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Exercícios de Cálculo II
1 Equações diferenciais
ordinárias
1.1 Separáveis e homogé-
neas
1. Resolva as equações diferenciais abaixo.
(a)
dy
dx
= y
2x
;
Resp: y2 = Cx;
(b)
dy
dx
= 3y−1
x
;
(c)
dy
dx
= x
2
y2
.
Resp: x3 − y3 = C;
(d)
dy
dx
= x2y2;
(e)
dy
dx
= x
2
y3
.
Resp:
y4
4
= x
3
3
+ C
(f)
dy
dx
= x2y3;
(g)
dy
dx
= 2y.
Resp: y = Ce
x2
2
;
(h)
dy
dx
= ey sinx;
(i)
dy
dx
= 1− y2.
Resp: y = Ce
2x−1
Ce2x+1
(j)
dy
dx
= 1 + y2;
(k)
dy
dx
= 2 + ey.
Resp: y = − log(Ce−2x − 1
2
);
(l)
dy
dx
= y2(1− y);
(m)
dy
dx
= sinx cos2 y.
Resp: y = tan−1(C − cosx) + npi;
(n) x dy
dx
= y log x;
(o)
dy
dx
= x+y
x−y .
Resp: 2 tan−1( y
x
) = log(x2 + y2) +
C;
(p)
dy
dx
= xy
x2+2y2
;
(q)
dy
dx
= x
2+xy+y2
x2
.
Resp: tan−1( y
x
) = log |x|+ C;
(r)
dy
dx
= x
3+3xy2
3x2y+y3
;
(s) x dy
dx
= y + x cos2(x
y
).
Resp: y = x tan−1(log |Cx|);
(t)
dy
dx
= y
x
− e− yx .
2. Mostre que a curva x2 − y2 = c, para
qualquer valor de c, satifaz a equação
diferencial
dx
dy
= x
y
em todos os seus pon-
tos (note que a curva é uma curva de
nível).
3. Ache uma equação da curva do plano
xy que passa pelo ponto (2, 3) e tem,
em cada ponto (x, y), inclinação igual a
2x
1+y2
.
Resp: y3 + 3y − 3x2 = 24.
4. Repita o exercício anterior para o ponto
(1, 3) e inclinação 1 + 2y
x
.
5. Mostre que a mudança de variáveis ξ =
x−x0 e η = y−y0 transforma a equação
dy
dx
=
ax+ by + c
ex+ fy + g
1
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2
na equação homogénea
dη
dξ
=
aξ + bη
eξ + fη
sabendo que (x0, y0) é a solução do sis-
tema {
ax+ by + c = 0
ex+ fy + g = 0.
6. Use a técnica do exercício anterior para
resolver a equação
dy
dx
= x+2y−4
2x−y−3 .
1.2 Equações diferenciais
lineares de primeira ordem
7. Resolva as seguintes equações diferen-
ciais:
(a)
dy
dx
− 2y
x
= x2.
Resp: y = x3 + cx2;
(b)
dy
dx
+ 2y
x
= 1
x2
;
(c)
dy
dx
− 2y = 3.
Resp: y = 3
2
+ Ce−2x;
(d)
dy
dx
+ y = ex;
(e)
dy
dx
+ y = x.
Resp: y = x− 1 + Ce−x;
(f)
dy
dx
+ 2exy = ex.
8. Resolva os seguintes problemas de valor
inicial:
(a)
{
dy
dx
+ 10y = 1
y( 1
10
) = 2
10
Resp: y = 1+e
(1−10t)
10
;
(b)
{
dy
dx
+ 3x2y = x2
y(0) = 1
(c)
{
dy
dx
+ (cosx)y = 2xe− sinx
y(pi) = 0
Resp: y = (x2 − pi2)e− sinx;
(d)
{
x2 dy
dx
+ y = x2e
1
x
y(1) = 3e
(e)
{
dy
dt
− y = 2te2t
y(0) = 1
(f)
{
dy
dt
+ 2
t
y = cos t
t2
y(pi) = 0
(g)
{
tdy
dt
+ (1 + t)y = t
y(ln 2) = 1
9. Para quais valores de y0 a solução do
problema de valor inicial{
y′ − y = 1 + 3 sin t
y(0) = y0
é finita quando t→ +∞?
10. Encontre as coordenadas do menor
máximo local da solução do problema
inicial {
dy
dx
+ 1
2
y = 2 cos x
y(0) = 1
11. Descreve o comportamente asintótico
quando t → +∞ das soluções da
equação diferencial y′+ay = be−λt para
todos a > 0, λ > 0 e b ∈ R.
12. Resolve e descreve o comportamento as-
intótico quando t → ∞ da solução ao
problema inicial{
dy
dt
+ y
4
= 3 + 2 cos 2t
y(0) = 0.
Para qual t > 0 a solução vale pela
primeira vez 12?
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 3
1.3 Equações exatas. Fa-
tores integrantes
13. Mostre que as equações diferenciais
abaixo são exatas e resolva-as.
(a) (xy2 + y)dx+ (x2y + x)dy = 0;
Resp: 2xy + x2y2 = C;
(b) (ex sin y + 2x)dx + (ex cos y +
2y)dy = 0;
(c) exy(1 + xy)dx+ x2exydy = 0.
Resp: xexy = C;
(d) (2x+ 1− y2
x2
)dx+ 2y
x
dy = 0.
14. Mostre que as equações diferenciais
abaixo admitem fatores integrantes de-
pendentes somente de x e depois
resolva-as.
(a) (x2 + 2y)dx− xdy = 0.
Resp: log |x| − y
x2
= C;
(b) (xex+x log y+y)dx+(x
2
y
+x log x+
x sin y)dy = 0.
15. Que condições devem satisfazer os coe-
ficientes M(x, y) e N(x, y) se a equação
Mdx+Ndy = 0 tem um fator integrante
na forma µ(y), e que equação diferencial
este fator integrante deve satisfazer ?
16. Ache um fator integrante na forma µ(y)
para a equação
2y2(x+ y2)dx+ xy(x+ 6y2)dy = 0.
e depois resolva-a.
17. Ache um fator integrante na forma µ(y)
para a equação
ydx− (2x+ y3ey)dy = 0.
e depois resolva-a.
Resp: x− y2ey = Cy2.
2 Função de uma variá-
vel real a valores em R2 e
R3
2.1 Propriedades dos es-
paços R2 e R3
18. Determine a equação da reta que passa
pelo ponto (1, 2) e que é perpendicular
à direção do vetor ~n = (−1, 3). Resp:
−x+ 3y − 5 = 0.
19. Determine a equação, na forma vetorial,
da reta que passa pelo ponto (3,−1) e é
perpendicular à reta 2x−3y = 7. Resp:
(x, y) = (3,−1) + t(2,−3).
20. Determine a equação da reta que passa
pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à
direção do vetor ~v = (−1, 1). Resp:
(x, y) = (1, 2) + t(−1, 1).
21. Determine um vetor cuja direção seja
paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:
(−2, 3).
22. Determine a equação, na forma vetorial,
da reta que passa pelo ponto (1
2
, 1) e
é paralela à reta 3x + 2y = 2. Resp:
(x, y) = (1
2
, 1) + t(−2, 3).
23. Determine equações para as seguintes
retas:
(a) que passa pelos pontos (1, 1, 0) e
(0, 0, 1);
(b) que passa pelos pontos (2, 0, 0) e
(0, 1, 0);
(c) que passa pelos pontos (−1,−1, 0)
e (1, 8,−4);
(d) que passa pelo ponto (1, 1, 0) e tem
direção −~ı− ~+ ~k;
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 4
(e) que passa pelo ponto (0, 1, 2) e tem
direção ~ı+ ~+ ~k.
24. Em que ponto a última reta do exercício
anterior intersecta o plano xy?
25. Será que as retas dadas por R1 = (t, 3t−
1, 4t) e R2 = (3t, 5, 1 − t), t ∈ R, se
intersectam?
