Integral de (1/(x²+1)) dx ?

Use a definição de primitiva, se vc sabe que

(1) integral de f'(x) dx=f(x)

então a ideia é a seguinte, o que eu devo derivar para encontrar a função que está sendo integrada. No caso que da sua integral teremos que:

Se integral de 1/(x²+1) dx;

Como d( arctg(x) )/dx=1/(x²+1)

Então por (1) temos

integral de 1/(x²+1) dx = arctg(x) + c.

Faça uma substituição 

x = tg(u)   ; dx = sec^2(u)du 

∫dx /(x^2+1)=∫sec^2(u)du /(tg^2(u)+1)       ;     tg^2(u )+1 = sec^2(u)

∫sec^2(u)du/sec^2(u) = ∫ du = u + c   ;   u = arctg(x)

arctg(x)+c