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9a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo 1 - Profa. Marisa S. Costa
1. Calcule
a)
∫
cos2 5x dx
c)
∫
cosx sen4x dx
e)
∫
cos2 2x sen22x dx
g)
∫
cosx cos2 4x dx
i)
∫
cos3 x (1 +
√
senx) dx
k)
∫
sen3 x
cosx
dx
m)
∫
cosx
1 + sen2x
dx
o)
∫
tg3x sec4x dx
q)
∫
tg x 3
√
secx dx
b)
∫
senx cos2 x dx
d)
∫
sen2x cos4 x dx
f)
∫
sen22x cos2 3x dx
h)
∫
cosx 3
√
senx dx
j)
∫
senx
cos5 x
dx
l)
∫
cos3 x
sen7x
dx
n)
∫
tg5x sec2x dx
p)
∫
tg33x dx
r)
∫
tg5x
sec4x
dx
2. a) Demonstre a fo´rmula de reduc¸a˜o∫
cosn x dx =
1
n
senx cosn−1x +
n− 1
n
∫
cosn−2 x dx
em que n ≥ 2 e´ um inteiro.
b) Use a fo´rmula acima para calcular
∫
cos5 x dx.
3. Mostre que, para todo n ≥ 2,
a)
∫
tgndx =
tgn−1x
n− 1 −
∫
tgn−2x dx;
b)
∫
secndx =
secn−2x tg x
n− 1 +
n− 2
n− 1
∫
secn−2x dx;
4. Usando o exerc´ıcio anterior, calcule:
a)
∫
tg4x dx; b)
∫
sec5x dx;
5. Calcule:
1
a)
∫
x2(x + 1)10 dx
c)
∫
1
1 +
√
x
dx
e)
∫
x + 2
(x + 1)5
dx
g)
∫ √
1− ex dx
i)
∫
arctg
√
x dx
k)
∫ √
1− cosx dx
b)
∫
x2
√
x− 1 dx
d)
∫
2
(1 +
√
x)3
dx
f)
∫
x− 1√
2x + 1
dx
h)
∫
x arcsenx dx
j)
∫
x2 + 1
2x− x2 dx
l)
∫ √
1 +
√
x dx
6. Verifique que para todo natural n ≥ 1 e todo real s > 0∫
tne−st dt = −1
s
tne−st +
n
s
∫
tn−1e−st dt.
7. Sejam m e n constantes na˜o nulas dadas. Verifique que∫
mx + n
1 + u2
du =
m
2
ln(1 + u2) + n arctg u + k.
2