Unidade VII

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UERJ - CTC - IME - Departamento de Informática e Ciência da Computação 
Cálculo Numérico — Professora Mariluci Ferreira Portes 
 
 
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 Unidade VII - Integração Numérica 
 
VII.1 - Introdução 
A integração numérica é mais bem comportada que a derivação numérica. 
Considere 
 (1) 
I f x dx
a
b
  ( )
 
 onde a, b são finitos e f (x) é uma função contínua em [a , b] . 
A integral definida em (1) representa a área sob a curva f (x) entre x = a e x = b. 
Podemos calcular I dividindo o intervalo [a , b] em intervalos menores, encontrando a área 
aproximada em cada uma das faixas formadas e somá-las. 
As técnicas utilizadas são: 
1. Os intervalos são escolhidos previamente (isso se a computação for feita à mão) de mo-
do que os pontos no final de cada intervalo recaíam em valores facilmente computáveis de x. Neste 
caso, os métodos utilizados são: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson. 
2. Os intervalos são definidos analiticamente de modo que haja uma melhor exatidão no 
cálculo. O método utilizado neste caso é a Quadratura Gaussiana. 
 
VII.2 - Regra do Trapézio 
 
 Seja f(x) uma função contínua num intervalo (a, b), e considere o gráfico abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a integral 
I f x dx
a
b
  ( )
. Dividamos o intervalo [a , b] em n sub-intervalos de 
amplitude h , onde 
h
b a
n


. 
Considere o sub-intervalo [x i , x i + 1 ] e calculemos a área sob a curva neste intervalo: 
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(2) 
I f x dxi
x
x
i
i


 ( )
1
 
 Para h suficientemente pequeno, I i pode ser aproximado pela regra do trapézio, ou seja: 
 (3). 
 I
h
f x f xi i i  
2
1( ) ( )
 
Logo 
I Ii
i
n




0
1 , com x 0 = a e x n = b: 
(4) 
  I
h
f x f x f x f x f xn n      
2
20 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
 
 
VII.2.1. Erro de Truncamento 
O erro de truncamento é a soma das áreas compreendidas entrea curva f (x) e as cordas 
que contém x i , x i + 1 ( 0 1  i n ). 
Para estimar o erro, façamos a expansão de f (x) em série de Taylor em torno de x i : 
(5) 
f x f x x x f x
x x
f xi i i
i
i( ) ( ) ( ) ( )
( )
!
( ) ...    

 
2
2
 
A expansão em torno de x i + 1 é: 
(6) 
...)(
!2
)(
)()()()( 1
2
1
111


 

 i
i
iii xf
xx
xfxxxfxf
 
Calculando a média aritmética das expressões (5) e (6): 
...
2
)()(
2
)()(
2
)()(
)(
2
)(
!2
)(
2
)(
!2
)(
111
1
2
1
2








 




i
i
i
i
xf
xx
xf
xx
iiiiii
xfxxxfxxxfxf
xf
 
 
....)("
2
)(
))('.)(".(
4
)(
)(
2
)()(
2
)(
2
)()(
)(
1
111
1













i
i
ii
i
iii
iii
xf
hxx
xfxf
xx
xf
h
xfxf
xxxfxf
xf
 
Por outro lado, calculando-se 
I f x dxi
x
x
i
i


 ( )
1
, vem: 
(7) 
 I
f x f x x x
f x f x
h
f x dxi
i i i
i i i
x
x
i
i




     







 


( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...1 1 1
2 2 2
1
 
    ...))(".)(".(
12
.)(
2
)()(
4
)()(
2
1
3
11
2
1   iiiiiiii xfxf
h
xf
h
xfxf
h
xfxf
h
I
 
A equação (7) dá o verdadeiro valor da integral. 
A regra do trapézio despreza os termos contendo os termos de ordem h com potências 
maiores ou iguais à 2. 
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Sendo assim, o erro de truncamento é dado por: 
(7) 
   E
h
f x f x
h
f x f xt i i i ii           
2
1
3
1
4 6
2( ) ( ) ( ) ( ) ...
 
