Cálculo 3 - Lista de exercícios

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena
4a Lista de Cálculolll- Turma: 3EI
Prof. Flávio José - AGOSTO/12
QUESTÕES
2. Encontrea áreadacalotacortadado hemisfériox2 +y2 +z2 =2,
comz>O, pelociliAdro x2 +y2 =1. Resp.271-(2--fi)
3. Encontrea áreadaparte dasuperfície z =1+3x+2y2, queestá
acimado triângulocom vértices(0,0),(0,1) e (2,1).
4. Calculeffg(x,y,z)dS, sendo:
S
) ( ) 2 S ' h .,{;'.. d 2 2 2 2a g x,y,z =x,. e o emlSjerlOSUperlOrex +y +z =a
b) g(x,y,z)=z +y,.Séa partedográficodez =~1-x2 noprimeiro
octanteentreoplano.xz e oplanoy =3.
5. Calcule a ffx2z dS em que5e a porçãodo conex2 +y2 =z2 ,
S
que estáentreos planos Z=l e Z=4..
6. UmaLâminatema forma deum hemisfériounitário.Determinara
massadessa lâminasabendoque a densidadeno ponto P da lâmina
é proporcionala distânciadestepontoao planoque delimitao
hemisfério..
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E s c o Ia de E n9en ha ria de L o rena
4a Lista de Cálculolll- Turma: 3EI
Prof. Flávio José - AGOSTO/12
7. Calculara massada parteda superfícieesféricax2 +y2 +z2 ='16/
queesta abaixodo planoZ=2 e acimado planoXY/ supondoa
densidadeconstante.
8. Umalaminatem a formada superfícielateraldo cone
z2 =3(x2 +y2 ~O::;;z ::;;2. Calculara massada laminase a densidade
noponto (x,y,z) éproporcionala distanciadessepontoao eixoz.
9. Calcular fIfy dV / em que T é a região delimitadapelos planos
T
coordenadose pelo plano x +y +z =1
3 2
10. Determinaro volume limitadopelocilindro4x2 +z2 =4 e pelo plano
y=O e e peloplanoy=z+2.
11.Calcule a massa do sólido limitadopelo cilindro x2 +y2 =l/e
acima limitadopelo parabolóidez =x2 +y2 e abaixopelo planoxy.
Sendo que a densidade em qualquer ponto P do sólido é
proporcionala distânciade P ao planoxy.
1') Determ"lne a ""'assa ria hr"a rlarla r"\1"\1"-v2 --L y2 --L ,.,.2 <4 C'a "" rlar"\s'ldada.LL.. I III U UVI- U U fJUI A I I ~ _ ~'-u\...1'-11 '-'
emqualquerponto for proporcionala sua distanciaao eixoz.
13.Determinea massado sólido5 limitado pelo parabolóide
z =4x2 +4y2 e pelo planoz=a se a densidade em qualquerponto
for proporcionala sua distanciaa origem.
14, Utilizeintegraltripla paracalcularo volumedosólido Q limitado
pelosgráficosdo cilindro x2 =y e peloplano z+y=4, z=O.
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15. Calcule fff(x3 +xy2 )dV , emqueE éo sólidodo primeirooctante
E
que estáabaixo do parabolóidez =1-x2 _ y2 •
16. Encontre a massa da região solida limitada pelas superfícies
parabólicas z =16- 2x2 - 2y2e z =2x2 +2y2 se a densidadedo
sólidoe 5(x,y,z)=~x2 +y2 .
17.Calcule a integral de fluxo JIF.n dS, em que
S
F(x,y,z) =Yi +xj +zk , e S é a fronteirada regiâosólidaE contida
peloparabolóidez =1-x2 - y2 e peloplano z=O.
18.Determine o fluxo de F através de 5 , sendo
F(x,y,z) =XYi +yzj +zxk, e 5 é a parte do parabolóide
Z =4- x2 - y2, que está acima do quadrado O<x<l e O<y<1,
comorientaçãoparacima.
19. Determine a massa de um funil com o formato do cone
z =~x2 +y2 / com 1::;Z ::; 4 se a sus função densidade e
p(x,y,z) =10- z.
20. A águado mar tem densidade870Kg/m3 e escoaem umcampo
de velocidade =Yi +xj' em que v é em metros por segundo.
Encontrea vazão paraforado hemisfériox2 +y2 +z2 =9, Z ~ O
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<.
