Geometria analitica UERJ - 2011

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Geometria anal´ıtica - 2011
Alexandre Teixeira Be´hague
Suma´rio
1 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana . . . . . . . . . . . 4
2 G.A., Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 G.A., Soma de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 G.A., Soma de ponto com vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 G.A., Dependeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 G.A., Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 G.A., Mudanc¸a de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 G.A., Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 G.A., Orientac¸o˜es no espac¸o R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 G.A., Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10 G.A., Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 G.A., Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1 G.A., Mudanc¸a de sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 G.A., O conceito topolo´gico de distaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 G.A., O conceito de distaˆncia atrave´s de vetores . . . . . . . . . . . . . . . 53
Liberte´, Se´curite´, et Justice.
L’ide´al affiche´ est celui de la liberte´ de chacun dans le respect de tous,
du droit des peuples a` disposer d’eux-meˆmes,
d’institutions faites pour garantir le bien-eˆtre social.
(Liberdade, seguranc¸a e justic¸a.
O ideal alardeado e´ aquele da liberdade de cada um em respeito a todos,
do direito dos povos de dispor deles mesmos,
das instituic¸o˜es agirem para garantir o bem estar social.)
’Nascemos matema´ticos, na˜o nos tornamos matema´ticos.’
Poincare´.
1
Suma´rio Suma´rio
Fonte bibliogra´fica
Geometria Anal´ıtica, um tratamento vetorial, Camargo, Ivan de; Boulos,
Paulo, Pearson Prentice Hall.
Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, Vol. 1, Swokowski, Earl W., Makron Books
do Brasil Editora Ltda. Ler Cap´ıtulo 1, pg. 1 ate´ pg. 47.
Nota sobre avaliac¸a˜o
Essa disciplina na˜o e´ fa´cil, exige tanta dedicac¸a˜o quanto o Ca´lculo diferencial e inte-
gral, por isso sera˜o disponibilizadas algumas listas de exerc´ıcio e se espera que os alunos
procurem o professor, fora do hora´rio de aula, para eliminar du´vidas.
Sera˜o feitas 3 provas, a primeira sobre segmentos orientados, operac¸o˜es vetoriais,
equac¸o˜es de retas, equac¸o˜es de planos, posic¸o˜es espec´ıficas, sistema de coordenadas no
espac¸o; a segunda sobre coˆnicas e a terceira sobre qua´dricas. O crite´rio de avaliac¸a˜o para
essa disciplina e´ o oficial:
1. Esta´ aprovado o(a) aluno(a) que obtiver me´dia
M :=
P1 + P2 + P3
3
≥ 7
2. Caso 4 ≤M < 7, faz prova final e e´ aprovado quem obter me´dia final
Mfinal :=
M + Pfinal
2
≥ 5
isto e´, Pfinal ≥ 10−M .
3. Caso M < 4, esta´ reprovado.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 2 Geometria anal´ıtica - 2011
Suma´rio Suma´rio
Introduc¸a˜o
A esmagadora maioria da populac¸a˜o mundial na˜o sabe que cieˆncia e´
conhecimento exato e racional de coisa determinada,
e´ sistema de conhecimentos com um objeto determinado e um me´todo pro´prio.
Matema´tica e´ a cieˆncia exata por exceleˆncia, se ocupa de ide´ias e resultados demon-
strados rigorosamente. Muitas pessoas acham que Geometria e´ a parte da Matema´tica
que se ocupa com desenhos, triaˆngulos, c´ırculos, etc., Geometria e´ muito mais do que isso,
e´ uma cieˆncia exata com nomenclatura e procedimentos pro´prios, que se subdivide em
va´rios ramos teo´ricos, de acordo com o objeto de estudo. Existem, entre outras:
Geometriaeuclidiana
Geometriadescritiva
Geometriaprojetiva
GeometriadeLobatchevski-Bolyai
GeometriadeRiemann
Teoriageométricadafolheações
Sistemasdinâmicos
Topologiadiferencial
Topologiaalgébrica
Análiseemumaouváriasvariáveis,reaisoucomplexas
Teoriadegrupos
CálculodiferencialeintegralGeometriaanalítica
Álgebraelementarevetorial
Geometriadiferencial
Topologiageral
Geometriariemanniana
Coube a Rene´ Descartes (1596-1650), matema´tico e filo´sofo franceˆs, fundador do
racionalismo moderno, cr´ıtico da auseˆncia de fundamentos teo´ricos no ensino das cieˆncias,
introduzir o procedimento de associac¸a˜o de equac¸o˜es aos entes geome´tricos, o chamado
me´todo cartesiano, e fundar a Geometria anal´ıtica.
Mais tarde, Gottfried Wilhelm Leibniz (alema˜o, 1646-1716)1 em 1684 e Isaac Newton
(ingleˆs, 1642-1727) em 1687 apresentaram os princ´ıpios fundamentais do Ca´lculo Infinites-
imal, fazendo forte uso da Geometria anal´ıtica e do conceito de limite.
1 Matema´tico e filo´sofo alema˜o, considerado como um dos esp´ıritos mais brilhantes do 17o se´culo,
contribuiu com as matema´ticas descobrindo, em 1675, os princ´ıpios fundamentais do ca´lculo infinitesimal.
Esta descoberta foi realizada independentemente da de Newton, que inventou seu sistema de ca´lculo em
1666. O sistema de Leibinz foi publicado em 1684, o de Newton em 1687, e´poca na qual o me´todo de
notac¸a˜o imaginado por Leibinz, bastante influenciado pelos trabalhos de Descartes, foi universalmente
adotado
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 3 Geometria anal´ıtica - 2011
1 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
1 G.A., Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
Conjunto e´ uma colec¸a˜o de coisas fundamentais (em Geometria sa˜o chamados pontos,
em A´lgebra sa˜o chamados elementos), indivis´ıveis, minimais, na˜o constitu´ıdos de nada
menor e que possuem todos uma mesma propriedade matema´tica, que pode ser nume´rica
(quantitativa), ou na˜o nume´rica (qualitativa). A nomenclatura usual e´
’s´ımbolo do conjunto’ = {’propriedade que um elemento qualquer do conjunto verifica’}
Um subconjunto Y de um dado conjunto X e´ uma colec¸a˜o de pontos particulares de
X com uma determinada propriedade comum P, escreve-se
Y = {pontos A ∈ X; A verifica P}
leia ’Y e´ formado dos pontos A que pertencem a X tais que A verifica P’
Usa-se a notac¸a˜o Y ⊂ X (leia ’Y esta´ contido em X’, ’Y e´ subconjunto de X’) para
indicar que cada ponto de Y e´ tambe´m ponto de X.
A ide´ia de igualdade em Matema´tica na˜o e´ ta˜o simples com muitos acham: quando
se diz ’X e´ igual a Y’, quer-se dizer que todos os pontos do conjunto X sa˜o pontos do
conjunto Y, e todos os pontos de Y sa˜o tambe´m pontos de X. Nesse caso, escrevemos
X = Y. Mas, basta um ponto de X na˜o ser ponto de Y para que esses dois conjuntos na˜o
sejam iguais, da´ı escrevemos X 6= Y.
Com dois conjuntos podemos formar treˆs tipos especiais de conjuntos:
1) A unia˜o de X e Y e´ o conjunto
X∪Y = {pontos A; A ∈ X ou A ∈ Y}
2) A intersec¸a˜o entre X e Y e´ o conjunto
X∩Y = {pontos A; A ∈ X e A ∈ Y}
Quando X∩Y = ∅, ou seja, quando X e Y na˜o teˆm ponto comum, diz-se que X e Y
sa˜o disjuntos. Mas cuidado, em Matema´tica a palavra ou na˜o significa ’ou e´ P ou e´ Q’,
pode ocorrer ’e´ P e e´ Q’.
3) O produto cartesiano de X e Y e´ o conjunto
X×Y = {(x, y); x ∈ X e y ∈ Y} (leia ’X vezes Y’)
de pares ordenados, onde os conjuntos X e Y podem ter mesma natureza ou na˜o, um pode
ser nume´rico e o outro na˜o nume´rico.
Segmento de reta AB e´ o conjunto de todos os pontos alinhados (colineares) com A e
B e que esta˜o entre A e B. Aqui a ide´ia de alinhamento e´ intuitiva.
A B
..
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 4 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores
Semi-reta
−→
AB e´ o conjunto AB ∪ {pontos P ; B esta´ entre P e A}
. .
A B
com um in´ıcio, a origem A, e que se estende infinitamente (indefinidamente) com uma
determinada direc¸a˜o.
Reta
←→
AB e´ a reunia˜o
−→
AB ∪ −→BA, conjunto infinito formado
de infinitos pontos.
. .
A B
Treˆs pontos sa˜o colineares se ha´ uma reta que os conte´m; sa˜o na˜o-colineares se na˜o
esta˜o simultaneamente em uma mesma reta.
