Unidade III

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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
 
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 Unidade III - Resolução de Equações Algébricas Transcendentes 
 
III.1 - Introdução 
Existem fórmulas para resolução de equações algébricas em que f (x) é uma expressão 
quadrática, cúbica ou biquadrática. No entanto, para equações em que f (x) é um polinômio de grau 
superior a 4 ou uma função em que a incógnita figura em expressões logarítmicas, trigonométricas, 
etc., podendo aparecer em expressões elementares, não existem fórmulas para resolver tais 
equações. 
Neste caso empregamos métodos gráficos ou numéricos. 
III.2 - Métodos Gráficos 
Seja a equação f (x) = 0 da qual se deseja determinar a raiz. 
Graficamente existem 2 métodos 
 
III.2.1 - Interseção da curva com o eixo das abcissas. 
Neste caso, tabela-se a função e esboça-se o gráfico. 
Exemplo: f (x) = x
2
 - 5x + 6 = 0 , nos pontos 0, 1, 2, 3, 4, 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.2.2 - Interseção de duas curvas. 
Neste caso, desdobramos f (x) em duas funções h (x) e g (x), de tal modo que: 
f (x) = h (x) - g (x) = 0 
O ponto de interseção de h (x) com g (x) fornece a raiz de f (x) = 0. 
 
Exemplo: f (x) = sen x - cos x 
 h (x) = sen x
g (x) = cos x 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III.3 - Métodos Numéricos 
 
III.3.1 - Determinação do intervalo onde se encontra a raiz real 
Suponha que a função f (x) seja continua em [a , b]. 
Admitindo-se que: 
A. Se f (x) tem sinais diferentes em dois pontos de abcissas a e b, então a função se 
anula pelo menos uma vez em [a , b] ou em geral um número ímpar de vezes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. Se f (x) tem sinal igual em dois pontos de abcissas a e b, ou f (x) não se anula em [a , b], 
ou se anula um número par de vezes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. Se f (x) é constantemente crescente (decrescente) em [a , b], e se f '(x) tem sinal 
determinado, e além disso o sinal de : 
a) 
f (a) sinal de f (b)
, com certeza existe uma única raiz em [a , b]. 
b) 
f (a) sinal de f (b)
, não existe raiz em [a , b]. 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Analise a existência de raízes da equação f (x) = x - cos = 0 , nos quatro 
quadrantes. 
Solução: 
f (x) = h (x) - g (x) 
h (x) = x  contínua 
g (x) = cos x  contínua 
f (x) é contínua em todo  
f '(x) = 1 + sen x 
 
A. 
0
2
,




 
f
f
( )0 1 0
2 2
0
  





  
 
 
f (x) é contínua em 
0
2
,




 
f '(x) > 0 em 
0
2
,




   uma raiz em 
0
2
,




 
_______________________________________ 
B. 


2
,




 
f
f
 
 
2 2
0
1 0





  
  ( )
 
f (x) é contínua em 


2
,




 
f '(x) > 0 em 


2
,




  não existe uma raiz em 


2
,




C. 


,
3
2




 
f
f
( ) 
 
  





  
1 0
3
2
3
2
0
 
f (x) é contínua em 


,
3
2




 
f '(x) > 0 em 


,
3
2




  não existe uma raiz em 






2
3
,


 
_______________________________________ 
D. 
3
2
2

,




 
f
3
2
3
2
0
 




  
 
f( )2 2 1 0   
 
f (x) é contínua em 
3
2
2

,




 
f '(x) > 0 em 
3
2
2

,




  não existe uma raiz 
em 
3
2
2

,




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III.3.2 - Método de Newton-Raphson (método das tangentes) 
 
