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Ca´lculo Diferencial e Integral I DERIVADAS II Prof.: Alonso Sepu´lveda Castellanos Sala 1F 106 a) Calcular as derivadas sucessivas ate´ de ordem n indicada. 1) f(x) = √ 3− x2 ;n = 2 2) f(x) = 1 x− 1 ;n = 4 3) f(x) = 1 ex3 ;n = 4 4) f(x) = e2x+1 ;n = 3 5) f(x) = ln(2x) ;n = 2 6) f(x) = tg x ;n = 3 b) Considere y como varia´vel independente e x como varia´vel dependente e use a diferenciac¸a˜o impl´ıcita para encontrar dx/dy. 1) y4 + x2y2 + yx4 = y + 1 2) (x2 + y2)2 = ax2y c) Em que pontos a reta tangente a` curva y2 = 2x3 e´ perpendicular a` reta 4x− 3y + 1 = 0? d) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado. 1) x2 16 − y 2 9 = 1 ; (−5, 9 4 ) 2) y2 = x3(2− x) ; (−1, 4√2) 3)x2/3 + y2/3 = 4 ; (−3√3, 1) 4) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2) ; (3, 1) 5)x2y2 = (y + 1)2(4− y2) ; (0,−2) 6) y(y2 − 1)(y − 2) = x(x− 1)(x− 2) ; (0, 1) e) Encontre a derivada da func¸a˜o e simplifique onde poss´ıvel. 1) y = arcsec (x2) 2) y = (arcsen x)2 3) y = arctg (ex) 4) y = √ 1− x2arcsen x 5) y = e−x − e−2x 6) y = xarccos x−√1− x2 7)F (x) = x2arccotg (3x) 8) y = arctg (cos θ) 9) y = x2arccossec x 10)h(x) = (1− x2)arctg x 11) y = xe 1x 12) y = ln(sec(3x) + tg (3x)) 13) y = ln(x+ √ x2 + 1) 14) y = [ln(x2 + 1)]3 15) f(t) = tet ln(3t+ 1) 16) g(t) = et − e−t et + e−t 17) y = ex 2 ln(1 + √ x) 18) f(x) = 5x + log3(x 2 + 1) 19) g(x) = xsen (3x) 20) y = 2x 2 + 32x 21) g(t) = ln(1 + tt) 22) y = xx x 23) y = (1 + x)e −x 24) y = ( 1 + 1 x )x f) Verifique que a func¸a˜o satisfaz as treˆs hipo´teses do Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Enta˜o encontre todos os valores c que satisfazem a conclusa˜o do Teorema de Rolle. 1) f(x) = x2 − 4x+ 1 ; [0, 4] 2) f(x) = x3 − 3x2 + 2x+ 5 ; [0, 2] 3) f(x) = sen(2pix) ; [−1, 1] 4) f(x) = x√x+ 6 ; [−6, 0] g) Verifique que a func¸a˜o satisfaz as treˆs hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio sobre o intervalo dado. Enta˜o encontre todos os valores c que satisfazem a conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio. 1) f(x) = 3x2 + 2x+ 5 ; [−1, 1] 2) f(x) = x3 + x− 1 ; [0, 2] 3) f(x) = e−2x ; [0, 3] 4) f(x) = x x+ 2 ; [1, 4] h) Encontre os seguintes limites usando a regra de L’Hopital: 1) lim x→1 x9 − 1 x5 − 1 2) limx→0 tg (x) x 3) lim x→+∞ ln(lnx) x 4) lim x→0 5x − 3x x 5) lim t→16 4 √ t− 2 t− 16 6) limx→+∞ (lnx)3 x2 7) lim x→0 x arctg (4x) 8) lim x→0 1− e−2x senx 9) lim x→0 (cossec x− cot x) 10) lim x→0+ ( 3x+ 1 x − 1 sen(x) ) 11) lim x→pi/4 sec2(x)− 2tg(x) 1 + cos(4x) 12) lim θ→0 θ − sen(θ) tg3(θ) 13) lim x→0 ( 1 x − cossec x ) 14) lim x→1 ( 1 lnx − 1 x− 1 ) 15) lim x→+∞ x(ln 2)/(1+lnx) 16) lim x→+∞ (ex + x)1/x 17) lim x→0+ xtg x 18) lim x→+∞ ( 2x− 3 2x+ 5 )2x+1 19) lim x→0 |x|x 20) lim x→+∞ x lnx x+ lnx 21) lim x→0+ (− lnx)x “Na˜o andem ansiosos por coisa alguma, mas em tudo, pela orac¸a˜o e su´plicas, e com ac¸a˜o de grac¸as, apresentem seus pedidos a Deus” Filipenses 4:6 2
