
O aluguel de imóveis teve reajuste anual de 12%. Qual é a lei de formação
da função que calcula o novo valor após o reajuste do aluguel de imóveis?
Quanto se pagará mensalmente pelo aluguel de um apartamento cujo
contrato previa o pagamento mensal de R$ 300,00, no contrato anterior?
1�
Matemática a11
Podemos calcular o valor após o reajuste multiplicando a taxa de reajuste
(12% = 0,12) pelo valor x do aluguel e somando esse produto ao valor
original x. Assim, a lei de formação da função do reajuste do aluguel é f(x)
= 0,12x + x ⇒ f(x) = 1,12x.
Calcular o novo valor do aluguel é o mesmo que calcular o valor de f(300),
ou seja, é a imagem de 300. Assim: f(300) = 1,12 X 300 = 336.
O valor a ser pago no novo contrato é R$ 336,00.
�Praticando...
1. Determine a imagem de x = 3 na função real
f(x) =
x− 2
3
.
�. Qual é o elemento do domínio da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x + 3 que tem
imagem igual a – 2?
�. Na função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x – 5, determine
o valor de f
3
2
.
�. Considere os conjuntos A = {–3, –1, 0, 1, 3} e B = {–9, –3, 0, 1, 3, 27}.
Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função
f ={(x; y) com x ∈ A e y ∈ B y = 3x2}.
�. Certo modelo de automóvel tem depreciação anual de preço de 10%
sobre o preço de compra x. Determine a lei de formação para a função
f que calcula o valor do automóvel após depreciação do preço ao final
de t anos.
Responda aqui
f(x)
Leonhard euler (1707-
1783), médico, teólogo,
astrônomo e matemático
suíço, desenvolveu,
entre outros trabalhos,
a idéia de função. Foi
o responsável também
pela adoção do símbolo
f(x) para representar
uma função f de x.
17
Matemática a11
Domínio de uma função real e outras
características
Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei que
associa elementos do domínio da função a elementos do contradomínio da função.
Costuma-se denotar por f(x) o elemento que a função f associa ao elemento x.
exemplo 1�
exemplo 11
18
Matemática a11
A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x + 1 é a função que relaciona todo o valor
de x do domínio ao valor x + 1 no contradomínio.
ℜ ℜ
1.
2.
3.
.2
...
......
...
.3
.5
.4
4.
Figura 10 – Diagrama de f(x) = x + 1
A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x2 é a função que relaciona todo o valor de
x do conjunto domínio ao valor de seu quadrado (x2) no contradomínio.
ℜ ℜ
1.
2.
3.
.1
...
......
...
.4
.16
.9
4.
Figura 11 – Diagrama de f(x) = x2
exemplo 1�
exemplo 1�
1�
Matemática a11
Quando queremos garantir que uma relação seja função, devemos definir para essa
relação um domínio no qual sua lei de formação tenha sentido, ou seja, um domínio
no qual, através dessa lei de formação, cada um dos seus elementos tenha um único
correspondente no contradomínio.
Em geral, quando não há indicação em contrário, o domínio de uma função f é um subconjunto
de ℜ, a não ser nos casos que isso está explicitamente indicado de outra forma. Toda função
que tem como domínio um subconjunto de ℜ é chamada de função real.
É possível determinar o domínio de uma função real conhecendo apenas a lei de
formação dessa função.
Quando a variável aparece no denominador ou no radicando de um radical de índice
par, na lei de formação da função, temos que lembrar quais são as condições para que
essa lei de formação resulte em um número real.
Veja mais alguns exemplos:
Determine o domínio da função real f(x) =
√
x− 9 .
Para que o radical
√
x− 9 resulte em um número real, o radicando deve ser
um número não negativo, ou seja, x – 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 9
A função real f(x) =
√
x− 9 tem como domínio o conjunto:
D(f)={x ∈ℜ x ≥ 9}
Determine o domínio da função real f(x) =
x+ 1
5− x
.
Como na expressão
x+ 1
5− x
, o denominador tem que ser diferente de zero,
temos:
5 – x ≠ 0 ⇒ x ≠ – 5 ⇒ x ≠ 5
Logo, o domínio da função real f(x) =
x+ 1
5− x é D (f) = {x ∈ ℜ|x ≠ 5}.
exemplo 1�
�0
Matemática a11
Determine o domínio da função real f(x) =
x− 2
√
x− 4
.
Como o radical
√
x− 4 encontra-se no denominador, o radicando x – 4 não
pode ser negativo nem nulo. Ou seja, x – 4 > 0 ⇒ x > 4.
Assim, D(f) = {x ∈ℜ| x > 4} é o domínio da função real f(x) =
x− 2
√
x− 4
.
Cada função, nos exemplos a seguir, tem características distintas. As funções apresentam
a mesma lei de formação, mas o domínio não é o mesmo. Observe qual é o conjunto
imagem em cada exemplo:
exemplo 17
A função f: [0,2] → ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta
D(f) = [0,2], CD(f) = ℜ e Im(f) = [0,4].
exemplo 1�
A função f: ℜ→ ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta
D(f) = ℜ, CD(f) = ℜ e Im(f) = ℜ+.
�Praticando...
Responda aqui
�1
Matemática a11
1. Dada a função f: ℜ→ ℜ, tal que f(x) = 3 – x, calcule:
a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d)f
1
2
�. Observe o gráfico da função f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B =
{–3, –2, –1, 0, 1}. Determine:
a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d) f(1) e) f(2) f)
2f(−2)
f(2) + f(−1)
�. Considere: f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–3, –2, –1, 0, 1}.
Qual o valor do domínio de f possui como imagem o número 4:
�. Determine os valores do domínio da função f: ℜ*→ ℜ, definida pela lei
de formaçãof(x) =
x2 + 1
x
que possui imagem igual a –2.
�. Determine o domínio de cada função real a seguir:
a) f(x) =
3x− 5
2− 4x
b) f(x) =
√
3x+ 15 c)
f(x) =
3x+ 5
√
4− 2x
��
Matemática a11
estudo de sinal de uma função
Sendo uma função de domínio D, dizemos que:
f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;
f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;
f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.
Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal
de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento.
exemplo 18
Dada a função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = 5 – x, observe
que o sinal da função para x = 0, x = 3 negativo, para x = 5 nulo e para x =
6 positivo.
Realizar o estudo do sinal de uma função é analisar para quais valores do domínio a
função é positiva, negativa ou nula. Veja o exemplo a seguir.
exemplo 1�
�Praticando...
��
Matemática a11
Considere a função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x – 4. Determine o estudo do
sinal da função.
Para determinar para quais valores do domínio a função assume cada um
dos sinais, basta substituir a lei de formação nas seguintes expressões:
f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0.
Assim:
f(x) > 0 ⇒x – 4 > 0 ⇒ x > 4
f(x) = 0 ⇒x – 4 = 0 ⇒ x = 4
f(x) < 0 ⇒x – 4 < 0 ⇒ x < 4
Ou seja, o estudo do sinal da função é:
f(x) > 0, quando x > 4
f(x) = 0, quando x = 4
f(x) < 0, quando x < 4
1. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x – 5, para
a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6
�. Elabore o estudo de sinal da função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação
f(x) =
x− 3
2
.
Responda aqui
Agora que você resolveu todas
as atividades, que tal resolver
a lista de exercícios a seguir?
��
Matemática a11
ex
er
cí
ci
os
RE
VIS
ÃO
��
Matemática a11
1. Os valores reais de t para os quais o ponto P (3m – 5; 2m + 1) se localiza
no terceiro quadrante são
a) todos os números reais menores que
5
3
.
b) todos os números reais maiores que
5
3
.
c) todos os números reais menores que −
1
2
.
d) todos os números reais maiores que −
1
2
.
�. O valor real de m para que o ponto A
m− 7
2
;
1
2
pertença ao eixo das
ordenadas é
a) −
1
2
. b) 7. c) 2. d) -7.