III.3.2.1 - Introdução 
Seja a equação f (x) = 0 que possua uma raiz real em [a , b] . 
O método consiste em traçar a tangente à curva f (x) em uma de suas 
extremidades e determinar a interseção da tangente com o eixo das abcissas. 
Se o ponto for a raiz, o problema está resolvido! 
Caso contrário, determina-se o valor da f (x) nesse ponto e repete-se o 
procedimento anterior. 
O critério de parada desse procedimento é quando se encontra a raiz com a 
precisão desejada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.3.2.2 – Dedução da fórmula de iteração do Método 
 
Do triângulo retângulo 
temos: 
tg
f a
x a
a
f a
x a
x a
f a
f a
 





 
( )
( )
( )
( )
( ),
1
1
1
f ,
De modo análogo: 
tg
f x
x x
x
f x
x x
x x
f x
f x
 





 
( )
( )
( )
( )
( ),
1
2 1
1
1
2 1
2 1
1
1
f ,
Generalizando: 
 
 
 
x x
f x
f x
n n
n
n
  1
( )
( ),
 
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III.3.2.3 - Critério de Fourrier  condição de convergência 
Se aplicarmos o mesmo critério no extremo b, o intervalo para determinar a 
raiz aumentaria. 
Neste caso, para escolhermos adequadamente o extremo, aplicamos o 
critério de Fourrier, que é: 
a) f '(x) tem que ter sinal determinado em [a , b] . 
b) f "(x) não pode se anular em [a , b] . 
c) Escolhe-se o extremo em que f (x) · f "(x) > 0 
 
Exemplo: Determine a raiz da equação f (x) = x + ln x = 0 , com 2 decimais 
exatas. 
 
Solução: 
A. Método Gráfico: 
f (x) = h (x) - g (x) 
h (x) = ln x 
g (x) = - x 
 
 
 
 
f (0 , 5) < 0 
 
f (0 , 6) > 0 
 
 
Logo a raiz  [0,5 ; 0,6] 
 
 
B. Método numérico de Newton-Raphson 
 
B.1 - Critério de Fourrier 
a) 
f x
x
,( )   1
1
0
 em [0,5 ; 0,6]  sinal determinado 
b) 
f x
x
,,( )  
1
2
 não se anula em [0,5 ; 0,6] 
c) f
f
f
( , ) ,
( , )
( , ) ( , )
,,
,,
0 5 0193147
0 5 4
0 5 0 5 0
 
 




  f
 
 
 
 
Extremo escolhido 0,5 (x0 = 0,5) 
 
 
 
 
 
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B.2 - Newton-Raphson 
 
 
1
o
. Iteração: 
x x
f x
f x
x
f
f
x
x
x x
1 0
0
0
1
1
1
1 0
0 5
0 5
0 5
0 5
0 1931471
3
0 5643823
0 0643823 0 001
 
 
 


  
( )
( )
,
( , )
( , )
,
( , )
,
, ,
,
,
 (*)
 
 
 
2
o
. Iteração: 
x x
f x
f x
x
x x
2 1
1
1
2
2 1
0 5671389
0 00275668 0 001
 

  
( )
( )
,
, ,
,
 
 
 
3
o
. Iteração: 
001,00000043,0
5671432,0
)(
)(
23
3
2
,
2
23



xx
x
xf
xf
xx
 
 
 
 
 
 
Resp: x = 0,56 + 0,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III.3.3 - Erro de truncamento 
 
Desenvolvendo-se f (x) em Série de Taylor e considerando até o termo que envolve 
a segunda derivada, temos: 
f x f a f a x a f
x a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ), ,,     

1
2
2
, onde 1  [a , x] 
Seja 
x
 a raiz de f (x) = 0  f (
x
) = 0 
0 = f (a) + f ’(a)·( 
x
- a) + 
f
x a,, ( )
( )
1
2
2

 
Supondo f ’(a)  0 , vamos dividir a expressão acima por f ’(a). 
2
)(
)(
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
2
_
,
1
,,
,
2
_
,
1
,,
,
ax
af
f
af
af
ax
ax
af
f
ax
af
af






 
Os dois primeiros termos do segundo membro da igualdade acima é a aproximação 
de 
x
, segundo Newton-Raphson. 
O erro que se comete no método de Newton-Raphson é: 
2
)(
)(
)( 2
_
,
1
,, ax
af
f
ET


 
Como não se conhece 1 e x , então avaliamos o erro por meio de cotas superiores. 
Seja: 
h b a
k x
k h
f a
 







 max f em [a , b]
 Logo: E,, T( ) ( ),
2
2
  Observação: a convergência do método 
de Newton-Raphson é quadrática. 
 