A intersecc¸a˜o de duas retas pode ser, no ma´ximo, um u´nico ponto e, nesse caso, as
retas determinam um plano, se retas r e s teˆm ponto comum A, escolha B ∈ r, C ∈ s
e o plano que conte´m r e s, o plano que conte´m A,B e C na˜o-colineares, e´ a reunia˜o
{retas que passam por A e um ponto de BC} ∪ {retas que passam por B e um ponto de
AC} ∪ {retas que passam por C e um ponto de AB}.
.
.
.C
A B
Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe um u´nico plano Π (pi maiu´sculo, ’P’) que
os conte´m. Duas retas sa˜o paralelas quando sa˜o coplanares (esta˜o em um mesmo plano)
e sa˜o disjuntas. Dois planos sa˜o paralelos quando sa˜o disjuntos, infinitos planos paralelos
determinam o espac¸o, muitas vezes denotado pelo s´ımbolo R3, ou V3.
Dados um plano Π e um ponto P 6∈ Π, existe um u´nico plano Σ (sigma maiu´sculo,
’S’) que conte´m P e e´ paralelo a Π.
2 G.A., Vetores
Existem grandezas (tudo o que se pode comparar, aumentar ou diminuir) associadas
a um nu´mero e a uma unidade dimensional; por exemplo, a frase ’leite vem em uma
embalagem contendo 1 litro’ esta´ completa, na˜o da´ espac¸o para ma´ interpretac¸a˜o e na˜o faz
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 5 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores
diferenc¸a a posic¸a˜o da embalagem, nem onde esta´. Outras grandezas necessitam tambe´m
de uma direc¸a˜o e de um sentido; essas sa˜o as grandezas vetoriais e sa˜o extremamente
importantes em F´ısica, quando falamos de forc¸a, velocidade, pressa˜o, etc.
Voltando a` ide´ia de segmento de reta,
A B
..
quando se desenha AB com uma re´gua, na˜o faz diferenc¸a se trac¸amos o segmento desde
A ate´ B, ou de B ate´ A.
Muitas pessoas acham saber o que e´ um vetor, acham que vetor e´ como uma flecha,
no entanto o conceito e´ bem mais complicado do que isso e necessita de uma sequ¨eˆncia de
ide´ias que passamos a estudar agora. Apo´s termos desenhado AB, pode ser interessante
fixar um ’comec¸o’ e um ’fim’.
Definic¸a˜o 1. Dois pontos A e B da˜o origem sempre a dois segmentos orientados, um
desenhado de A ate´ B e denotado pelo s´ımbolo (A,B), outro desenhado de B ate´ A e
denotado pelo s´ımbolo (B,A). A primeira letra no par ordenado representa a origem do
segmento orientado, a segunda letra representa a extremidade. •
Cuidado, (A,B) na˜o deve ser confundido com um elemento de um produto cartesiano,
na˜o e´ um par de pontos, mas sim um infinidade de pontos alinhados. Agora note bem, dois
pontos A e B da˜o origem sempre a dois segmentos de reta e a dois segmentos orientados,
sendo que:
1) AB = BA,
2) (A,B) 6= (B,A).
Um par do tipo (A,A) e´ chamado segmento orientado nulo.
Definic¸a˜o 2. (A,B) e (C,D) sa˜o ditos de mesmo comprimento se os respectivos segmentos
de reta AB e CD teˆm mesmo comprimento.
Diz-se que (A,B) e (C,D) sa˜o de mesma direc¸a˜o, que teˆm mesma direc¸a˜o, quando
AB e CD sa˜o paralelos (i.e.
←→
AB e
←→
CD sa˜o coplanares e disjuntas).
Se (A,B) e (C,D) de mesma direc¸a˜o forem na˜o-colineares, diz-se que sa˜o de mesmo
sentido quando AC ∩BD = ∅, e sa˜o de sentido contra´rio quando AC ∩BD 6= ∅.
Mas, se (A,B) e (C,D) forem colineares, enta˜o tomamos E 6∈ ←→AB(=←→CD) e F de tal
sorte que (E,F ) tenha mesmo sentido de (A,B). Enta˜o, (A,B) e (C,D) sa˜o de mesmo
sentido se (C,D) e (E,F ) sa˜o, e (A,B) e (C,D) sa˜o de sentido contra´rio quando (C,D)
e (E,F ) sa˜o. •
Definic¸a˜o 3. (A,B) e (C,D) sa˜o equipolentes quando:
1) Sa˜o nulos, ou,
2) Sa˜o na˜o-nulos e teˆm mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento. •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 6 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores
Descartes introduziu o s´ımbolo
(A,B) ∼ (C,D)
para indicar a equipoleˆncia entre (A,B) e (C,D), vamos utiliza´-la frequ¨entemente.
Cuidado, e´ errado dizer ’(A,B) e´ igual a (C,D)’, pois frequ¨entemente esses conjuntos
teˆm pontos diferentes. O correto e´ dizer ’(A,B) e´ equipolente a (C,D)’, ou ’(A,B) e
(C,D) sa˜o equipolentes’.
Proposic¸a˜o 1. A equipoleˆncia possui as seguintes propriedades:
E1) (A,B) ∼ (A,B).
E2) (A,B) ∼ (C,D)⇒ (C,D) ∼ (A,B).
E3) (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F )⇒ (A,B) ∼ (E,F ).
Demostrac¸a˜o. O segmento orientado (A,B) compartilha direc¸a˜o, sentido e comprimento
com ele mesmo, logo e´ equipolente a ele mesmo e esta´ provado E1.
E2) Temos que (A,B) e´ paralelo a (C,D), AC ∩ BD = ∅ e a distaˆncia de A ate´ B
e´ igual a` distaˆncia de C ate´ D. Essas informac¸o˜es matema´ticas na˜o levam em conta a
ordem em que as letras (pontos) sa˜o apresentados, portanto podemos escrever (C,D) e´
paralelo a (A,B), BD ∩ AC = ∅ e a distaˆncia de C ate´ D e´ igual a` distaˆncia de A ate´
B. Assim (C,D) ∼ (A,B).
E3) Por um lado, (A,B) e´ paralelo a (C,D), AC ∩BD = ∅ e a distaˆncia de A ate´ B
e´ igual a` distaˆncia de C ate´ D. Por outro lado, (C,D) e´ paralelo a (E,F ), CE ∩DF = ∅
e a distaˆncia de C ate´ D e´ igual a` distaˆncia de E ate´ F .
Segue claramente que (A,B) e´ paralelo a (E,F ), AE ∩ BF = ∅ e a distaˆncia de A
ate´ B e´ igual a` distaˆncia de E ate´ F , ou seja, sa˜o equipolentes os segmentos orientados
(A,B) e (E,F ). •
Proposic¸a˜o 2. Se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o (A,C) ∼ (B,D).
Demostrac¸a˜o. Desenhamos AC e BD e o resultado e´ um paralelogramo, de sorte que AC
e´ paralelo a BD, AB ∩CD = ∅ e a distaˆncia de A ate´ C e´ igual a` distaˆncia de B ate´ D.
Segue o resultado. •
Chegamos finalmente a` ide´ia de vetor:
Definic¸a˜o 4. A classe de equipoleˆncia de (A,B) e´ o conjunto de todos os segmentos ori-
entados (em nu´mero infinito) que sa˜o equipolentes a (A,B). Outros nomes para esse
conjunto sa˜o vetor AB e vetor que e´ representado por (A,B). Tal conjunto e´ denotado
pelo s´ımbolo
−→
AB. •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 7 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores
A
vetor
B
AB
.
.
Evidente que (A,B) pertence a` sua classe de equipoleˆncia. Tambe´m, se (A,B) ∼
(C,D), enta˜o
−→
AB =
−−→
CD (verifique!).
Algumas observac¸o˜es:
1) E´ errado dizer ’
−→
AB e
−−→
CD sa˜o equipolentes’, o correto e´ dizer ’
−→
AB e
−−→
CD sa˜o iguais’,
ou ’
−→
AB e´ igual a
−−→
CD’.
2) Muitas vezes na˜o e´ interessante destacar qualquer segmento orientado para indicar
um vetor, usamos enta˜o letras minu´sculas com uma seta superior tal como −→a ,−→b ,−→v , etc.
3) Se ocorre de −→v ser representado por (A,B), enta˜o −→v = −→AB. E´ muito comum
vermos em textos matema´ticos a ilustrac¸a˜o
v
que deve ser interpretada com cuidado: o s´ımbolo −→v ao lado do segmento orientado
(flecha) esta´ nos lembrando que esse segmento orientado e´ um dos infinitos representantes
do vetor. So´ isso! Bem ao contra´rio do que muitos acham, na˜o podemos desenhar um
vetor, simplesmente porque vetor na˜o e´ um segmento de reta.
O conceito de vetor pode parecer complicado, mas e´ bastante u´til e fa´cil de manipular;
por exemplo, dados −→v e A quaisquer, e´ fa´cil ver que existe um u´nico B tal que (A,B) ∈ −→v ,
isto e´,
−→
AB = −→v : basta aplicar o 5o postulado de Euclides (Postulado das paralelas),
escolha (P,Q) ∈ −→v e considere a reta r que conte´m A e e´ paralela a PQ. Agora e´ fa´cil
encontrar B ∈ r tal que (A,B) ∼ (P,Q).
