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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS Segunda prova – turma B 18/10/2012 1 a Questão (2,5 pontos) O eixo representado abaixo tem um trecho de seção maciça AB com raio de 15 mm, acoplado a um tubo BD com raio interno de 12,5 mm e externo de 25 mm. O eixo é feito de aço, com módulo de elasticidade transversal G = 75 GPa. a) Traçar o gráfico de torques que ocorrem ao longo do eixo. b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento que ocorre no eixo. c) Determinar a máxima rotação relativa que pode ocorrer entre duas das seções A, B, C e D. dG2 )x(T dx d )x(r 0 3 d2 )( )( 0 3 xr G GxT Solução: a) b) 4 40 15 7,55 ; 15 2 AB Nm mm MPa mm 4 4 4 30 25 1,30 25 12,5 2 CD Nm mm MPa mm 7,55máx MPa c) 4 40 300 0,0020 75 15 2 AB Nm mm rad GPa mm 4 4 4 20 200 0,000093 75 25 12,5 2 BC Nm mm rad GPa mm 4 4 4 30 300 -0,00021 75 25 12,5 2 CD Nm mm rad GPa mm 0,0021 entre as seções A e C, no sentido do vetor em Amáx AB BC rad A C B D 40 Nm 20 Nm 30 Nm 2 a Questão (2,5 pontos) O tubo abaixo tem três segmentos, todos eles feitos do mesmo material (módulo de elasticidade transversal G), de mesmo comprimento e mesma seção transversal circular de raio r e parede de espessura 20/rt , ou seja, rt . O segmento BC tem um corte longitudinal, conforme indicado, não podendo ser classificado topologicamente como de seção transversal circular, embora a área da seção transversal seja numericamente igual à da dos outros segmentos. Nos anéis de reforço das seções A, B, C e D são aplicados momentos de torção auto-equilibrados, conforme indicado na figura. Calcular: a) a rotação da seção D em relação à seção A; Fórmulas para eixo de seção b) a máxima tensão de cisalhamento no tubo. transversal circular: dG2 )x(T dx d )x(r 0 3 d2 )( )( 0 3 xr G GxT Fórmulas para eixo de seção transversal retangular: 2max ab T G3ab TL Tabela para obtenção dos coeficientes e a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 Solução: Segmentos AB e CD: Torque atuante T , seção transversal circular de parede fina. Segmento BC: Torque atuante 2095,0 TTT , seção transversal aberta com largura ra 2 e altura 20rtb . Como rt , tem-se na tabela dada, para ba , 31333,0 . a) Rotação relativa entre as seções A e D: GrttGr AD 3 3 13 2 20 2 2 TT Sendo 20/rt , GrGrGr AD 44 2 4 620 2 20320 TTT b) Tensão em qualquer ponto dos segmentos AB e CD: 332, r 10 r2 20 tr2 TTT CDAB Tensão em qualquer ponto do segmento BC: 332 3 1 r 30 r2 203 rt2 20 TTT BC 3r 30 T máx max T T a b T T T950, A B C D T950, 3 a Questão (2,5 pontos) Um tubo de parede fina ( )t d tem seção quadrada de lado d. Compare a eficiência deste tubo, em termos da tensão máxima máx que ocorre no tubo e da rotação d dx entre seções, quando da aplicação de um torque, em relação a um outro de seção transversal circular de mesma área transversal e mesma espessura de parede ( )t r , ou seja, feito com a mesma quantidade de material. Fórmulas relativas ao torque de um tubo de parede fina: m T 2A t m 2 Cm T ds d dx 4A G t Solução: Como o tubo circular e o tubo quadrado têm a mesma área de seção transversal (mesma quantidade de material), 2 4rt dt . Portanto, 2d r Tem-se para a tensão na seção quadrada: 2 2 2 2 2 4 4 1,27 2 2 2 q c c m T T T T A t d t r t r t Tem-se para a rotação entre duas seções do tubo de seção quadrada: 2 2 4 3 3 3 8 4 4 1,62 4 4 2 m q c Cm d dT ds T T T d dx A G t d Gt r Gt r Gt dx já que, para o círculo, 22 c T r t e 32 cd T dx r Gt . Portanto, o tubo de seção transversal quadrada apresenta tensão de cisalhamento cerca de 27% maior e rotação entre seções cerca de 62% maior que no tubo de seção transversal circular. 4 a Questão (2,5 pontos) Um eixo está submetido a torques que variam trecho a trecho ao longo de seu comprimento, conforme representado na figura abaixo. O eixo se compõe de três tubos, de seções transversais circulares: há um tubo de raio r2 e espessura t << r2, feito de um material B (módulo de elasticidade GB), que se estende ao longo de todo o eixo; há um tubo de material A (módulo de elasticidade GA) no trecho AB, de seção cheia de raio r2; e há um tubo de mesmo material A no trecho CD, de seção transversal vazada de raio interno r1 e externo r2. Sabe-se que GB = 50 GA, t = r2/100, r1 = r2/2. Traçar o diagrama de torque aplicado a cada um dos trechos AB, BC e CD e em seguida calcular: a) a rotação sofrida pela extremidade do eixo em relação ao seu engaste; b) as tensões de cisalhamento máximas a que cada material está submetido. d2 )( ),( )( 0 3 xr G GxT x dx G xT xr 0 )( 0 3 0 d2 )( Solução: Diagrama de torques aplicados (supondo que o torque aplicado em D seja positivo): a) Rotação sofrida pela extremidade do eixo em relação ao seu engaste (positiva no sentido do torque aplicado em D): trGrrG T trG T trGrG T BABBA 3 2 4 1 4 2 3 2 3 2 4 2 222 2 222 3 Para os dados do problema: 4 2 4 2 1151,0 47 17 rG T rG T AA b) Tensões de cisalhamento máximas a que cada material está submetido (em módulo): Trecho AB: 3 2 3 2 4 2 2 2 22 3 r T trGrG rTG BA AAB A 3 2 3 2 4 2 2 100 22 3 r T trGrG rTG BA BAB B Trecho BC: 3 2 2 2 50 2 r T tr TBC B Trecho CD: Portanto, as tensões máximas são as atuantes no trecho AB. T2 2r 1r T T4 2rt Bmat Amat Amat A B C D A B C D 2T 3T- T 3232324142 2 4334,0 47 64 222 2 r T r T trGrrG rTG BA ACD A 3232324142 2 67,21 47 3200 222 2 r T r T trGrrG rTG BA BCD B
