P1GASL10_2

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1a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Turmas Padronizadas - 15/09/2010
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
1. Resolva, usando escalonamento de matrizes (me´todo de Gauss ou de Gauss-
Jordan), o sistema linear: (20 pts)
x + y − 3z + 2w = 1
−2x − y + 5z − 3w = −1
−x − y − 3w = −1
x + z + 2w = 0
2. (a) Encontre, se poss´ıvel, a inversa da matriz B =
 2 3 31 3 2
3 5 5
. (30 pts)
(b) Dadas a matriz B acima e a matriz C =
 −1 3 42 −1 0
−1 2 2
, determine a matriz M
de ordem 3× 3 tal que MB = C.
3. (a) Calcule o determinante da matriz A =

4 3 −1 5
3 −1 0 3
2 0 −4 5
1 0 −2 3
. (30 pts)
(b) Sendo A a matriz acima, resolva o sistema linear homogeˆneo AX = 0¯. (Sugesta˜o:
use a informac¸a˜o do item (a)).
4. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (20 pts)
(a) Sejam A uma matriz n×n e B uma matriz n×1. Se A e´ invert´ıvel enta˜o o sistema
linear AX = B tem infinitas soluc¸o˜es.
(b) Se A e B sa˜o matrizes n × n tais que det(A) = 3 e det(B) = 2 enta˜o
det(A+B−1) =
7
2
.
(c) Para quaisquer matrizes A e B de ordem n×n vale sempre que det(AB) = det(BA).
(d) Se A e´ uma matriz n× n tal que A3 = 0¯ enta˜o (In −A)−1 = In +A+A2, onde In
e´ a matriz identidade de ordem n.