26. Determine o único valor de c ∈ R para
o qual as retas R1 = (t,−6t+ c, 2t− 8)
e R2 = (3t+ 1, 2t, 0) se intersectam.
27. Determine a equação do plano que passa
pelo ponto dado e que seja perpendicu-
lar à direção do vetor ~n dado.
(a) (1, 1, 1), ~n = (2, 1, 3); Resp: 2x +
y + 3z = 6;
(b) (2, 1,−1), ~n = (−2, 1, 2); Resp:
2x− y − 2z = 5.
28. Determine um vetor não nulo que seja
ortogonal aos vetores ~u e ~v dados.
(a) ~u = (1, 2,−1), ~v = (2, 1, 2). Resp:
(5,−4,−3);
(b) ~u = (3, 2,−1), ~v = (−1, 2, 1).
Resp: (4,−2, 8).
29. Determine a equação vetorial da reta
que passa pelo ponto dado e que seja
perpendicular ao plano dado.
(a) (0, 1,−1), x + 2y − z = 3; Resp:
(x, y, z) = (0, 1,−1) + t(1, 2,−1);
(b) (2, 1,−1), 2x + y + 3z = 1; Resp:
(x, y, z) = (2, 1,−1) + t(2, 1, 3);
30. Determine a equação vetorial da reta
que passa pelo ponto (1, 2,−1) e que
seja perpendicular à direção dos vetores
~u = (1, 1, 1) e ~v = (1,−2, 1). Resp:
(x, y, z) = (1, 2,−1) + t(3, 0,−3);
31. Determine a equação do plano que passa
pelo ponto dado e que seja paralelo aos
vetores ~u e ~v dados.
(a) (1, 2, 1), ~u = (−1, 1, 2), ~v =
(2, 1,−1). Resp: x− y + z = 0;
(b) (0, 1, 2), ~u = (2,−1, 3), ~v =
(1, 1, 1). Resp: −4x+ y + 3z = 7.
32. Calcule o ângulo entre os vetores 3~ı+4~
e 3~+ 4~k.
33. Calcule a norma do vetor dado.
(a) ~u = (1, 2). Resp:
√
5;
(b) ~u = (2, 1, 3). Resp:
√
14;
(c) ~u = (0, 1, 2). Resp:
√
5;
(d) ~u = (1
2
, 1
3
). Resp:
√
13
6
.
34. Sejam ~u e ~v vetores em R3. Prove:
~u ⊥ ~v ⇔ ||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.
35. Apresente um vetor unitário no plano
xy que seja ortogonal a 2~ı− ~.
36. Determine o ângulo entre a diagonal
dum cubo e uma das arestas que a in-
tersecta.
37. Determine a distância do ponto
(2, 8,−1) à reta que passa por (1, 1, 1)
e tem direção
1√
13
(~ı+ ~+ ~k).
38. Determine a distância do ponto
(1, 1,−1) à reta que passa por
(2,−1, 2)
na direção de
~k.
39. Calcule a distância de (1, 1, 2) à reta
x = 3t+ 2, y = −t− 1, z = t− 1.
40. Calcule a distância do ponto (1, 1, 0) à
reta que passa por (1, 0,−1) e (2, 3, 1).
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 5
41. Determine uma equação para cada um
dos seguintes planos:
(a) que passa pela origem e é ortogonal
a ~ı+ ~+ ~k;
(b) que passa por (1, 0, 0) e é ortogonal
a ~ı+ ~+ ~k;
(c) que passa pela origem e é ortogonal
a ~ı;
(d) que contém o ponto (a, b, c) e tem
a~ı+ b~+ c~k como vetor normal;
(e) que passa pelos pontos (1, 0, 0),
(0, 2, 0) e (0, 0, 3).
42. Determine um vetor unitário normal aos
seguintes planos:
(a) dado por 2x+ 3y + z = 0;
(b) dado por 8x− y − 2z + 10 = 0;
(c) que contém a origem e passa pelos
pontos (1, 1, 1) e (1, 1,−1);
(d) que contém a reta (1 + t, 1− t, t) e
o ponto (1, 1, 1).
43. Os planos 3x+4y+5z = 6 e x−y+z =
4 intersectam-se numa reta. Determine
uma equação dessa reta.
44. Determine a reta em que os planos x+
y = z e y + z = x se intersectam, in-
dicando um ponto da reta e um vetor-
direção dela.
45. Calcule a distância entre o ponto
(1, 1, 1) e o plano x− y − z + 10 = 0.
46. Determine a distância entre o ponto
(2,−1, 2) ao plano 2x− y + z = 5.
47. Determine a distância da origem
ao plano que passa pelos pontos
(1, 2, 3), (−1, 2, 3) e (0, 0, 1).
48. Calcule a distância do ponto (4, 2, 0) ao
plano que passa por (0, 0, 0), (1, 1, 1) e
(1, 1, 2).
2.2 Função de uma variável
real a valores em R2
49. Seja F a função dada por F (t) = (t, 2t).
Calcule F (0) e F (1) e desenhe a imagem
de F .
50. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (t, t2).
51. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2pi].
52. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (2 cos t, sin t), t ∈ [0, 2pi].
53. Desenhe a imagem de:
(a) F (t) = (1, t);
(b) F (t) = (t, t+ 1);
(c) F (t) = (2t− 1, t+ 2);
(d) F (t) = (t, t3);
(e) F (t) = (t2, t);
(f) F (t) = (t2, t4);
(g) F (t) = (cos t, 2 sin t);
(h) F (t) = (sin t, sin t).
2.3 Função de uma variável
real a valores em R3
54. Desenhe a imagem de:
(a) F (t) = (t, t, t);
(b) F (t) = (cos t, sin t, 1);
(c) F (t) = (cos t, sin t, bt), b > 0 e t ≥
0;
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 6
(d) F (t) = (1, t, 1);
(e) F (t) = (1, 1, t);
(f) F (t) = (t, t, 1);
(g) F (t) = (1, 0, t);
(h) F (t) = (t, t, 1 + sin t);
(i) F (t) = (t, cos t, sin t).
55. Seja F dada por F (t) =
(log t, t,
√
1− t2, t2). Determine o
domínio de F . Resp: 0 < t ≤ 1
56. Determine o domínio de
F (t) = (t,
√
t− 2
t+ 1
, log(5− t2), e−t).
Resp: −√5 < t < −1 ou 2 ≤ t < √5
2.4 Operações com funções
de uma variável real a valores
em R3
57. Sejam
~F (t) = (t, sin t, 2) e ~G(t) =
(3, t, t2). Calcule:
(a)
~F (t) · ~G(t). Resp: 3t+ t sin t+ 2t2;
(b) e−t ~F (t). Resp:
(e−t, e−t sin t, 2e−t);
(c)
~F (t)− 2~G(t). Resp: (t− 6, sin t−
2t, 2− 2t2);
(d)
~F (t)∧ ~G(t). Resp: (t2 sin t−2t, 6−
t3, t2 − 3 sin t).
58. Calcule ~r(t)∧~x(t), onde ~r(t) = t~i+2~j+
t2~k e ~x(t) = t~i−~j+~k. Resp: (2 + t2)~i+
(t3 − t)~j − 3t~k.
59. Calcule ~u(t) · ~v(t), onde ~u(t) = sin t~i +
cos t~j + t~k e ~v(t) = sin t~i + cos t~j + ~k.
Resp: 1 + t.
60. Sejam
~F , ~G, ~H três funções definidas em
A ∈ R e a valores em R3. Verifique que:
(a)
~F ∧ ~G = −~G ∧ ~F ;
(b)
~F · (~G+ ~H) = ~F · ~G+ ~F · ~H;
(c)
~F ∧ (~G+ ~H) = ~F ∧ ~G+ ~F ∧ ~H;
2.5 Limite de uma função
de uma variável real a valores
em R3
61. Calcule:
(a) limt→1 ~F (t), onde ~F (t) =
(
√
t−1
t−1 , t
2, t−1
t
). Resp: (1
2
, 1, 0);
(b) limt→0 ~F (t), onde ~F (t) =
( tan 3t
t
, e
2t−1
t
, t3). Resp: (3, 2, 0).