�. Os valores reais de t para os quais o ponto B (3t + 15; 4t 2 – 36) pertença
ao eixo das abscissas são
a) – 1 e 1. b) – 2 e 2. c) – 3 e 3. d) – 5 e 5.
�. O domínio da função real f(x) =
8x− 12
√
5x− 1
é formado por todos os
números reais
a) maiores que 0,2. b) menores que 0,2.
c) maiores que – 0,2. d) menores que – 0,2.
�. Um termômetro de parede apresenta as indicações de temperatura
conforme o quadro a seguir. A lei de formação da função que relaciona
a temperatura (em graus Celsius) e a altura da coluna de mercúrio do
termômetro é
a) f(x) = 8x – 5 b) f(x) = 8 – 4x c) f(x) =
8x− 12
√
5x− 1
d) f(x) = 5x – 12
Temperatura em
graus Celsius
Altura da coluna
em milímetros
0 4
5 12
25 44
30 52
R
es
po
st
a
��
Matemática a11
auto-avaliação
�7
Matemática a11
Nesta aula, você aprendeu: a utilizar o Sistema de Coordenadas Cartesianas,
na localização de pontos; a representar relações entre conjuntos através de
um plano cartesiano ou em diagramas de setas; a conceituar e identificar
o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma relação entre
conjuntos; a conceituar e identificar funções, o domínio, o contradomínio e
o conjunto-imagem de uma função e analisar o sinal de uma função.
1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (0; 4) B (– 6; 0)
C (0; 0) D (3; – 2)
E (5;– 3) F (– 1; 6)
G (– 2; 3) H (7; – 4)
I (5; 0) J (0; – 6)
�. Calcule o valor real de m para que o ponto C
7
5
;
3 + 2m
2
se localize
sobre o eixo das abscissas.
�. Determine o valor real de r para o ponto D (5;3r − 2
5
) se localizar sobre
o eixo das ordenadas.
�. Determine os valores reais de a e de b de modo que:
(– 5; 2a + 8) = (b + 5; 2).
�. Determine a imagem de x = – 3 na função real f(x) =
2− x
6
.
�. Dada a função f: ℜ→ℜ tal que f(x) = 5 – x, calcule:
a) f(– 3) b) f(0) c)
f
1
2
d)
3f(−5)
f(2) + f(−1)
7. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) = 2− x
6
, para
a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6
Para consulta
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
II Q
III Q IV Q
I Q
Ei
xo
d
as
o
rd
en
ad
as
y
Eixo das abscissas x
Gráfico 1 – Plano Cartesiano
0
II Q y
x
III Q IV Q
I Q
P(4;3)
T(4;-3)S(-4;-3)
R(-4;3)
4-4
3
-3
x > 0 e y < 0
x > 0 e y > 0 x < 0 e y > 0
x < 0 e y < 0
Gráfico � – Sinais das coordenadas em cada quadrante
�8
Matemática a11
Sistema de coordenadas cartesianas
Sinais das coordenadas em cada quadrante
Produto cartesiano
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano
de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x
pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Ou seja, AXB =
{(x; y) |x ∈ A e y ∈ B}.
Relação entre conjuntos
Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano
AXB. Na relação R:A→B, o conjunto A é chamado de conjunto de partida
e o conjunto B é o conjunto de chegada ou contradomínio da relação.
Os primeiros elementos de cada par ordenado de R formam o domínio da
��
Matemática a11
relação, cuja notação é D(R). Os segundos elementos de cada par ordenado
de R compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im(R).
Funções no Plano cartesiano
Toda relação de A em B, onde cada elemento do conjunto A é também
elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde
com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em
B. Ou seja: Uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto
A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B. Notação:
f: A→B.
São três os conjuntos especiais associados à função: o domínio, o
contradomínio e o conjunto-imagem.
O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a
função deve ser definida.
O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser
relacionados a elementos do domínio.
O conjunto-imagem como o conjunto de valores que efetivamente se
correspondem com o domínio da função. O conjunto-imagem é um
subconjunto do contradomínio.
estudo de sinal de uma função
Sendo uma função de domínio D, dizemos que:
f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;
f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;
f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.
Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse
elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem
desse elemento.
�0
Matemática a11
Referências
BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. matemática: aula por aula: ensino
médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 43-70.
DANTE, Luiz Roberto. Funções. In: DANTE, Luiz Roberto. matemática: contexto e
aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2003. p. 30-48.
PAIVA, Manoel. A linguagem das funções. In: PAIVA, Manoel. matemática. São Paulo:
Moderna, 2003. p. 56-67.
PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. ensino médio: relações e funções.
Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/fu ncoes/
funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008.
WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%
A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008.
anotações
�1
Matemática a11
anotações
��
Matemática a11
anotações
12
Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Função: construção de gráfi cos
e tipos de funções.
MATEMÁTICA
Coordenadora da Produção dos Materias
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição
Ary Sergio Braga Olinisky
Coordenadora de Revisão
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Design Gráfi co
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Diagramação
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José Antônio Bezerra Júnior
Mariana Araújo de Brito
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Arte e ilustração
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Revisão Tipográfi ca
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Design Instrucional
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Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade
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Adaptação para o Módulo Matemático
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão Técnica
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EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
Projeto Gráfi co
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
Ministério da Educação
Você ve
rá
por aqu
i...
Objetivo
1
Matemática A12
... um estudo sobre funções – com maior enfoque para a construção de gráfi cos e análise
destes, observando algumas características de cada tipo de função abordado – como
determinar a função inversa de uma função dada e como determinar a função composta
de duas funções e outras operações com funções.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e de algumas
atividades com questões subjetivas. Apresentamos também, ao fi nal de todo o conteúdo,
uma lista de exercícios com questões objetivas. E, ao fi nal da aula, na seção Auto-
avaliação, você encontrará mais uma oportunidade para verifi car sua aprendizagem.
Sempre que for necessário, releia a aula e refaça algumas atividades.
Na seção Para consulta, você encontra um resumo do assunto estudado nesta aula,
que servirá de material de apoio para uma consulta rápida na resolução das questões
da presente aula e de outras questões que envolvam os conteúdos aqui desenvolvidos.
Saber construir o gráfico de uma função, a partir da
determinação de alguns pontos notáveis nesse gráfi co.
Saber classifi car funções, dada a lei de formação ou o gráfi co
dessa função.
Saber identifi car o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma
função através da análise de seu gráfi co.
Saber utilizar adequadamente os procedimentos necessários para
determinar, quando houver, a função inversa de determinada função,
assim como efetuar a composição de funções ou outras operações como
a soma, a diferença, o produto ou o quociente entre funções.
Remuneração, em R$, dos vendedores por volume mensal de vendas
Vendas mensais
(R$)
R
em
un
er
aç
ão
m
en
sa
l
(R
$)
5000
1000
500
0 x
y
2
Matemática A12
Para começo
de conversa
Em uma loja de tecidos, a remuneração dos vendedores é composta de duas partes:
um salário base de R$ 500,00 e uma comissão de 10% do valor total, em reais,
vendido por cada funcionário, no mês anterior.
A função que representa o valor (em R$) a ser recebido no início de cada mês
por um funcionário, segundo o valor total das vendas realizadas por ele, será
f(x) = 0, 10 · x + 500 ou f(x) = x
10
+ 500 , em que x representa esse volume total de x
vendas (em R$).
Representando essa função em um gráfi co, teremos:
Gráfi co 1 – Representação da função f(x) =
x
10
+ 500
Para representar essa função nesse gráfi co, foi necessário determinar, primeiramente,
alguns detalhes. E esses detalhes podem variar um pouco de uma função para outra.
Observe cada tipo de função aqui apresentada, suas características principais, como
representar grafi camente cada uma delas e como identifi car, em cada gráfi co, qual
o tipo de função representada.
(A)
y
x
(B)
y
x
(D)
y
x
(C)
y
x
Agora você pode descobrir quais gráfi cos
representam funções. Passe uma régua
posicionada verticalmente em cada
uma das fi guras e assinale as que
representam uma função.
