Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap3

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3 
Integrais de Linha 
3.1. 
Introdução 
 A integral de linha é semelhante a uma integral simples, exceto que, em vez de 
integrarmos sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Elas foram inventadas 
no começo do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de líquidos, forças, 
eletricidade e magnetismo. 
 As integrais de linha são definidas em termos de limites de somas de Riemann, de um 
modo semelhante à definição de integral definida. 
 
3.2. 
Integral de Linha de Função Escalar 
Suponha-se uma curva C espacial lisa dada pelas equações paramétricas: 
 x= x(t) y = y(t) z= z(t) a ≤ t ≤ b 
ou pela equação vetorial σr (t) = x(t) ir + y(t) jr + z(t) kr . Se f é uma função de três variáveis que 
é contínua em alguma região contendo C, então se define a integral de linha de f ao longo de C 
(com relação ao comprimento de arco) de modo semelhante ao feito para curvas planas: 
 ∑∫
=
∗∗∗
∞→=
n
1i
iiiinC
s)z,y,x(flimds)z,y,x(f Δ (3.1) 
 Calculando-se essa integral tem-se: 
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx))t(z),t(y),t(x(fds)z,y,x(f
222b
a
C
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∫∫ (3.2) 
 Observe que as integrais podem ser escritas de modo mais compacto com notação vetorial 
 dtttf
b
a
∫ )('))(( σσ (3.3) 
 Para o caso especial quando f(x, y, z)= 1, tem-se: 
 ∫ ∫ ==C
b
a
Ldt)t('ds)z,y,x(f σr (3.4) 
onde L é o comprimento da curva C. 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
27
27
 Defini-se também, integrais de linha ao longo de C com relação à x, y e z. Por exemplo, 
∫ ∑ ∫
=
∗∗∗∞→ =Δ=C
n
i
b
a
iiiin dttztztytxfzzyxfdszyxf
1
)('))(),(),((),,(lim),,( (3.5) 
 Portanto, como para as integrais de linha no plano, podemos calcular integrais da forma 
 ∫ ++C dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,( (3.6) 
escrevendo-se (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do parâmetro t. 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule ∫C zdsseny onde C é a hélice circular dada pelas equações x= cos t, y= sen t, z= t, 
0 ≤ t ≤ 2π. 
Solução: 
∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=
π2
0
222
sen)(sensen dt
dt
dz
dt
dy
dt
dxttdszy
C
 
 dtttt∫ ++=
π2
0
222 1cossensen 
 π
ππ
22sen
2
1
2
2
2
)2cos1(2
2
0
2
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−= ∫ ttdtt 
 
3.2.1. 
Definição formal de Integrais de Linha de Função Escalar 
Sejam f : ℜ³ -ℜ uma função real e C uma curva em R3, definida pela função 
]b,a[I: =σr → ℜ³ σr (t) = (x(t), y(t), z(t)) (3.7) 
 Para motivar a definição de integral de linha de f ao longo de C, supõe-se que C 
representa um arame e f (x, y, z) a densidade (massa por unidade de comprimento) em cada 
ponto (x, y, z) ∈ C. Deseja-se calcular a massa total M do arame. 
Para isto, divide-se o intervalo I = [a, b] por meio da partição regular de ordem n 
a= t0<t1<...<ti<ti+1<tn=b, obtendo assim uma decomposição de C em curvas Ci definidas em 
[ti, ti+1] ,i = 0, . . . , n- 1]. 
Supondo que σr (t) é de classe C1, e denotando por ΔSi o comprimento da curva Ci ,tem-
se: 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
28
28
 ( )∫
+
=
1it
it
si dtt'σΔ r (3.8) 
 Pelo teorema do valor médio para integrais, existe ui ∈ [ti,ti+1 ] tal que 
 ( ) ( ) ( ) iii1iiSi tu'ttu' ΔσσΔ rr =−= + (3.9) 
Onde Δti = ti+1 - ti. Quando n é grande, ΔSi é pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante 
em Ci e igual a f(σ (ui)). Portanto, a massa total M é aproximada por: 
 ( )( ) ( )∑−
=
=
1n
0i
iiin tu'ufS Δσσ rr (3.10) 
A soma Sn é uma soma de Riemann da função ( )( ) ( )ii u'uf σσ rr no intervalo [a, b]. Logo, se f(x, 
y, z) é contínua em C, então: 
 ( )( ) ( )∫=
b
a
dtt'tfM σσ rr (3.11) 
Considerando-se uma curva C em ℜ³, parametrizada por σr (t) = (x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a, b], onde 
σr é de classe C1, e f (x, y ,z) uma função real contínua em C. Definimos a integral de linha de f 
ao longo de C por: 
( ) ( )( ) ( )∫ ∫∫ ==
C CC
dtt'tfdsz,y,xffds σσ rr (3.12) 
Esta fórmula ainda é válida se σr é Cl por partes . Neste caso, a integral é calculada dividindo-
se o intervalo [a, b] em um número finito de intervalos fechados. 
 