2.6 Derivada de uma função
de uma variável real a valores
em R3
62. Calcule
d~F
dt
e
d2 ~F
dt2
(a)
~F (t) = (3t2, e−t, log(t2 +1)). Resp:
(6t,−e−t, 2t
1+t2
) e (6, e−t, 2−2t
2
(1+t2)2
);
(b)
~F (t) = (
√
3t2, cos t2, 3t).
Resp: ( 2
3
√
3t
,−2t sin t2, 3) e
( −2
9t
√
3t
,−(2 sin t2 + 4t2 cos t2), 0;
(c)
~F (t) = (sin 5t, cos 4t,−e−2t).
Resp: (5 cos 5t,−4 sin 4t, 2e−2t) e
(−25 sin 5t,−16 cos 4t,−4e−2t).
63. Determine a equação da reta tangente
à trajetória da função dada, no ponto
dado.
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 7
(a)
~F (t) = (cos t, sin t, t) e ~F (pi
3
).
Resp: (x, y, z) = (1
2
,
√
3
2
, pi
3
) +
t(−
√
3
2
, 1
2
, 1), t ∈ R;
(b)
~F (t) = (t2, t) e ~F (1). Resp:
(x, y) = (1, 1) + t(2, 1), t ∈ R;
(c)
~F (t) = (1
t
, 1
t
, t2) e ~F (2).
Resp: (x, y, z) = (1
2
, 1
2
, 4) +
t(−1
4
,−1
4
, 4), t ∈ R;
(d)
~F (t) = (t, t2, t, t2) e ~F (1).
Resp: (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) +
t(1, 2, 1, 2), t ∈ R.
64. Seja
~F : I → R3, I intervalo, derivável
até a segunda ordem em I. Suponha
que existe um real λ tal que, para todo
o t ∈ I, d2 ~F
dt2
(t) = λ~F (t). Prove que
~F (t) ∧ d~F
dt
(t) é constante em I.
65. Suponha que
~F : R→ R3 seja derivável
até a segunda ordem e que, para todo o
t ≥ 0, ||~F (t)|| = √t.
(a) Prove que
d~F
dt
(t) · d~F
dt
(t) = −~F ·
d2 ~F
dt2
(t) em [0,+∞];
(b) Seja θ o ângulo entre ~F e d
2 ~F
dt2
(t).
Conclua que
pi
2
≤ θ ≤ pi.
66. Suponha ||~v(t)|| 6= 0 para todo o t. Faça
~T (t) = ~v(t)||~v(t)|| . Prove que
~T e d
~T
dt
(t) são
ortogonais.
67. Seja ~r(t) = (a coswt, b sinwt), onde
a, b, w são constantes não nulas. Mostre
que
d2~r
dt2
(t) = −w2~r.
2.7 Integral de uma função
de uma variável real a valores
em R3
68. Mostre que:
(a)
∫ 1
0
(t, et)dt = (1
2
, (e− 1));
(b)
∫ 1
−1(sin 3t,
1
1+t2
, 1)dt = (0, pi
2
, 2);
(c)
∫ 2
1
(3, 2, 1)dt = (3, 2, 1).
69. Sejam
~T (t) = (t, 1, et) e ~G(t) = (1, 1, 1).
Mostre que:
(a)
∫ 1
0
(~T (t)∧ ~G(t)) = (2−e, e− 3
2
,−1
2
);
(b)
∫ 1
0
(~T (t) · ~G(t)) = 1
2
+ e.
70. Seja
~F (t) uma força, dependente do
tempo t, que actua sobre uma partícula
entre os instantes t1 e t2. Supondo ~F (t)
integrável em [t1, t2], o vetor
~I =
∫ t2
t1
~F (t)dt
denomina-se impulso de
~F no intervalo
de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de
~F no intervalo de tempo dado.
(a)
~F (t) = (t, 1, t2); t1 = 0, t2 = 2.
Resp: (2, 2, 8
3
)
(b)
~F (t) = ( 1
t+1
, t2, 1); t1 = 0, t2 = 1.
Resp: (2, 1
3
, 1).
71. Suponha que
~F (t) é a força resultante
que actua, no instante t, sobre uma
partícula de massa m que se move no
espaço. Mostre que o impulso de
~F no
intervalo de tempo [t1, t2] é igual à vari-
ação da quantidade de movimrento, isto
é, ∫ t2
t1
~F (t)dt = m~v2 −m~v1,
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 8
onde ~v2 e ~v1 são, respectivamente, as ve-
locidades nos instantes t2 e t1. (Sug-
estão: pela Lei de Newton
~F (t) = m~a.)
3 Funções de várias
variáveis a valores reais
72. Represente graficamente o domínio da
função f dada por
f(x, y) =
√
y − x+
√
1− y.
73. Represente graficamente o domínio da
função w = f(u, v) dada por
u2 + v2 + w2 = 1, w ≥ 0.
74. Represente graficamente o domínio da
função z = f(x, y) dada por
z =
√
y − x2.
75. Diga qual o domínio das seguintes
funções:
(a) f(x, y) = y/x;
(b) f(x, y) = x+y
x−y ;
(c) f(x, y) = x+y
x2+y2−1 ;
(d) f(x, y) = 2xy
x2+y2
;
(e) f(x, y, z) = 2x+y−z
x2+y2+z2−1 ;
(f) f(x, y, z) = z
x2−4y2−1 ;
(g) f(x, y) = x
2+y2
x2−y2 ;
(h) f(x, y) = 2x−sin(y)
1+cos(x)
;
(i) f(x, y) = e
x−ey
1+sin(x)
;
(j) f(x, y) = sin(xy)√
x2+y2−1
.
76. Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Mostre que:
(a) f(1,−1) = 1;
(b) f(a, x) = 3a+ 2x;
(c)
f(x+h,y)−f(x,y)
h
= 3;
(d)
f(x,y+k)−f(x,y)
k
= 2;
77. Seja f(x,
y) = x−y
x+2y
.
(a) Determine o domínio. Resp:
{(x, y) ∈ R2 : x 6= −2y};
(b) Calcule f(2u+ v, v − u). Resp: u
v
.
78. Represente graficamente o domínio da
função z = f(x, y) dada por:
(a) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0.
(b) f(x, y) = x−y√
1−x2−y2
.
(c) z =
√
y − x2 +√2x− y.
(d) z = log(2x2 + y2 − 1).
(e) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0.
(f) z =
√|x| − |y|.
79. Seja f : R2 → R uma função linear.
Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3,
calcule f(x, y). Resp: f(x, y) = 2x+3y.
80. Verifique se a função é homogénea. Em
caso afirmativo, determine o grau de ho-
mogeneidade.
(a) f(x, y) = x
3+2xy2
x3−y3 . Resp: ho-
mogénea de grau 0;
(b) f(x, y) =
√
x4 + y4. Resp: ho-
mogénea de grau 2;
(c) f(x, y) = 5x3y+x4 + 3. Resp: não
é homogénea;
(d) f(x, y) = 2
x2+y2
. Resp: homogénea
de grau -2.
81. Suponha f : R2 → R homogénea de
grau 2 e f(a, b) = a para todos os pares
(a, b), com a2 + b2 = 1. Mostre que:
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 9
(a) f(4
√
3, 4) = 32
√
3;
(b) f(0, 3) = 0;
(c) f(x, y), (x, y) 6= (0, 0).
82. Suponha f : R2 → R homogénea e
suponha que f(a, b) = 0 para todo o
(a, b) com a2 + b2 = 1. Mostre que
f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
83. Seja g : [0, 2pi[→ R uma função dada.
Prove que existe uma única função f :
R2 → R, homogénea de grau λ 6=
0, tal que, para todo o α ∈ [0, 2pi[,
f(cosα, sinα) = g(α). (NOTA: este
exercício nos diz que uma função ho-
mogénea fica completamente determi-
nada quando se conhecem os valores que
ela assume nos pontos de uma circunfe-
rência de centro na origem).
