Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap5

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5 
Integral de Superfície 
5.1. 
Integral de Superfície de Campo Escalar 
Aplicaremos o conceito de uma integral de linha àquele de uma integral definida sobre a 
superfície. Considerando uma região fechada no plano xy. Usaremos o símbolo D, para 
denotar uma região no plano xy. 
Seja S uma superfície parametrizada por: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
)v,u(z
)v,u(y
)v,u(x
σ (5.1) 
 
→σ (u,v) = x(u,v) →i + y(u,v) →j + z(u,v) →k , (u,v) ∈ D. 
E f(x,y,z) uma função real contínua definida em S. A integral de superfície de f sobre S é 
definida por: 
 ∫∫
s
dSf (5.2) 
Discutindo sobre a área de uma superfície chega-se a seguinte conclusão: 
 vu
v
X
uij
S ΔΔσσΔ ∂
∂
∂
∂= (5.3) 
onde 
u∂
∂σ e 
v∂
∂σ são os vetores tangentes. Concluí-se que: 
 ∫∫∫∫ =
DS
dSvuσfdSzyxf )),((),,( (5.4) 
Tem-se que: 
dudv
v
X
u
dS ∂
∂
∂
∂= σσ (5.5) 
 Já que: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
),(
),(
),(
vuz
vuy
vux
σ
 (5.6) 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
59
v
z
v
y
v
x
u
z
u
y
u
x
kji
v
X
u
n
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂=∂
∂
∂
∂=
→→→
→ σσ (5.7) 
 
Suponha que S seja uma superfície sobre D e tenha equação z = g(x,y), onde suas 
derivadas parciais são contínuas em D. Então teremos: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
),( yxgz
yy
xx
σ
 (5.8) 
 
Onde: 
→→→
→→→
+∂
∂−∂
∂−=
∂∂
∂∂=∂
∂
∂
∂ kj
y
gi
x
g
y
g10
x
g01
kji
y
X
x
σσ (5.9) 
 
 
dxdy
y
g
x
g1
y
X
x
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=∂
∂
∂
∂ σσ (5.10) 
 
 
Se S é definida explicitamente pela equação z = g(x,y), ( x , y ) ∈ D, vale raciocínio 
análogo ao cálculo da área de S. Ou seja, 
dydx
y
g
x
gyxgyxfdSf
Ds
∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
22
1)),(,,(
 (5.11) 
 
Se f(x,y,z) = 1 sobre S, a equação acima se reduz ao cálculo da área de S. 
Se uma equação da superfície S for da forma y = g(x,z) e S for projetada sobre uma 
região D no plano xz, sendo g e suas derivadas parciais primeiras contínuas em D, então, 
seguindo o raciocínio anterior, tem-se: 
 dzdx
z
g
x
g1)z),z,x(g,x(fdSf
D
22
s
∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+= (5.12) 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
60
Além disso, se uma equação da superfície S for da forma x = g(y,z) e S for projetada 
sobre uma região D no plano yz, sendo g e suas derivadas parciais primeiras contínuas em D, 
então: 
 