Exercício: 
 
1) Calcule ∫ ++C 222 ds)zyx( onde C é a hélice definida por σr (t) = (cos t, sen t, t), 
 0 ≤ t ≤ 2π. 
Solução: 
 σr ’(t) =(x’(t), y’(t), z’(t)) = (- sen t, cos t, 1). Portanto, σr é de classe C1 em [0,2π] e como 
f é contínua, então segue que: 
 ∫ ∫ ∫ =+=++=++C
2
0
2
0
2222222 dt)t1(2dt2)ttsent(cosds)zyx(
π π
 
 ( )22
0
3
43
3
22
3
tt2 ππ
π
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += 
Se pensarmos na hélice como um arame e f(x, y, z)= x² + y2 + z2 como a densidade de 
massa no arame, então a massa total do arame é: 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
29
29
 ( )22
0
3
43
3
22
3
tt2M ππ
π
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += 
 
3.2.2. 
Interpretação Geométrica das Integrais de Linha 
Um caso particular da integral de linha ocorre quando a curva C é uma curva no plano xy 
definida por uma função de classe C1 ondeσr (t)= (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, é uma função real 
contínua definida em C. Neste caso, a integral de linha de f ao longo de C é: 
 ∫ ∫ ∫==C C
b
a
dt)t('))t(y),t(x(fds)y,x(ffds σr (3.13) 
 Quando f(x, y) ≥ 0 em C, a fórmula acima tem como interpretação geométrica a “área de 
uma cerca” que tem como base a curva C e altura f (x, y) em cada (x, y).. 
 
Exercício: 
1) A base de uma cerca é uma curva C no plano xy definida por x(t) = 30cos3 t, y(t) = 30sen3 t, 
0 ≤ t ≤ 2π, e a altura em cada ponto (x, y) é dada por f(x, y)= 1+
3
y
 (x e y em metros). Se para 
pintar cada m2 um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca? 
Solução: 
 A base da cerca no primeiro e segundo quadrantes é a porção de C dada por: 
σr (t)= (30 cos³t, 30 sen³ t), 0 ≤ t ≤ π, e a altura da cerca em cada ponto (x, y) é f(x, y)=1+y/3. 
Visto que σr (t) = (x’(t), y’(t)) = (-90 cos²t sen t, 90sen²t cos t), então σr é de classe C1 e 
 tcostsen)90(tsentcos)90())t('y())t('x()t(' 24224222 +=+=σ = 
 tttt cossen90cossen)90( 222 == 
 Como f é contínua, a área da metade da cerca é: 
 ∫ ∫ =+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +C 0
3 dttcostsen)tsen101(90ds
3
y1
π
 
 =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−+= ∫ ∫2
0
2
44 tdtcos)tsen10t(sentdtcos)tsen10t(sen90
π
π
π
 
 4502
2
1180tsen2
2
tsen180
2
0
5
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
π
 
