Microsoft Word - Aula 25 - Diagonalizacao de Operadores Lineares

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FACULDADE DE CIÊNCIAS - DEPTO DE MATEMÁTICA 
 AULA 25 –GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR 
Profa Emília M. R. Marques 
 
ISOMORFISMO ENTRE ( )U VL , E ( )mxnM R 
Definição: Sejam U e V dois espaços 
vetoriais sobre R com dimensões n e m 
respectivamente. Defini-se uma função do 
conjunto das transformações lineares de U 
em V no conjunto das matrizes de ordem mxn 
que a cada transformação linear associa uma 
matriz, ou seja, 
( ) ( )mxn→U V M RF : L , 
[ ]
,B GT T→ 
Obs: 1) A função definida acima é um 
isomorfismo. 
 2) Temos que: 
 a) [ ] [ ] [ ]T F T F+ = + 
 b) [ ] [ ]T Tα α= 
 c) [ ] [ ] [ ]
, , ,
.
B D G D B GT F T F=� 
 d) [ ]( ) 1 1
, ,B G G B
T T
−
− =   
Proposição: Seja U um espaço vetorial sobre 
R com dimensão n e com bases 
{ }1 2, ,..., nB u u u= e { }1 2, ,..., pG v v v= e ainda o 
operador linear :T →U U . Então, sendo 
[ ]BGM a matriz mudança de base de B para 
G, temos: 
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) 1. .B BG G B GT M T M −= . 
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES 
LINEARES 
Definição: Seja U um espaço vetorial sobre 
R e seja ( )T ∈ UL . Um vetor u ∈U , 0u ≠ é 
um autovetor (ou vetor próprio) de T se 
existe λ ∈R tal que ( )T u uλ= . O escalar é 
chamado de autovalor (ou valor próprio). 
Exemplo: Considere o operador linear abaixo 
 ( ) ( )
2 2:
, ,
T
x y y x
→
→
R R
. 
Determine os autovalores e autovetores. 
Sendo 2u ∈R , temos : 
( ) ( ) ( ), , y xT u u y x x y
x y
λλ λ λ
= 
= ⇔ = ⇔  
= 
 
2 1
1
y y
λλ λ
=
⇔ = ⇔ 
= −
 
Assim: a) para 1λ = temos 
( ) ( ) ( ) ( ), 1. , , ,T x y x y y x x y y x= ⇔ = ⇔ = 
Logo o conjunto dos autovetores associados 
ao autovalor 1λ = é ( ) ( ){ }1 ,V x x x= ∈R . 
b) para 1λ = − temos 
( ) ( ) ( ) ( ), 1. , , ,T x y x y y x x y y x= − ⇔ = − − ⇔ = − 
Logo o conjunto dos autovetores associados 
ao autovalor 1λ = − é ( ) ( ){ }1 ,V x x x− = − ∈R . 
Obs: 1) ( ) ( ){ } ( )V u T u u N T Iλ λ λ= ∈ = = −U . 
 2) ( )V λ é um subespaço vetorial, 
denominado subespaço próprio de λ . 
 3) λ é um autovalor se e somente se 
( )0u u N T Iλ∃ ≠ ∈ − , isto nos diz que o 
operador linear ( )T Iλ− não é injetor, nem tão 
pouco bijetor, logo a matriz desse operador 
linear não é inversível, isto significa que 
( )det 0T Iλ− = . Denominamos de polinômio 
característico de T , o polinômio dado por 
( ) ( )detTP T Iλ λ= − . A equação característica 
é dada quando ( ) ( )det 0TP T Iλ λ= − = 
Exemplo: Seja 2 2:T →R R dada por 
( ) ( ), 2 , 4T x y x y x y= + − + . Encontre o 
polinômio característico de T , seus 
autovalores e seus subespaços próprios. 
Considerando a base canônica temos que 
[ ] 1 2
1 4C
T
 
=  
− 
. Logo o polinômio 
característico de T é dado por: 
( ) ( ) 21 2det 5 6
1 4T
P T I
y
λλ λ λ λ−= − = = − +
− −
 
Assim obtemos a equação característica e os 
autovalores: 
12
2
2
5 6 0
3
λλ λ λ
=
− + = ⇔ 
=
 
Desta forma temos os seguintes subespaços 
próprios: 
a) Para 1 2λ = temos que: 
( ) ( ) ( ) ( ), 2 , 2 , 4 2 ,2
2 2 2 0
2 4 2 0 2
T x y x y x y x y x y
x x y x y xy
y x y x y
= ⇔ + − + =
= + − = 
⇔ ⇔ ⇔ = 
= − + − + = 
 
Ou seja ( ) 12 , 1,
2 2
xV x x      = ∈ =     
      
R . 
b) Para 2 3λ = temos que: 
( ) ( ) ( ) ( ), 3 , 2 , 4 3 ,3
3 2 2 2
3 4
T x y x y x y x y x y
x x y x y
y x y x y
= ⇔ + − + =
= + = 
⇔ ⇔ 
= − + = 
 
Ou seja ( ) ( ){ } ( )3 , 1,1V x x x= ∈ =   R . 
Considere uma base formada pelos seguintes 
vetores: ( ) ( ){ }11, , 1,12B = . Assim temos que: 
( ) ( ) ( ) ( )1 11, 2,1 2 1, 0 1,12 2T = = + e 
( ) ( ) ( ) ( )11,1 3,3 0 1, 3 1,12T = = + 
Logo [ ] 2 0
0 3B
T
 
=  
 
. 
Definição: Dizemos que um operador linear é 
diagonalizável se e somente se existe uma 
base de autovetores para o domínio do 
operador linear. 
Exercício 01: Seja 3 3:T →R R dada por 
[ ]
1 0 0
2 0
0 2
CT m
n
 
 
=  
 
 
. Verifique quando T é 
diagonalizável. 
Exercício 02: Determine os autovalores e auto 
vetores do operador linear 3 3:T →R R dada 
por: 
( ) ( ), , 3 , 5 , 3T x y z x y z x y z x y z= − + − + − − + . 
Exercício 03: Seja 3 3:T →R R dada por 
[ ]
3 3 4
0 3 5
0 0 1
CT
− − 
 
=  
 
− 
. Verifique se o operador 
linear T é diagonalizável.