P2102Gab(2010.2)

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P2 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 — 2010.2
Data: 18 de outubro de 2010
1. Considere a func¸a˜o
f(x, y, z) = x2 − 2x− 3y2 + z2 + xy2.
(a) (1.0) Encontre a aproximac¸a˜o de Taylor quadra´tica S de f em torno
do ponto (1, 0, 0).
Soluc¸a˜o: Calculando as derivadas parciais obtemos fx = 2x−2+y2,
fy = −6y + 2xy, fz = 2z. As segundas derivadas sa˜o fxx = 2,
fxy = 2y, fyy = −6 + 2x, fxz = 0, fyz = 0 e fzz = 2. No ponto
(1, 0, 0), f = −1, fx = 0, fy = 0, fz = 0, fxx = 2, fxy = 0, fyy = −4,
fxz = 0, fyz = 0 e fzz = 2. Portanto
S(x, y, z) = −1 + (x− 1)2 − 2y2 + z2 = −2x+ x2 − 2y2 + z2.
(b) (1.0) A superf´ıcie de n´ıvel 0 de S e´ uma qua´drica. Classifique-a como
elipso´ide, hiperbolo´ide de uma ou duas folhas, parabolo´ide el´ıptico ou
hiperbo´lico.
Soluc¸a˜o: A superf´ıcie de n´ıvel 0 de S e´ descrita pela equac¸a˜o
(x− 1)2 − 2y2 + z2 = 1,
que corresponde a um hiperbolo´ide de uma folha.
2. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
x4
4
+ xy +
y4
4
e os pontos P1 = (0, 0), P2 = (2,−8), P3 = (8,−2) e P4 = (−1, 1).
(a) (1.0) Quais dentre os pontos P1, P2, P3 e P4 sa˜o cr´ıticos para f?
Soluc¸a˜o: Temos que ∇f = (x3 + y, x+ y3). Substituindo os pontos
P1, P2, P3 e P4 vemos que somente P1 e P4 anulam o gradiente e
portanto sa˜o cr´ıticos para f .
(b) (1.5) Classifique os pontos cr´ıticos obtidos em (a) como ma´ximo
local, mı´nimo local ou sela.
Soluc¸a˜o: Calculando a hessiana temos
Hf(x, y) =
 3x2 1
1 3y2

1
Segue que
Hf(P1) =
 0 1
1 0

tem determinante negativo e portanto P1 e´ ponto de sela. Tambe´m
Hf(P4) =
 3 1
1 3

tem determinante positivo e trac¸o positivo, portanto P4 e´ mı´nimo
local.
3. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + x
3
3 + 4y
2 e o domı´nio
D = {(x.y) ∈ R2| x2 + 4y2 ≤ 5 }
(a) (1.0) Encontre os pontos cr´ıticos de f no interior do domı´nio.
Soluc¸a˜o: Os pontos cr´ıticos no interior do domı´nio devem satisfazer
∇f = (0, 0). Portanto 2x + x2 = 0 e 8y = 0. Segue que y = 0 e
x = 0 ou x = −2. Temos portanto dois pontos cr´ıticos, P1 = (0, 0) e
P2 = (−2, 0).
(b) (2.0) Encontre os candidatos a extremo de f na fronteira do domı´nio.
Soluc¸a˜o: Os candidatos a extremo de f na fronteira devem satisfazer
∇f = λ∇g, para algum λ ∈ R, onde g(x, y) = x2 + 4y2, e tambe´m
g(x, y) = 5. Portanto 
2x+ x2 = λ · 2x
8y = λ · 8y
x2 + 4y2 = 5
Da segunda equac¸a˜o obtemos y = 0 ou λ = 1. Se y = 0 temos os
dois candidatos P3 = (
√
5, 0) e P4 = (−
√
5, 0). Se λ = 1 obtemos
da primeira equac¸a˜o x = 0. Teremos portanto os candidatos P5 =
(0,
√
5
2 ) e P6 = (0,−
√
5
2 ).
(c) (0.5) Encontre o ma´ximo global da func¸a˜o f , caso exista.
Soluc¸a˜o: Avaliando f nos candidatos a extremo obtidos acima,
temos f(P1) = 0, f(P2) = 43 , f(P3) = 5 +
5
√
5
3 , f(P4) = 5 − 5
√
5
3 ,
f(P5) = f(P6) = 1. Como o domı´nio e´ compacto, o ma´ximo global
da func¸a˜o existe e e´ algum dos pontos P1, P2, P3, P4, P5 ou P6. Pelo
valor de f conclu´ımos que o ma´ximo global de f no domı´nio D e´ o
ponto P3 = (
√
5, 0).
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