 
 A área total da cerca é 2 x 450 m2 = 900 m2 e, portanto, o pintor cobrará 900p reais. 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
30
30
3.3. 
Integrais de Linha de Campos Vetoriais 
 O trabalho feito por uma força 
→
F (x) que move uma partícula de A até B ao longo do eixo 
x é W = ∫ba f(x) dx. Já o trabalho feito por uma força constante F para mover um objeto de um 
ponto P para outro ponto Q no espaço é W = 
→
F . D, onde D =
→
PQ é o vetor deslocamento. 
Suponha agora que k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= é um campo de força 
contínuo no IR3 (um campo de força em IR2 pode ser visto como um caso especial onde R = 0 e 
P e Q dependem apenas de x e y). Deseja-se calcular o trabalho exercido por essa força 
movimentando uma partícula ao longo de uma curva lisa C. 
Dividi-se C em sub-arcos Pi-1Pi com comprimentos sΔ i , dividindo-se o intervalo do 
parâmetro [a, b] em subintervalos de mesmo tamanho . Escolhe-se Pi*(xi*, yi*, zi*) no i-ésimo 
subarco correspondendo ao valor do parâmetro ti*. Se sΔ i é pequeno, o movimento da partícula 
de Pi-1 para Pi
na curva se processa aproximadamente na direção de T(ti*), versor tangente a 
Pi*. Então, o trabalho realizado pela força 
→
F para mover a partícula de Pi-1 para Pi é 
aproximadamente: 
 
→
F (xi*, yi*, zi*) . [ sΔ i →T (ti*) ] = [ →F (xi*, yi*, zi*) . T(ti*) ] sΔ i (3.14) 
 
O trabalho total executado para mover a partícula ao longo de C é aproximadamente: 
 ∑
=
n
i 1
[ 
→
F (xi*, yi*, zi*) . 
→
T (xi*, yi*, zi*) ] sΔ i (3.15) 
 
 Onde 
→
T (x ,y ,z) é o vetor unitário tangente ao ponto (x, y, z) sobre C. Intuitivamente 
podemos ver que essas aproximações devem ficar melhores quando n aumenta muito. Portanto 
definimos o trabalho W feito por um campo de força F como sendo o limite da soma de 
Riemman dada por: 
 W = ∫c →F (x, y, z) . →T (x, y, z) ds = ∫c →F . →T ds (3.16) 
 A equação (3.16) nos diz que o trabalho é a integral em relação ao comprimento de arco 
da componente tangencial da força. Se a curva C é dada pela equação vetorial σr (t) = x(t) ir + 
y(t) j
r
+ z(t) k
r
, então 
→
T (t) = σr ’(t) / |σr ’(t) |, e podemos reescrever a equação anterior como: 
 W = ∫ba [ →F (r(t)) . σr ’(t) / | σr ’(t) | ] | σr ’(t) | dt = W = ∫ba →F (r(t)) . σr ’(t) dt (3.17) 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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31
 Esta última integral é freqüentemente abreviada como ∫c →F . d →r e ocorre também em 
outras áreas da física . Portanto podemos definir a integral de linha para um campo vetorial 
contínuo qualquer. 
 
Definição : Seja 
→
F um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela 
função vetorial σr (t), a ≤ t ≤ b. Então a integral de linha ao longo de C é : 
∫c →F . d →r = ∫ba →F (σr (t)) . σr ’ (t) dt = ∫c →F . →T ds (3.18) 
Quando se usa a definição anterior, deve-se lembrar que 
→
F (σr (t)) é uma abreviação para 
→
F = (x(t),y(t),z(t)), e calcula-se 
→
F (σr (t)) tomando-se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) na expressão 
de 
→
F (x, y, z). Nota-se também que se pode formalmente escrever que dr =σr ’(t) dt . 
Apesar de ∫c →F .d →r = ∫c →F . →T ds e integrais em relação ao comprimento de arco não trocarem 
de sinal quando a orientação do caminho é invertida. É verdade que ∫c →F .d →r = - ∫− →→c rd.F 
porque o versor tangente T é substituído por seu negativo quando C é trocado por -C. 
Finalmente, nota-se relação entre integrais de linha de campos vetoriais e integrais de 
linha de campos escalares. Supõe-se que um campo vetorial F em ℜ3 seja dado sob a forma de 
componentes pela equação k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= . Usa-se a definição 
para calcular sua integral de linha ao longo de C: 
∫c →F .d →r = ∫ba ( →F (σr (t) . σr ’(t) ) dt = 
 = ∫ba ( P →i + Q→j + R →k ). (x’(t) →i + y’(t) →j + z’(t) →k ) dt = 
= ∫ba [ P(x(t) + y(t) + z(t))x’(t) + Q(x(t) + y(t) + z(t))y’(t) +R (x(t) + y(t) + z(t))z’(t)] dt 
. (3.19) 
 Mas esta última integral pode ser expressa como: 
 ∫c →F .d →r = ∫c Pdx + Qdy + Rdz (3.20) 
 
