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IAL – Módulo 3 – Lista 1 – Capítulo 7 – Prof. João Luiz – 02/2009 
 
GABARITO 
 
 
1) Encontre os autovalores e as bases dos auto-espaços de A = 


21
12
. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja a matriz A = 


32
26
. 
 
a) Encontre os autovalores de A. 
 
b) Encontre as bases dos auto-espaços de A. 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre os autovalores e as bases dos auto-espaços de A. 






120
450
221
A
 
 
 
 
4) Seja a matriz A = 



 442 141
006
. 
 
a) Encontre os autovalores de A. 
 
b) Encontre as bases dos auto-espaços de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Seja: 


54
12
A
 
 
a) Encontre os autovalores de A. 
b) Encontre as bases dos auto-espaços de A. 
c) Encontre os autovalores de A
3
. 
 
 
 
 
 
 
6) Sejam duas matrizes, A e B: 
 







 
3000
2300
1120
1012
A
 
5
AB 
 
 
a) Encontre os autovalores de B. 
 
b) B é uma matriz invertível? Por quê? 
 
c) Os conjuntos }
0
0
0
1
{








 e }
0
1
1
1
{








 são bases dos auto-espaços de A. Encontre 
bases para os auto-espaços de B. Explique seu raciocínio. 
 
 
 
 
 
7) Os vetores v
1
 e v
2
 são autovetores da matriz A, onde: 
 


 42 11A 


1
1
1
v
 


2
1
2
v
 
 
Responda: 
 
a) Se P é uma matriz que diagonaliza A, encontre P e P
-1
. 
b) Encontre D, que é a matriz obtida a partir da diagonalização de A. 
c) Quais são os autovalores de A? Justifique. 
 
 
 
8) Sejam as matrizes 


40
12
A
 e 
4
AB 
. Responda as perguntas, e 
justifique suas respostas. 
 
a) Encontre os autovalores de A. 
 
b) Quais desses vetores são autovetores de A? 



2
1u
 


3
2v
 


0
1z
 


1
2w
 
 
c) Encontre os autovalores e autovetores de B. 
 
d) B é uma matriz invertível? 
 
e) Encontre a matriz P que diagonaliza A. 
 
f) Sem calcular P
−1
, encontre D = P
−1
 A P. 
 
g) Se você conhecesse as matrizes P e D, mas não conhecesse a matriz A, 
como você poderia encontrar a matriz B? (não calcule B, apenas esboce a 
solução) 
 
 
 
 
 
9) Seja a matriz A = 



1093 020
002
. 
 
a) Encontre os autovalores de A. 
 
b) Encontre as bases dos auto-espaços de A. 
 
c) A matriz A é diagonalizável? Justifique. Se A for diagonalizável, 
escreva a matriz P que diagonaliza A, e a matriz diagonal D que seria 
obtida a partir da diagonalização de A. 
 
d) A matriz A é ortogonalmente diagonalizável? Justifique. Se A for 
ortogonalmente diagonalizável, escreva a matriz ortogonal P que 
diagonaliza A, e a matriz diagonal D que seria obtida a partir da 
diagonalização ortogonal de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Seja a matriz A = 


 
400
420
202
. 
 
a) Encontre os autovalores de A. 
 
b) Encontre as bases dos auto-espaços de A. 
 
c) A matriz A é diagonalizável? Justifique. Se A for diagonalizável, 
escreva a matriz P que diagonaliza A, e a matriz diagonal D que seria 
obtida a partir da diagonalização de A. 
 
d) A matriz A é ortogonalmente diagonalizável? Justifique. 
 
RESPOSTAS: 
 
a) 2, 2 e 4. 
 
b) p/ λ = 2 → { [1 0 0] , [0 1 0] } 
p/ λ = 4 → { [−1 −2 1] } 
 
c) Sim, pois A tem três autovetores linearmente independentes. 
 
P = 


 
100
210
101
 e D = 



400
020
002
 
 
d) Não, pois a matriz A não é simétrica. 
 
 
 
11) B é uma matriz 3×3 que tem os números 3 e 9 como autovalores. A 
base do auto-espaço associado ao autovalor 3 é R. A base do auto-espaço 
associado ao autovalor 9 é S. 










1
1
1
R
 













1
0
1
,
1
2
1
S
 
Responda: 
 
a) A matriz B é diagonalizável? Justifique. Se B for diagonalizável, 
escreva a matriz P que diagonaliza B, e a matriz diagonal D que seria 
obtida a partir da diagonalização de B. 
 
b) A matriz B é ortogonalmente diagonalizável? Justifique. Se B for 
ortogonalmente diagonalizável, escreva a matriz ortogonal P que 
diagonaliza B, e a matriz diagonal D que seria obtida a partir da 
diagonalização ortogonal de B. 
 
c) A matriz B é invertível? Justifique. 
 
d) A matriz B é simétrica? Justifique. 
 
 
 
 
12) B é uma matriz 3×3 que tem os números 2 e 4 como autovalores. A 
base do auto-espaço associado ao autovalor 2 é R. A base do auto-espaço 
associado ao autovalor 4 é S. 














2
2
0
,
2
1
1
R
 









 10
1
S
 
Responda: 
 
a) A matriz B é diagonalizável? Justifique. Se B for diagonalizável, 
escreva a matriz P que diagonaliza B, e a matriz diagonal D que seria 
obtida a partir da diagonalização de B. 
 
b) A matriz B é ortogonalmente diagonalizável? Justifique. Se B for 
ortogonalmente diagonalizável, escreva a matriz ortogonal P que 
diagonaliza B, e a matriz diagonal D que seria obtida a partir da 
diagonalização ortogonal de B. 
 
c) A matriz B é invertível? Justifique. 
 
d) A matriz B é simétrica? Justifique.