3
Matemática A12
Lei de formação
A lei de formação
também defi ne o
formato do gráfi co
de uma função.
Conhecendo funções
através de seus gráfi cos
Uma função f de f A em B é uma relação emB A×B, que associa a cada variávelx emx A, um único y em y B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f:ff A→B. Estas características nos informam que uma função
pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em A×B, que só
pode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.
Desafi o
Gráfi co de funções no plano cartesiano
Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei que
associa elementos do domínio da função, a elementos do contradomínio da função.
Costuma-se denotar a imagem de um elemento x por x f(ff x)x ou por y, pois é o elemento
que a função f associa ao elementof x.
Na construção de gráfi cos de funções no plano cartesiano, os valores de x são x
representados no eixo horizontal (ou das abscissas) e f(ff x)x (ou y) no eixo vertical (ou
das ordenadas). Em cada exemplo que veremos a seguir, marcaremos alguns pontos
no plano cartesiano e ligar esses pontos formando o gráfi co da função.
Figura 1 – Representações em gráfi cos
Exemplo 1
4
Matemática A12
Na construção de um gráfi co no plano cartesiano, devemos seguir alguns passos. Em
cada tipo de função, por causa de suas características particulares alguns detalhes
podem ser acrescentados em cada um desses passos. Fique atento.
Vejamos, agora, como é feita a construção dos gráfi cos de alguns desses tipos de
função.
Função do 10 grau ou função afi m
Essa função é uma função polinomial de 11o grau, também chamada
de função afi m, pois a função tem a forma f(ff x) =x ax + b, onde
a ∈ℜ* e b ∈ℜ.
O valor de x para o qual x f(ff x) = 0x recebe o nome de raiz da função
ou zero da função.
Assim, a raiz de f(ff x) =x x + 1 é x = – 1.
A função f(ff x) = x x + 1x é a função que relaciona todo o valor de x do domínio
ao valor x + 1 no contradomínio.
11o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co de f(ff x) com os
eixos.
•Ponto de interseção do gráfi co de f(ff x)x com o eixo dos x:
f(ff x) = 0 x ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 x
Logo (– 1; 0) é o ponto de interseção do gráfi co de f(ff x) com eixo dosx x.
•Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y:
f(0) = 0 + 1 = 1ff
Logo (0; 1) é o ponto de interseção do gráfi co da função com eixo dos y.
5
Matemática A12
2o passo: Construção da tabela de valores
x y (x; y)
– 1 0 (– 1; 0)
0 1 (0; 1)
3o passo: Construir o plano cartesiano, representar os pontos encontrados
e completar o gráfi co da função.
0−1
1
f(x) = x + 1
x
y
Marcamos os dois pontos encontrados (-1;0) e (0; 1) e traçamos a reta que
passa por esses dois pontos.
Observe, no gráfico 2, que o domínio e o conjunto-imagem da
função são formados por todos os números reais. Ou seja,
D(f) =ff ℜ, CD(f) = ff ℜ e Im(f) = ff ℜ.
Gráfi co 2 – Função– f(ff x) =x x + 1x
Agora, veremos outras características desse tipo de função que acabamos de ver.
Características importantes de uma função afi m
•Forma geral: f(ff x) = x ax + x b, a ∈ ℜ* e b ∈ ℜ.
•Domínio, contradomínio e conjunto-imagem:
D(f) = ff ℜ, CD(f)ff = ℜ e Im(f) =ff ℜ.
6
Matemática A12
•Coefi cientes:
Coefi ciente angular: o coefi ciente a.
Coefi ciente linear: o coefi ciente b.
Quando a > 0, o gráfi co de f: ℜ➝ℜ é uma reta crescente.
Quando a < 0, o gráfi co de f: ℜ➝ℜ é uma reta decrescente.
Casos particulares de funções do primeiro grau:
Quando o coefi ciente b é igual a zero b (b = 0)b essa função recebe o nome particular
de função linear e sua forma geral se resume a f(ff x)x = ax, a ∈ℜ*.
Quando a = 1a e b = 0b , a função afi m tem o formato f(ff x) =x x, que é chamada de função
identidade.
•Raiz da função ou zero da função: é o valor de x que tem imagem igual a zero. Ou seja, x
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = − b
a
é o valor da raiz da função.
Atenção! Uma função do 1o grau só tem uma raiz.
•Gráfi co da função afi m:
A construção do gráfi co de uma função do 1o grau, f(ff x) = x ax + x b, pode ser feita como
vimos anteriormente no exemplo 1.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co da função com os eixos.
2o passo: Construção da tabela de pares ordenados
3o passo: Construção do plano cartesiano, representação dos pontos e esboço do
gráfi co.
•Estudo do sinal de uma função afi m:
Como o gráfi co de uma função afi m corta em um ponto o eixo dos x, a função apresenta
três sinais. Quando a linha que representa o gráfi co da função está abaixo do eixo
dos x, a função é negativa. Quando corta o eixo dos x, é nula (ou igual a zero). Quando
está acima do eixo dos x, a função é positiva.
f(x)=0
f(x)>0
f(x)<0 x = −−a
b
f(x) é crescente
x
y
f(x)=0 f(x)<0
f(x)>0
x = −−a
b
x
y
f(x) é decrescente
7
Matemática A12
Se uma função f(ff x)x é crescente, como a função afi m representada no gráfi co 3, o estudo
dos sinais de uma função afi m é o seguinte:
f(x) < 0 ⇒ x < − b
a
f(x) = 0 ⇒ x = − b
a
f(x) > 0 ⇒ x > − b
a
Observe, no gráfi co 3, cada um desses sinais.
Gráfi co 3 – Sinais de uma função afi m crescente
Se a função f(x) é decrescente, como a função afi m representada no gráfi co 4, o estudo
do sinal de uma função afi m é o seguinte:
f(x) > 0 ⇒ x < − b
a
f(x) = 0 ⇒ x = − b
a
f(x) < 0 ⇒ x > − b
a
Observe no gráfi co 4, cada um desses sinais.
Gráfi co 4 – Sinais de uma função afi m decrescente–
Exemplo 2
8
Matemática A12
O valor a ser cobrado pela corrida de um táxi é feita em duas partes:
•uma parte fi xa, chamada de bandeirada, ao preço de R$ 3,50;
•uma parte proporcional à quilometragem do percurso, a cada quilômetro
R$ 1,70 (na bandeira 1, no horário comercial, em dias comuns).
Se um táxi faz um percurso, em um dia comum, no horário comercial, a
função que representa o valor a ser pago, em reais, é f(ff x) = (1,70)x x + 3,50x ,
ou f(ff x) = 1,7x + 3,5x , sendo x o número de quilômetros rodados nesse x
percurso.
A função f(ff x) = 1,7x x + 3,5x é uma função afi m.
Temos D(f) =ff ℜ, CD(f) = ff ℜ e Im(f) =ff ℜ. Na função f(ff x) = (1,7)x x + 3,5,x o
coefi ciente angular é 1,7 e o coefi ciente linear é 3,5.
Observe os passos para a construção do gráfi co de f(ff x) = 1,7x x + 3,5x .
1º passo: Determinar alguns pontos do gráfi co.
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos x: f(ff x)x = 0 ⇒ 1,7x + 3,5 = 0
⇒ x = −3517 (raiz da função). O ponto de interseção da linha que representa
a função com o eixo horizontal é
(
−35
17
; 0
)
.
Interseção do gráfi co a função com o eixo dos y:
f(0) = 1,70ff ⋅ 0 + 3,50 ⇒ f(0) = 3,50ff .
O ponto de interseção do gráfi co de f(x) com o eixo vertical é (0; 3,50).
Observe o exemplo a seguir.
Gráfi co 5 – Representação da função f(ff x) = 1,7x x + 3,5x
9
Matemática A12
2º passo: Construir a tabela dos pares ordenados a serem representados
no plano cartesiano.
x y (x; y)
−35
17 0
(
−35
17
; 0
)
0 3,5 (0; 3,50)
3º passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o
gráfi co.