dzdy
z
g
y
gzyzygfdSf
Ds
∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+=
22
1),),,((
 (5.13) 
Exercícios : 
1) Calcule ∫∫ dSy onde S á a superfície 2010,2 ≤≤≤≤+= yexyxz . 
Solução: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
3
21301
3
213
3
213
3
213
3
213
252
12
122254
12
1
222318
12
1221818
3
2
8
1
2
3
218
3
2
8
1
3
2
8
1
8
18284242
2111
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
18
2
1
0
1
0
18
2
1
0
2
0
22
1
0
2
0
22
22
2
2
3
2
3
2
3
2
1
=−
==
==−
=−⋅=−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅−⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
≤≤=⇒+=+
++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
+===
∫∫
∫∫
∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫∫ ∫∫
xdxdx
dxdx
dxdx
dxdxudxduu
udyyduyudydxyy
dydxyydxdy
y
z
x
zydSf
yxzyyxx
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
61
2) Calcule a integral de superfície ∫∫
S
dsx 2 , onde S é a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. 
Solução: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) [ ]
3
4
3
40
3
220cos4cos
4
1
3
1
3
10coscoscos
4
102
2
1
3
cossen
4
1
2
1
4022sen2cos
2
1
2
1
cossensen
2
2cos
2
1
11sencoscossensencos
cossencos1sencossen
sensencossensencossensen
cossensencossencossensensencossen
cossensensencossen
cossensensencossen
sencoscossensensencossen
cossensencossensensencoscossen
0cossensensen
sensencoscoscos
cossen
20
0
cossensencossen:
4
0
1
1
3
0
4
0
2
0
1
1
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
2
0 0
22
2
0 0
22
2222224
22224222424
22222
22
2222
2222
2
0 0
22
2
0 0
2
ππππ
ππφθ
πθθφφθθθ
φφφφφθθ
φφφφφφφθθ
θφθφφθφφθφ
φφφφφφφφ
φφθθφφφθφθφ
φφθφθφθ
σ
φ
σ
φφθφθφ
θθφφθφθφ
θφθφφθφθφφ
θφθφ
φθφθφθ
σ
φ
σ
θφθ
σ
φ
σθφ
θφθ
σ
φ
σ
πθ
πφ
φθφθφ
ππππ
ππ π
πππ
ππ
ππππ
ππ
ππ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−++−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅
≤≤=⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−≤≤−=⇒==−
=−=⋅
==+=+=
++=++=
++=∂
∂
∂
∂
++=
+++=
+++=
−
−=∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂⋅
∂
∂
∂
∂=
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤
===
−
−
∫
∫∫∫ ∫
∫∫∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫∫
uuduu
udduuduuddd
ddd
udduudd
dddd
X
kji
kji
ikjk
kji
X
ddX
ddXxdSf
zyxaçãoParametriz
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
62
3) Calcule onde f(x, y, z) = x +3z2, M sendo a parte do plano z = y limitada pela superfície 
x2 + y2 = 9. 
Solução: 
 Seja a parametrização ),,(),( yyxyx =σ 
 
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ] [ ] ( ) ( )
4
22430
16
22432
8
2243
0sen4sen
16
224302
8
2243sen
16
2243
8
22430
cos
16
2243
8
22430sen2sen29
4022Fazendo
2
2cos
2
1
4
2243sen29sen
4
243cos92
sen
4
243cos0
3
272sen
4
3cos
3
2
sen3cos2sen3cos2
30
20
sencos
polares scoordenadaparaPassando
3223
21011
4
0
2
0
4
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
3
0
43
0
3
2
0
232
3
0
2
0
22
3
0
22
22
ππ
ππθ
θπ
πθθ
θθθθθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
πθθθ
ππ
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
=⋅−⋅=
=−−−=−+=
=−+−
≤≤=⇒=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=+
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤==
=+=⋅+=
=++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+=
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫∫∫
u
duud
udduu
ddd
ddrr
drdrrdrdrrr
r
ryrx
dxdyyxdxdyzxdSf
dxdydxdydxdy
y
z
x
zdS
 
 
5.2. 
Integral de Superfície de Campo Vetorial 
Do mesmo modo que um campo vetorial pode ser integrado sobre uma curva, ele pode 
ser integrado sobre uma superfície. Para cada paralelogramo que forma um elemento de área 
da superfície, nós nomeamos uma componente normal do campo vetorial de algum ponto 
interior. Como a divisão da superfície é refinada, a soma do produto da área do paralelogramo 
e a componente normal do campo vetorial são a integral do campo vetorial sobre a superfície, 
geralmente escrita por: 
∫∫ →→
S
dSn.F (5.14) 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
63
onde dS é usado para representar o “elemento de área”, e 
→
n é o vetor normal. 
 