3.1 Gráfico e curvas de nível
84. Faça um esboço das curvas de nível das
funções seguintes com o valor indicado.
(a) f(x, y) = 1 − x − y com valor 1 e
valor −1;
(b) f(x, y) = 2xy
x2+y2
com valores −1, 0
e 1. Descreva em geral as curvas
de nível desta função. (Sugestão:
use coordenadas polares.)
(c) f(x, y) = x+y
x−y com valores 1 e 0.
Descreva as curvas de nível desta
função em geral.
(d) f(x, y) = x
2+y2
x2−y2 com valores −1, 0
e 1. Descreva também as curvas
de nível para qualquer valor α ∈
R. (Sugestão: use coordenadas po-
lares.)
85. Esboce as curvas de nível da função
f(x, y) = 3−1/(x
2+y2)
com valores 1/e,
1, 0 e 4.
(a) Como são as curvas de nível para
α ∈ R? (Sugestão: coordenadas
polares!)
(b) Como é a secção do gráfico pelo
plano y = 0, i.e, a intersecção
do gráfico de f com o plano xz?
Faria diferença se tomasse outro
plano vertical que passasse pela
origem? (Sugestão: novamente co-
ordenadas polares...)
(c) Esboce o gráfico de f .
86. Seja f a função dada por z = 1
x2+y2
.
(a) Determine o domínio e a imagem;
(b) Desenhe as curvas de nível;
(c) Esboce o gráfico.
87. Seja f a função dada por z = y
x−1 .
(a) Determine o domínio e a imagem;
(b) Desenhe as curvas de nível.
88. Seja f(x, y) = 2xy
2
x2+y4
, (x, y) 6= (0, 0).
(a) Determine o domínio e a imagem;
(b) Desenhe as curvas de nível.
89. Desenhe as curvas de nível e esboce o
gráfico:
(a) f(x, y) = 1− x2 − y2;
(b) f(x, y) = x+ 3y;
(c) z = 4x2 + y2;
(d) f(x, y) = 1 + x2 + y2;
(e) z = x+ y + 1;
(f) f(x, y) =
√
1− x2 − y2;
90. Desenhe as curvas de nível e determine
a imagem.
(a) f(x, y) = x − 2y. Resp: Im(f) =
R;
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 10
(b) f(x, y) = y
x−2 . Resp: Im(f) = R;
(c) z = x−y
x+y
. Resp: Im(f) = R;
(d) f(x, y) = x
y−1 . Resp: Im(f) = R;
(e) z = xy. Resp: Im(f) = R;
(f) f(x, y) = x2 − y2. Resp: Im(f) =
R;
(g) z = 4x2 + y2. Resp: Im(f) =
[0,+∞[;
(h) z = 3x2−4xy+y2. Resp: Im(f) =
R;
91. Seja f(x, y) = x
2
x2+y2
. Desenhe a imagem
da curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), onde
xR cos t, y = R sin t e z = f(x(t), y(t)),
R > 0. Como é o gráfico de f?
92. Suponha T (x, y) = 2x + y(oC) repre-
sente uma distribuição de temperatura
no plano xy.
(a) Desenhe as isotermas corre-
spondentes às temperaturas:
0oC, 3oC,−1oC.
93. Esboce as seguintes superfícies no es-
paço tridimensional.
(a) z = x2 + 2;
(b) z = |y|;
(c) z2 + x2 = 4;
(d) x2 + y = 2;
(e) x = −8z2 + x;
(f) z =
√
x2 + y2;
(g) z = max{|x|, |y|};
(h) z = sin(x);
(i) y = 1− x2 − z2.
94. Escreva uma expressão em coordenadas
cilíndricas e em coordenas esféricas para
a superfície dada por z = x2 − y2 em
coordenadas cartesianas.
95. Escreva uma expressão em coordenadas
esféricas para a superfície dada por
xz = 1 em coordenadas cartesianas.
96. Dê uma expressão para z = x2 + y2 em
coordenadas esféricas.
97. Descreva a superfície dada em coorde-
nadas esféricas por ρ = φ.
3.2 Derivadas parciais
98. Determine as derivadas parciais:
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4.
Resp:
∂f
∂x
= 20x3y2 + y3
∂f
∂y
= 10x4y + 3xy2;
(b) z = cosxy.
Resp:
∂z
∂x
= −y sinxy
∂z
∂y
= −x sinxy;
(c) z = x
3+y2
x2+y2
.
Resp:
∂z
∂x
= x
4+3x2y2−2xy2
(x2+y2)2
∂z
∂y
= 2x
2y(1−x)
(x2+y2)2
;
(d) f(x, y) = e−x
2−y2
.
Resp:
∂f
∂x
= −2xe−x2−y2
∂f
∂y
= −2ye−x−y2 ;
(e) z = x2 log(1 + x2 + y2).
(f) z = xyexy.
Resp:
∂z
∂x
= yexy(1 + xy)
∂z
∂y
= xexy(1 + xy);
(g) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y.
Resp:
∂f
∂x
= 12y(4xy−3y3)2 +10xy
∂f
∂y
= 3(4xy−3y3)2(4x−9y2)+5x2;
(h) z = arctan x
y
;
Resp:
∂z
∂x
= y
x2+y2
∂z
∂y
= −x
x2+y2
;
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 11
(i) f(x, y) = xy.
Resp:
∂f
∂x
= yxy−1
∂f
∂y
= xy log x;
(j) z = (x2 + y2) log(x2 + y2).
Resp:
∂z
∂x
= 2x[1 + log(x2 + y2)]
∂z
∂y
= 2y[1 + log(x2 + y2)];
(k) f(x, y) =
√
3x3 + y2 + 3.
∂f
∂x
= x
2√
3(x3+y2+3)2
∂f
∂y
= 2y
3
√
3(x3+y2+3)2
.
99. Considere a função z = xy
2
x2+y2
. Verifique
que x ∂z
∂x
+ y ∂z
∂y
= z.
100. Seja φ : R → R uma função de uma
variável real, diferenciável e tal que
φ′(1) = 4. Seja z(x, y) = φ(x
y
). Cal-
cule
∂z
∂x
(1, 1) e ∂z
∂y
(1, 1).
Resp: 4 e −4.
101. Seja z(x, y) a função do exercício ante-
rior. Verifique que:
x
∂z
∂x
(x, y) + y
∂z
∂y
(x.y) = 0
para todo o (x, y) ∈ R2, com y 6= 0.
102. Novamente, seja φ : R→ R uma função
de uma variável real, diferenciável, e de-
fina z = φ(x− y)/y. Verifique que
z + y
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0,
para todo o x ∈ R e todo o y 6= 0.
103. Considere a função dada por z =
x sin x
y
. Verifique que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
104. A função p = p(V, T ) é dada implicita-
mente pela equação pV = nRT , onde n
e R são constantes não nulas. Calcule
∂p
∂V
e
∂p
∂T
.
Resp:
∂p
∂V
= −nRT
V 2
e
∂p
∂T
= nR
V
.
105. Seja z = eyφ(x − y), onde φ é uma
função diferenciável de uma variável
real. Mostre que
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= z.
106. Seja φ : R → R uma função difer-
enciável de uma variável real e seja
f(x, y) = (x2 + y2)φ(x
y
). Mostre que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 2f.
107. Sejam z = ex
2+y2 , x = ρ cos θ e y =
ρ sin θ. Verifique que:
∂z
∂ρ
= ex
2+y2(2x cos θ + 2y sin θ).
Conclua que:
∂z
∂ρ
=
∂z
∂x
cos θ +
∂z
∂y
sin θ.
108. Suponha que a função z = z(x, y) ad-
mita derivadas parciais em todos os
pontos do seu domínio e que seja dada
implicitamente pela equação xyz+z3 =
x. Expresse ∂z
∂x
e
∂z
∂y
em termos de x, y
e z.
Resp:
∂z
∂x
= 1−yz
xy+3z2
e
∂z
∂y
= −xz
xy+3z2
.
109. Seja z = f(x+at), onde f é uma função
diferenciável de uma variável real e a
uma constante. Verifique que
∂z
∂t
= a
∂z
∂x
.