O gráfi co 5 representa a função f(ff x) = 1,7x + 3,5.x
Para a função f(ff x) = 1,7x x + 3,5x , podemos fazer o seguinte estudo de sinais:
f(ff x) x < 0 ⇒ x < −35
17
ou x < – 2,059
f(ff x) x = 0 ⇒ x = −35
17
f(ff x) x > 0 ⇒ x > −3517
f(x)=0 f(x)>0
f(x)<0
0
−1
−1−2−3−4
1
2
33
x
y
1Praticando...
10
Matemática A12
1. Considerando a função f(ff x) = – 4x x + 1,x determine
(I) o coefi ciente angular e o coefi ciente linear;
(II) se a função é crescente ou decrescente;
(III) a imagem de x = – 2 e dex x = 3x .
2. Determine a função cujo gráfi co é uma reta, defi nida pela função f(ff x) = x
ax +x b e sabendo queb f(1) = 3 e ff f(–2) = 0ff , determine a imagem de x = 5x .
3. A comissão de um vendedor na Loja Venha Comprar é determinada por
duas partes. A primeira (que é fi xa) é o salário de R$ 500,00. A segunda
é uma porcentagem de 20% do valor total, em reais, vendido por mês.
Responda:
(I) Qual é a função que representa o valor recebido por esse funcionário
ao fi nal do mês?
(II) Quanto receberá no mês em que vendeu R$ 20.000,00 de mercadoria?
(III) Quanto é preciso vender, para receber R$ 3.200,00, em certo mês?
4. Em cada uma das funções do 1º grau a seguir, esboce o gráfi co,
classifi que-as em crescente ou decrescente e analise os sinais de
cada uma.
a) f(ff x) = 1 – 3x x. b) f(ff x) = – 1 + 2x x.
Responda aqui
11
Matemática A12
0−1 1 2 3 44 5−2−3−4−5
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5y
Gráfi co 6 – Função f(ff x) =x – 2
Exemplo 3
12
Matemática A12
A função f(ff x) = – 2x é uma função que relaciona todo valor x do domínio comx
o valor do contradomínio y = – 2.y
Essa é uma função constante, pois tem a forma f(ff x) =x b, onde b∈ℜ.
Seu gráfi co é uma reta paralela ao eixo horizontal.
1o passo: Nesse caso não há interseção do gráfi co da função com o eixo
dos x, somente com o eixo dos y que é o pontoy (0; – 2).
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfi co.
x y (x; y)
– 1 – 2 (– 1; – 2)
0 – 2 (0; – 2)
4 – 2 (4; – 2)
O gráfi co é uma reta que corta o eixo vertical em y = – 2. Acrescentaremos mais
dois pares ordenados na tabela de pontos que serão representados no gráfi co.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos e completar o
gráfi co.
Esse gráfi co é uma reta paralela ao eixo das abscissas.
A lei de formação da função é f(ff x) =x – 2, ou seja, na forma f(ff x)x = b, sendo
b um número real.b
Se b > 0 ⇒ o gráfi co de f(ff x)x passa acima do eixo dos x.
Se b = 0 ⇒ o gráfi co de f(ff x)x coincide com
o eixo dos x.
Se b < 0 ⇒ o gráfi co de f(ff x)x passa abaixo
do eixo dos x, como ocorre com o gráfi co
da função f(ff x)x = – 2, no exemplo 3.
Exemplo 4
13
Matemática A12
A função f(ff x)x = x2xx é a função que relaciona todo o valor de x do conjunto
domínio ao valor de seu quadrado (x2xx ) no contradomínio.
Essa é uma função do 2º grau ou função quadrática, cujo gráfi co é
uma parábola. Toda função com a forma f(ff x)x = ax2xx + bx + c, em que
a ∈ℜ∗, b ∈ℜ e c ∈ℜ é uma função quadrática.
1o passo: Pontos nas interseções do gráfi co def(ff x)x com os eixos.
Interseção de f(ff x)x com o eixo dos x: f(ff x)x = 0 ⇒x2xx = 0 ⇒ x = 0 O ponto
será (0; 0).
Interseção de f(ff x)x com o eixo dos y: f(0) = 0ff 2 = 0 O ponto será (0; 0).
Observe que o ponto de interseção da função f(ff x) com o eixo dos x é o x
mesmo que o ponto da interseção da função f(ff x) com o eixo dos y. Isso
ocorre quando a função quadrática tem os coefi cientes b eb c iguais a zero.c
Devemos, nesse caso, determinar outros pontos com x menores e maiores quex
o x do ponto da interseção do gráfi co da função com os eixos dosx x e dosx y.
2o passo: Construir tabela dos pontos a serem marcados no gráfi co.
Foram inseridos outros valores de x, além dos encontrados para os pontos
de interseção do gráfi co da função com os eixos no passo anterior e
calculados os valores de y correspondentes.y
3o passo: Construir o plano cartesiano, e representar os pontos encontrados
no passo anterior e completar o gráfi co da função.
x y (x; y)
4 (– 2; 4)
– 1 1 (– 1; 1)
0 0 (0; 0)
1 1 (1; 1)
2 4 (2; 4)
0−1 1 2−2−3
−1
11
2
3
44
x
y
Gráfi co 7 – Função– f(ff x) = x x2xx
14
Matemática A12
Observe que, no gráfi co, o conjunto domínio é formado por todos os números reais,
mas o conjunto-imagem é formado pelos números reais não negativos. Ou seja,
D(f)ff = ℜ, CD(f)ff = ℜ e Im(f)ff = ℜ
+
.
Agora, vamos conhecer as características principais de uma função quadrática.
Função quadrática
Uma função quadrática tem a forma f(ff x) =x ax2xx + bx + c, onde a ∈ℜ*, b ∈ℜ e c ∈ℜ
são chamados de coefi cientes.
O gráfi co de uma função quadrática é uma curva chamada de parábola, que tem
concavidade voltada para cima, quando a > 0, ou tem sua concavidade voltada para
baixo, quando a < 0.
Na função f(ff x) = x x2xx – 4x + 3x , a parábola tem sua concavidade voltada para cima, pois
a > 0. Na função g(x) = – x x2xx + 4x + 3, a parábola tem sua concavidade voltada para
baixo, pois a < 0.
Pontos notáveis do gráfi co
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
15
Matemática A12
Exemplo 5
Já vimos que raiz ou zero de uma função é o valor de x para o qual x f(ff x) = 0. Assim,
f(x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒ x′ = −b +
√
Δ
2a
e x′′ =
−b−√Δ
2a
são as raízes da
função, sendo Δ = b2 – 4ac chamado de discriminante.
Se Δ > 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfi co da função corta o
eixo horizontal em dois pontos.
Se Δ = 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfi co da função toca o eixo em
apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola).
Se Δ > 0 ⇒ A função não tem raízes reais. O gráfi co da função não corta o eixo horizontal.
II. Vértice da parábola
O vértice V da parábola é mais um ponto notável do gráfi co, pois é em torno dele que V
ocorre a simetria dessa curva.
As coordenadas do vértice são:
(xV ; yV ) =
(
− b
2a
; −Δ
4a
)
III. Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y
É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0))ff .
Vejamos mais um exemplo com gráfi co de função quadrática.
Esboce o gráfi co da função f(ff x) = 2x x2xx – 3x + 1x , determinando também: (I)
as raízes; (II) as coordenadas do vértice; (III) se a ordenada do vértice é
valor mínimo ou valor máximo da função; (IV) a interseção da curva que
representa f(ff x)x com o eixo vertical.
1o passo: Pontos notáveis do gráfi co
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
É o valor de x para o qual x f(ff x) = 0x . Assim, f(ff x) = 0x ⇒ 2x2xx – 3x + 1 = 0x .