Antes de avanc¸armos para as operac¸o˜es vetoriais, torna-se necessa´rio estabelecer dois
tipos particulares:
1) Por vetor nulo, vetor zero, entende-se qualquer vetor que admite um representante
segmento orientado nulo. Ja´ e´ tradicional escrever
−→
0 ,
−→
AA, etc., para indicar vetores nulos.
2) Seja (A,B) um representante de −→v . Por vetor oposto de −→v entende-se o vetor que
tem (B,A) como um representante. Ja´ e´ cla´ssico escrever −−→v ,−−→AB e −→BA para indicar
o vetor oposto de −→v .
E´ deixado como importante exerc´ıcio a verificac¸a˜o
de que:
1) −→v = −(−−→v ),
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 8 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.1 G.A., Soma de vetores
2) −→v = −−→v se, e somente se, −→v = −→0 .
Voltando a` definic¸a˜o 4, e´ fa´cil aplicar aos vetores as ide´ias ’ser paralelo’, ’ser de mesma
direc¸a˜o’, ’ser de mesmo sentido’, ’ser de sentido contra´rio’. Por exemplo, se −→a e −→b sa˜o
na˜o-nulos, enta˜o esses sa˜o de mesma direc¸a˜o quando um representante (logo qualquer) de
−→a e´ paralelo a algum representante (logo qualquer) de −→b .
Por uma questa˜o de ajuste teo´rico,
−→
0 e´ paralelo a qualquer outro. Podemos verificar
facilmente va´rias consequ¨eˆncias, por exemplo a seguinte: suponha que −→a e −→b sa˜o de
mesmo sentido e que
−→
b e −→c tambe´m sa˜o de mesmo sentido; enta˜o −→a e −→c sa˜o de mesmo
sentido (verifique!).
Definic¸a˜o 5. A norma de −→v e´ igual ao comprimento de qualquer um de seus representantes.
Indica-se esse comprimento por |−→v |. •
E´ o´bvio que |−→0 | = 0. E se |−→v | = 1, −→v e´ chamado vetor unita´rio.
Proposic¸a˜o 3. Sejam −→a e −→b na˜o-nulos. Ocorre −→a = −→b se, e somente se, ambos vetores
sa˜o de mesma direc¸a˜o, de mesmo sentido e de mesma norma.
Demostrac¸a˜o. Partimos da hipo´tese −→a = −→b e essa implica que qualquer representante de
−→a e´ tambe´m representante de −→b , pois se (A,B) ∈ −→a , enta˜o (A,B) ∈ −→b , e vice-versa.
Portanto, automaticamente temos que os representantes de −→a e de −→b sa˜o todos de mesma
direc¸a˜o, de mesmo sentido e de mesma norma. Isso se reflete, por definic¸a˜o, nos vetores
que sa˜o enta˜o de mesma direc¸a˜o, de mesmo sentido e de mesma norma.
Reciprocamente, suponhamos que −→a e −→b sejam vetores de mesma direc¸a˜o, de mesmo
sentido e de mesma norma. Quaisquer representantes (A,B) de −→a e (C,D) de −→b sa˜o
de mesma direc¸a˜o, de mesmo sentido e de mesma norma, essa equipoleˆncia implica que
ambos pertencem a` mesma classe de equipoleˆncia, logo −→a = −→b . •
2.1 G.A., Soma de vetores
De agora em diante, R3 indica o conjunto da Geometria anal´ıtica onde encontramos
pontos, retas, segmentos orientados, vetores, planos, c´ırculos, esferas, etc. Esse conjunto
e´ chamado espac¸o cartesiano real de dimensa˜o 3, espac¸o para encurtar, possui duas estru-
turas matema´ticas importantes (sistemas de coordenadas e a dos espac¸os vetoriais reais)
e suporta algumas operac¸o˜es vetoriais.
A primeira que se define e´ a operac¸a˜o de adic¸a˜o vetorial, adic¸a˜o de vetores,
+: R3×R3 → R3,
(−→u ,−→v ) 7→ −→u +−→v
assim pensada: sendo (A,B) um representante de −→u , toma-se um representante de −→v
com origem em B, digamos (B,C), e o vetor soma −→u +−→v sera´ aquele representado por
(A,C). Ou seja, −→u +−→v = −→AB +−−→BC = −→AC.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 9 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.1 G.A., Soma de vetores
C
+
.
A
.
u
v
u v
u v
B
.
Exerc´ıcio 1. Por queˆ a adic¸a˜o vetorial pode ser definida desse modo?•
Resposta: o Postulado das paralelas garante que podemos encontrar um representante
de −→v com ponto inicial igual a` extremidade do representante escolhido para −→u .
Exerc´ıcio 2. Prove que a adic¸a˜o vetorial esta´ bem definida, isto e´, −→u +−→v independe dos
representantes. •
Resposta: se for trocado (A,B) por (X,Y ), e (B,C) por (Y, Z), enta˜o −→u + −→v =−−→
XZ =
−→
AC, pois (X,Z) ∼ (A,C). Verifique graficamente!
Do ponto de vista das ilustrac¸o˜es, existem duas opc¸o˜es equivalentes:
1) Desenhamos (A,B) e, em seguida, (B,C). Desse modo, (A,C) e´, por definic¸a˜o, um
representante de −→u +−→v (Desenho acima).
2) Apo´s desenhar (A,B), desenhe um representante de −→v com origem em A, digamos
(A,C). Fica definido um paralelogramo e a diagonal vinculada a A representa −→u +−→v .
C
+
.
A
.
u
v
u
v
u v
B
.
.
A manipulac¸a˜o de vetores opostos conduz a` diferenc¸a de −→u por −→v , definida por
−→u −−→v = −→u + (−−→v )
.
.
.
_
u
v
v
_
vu
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 10 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
Proposic¸a˜o 4. O adic¸a˜o entre vetores possui as seguintes propriedades:
A1) Associativa, (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ),∀−→u ,−→v ,−→w ∈ R3.
A2) Comutativa, −→u +−→v = −→v +−→u ,∀−→u ,−→v ∈ R3.
A3) Existeˆncia de elemento neutro, −→v +−→0 = −→0 +−→v = −→v ,∀−→v ∈ R3.
A4) Existeˆncia de elemento oposto, dado qualquer −→u ∈ R3, existe um −→v ∈ R3 tal que
−→u +−→v = −→0 . Escrevemos −→v = −−→u .
Demostrac¸a˜o. Seja (A,B) representante de −→u . Existe representante de −→v com origem B,
digamos (B,C). Existe tambe´m representante de −→w com origem em C, digamos (C,D).
Enta˜o, (−→u +−→v ) +−→w = −→AC +−−→CD = −−→AD. Por outro lado, (B,D) representa −→v +−→w , de
sorte que −→u + (−→v +−→w ) = −→AB +−−→BD = −−→AD. Isso prova A1.
A2) Imaginamos (A,B) e (B,C) como duas de quatro arestas de um paralelogramo
�ABCD. Claro que (A,B) ∼ (D,C), (A,D) ∼ (B,C) implicam que −→AB +−−→BC = −→AC =−−→
AD +
−−→
DC e segue o resultado.
A3) Supondo −→v = −→AB, segue claramente que −→v +−→0 = −→AB +−−→BB = −→AB. Tambe´m,−→
AA +
−→
AB =
−→
AB.
A4) Sendo −→u = −→AB, podemos somar a esse o vetor que tem (B,A) como um repre-
sentante. Logo, −→u +−→BA = −→AB +−→BA = −→AA = −→0 . •
2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
A multiplicac¸a˜o de nu´mero real por vetor consiste na operac¸a˜o
R×R3 → R3
(a,−→v ) 7→ a−→v
munida das seguintes propriedades:
P1) a = 0 ou −→v = −→0 ⇒ a−→v = −→0 ,
P2) a 6= 0 e −→v 6= −→0 ⇒ a−→v e −→v sa˜o de mesma direc¸a˜o, sendo que sa˜o de mesmo
sentido quando a > 0 e sa˜o de sentido contra´rio, caso a < 0.
P3) |a−→v | = |a| |−→v |.
v
v2
1
2
_
v
_
O nu´mero a e´ chamado escalar e a−→v e´ lido ’o produto de a por −→v ’, ’o mu´ltiplo escalar
de −→v ’, ’a vezes −→v ’.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 11 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
Note que a > 1 ou a < −1 implicam |a−→v | > |−→v |. Tambe´m, −1 < a < 1 implica
|a−→v | < |−→v | (verifique!).
No caso particular em que a = 1
b
, e´ comum escrever
−→v
b
, em vez de 1
b
−→v . Mas cuidado,
−→v
b
na˜o e´ um quociente, uma frac¸a˜o. O vetor
−→v
|−→v | e´ conhecido como versor de
−→v .