Exemplo: 
Resolva a equação: f (x) = x · (log x) - 5 = 0, sabendo que a raiz pertence ao 
intervalo [6,7]. Após 2 iterações qual é a precisão do resultado? 
Solução: 
A. Critério de Fourrier 
A.1 - f '(x) tem que ter sinal determinado em [6,7]. 
f x x x
x
e
f x x c 
,
,
( ) log log
( ) log
  
 
1
> 0 em [6,7]
 
A.2 - f "(x) não pode se anular em [6,7]. De fato 
f x
x
e,,( ) log 
1
0 em [6,7]
. 
A.3 - Escolha do extremo 
f x f x
f f
( ) ( )
( ) ( )
,,
,,
 
 
0
7 7 0
 
B. Método de Newton-Raphson 
1
o
. Iteração: 
x
f
f
1 7
7
7
6 2842804  
( )
( )
,
,
 
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Análise do erro: 
 ET 


k h
f a
2
2 ,( )
  6 < 6,28 < 7 
 
h = 7 - 6,2842804 
k = máx |f "(x)| em [6,28 ; 7] = 
log
,
e
6 284804
 
a = 7  f ’(7) 
0,013835=
1,27939242
0,0691080,5122545
E



; Temos 1 significativo 
exato. 
2
o
. Iteração: 
x = x -
f (x
f
= 6,2709245 2 1
1
,
)
( )x1
 
Análise do erro:  6 < 6,27 < 6,28 < 7 
h = 6,2842804 - 6,2709245 
k = máx |f "(x)| em [6,27 ; 6,28] 
a = 6,2842804 
E T< 0,00000501137  5 decimais exatas. 
 
III.3.4 - Método das Partes Proporcionais 
O método consiste em determinar a raiz da equação f (x) = 0, sabendo que a 
mesma pertence ao intervalo [a , b], no qual f (a) · f (b) < 0. 
Substituímos o arco AB  ponto A (a , f (a) ) e ponto B (b , f (b) )  pela corda 
AB, que determina um ponto P (x , 0) no eixo das abcissas. Se x1 for a raiz, já se alcançou o 
objetivo. Caso contrário, repete-se o processo acima descrito. 
O critério de parada é dado pela condição: | xn+1 - xn | < , onde  é a precisão 
desejada para a raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C(b, f(a)) C1 C2 
R 
B1 
B2 
P P2 P1 
A(a,f(a)) 
B(b,f(b)) 
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III.3.4.1 - Fórmula de iteração para calcular a raiz: 
   ABC PRB
PR
AC

 





 


RB
CB
b x
b a
f b
f a f b
x b
b a
f b f a
f b
1
1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 
 
 
De modo análogo:   AC P PB
P P
AC
1 1
1
1
1 1
1
1 1
2 1
1
1
1
2 1
1
1
1
B
PB
C B
x x
x a
f x
f a f x
x x
x a
f x f a
f x

 





 


( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
 
 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1) Se a função for constantemente crescente, o extremo fixo é o B (b , f (b) ), 
 e a fórmula de iteração será: 
 
 
 
 
 
 
 
2) Para se escolher o extremo fixo, basta aplicar a condição: 
 f (x) · f "(x) > 0 
 
3) Este método também é conhecido como “Regula Falsi” ou Falsa 
Posição. 
 
 
4) A convergência do método não é quadrática e nem linear. 
 
