O teorema da incompletude de Gödel afirma que, em qualquer sistema formal que inclua uma linguagem de primeira ordem com um conjunto não vazio de símbolos de função, predicados e constantes, existem fórmulas bem formadas que não são decidíveis dentro desse sistema. No entanto, é possível construir uma fórmula \(H\) que seja decidível em uma teoria consistente e completa \(T\) dentro desse sistema formal. Além disso, essa fórmula \(H\) satisfaz as seguintes condições: 1. \(H\) é decidível em \(T\). 2. Se \(T\) é consistente, então \(T\) não prova \(H\) nem sua negação. 3. Se \(T\) é inconsistente, então \(T\) prova tanto \(H\) quanto sua negação. A construção de tal fórmula \(H\) é possível graças ao teorema da completude de Gödel, que afirma que toda teoria consistente e completa em uma linguagem de primeira ordem é decidível.