Nota 1. Na verdade, por norma entende-se qualquer func¸a˜o | | : (V, +, .) → R, definida
em um espac¸o vetorial (V, +, .), tal que sa˜o va´lidos os seguintes axiomas:
N1) |−→0 | = 0 e |−→v | > 0 se −→v 6= −→0 ;
N2) |x−→v | = |x| |−→v |, ∀x ∈ R,∀−→v ;
N3) |−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v |, ∀−→u ,−→v .
De todas as normas que podem ser imaginadas em R3, considera-se apenas a norma
euclidiana induzida pela distaˆncia da soma dos quadrados e definida sob a forma
|(x, y, z)| =
√
x2 + y2 + z2
Mas existem outras. •
Exerc´ıcio 3. Prove que se (A,B) ∼ (C,D), enta˜o, para qualquer a ∈ R, tem-se a−→AB =
a
−−→
CD. •
Exerc´ıcio 4. Prove que o versor de −→v e´ unita´rio, isto e´, de norma 1. Mostre tambe´m que−→v e seu versor sa˜o sempre de mesma direc¸a˜o e de mesmo sentido. •
Proposic¸a˜o 5. A multiplicac¸a˜o de escalar por vetor possui as seguintes propriedades:
P4) a(−→u +−→v ) = a−→u + a−→v ,∀a ∈ R,∀−→u ,−→v ∈ R3.
P5) (a + b)−→v = a−→v + b−→v ,∀a, b ∈ R,∀−→v ∈ R3.
P6) Para qualquer −→v ∈ R3, vale 1−→v = −→v .
P7) a(b−→v ) = (ab)−→v = b(a−→v ).
Demostrac¸a˜o. P1 estabelece que se o escalar e´ zero, ou se o vetor e´ nulo, enta˜o o produto
e´ vetor nulo. Assim, P4, P5, P6 e P7 sa˜o automaticamente verificados. Suponha agora
escalares e vetores na˜o-nulos. Comec¸amos por escolher um representante (A,B) para −→u ,
e (B,C) para −→v .
Caso a > 0. Sejam D ∈ ←→AB e E tais que (A,D) representa a−→u , (D,E) representa
a−→v .
u
vB
C
D
E
A
ua va
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 12 Geometria anal´ıtica
- 2011
2 G.A., Vetores 2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
Visto que ÂBC e ÂDE sa˜o de mesma medida, conclu´ımos que ∆ABC e ∆ADE teˆm
raza˜o de semelhanc¸a igual a a, A,C e E sa˜o colineares e (A,E) representa a
−→
AC. Portanto,−→
AE = a(−→u +−→v ) = a−→u + a−→v .
Caso a < 0. Existe D ∈ ←→AB tal que (A,D) e (A,B) sa˜o de sentido contra´rio e |−−→AD| =
|a| |−→AB|. Existe E tal que (D,E) e (B,C) sa˜o de sentido contra´rio e |−−→DE| = |a| |−−→BC|.
u
vB
C
D
E
A
ua
va
Veˆ-se que ∆ABC e ∆ADE teˆm raza˜o de semelhanc¸a igual a a, (A,E) e (A,C) sa˜o
colineares de sentido contra´rio e |−→AE| = |a| |−→AC|. Em consequ¨eˆncia, −→AE = a(−→u +−→v ) =
a−→u + a−→v . Isso demonstra P4.
P5) Seja (A,B) um representante de −→v . No caso em que a, b > 0, temos C ∈ ←→AB tal
que
−→
AC = a−→v , bem como D ∈ ←→AB tal que −−→CD = b−→v .
v B
C
D
A
va
vb
Claro que
−−→
AD = (a + b)−→v e −−→AD = −→AC +−−→CD = a−→v + b−→v . O caso a, b < 0 e´ ana´logo.
Sejam agora a > 0 e b < 0. Existem C,D ∈ ←→AB tais que −→AC = a−→v e −−→CD = b−→v .
v B
C
D
A
va
vb
Enta˜o,
−−→
AD = (a + b)−→v e −−→AD = −→AC +−−→CD = a−→v + b−→v .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 13 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
P6) Claro que 1−→v e −→v sa˜o de mesma direc¸a˜o e mesmo sentido (por P2). Tambe´m,
|1−→v | = |1| |−→v | = |−→v |, portanto 1−→v = −→v .
P7) a(b−→v ), (ab)−→v e b(a−→v ) sa˜o todos de mesma direc¸a˜o. Tambe´m, |a(b−→v )| = |a| |b−→v | =
|a| |b| |−→v | = |ab| |−→v | = |(ab)−→v |. Como |ab| = |ba|, segue que |a(b−→v )| = |b(a−→v )|.
Nos casos a, b > 0 e a, b < 0, temos ab > 0 e enta˜o os treˆs vetores sa˜o de mesmo
sentido. E no caso a > 0, b < 0, os treˆs vetores teˆm sentido oposto ao de −→v . Isso tudo
nos leva a` conclusa˜o pela veracidade de P7. •
As propriedades demonstradas implicam que podemos operar vetores como se fossem
nu´meros, e existem va´rios fatos curiosos. Por exemplo:
1) (−a)−→v = −(a−→v );
2) a(−−→v ) = −(a−→v );
3) (−a)(−−→v ) = a−→v .
A verificac¸a˜o e´ simples. (−a)−→v = (−1a)−→v P7= −1(a−→v ) = −(a−→v ); Segue imediata-
mente que −1−→v = −−→v . Tambe´m, a(−−→v ) = a(−1−→v ) = (−1a)−→v = −1(a−→v ) = −(a−→v ).
E (−a)(−−→v ) = (−a)(−1−→v ) = (−a)(−1)−→v = a−→v .
Proposic¸a˜o 6. −→u ,−→v 6= −→0 sa˜o paralelos se, e somente se, existe algum escalar na˜o-nulo
a ∈ R tal que −→u = a−→v .
Demostrac¸a˜o. Suponhamos −→u representado por (A,B) e −→v por (C,D), tais que ←→AB ∩←→
CD = ∅. O 5o postulado de Euclides nos garante que existe um E ∈ ←→CD tal que
(A,B) ∼ (C,E).
v
B
C
D
A
u
E
.
Quando
−−→
CE = −→u e −→v sa˜o de mesmo sentido, |−−→CE| = |a−→v | = |−→u | ⇒ a |−→v | = |−→u | ⇒
a = |
−→u |
|−→v | . E se
−→u e −→v sa˜o de sentido contra´rio, enta˜o a = − |−→u ||−→v | . Desse modo, em qualquer
caso temos −→u = a−→v para algum nu´mero na˜o-nulo a.
E´ ana´logo o procedimento para a situac¸a˜o −→u e −→v colineares. •
Exemplo 1. Considerando um paralelogramo �ABCD, mostre que vale
|−→AC|2 + |−−→BD|2 = 2|−→AB|2 + 2|−−→AD|2
assim conhecida como a identidade do paralelogramo.
Soluc¸a˜o. E´ sempre poss´ıvel trac¸ar segmentos perpendiculares com relac¸a˜o a`s arestas
adjacentes, formando o desenho seguinte.
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2 G.A., Vetores 2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
a
b
x
y-z
z
w
A
B
C
D
z
Enta˜o, a2 = (y+z)2+w2 = y2+z2+w2+2yz, b2 = (y−z)2+w2 = y2+z2+w2−2yz ⇒
a2 + b2 = 2y2 + 2(z2 + w2) = 2y2 + 2x2.
Exemplo 2. Mostre a regra de cancelamento −→u +−→v = −→u +−→w ⇒ −→v = −→w .
Soluc¸a˜o. Podemos somar o oposto de −→u em ambos os membros da igualdade, assim−→u +−→v +(−−→u ) = −→u +−→w +(−−→u )⇒ −→u −−→u +−→v = −→u −−→u +−→w ⇒ −→0 +−→v = −→0 +−→w ⇒−→v = −→w . •
Proposic¸a˜o 7. Se −→u e −→v sa˜o na˜o paralelos (na˜o-nulos), enta˜o a−→u + b−→v = −→0 implica que
a = b = 0. Tambe´m, a1
−→u + b1−→v = a2−→u + b2−→v implica que a1 = a2 e b1 = b2.
Demostrac¸a˜o. Suponhamos que vale a−→u + b−→v = −→0 . Se a = 0, b 6= 0, enta˜o a−→u + b−→v =−→
0 + b−→v = b−→v = −→0 ⇒ −→v = −→0 , absurdo. Idem para a 6= 0, b = 0.
Agora, se a, b 6= 0, enta˜o as propriedades operacionais que aprendemos recentemente
nos permitem manipular a equac¸a˜o vetorial do seguinte modo: a−→u + b−→v = −→0 ⇒ a−→u +
b−→v +(−b−→v ) = −→0 +(−b−→v )⇒ a−→u +−→0 = −→0 − b−→v ⇒ a−→u = −b−→v ⇒ 1
a
a−→u = 1
a
(−b−→v )⇒
1−→u = −→u = − b
a
−→v ⇒ (proposic¸a˜o anterior) −→u e −→v sa˜o paralelos, um absurdo. Portanto,
a, b = 0.