,
21. Determinaro fluxo do campovetariaI F{x,y,z) =2xi +2yj +2zk,
através da superfícieesféricax2 +y2 +z2 =a2 z>O, interiorao
cone z =~x2 +y2 comnormalexterior.
22. Um fluido com densidade 1200 flui com velocidade
v=-Yi +x j +2zk. Determinea taxade vazãodo fluido atravésdo
parabolóide z =9 - : (x2 +y2) ; x2 +y2 :::;36.
23. Utilizando o teorema da divergência,para encontrar o fluxo do
campo F(x,y,z)=z2xi+(-!_y3 +tgz)j +(x2z+y2)k e 5 e' a3
metadede cimada esfera x2 +y2 +z2 =1.
24. Calcular H[(4X- y)dydz+y2dzdx~xydxdyJ, emque 5 é a superfícieS
exteriordo cubo limitadopelos planoscoordenadose pelos planos
x=2,y=2ez=2.
25.
26.
it:
Use o teorema da Divergênciaparacalcular o fluxo de F sobre 5
sendo:
a) F{x,y,z)=x2z3i +2xyz3 j +xz4k , e S é a superfícieca
caixade vértices (±1,±2,+3)
b) F{x,y,z) =x2Yi +xy2j+ 2xyzk, e 5 é a superfície do
tetraedrolimitadopelosplanos x =O,y =O,z=O e x +2y+z =2.
Seja F um campo inverso quadrado, ou seja, F(r) = cr para
. Irl3
algumaconstantec , em que r =xi +Y j +zk' Mostre que o fluxo
deF por umaesfe-ra5 comcentronaorigeme independentedo raio
de S.
•
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. li'"
~.r,:
','~." .
,: I.
':f
V'f"\:)\_ç::~\J\\) 1à~
403
12/'022. o. r-2 dxdy
11[,-.r24. dydxo , l-x
)'1112j'226. dxd)',{} • eJ
l'/"I-'~28. - : ydxdl'li, f)
1"[-'-,30. - \..I~:-6x dI' d.\o . -\:·~-r
.".
Capítulo 15 Integraismúltiplas
P14-2x21. Jo 2 dydx
li/V;'23. U Jy . dxdy
i'lj"25. " dydxo I
j'3121Y-4.,J
27. 16xdydx
o ,li
111\I'i::>;129., ru; 3ydxdyo -v l-r
Calculandointegraisduplas
lrri'rrseny31. ydydxu x
33.1'11x2e'<ydxdy
12V"I'-;-1vft'3 131135. C·\2 dxdy 36. ,_ er'd)'dxo yl2 o VxJ10
1'1I16~1/2
37. cos(l67rx5)d.xdy
o y'"
lB~2 dydx
38. ' ------
o V"~y4 + 1
39. Regiãoquadrada jf R (y - 2X2) dA, onde R é a regi;io
limitadapeloquadradoIxl+ Iyl = I,
40. Regiãotriangular ./IRxydA, onden éa regiãolimita-
dapelasretasy ::::X, y = 2xex +y = 2.
Nos exercícios31-40,esbocea regiãode intcgraç;io,in-
vertaaordemdeintegraçãoecalculea integral.
32.12f22y2 senxyd\'dxo j,
[[4-.,2 '"
xc::H. ---- d\·rlx
tl , () 4 - }' .
2. t' to(x2y _ 2xy)dydx,!tJ 1-2
4. (2rr tr.(St'tlx+cosy)dx dy./rr ,I)
6. {rr{sell"'ydydxJo Jo
12ri8. I Jy dxdy
/'''Io'\I'X3 "10. 2. eyl\!xdydx• I , U
15.1
L..,~c.. d~ex:ev't:.\<\'m- rC(1...C,\J\..o;).:m
Encontrandoregiõesdeintegraçãoe
integraisduplas
Nos exercícios11-16,integref sobrearegiãodada,
11. Quadrilateral f(x, y) ::::x/y sobrea regiãono primeiro
quadrantelimitadapelasretasy ::::x,y ::::2x, x::::Iex ::::2.
12. Quadrado J{x, y) ::::lI(xy) sobreo quadradoI~x ~ 2,
1 ~ Y ~ 2.
13. Triângulo f(x, y) ::::x2 +j sobrearegiãotriangularcom
vértices(O,O), (1, O) e (0, I).