onde k)z,y,x(Rj)z,y,x(Qi)z,y,x(P)z,y,x(F
rrrr ++= . 
 Por exemplo, a integral ∫c ydx + zdy + xdz poderia ser expressa como: 
∫c →F .d →r (3.21) 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
32
32
Onde 
→
F (x, y, z) = y
→
i + z
→
j + x
→
k . 
 
Definição: (consideremos uma curva C em ℜ3) parametrizada por σr (t) = ( x(t), y(t), z(t)), 
t ∈ [a,b] , onde σr é de classe C1, e →F (x, y, z) = ( P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) ) um campo 
vetorial contínuo definido em C. Definimos a integral de linha de 
→
F ao longo de C por: 
 ∫c →F .d →r = ∫ba ( →F (σr (t) . σr ’(t) ) dt (3.22) 
Se a curva C é fechada, isto é, se σr (b) = σr (a), a integral de linha é denotada por ∫c →F .d →r . 
 
Exercícios: 
1) Calcule ∫c →F .d →r onde →F (x,y,z) = (x,y,z) e C é a curva parametrizada por σr (t)= ( sen t, 
cos t, t ), 0 ≤ t ≤ 2π. 
Solução: 
Como 
→
F é contínua em ℜ³ e σ’(t)= (cos t, - sen t, 1) é contínua em [0,2π], temos 
∫ ∫ =−=→→C
2
0
dt)1,tsen,t).(cost,tcos,t(senrd.F
π
 
∫ ∫ ==+−=
π π
π
2
0
2
0
22tdtdt)ttcostsentcost(sen 
 
2) Calcule a integral de linha do campo vetorial 
→
F (x,y)= (x²-2xy, x³+ y) de (0,0) a (1,1) ao 
longo das seguintes curvas: 
a) O segmento de reta C1 de equações paramétricas x= t, y= t, 0 ≤ t ≤ 1. 
b) A curva C2 de equações paramétricas x= t², y= t³, 0 ≤ t ≤ 1. 
Solução: 
a) 
∫ ∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−=++−=→→
1C
1
0
243
3
1
0
2
12
5
2
t
4
t
3
tdt)ttt(rd.F 
 
 
 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
33
33
b) 
∫ ∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−=++−=→→
2
1
0
1
0
976
5865
42
25
37
4
6
5)3342(.
C
tttdtttttrdF 
 Este exemplo mostra que a integral de linha de um campo vetorial de um ponto a outro 
depende, em geral, da curva que liga os dois pontos. Calculando novamente o item b), usando 
uma representação paramétrica diferente para a curva C2. A curva C2 pode ser descrita pela 
função 
→β (t) = (t, t3/2), 0 ≤ t ≤ 1. 
 ∫ ∫ =++−=→→→
1
0
1
0
22
7
2
52 )
2
3
2
32()(')).('( dtttttdtttF ββ 
 Como ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= →→→ 23325221 ,2))('(e 
2
3,1)(' tttttFtt ββ , obtemos 
 
42
25
3
t
7
t4
6
t5
1
0
2
9
2
73
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−= 
 Verificamos no exemplo acima que o valor da integral é o mesmo para as duas 
parametrizações da curva C2. Esta é uma propriedade importante das integrais de linha que 
provaremos a seguir. 
 
 É importante destacar que se σr (t) (a≤ t≤b) e →β (t) (c≤ t≤ d) são duas parametrizações 
equivalentes da curva C, então existe uma função h: [c, d] → [a, b], bijetora e de classe C1, tal 
que β (t)= σr (h(t)). Se h é crescente, dizemos que h preserva a orientação, isto é, uma partícula 
que percorre C com a parametrização 
→β (t) se move no mesmo sentido que a partícula que 
percorre C segundo a parametrização σr (t). Se h é decrescente, dizemos que h inverte a 
orientação. 
 