Quanto a` segunda parte (unicidade de combinac¸a˜o linear), a1
−→u +b1−→v = a2−→u +b2−→v ⇒
a1
−→u +b1−→v +(−a2−→u ) = a2−→u +b2−→v +(−a2−→u )⇒ a1−→u −a2−→u +b1−→v = a2−→u −a2−→u +b2−→v ⇒
(a1 − a2)−→u + b1−→v = −→0 + b2−→v ⇒ (a1 − a2)−→u + b1−→v + (−b2−→v ) = b2−→v + (−b2−→v ) ⇒
(a1 − a2)−→u + (b1 − b2)−→v = −→0 ⇒ a1 − a2 = 0 e b1 − b2 = 0. •
Portanto, a−→u + b−→v com a, b 6= 0 e´ um vetor na˜o-nulo e so´ existe uma maneira de
descreveˆ-lo.
Exemplo 3. Se
−→
AB +
−→
AC =
−−→
BC, prove que A = B.
Soluc¸a˜o. Somando
−−→
BC, membro a membro, teremos
−→
AB +
−→
AC +
−−→
BC =
−−→
BC +
−−→
BC ⇒−→
AB +
−−→
BC +
−→
AC = 2
−−→
BC ⇒ −→AC + −→AC = 2−−→BC ⇒ 2−→AC = 2−−→BC ⇒ 1
2
2
−→
AC = 1
2
2
−−→
BC ⇒
1
−→
AC = 1
−−→
BC ⇒ (A,C) ∼ (B,C)⇒ A = B. •
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2 G.A., Vetores 2.2 G.A., Produto de nu´mero real por vetor
Exemplo 4. Ocorre −→u +−→v = −→w se, e somente se, −→u = −→w −−→v .
Soluc¸a˜o. De fato, −→u + −→v = −→w ⇒ −→u + −→v + (−−→v ) = −→w + (−−→v ) ⇒ −→u + −→0 = −→u =−→w −−→v .
Reciprocamente, −→u = −→w −−→v ⇒ −→u +−→v = −→w −−→v +−→v = −→w +−→0 = −→w . •
Exemplo 5. Mostre que −(−→u +−→v ) = −−→u −−→v .
Soluc¸a˜o. Claro que −→u +−→v + [−(−→u +−→v )] = −→0 . Tambe´m, −→u + (−−→u ) +−→v + (−−→v ) =−→
0 ⇒ −→u +−→v + (−−→u −−→v ) = −→0 . Segue o resultado pela comparac¸a˜o das igualdades. •
Exemplo 6. Suponha a 6= 0. Enta˜o a−→v = −→w implica −→v = −→w
a
.
Soluc¸a˜o. De fato, a−→v = −→w ⇒ 1
a
(a−→v ) = 1
a
−→w ⇒ ( 1
a
a)−→v = 1
a
−→w ⇒ 1−→v = −→v = −→w
a
. •
Exemplo 7. Verifique se vale a implicac¸a˜o a−→v = −→0 ⇒ a = 0 ou −→v = −→0 .
Soluc¸a˜o. Suponha a 6= 0. Enta˜o, 1
a
(a−→v ) = 1
a
−→
0 ⇒ ( 1
a
a)−→v = −→0 ⇒ −→v = −→0 .
Suponha agora −→v 6= −→0 . Enta˜o, a−→v + −→v = −→0 + −→v ⇒ (a + 1)−→v = −→v = 1−→v ⇒
a + 1 = 1⇒ a = 0. O caso trivial a = 0, |−→v | = 0 e´ o´bvio. •
Exemplo 8. Resolva a equac¸a˜o vetorial 3−→u + 2(−→v +−→w ) = 5(−→w −−→v ) na inco´gnita −→w .
Soluc¸a˜o. O objetivo e´ bem simples, aplicar quaisquer propriedades operacionais a
fim de isolar −→w na equac¸a˜o. Com isso em mente, 3−→u + 2(−→v + −→w ) = 5(−→w − −→v ) ⇒
3−→u + 2−→v + 2−→w = 5−→w − 5−→v ⇒ 3−→u + 2−→v + 2−→w + (−2−→w ) = 5−→w − 5−→v + (−2−→w ) ⇒
3−→u + 2−→v + −→0 = 5−→w − 2−→w − 5−→v ⇒ 3−→u + 2−→v = 3−→w − 5−→v ⇒ 3−→u + 2−→v + 5−→v =
3−→w − 5−→v + 5−→v ⇒ 3−→u + 7−→v = 3−→w +−→0 ⇒ 1
3
(3−→w ) = 1
3
(3−→u + 7−→v )⇒ 1−→w = 1−→u + 7
3
−→v e
temos −→w = −→u + 7
3
−→v . •
Exemplo 9. Resolva o sistema de equac¸o˜es vetoriais nas inco´gnitas −→x e −→y .
−→x − 3−→y = −10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v
Soluc¸a˜o. 1o me´todo. Isolar uma das inco´gnitas em uma das equac¸o˜es e substitui-la na
outra equac¸a˜o. Vamos isolar −→x em −→x − 3−→y = −10−→v : −→x − 3−→y + 3−→y = −10−→v + 3−→y ⇒−→x + −→0 = −→x = −10−→v + 3−→y . Substitu´ındo −→x por −10−→v + 3−→y na segunda equac¸a˜o,
(−10−→v + 3−→y ) +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y + 10−→v =
7−→u − 6−→v + 10−→v ⇒ −10−→v + 10−→v + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ −→0 + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y =
1
4
(7−→u + 4−→v )⇒ 1−→y = 7
4
−→u + 1−→v e enta˜o −→y = 7
4
−→u +−→v .
Por fim, substitua −→y por
7
4
−→u + −→v em −→x = −10−→v + 3−→y , ou seja, −→x = −10−→v +
3(7
4
−→u +−→v ) = −10−→v + 21
4
−→u + 3−→v = 21
4
−→u − 10−→v + 3−→v = 21
4
−→u − 7−→v .
Portanto, a resposta e´ −→x = 21
4
−→u − 7−→v e −→y = 7
4
−→u +−→v .
2o me´todo. Multiplicamos os membros de uma das equac¸o˜es por um dado nu´mero
e depois somamos ambas equac¸o˜es, membro a membro. Por exemplo, multiplicando a
primeira equac¸a˜o por −1, teremos
{
−−→x + 3−→y = 10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −
−→x + −→x + 3−→y + −→y =
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 16 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.3 G.A., Soma de ponto com vetor
10−→v + 7−→u − 6−→v ⇒ −→0 + 4−→y = 7−→u + 10−→v − 6−→v ⇒ 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y =
1
4
(7−→u + 4−→v )⇒ 1−→y = 7
4
−→u + 1−→v ⇒ −→y = 7
4
−→u +−→v . Agora, substitua −→y por 7
4
−→u +−→v em
qualquer uma das duas equac¸o˜es originais e resolva com antes.
Outra opc¸a˜o e´ multiplicar a 2a equac¸a˜o por 3, somar as equac¸o˜es e proceder como
acima. •
Exemplo 10. Mostre que −→v 6= −→0 e a−→v = b−→v implicam a = b.
Soluc¸a˜o. a−→v = b−→v ⇒ a−→v + (−b−→v ) = b−→v + (−b−→v )⇒ a−→v − b−→v = −→0 ⇒ (a− b)−→v =−→
0 ⇒ a− b = 0⇒ a = b. •
Exemplo 11. Seja −→u = a−→v . Mostre que se |−→v | 6= 0, enta˜o |a| = |−→u ||−→v | .
Soluc¸a˜o. De fato, |−→u | = |a−→v | = |a| |−→v | ⇒ 1|−→v | |−→u | = 1|−→v | |a| |−→v | ⇒ |
−→u |
|−→v | = |a| |
−→v |
|−→v | =
|a|1 = |a|. •
Exemplo 12. Suponha −→u e −→v paralelos na˜o-nulos. Enta˜o, |−→u +−→v |2 6= |−→u |2 + |−→v |2.
Soluc¸a˜o. Existe a ∈ R \{0}, tal que −→u = a−→v . Enta˜o, |−→u +−→v |2 = |a−→v +−→v |2 = |(a +
1)−→v |2 = (a+1)2|−→v |2 = (a2 +2a+1)|−→v |2. Por outro lado, |−→u |2 + |−→v |2 = |a−→v |2 + |−→v |2 =
a2|−→v |2 + |−→v |2 = (a2 + 1)|−→v |2. •
2.3 G.A., Soma de ponto com vetor
Considere A,B e C em uma reta, no espac¸o esta´ fixado O.
B
C
.
.
O
.
A
.
Existe a ∈ R tal que −→AC = a−→AB (prove!) e podemos escrever −→AC = −→AO + −→OC =−→
OC −−→OA e −→OC = −→OA+ a−→AB. Esse procedimento e´ de suma importaˆncia e retornaremos
a ele mais adiante. Veremos agora outro procedimento igualmente u´til e associado.