14. Retângulo fix, y) ::::y cosxy sobreoretângulo°~x ~ 7r,
O~y~l.
15. Triângulo flu, v) ::::V - ~ sobrea regiãotriangularcor-
tadadoprimeiroquadrantedoplanoLlV pelaretaLI +u:::: 1.
16. Regiãocurva l(s, t) ::::e'ln t sobrea regiãono primeiro
quadrantedo planost queestáacimadacurvas ::::In t de
t:::: 1a t:::: 2.
Ilto~ltt- ~M~'. 3E1:
Exercícios
Nos exercíciosI-10, esbocea regiãode integraçãoecal-
culea integral.
L'I~'2
1. (4 - i)dy dx
,o o
j'0f-'j3, (x + y + I) dx dy-, ,
-I
i'rr~'x5. xsenydydxo o
11l\8/"I1Y7. 1 Jo eX+Y dxdy
1"1';9. ' 3yJe-'Y dxdyu ()
(';
,
.~{.
,'t."
<'
t:·
,:.•íli
',:ir:
",jt".
,·,~.i'i. :~', ;",.....,r.
,~W;,
I!,'
, I
.i4,'
~~:I.>
,~it·
';~
,~~
,:1
jiJ:n
..i
Cadaumdosexercícios17-20dáumaintegralsobreLlma
regiãonoplanocartesiano,Esbocearegiãoecalculea integral.
17. {O j'-1I2dpdu (oplanapu)J2J"
18.111.fj":"";iStdtds (oplanast)o o
19. )'.,,/3 {see13 costdu dt (oplano tu)-."I3Jo
13j'4-2114 22tl. o I ~ LI du du (oplana uv)
Invertendoaordemdeintegração
Nos exercícios21-30, esbocea regiãode integraçãoe
escrevaumaintegralduplaequivalentecoma ordemde··in---
tegraçãoinvertida.
Volumesobumasuperfíciez =f(x, y)
41. Encontreo volumeda regiãolimitadapelopar;lbolÓide
z:::: x" +I e inferiormentepelotriângulodelimitadope-
lasretasy ::::X, X :::: Oex +y:::: 2 noplanoxy.
42. Encontreovolumedosólidoqueélimitadosuperiormen-
tepelocilindroz::::x'-einferiormentepelaregiãodelimita-
dapelaparábolay ::::2- :2epelaretay =x noplano,\T.
43. EncontreovollIDledosólidocujabaseéaregiãonoplano
xy limitadapelaparábolay =4 - Xl e pelareta)'=:Ix en-
quantoo topodosólidoé limitadopelopbno ;:=x +-\.
44. Encontreo volumedosólidonoprimeirooctantelimita-
do pelosplanoscoordenados,pelocilindro x: +.,.:= -+ c
peloplanoz +y:::: 3,
626 Cálculo
Exercíciosadicionais
141(4-y)/2
21. dxdy
2 o 23. f'lXdydx.lu ;-
_ .' , )' x 9
t., /Ix,y)::: 2' + 4,g(x,y) =="2+"2
(h) - 1
V29.097(98i - 127; + 58k)
1. f,,(O, O) == -I./, •.AO. O) == J
~ (' r' I (' 2 ')(j '2' =2 ;c +y + Z·
J'J. )' ::: 2In!senx! + In2
.,I (\ I (,' ,-')_. d, i- _I + IJ
\/53
23. lI'::: e-C'r.·lsen7Tx
13, V == v'Jabc
2 y~4-2x
~~}í2~(I.2)
25.1'11dx dy1 In)'
)'
(1.1)
191(v'9-Y)/227. o o 16xdxdy
CAPÍTULO IS
Seção15.1
I. 16 3. 1
(I. e)
(1.1)
)'
(TT.TT)
TT
)'Y
j11VJ:729. 3ydydx 31. 2-1 o
16 + e
(ln In 8.ln 8)
i'
_x
ln InM.
