Cambio de variable en una integral triple:

co ordenadas cil´ındricas y esf´ericas

Al igual que en el caso de integrales dobles, en o casiones un cambio de co ordenadas

puede facilitar la resoluci´on de una integral triple.

Un cambio de co ordenadas cartesianas (x, y , z ) a otras co ordenadas (u, v , w ) es un

aplicaci´on biyectiva entre dos recintos D∗yDde R3dada p or











x=x(u, v , w )

y=y(u, v , w )

z=z(u, v , w )

Entonces la f´ormula de cambio de variable para integrales triples queda:

ZZZD

f(x, y , z )dxdy dz =ZZZD∗

f(x(u, v , w ), y (u, v , w ), z (u, v , w ))kJkdudv dw

donde kJkes el valor absoluto del Jacobiano de la funci´on de cambio de co ordenadas.

Cambiaremos co ordenadas cartesianas p or cualquiera de los siguientes sistemas de

co ordenadas en R3:

Cordenadas cil´ındricas o p olares en el espacio (ρ, θ, z )

Las co ordenadas cil´ındricas consisten en tomar co ordenadas polares (ρ, θ ) en cada

plano horizontal, es decir para cada valor constante de la coordenada z.











x=ρ cos θ

y=ρ sen θ ; (ρ > 0,0≤θ < 2π)

z=z

y entonces kJk=ρydxdy dz =ρ·dz dρdθ .

La inversa de este cambio es: 









ρ=√x2+y2

tg (θ) = y /x

z=z

Ecuaciones de algunas sup erﬁcies en cartesianas y cil´ındricas:

•Cilindro de generatrices paralelas al eje z:x2+y2=k2(kconstante) ⇔ρ=k.

•Esfera de centro (0,0,0) y radio r:x2+y2+z2=r2⇔ρ2+z2=r2

•Cono: x2+y2−k2z2= 0 (kconstante) ⇔ρ2−k2z2= 0

•Parab oloide: z=k(x2+y2) (kconstante) ⇔z=k·ρ2

Cambio de coordenadas para integrales

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