Sendo (A,B) ∈ −→v , B e´ dito a soma de A por −→v e se escreve
B = A +−→v
Note que A + −→v = B, A + −→AB = B e −→AB = −→v sa˜o equivalentes. Essa operac¸a˜o
matema´tica nos permite pensar movimento, podemos imaginar A + −→v como um ponto
material se deslocando sobre a reta que conte´m A e tem direc¸a˜o igual a` de −→v . Na verdade
podemos ir mais ale´m e pensar que, para cada P ∈ ←→AB, existe um u´nico escalar p tal que
P = A + p−→v .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 17 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
Proposic¸a˜o 8. Para quaisquer A,B,−→u e −→v , valem:
S1) (A +−→u ) +−→v = A + (−→u +−→v ).
S2) A +−→u = A +−→v ⇒ −→u = −→v .
S3) A +−→v = B +−→v ⇒ A = B.
S4) (A−−→v ) +−→v = A.
Demostrac¸a˜o. Sejam B = A + −→u e C = B + −→v . Enta˜o (A + −→u ) + −→v = B + −→v = C e
A + (−→u +−→v ) = A +−→AC = C. Isso prova S1.
S2) Se A + −→u = A + −→v , enta˜o os representantes de −→u e de −→v , com origem A, teˆm
mesma extremidade. Logo, os vetores sa˜o iguais.
S3) Se pudesse A 6= B, enta˜o teriamos dois representantes de −→v com mesma extrem-
idade A + −→v = B + −→v , mas com origens distintas. Isso e´ imposs´ıvel, logo deve valer
A = B.
S4) (A−−→v ) +−→v = (A + (−−→v )) +−→v S1= A + (−−→v +−→v ) = A +−→0 = A. •
Exemplo 13. Para qualquer A, se A + −→v = A, enta˜o −→v = −→0 .
Soluc¸a˜o. Bem simples, A +−→v = A⇒ A +−→v + (−−→v ) = A + (−−→v )⇒ A +−→0 = A =
A−−→v ⇒ −→v = −→0 . •
Exemplo 14. Se A +−→u = B +−→v , enta˜o −→u = −→AB +−→v , quaisquer que sejam os pontos e
os vetores.
Soluc¸a˜o. De fato, A+−→u = B+−→v ⇒ A+−→u +(−−→v ) = B+−→v +(−−→v )⇒ A+(−→u −−→v ) =
B +
−→
0 = B ⇒ −→u −−→v = −→AB ⇒ −→u −−→v +−→v = −→AB +−→v ⇒ −→u +−→0 = −→u = −→AB +−→v . •
2.4 G.A., Dependeˆncia linear
O conceito de dependeˆncia linear e´ muito u´til no estudo de paralelismo entre retas,
entre planos, e entre retas e planos. Lembremos que:
1)
−→
AB e
−−→
CD sa˜o paralelos, quando (A,B) e (C,D) sa˜o de mesma direc¸a˜o;
2)
−→
AB,
−−→
CD e
−→
EF sa˜o paralelos a um mesmo plano, quando (A,B), (C,D) e (E,F ) sa˜o
coplanares, ou sa˜o paralelos a um mesmo plano.
Definic¸a˜o 6. Com relac¸a˜o aos vetores em R3, dois vetores sa˜o linearmente dependentes
(L.D.) quando admitem representantes paralelos; mas se os representantes sa˜o na˜o par-
alelos, enta˜o os vetores sa˜o ditos linearmente independentes (L.I.).
Treˆs vetores sa˜o L.D. quando admitem representantes que sa˜o paralelos a um mesmo
plano; caso esses na˜o sejam paralelos a um mesmo plano, diz-se que sa˜o vetores L.I.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 18 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
E
F
A
B
u
C
v Dw
A ilustrac¸a˜o indica vetores L.I. Quatro ou mais vetores sa˜o sempre L.D. •
Cuidado, quando sa˜o tratados vetores em um espac¸o mais amplo do que o R3, isto e´,
em R4 ⊂ R5 ⊂ ... ⊂ Rk (espac¸o euclidiano real de dimensa˜o k), ocorre perfeitamente de
4 ou mais vetores serem L.I. Mas isso na˜o e´ objeto de estudo nesse curso.
Considerando-se k ∈ N, −→v1 , ...,−−→vk−1,−→vk na˜o-nulos, podemos multiplicar −→vj (1 ≤ j ≤ k)
por um escalar real aj e somar as parcelas, o que resulta em um vetor da forma
−→v = a1−→v1 + a2−→v2 + ... + aj−→vj + ... + ak−1−−→vk−1 + ak−→vk =
k∑
j=1
aj
−→vj
Nessa situac¸a˜o, diz-se que −→v e´ uma combinac¸a˜o linear de −→v1 , ...,−→vk , ou que −→v e´ gerado
por −→v1 , ...,−→vk . Os nu´meros reais a1, ..., ak sa˜o os coeficientes da combinac¸a˜o linear.
E´ muito dif´ıcil testar se dados vetores sa˜o paralelos a um mesmo plano, por isso, tem
destaque o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 9. (Fundamental) Supondo −→u e −→v L.I., enta˜o −→u ,−→v e −→w sa˜o L.D. se, e
somente se, −→w e´ gerado por −→u e −→v .
Demostrac¸a˜o. Sejam −→u ,−→v e −→w L.D. Se −→w for paralelo a −→u , enta˜o −→w = a−→u , para algum
a ∈ R, e podemos escrever −→w = a−→u + 0−→v . Se −→w for paralelo a −→v , vale −→w = 0−→u + b−→v ,
para algum b ∈ R.
Se −→w na˜o for paralelo nem a −→u , nem a −→v , fixamos A,B,C,D tais que (A,B) ∈−→u , (A,C) ∈ −→v e (A,D) ∈ −→w . Note que A,B,C,D sa˜o coplanares, pois −→u ,−→v e −→w sa˜o
L.D., e que A,B,C sa˜o na˜o-colineares, visto que −→u e −→v sa˜o L.I.
Agora e´ fa´cil, a reta trac¸ada por D e paralela a
←→
AC interceptara´
←→
AB em E, a reta
trac¸ada por D e paralela a
←→
AB interceptara´
←→
AC em F .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 19 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
A
B
C
D
E
F
Visto que −→u ,−→v 6= −→0 , existem a, b ∈ R, tais que −→AE = a−→u e −→AF = b−→v . Logo,
−→w = −−→AD = −→AE +−−→ED = −→AE +−→AF = a−→u + b−→v .
Reciprocamente, seja −→w combinac¸a˜o linear de −→u e −→v , isto e´, −→w = a−→u + b−→v , com
a, b ∈ R. Se for −→w = −→0 , esta´ demonstrado. Se for −→w 6= −→0 , tomamos A,B,C,D com−→
AB = −→u ,−→AC = −→v ,−−→AD = −→w e existem treˆs opc¸o˜es:
1) a = 0 implica −→w paralelo a −→v . Como A,B e C sa˜o na˜o colineares, temos que −→u ,−→v
e −→w devem ser coplanares, logo L.D.
2) b = 0 implica −→w paralelo a −→u e temos −→u ,−→v e −→w L.D.
3) a, b 6= 0. Visto que −→w = a−→u + b−→v , conclu´ımos que A,B,C,D sa˜o coplanares, logo−→u ,−→v e −→w sa˜o L.D. •
No caso n = 2, −→u e −→v L.D. implica que a−→u +b−→v = −→0 e´ satisfeito para alguns a, b 6= 0
e enta˜o podemos escrever −→u = x−→v , com x = − b
a
.
.
u
v
a=2 b=3
No caso n = 3, −→u ,−→v e −→w L.D. implica que a−→u + b−→v + c−→w = −→0 se verifica atrave´s
de alguns a, b, c na˜o todos nulos. Supondo c 6= 0, podemos escrever −→w = x−→u + y−→v , em
que x = −a
c
e y = − b
c
.
.
u
v
a=-1,b=??,c=2
2
__3
w
A. T. Be´hague - Prof.
Doutor IME/UERJ 20 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
Proposic¸a˜o 10. −→u ,−→v e −→w sa˜o L.D. se, e somente se, um dos vetores e´ gerado pelos outros
dois.
Demostrac¸a˜o. Suponhamos os vetores L.D. Se −→u e −→v sa˜o L.I., aplicamos a proposic¸a˜o
anterior e −→w = a−→u + b−→v , para alguns a, b ∈ R. Se −→u e −→v sa˜o L.D., enta˜o −→u = a−→v , com
a 6= 0, e assim −→u = a−→v + 0−→w .
Reciprocamente, suponhamos que −→w e´ gerado por −→u e −→v . Se esses dois sa˜o L.I., enta˜o−→u ,−→v e −→w devem ser L.D., pela proposic¸a˜o anterior.