 
 
 
 
)(
)()(
1 n
n
n
nn xf
afxf
ax
xx



 
)(
)()(
1 n
n
n
nn xf
bfxf
bx
xx



 
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III.3.5 - Método das Aproximações Sucessivas 
Queremos determinar a raiz de f (x) = 0 e f (x) de tal forma que pode ser 
escrita como h (x) - g (x) , onde g (x) = x e consequentemente , x = h ( x) 
Representação gráfica do método. 
 
 h(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x0 
 
 
Seja x0 uma aproximação inicial para solução de x = h (x). 
 x1 = h (x0) 
Como aproximação seguinte, toma-se x2 = h (x1). E assim sucessivamente até 
determinar a solução. 
De um modo geral: xn = h ( xn-1 ), onde xn é a raiz procurada. 
O método das aproximações sucessivas só converge no caso em que | h '(x) < 1 
|. 
Se | h '(x) | > 1 , acontece que a cada iteração nos afastamos mais da raiz. 
 
1.1.1 Convergência do Método 
A conclusão da convergência do método pode ser provada por um raciocínio 
elementar. Note que: 
x
 = h (
x
)  xn = h (xn - 1)  xn - x = h (xn-1) - h ( x ). 
Multiplicando-se à direita por 
( )
( )
x x
x x
n
n




1
1
 e utilizando o teorema do valor médio 
temos: 
)( onde ,)( )( 11
, xxxxhxx nnn    . 
Seja M o valor máximo absoluto de h (x) no intervalo [a , b] : 
 |
xxn 
|  M |
x xn 1
| 
Mas, 
x xn 1
|  M 
xxn 2
, então 
 
 |
xxn 
  M2 
xxn 2
 
 
E assim sucessivamente: 
 
 |
xxn 
  M n |
xx 0
| 
 
Se M< 1 em todo intervalo [a , b] seja qual for a escolha de x0, quando n 
aumentar, o membro à direita tornar-se-á menor e xn se aproximará de x . 
O critério de parada é quando duas iterações sucessivas diferirem por um dado 
. 
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Exemplo: 
Determinar a raiz da equação f (x) = x
2
 – sen x = 0, com 4 casas decimais e x0 = 
0,9 
Solução: 
Há vários modos de se escolher h(x), vejamos: 
h1(x) = x
2
 + x– sen x e g (x) = x 
h2 (x) = senx e g (x) = x 
h3 (x) = arc sen x e g (x) = x 
 
Analisando, as primeiras derivadas das 3 funções, temos: 
 
 
Logo: 
x
 = 0,7071  0,0001 
 
III.3.6 - Problema das Raízes Múltiplas 
Suponha que f (x) = 0 admita várias raízes reais iguais. 
Por exemplo: f (x) = x
3
 - 11x
2
 + 39x - 45 = 0 , admita
a raiz dupla x = 3 e a raiz 
simples x = 5. 
Podemos empregar um dos métodos vistos, ou especificamente o método de 
Newton-Raphson , e eliminar cada raiz encontrada. Isto é, se f (x) = an x
n
 + an - 1 x
n - 1
 + ... + a0 
é um polinômio de grau n e possuí n raízes, então f (x) = an (x - x1) (x - x2) (x - x3) ... (x - xn) , 
onde x1 , x2 , x3 , ... , xn são as raízes de f (x) = 0. 
Quando as raízes são múltiplas, então vários xi são iguais entre si. 
Para eliminarmos uma raiz da função f (x) basta dividir a função por (x - xi). 
Obtemos uma f1 (x) que é um polinômio de grau n-1 e procuramos as 
raízes de f1 (x) = 0 . 
A divisão sintética por uma raiz encontrada a fim de eliminá-la da função 
original dada é chamada deflação da função original e pode ser efetuada pelo computador 
usando o seguinte algoritmo: 
 
Suponha que f 
(x) = am x
m
 + ...+ a0 , é dividido por (x - xn). 
Obtemos : 
 
Q (x) = bm x
m - 1
 + bm - 1 x
m - 2
 +...+ b0 
R (x) = f (xn) 
 
Para se obter bi utilizamos a seguinte fórmula de recorrência. 
bm = am 
bi = ai + bi + 1 xn i = (m - 1), (m - 2), ..., 2, 1. 
 
