Para resolver essa questão, precisamos calcular a matriz produto \( M \times M = M^2 \) e analisar os resultados para determinar as conexões de grau 2 entre as pessoas da rede social. A matriz \( M \) é: \[ M=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] Vamos calcular \( M^2 \): \[ M^2 = M \times M \] Calculando cada elemento da matriz \( M^2 \): - Para a posição \( (1,1) \): \( 0*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) - Para a posição \( (1,2) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) - Para a posição \( (1,3) \): \( 0*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) - Para a posição \( (1,4) \): \( 0*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 0 \) - Para a posição \( (2,1) \): \( 0*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) - Para a posição \( (2,2) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) - Para a posição \( (2,3) \): \( 0*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) - Para a posição \( (2,4) \): \( 0*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 1 \) - Para a posição \( (3,1) \): \( 1*0 + 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1 \) - Para a posição \( (3,2) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) - Para a posição \( (3,3) \): \( 1*0 + 1*1 + 0*0 + 1*1 = 2 \) - Para a posição \( (3,4) \): \( 1*1 + 1*0 + 0*1 + 1*0 = 1 \) - Para a posição \( (4,1) \): \( 1*0 + 0*0 + 1*1 + 0*1 = 1 \) - Para a posição \( (4,2) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) - Para a posição \( (4,3) \): \( 1*0 + 0*1 + 1*0 + 0*1 = 0 \) - Para a posição \( (4,4) \): \( 1*1 + 0*0 + 1*1 + 0*0 = 2 \) Assim, a matriz \( M^2 \) fica: \[ M^2 = \left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{array}\right) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) Existem 5 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que não possuem conexões de grau 2. - Precisamos verificar os pares que têm 0 em \( M^2 \). Observando a matriz, temos \( (1,2), (1,4), (2,3), (3,4) \) que não têm conexões de grau 2. Total: 4 pares. FALSO. B) Existem 6 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem apenas uma conexão de grau 2. - Precisamos contar os pares que têm 1 em \( M^2 \). Observando, temos \( (2,1), (2,2), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1) \). Total: 6 pares. VERDADEIRO. C) Existem 3 pares de pessoas diferentes \( (P_{i} \neq P_{j}) \) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes. - Precisamos contar os pares que têm 2 em \( M^2 \). Observando, temos \( (1,3), (3,3), (4,4) \). Total: 3 pares. VERDADEIRO. D) Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social. - Precisamos verificar se alguma pessoa tem conexões de grau 2 com todas as outras. Nenhuma pessoa tem 3 conexões de grau 2. FALSO. E) Existe apenas 1 pessoa \( P_{i}(i \neq 3) \) tal que \( P_{i} \) e \( P_{3} \) seguem-se mutuamente. - Observando a matriz original, \( P_{3} \) segue \( P_{2} \) e \( P_{4} \), mas não \( P_{1} \). Portanto, essa afirmação é FALSA. A alternativa correta é a B.