Ejercicios resueltos de introduccion a numeros complejos

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INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL 
 
CÁLCULO INFINITESIMAL 
 
HOJA1: NÚMEROS COMPLEJOS. EJERCICIOS. 
 
 
1. Calcular los siguientes números: 
[ ] ( )3L)4))1()
12
3)
1
23))43(57)21() 8
1930
−−−−
−
−
+−
−
+−+−+− feid
i
iic
i
ibiiia 
 
2. Siendo: 
2
31,23,2 321
iziziz +−=−=+= 
 calcular: 
( )333
2
21
12
1
2
1
3
121 Argy)32
52)843)43) zzzd
izz
izzczzzbzza
−+−
−−+
−+−− 
 
3. Calcular x e y reales tales que: 
 
057523 =−−+−+ iyixiyx 
 
4. Resolver las siguientes ecuaciones: 
 
izeiedzcizbza z 31)3)1)1)32) 6635 −=+==+−=−= 
 
5. Calcular los valores de a y b para que z sea un número real de módulo la unidad: 
 
i
aibz
34
23
−
−
= 
6. Resolver la ecuación: 
( ) 031 3 =+−+ izi 
 
7. Demostrar las siguientes igualdades: 
 
i
eebeea
iiii
2
sen)
2
cos)
αααα
αα
−− −
=
+
= 
 
8. Hallar dos números complejos tales que su suma sea 1 + 6i y su cociente imaginario puro. Suponer 
además que la parte real del divisor es -1. 
 
9. Obtener un número complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado. 
 
10. Un hombre viaja 12 km. en dirección NE, luego 20 km. en dirección 30º al NW, y después 18 km. en 
dirección 60º al SW. ¿En qué punto se encuentra con respecto al lugar de partida? 
 
11. Dados A(1, -2), B(-3, 4) y C(2, 2), calcular la longitud del segmento que une C con el punto medio de 
AB (mediana del triángulo). 
 
12. Obtener la ecuación compleja de la recta que pasa por dos puntos dados z1 y z2. 
 
13. Obtener la ecuación compleja de la circunferencia de centro (-2, 1) y radio 4. 
 
 
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14. Haciendo uso de la expresión: 
a
xxa L
Llog = 
calcular: 
( )515log10 i+− 
 
15. Sabiendo que z es un número tal que su módulo es la unidad y que verifica: 
R
i
z
∈
+ 31
 
calcular el número w que satisface: 
zw L= 
 
16. Utilizando las expresiones del ejercicio 7, resolver la ecuación: 
 
2cos =x 
 
17. Utilizando las expresiones del ejercicio 7, resolver la ecuación: 
 
ix 2tg = 
18. Haciendo uso de la expresión: 
abb ea L= 
 
hallar el argumento de aquél complejo z de la forma: 
2L
2
9
)1(
i
iz
+
+=
π
 
cuyo módulo es la unidad. 
 
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INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL 
 
CÁLCULO INFINITESIMAL. 
 
HOJA 1: NÚMEROS COMPLEJOS. SOLUCIONES. 
 
1. )2(3L)2)16)1)
2
5)92) ππ kifiedicibia ++±+−−+− 
 
2. 
3
2;1)1)37)157) πdciba +− 
 
3. 2;1 =−= yx 
 
4. 
64)2
6
2)1)2)2)
5,4,3,2,1,0
3
2,1,0
3
24/36
4,3,2,1,0
5
2 ekiLdcba kkk
k
kk





 ++
=
=
+
=
+ π
π
π
ππ
ππ 
5. 
3
4,
2
3
== ba y 
3
4,
2
3
−=−= ba 
6. i+−8 
 
7. Utilizar la fórmula de Euler. 
 
8. )73(1)73(2 miyi +−±+ 
 
9. iy
2
3
2
11 ±− 
 
10. 14.7 Km. a 135º 47’. 
 
11. 10 
 
12. )( 121 zztzz −+= 
 
13. 42 =−+ iz 
 
14. 




 ++ ππ ki 2
6
5
10L10L
52L
 
 
15. 




 +




 +




 +




 + ππππππππ kikikiki 2
3
5,2
3
2,2
6
7,2
6
 
 
16. )32( ±−= Lix 
 
17. 
3
1L
22
ikx −+= ππ 
18. 
8
81
2
)2(L 22 π
+ 
_________________________________________