In 8
7. 81n8
(1:'·10"1
7T"
:>. :2' + 2
<), e - ::
33.~
2
35. 2
)'
(L li
• ! ) x
,I:
I
x
(yi;;3.2\.t"1n:,)
3 I .,lI. 1n-
]7. 8
n 1/6 15. - 1/10
19. 27T
37. 1I(807T)
Y
p
0.0625 (0.5;0.0625)
•__ nn __ •• _
Respostasselecionadas 627
39. - 2/3
y l'j'2Y- v'7. " dxdy = -31o r
)'
(1.1)
11. v2-
, 9, 12
(12,(;)
FORA DE ESC\I...\
3
13. 2"
)'
Y"'-~
1T
4"
(1T/4,Y2/2)
49. 2(1 + ln 2)45. 16 47. 20
20\1'3
"7 --
J. 9
43. 625/1241. 4/3
51. 2 3
53. 1T' 55. - '32
t f'2-'59. Jo Jx . (x2 +y2) dy dx =t
.v
x
61. R éo conjuntodepontos(x, y), talquex' +2y <4
63. Não,pelo teoremadeFubini,asduasordensdeintegraçãode-
vemdaro mesmoresultado.
67. 0,603 69.0,233
15. (a) O (b) 4/1T'2 17. 8/3 19. x = 5/14, Y = 38/35
21. x = 64/35.Y = 5/7 23. x = O,Y = 4/(377")
25. x = Y = 4al(31T') 27. Ix = I)' = 41T',Io = 81T'__
29. x = -1, Y = 1/4 31. Ix = 64/105,Rx = 2\/z/7
33. x = 3/8,y = 17/16
35. x = 11/3,Y = 14/27,I", = 432,R)' = 4
37. x = O,y = 13/31,Iy = 7/5, R).= V21/31
39. x = O,Y = 7/10; Ix = 9/10, Iv = 3/10. In = 6/5:
Rx = 3\16/10, Ry = 3v2/1Ó,Ro = 3V2/5
41. 40,000(1 - e-2)ln(7/2) ~ 43,329
43. SeO<II :55/2,entãoo aparelhoprecisaráserinclinadomais
que45"paratombar.
45. (x,y) =(2/r., O) 47. (a)3/2 (b) Os valores são os mesmos.
Seção15.2
1212'xI. dy dx = 2. o o 1'/"-)'ou dxdy = 2o . o
53. (a) (7/5,31/10) (b)(19/7,18/7) (c) (9/2.19/8)
(d)(11/4,43/16)
55. Parao centrode massafiquena fronteiracomum,li =_<1\; :.
Paraqueo centrodemassafiquedentrodeT, Iz >(/\/2.
y
j'I}"!'2 93 dxdy = -.. 2- 2 y- 2
y
(-I, lJ
H.-2)
/,'11I2/,.e'
5. dy dx =
• o ,o
(ln 2.2)
102
x
Seção15.3
1. r./2 3. 1T'/8 5. r.a2 7. 36 9. (I - 111 2)•.
11. (21n 2 - 1)(7l'/2) 13.('!T/2) + 1 15.'1T(ln <-I - I)
17. 2(1T' - 1) 19. 121T' 21. (3'!T/8) + 1 23.4
6< r::3 - 5/6 - O 2a 2(/
25. v j - 21T' 27. x = ,y = 29. '3 31. -:;:'
33. 21T'( 2- y';;) 35.t+ 5; 37.(a) V; (b) \
39. '1T ln 4 41.-i (a2 + 2h2)
Seção15.4
L 1/6
,.-r.•.,.:u~_,....•.,w,.~~-" ~~--:r~"'-""'''''~''''-' J'","H~_
RESPOSTAS, SUGESTÕES OU SOLUÇÕES / 1239 ~
~~'1~;(.;~::;~.,;~t--l:l>''-,,; __ ~ r
1
jl,
,
I
I
e-I - 1 :
f~[SCO~f) J ST[SSe~e ]/} o o p2 dp de + Z!. o p2 dp de ==
4
11
2543 o sec3e de == t [~+ In (1 + ~)]
I)
1
16 [1+ ;] m) o
oa) O que se quer é o valor da integraiS IA ..;xr+);' dx dy onde A é o conjunto Xl +y2;,;;2,
y ;;.Xl e O ..;;X ..;; 1. Em coordenadaspolares, a equaçãoda parábolay ==x' se escreve
sen e
p = cos1e
Então,
11 sen8 rr
S'/ . f4[ICOS' e ] r2[S.J2 ]JA-lx' +y'dxdy== o o' p'dp de+J!!.. o p'dp de.