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 12
110. Seja z = f(x2 − y2), onde f(u) é
uma função diferenciável de uma var-
iável real. Verifique que
y
∂z
∂x
+ x
∂z
∂y
= 0.
111. Considere a função dada por w = xy +
z4, onde z = z(x, y). Admita
que
∂z
∂x
(x = 1, y = 1) = 4 e que z = 1 para
x = 1 e y = 1. Calcule ∂w
∂x
(x = 1, y =
1).
Resp: 17.
112. Seja f(x, y) = e−
x
2φ(2y − x), onde φ é
uma função diferenciável de uma variá-
vel real. Mostre que:
2
∂f
∂x
+
∂f
∂y
= −f.
113. Seja f(x, y) =
∫ x2+y2
0
e−t
2
dt. Calcule
∂f
∂x
(x, y) e ∂f
∂y
(x, y).
Resp:
∂f
∂x
(x, y) = 2xe−(x
2+y2)2
e
∂f
∂y
(x, y) = 2ye−(x
2+y2)2
.
114. Seja f(x, y) =
∫ y2
x2
e−t
2
dt. Calcule
∂f
∂x
(x, y) e ∂f
∂y
(x, y).
Resp:
∂f
∂x
(x, y) = −2xe−x4 e ∂f
∂y
(x, y) =
2ye−y
4
.
115. Calcule as derivadas parciais.
(a) f(x, y, z) = xyz.
(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
(c) f(x, y, z) = xex−y−z.
(d) w = x2 arcsin y
2
.
(e) w = xyz
x+y+z
.
(f) f(x, y, z) = cos(xy3) + e3xyz.
(g) f(x, y, z) = sin(x2 + y2 + z2).
(h) f(x, y, z) = xyz.
(i) s = f(x, y, z, w) dada por s =
xw log(x2 + y2 + z2 + w2).
116. Seja f(x, y) = 3x2 +2 sin(x/y2)+y3(1−
ex). Calcule fx(2, 3), fx(0, 1), fy(1, 1) e
fy(−1,−1).
117. Calcule
(a)
∂
∂s
estu
2
;
(b)
∂
∂r
(
1
3
pir2h
)
;
(c)
∂
∂λ
(
cos(λµ)
1+λ2+µ2
)
;
(d)
∂
∂a
(bcd).
118. Calcule lim∆y→0
3+(x+y+∆y)2z−(3+(x+y)2z)
∆y
.
119. Seja f(x, y, z) = x
x2+y2+z2
. Verifique que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
+ z
∂f
∂z
= −f.
120. Seja s = f(x, y, z, w) dada por s =
e
x
y
− z
w
. Verifique que
x
∂s
∂x
+ y
∂s
∂y
+ z
∂s
∂z
+ w
∂s
∂w
= 0.
121. Seja f : R→ R contínua com f(3) = 4.
Seja
g(x, y, z) =
∫ x+y2+z4
0
f(t)dt.
Calcule
∂g
∂x
(1, 1, 1), ∂g
∂y
(1, 1, 1) e
∂g
∂z
(1, 1, 1).
3.3 Derivadas de ordem su-
perior
122. Ache todas as derivadas parciais segun-
das das seguintes funções:
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 13
(a) z = 3x2 + 2y2;
(b) z = sin(x2 − 3xy);
(c) z = (2x
2+7x2y)
3xy
;
(d) z = x2y2e2xy.
123. Seja f(x, y, z) = x2y + xy2 + yz2. Ache
fxy, fyz, fzx, fxyz.
124. Calcule todas as derivadas segundas da
função u = u(x, y) e verifique direta-
mente a igualdade das derivadas parci-
ais mistas.
(a) u = 2xy
(x2+y2)2
;
(b) u = cos(xy2);
(c) u = e−xy
2
+ y3x4;
(d) u = 1
cos2 x+e−y .
125. Uma função z = f(x, y) com derivadas
parciais segundas contínuas e que satis-
faz a equação de Laplace
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
= 0
é chamada de função harmónica.
Mostre que as funções z(x, y) = x3 −
3xy2 e z = f(x, y) = log(x2 + y2) são
harmónicas.
126. Quais das seguintes funções satisfazem
a equação de Laplace ?
(a) f(x, y) = x2 − y2;
(b) f(x, y) = x2 + y2;
(c) f(x, y) = xy;
(d) f(x, y) = y3 − 3xy2;
(e) f(x, y) = ex sin y.
127. Sejam f e g funções diferenciáveis de
uma variável. Seja z = f(x− t) + g(x−
t). Prove que z satisfaz a equação de
onda
∂2z
∂t2
= ∂
2z
∂x2
.
128. Dada w = f(x, y) com x = u + v e y =
u− v, mostre que
∂2w
∂u∂v
=
∂2w
∂x2
− ∂
2w
∂y2
.
129. Seja z = x4y3−x8 + y4. Calcule ∂3z
∂y∂x∂x
,
∂3z
∂x∂x∂y
,
∂3z
∂x∂y∂y
e
∂3z
∂y∂y∂x
.
130. Verifique que a função f(x, y, z) =
1√
x2+y2+z2
satisfaz
fxx + fyy + fzz = 0.
3.4 Funções diferenciáveis
131. Verifique que a função dada é diferen-
ciável.
(a) f(x, y) = ex−y
2
;
(b) f(x, y) = x4 + y3;
(c) f(x, y) = x2y;
(d) f(x, y) = log(1 + x2 + y2);
(e) f(x, y) = x cos(x2 + y2).
3.5 A Diferencial
132. Calcule a diferencial.
(a) z = x3y2;
(b) z = sinxy;
(c) u = es
2−r2
;
(d) T = log(1 + p2 + v2).
133. Seja z =
√
x+
√
3y.
(a) Calcule a diferencial de z no ponto
(1, 8).
Resp: dz = 1
2
dx+ 1
12
dy;
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 14
(b) Calcule um valor aproximado para
z correspondente a x = 1, 01 e y =
7.9.
Resp: 2.9966;
(c) Calcule um valor aproximado para
a variação ∆z em z, quando se
passa de x = 1, y = 8 para x =
0.9, y = 8.01.
Resp: ∆z ≈ −0.049166.
134. Calcule um valor aproximado para a
variação ∆A na área de um rectângulo
quando os lados variam de x = 2m e
y = 3m para x = 2, 01 e y = 2.97m.
Resp: ∆A ≈ −0.03.
135. Uma caixa de forma cilíndrica é feita
com um material de espessura 0.03m.
As medidas internas são: altura 2m e
raio da base 1m. A caixa é sem tampa.
Calcule um valor aproximado para o
volume do material utilizado na caixa.
Resp: ∆V ≈ 0.15pi.
136. A altura de um cone é h = 20cm e o
raio da base r = 12cm. Calcule um
valor aproximado para o volume ∆V no
volume quando h aumenta 2mm e r de-
cresce 1mm.
137. Calcule aproximadamente
(a) (1, 01)2,03. (Resp: 1,02.)
(b)
√
(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 9)2.
(Resp: 4,93.)
(c) (1, 01)2(1−√1, 98).
(d) (0.99)3 + (2, 01)3 − 6(0, 99)(2, 01).
(e) tan
(
pi+0,01
3,97
)
.
(f)
√
(4, 01)2 + (3, 98)2 + (2, 02)2.
(g) (0, 98) sin
(
0,99
1,03
)
.
(h)
1,01
0,97
.
(i) (0, 98)(0, 99)(1, 03).
(j) (1, 01)0,97.
3.6 Regra da cadeia e tan-
gentes a curvas nos gráficos
138. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule fy(1, 1),
descreva a curva obtida por intersecção
do gráfico de f com o plano x = 1 e de-
termine um vetor tangente a esta curva
no ponto (1, 1, f(1, 1)).
139. Repita o exercício anterior para
f(x, y) = exy.
140. Mostre que aplicando a Regra da
Cadeia a f(x, y) = x
y
, supondo que
x = x(t) e y = y(t), se obtém a regra
da derivada do quociente para funções
de uma variável.