Mas, se −→u e −→v sa˜o L.D., enta˜o esses e −→w devem ser L.D., vejamos: sejam −→u =−→
AB,−→v = −→AC e −→w = −−→AD. A,B,C sa˜o colineares e assim A,B,C e D sa˜o coplanares,
portanto, −→u ,−→v e −→w sa˜o L.D. •
A negativa do resultado e´ igualmente importante: −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I. se, e somente se,
nenhum desses vetores e´ gerado pelos outros dois. Isto significa, em func¸a˜o dos resultados
demonstrados, que
x−→u + y−→v + z−→w = −→0 ⇔ x = y = z = 0
Exemplo 15. Vamos ver que −→a = 2−→u + 4−→v +−→w , −→b = −−→u + 1
2
−→v + 3
4
−→w e −→c = −→v + 1
2
−→w
sa˜o L.D., quaisquer que sejam −→u ,−→v e −→w .
A equac¸a˜o x−→a + y−→b + z−→c = −→0 equivale a x(2−→u + 4−→v +−→w ) + y(−−→u + 1
2
−→v + 3
4
−→w ) +
z(−→v + 1
2
−→w ) = 2x−→u + 4x−→v + x−→w − y−→u + y
2
−→v + 3y
4
−→w + z−→v + z
2
−→w = (2x− y)−→u + (4x +
y
2
+ z)−→v + (x + 3y
4
+ z
2
)−→w = −→0 , logo
2x− y = 0
4x +
y
2
+ z = 0
x +
3y
4
+
z
2
= 0
Obte´m-se y = 2x e z = −5x, para cada x ∈ R, logo x(−→a + 2−→b − 5−→c ) = −→0 nos leva
a −→a = −2−→b + 5−→c . •
Exerc´ıcio 5. Fac¸a o mesmo no caso em que −→a = −→u + 2−→v − −→w , −→b = 2−→u − 3−→v + −→w e−→c = 7−→v − 3−→w . •
Exemplo 16. Considere −→a = −→u + −→w ,−→b = 2−→u + −→v − −→w e −→c = −→v − 2−→w , com −→u ,−→v e
−→w aleato´rios. Vejamos que −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I. se, e somente se, −→a ,−→b e −→c sa˜o L.I.
De fato, x−→a + y−→b + z−→c = −→0 ⇒ x(−→u + −→w ) + y(2−→u + −→v − −→w ) + z(−→v − 2−→w ) =
x−→u +x−→w +2y−→u +y−→v −y−→w + z−→v −2z−→w = (x+2y)−→u +(y + z)−→v +(x−y−2z)−→w = −→0 .
Se −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I., enta˜o o sistema de equac¸o˜es
x + 2y = 0
y + z = 0
x− y − 2z = 0
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2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
so´ admite a soluc¸a˜o trivial x = y = z = 0 (verifique!) e segue que −→a ,−→b e−→c devem ser
L.I.
Reciprocamente, comec¸amos por resolver as equac¸o˜es −→a = −→u +−→w ,−→b = 2−→u +−→v −−→w
e −→c = −→v − 2−→w nas inco´gnitas −→u ,−→v e −→w . Primeiro, −→a + −→b = 3−→u + −→v e −→c − 2−→b =
−−→v − 4−→u , assim −→v = −→a +−→b − 3−→u = −−→c + 2−→b − 4−→u implica em −→u = −−→a +−→b −−→c .
Desse modo, −→v = −→a + −→b − 3(−−→a + −→b − −→c ) = 4−→a − 2−→b + 3−→c e −→w = −→a − −→u =
−→a − (−−→a +−→b −−→c ) = 2−→a −−→b +−→c .
Se −→a ,−→b e −→c sa˜o vetores L.I., enta˜o −→0 = x−→u + y−→v + z−→w = (−x + 4y + 2z)−→a + (x−
2y− z)−→b + (−x + 3y + z)−→c admite a u´nica soluc¸a˜o poss´ıvel x = y = z = 0 (verifique!). •
A grande importaˆncia de termos treˆs vetores L.I. em R3 esta´ no fato de que qualquer
vetor de R3 toma a forma de uma combinac¸a˜o linear envolvendo aqueles vetores L.I. De
fato,
Proposic¸a˜o 11. (Fundamental) Se −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I., enta˜o dado −→a existem u´nicos
x, y, z ∈ R tais que −→a = x−→u + y−→v + c−→w .
Demostrac¸a˜o. Existeˆncia. O resultado e´ bem o´bvio na situac¸a˜o em que os vetores encontram-
se sobre um plano (verifique!). Vamos enta˜o supor que −→u ,−→v e −→w sa˜o na˜o-coplanares.
Fixamos A,B,C,D,E tais que (A,B) ∈ −→u , (A,C) ∈ −→v , (A,D) ∈ −→w e (A,E) ∈ −→a .
A reta que passa por E, paralela a
←→
AD, intercepta o plano de A,B,C em E ′; as retas
por esse ponto, paralelas a
←→
AB e
←→
AC, definem F e G. Por fim, a reta por E que e´ paralela
a
←→
AE ′ vai interceptar
←→
AD em H.
u
v
w
A
B
C
D
F
H
.
.
.
E
E’
a
G
.
Enta˜o, existem nu´meros x, y, z ∈ R tais que −→AF = x−→u ,−→AG = y−→v e −−→AH = z−→w . Claro
que −→a = −→AF +−−→FE ′ +−−→E ′E = −→AF +−→AG +−−→AH = x−→u + y−→v + z−→w .
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2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
E´ fa´cil ver que o procedimento continua va´lido nos casos particulares em que −→a e´
paralelo a −→u , ou −→v , ou −→w , ou esta´ no plano que conte´m A,B,C, ou no plano que conte´m
A,B,D, ou no plano que conte´m A,C,D.
Unicidade. Suponhamos, por absurdo, que a1
−→u + b1−→v + c1−→w = a2−→u + b2−→v + c3−→w ,
com a1 6= a2, b1 6= b2 e c1 6= c2. Enta˜o, (a1 − a2)−→u + (b1 − b2)−→v + (c1 − c2)−→w = −→0 ⇒−→u = b2−b1
a1−a2
−→v + c2−c1
a1−a2
−→v e os treˆs vetores sa˜o L.D.; essa contradic¸a˜o nos obriga a tomar
a1 = a2, b1 = b2 e c1 = c2. •
Pore´m, n ≥ 4 vetores −→v1 , ...,−→vn em R3 sa˜o sempre L.D.: de fato, se −→v1 ,−→v2 ,−→v3 forem
L.I., enta˜o (proposic¸a˜o anterior) −→vn = a−→v1 + b−→v2 + c−→v3 + 0−→v4 + ... + 0−−→vn−1, para alguns
a, b, c reais na˜o todos nulos.
Mas, se −→v1 ,−→v2 ,−→v3 sa˜o L.D., enta˜o um desses deve ser combinac¸a˜o linear dos dois outros,
digamos −→v1 = a−→v2 + b−→v3 , e ocorre −→v1 = a−→v2 + b−→v3 + 0−→v4 + ... + 0−→vn.
Exerc´ıcio 6. Prove que −→u e −→v sa˜o L.I. se, e somente se, −→u +−→v e −→u −−→v sa˜o L.I. •
Exerc´ıcio 7. Calcule a, b ∈ R sabendo que −→u e −→v sa˜o L.I. e que (a − 1)−→u + b−→v =
b−→u − (a + b)−→v . •
Exemplo 17. A seguir sa˜o indicadas operac¸o˜es com vetores −→u ,−→v e −→w L.I. que resultam
em treˆs novos vetores. Esses sa˜o L.I. ou L.D.?
1) Multiplica-se os vetores por um escalar a ∈ R.
2) Substitui-se cada um dos vetores dados pela soma dos outros dois.
3) Soma-se a cada um dos treˆs vetores um mesmo −→a .
4) Somam-se aos vetores, respectivamente, −→a ,−→b e −→c supostos L.I.
Soluc¸a˜o. Considere A,B,C,D ∈ R3 tais que −→u = −→AB,−→v = −→AC e −→w = −−→AD. Se a > 0,
enta˜o o que difere
−→
AB de a
−→
AB =
−→
AE e´ a norma, nunca a direc¸a˜o e o sentido. O mesmo
vale para
−→
AC e a
−→
AC =
−→
AF , e para
−−→
AD e a
−−→
AD =
−→
AG tambe´m. E se a < 0, enta˜o somente
a norma e o sentido sa˜o alterados, nunca a direc¸a˜o.
A
B
C
D
a=2
E
F
G
A
B
C
D
a=-2
E
F
G
Desse modo, −→u ,−→v e −→w L.I.⇔ a−→u , a−→v e a−→w L.I.
Agora (2). Seja
−→
AE = −→u +−→v ,−→AF = −→u +−→w e −→AG = −→v +−→w .
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2 G.A., Vetores 2.4 G.A., Dependeˆncia linear
B
C
D
E
F
A
G
Visto que os representantes de −→u e −→v sa˜o coplanares, segue-se que (A,E) esta´ no
mesmo plano de (A,B), (A,C). Igualmente, (A,F ) e´ coplanar com relac¸a˜o a (A,B)
e (A,D), tambe´m (A,G), (A,C) e (A,D) sa˜o coplanares. Pore´m, a condic¸a˜o −→u ,−→v e−→w L.I. obriga (A,E), (A,F ) e (A,G) serem na˜o-coplanares, ou seja −→u ,−→v e −→w L.I.⇔−→u +−→v ,−→u +−→w e −→v +−→w L.I.