4
11
, S4Observeque o
11
sen3 e }'
-- de ==
cos6e o
sen e (1 - cos2 e) de; faça, então, u =cos 8,
cos6e
rr
b) 16
2
c) 3
f~[fco~e J a3d) o o p1 dp de == '6 [fi+ In (1 + ~)]
6e) rra 3
n Sugestão, (cos 3e)3 cos e =(cos 38)2 cos 3e cos e =(cos 38)2 [ ~ (cos 4e + cos 28] =
1
== 2' cos 38 [cos 38 cos 48 + cos 38cos 28] ==
rr rr
f', f4 SCOS 28 ] 1 54g) JB dx dy == ri [o p dp de = 2 _~(cos28)1 de =
- B 8
1T
1. 5" [1 1 -2 _!! 2' + 2' cos 48J de =...
3. Façau=y-x e v=y+x·JfB-Vy2_X2dXdY== ;2
4, rrab
34.3
1. a) (-} , t) b) (o, ;;) (8 (x, y) =ky)
cia x2 +
I
\
I.
rr rr
c) JJBx dm =JfBkx) x2 + y2 dx dy ==kfi'ls:ecep3 cos e dp]dO = ~{4 sec3fi de =...
f) (o, 1~5rr)
1T) (21T3 ' 3'
7074 / UM CURSO DE CÁLCULO
e>' _X2 .
h)J'( 2 dxdyondeBéoconjuntodetodos(x,y)taisquel+x2..;;y";;2+x2,y;;.x+JB y _ X
+x2ex;;'0.
i) fIB x dxdy andeB é o círculo x2 +y2 - x.;; O.
j) J J B vi X 2 + y 2 dx dy ondeB é o quadrado O .;;x .;; 1, O .;;y <; 1.
I) f f B Y 2 dx dy ondeB ={(x, y) E IR 2 I x2 + y 2 ..;; 1,y ;;.x e x ;;.O).
m)ffB (2x +y) cos (x- y) dx dy onde B é o paralelogramode vértices (O,O), ( ; ,
_ !!..)e (!!-. _ 211~) - f"x"2. -.rill:.( C.\.~> Óle Cb.1,....c..\J\.~J§3 3' 3' .
b,.qlO~0 / l Z - \U rlY\A'. 3.f::I: - ~ .•....,\-. ""Ç' l~\I\:::>.~
~ ~ ~o~\31 Passepara coordenadaspolarese calcule
a)Il[J~ R+Y2dyJdX,o x2
I [...;x=xr -]b) J~ Io x dY. dx.
I[ 1+.JT=XT ]c) I J xy dy dx,o l-~
d) Ioa Uox vi x2 +y2 dy ] dx (o >O),
a[ Ja2-x2 Je) 10 L R _x2 _y2 dy dx (a >0).
f) J J8 x dx dy onde B é a região, no plano xy, limitada pela curva (dada em coordenadaspolares)
1T 1T
P ==cos 3e - - ;;;;;e .;; -
.' 6 6
g) J IBdx dy onde 8 é a região, no plano xy, limitada pela curva (em coordenada5:polares) p =cos
rr rr
28, - - <; 8 <; - .8 4
h)J JB xy dxdy ondeB é O círculo x2 +y2 - 2y .;;O,
onde~
34.3.
chapa
funçã
desde
dada
área (
não-h
3. Calculefk~y2 - x2 dx dy
(- ~, ~),
, ,( 1 1)onde B e o paralelogramo de vertices (O, O), :2':2' (O, 1) e ou sej
4. Calcule a áreadaregião limitada pela elipse X22 + L =1 (a >O e b >O).a b2
5. Sejam A == { (x,y) E IR21 1 + x2 .;; y .ç 2 +x2,x ;;.O ey ;;.x + x2} eB :::{(u, v)E IR 2 I 1 .;;;v .;;;
';;2,v;;.ueu;;.o).
a) Verifique que B =<p (A) onde (u, v) =<P (x, y), com u =x e v =y _ x2.
b) Verifiqueque a áreaeleA é igual à áreade B.