Exemplo: 
Determinar as raízes de x
3
 - 11x
2
 + 39x - 45 = 0 , no intervalo [2 , 6], com 2 
decimais exatas. 
Solução: 
f '(x) = 3x
2
 - 22x + 39  f "(x) = 6x - 22 
f
f
f f
( )
( )
( ) ( )
,,
,,
6 9
6 24
6 6 0






 
 
Apliquemos Newton-Raphson no extremo 6 : 
)(
)()(
1 n
n
n
nn xf
bfxf
bx
xx



 
UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
 
37 
 x0 = 6  x1 = 6 - f
f
( )
( ),
6
6
 = 6 - 
9
15
 = 5,4  x1 - x0 = 0,6 
 
x
f
f
x x2 2 15 4
5 4
5 4
5 4
2 30
7 68
510 0 3       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x3 3 251
51
51
51
0 44
4 83
5 01 0 09       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x4 4 35 01
5 01
5 01
5 01
0 04
4 08
5 00 0 01      ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
Logo 
x 1 = 5,00 
Façamos a divisão de f (x) por x -5. 
Utilizamos a fórmula de recorrência. 
R (x) = f (5) = 0 
f1(x) = bm x
m - 1
 + bm - 1 x
m - 2
 + ... + b1  b3 x
2
 + b2x + b1 
b a
b a b x
m m
m m m
 
  


  
1
1 1
 
b3 = a3 = 1 
b2 = -11 + (1∙5) = -6 
b1 = 39 + ((-6)∙5) = 9  f1(x) = x
2
 - 6x + 9 
Busquemos as raízes de f1(x) = 0 no intervalo [2 , 5] 
f1’(x) = 2x - 6 
f1’(2) = 1  f1”(2) = 2 
f1’(5) = 4  f1”(5) = 2 f (5) ∙ f ”(5) > 0 
Apliquemos o método de Newton-Raphson no extremo 5. 
 x0 = 5 
 x1 = 5 - f
f
x x1
1
1 0
5
5
5
4
4
4 1
( )
( ),
     
 
 
x
f
f
x x2
1
1
2 14
4
4
4
1
2
3 5 0 5       
( )
( )
, ,
,
 
 
x
f
f
x x3
1
1
3 23 5
3 5
3 5
3 25
0 25
1
3 25 0 25       ,
( , )
( , )
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x4
1
1
4 33 25
3 25
3 25
3 25
0 06
0 5
3 25 012       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x5
1
1
5 4313
313
313
313
0 02
0 26
3 05 0 08       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x6
1
1
6 53 05
3 05
3 05
3 05
0 002
01
3 03 0 02       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x7
1
1
7 63 03
3 03
3 03
3 03
0 0009
0 06
3 01 0 02       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x8
1
1
8 73 01
3 01
3 01
3 01
0 0001
0 02
3 00 0 02       ,
( , )
( , )
,
,
,
, ,
,
 
 
x
f
f
x x9
1
1
9 83 00
3 00
3 00
3 00 0 00     ,
( , )
( , )
, ,
,
 
Logo 
x 2 = 3,00 
Partamos em busca da outra raiz. Façamos a divisão de f1 (x) por (x - 3): 
UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
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38 
R (x) = f1 (3) = 0 
f2 (x) = b2 x + b1 
b a
b
f x x
2 2
1
2
1
6 1 3 3
3
 
     



  
( ) ( )
( )
 
Mas a raiz de f2 (x) é 3. Logo as raízes são 3, 3 e 5. 
 
