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12.30 O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. Determinar a deflexão em seu centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre ele e EI é constante. Solução: Reações de apoio: 2 P3V 2 P3V BA == As equações de momento fletor são: a4xa3)a3x( 2 P3)a2x(P)ax( 2 P3Px)x(M a3xa2)a2x(P)ax( 2 P3Px)x(M a2xa)ax( 2 P3Px)x(M ax0Px)x(M 4 3 2 1 ≤≤⇒−+−−−+−= ≤≤⇒−−−+−= ≤≤⇒−+−= ≤≤⇒−= Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): a4xa3)a3x( 2 P3)a2x(P)ax( 2 P3Px)x(''EIy a3xa2)a2x(P)ax( 2 P3Px)x(''EIy a2xa)ax( 2 P3Px)x(''EIy ax0Px)x(''EIy 4 3 2 1 ≤≤⇒−−−+−−= ≤≤⇒−+−−= ≤≤⇒−−= ≤≤⇒= E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: a4xa3C 2 )a3x( 2 P3 2 )a2x(P 2 )ax( 2 P3 2 xP)x('EIy a3xa2C 2 )a2x(P 2 )ax( 2 P3 2 xP)x('EIy a2xaC 2 )ax( 2 P3 2 xP)x('EIy ax0C 2 xP)x('EIy 4 2222 4 3 222 3 2 22 2 1 2 1 ≤≤⇒+−−−+−−= ≤≤⇒+−+−−= ≤≤⇒+−−= ≤≤⇒+= Segunda integração: a4xa3CxC 6 )a3x( 2 P3 6 )a2x(P 6 )ax( 2 P3 6 xP)x(EIy a3xa2CxC 6 )a2x(P 6 )ax( 2 P3 6 xP)x(EIy a2xaCxC 6 )ax( 2 P3 6 xP)x(EIy ax0CxC 6 xP)x(EIy 84 3333 4 73 333 3 62 33 2 51 3 1 ≤≤⇒++−−−+−−= ≤≤⇒++−+−−= ≤≤⇒++−−= ≤≤⇒++= As condições de contorno para a viga são: 8743 4343 7632 3232 6521 2121 CC)a3(y)a3(y CC)a3('y)a3('y CC)a2(y)a2(y CC)a2('y)a2('y CC)a(y)a(y CC)a('y)a('y =⇒= =⇒= =⇒= =⇒= =⇒= =⇒= 0Ca3C 6 )a2a3(P 6 )aa3( 2 P3 6 )a3(P)a3(EIy 0CaC 6 aP)a(EIy 73 333 3 51 3 1 =++ − + − −= =++= das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C5=C7) vem que: 3 654 2 321 a 12 P13CCC a 4 P5CCC === −=== A deflexão no centro (centro, x=2a) é: EI3 Pay)a2(y a 12 P13 a2 4 Pa5 6 )aa2( 2 P3 6 )a2(P)a2(EIy 3 a22 3 233 2 −==∴ +− − −= As inclinações em A e B são: EI4 Pa3)a('y 4 Pa3 4 Pa5 2 PaC 2 aP)a('yEI 2 A1 222 1 2 1 −=θ=∴ −=−=+= EI4 Pa3)a3('y 4 Pa5 2 )a2a3(P 2 )aa3( 2 P3 2 )a3(P)a3('EIy 2 B3 2222 3 =θ=∴ − − + − −= Obs.: o eixo y positivo foi adotado para baixo.