16
Matemática A12
⇒ x′ =
3 +
√
Δ
4
e x′′ =
3−√Δ
4
são as raízes da função, onde o
discriminante é Δ = (–3)2 –4⋅2⋅1 = 9 – 8 = 1. Ou seja, as raízes são:
x′ =
3 +
√
1
4
⇒ x′ = 3 + 1
4
⇒ x′ = 4
4
⇒ x′ = 1. Ponto A: (1; 0).
x′′ =
3−√1
4
⇒ x′′ = 3− 1
4
⇒ x′′ = 2
4
⇒ x′′ = 1
2 . Ponto B:
(
1
2
; 0
)
.
Veja que Δ > 0. Signifi ca dizer que a função tem duas raízes reais e diferentes,
que são x'= 1 e x′′ = 1
2
. O gráfi co da função corta o eixo horizontal nos
pontos A e B.
0−1 1 2
−0,5
1
0,5
22
3
4
1,55
2,5
3,5
4,5
x
y
Gráfi co 8 – Representação da função f(ff x) = 2x x2xx – 3x + 1x
II. Vértice da parábola
As coordenadas do vértice são: (xV ; yV ) =
(
3
4
; −1
8
)
III. Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y
17
Matemática A12
É o ponto que tem abscissa igual a zero. Tem a forma (0; f(0))ff .
f(ff 0) = 2⋅02 – 3⋅0 +1⇒f(0) = 1ff . Ponto de interseção: (0; 1).
2o passo: Construção do gráfi co (v. Gráfi co 8).
3o passo: Conjunto-imagem de f(ff x)x :
Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o Conjunto-imagem
é formado por todos os valores de y maiores ou iguais aoy yv, ou seja,
lm(f) =
{
y ∈ � | y ≥ −1
8
}
4o passo: Estudo dos sinais da função quadrática f(ff x) = 2x x2xx – 3x + 1x
f(ff x) x > 0 ⇒ x < 0,5 ou x > 1
f(ff x)x = 0 ⇒ x = 0,5 x ou x = 1
f(ff x)x < 0 ⇒ 0,5 < x < 1
Exemplo 6
Observe o gráfi co da função para compreender o estudo dos sinais
dessa função.
A função f(ff x) = x |x+1xx | é a função que relaciona cada valor x do domínio com x
o valor do módulo de x + 1x no contradomínio.
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co da função com os
eixos dos x e dos x y
Interseção do gráfi co da função com o eixo
dos x:
f(ff x) = 0x ⇒ |x+1xx | = 0 ⇒x + 1 = 0 ou – (x+1) = 0xx
x + 1 = 0 x ⇒ x = – 1 x ou – (x+1) = 0 xx ⇒ – x – 1 = 0 x ⇒ – x = 1x ⇒ x = –1x
Módulo
Essa é uma
função modular,
pois é uma função
que associa cada
x do domínio x
com o módulo
uma expressão
algébrica.
0−1 1 2−2−3−4
−1
1
2
y
x
18
Matemática A12
O ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos x será x (– 1; 0).
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos y:
f(0) = ff |0 + 1| ⇒f(0) =ff |1| ⇒ f(0)ff = |1| ⇒f(0) = 1ff .
O ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y será (0; 1).
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem marcados no gráfi co.
x y (x; y)
– 2 1 (– 2; 1)
– 1 0 (– 1; 1)
0 1 (0; 1)
1 2 (1; 2)
Foram acrescentados dois outros valores de x, um menor e outro maior
que os determinados no passo anterior, e calculados os valores de y
correspondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabela
construída no passo anterior e completar o gráfi co.
Como a expressão que está em módulo é uma função do 1º grau, o gráfi co
dessa função modular é um conjunto de segmentos de retas.
Observe o gráfi co 9 e verá que a função tem os seguintes sinais:
f(ff x) = 0 x ⇒ x = –1x
f(ff x)x > 0 ⇒ x ≠ –1
Gráfi co 9 – Função– f(ff x) =x |x + 1x |
19
Matemática A12
Exemplo 7
Esboce o gráfi co de g(x) = x |2x2xx – 3x +1x | e faça o estudo do sinal da função.
Para fazer o gráfi co da função modular g(x) =x |2x2xx – 3x +1x |, é preciso calcular
as raízes da função que está em módulo.
Nesta aula, já calculamos estas raízes, no exemplo 5.
x′ =
3 +
√
1
4
⇒ x′ = 4
4
⇒ x′ = 1 .
x′′ =
3−√1
4
⇒ x′′ = 2
4
⇒ x′′ = 1
2 .
Pontos de interseção do gráfi co da função com o eixo dos x: A (1; 0) e
B
(
1
2
; 0
)
.
0−1 1 2
1
0,5
2
3
1,5
2,5
x
y
Gráfi co 10 – Representação da função– g(x) =x |2x2xx – 3x + 1x |
Como se trata do módulo de uma função quadrática, o gráfi co é derivado de
uma parábola, porém a função apresenta somente valores positivos ou nulos.
Compare o gráfi co 10 com gráfi co 8 e observe as diferenças entre eles. Veja
que os sinais das imagens entre as raízes na função g(x)x são positivos.
O estudo de sinais da função, representada no gráfi co 10, é o seguinte:
f(x) = 0 ⇒ x = 1
2
ou x = 1
f(x) > 0 ⇒ x �= 1
2
ou x �= 1
Exemplo 8
20
Matemática A12
Para saber mais sobre os assuntos tratados nesta aula, você pode
consultar os livros indicados na seção Referências ou na seção Leituras
complementares.
Outras características das funções modulares
Uma função f(ff x) =x |x| pode ser apresentada sob a forma
f(x) =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x ≤ 0
é chamada de função modular.
Note que D(f) =ff ℜ e Im(f) = ff ℜ
+
*.
Uma função f(ff x) = x |g(x)x |, terá também D(f) = ff ℜ e Im(f) =ff ℜ
+
, porém uma
função h(x) = – x | g(x)x |, terá D(f) =ff ℜ e Im(f)ff = ℜ–.
A função f(ff x) = 2x x é a função que relaciona cada valor x x do domínio com o x
valor de 2x no contradomínio. Essa é uma função exponencial.x
1o passo: Determinar os pontos de interseção do gráfi co da função com os
eixos dos x e dos x y.
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos x:
f(ff x) = 0x ⇒ 2x = 0 ⇒ ∄ × ∈ℜ| 2x = 0 ⇒ Não há ponto de interseção do gráfi co
da função com o eixo dos x.
Interseção do gráfi co da função com o eixo dos y:
f(0) = 2ff 0 = 1. O ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos
y seráy (0; 1).
21
Matemática A12
x y (x; y)
1
4
(
−2; 1
4
)
1
2
(
−1; 1
2
)
1 (0; – 2)
1 2 (1; – 2)
2 4 (2; 4)
2o passo: Construir a tabela dos pontos a serem representados no gráfi co.
Foram incluídos outros valores de x e calculados os valores dex y
correspondentes.
3o passo: Construir o plano cartesiano, marcar os pontos da tabela
construída no passo anterior e completar o gráfi co.
O gráfi co dessa função é uma curva que não toca o eixo dos x.
Quanto menor o valor de x, menor será a imagem encontrada, ou seja, mais
próximo o gráfi co da função se encontra do eixo horizontal, sem nunca tocá-
lo, entretanto.
0−1 1 2−2−3
−1
1
2
3
4
x
y
Gráfi co 11 – Função f(ff x) = 2x x
22
Matemática A12
Características de uma função exponencial
Chama-se de função exponencial a toda função do tipo f(ff x) = ax, defi nida para todo
x ∈ℜ, com a > 0 e a ≠ 1.
A curva de uma função f(ff x)x = ax passa pelo ponto x (0; 1).
D(f) = ff ℜ; CD(f) = ff ℜ e Im(f) =ff ℜ
+
*.
A função é crescente para a > a 1.
A função é decrescente para 0 < a <1.
Exemplo 9
2Praticando...
As funções f(ff x) = 2x x + 1x e g(x) = x
(
1
2
)x
são exemplos de funções exponenciais.
A função f(ff x)x é uma função crescente e g(x)x é uma função decrescente.