141. Suponha que um pato está a nadar
numa piscina segundo um movimento
rectilíneo dado por x = 3 + 8t, y =
3−2t, enquanto a temperatura da água
é dada pela fórmula T = x2 cos y −
y2 sinx. Ache dT
dt
aplicando a regra da
cadeia e expressando T em termos de t
e diferenciando.
142. Suponha que o movimento de um pato
numa piscina é dado pela curva x =
(3 + t)2, y = 2 − t2, enquanto a tem-
peratura da água é dada pela fórmula
T = ex(y2 + x2). Ache dT
dt
aplicando
a regra da cadeia e expressando T em
termos de t e diferenciando.
143. Calcule
df
dt
nos seguintes casos.
(a) f(x, y) = (x2 + y2) log(
√
x2 + y2)
com (x, y) = (et, e−t);
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 15
(b) f(x, y) = xex
2+y2
com (x, y) =
(t,−t);
(c) f(x, y, z) = x + y2 + z3 com
(x, y, z) = (cos t, sin t, t);
(d) f(x, y, z) = (y2 − x2)ex−z com
(x, y, z) = (t, et, t2);
(e) f(x, y, z) = x
y
+ y
z
+ z
x
com
(x, y, z) = (et, et
2
, et
3
);
(f) f(x, y, z) = sin(xy) com (x, y) =
(t2 + t, t3).
144. Seja z =
√
x2 + y2 +2xy2, em que x e y
são funções de u. Ache uma expressão
para
dz
du
.
145. Se u = sin(a + cos b), em que a e b são
funções de t, calcule du
dt
.
146. Suponha que a temperatura no ponto
(x, y, z) do espaço é T (x, y, z) = x2 +
y2 + z2. Suponha ainda que uma
partícula descreve uma hélice circular
σ(t) = cos(t)~ı + sin(t)~ + t~k e seja T (t)
a sua temperatura no tempo t. Qual
é o valor de T ′(t), para t ∈ R? Cal-
cule um valor aproximado para a tem-
peratura em t = pi
2
+ 0, 01.
147. (a) Mediante a função f(x, y) = yx,
use a Regra da Cadeia para deter-
minar
d
dx
(xx).
(b) Calcule
d
dx
(xx) via as regras de
derivação usuais.
(c) Qual dos métodos prefere?
3.7 Diferenciação implícita
148. Suponha que y é definida implicita-
mente em função de x. Ache dy
dx
.
(a) x2 + 2y2 = 3;
(b) x2 − y2 = 7;
(c)
x
y
= 10;
(d) y − sinx3 + x2 − y2 = 1;
(e) x3 − sin y + y4 = 4;
(f) ex+y
2
+ y3 = 0.
149. Suponha que y é definida implicita-
mente em função de x. Ache dy
dx
no
ponto indicado.
(a) 3x2 + y2 − ex = 0 em (0, 1);
(b) x2 + y4 = 1 em (1, 1);
(c) cos(x+ y) = x+ 1
2
em (0, pi
3
);
(d) cos(xy) = 1
2
em (1, pi
3
).
150. Derive uma fórmula para
dx
dy
quando x
e y estão relacionados por F (x, y) = 0
e use-a para achar
dx
dy
nos dois
últimos
exercícios.
151. Seja y uma função de x satisfazendo
F (x, y, x+y) = 0, onde F (x, y, z) é uma
função dada. Ache uma fórmula para
dy
dx
.
3.8 Matrizes derivadas
152. Calcule as matrizes derivadas
∂(x,y)
∂(t,s)
e
∂(u,v)
∂(x,y)
se x = t+ s, y = t− s, u = x2 + y2
e v = x2 − y2. Em seguida, determine
∂(u,v)
∂(t,s)
.
153. Determine
∂(u,v)
∂(t,s)
nos seguintes casos:
(a) x = t2 − s2, y = ts, u = sin(x +
y), v = cos(x− y);
(b) x = ts, y = ts, u = x, v = −y;
(c) x = t2+s2, y = t2−s2, z = 2ts, u =
xv, v = xz.
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 16
154. Seja u = f(x, y, z) em coordenadas
cartesianas. Se x = r cos θ sinφ, y =
r sin θ cosφ , z = r cosφ, exprima ∂u
∂r
,
∂u
∂θ
,
∂u
∂φ
em termos de
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
.
155. Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
para as seguintes
funções:
(a) z = u2 + y2, u = 2x + 7, v = 3x +
y + 7;
(b) z = u2 + 3uv − v2, u = sin x, v =
− cosx+ cos y;
(c) z = sinu cos v, u = 3x2 − 2y, v =
x− 3y;
(d) z = u
v2
, u = x+ y, v = xy.
3.9 Gradientes
e Derivadas Direcionais
156. Calcule
~∇f(x, y) sendo f(x, y) =
(a) x2y.
Resp: (2xy, x2);
(b) log
√
x2 + y2;
(c) xex
2+y2
.
(d) ex
2−y2
.
Resp: ex
2−y2(2x, 2y);
(e) (x2 + y2) log
√
x2 + y2;
(f)
x
y
.
Resp: ( 1
y
,− x
y2
).
(g) xexy
3+3
.
157. Defina gradiente de uma função de três
variáveis. Calcule
~∇f(x, y, z) sendo
f(x, y, z) =
(a)
√
x2 + y2 + z2.
Resp:
1√
x2+y2+z2
(x, y, z);
(b) xy2 + yz2 + zx2.
(c) x2 + y2 + z2.
Resp: (2x, 2y, 2z);
(d) xy + yz + xz.
(e) (x2 + y2 + 1)z
2
.
Resp: (2xz2(x2 + y2 +
1)z
2−1, 2yz2(x2 + y2 +
1)z
2−1, 2z(x2 + y2 + 1)z
2
log(x2 +
y2 + 1)).
158. Seja f(x, y) = x2−y2. Represente grafi-
camente o
~∇f(x0, y0) sendo (x0, y0) =
(a) (1, 1);
(b) (−1, 1);
(c) (−1,−1);
(d) (1,−1).
159. Calcule f ′(x, y) sendo f(x, y) =
(a) xy.
Resp: f ′(x, y) = (y, x);
(b) 2x−y;
Resp: f ′(x, y) = 2x−y log 2(1,−1);
(c) x tan x
y
.
Resp: f ′(x, y) = (tan x
y
+
x
y
sec2 x
y
,−x2
y2
sec2 x
y
).
160. Sejam f(x, y) = y − x2 e γ(t) =
(sin t, sin2 t).
(a) Verifique que a imagem de γ está
contida na curva de nível y− x2 =
0;
(b) Desenhe a imagem de γ;
(c) Verifique que, para todo o t, γ′(t) ·
~∇f(γ(t)) = 0.
161. Verifique a regra da cadeia para as
funções e curvas abaixo:
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 17
(a) f(x, y, z) = xz + yz + xy; σ(t) =
(et, cos t, sin t).
Resp: 2et cos t+ cos2 t− sin2 t;
(b) f(x, y, z) = exyz; σ(t) =
(6t, 3t2, t3);
(c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2; σ(t) =
(sin t, cos t, t).
Resp:
t√
1+t2
.
162. Calcule a derivada direcional de cada
função no ponto dado e na direção dada.
(a) f(x, y) = x2 + y2 − 3xy3; (1, 2);
~v = (1
2
,
√
3
2
.
Resp: −11− 16√3;
(b) f(x, y) = 17xy; (1, 1); ~v =
(
√
2,
√
2).
Resp:
17√
2
;
(c) f(x, y, z) = x2−2xy+3z2; (1, 1, 2);√
3(1, 1,−1).
Resp: − 14√
3
;
(d) f(x, y, z) = sin(xyz); (1, 1, pi
4
):
( 1√
2
, 0,− 1√
2
).
Resp:
pi
8
− 1
2
.
163. Determine a direção e o sentido no qual
cada uma das funções abaixo cresce
mais rapidamente no ponto (1, 1), in-
dicando um vetor unitário com essa di-
reção e esse sentido.