Assirr
(XI, )
quem
<":""r,:--~f'!""":~'V"-:-"
242 Cí1culoB - Funçõesde váriasvariáveis.integraismúltiplas,integraiscurvilinease de superfície
_,",i"""",,,,_, L"'S\A de...E"l<:eY~;:':'.c:\O\- C~\-c.U\J)33i1AqoITo- \2../\\.1rN\~'.3t::'..L __
. 1 U I Ixl ,?~~-ç::\..~\JUl1°~~
e) f(x,y) =--; R éoquadrado 1::; x::; 2 J J'x +y m) (x2 - 2/)dydx1 ::; v ::; 2,
- . -I --I
r:
2, Esboçara regiãode integraçãoc calcularas integrais
ileradasseguintes:
I 2x
a) J J (2x +4y) dydx
o x
2 \'
b) J J (x/ +x) dxdy
o - y
(' I
c) f JXdYdX
I lI1x
r. lnx
d) J f _I. -: dyeixe - e>
o
1T scn x
e) I I y dydx
n o
1 v'I7
f) J J x dxdy
o ()
2 x .~.I
11) 1'1' x2 dvdx
-I (I
3. Invertera ordemdeinlcgraç;10
y,'2
a). J l' .f(x. y) dxd\'
n fi
I x"
b) J f {(x, y) clydx
n .\..l
2 c'
c) J J f(x, y) dydx
n
3 -.l)+2x+.1,
d) f J f(x, y) dydx
-I 11
7T/4 Sl'l1.T
e) J J f(x. y) dydx
o .2'/2x
r.
''<.
:.~. 1:
] v'4=:'
g) J J xdydx
-1 vi=?
IV;
h) f f 2xy dydx
() x'
2 X
i) I I ylnxdydx
n
I Y
j) I I v;+ydxdy
o o
1 I
k) J f sec'x dydx
() ()
1 I
1) f f Ix + )'1dxdy
Il --I
2 r'
f) J J [(X, y) dxdy
(I ()
1 )x
g) f J fex. y) dyd:c
O 2x
4. Calcuiar II (x +4) dxdy, onde R é o retângulo
/I
O ::; X ::; 2. O ::; y ::; Ó, Interpretargeometricamente,
5. Calcular lJ (8 - x - y) dxdy, ondeR é a região
li
delimitadapory =x2 e )' =4,
6. Calcular II~ SCI1 (V';:y) dxdy. onde R é are,
li
'- d I' , d O 7T \1
gJao e ImIta a por)' = .x =?e )' = 'x.
\I~ L
14
15.
1G,
R
1 :5X :52, - 1 :5 Y s1.
fI v lnx A8. Calcular ~ dydx, onde R é o retangulo
7. Calcular II senx seny lixdy, ondeR é o retâng~lo
R
7T 1T
O :5 X :5 -, O :5 Y :5 -.2 2
-'
.•'.l"I"'''''-.;.••.''''.•,,, .••••,,:,.,~.,
"243'
··'.·M:..:.-.•.~·\l'>'••,ol~•.•~~;; ••'.•{.,·
CAPiTULO 7 tntegral dupla
18. Calcular II y Lixdy, sendoR a regiãodelimitadapor
fi
x =0, x == y2 +.I, Y =2 e y = -2,
17. Calcular fIx dxdy, sendoR aregiãodelimitadapor
1I
3 5
y == - x, y == 4x e y == '2x +2"
-", '. ---.-~,- .••••.,.,.,'. ~'--·-""""ÕillIÔ'---· ..,---~.- "'- .._ ..-.
~:s-;
11. Calcular .fI (2x +y) dxdy, onde R é a região
I<
ddin1iladaporx == y2 - 1;x == 5; Y = - 1e y == 2.
9. Calcular IJ (x2 + /) dxdy, onde R é a região
I<
delimitadapor y == ~, x == 4 ey == O.
19. Sejamp(x) e Cj(Y) funçõescontínuas.Se R é o rélân-
guio [a, bJ X [c, d], verificarque
/; ti
II p(x) q(y) dxdy == I p(x) dx' J q(y) dy.
R li
a região
y
20. Calcular jJ (x + y) dxcly, onde R é
1I
descritanaFigura 7.17.
fI dvdxCalcuhu' (- l' ondeR é()retângulo3 :Sx:s4,x +y)-
I<
I :5Y :52.
10.
x
2
y
Figura 7.18
;>ry=1/X>:---L-
1/2 2 x
Figura 7.17
21. Cakular ff (1 +x +y) dxdy, ondeR é delimita-
R
da pelo triângulo(1,1), (1,2)e (2,-1).
22. Calcular ff x dxdy, ondeR é a regiãodescritana
/I
Figura7.18.
por y = XC e y = 3x - 2.