1. Esboce o gráfi co, faça o estudo do sinal e descreva o domínio e o
conjunto-imagem de cada uma das funções:
a) f(ff x) = 3,5x .
b) f(ff x) = – 1,25.x
c) f(ff x) =x 3x 2 – 6x + 3.x
d) f(ff x) =x 2 – 5x 2.
e) f(ff x) =x |2x – 5x |.
f) f(ff x) =x – |– x – 4x |.
g) f(ff x) =x 3x – 1x .
h) .f(x) =
(
1
3
)x
23
Matemática A12
Responda aqui
24
Matemática A12
Outras características
das funções
Outras características e propriedades das funções são importantes. Ve jamos algumas.
Funções injetoras, bijetoras e sobrejetoras
Uma função f:ff AB é B injetora se quaisquer dois elementos distintos de A (x
1
xx e x
2
xx )
sempre possuam imagens distintas em B (respectivamente, f(ff x
1
) e f(ff x
2
xx )). Isto é:
se x
1
xx ≠ x
2
xx ⇒ f(ff x
1
xx ) ≠ f(ff x
2
xx ).
No gráfi co de uma função, para verifi car se ela é injetora, basta que passe linhas
horizontais (que podem ser imaginárias) sobre a linha que representa a função. Se cada
uma dessas linhas só cortar o gráfi co da função em um ponto de cada vez, signifi ca que
a função é injetora. Veja alguns exemplos.
Exemplo 10
Olhe o gráfi co 12, que representa a função f:ff ℜ➝ℜ defi nida por f(ff x) = 3x x + 5x .
Essa função é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para
x, obtemos dois valores diferentes para f(ff x)x .
0−1−2−3 1 2
−1
1
22
3
4
5
6
7
8
x
y
Gráfi co 12 – Representação da função f(ff x) = 3x xx + 5
25
Matemática A12
Exemplo 11
x y (x; y)
– 2 – 1 (– 2; – 1)
−5
3 0
(
−5
3
; 0
)
– 1 2 (– 1; 2)
0 5 (0; 5)
Se você passar linhas horizontais, cada uma dessas linhas cortará o gráfi co
da função em apenas um ponto de cada vez. Logo, essa função é injetora.
A função f:ff ℜ➝ℜ defi nida por f(ff x) =x x2xx – 2 não é injetora, pois:
f(1) = – 1ff e f(–1) = – 1.ff
Ou seja, para valores diferentes do domínio apresentam a mesma imagem.
No gráfi co dessa função , ao passar linhas paralelas ao eixo dos x, você verá
que algumas dessas linhas cortarão o gráfi co em mais de um ponto de cada
vez. Logo, essa função não é injetora.
Gráfi co 13 – Representação da função quadrática – f(ff x) = x x2 xx – 2
−3
0 2−2
−2
−4
−1
1
2
y
x
26
Matemática A12
Exemplo 13
Uma função f:ff AB éB sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos B
um elemento de A, ou seja, para todo y ∈ B existeB x ∈ A tal que y = f(ff x)x . Isto equivale
a afi rmar que o conjunto-imagem da função deve ser exatamente igual ao contradomínio
dessa função, ou seja, Im(f) = ff CD(f).ff
A função f:ff ℜ→ℜ dada por f(ff x) = 2x é in jetora e sobrejetora. Logo, é
bijetora.
Exemplo 12
A função f:ff ℜ→ℜ, f(ff x) = 3x x + 2x é sobrejetora, pois CD(f)ff = Im(f)ff = ℜ.
A função f:ff ℜ→ℜ+, f(ff x)x = x2xx é sobrejetora, pois seu CD(f)ff = Im(f) =ff ℜ+.
A função f:ff ℜ→ℜ defi nida por f(ff x) = 2x não é sobrejetora, pois
existem x
elementos do contradomínio ℜ que não fazem parte do conjunto-imagem.
Ou seja, Im(f)ff ≠ CD(f)ff .
Bijetora
Quando uma
função é ao
mesmo tempo
injetora e
sobrejetora,
dizemos que ela é
bijetora.
Função crescente ou função decrescente
Uma função f(ff x)x é crescente se quaisquer que sejam x
1
xx e x
2
xx do Domínio de f, com ff x
1
xx
< x
2
xx , tivermos f(ff x
1
xx ) < f(ff x
2
xx ). Isto é, conforme o valor de x aumenta, os valores dosx f(ff x)x
correspondentes também aumentam.
Uma função f éf decrescente se, para quaisquer x
1
xx e x
2
xx do Domínio de f, comff x
1
xx < x
2
xx ,
tivermos f(ff x
1
xx ) > f(ff x
2
xx ). Isto é, conforme os valores de x aumentam, os valores dos x f(ff x)x
correspondentes diminuem.
Uma função pode ser apenas crescente ou ser apenas decrescente para todo valor
do domínio, mas você pode ter observado que existem funções, como as funções
quadráticas ou as funções modulares, que são crescentes para uma parte do domínio
e decrescente para outra parte. E, ainda, existem funções que nem são classifi cadas
como crescentes nem como decrescentes, como as funções constantes.
27
Matemática A12
Exemplo 14
Seja a função f:ff ℜ→ℜ defi nida por f(ff x)x = 8x + 2. Para os valores: x
1
xx = 1 e x
2
xx
= 2, obtemos f(ff x
1
xx ) = 10 e f(ff x
2
xx ) = 18. Como, para quaisquer dois elementos
do domínio da função x
1
xx < x
2
xx implica que f(ff x
1
xx ) < f(ff x
2
xx ), a função f é crescentef .
Seja a função g:ℜ→ℜ defi nida por g(x) = – 8x + 2. Para x
1
xx = 1 e x
2
xx = 2,
obtemos g(x
1
xx ) = – 6 e g(x
2
xx ) = – 14. Como, para quaisquer dois elementos
do domínio x
1
xx < x
2
xx implica que g(x
1
xx ) > g(x
2
xx ), a função g é decrescenteg .
3Praticando...
1. Classifi que cada uma das funções a seguir em injetora, sobrejetora ou
bijetora. (Você pode optar em esboçar o gráfi co ou verifi car algebricamente
cada função).
a) f(ff x) = 2x x2xx – 5x
b) f(ff x) =x 3x + 5
c) f(ff x) =x 5 – 2x
d) f(ff x) =x 4x – 5x2xx
2. Indique, em cada uma das funções, para quais valores de x cada uma x
delas é uma função crescente e função decrescente.
a) f(ff x) =x 5 – 2x
b) f(ff x) =x 3x + 5x
c) f(ff x) =x 2x2xx – 5x
d) f(ff x) =x 4x – 5x2xx
28
Matemática A12
Função composta
Considerando os conjuntos A, B eB C, onde existem CC f:ff A→B e B g:B→C, a função compostaCC
é uma lei que relaciona diretamente os elementos do conjunto A com os do conjunto C.
Dadas as funções f:ff A→B eB g:B→C, a composta de CC f com f g, denotada por gof, é a função ff
defi nida por (gof)ff (x)x = g(f(ff x))x . A expressão gof pode ser lida como “f g composta com g f ”.
Veja a representação dessa função composta na fi gura 2.
A B C
x g(f(x))
g(x)f(x)
gof
Ou seja, as operações que seriam feitas com x na função x g(x)x serão feitas com f(ff x)x na
função composta de g(f(ff x).x
Figura 2 – Representação da composição de funções
Exemplo 15
Considere as funções f(ff x) = 2x + 3 e g(x) = x – 1 e determine a função
composta g(f(ff x))x .
g(f(ff x)) =x f(ff x) – 1 = (2x x + 3) – 1 = 2x x + 3 – 1 = 2x x + 2.x
Ou seja, (g(f(ff x)) = 2x x + 2.x
Observe o exemplo a seguir.