III.3.7 - Raízes Complexas - Método de Newton-Raphson 
Seja f (x) = 0 uma equação em os coeficientes são reais, mas que admita raízes 
complexas. 
Neste caso a equação admitirá um número par de raízes complexas e se x1 =  + 
i for raiz de f (x) = 0 então x2 =  - i também será raiz de f (x) = 0. 
Podemos empregar o método de Newton-Raphson: 
x x
f x
f x
i i
i
i
  1
( )
( ),
, sendo 
que a estimativa inicial x0 é complexa. 
 
Exemplo : f (x) = x
2
 + x + 1 
 
Solução: 
Como todos os coeficientes são reais, a equação é do 2
o
. grau e  < 0, 
então deve admitir 2 raízes complexas. 
Façamos x0 = 1 + i  f ’(x) = 2x + 1 
 
x i
f i
f i
i
i
i
i
i i
i
i
i i i i
1 1
1
1
1
2 3
3 2
1
2 3 3 2
9 4
1
12 5
13
1
12
13
5
13
1
13
8
13
0 77 0 62
  


  


  
 


  





    





    
( )
( )
( )( )
, ,
,
 
 
x i
f i
f i
i2 0 77 0 62
0 77 0 62
0 77 0 62
0 52 0 63  


  ( , , )
( , , )
( , , )
, ,
,
 
 
x i
f i
f i
i3 0 52 0 63
0 52 0 63
0 52 0 63
0 49 0 91   
 
 
  ( , , )
( , , )
( , , )
, ,
,
 
 
x i
f i
f i
i4 0 49 0 91
0 49 0 91
0 49 0 91
0 4997 0 8670   
 
 
  ( , , )
( , , )
( , , )
, ,
,
 
 
x i
f i
f i
i5 0 4997 0 8670
0 4997 0 8670
0 4997 0 8670
0 499999963 0 86602591   
 
 
  ( , , )
( , , )
( , , )
, ,
,
 
 
x x
f x
f x
i6 5
5
5
0 49999999 0 86602540    ( )
( )
( )
, ,
,
 
 
x x
f x
f x
i7 6
6
6
0 5 0 86602540    ( )
( )
( )
, ,
,
 
 
x x
f x
f x
i8 7
7
7
0 5 0 86602540    ( )
( )
( )
, ,
,
 
Logo 
x
 = 
 0 5 0 86602540, , i
 
 
 
Observação: Estes resultados foram retirados do livro do Stark, página 122. 
 
 
 
Lista de exercícios sobre a Unidade III 
UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
 
39 
 
 
1) Dada a equação f(x) = x
3
 - 3x - 1 = 0, determine os intervalos de amplitude 1, onde 
se encontram as suas raízes. 
 
 
2) Determine a raiz da equação f(x) = x e
x
 - 2 = 0, com duas decimais exatas, usando o 
método de Newton-Raphson. 
 
 
3) Determine as raízes de f(x) = x
2
 - 2 = 0, com 4 decimais exatas, usando o método das 
partes proporcionais. 
 
 
4) Determine as raízes de f(x) = (5 - x) e
x
 - 5 = 0, com 3 decimais exatas. 
 
 
5) Determine as raízes de f(x) = x
3
 - 0,2 x
2
 - 0,2 x - 1,2 = 0, com 4 decimais exatas. 
 
 
6) Determine as raízes de f(x) = x
3
 - 4 x + 2 = 0, com 3 decimais exatas. 
 
 
7) Dada f(x) = tg x - x = 0, determine : 
 
a) o intervalo onde se encontram as raízes reais; 
 
b) a menor raiz positiva, com 3 decimais exatas, pelo método de Newton-
Raphson. 
 
 
8) Idem para a equação f(x) = x
2
 - sen x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho
Computacional: Programar o método de Newton-Raphson para 
determinar a raiz da equação : f (x) = x
3
 - 0,2x
2
 - 0,2x -1,2 = 0 , com 8 decimais exatas. 
Imprima cada iteração e o erro cometido em cada uma.