Seja S uma superfície parametrizada por: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
),(
),(
),(
vuz
vuy
vux
σ
 (5.15) 
→σ (u,v) = x(u,v) →i + y(u,v) →j + z(u,v) →k , (u,v) ∈ D. 
A esta superfície são associados dois campos de vetores normais unitários: 
 
 
 
 
 
Figura 5.1- Vetores normais unitários associados à superfície S. 
v
X
u
v
X
u))v,u((n1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=→ σσ
σσ
σ 
 (5.16) 
e 
))v,u((n))v,u((n 12 σσ
→→ −= 
 (5.17) 
Onde v
X
u ∂
∂
∂
∂ σσ
 é a normal do produto vetorial e 
→
1n é o versor normal. 
O versor normal para a superfície tem um papel fundamental, deve haver um versor 
normal 
→
n para cada ponto (x,y,z) de modo que varie continuamente sobre S. Então a 
superfície S é chamada de uma superfície orientada. Dizemos que S está orientada se fixarmos 
sobre S um tal campo de vetores. 
Seja 
→
F um campo vetorial contínuo definido em uma superfície orientada S 
parametrizada por σ(u,v), (u,v) ∈ D. Sabe-se que: 
dudv
v
x
u
dS ∂
∂
∂
∂= σσ (5.18) 
Então definimos a integral de superfície de 
→
F sobre S por: 
n1 
n2 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
64
∫∫∫∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂∂∂=∂∂∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅=⋅ →→→→
DDS
dudv
v
X
u
Fdudv
v
X
u
v
X
u
v
X
uFdSnF σσσσσσ
σσ
 
 (5.19) 
Se 
→→ = 1nn , a integral muda de sinal. Esta integral é o fluxo de 
→
F através da superfície S. 
Quando S é definida explicitamente pela função z = g ( x , y ), ( x , y ) ∈ D, temos: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
),( yxgz
yy
xx
σ
 (5.20) 
Nesse caso, 
 
y
X
x
y
X
xn
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=→ σσ
σσ
 (5.21) 
Sendo que: 
 
→→→ +∂
∂−∂
∂−⇒
∂∂
∂∂=∂
∂
∂
∂ k
y
gj
x
gi
y
g10
x
g01
kji
y
X
x
σσ (5.22) 
 22
y
g
x
g1
kj
y
)y,x(g
x
)y,x(gi
n
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+
+∂
∂−∂
∂−
=
→→→
→
 (5.23) 
Sabemos que, neste caso: 
 dxdy
y
g
x
g1dS
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+= (5.24) 
 
Então 
dxdyk
y
yxgj
x
yxgiF
dxdy
y
g
x
g
y
g
x
g
k
y
yxgj
x
yxgi
FdSnF
D
DS
∫∫
∫∫∫∫
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +∂
∂−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+
+∂
∂−∂
∂−
=
→→→→
→→→
→
),(),(
1
1
),(),(
22
22
 (5.25) 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
65
Exercícios: 
1) Calcule o fluxo do campo vetorial )z2,y,x( )z,y,x(F −=→ através da superfície S do 
parabolóide 1z0,yxz 22 ≤≤+= , com vetor normal apontado para a fora de S. 
Solução: 
A superfície S é definida por Dyxyxyxfz ∈+== ),(,),( 22 ,onde 
}{ 1/),( 222 ≤+ℜ∈= yxyxD . Um campo de vetores normais que aponta para a fora do S em 
cada ponto é dado por: ).1y2,x2(1),y,x(
y
f),y,x( 
x
fn −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −∂
∂
∂
∂=→ 
[ ]
22
22
441
)1,2,2().22,,().(
yx
yxyxyxdsnF
s
S
++
−−−== ∫∫ ∫∫φ ds = dxdyyx
D
)(4 22 +∫∫ . 
Usando mudança polar para resolver a integral dupla, obtemos 
 ∫ ∫∫∫ ==+ π πθ2
0
3
1
0
22 24)(4 drdrdxdyyx
D
 