Teorema: Sejam σr (t) (a≤ t≤b) e →β (t) (c≤ t≤d) parametrizações de C1 por partes e 
equivalentes. Se h preserva a orientação, então: 
 ∫ βC →F .d →r = ∫ σC →F .d →r (3.23) 
 
 
Se h inverte a orientação, então: 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
34
34
 ∫ βC →F .d →r = - ∫ σC →F .d →r (3.24) 
 
( C β e Cσ denotam a curva C parametrizada por →β (t) e σr (t) respectivamente). 
 
Demonstração: É suficiente provar o teorema para σr (t) e →β (t) de classe C1. Suponhamos que 
as parametrizações σr (t) e →β (t) estão relacionadas pela equação 
 
→β (t) = σr (h(t)), t ∈[c, d] (3.25) 
 
Então, 
∫ →→βC rd.F = ∫ →dc F ( β (t)).βv ’(t) dt = ∫ →dc F (σv (h(t))).σv ’(h(t))h’(t) dt (3.26) 
 
 Fazendo a substituição u = h(t), du = h’(t)dt, obtém-se : 
∫ →→βC rd.F = ∫ →)d(h )c(h F (σr (u)). σr ’(u)du = 
= ∫ →ba F (σr (u)). σr ’(u)du = ∫ ∂→cF .d →r , se h preserva a orientação. 
= ∫ →ab F (σr (u)). σr ’(u)du = - ∫ ∂→cF .d →r , se h inverte a orientação. 
 
3.4. 
Propriedades da Integral de Linha
(i) Linearidade. 
 ∫∫∫ →→→→→→→ +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + CCC rd.Gbrd.Fard.GbFa (3.27) 
onde a e b são constantes reais. 
 
(ii) Aditividade. Se C admite uma decomposição num número finito de curvas 
C1,...,Cn ,isto é, C= C1 U ... U Cn, então: 
 ∫ →→c rd.F =∑∫=
→→n
1i i
c
rd.F (3.28) 
 A prova destas propriedades segue imediatamente da definição de integral de linha. 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
35
35
Exercício: 
 
1) Considere C a fronteira do quadrado no plano xy de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), 
orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha ∫ +C 2 xydydxx 
Solução: A curva é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados do 
seguinte modo: 
 C1 : σ1 (t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1 
 C2 : σ2 (t) = (1, t), 0≤ t ≤ 1 
C3 : σ3 (t) = (-t, 1), -1≤ t ≤ 0 
C4 : σ4 (t) = (0, -t) , -1 ≤ t ≤ 0 
Assim, ∫ ∫ ==+1C
1
0
22
3
1dttxydydxx 
∫ ∫ ==+2C
1
0
2
2
1tdtxydydxx 
∫ ∫
−
−=−=+
3C
0
1
22
3
1dttxydydxx 
∫ ∫
−
==+
4C
0
1
2 0dt0xydydxx 
 Logo, 
 ∫ =+−+=+C 2 210312131xydydxx 
 
3.5. 
Aplicações das Integrais de Linha 
 
As integrais de linha possuem vasta utilização em diversas áreas, sobretudo na física para 
ajudar a descrever alguns fenômenos e calculá-los. 
Apresenta-se algumas aplicações das integrais citadas na física, além de alguns exemplos 
resolvidos. 
a) Cálculo da Massa e Centro de Massa de um Fio 
Admitamos o seguinte problema descrito no exemplo abaixo onde os dados são os 
seguintes: 
Um fio extremamente delgado está identificado com as duas primeiras voltas do traço da 
hélice C em ℜ3 dada por →C (t) = [cos(t), sen(t), t], com t percorrendo o intervalo [0,4π]. A 
densidade linear em qualquer ponto (x, y, z) da curva é φ( x, y, z ) = 5x + z. 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
36
36
Com o uso de integrais de linha de campos escalares podemos calcular o centro de massa 
do fio. Primeiramente aproximamos a massa do fio por pequenos elementos de massa mi, 
concentrados nos pontos ( xi, yi, zi ). 
 Massa ≅ iiiin
1i
n
1i
i s)z,y,x(densm Δ∑∑
==
= (3.29) 
Logo, uma aproximação do momento de massa em relação ao plano "xy" do fio é dado 
por ∑
=
=
n
1i
iiiixy s)z,y,x(densM Δ (3.30) 
Define-se então: 
 ∫∑ ==
=
∞→ ds)z,y,x(zdenss)z,y,x(denslimM
n
1i
iiiinxy Δ (3.31) 
De maneira análoga definem-se os outros momentos de massa. Se M denota a massa 
total do fio então as coordenadas do centro de massa são dadas por: 
 centro de massa = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
M
Mxy,
M
Mxz,
M
Myz (3.32) 
b) Momento de Inércia 
Seja L uma linha reta e designemos por dL(x) a distância do ponto x pertencente a ℜn a 
linha L. O momento de inércia da linha Γ relativo a reta L é a integral de linha da função 
φ(x) = α(x)d2L(x), ou seja, 
 dt)t(g))t(g(Ld 2))t(g(I '
b
a
L ∫= α (3.33) 
 