29
Matemática A12
Exemplo 16
Considere as funções f(ff x) = 2x + 3 x e g(x) = x – 1x e determine a função
f(ff g(x)).x
f(ff g(x)) = 2x g(x) + 3 = 2(x x – 1) + 3 = 2x x – 2 + 3 = 2x x + 1.x
Exemplo 17
Exemplo 18
Considere as funções reais defi nidas por f(ff x) = 4x + 2x e g(x) =
7x – 4.x As composições fog eg gof são possíveis e, neste caso, serãof
defi nidas por:
(fog)(x) = x f(ff g(x)) =x f(7ff x – 4) = 4(7x x – 4) + 2 = 28x x – 16 + 2 = 7x x – 14.x
(gof)(ff x) = x g(f(ff x)) =x g(4x+2) = 7(4xx x + 2) – 4 = 28x x + 14 – 4 = 28x x + 10x
Observe que, em geral, f(ff g(x)) ≠ g(f(ff x)) e que existem várias maneiras de se criar
funções compostas. Podemos fazer f(ff g(x)), x f(ff f(ff x))x etc.
Consideremos as funções reais defi nidas por f(ff x) = x x2xx + 1 e g(x) =x 2x – 4.
Observe que:
A função f é a função que associa um valorf x a um valorx x2xx + 1. Logo, a
função f(ff g(x))x associa g(x)x com [g(x)]x 2 + 1. Ou seja:
30
Matemática A12
(fog) (x) = x f(ff g(x)) = x f(2x – 4) = (2x – 4)ff 2 + 1 = (4x2xx – 6x + 16) + 1 = 4x x2xx
– 6x + 17x
A função g é a função que associa um valorg x a um valorx 2x – 4.x Logo, a
função g(f(ff x))x associa f(ff x)x com 2 ⋅ [f[[ (ff x)] – 4.x Ou seja:
(gof) (ff x) =x g(f(ff x)) =x g(x2xx + 1) = 2(x2xx + 1) – 4 = 2x2xx + 2 – 4 = 2x2xx – 2.
A função f é a função que associa um valor f x a um valor x x2xx + 1. Logo, a
função f(ff f(ff x))x associa f(ff x)x com [f[[ (ff x)]x 2 + 1. Ou seja:
(fof)(ff x) = x f(ff f(ff x)) = (x f(ff x))x 2 + 1 = (x2xx + 1)2 + 1 = (x4xx + 2x2xx + 1) + 1 = x4xx
+ 2x2xx + 2
A função g é a função que associa um valorg x a um valor x 2x – 4. Logo, a
função g(g(x))x associa g(x)x com 2 ⋅ [g(x)]x – 4. Ou seja:
(gog)(x) =x g(g(x)) = 2(x g(x)) – 4 = 2(2x x – 4) – 4 = 4x x – 8 – 4 = 4x x – 12.x
Funções inversas
Dada uma função bijetora f:ff AB, a função inversa de f é a funçãof f –1: BA tal que se
f(ff a) = b, então f –1(b) = a, quaisquer que sejam a ema A e b em b B. Denotamos a função
inversa de f(ff x)x por f –1(x).x
Observação:
Se g = f –1(x)x é a inversa de f(ff x)x e f(ff x)x é a inversa de g = f –1(x)x , valem as relações: gof
= IAI e fog = IBI , sendo IAI e IBI , respectivamente, as funções identidades nos conjuntos
A e B.
31
Matemática A12
Exemplo 19
Exemplo 20
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = B {2, 4, 6, 8, 10} e a função f:ff AB defi nida B
por f(ff x)x = x + 3 e g: BA defi nida por g(x)x = x – 3.
Cálculo da função inversa:
Seja f:ff ℜ→ℜ, f(ff x) = x + 3.x Tomando y no lugar de y f(ff x), teremos
y = x + 3.
Trocando x por x y (e vice-versa), temosy x = y + 3.
Isolando y, obtemos: y =y x – 3.
Assim, g(x)x = x – 3 é a função inversa de f (x) =x x + 3.x
Observe o cálculo da função inversa:
f(ff x) = x x + 1x
y =y x + 1x , substituindo x por x y (e vice-versa), temos: y x = y + 1
Isolando o valor de y, temos: y =y x – 1x
Portanto, f –1 (x) = x x – 1x
4Praticando...
1. Considerando as funções do exemplo 21, determine
a) f(ff f(ff x)) =x
b) f(ff g(x)) =
c) g(f(ff x)) =
d) g(g(x)) =x
2. Encontre o valor de f –1(3), para a função f(x) = x
3
+ 5.
32
Matemática A12
Responda aqui
Operações
com funções
f e f g, podemos realizar algumas operações entre elas, entre as quais:
• Adição de funções: (f + f g) (x) =x f(ff x) + x g(x)x
•Diferença de funções: (f –f g) (x) = x f(ff x) – x g(x)x
• Produto de funções: (f ⋅g) (x) = x f(ff x)x ⋅ g(x)x
•Quociente entre funções:
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
, se g(x)x ≠ 0.
33
Matemática A12
Considerando f(ff x) = x2xx + 2x + 1x e g(x) = x + 1, observe as operações
efetuadas a seguir:
a) (f + f g) (x) = (x x2xx + 2x + 1) + (x x + 1) = x x2xx + 2x + 1 + x x + 1 = x x2xx + 3x + 2x
b) (f – f g) (x) = (x x2xx + 2x + 1) – (x x + 1) =x x2xx + 2x + 1 – x x – 1 =x x2xx + x
c) (f ⋅g) (x) = (x x2xx + 2x + 1)x ⋅ (x + 1) = (x x2xx + 2x + 1)x ⋅ (x) + (x x2xx + 2x + 1)x ⋅ 1=
= (x3xx + 2x2xx + x) + (x x2xx + 2x + 1) = x x3xx + 2x2xx + x + x x2xx + 2x + 1 = x
= x3xx + 3x2xx + 3x + 1x
d)
(
f
g
)
(x) =
x2 + 2x + 1
x + 1
=
(x + 1)2
x + 1
=
(x + 1) · (x + 1)
(x + 1)
= x + 1
x + 1)
x + 1
+ 1 – xx
Exemplo 21
Exemplo 22
Com as funções apresentadas no exemplo 21, observe as operações
efetuadas:
a) (f + f f) (ff x) = (x x2xx + 2x + 1) + (x x2xx + 2x + 1) = 2x x2xx + 4x + 2x
b) 2 ⋅ [g(x)] – x f(ff x) = 2x ⋅ [x+1] – (xx x2xx + 2x + 1) = 2x x + 2 – x x2xx – 2x – 1= – x x2xx + 1.
c) [g(x)]x 2 – f(ff x) = [x x + 1]x 2 – (x2xx + 2x + 1) = x x2xx + 2x + 1 – x x2xx – 2x – 1 = 0.x
1) = x + 2x
= 2 + 2 – x2 2xx 1= – x2
34
Matemática A12
5Praticando...
Responda aqui
1. Considerando as funções apresentadas no exemplo 21, efetue as
seguintes operações:
a) 2 ⋅ f(ff x) – [g(x)]2 =
b)
2. Determine a inversa da função f(ff x) = 3x x – 2.x
(
3 · f
g
)
(x) =
Se você já resolveu todas as atividades e não tem mais dúvida, resolva a lista de
exercícios a seguir.
35
A12
Ex
er
cí
ci
os
1. Assinale a opção que apresenta uma função afi m:
a) f(ff x) = – 2.
b) f(ff x) = 16 – 3x.
c) f(ff x) = |5x + 3x |
d) f(ff x) = 4x
2. O gráfi co da função afi m f(ff x) = 5 – 4x passa pelo pontox A (2; m). O valor
de m ém
a) – 3.
b) – 1. –
c) 0.
d) 2.