(a) f(x, y) = x2 + 2y2.
Resp:
1√
5
(1, 2);
(b) g(x, y) = x2 − 2y2;
(c) h(x, y) = ex sin y.
Resp: (sin 1, cos 1).
(d) p(x, y) = ex sin y − e−x cos y.
164. O capitão Asteróide está a deriva no
espaço perto do lado de Mercúrio vi-
rado para o Sol e repara que o casco
da sua nave começa a derreter! A tem-
peratura nas vizinhanças é dada por
T = e−x + e−zy+ e3z. Se a nave está na
posição (1, 1, 1), em que direção deve ele
apontar a nave para que arrefeça mais
rapidamente?
165. Suponha que f e g são funções com
derivadas parciais contínuas. Mostre
que:
(a)
~∇f = ~0 se f é constante;
(b)
~∇(f + g) = ~∇f + ~∇g;
(c)
~∇(cf) = c~∇f se c é uma con-
stante;
(d)
~∇(fg) = f ~∇g + g~∇f ;
(e)
~∇(f
g
) = g
~∇f−f ~∇g
g2
sempre que g 6=
0.
166. (a) Em que direção é a derivada dire-
cional de f(x, y) = x
2−y2
x2+y2
no ponto
(1, 1) igual a zero (sendo a direção
dada por um vetor unitário)?
(b) A mesma pergunta, mas para um
ponto (x, y) no primeiro quadrante
(i.e., x > 0 e y > 0).
(c) Descreva as curvas de nível de f
usando a última alínea.
167. O capitão Asteróide está outra vez em
apuros perto de Mercúrio... Está na
posição (1, 1, 1) e a temperatura do
casco da nave é dada por T (x, y, z) =
e−x
2−2y2−3z2
.
(a) Em que direção deve apontar a
nave para que a temperatura desça
mais rapidamente?
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 18
(b) Se a nave viaja a uma velocidade
escalar de e8, a que velocidade a
temperatura desce se ele seguir na
direção determinada na alínea an-
terior?
(c) Infelizmente, o metal do casco
pode-se estilhaçar se a tem-
peratura descer a uma veloci-
dade/taxa superior a
√
14e2. Diga
em que direção o capitão Asteróide
pode seguir em segurança.
3.10 Plano tangente e reta
normal
168. Determine as equações do plano tan-
gente e da reta normal ao gráfico da
função dada, no ponto dado.
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
Resp: z = 4x+ 2y− 4 e (x, y, z) =
(1, 1, 2) + t(4, 2,−1);
(b) f(x, y) = x3 + y3 − 6xy em
(1, 2, f(1, 2));
(c) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).
Resp: z = 2y − 1 e (x, y, z) =
(0, 1, 1) + t(0, 2,−1);
(d) f(x, y) = cosx cos y em
(0, pi/2, f(0, pi/2));
(e) f(x, y) = 3x2y − xy em
(1,−1, f(1,−1)).
Resp: z = −8x+2y+8 e (x, y, z) =
(1,−1,−2) + t(−8, 2,−1);
(f) f(x, y) = cosx sin y em
(0, pi/2, f(0, pi/2));
(g) f(x, y) = xex
2−y2
em (2, 2, f(2, 2)).
Resp: z = 9x − 8y e (x, y, z) =
(2, 2, 2) + t(9,−8,−1);
(h) f(x, y) = 1/(xy) em (1, 1, f(1, 1)).
169. Determine o plano que passa pelos pon-
tos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tan-
gente ao gráfico de f(x, y) = xy.
Resp: x+ 6y − 2z = 3.
170. Determine o plano que seja paralelo ao
plano z = 2x + y e tangente ao gráfico
de f(x, y) = x2 + y2.
Resp: z = 2x+ y − 5
4
.
171. z = 2x+y é a equação do plano tangente
ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3).
(a) Calcule
∂f
∂x
(1, 1) e ∂f
∂y
(1, 1);
Resp: −2
3
e −1
3
(b) Determine a equação da reta nor-
mal no ponto (1, 1, 1).
Resp: (x, y, z) = (1, 1, 1) +
t(2, 1, 3).
172. Considere a função f(x, y) = x
3
x2+y2
.
Mostre que os planos tangentes ao grá-
fico de f passam pela origem.
173. A função z = z(x, y) é diferenciável e
dada implicitamente pela equação
x2
a2
+
y2
b2
+ z
2
c2
= 1. Mostre que x0x
a2
+ y0y
b2
+
z0z
c2
= 1 é a equação do plano tangente
no ponto (x0, y0, z0), z0 6= 0.
174. Calcule um vetor normal unitário a cada
uma das superfícies seguintes no ponto
indicado.
(a) xyz = 8, (1, 1, 8);
(b) x2y2 + y − z + 1 = 0, (0, 0, 1);
(c) cos(xy) = ez − 2, (1, pi, 0);
(d) exyz = e, (1, 1, 1).
175. Manuel Perverso inventou nova lei da
gravitação. Nesta teoria, a força ex-
ercida numa massa m em (x, y, z) por
outra massa M na origem é ~F =
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 19
−P mM
r5
~r, em que ~r = x~ı + y~ + z~k,
r =
√
x2 + y2 + z2 e P é a constante
perversa. Calcule V tal que ~F = −~∇V
e verifique que
~F é ortogonal às super-
fícies de nível de V .
176. Determine uma equação do plano tan-
gente a cada uma das superfícies
seguintes nos pontos indicados.
(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 10, (1,
√
3, 1);
(b) xyz2 = 1, (1, 1, 1);
(c) x2 + 2y2 + 3xz = 10, (1, 2, 1/3);
(d) y2 − x2 = 3, (1, 2, 8);
(e) xyz = 1, (1, 1, 1);
(f)
xy
z
= 1, (1, 1, 1).
177. Determine uma equação para a reta tan-
gente a cada uma das seguintes curvas
nos pontos indicados.
(a) x2 + 2y2 = 3, (1, 1);
(b) xy = 17, (x0, 17/x0);
(c) cos(x+ y) = 1/2, x = pi/2, y = 0;
(d) exy = 2, (1, log 2).
178. Determine uma equação para a reta nor-
mal a cada uma das seguintes superfí-
cies nos pontos indicados.
(a) e−(x
2+y2+z2) = e−3, (1, 1, 1);
(b) 2x2 + 3y2 + z2 = 9, (1, 1, 2);
(c)
x
yz
= 1, (1, 1, 1);
(d) xyz2 = 4, (1, 1, 1).
179. Suponha que uma partícula é ejectada
da superfície x2 + y2 + z2 = 1 do ponto
(1, 1,
√
3), na direção normal à super-
fície, no tempo t = 0, com veloci-
dade escalar 10 (unidades por segundo).
Quando e onde intersecta a partícula o
plano xy?
180. Considere as duas superfícies S1 : x
2 +
y2 + z2 = 6 e S2 : 2x
2 + 3y2 + z2 = 9.
(a) Determine os vetores normais e os
planos tangentes a S1 e S2 em
(1, 1, 2);
(b) Determine o ângulo entre os dois
planos;
(c) Determine uma expressão para a
reta tangente em (1, 1, 2) à curva
de intersecção das superfícies S1 e
S2. [Sugestão: esta reta deve estar
em ambos os planos tangentes.]
181. Refaça o exercício anterior com as su-
perfícies x2 − y2 + z2 = 1 e 2x2 − y2 +
5z2 = 6 no ponto (1, 1,−1).
4 Máximos e mínimos
182. Seleccione os candidatos a extremantes
locais, sendo f(x, y) =
(a) 2x2 + y2 − 2xy + x− y;
(b) x2 − y2 + 3xy − x+ y;
(c) x3 − y2 + xy + 5;
(d) x3 + y3 − xy;
(e) x4 + y4 + 4x+ 4y;
(f) x5 + y5 − 5x− 5y.
4.1 Condição suficiente
para um ponto crítico ser
extremante local
183. Determine os máximos e mínimos locais
para cada função f(x, y) seguinte, us-
ando o teste para funções quadráticas.
