Para analisar a curva dada em coordenadas polares \( r = a \cos \theta + b \sin \theta \), vamos considerar as alternativas uma a uma. (A) A curva é uma circunferência de centro \{a, b\} e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\). - Essa afirmação não é correta, pois o centro não é \{a, b\}. (B) A curva é uma circunferência de centro \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\) e raio \(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\). - Essa afirmação também não é correta, pois o centro não é \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\). (C) A equação cartesiana da curva é \(\{x-a\}^{2}+\{y-b\}^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}\). - Essa é uma forma de equação de circunferência, mas não corresponde à curva dada. (D) A equação cartesiana da curva é \(x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y=0\). - Essa é uma forma que pode ser derivada da equação polar, e parece ser uma possibilidade correta. (E) A curva é uma elipse cuja equação cartesiana é \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\). - Essa afirmação não é correta, pois a curva não é uma elipse. Após analisar todas as alternativas, a opção que se destaca como correta é a (D) A equação cartesiana da curva é \(x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y=0\).