1S. Calcular JJ (x + I) d.u/v, sendoR,l regiÜodeli-
/I
llliWU<I por Ixl + !.vl= I.
..,
I G. Calcular IJ 2.1' dxd}', sendoR a regiãodelimitada
11
14. Calcular ff e-": dxliy, sendoR a regiãodelimitada
1I
por X =4.1', Y == O é X == 4.
13. Calcular If (x + y) c/xcly, ondeR é a regiãodeli-
/I
mitadapor y = x2 +1;Y = - I - x2; X == -1e
x=1.
12. Calcular fI .r~dxdy, ondeR é a regiãodelimitada. .r-
1I
j
por l' = x; V =- e x == 2... x
1
'j
I
j•
'l
J
~~Ii
I
I
1
-"'-
1
,
.''11!~'Wl.'1~i·~'~':")f1'"Y!~:I'''~
430 Cálculo B - Funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilineas e de superficie
·~t~~I'ji.;~:n'!~IJi*h:<;,M~
Seção6.10
b) 2(x-y);Z(x-y)k c)2(x+y+z);0
,-
d) Ze" cosy: Ze" sen)' k
1. a) 8x:l + xeX)' b) 2 senxcosx c) 4xy2 + 3xz + y2
~ ~
4. a) 3- y; (1- z) i + j
d) x + 1x 2. a) sim b) sim c) não
......J> -4 - k
e) yz3 +6xy2 - x2y; - x2z i + (3xyz2 + 2xyz) i + (2i - xz3)k f) o; ~:x +r
g) y2z + 4xyz + 3xy2: (6xyz - 2X)'2)-; + (xy2 - 3lz) T + (2y2z - 2xyz) k
5. a) (-ysenxy - xcosxy)k b)(-1 - 3x)7 + (3z - 2x2)k c) - k
7. a) 2z b) 2(x +y +z) c) (x - y)(7 +}) d) ()
e) (2xyz - .\h+ 3xz2)7 + (3yz2 + y2z + 2xyz) 7 + (3x2y - 2Z3,+3xy2)k
fi Z2(X - y) T +Z2(y - x) 7+ (x - y) (y2 - x2) k g) O
8. a) 15sen 2 +2 b) O
9. a) (6x2yz - x) -; + (2x:lz - cosx) 7 + (2x.1)'+ z) k b) 12x5y<:+2X4Z2+ 2x.1ysenx
c) (2x3z senx - 4x4yz) i + (Zx6y - 6x2yz sen x - 2x"yzcosx) T + (8.\:'yz2- 2x"z)k
1O. O 11. a)sim b) não c) sim d) sim e) não 13. a) não b) sim c) sim d) não e) sim f} sim g) sim
16. -/-2xy+a(x)15. a) sim b) não~14.a) sim b) não c) sim d) sim e) siní
i
18. a) é conservativoemIR2 11)é conservativoemD c) nãoé conservativoem f) (.l)é cOllservativoemD
e) nãoéconscrvat.ivoemIR' fl nãoécOllservativo em IR"
g) écOllservativoemIR' h) éconservativoem IR2
19. a) não b) sim: 11 = x - y cosx + y + c: c) não <ill>é conservativoemdomíniossimp,lesmenteconexosquc nãocontêm
pontosdaretay = - x: 11 = ln Ix + )'1 - ln Ixl - 3x + / + x/ + c
e) sim:u =5x2z - cosxy + cf) sim: 11 = r' + 2e" + :ic'- + c
20. a) u=_(x2+y2+Z2)-1/2+C b) u = In (x2 + y2 + Z2) + c c) /I =xye' +c
Capitulo 7
Seção7.6
fi e" 3
2. a) 3" b)O c)4-4 d)l
1 1 I Ik) 2:secl.tg1+2:lnsecl+tgl
4 ,--
j) 15(2V2 - j)
41n2 7i)-- -'-
3 IR
e) 10ln2 - óln3
1
h)-
6
27
n)4
g) O
1
m) - 2:
3
d)2[31n3 - 21n2 - 1]
J 1
e)-rr 1)-
4 3
4
1)-
3
4
c)--
rrb)~ [eJ - 4]3
1. a) e' - e - 2
2 4
3. ~ f ff(X,Y)dYdX
o ~
1 \,.r;:
b) f ff(X, y)dxdy00
r 2 t·: 2
C) f f.r(x, y)dxdy + f f f(x, y)dxdy
O 1 c Iny
·1 I +v';=-~
c1) J LJ(x. y)dxd\'
O 1-\(4-)'
V2 V2"
"2 -4-Y
e) f f f(x. y)dxdy
n flrc~cn\'
4 2
f) J f f(x. y)dyâx
o vr;:
I
2 2·"
g) J J /(x, y)dxdy +
o 1I"
:l
I
J Jf(x,y)dXdV
2 lI"
"
4. 60.volumedo sólidocujabaseé o retângulodadoe queestádelimitadosuperiormentepeloplanoz =x +4
n!!S7••••.•••
----.....•.._ ...•_------------------------------------~..-----~--_._-------_._._ -.,- " . . . ' •.•.: .. ;_ ,.( ",,1.,:.•••'.~""
.••• , •• r-~_~IIt!j~~~~~i:
ApendlceB - Respostasdos exercICIOS . 431 .'.