c) Campo gravitacional 
Seja M uma massa pontual e situada na origem de IR3. O campo gravitacional gerado 
pela massa M é dado por 
 ( ) rz,y,x 33 rGM),z,y,x(GM)z,y,x(F r
r
−=−= (3.34) 
Onde r = (x; y; z) e G é a constante universal da gravitação. 
Facilmente se verifica que o campo gravitacional é um gradiente e o seu potencial é a 
função 
 
zyx)z,y,x( 2
22
GM
r
1GM),z,y,x(GM)z,y,x(
++
=== rφ (3.35 (3.35) 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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 A integral de linha de um campo gradiente não depende do caminho. Depende apenas 
do ponto inicial A e do ponto final B. Podemos aplicar então o teorema fundamental do cálculo 
para o cálculo da integral de linha: 
 )()(.. abdgdgF φφφ −=∇=∫ ∫
Γ Γ
 (3.36) 
 
 
 
d) Campo Magnético Através da Lei de Ampère 
Em 1819, Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e 
que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares 
ao fio, como ilustra a Figura (3.1). O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o 
polegar no sentido da corrente, os outros dedos dão o sentido de B. 
 Logo após a apresentação do trabalho de Oersted, em 1820, Ampère realizou outras 
experiências e formalizou a relação entre corrente elétrica e campo magnético. Ele mostrou 
que o campo produzido pela corrente, i, é dado pela lei que recebeu seu nome. 
 
→→→ =∫ ild.B 0μ (3.37) 
 
Onde μo é a permeabilidade magnética do vácuo. 
 Em (3.37), a integral é realizada ao longo de uma linha fechada arbitrária, que alguns 
autores denominam linha amperiana, pela sua correspondência com a superfície gaussiana no 
caso da eletrostática, e através desta lei é possível calcular o campo magnético numa integral 
de linha. 
 
 
Figura 3.1- Ilustração para a dedução da lei de Ampère 
 
 
 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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Exercícios: 
 
1) Seja Γ um fio de um material cuja densidade de massa é dada por 
yx
2
21
1)y,x(
++
=α e tem a configuração de uma espiral descrita pelo 
caminho g(t) = (t cos t; t sen t) ; 4π ≥ t ≥ 0 (vide figura abaixo). 
 
 
Então 1)t())t(g( g' =α e, portanto, a massa de Γ é dada por: 
 πα ππ 41
1
1)())(( 2
4
0 2
4
0
' =+
+
== ∫∫ dtdtttgM t
t
g . 
A coordenada y do centro de massa é dada por: 
1
4
4sen
4
1),(1
4
0
−=−=== ∫∫
Γ
π
π
π
πα tdttyxyMy 
 
2) Seja Γ pertencente ao IR3 um fio de um material com densidade de massa α(x; y; z) = z e 
cuja configuração é a de uma hélice cilíndrica descrita pelo caminho g(t) = (cos t; sen t; t) ; 4π 
≥ t ≥ 0 da figura abaixo: 
 
 
Então 2)(' =tg e o momento de inércia de Γ relativo ao eixo z é dado pela integral de linha 
∫∫ ==+=Γ
Γ
π π4
0
222 282)()( tdtdsyxzIz 
Capítulo 3- Integrais de Linha 
 
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