(a) x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y;
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 20
(b) x2 + y3 + xy − 3x− 4y + 5;
(c) x3 + 2xy + y2 − 5x;
(d) −x2 + y2 + 2xy + 4x− 2y;
(e) x2 − 4xy + 4y2 − x+ 3y + 1;
(f) x2 + xy + y2;
(g) y2;
(h) 3 + 2x2 − xy + y2;
(i) x2 − xy + y2 + 1.
184. Determine o ponto do plano x + 2y −
z = 4 que se encontra mais próximo da
origem.
185. Analise o comportamento de z = x5y +
xy5 + xy nos seus pontos críticos.
186. Determine os pontos extremos de z =
log(x2 + y2 + 1) e de z = e1+x
2+y2
.
187. Analise o ponto crítico (0, 0) para z =
x3 + y3. Esboce.
188. Mostre que z = x
3−3x
1+y2
tem apenas um
máximo e um mínimo local.
189. Ache o ponto (u, t) que maximiza a
função R(u, t) = u2(1 − u)t2e−t para
0 ≤ u ≤ 1 e t ≥ 0.
190. A Lei de Plank relaciona a energia E
emitida pelo corpo negro (corpo quente
padrão) à frequência λ e à temper-
atura T da seguinte maneira: T (λ, T ) =
2pik5T 5
h4c4
x5
ex−1 em que x =
hc
λkT
, h é a con-
stante de Plank, k é a constante de
Boltzmann e c é a velocidade da luz no
vácuo. Mostre que, fixado T , a curva
E = E(λ, T ) (a curva de Plank) tem
um máximo em λ
max
dado por λ
max
=
hc
kTx0
em que 5− x0 − 5e−x0 = 0. Esta é
a lei de deslocamento de Wien.
191. Determine os máximos e mínimos locais
para f(x, y) = (x2 + 3y2)e1−x
2−y2
.
192. Determine o ponto do espaço que mini-
miza a soma dos quadrados das distân-
cias aos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 1).
193. Seja f(x, y, z) de classe C2 e seja
(x0, y0, z0) um ponto interior de Df .
Suponha que (x0, y0, z0) seja ponto
crítico de f . Sejam H(x, y, z) e
H1(x, y, z) dadas por:
H =
∣∣∣∣∣∣∣
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂z
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
∂2f
∂y∂z
∂2f
∂x∂z
∂2f
∂y∂z
∂2f
∂z2
∣∣∣∣∣∣∣ e H1 =
∣∣∣∣∣ ∂
2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
∣∣∣∣∣
Sabe-se que:
i. se
∂2f
∂x2
(x0, y0, z0) > 0,
H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) >
0, então (x0, y0, z0) será ponto de
mínimo local;
ii. se
∂2f
∂x2
(x0, y0, z0) < 0,
H1(x0, y0, z0) > 0 e H(x0, y0, z0) <
0, então (x0, y0, z0) será ponto de
máximo local;
Determine os máximos e mínimos locais
para cada uma das seguintes funções:
(a) x2+5y2+2z2+4xy−2x−4y−8z+2;
(b) x3 + y3 + z3 − 3x− 3y − 3z + 2;
(c) x3 + 2xy + y2 + z2 − 5x− 4z;
(d) x2−y2 +4z2 +2xz−4yz−2x−6z.
4.2 Método dos mínimos
quadrados
194. Mostre que, se y = mx + b for
a reta de regressão para os pontos
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 21
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então m e
b satisfazem ambas as equações
m
n∑
i=1
xi + nb =
n∑
i=1
yi e
m
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
xi =
n∑
i=1
xiyi.
195. Mostre que se apenas dois pontos dis-
tintos (x1, y1) e (x2, y2) forem dados, o
método dos mínimos quadrados fornece
precisamente a reta que passa por estes
dois pontos.
196. Para cada conjunto de pontos seguinte,
determine a reta dos mínimos quadra-
dos que minimiza a distância aos pontos
dados.
(a) (1, 1), (2, 3), (4, 3);
(b) (0, 0), (1, 2), (2, 3);
(c) (0, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 5).
197. Se y = mx + b for a reta
de regressão para os pontos
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), então
a soma dos desvios anula-se, isto é
n∑
i=1
(yi −mxi − b) = 0.
4.3 Multiplicadores de La-
grange
198. Estude com relação a máximos e mí-
nimos a função dada com as restrições
dadas.
(a) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 = 1;
(b) f(x, y) = 3x+ y e x2 + 2y2 ≤ 1;
(c) f(x, y) = x2 + 2y2 e 3x+ 2y = 1;
(d) f(x, y) = x2 + 4y2 e xy = 1, x >
0, y > 0;
(e) f(x, y) = xy e x2 + 4y2 = 8;
(f) f(x, y) = x2+2xy+y2 e x+2y−1 =
0;
(g) f(x, y) = x2 + 2xy+ y2 e x2 + y2 =
1;
(h) f(x, y) = 3x+ 2y e 2x2 + 3y2 ≤ 3;
(i) f(x, y) = xy e 2x + 3y ≤ 10, x ≥
0, y ≥ 0;
(j) f(x, y) = x+ y e x2 + y2 = 1;
(k) f(x, y) = x− y e x2 − y2 = 2;
(l) f(x, y) = xy e x+ y = 1;
(m) f(x, y) = cos2 x+ cos2 y e x+ y =
pi/4.
199. Determine a curva de nível de f(x, y) =
x2 + 16y2 que seja tangente à curva
xy = 1, x > 0, y > 0. Qual o ponto
de tangência ?
Resp: x2 +16y2 = 8; o ponto de tangên-
cia é (2, 1
2
).
200. Determine o ponto da reta x + 2y = 1
cujo produto das coordenadas seja má-
ximo.
Resp: (1
2
, 1
4
).
201. Determine o ponto da parábola y = x2
mais próximo de (14, 1).
Resp: (2, 4).
202. Ache o valor máximo e o valor mínimo
da função f(x, y, z) = x + 2y + z com
restrição x2 + 2y2 + z2 = 4.
Resp: Valor máximo é 4, sendo atingido
em (1, 1, 1). O valor mínimo é−4, sendo
atingido em (−1,−1,−1).
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS 22
203. Determine o ponto do plano x + 2y −
3z = 4 mais próximo da origem.
Resp: (2
7
, 4
7
,−6
7
).
204. A temperatura T na superfície esférica
x2+y2+z2 = 1 satisfaz T (x, y, z) = xz+
yz. Determine todos os pontos quentes.
205. Determine o ponto da superfície xyz =
1, x > 0, y > 0 que se encontra mais
próximo da origem.
Resp: (1, 1, 1).
206. Determine o valor máximo e mínimo
de f(x, y) = 200x + xy/8 na região
{(x, y) ∈ R2 : x2 + 2y2 ≤ 30000}.
207. Verifique que ( c
3
)3 é o valor máximo de
xyz, x ≤ 0, y ≤ 0 e z ≤ 0, com a restri-
ção x+ y + z = c (c > 0).
208. Deseja-se construir um paralelepípedo-
rectângulo com área total de 100cm2.
Determine as dimensões para o volume
ser máximo.
Resp: Cubo de aresta
5
√
2√
3
.
209. Os livros de Termodinâmica usam a re-
lação (
∂y
∂x
)(
∂z
∂y
)(
∂x
∂z
)
= −1.
Suponha que F (x, y, z) = 0 de-
fine implicitamente x = f(y, z), y =
g(x, z), z = h(x, y) e prove esta relação.
210. Suponha que z = f(x, y) está definida,
tem derivadas parciais de segunda or-
dem contínuas e é harmónica: fxx +
fyy = 0. Suponha também que num
ponto (x0, y0) se tem fxx(x0, y0) 6= 0 e
mostre que f não pode ter máximo nem
mínimo local em (x0, y0).
211. Mostre que se f é harmónica na região
x2 + y2 ≤ 1 e é zero para x2 + y2 = 1,
então f é zero em todo o disco unitário.