..;-.4i.~~loIi.i.I~i;,~'I'·
16. ~ 17. O
24. ~[e-I]
5 896 6 7i .- --I
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14. -fJ - e-I"]
D t
• :2 X\/2 .~
23. ~- -~-- +2'v.'
~) .)
7. I
15.2
B. O 9. 4288
105
10.21n5 - In3 - 31n2
18. O 20. 2
11. 1533
20
21. ~
2
12. 2-
4
22. ~
6
13. o
14. /'íT. (\ulu1l1ede 1I1l11rlll1Clltil' l'ilil1dro)
Sedio7.8,
, 7T 51í _
2 --fI - cus41 3 -In)
. 2 ' J' 8
7 7T r' J• ;- .t" - 1 13. 27i
17. 87i
12. 27T
3
11.o
7T [ I]4-1---. 2 \/1 + a2
4\12 4 7Ta] 7T
f) -- c) - 11) - i)-
. 3 - 3 Ú 2
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'16. 2r.[ 251115 - 321112 - ~J15 ~ St:11 I. 6
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37Ta4
b) -.;-
37Ta4
c) -2·
19.7\12
6
20.1087i 21.216rr 22. 4 23.4
Seção7.10
1. !_~ 2 128 3 ~~.
3 . 3 . 3
11. 135rr I, "4" ~_.~. V jTj
7T 5. 327T6. 3~O7. 81rr8 128rr9 12810. 160rr4. -;:; .)
4. 3 . 3
13 467i
2
15. J..16. volumedo hemisfériode raio 1. ~ 14.'336-'
17. volumedo telraeurodelimitadopelosplanosl:ourden'ldose pelo plano3x +2)' +6z =6
18. volumedo paralt:lepípedoddillliwuo pelosplanosl·oon.lenadosc pelosplanosz = 1, .\'= 2e Y'= .l
19. volulllede limacalhacirt:ularretade raio 2e :dtura4
20.~ 21.2rr
4
28
28. Ali. = AI{,= "3
14 3rr [ 7T]22. 3{/2 23. 8' 24. 2 arclg 2 - '4
. (1) 14k (3 )29. a) 2k, 3'() b) 3' 7'()
25. 16\16)--)
30. li) 128k
15
26-.,~- !
2 e
b) 512k
7
27. 14ú
9
31. 99krr
2
32. o centrode massacoincidecomo centrodo quadrado
33. a) J 1,7k (35 529)b) 52'182
3033kc)-.-
2H 3 (2347)~4. 4' 45'18
3 5, 5. 25k; o centrodelIlaSS,lsitua-seli]' cmdabase,sobresuamedilltriz 36. 64k 37. a) 625k7T2
625k7Tb)--
4
38. 641<
3
Capitulo 8
Seção8.5
1 26
M3.2rr
"l_
. 3
..~-'
13. ! 14 6B15.~4
. ~
3-'
')777 167T 9 ~10.~4
1
7T-4.4 5.06~ B.11211'3-ln312. 7i2 - 6 sen-:-. 3
. 3 . 53 6
128V2
1 3112812895127 811T
16']05
18. a) - b)-c) - d) - e)-
f) 42 g) 7Th)-6 120 21 2J 8 2
Seção 8.7
1. rr('256_ 44\/3) 2. 256rrl:l:'i 15
3. 128
:1
4. 2(37T- 4)
l) .
5. o
-166 ---rr
. 3
7. o
]68 -7T
. 3
9. 9727T
:;