2) Calcule ∫∫ →→S ds)n.F( onde )1,x,x()z,y,x(F −−=→ e S é a porção do plano 0zyx =++ 
situado no interior da esfera 1zyx 222 =++ . Especifique a orientação escolhida. 
Solução: 
S é definida por Dyxyxyxfz ∈−−== ),(,),( , onde 
 { } 1222/),( 222 ≤++ℜ∈= xyyxyxD 
 Escolhendo o campo de vetores normais de S dado por 
 
→
n =(1,1,1), 
Obtemos ∫∫ ∫∫ ∫∫ =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
S S s
dsdsxxdsnF 
3
1 
3
)1,1,1().1,,( ).( .
3
 (S) área
3
1 π−=− 
 
3) Calcule ∫∫ →→⋅
S
ds)nF( ,onde )zx,y,x()z,y,x(F 2=→ e S é a superfície do cilindro 
1)1()1( 22 =−+− yx entre o planos 4z e 0z == , com vetor normal apontando para fora de 
S. 
Solução: 
 O cilindro S tem representação paramétrica: 
 ( ) ( ) .40 ,20 ; ,sen1,cos1, ≤≤≤≤++= uuu πθθθθϕ 
 Um campo de vetores normais que aponta para fora de S em cada ponto é dado por 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
66
( ).0,sen,cos
100
0cossen
kji
)u,(
u
)u,( θθθθθϕθθ
ϕ =−=∂
∂×∂
∂
→→→
 
( )( ) ( )
( ) .8du 2du d 1sencos
ds
1
0,sen,cosucos1,sen1,cos1ds)nF(
4
0
4
0
2
0
S
2
S
∫∫ ∫
∫∫∫∫
==++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅+++=⋅
ππθθθ
θθθθθ
π 
 
4) Calcule ds nF
S
∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⋅
→→
, onde ( ) ( )z2,y,xz,y,xF =→ e S é a união dos planos 
 .10 , 10 , 0 e , 10 , 10 , 0 ≤≤≤≤=+≤≤≤≤=− zxzyzxzy 
Solução: 
S é a união das superfícies S1 e S2, onde S1 é a porção do plano yz = cuja projeção no 
plano xy é o quadrado [ ] [ ]1,01,01 ×=D , e S2 é a porção do plano yz −= cuja a projeção do 
plano xy é o quadrado [ ] [ ].0,11,02 −×D 
Se considerarmos S1 e S2 com os campos e vetores normais 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
2
1,
2
1,0n e 
2
1,
2
1,0 21n , respectivamente, S estará orientada. 
( ) ( )
.1
2
1
2
1
 
2
1,
2
1,02,, 
 2
1,
2
1,02,,
 
0
1
1
0
1
0
1
0
21
2
2
1
1
∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
−
→→→→→→
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−=+−=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⋅−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
ydxdyydxdy
dsyyxdsyyx
dsnFdsnFdsnF
SS
SSS
 
 
5.3. 
Superfícies Orientáveis 
Fixado um campo de vetores unitários normais a S, dizemos que S é orientável se n 
percorre o s∂ de S deixando S à esquerda do caminho traçado por n em s∂ .Neste caso, 
dizemos que S está orientada positivamente. 
 
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
67
 
 
 
→
n 
 
 
 s∂ 
 S 
 
 
 
Figura 5.2 – Superfície orientável. 
→
n 
 
Uma superfície S= S1 U S2 U .... U Sn é orientável se 1s∂ está orientada positivamente 
∀ l e nas interseções as orientações são oposta 
 
a) 
→
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) c) 
 
 
 
 
 
n saindo do papel 
 
Figura 5.3- Superfície orientável obtida através de uma união de superfícies. 
 
