12.030

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12.30 O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. Determinar a deflexão em 
seu centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas reações verticais 
sobre ele e EI é constante. 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
2
P3V
2
P3V BA == 
As equações de momento fletor são: 
a4xa3)a3x(
2
P3)a2x(P)ax(
2
P3Px)x(M
a3xa2)a2x(P)ax(
2
P3Px)x(M
a2xa)ax(
2
P3Px)x(M
ax0Px)x(M
4
3
2
1
≤≤⇒−+−−−+−=
≤≤⇒−−−+−=
≤≤⇒−+−=
≤≤⇒−=
 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
a4xa3)a3x(
2
P3)a2x(P)ax(
2
P3Px)x(''EIy
a3xa2)a2x(P)ax(
2
P3Px)x(''EIy
a2xa)ax(
2
P3Px)x(''EIy
ax0Px)x(''EIy
4
3
2
1
≤≤⇒−−−+−−=
≤≤⇒−+−−=
≤≤⇒−−=
≤≤⇒=
 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: 
a4xa3C
2
)a3x(
2
P3
2
)a2x(P
2
)ax(
2
P3
2
xP)x('EIy
a3xa2C
2
)a2x(P
2
)ax(
2
P3
2
xP)x('EIy
a2xaC
2
)ax(
2
P3
2
xP)x('EIy
ax0C
2
xP)x('EIy
4
2222
4
3
222
3
2
22
2
1
2
1
≤≤⇒+−−−+−−=
≤≤⇒+−+−−=
≤≤⇒+−−=
≤≤⇒+=
 
Segunda integração: 
a4xa3CxC
6
)a3x(
2
P3
6
)a2x(P
6
)ax(
2
P3
6
xP)x(EIy
a3xa2CxC
6
)a2x(P
6
)ax(
2
P3
6
xP)x(EIy
a2xaCxC
6
)ax(
2
P3
6
xP)x(EIy
ax0CxC
6
xP)x(EIy
84
3333
4
73
333
3
62
33
2
51
3
1
≤≤⇒++−−−+−−=
≤≤⇒++−+−−=
≤≤⇒++−−=
≤≤⇒++=
 
 
As condições de contorno para a viga são: 
8743
4343
7632
3232
6521
2121
CC)a3(y)a3(y
CC)a3('y)a3('y
CC)a2(y)a2(y
CC)a2('y)a2('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒=
 
0Ca3C
6
)a2a3(P
6
)aa3(
2
P3
6
)a3(P)a3(EIy
0CaC
6
aP)a(EIy
73
333
3
51
3
1
=++
−
+
−
−=
=++=
 
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C5=C7) vem que: 
3
654
2
321
a
12
P13CCC
a
4
P5CCC
===
−===
 
A deflexão no centro (centro, x=2a) é: 
EI3
Pay)a2(y
a
12
P13
a2
4
Pa5
6
)aa2(
2
P3
6
)a2(P)a2(EIy
3
a22
3
233
2
−==∴
+−
−
−=
 
As inclinações em A e B são: 
EI4
Pa3)a('y
4
Pa3
4
Pa5
2
PaC
2
aP)a('yEI
2
A1
222
1
2
1
−=θ=∴
−=−=+=
 
EI4
Pa3)a3('y
4
Pa5
2
)a2a3(P
2
)aa3(
2
P3
2
)a3(P)a3('EIy
2
B3
2222
3
=θ=∴
−
−
+
−
−=
 
 
Obs.: o eixo y positivo foi adotado para baixo.