 Para h pequeno o primeiro termo é dominante, porém o erro de truncamento não é dado so-
mente por esse termo. 
Podemos escrever: 
 E kh f x f xt i ii    
2
1( ) ( )
 , onde k é uma constante a ser determinada. 
Observe que (7) é verdadeira para qualquer função. 
 Para exemplificar, determinamos k para f (x) = x
 2
 (obs: não se escolhe f (x) linear pois 
nesse caso a regra do trapézio é exata). 
 
(9) 
   I x dx x x h x x h x h hi
x
x
x
x
i i i i
i
i
i
i
 








     



2
3
3 3 2 2 3
3
1
3
1
3
3 3
1
1
( )
 
Pela regra do trapézio no intervalo [ x i , x i + 1 ], temos: 
    I x x h h E x x h h h Ei i t i t       12 2 12 22 2 2 2
 
(10) 
tiii E
h
hxhxI 
2
3
22
 
Subtraindo (10) de (9), temos: 
0
6 6
3 3
    
h
E E
h
t ti i
 
Como f ’(x) = 2x e estamos trabalhando com 
E kh f x f xt i ii    
2
1( ( ) ( ))
, chegamos 
ao seguinte resultado: 
    
       
h
kh x h x
h
kh h kh
h
k
i i
3
2
3
2 3
3
6
2 2
6
2 2
6
1
12
( )
 
O erro total de truncamento é : 
(11) 
 E E
h
f b f at t
i
n
i
     



0
1 2
12
( ) ( )
 
Essa não é a forma de erro mais encontrada. 
A forma mais usual de encontrá-la é baseada no teorema do velor médio, ou seja: 
 
 ( , )a b
 tal que 
      f b f a f b a( ) ( ) ( ) ( )
 
 
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Voltando em (11), vem: 
E
h
f b at      
2
12
( ) ( )
 
Se f ”(x) limitada   M tal que 
 f M( )
, e daí segue que: 
(12) 
 )(
12
2
abM
h
Et
 
Obs: Se não tivermos a fórmula fechada da função, a estimativa de M pode ser calcu-
lada pela tabela das diferenças divididas, onde f”(x) é igual ao maior valor, em módulo, na coluna 
da diferença de segunda ordem. 
 
VII.2 - Método de Simpson 
 
É o método similar a regra do trapézio, porém melhor que esta. 
No método de Simpson calculamos a área do trapézio sob uma parábola entre x i e x i + 1 . O 
intervalo [a , b] tem que ser dividido num número par de subintervalos. 
 
Dedução do Método 
 
Seja f(x) uma função contínua e considere 
h
b a
n


, onde n é um número par. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre x i e x i + 1 , escolhamos 
x x
h x x
i
i
i i

  

1
2
1
2 2
. 
Pelos pontos A
  x f xi i,
, B
x f x
i i 













1
2
1
2
,
, C
  x f xi i 1 1,
, vamos construir uma 
parábola utilizando a interpolação de Lagrange. 
 
 
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por: 
 
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)(
))((
))((
)(
))((
))((
)(
))((
))((
)( 1
2/111
2/1
2/1
)12/12/1
)1
12/1
)12/1
2 















 i
iiii
ii
i
iiii
ii
i
iiii
ii
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xP
 
 
 
Mas, 
n
abh
xx ii
22
2/11

 
 
 
n
abh
xx ii
22
2/1

 
 
 
n
ab
hxx ii

1
 
 
Então 
 
 ))()(())()((2))()((
)(
2
)( 2/1112/112/12
2
2  

 iiiiiiiii xxxxxfxxxxxfxxxxxf
ab
n
xP
 
 
Daí se tem que: 
 
(13) 

dxxxxxxf
dxxxxxxfdxxxxxxf
ab
n
dxxP
i
x
x
i
i
x
x
iii
x
x
ii
x
x
i
i
i
i
i
i
i
i
))(()(
))(()(2))(()(
)(
2
)(
12/11
12/112/12
2
2
1
111










 
Calculando-se cada uma das integrais de (13), vem: 
 
(14) 
 )()(4)(
6
)(
12/12
1

 

iii
x
x
i xfxfxf
h
dxxPI
i
i
 
 
 
 
 
A área da curva y = f(x) entre x = a e x= b é aproximada por: 
 
 
(15) 
 )()(4)(
6
)( 12/1
1
0
2
1



 

iii
n
i
x
x
xfxfxf
h
dxxP
i
i
 
 
 Esta é a fórmula de Simpson de 1/3. 
 