3. A função que apresenta como gráfi co uma reta paralela ao eixo dos x éx
a) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) f(ff x) =x | – 4x + 3x |
c) f(ff x) = 5x x
d) f(ff x) = – 3x
4. A função quadrática cujo gráfi co toca o eixo dos x em apenas um ponto ex
é representado por uma parábola com concavidade voltada para baixo é
a) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) f(ff x) = 5 – 4x2xx
c) f(ff x) = – 2x2xx
d) f(ff x) = 5x2xx
5. A função f: ℜ→ℜ, que pode ser classifi cada como bijetora é
a) f(ff x) = 3x x2xx – 2x + 4x
b) f(ff x) =x | – 4x + 3x |
d) f(ff x) = 5x x
f) f(ff x) = – 3x
6. A função f(ff x) =x ax2xx intersecta o gráfi co da função g(x) = 3x x em um pontox
de abscissa igual a 1. O valor de a éa
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.
35
MatemáticaamátMat A12
36
A12
R
es
po
st
a
36
MatemáticaMatemática A12
Para consulta
37
Matemática A12
Nesta aula, você estudou sobre a construção de gráfi cos, a partir de alguns
pontos notáveis; a classifi cação de funções, dada a lei de formação ou
o gráfi co dessa função; viu como identifi car o domínio, o contradomínio
e o conjunto-imagem de uma função através da análise de seu gráfi co;
determinar, quando existir, a função inversa de dada função; assim como
efetuar a composição de funções ou outras operações como a soma, a
diferença, o produto ou o quociente entre funções.
Leitura complementar
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo:
Atual Editora, 2004. (Conjuntos e Funções, v 1).
Aborda de forma detalhada alguns tópicos de Matemática. No volume 1, as funções
polinomiais do 1º grau e as do 2º grau são o tema da obra. No volume 2, você encontra
um estudo sobre as funções exponenciais.
Gráfi co de uma função no plano cartesiano
A representação gráfi ca de uma função é uma linha no plano cartesiano
que só pode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical qualquer.
Gráfi co de funções
Na construção de gráfi cos de funções no plano cartesiano, os valores de x
são representados no eixo das abscissas e f(ff x)x ou y no eixo vertical (ou das y
ordenadas). Em cada função, marque alguns pontos no plano cartesiano e
38
Matemática A12
ligue esses pontos formando o gráfi co da função. A lei de formação também
defi ne o formato do gráfi co de uma função.
Função do 10 grau ou função afi m
Forma geral: f(ff x) =x ax + b, a ∈ℜ* e b ∈ℜ.
Raiz (ou zero) da função: é o valor de x para o qualx f(ff x) = 0x , ou seja, x = − b
a
.
Pontos de interseção com os eixos:
(
− b
a
; 0
)
e (0; b), sendo a e b os
coefi cientes da função. Coefi ciente angular: a. Coefi ciente linear: b.
Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f)ff = ℜ, CD(f) =ff ℜ e Im(f)ff = ℜ.
Construção do gráfico: Em um plano cartesiano, marque os pontos de
interseção da função com os eixos e ligue-os passando uma reta por eles.
Casos particulares de funções do primeiro grau:
Função linear: Quando o coefi ciente b = 0 b ⇒ f(ff x) = x ax, a ∈ℜ*.
Função identidade: Quando a = 1a e b = 0 ⇒ f(ff x) =x x.
Estudo do sinal de uma função afi m:
Se f(ff x)x é crescente, o estudo dos sinais é o seguinte:
(I) f(x) < 0 ⇒ x < − b
a
; (II) f(x) = 0 ⇒ x = − b
a
; e (III) f(x) > 0 ⇒ x > − b
a
Se f(x) é decrescente, o estudo dos sinais é o seguinte:
(I) f(x) > 0 ⇒ x < − b
a
; (II) f(x) = 0 ⇒ x = − b
a
; e (III) f(x) < 0 ⇒ x > − b
a
Função constante
Forma geral: Toda função com a forma f(ff x)x = b, onde b ∈ℜ.
Pontos de interseção do gráfi co da função com os eixos cartesianos: Só há
interseção do gráfi co da função com o eixo dos y que é o ponto (0; b), onde
b é o coefi ciente da função.b
39
Matemática A12
Domínio, Contradomínio e Conjunto-imagem: D(f) =ff ℜ, CD(f) =ff ℜ e Im(f) = ff {b}.
Construção do gráfico: em um plano cartesiano, marque os pontos de
interseção do gráfi co da função com o eixo vertical e trace uma reta paralela
ao eixo horizontal que passe por ele. Quando b > 0, o gráfi co de f:ff ℜ→ℜ é uma
reta acima do eixo dos x. Quando b < 0, o gráfi co de f:ff ℜ→ℜ é uma reta abaixo
do eixo dos x.
Estudo do sinal de uma função afi m:
Quando b > 0: f(ff x)x > 0, ∀x ∈ℜ. (Lê-se ‘para todo X real’.)X
Quando b <b 0: f(ff x)x < 0, ∀x ∈ℜ.
Função quadrática
Forma geral: Toda função com a forma f(ff x)x = ax2xx + bx + c, onde a ∈ℜ*, b ∈ℜ
e c ∈ℜ são seus coefi cientes. Seu gráfi co é uma curva chamada de parábola,
de concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0).
Pontos notáveis do gráfi co
I. Raízes ou zeros de uma função quadrática
É o valor de x para o qualx f(x) = 0 ⇒ x′ = −b +
√
Δ
2a
e x′′ =
−b−√Δ
2a
são
as raízes da função, onde Δ = b2 – 4ac é chamado de discriminante.
Se Δ > 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e diferentes. O gráfi co da função
corta o eixo horizontal em dois pontos.
Se Δ = 0 ⇒ A função tem duas raízes reais e iguais. O gráfi co da função toca
o eixo em apenas um ponto (que coincide com o vértice da parábola).
Se Δ > 0 ⇒ A função não tem raízes reais. O gráfi co da função não corta o
eixo horizontal.
II. Vértice da parábola: V = (xV ; yV ) =
(
− b
2a
; −Δ
4a
)
III. Ponto de interseção do gráfi co da função com o eixo dos y: (0; f(0)).
40
Matemática A12
Estudo dos sinais:
Função modular
Forma geral: É qualquer f(ff x)x que associa cada valor x do domínio com umax
expressão algébrica em x que apresenta um módulo.x
Pontos notáveis: Não há uma fórmula geral para os pontos notáveis, pois
a determinação dos pontos de interseção com os eixos vai depender da
expressão envolvida na lei de formação da função.
Função exponencial
Forma geral: Chama-se de função exponencial a toda função do tipo f(ff x) =x
ax, defi nida para todo x ∈ℜ, com a >a 0 e a ≠ 1. A curva de uma função f(ff x) x
= ax passa pelo pontox (0; 1). A função é crescente para a >a 1. A função é
decrescente para 0 < a <a 1.
Observe o gráfi co de cada função representada de forma genérica
na fi gura 4 e elabore o estudo dos sinais da função quadrática
que está estudando.
y
x
x"x'
y
x
x"x''
y
x
x'
y
x
x'
x
x
f(x) < 0 ⇒ x' < x < x"
f(x) = 0 ⇒ x = x' ou
x = x"
f(x) > 0 ⇒ x < x' ou
x > onde x' e x" são
as raízes de f(x).
f(x) = 0, x = x'(raiz).
f(x) < 0, x & x'
f(x) = 0, x = x'(raiz).
f(x) > 0, x & x'
f(x) < 0, x ∈ �, ou
seja, a função é negativa
para todo x real.
f(x) > 0, x ∈ �, ou
seja, a função é positiva
para todo x real.
f(x) < 0 ⇒ x' < x < x"
f(x) = 0 ⇒ x = x' ou
x = x"
f(x) > 0 ⇒ x < x' ou
x > x", onde x' e x" são
as raízes de f(x).
Figura 3 – Sinais de funções quadráticas
41
Matemática A12
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem: D(f) =ff ℜ; CD(f) =ff ℜ e Im(f)ff = ℜ
+
*.
Outras características das funções
Função injetora: f:ff AB é B injetora, se x
1
xx ≠ x
2
xx (elementos de A) ⇒f(ff x
1
xx ) ≠ f(ff x
2
xx ).
Se no gráfi co de uma função f passamos linhas horizontais, e essa linha queMore content from this subject
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