5.4. 
Aplicações das Integrais de Superfície 
 
a) Fluxo de um Campo 
O cálculo do fluxo de um campo através de uma superfície pode ser calculado via 
integral de superfície. O fluxo de 
→
F sobre S é dado por: 
S1 
 
 
 
 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
68
 ∫∫ →→⋅=
S
nFfluxo (5.26) 
onde 
→
n é o vetor unitário normal a S no ponto (x,y,z). 
Uma vez que a fronteira do sólido seja definida por um número (finito) de faces 
(superfícies), o fluxo será, sob condições adequadas, o somatório dos fluxos em cada face do 
sólido. 
 
b) Fluxo de Campo Elétrico e Campo Magnético 
Numa primeira abordagem, podemos dizer que : Fluxo de campo elétrico = intensidade 
de campo elétrico x área perpendicular ao campo. 
Logo, veremos que essa definição é muito simplificada, e tem pouco valor operacional, 
porque em geral o valor de 
→
E varia ao longo da superfície, e nem sempre esta é 
perpendicular ao campo. Podemos melhorar a definição, dividindo a superfície em elementos 
tão pequenos quanto possível, de modo que 
→
E seja constante nessa área infinitesimal. A esta 
área associamos um vetor 
→
Sd , cuja direção é perpendicular à área e cujo módulo é igual à 
área. Podemos manter a idéia intuitiva definindo fluxo infinitesimal: 
→→⋅= SdEdΦ (5.27) 
Assim, o fluxo através de determinada área S é dado pela integral de superfície 
 ∫ →→⋅=
S
SdEΦ (5.28) 
 
 No caso de uma superfície fechada, o vetor área é convencionalmente dirigido de 
dentro
para fora. O fluxo através de uma superfície fechada é assim representado: 
∫ →→⋅=
S
SdEΦ (5.29) 
 
 
 
c) Campo Elétrico através da Lei de Gauss 
Seja uma carga Q. Imagine uma superfície qualquer, fechada, envolvendo esta carga. A 
lei de Gauss estabelece que: 
o
QSdE εΦ =⋅= ∫
→→
 (5.30) 
A lei de Gauss é válida para qualquer situação, com campo uniforme ou não, e para 
Capítulo 5- Integral de Superfície 
 
69
qualquer tipo de superfície fechada, também denominada superfície Gaussiana. Todavia, para 
ser operacionalmente útil ela deve ser usada apenas em determinadas circunstâncias. Uma 
circunstância favorável ocorre quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre 
o campo e o vetor superfície é facilmente obtido. Logo, podemos perceber que a Lei de 
Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico ( visto no item anterior ) com a quantidade de carga 
no interior da gaussiana, e desta relação podemos obter o valor do campo elétrico gerado por 
determinada superfície. 
 
 Exercícios: 
1) Calcule o fluxo de campo magnético através da seção transversal de um solenóide circular 
de raio R e campo magnético uniforme B = μ0ni0 perpendicular a superfície. 
Solução: 
∫ ∫ ∫∫ →→→ ==== dsBdsBdsBsdB
s
.0cos..cos... θφ rrB 
2
.00 RniS.BdsB πμ∫ ===
→→
 
 
2) Calcule o fluxo de um campo elétrico kxy2j)yx(i10)z,y,x(E 22
rrrr −++= através da 
superfície .1y0,1x0,k)yx1(jyix)t( 22 ≤≤≤≤−−++= →→ rrσ 
Solução: 
dy.dx
dy
dx
dx
d.
dy
dx
dx
d
dy
dx
dx
d
.Fds.n.F
s
σσ
σσ
σσ
∫∫ ∫∫ →→→ = 
dxdykjyixkxyjyxi )22).(2)(10( 22
rrrrrr ++−++∫∫ 
3
31)22220(
1
0
1
0
32 =−++∫ ∫ dxdyxyyyxx