 
 
 
 
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A forma mais simples de lembrar desta fórmula é : 
 
(16) 
    )(...)((2)(...)()(4)()(
3
)( 2421310   nnn
b
a
xfxfxfxfxfxfxfxf
h
dxxf
 
 
Obs: Não podemos esquecer de que n tem que ser par! 
 
 
VII.3.1 Erro de Truncamento 
 
 
 De modo análogo ao que foi feito na seção VII.2.1, podemos deduzir o erro de truncmento 
para regra de Simpson de 1/3 que é: 
 
 
(17) 
 )()(
180
4
IVt fab
h
E
   (a, b) 
 
 
 
Obs: Nesse caso o erro é proporcional a 
4h
, e o método é exato para um polinômio de grau inferior 
ou igual a 3. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Calcular a 

2/
sen

o
xdx
, aplicando: 
 
a) a regra do trapézio; 
b) a regra de Simpson de 1/3. 
(sugestão: faça n=6) 
 
 
Solução: 
 
I- Construção da tabela de valores da f(x) 
 
i 0 1 2 3 4 5 6 
ix
 0 /12 2/12 3/12 4/12 5/12 6/12 
f(xi) 0 0,2588 0,5 0,7071 0,8660 0,9659 1 
 
 
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II- Cálculo da integral 
 
a) Regra do Trapézio 
 
   )()()()()(2)()(
2
12/
sen 543260
2/
xfxfxfxfxfxfxfxdx
o

 
 
  9659,08660,07071,05,02588,0210
24
sen
12/
0


xdx
= 0,9943 
 
 
 
b) Regra de Simpson de 1/3 
 
 
     )()(2)()()(4)()(
3
12/
sen 4253160
12/
0
xfxfxfxfxfxfxfxdx 
 
 
 
    8660,05,029659,07071,02588,0410
36
sen
12/
0


xdx
=1,0000038 
 
 
 
Obs: O valor mais próximo para a integral acima, com a mesma quantidade de pontos tabelados, é 
dado pela regra de Simpson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Exercícios - Unidade VII 
 
1) Dada a tabela abaixo, calcule 
dxxf
108
100
)(
: 
a)pela Regra do Trapézio 
 b) pela Regra de Simpson de1/3; 
 
X 100 102 104 106 108 
F (x) 2, 0000000 2, 0086002 2,0170333 2, 0253059 2, 0334238 
 
 
2) Calcule o valor de I = 
dxx 2
2
0
)1( 
 de 0 a 2: 
a) Pela definição; 
b) Pela Regra do Trapézio (n = 8); 
c) Pela Regra de Simpson de 
)8(
3
1
n
; 
d) Pela Quadratura Gaussiana para 5 Pontos. 
 
 
 
3) Calcule as integrais abaixo pela regra do Trapézio e por Simpson: 
 
a) 
2
2
0
)4( x
dx 

 de 0 a 2 (n = 4) 
b) 


 dx
x
x
3 2
8
2 )4(
 de 2 a 8 (n = 6) 
c) 
 dxx
xsen
2
12


 de 
)1415926,3)(5(
212
  na
 
d) 
)1(.
4
0
xx 
dx

 de 0 a 4 (h = 0,25) 
 
 
4) Um terreno está limitado por uma cerca reta e por um rio. As diferentes distâncias X (em metros) 
de uma extremidade da cerca ao rio, que é a largura Y do terreno (em metros) foram medidas,e os 
valores encontram-se na tabela abaixo: 
 
X 0 20 40 60 80 100 120 
Y 0 22 41 53 38 17 0 
 
Determine a área aproximada do terreno utilizando: 
a) a Regra do Trapézio 
b) a Regra de Simpson de 1/3, se possível. 
 
 
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