(3). Seja E no espac¸o tal que −→a = −→AE, (A,F ) representa −→u + −→a , (A,G) representa−→v +−→a e (A,H) representa −→w +−→a .
B
D
F
A
E
G
H
C
Como (A,B), (A,C) e (A,D) na˜o podem ser coplanares, conclui-se facilmente que
(A,F ), (A,F ) e (A,H) tambe´m na˜o podem ser coplanares. Portanto, −→u ,−→v e −→w L.I.⇔−→u +−→a ,−→v +−→a e −→w +−→a L.I.
(4). Sejam −→a = −→AE,−→b = −→AF,−→c = −→AG, (A,H) representante de −→u + −→a , (A, I)
representante de −→v +−→b e (A, J) um representante de −→w +−→c .
B D
A
Ca
b
c
I
F
E
G
H
J
Os vetores soma
−−→
AH,
−→
AI e
−→
AL somente podem ser L.D. se seus represententes forem
coplanares, mas isto obriga −→u ,−→v ,−→w ,−→a ,−→b ,−→c serem L.D., o que na˜o ocorre. Portanto,
−→u ,−→v e −→w L.I.⇔ −→u +−→a ,−→v +−→b e −→w +−→c L.I. •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 24 Geometria
anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.5 G.A., Bases
2.5 G.A., Bases
Ate´ aqui temos tratado vetor como um conjunto de segmentos equipolentes, mas a
proposic¸a˜o 11 permite pensar vetor numericamente e a ide´ia seguinte e´ essencial.
Definic¸a˜o 7. Por uma base de R3 (em R3) entende-se um terno ordenado, uma tripla
ordenada, −→e1 ,−→e2 ,−→e3 de vetores L.I. e vamos denota´-la por ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} (ε: e´psilon, ’e’
latino). Uma base ortonormal de R3 e´ uma base formada de vetores unita´rios e ortogonais
dois a dois. •
Claro que −→u e −→v sa˜o ortogonais quando os representantes de um sa˜o ortogonais a
todos os representantes do outro. Em s´ımbolos, −→u ⊥ −→v .
Fixada ε, a proposic¸a˜o 11 garante que, para cada −→v em R3, ficam definidos biunivo-
camente a, b, c ∈ R, tais que −→v = a−→e1 + b−→e2 + c−→e3
Os nu´meros a, b e c sa˜o, na ordem, a 1a coordenada, a 2a coordenada e a 3a coordenada
de −→v em relac¸a˜o a` base ε, isso nos permite pensar −→v como uma tripla ordenada e escrever−→v = (a, b, c)ε, ou −→v = (a, b, c) quando ε estiver subentendida.
Mas cuidado, a igualdade −→v = (a, b, c) e´ um tremendo abuso de linguagem, pois−→v e´ um conjunto na˜o nume´rico e a, b, c sa˜o nu´meros. Tambe´m e´ cr´ıtico a ordem das
coordenadas, (2, 4,−5) significa 2−→e1 + 4−→e2 − 5−→e3 , enquanto que (4, 2,−5) e´ a combinac¸a˜o
linear 4−→e1 + 2−→e2 − 5−→e3 , claramente distinta da primeira.
As ide´ias de base e de coordenadas se adaptam perfeitamente bem a`s operac¸o˜es veto-
riais ja´ vistas, e outras que veremos mais adiante. De fato, vale:
Proposic¸a˜o 12. Para quaisquer nu´meros reais a, a1, a2, a3, b1, b2, b3, temos:
C1) (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
C2) a(a1, a2, a3) = (aa1, aa2, aa3).
Demostrac¸a˜o. Qualquer que seja a base ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, vale (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) =
(a1
−→e1 + a2−→e2 + a3−→e3 ) + (b1−→e1 + b2−→e2 + b3−→e3 ) = (a1 + b1)−→e1 + (a2 + b2)−→e2 + (a3 + b3)−→e3 =
(a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3), isso prova C1.
Quando a C2, a(a1, a2, a3) = a(a1
−→e1 + a2−→e2 + a3−→e3 ) = aa1−→e1 + aa2−→e2 + aa3−→e3 =
(aa1, aa2, aa3). •
Exemplo 18. Quais sa˜o as coordenadas de −→a = 5−→u − 3−→v , se −→u = (3,−2, 7)ε e −→v =
(−1, 4,−6)ε?
Soluc¸a˜o. Simples, −→a = 5−→u +(−3)−→v = 5(3,−2, 7)+(−3)(−1, 4,−6) = (15,−10, 35)+
(3,−12, 18) = (18,−22, 53). •
Exemplo 19. Pode −→u = (4, 5,−2)ε ser combinac¸a˜o linear de −→v = (5, 4, 1)ε e −→w =
(21
2
, 3, 21
2
)ε?
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Soluc¸a˜o. Deve-se procurar por a, b ∈ R tais que −→u = a−→v +b−→w , (4, 5,−2) = a(5, 4, 1)+
b(21
2
, 3, 21
2
) e isso equivale a
5a +
21
2
b = 4
4a + 3b = 5
a +
21
2
b = −2
Um ca´lculo direto determina a = 3
2
e b = −1
3
(verifique!).•
Lembremos que det

u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3

 e´ o nu´mero u1 det
(
v2 w2
v3 w3
)
− v1 det
(
u2 w2
u3 w3
)
+
w1 det
(
u2 v2
u3 v3
)
= u1(v2w3 − v3w2)− v1(u2w3 − u3w2) + w1(u2v3 − u3v2).
Proposic¸a˜o 13. −→u = (u1, u2, u3)ε,−→v = (v1, v2, v3)ε e −→w = (w1, w2, w3)ε sa˜o L.D. se, e
somente se,
det

u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3

 = 0
Demostrac¸a˜o. Ja´ sabemos que −→u ,−→v e −→w L.D. equivale a a−→u + b−→v + c−→w = −→0 , com
a, b, c ∈ R na˜o todos nulos, a(u1, u2, u3) + b(v1, v2, v3) + c(w1, w2, w3) = (0, 0, 0) e enta˜o
au1 + bv1 + cw1 = 0
au2 + bv2 + cw2 = 0
au3 + bv3 + cw3 = 0
Aqueles vetores sa˜o L.D. se, e somente se, o sistema de equac¸o˜es acima tem soluc¸a˜o
na˜o-trivial; pela Regra de Cramer, isso e´ o mesmo que det

u1 v1 w1u2 v2 w2
u3 v3 w3

 = 0. •
Exerc´ıcio 8. Verifique se −→u = (2, 3, 4)ε,−→v = (5, 6, 7)ε e −→w = (8, 9, 1)ε sa˜o L.D. •
Proposic¸a˜o 14. Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que −→u e −→v sejam ortogonais e´
que |−→u +−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2.
Demostrac¸a˜o. Fixamos A,B = A + −→u e C = B +−→v a fim de formar um triaˆngulo.
O Teorema de Pita´goras estabelece que AB ⊥ BC se, e somente se, |−→AC|2 = |−→AB|2 +
|−−→BC|2. •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 26 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.6 G.A., Mudanc¸a de bases
Proposic¸a˜o 15. Sobre uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, a norma de −→a = x−→e1 +y−→e2 +
z−→e3 e´ simplesmente igual a
|−→a | =
√
x2 + y2 + z2
Demostrac¸a˜o. Sejam A,B,C,D,E no espac¸o tais que (A,B) ∈ −→a , (A,C) ∈ x−→e1 , (A,D) ∈
y−→e2 e (A,E) ∈ z−→e3 . A reta que passa por B com a direc¸a˜o de ←→AE intercepta o plano que
conte´m A,C,D em B′.
A
B
C
.
.
.
E
B’
a
D
.
e
1
2
3
e
e
Segue-se que −→a = −−→AB′ +−−→B′B = (−→AC +−−→CB′) +−−→B′B = (x−→e1 + y−→e2 ) + z−→e3 e´ a soma de
dois vetores ortogonais e, proposic¸a˜o anterior, |−→a |2 = |x−→e1 + y−→e2 |2 + |z−→e3 |2.
Mas, x−→e1 ⊥ y−→e2 implica |x−→e1 +y−→e2 |2 = |x−→e1 |2 + |y−→e2 |2 e enta˜o |−→a |2 = |x−→e1 |2 + |y−→e2 |2 +
|z−→e3 |2 = |x|2 |−→e1 |2 + |y|2 |−→e2 |2 + |z|2 |−→e3 |2 = x2 + y2 + z2. •
Exemplo 20. Considere ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} ortonormal e −→a = (3,−1, 5).
Visto que −→e1 = 1−→e1 +0−→e2 +0−→e3 ,−→e2 = 0−→e1 +1−→e2 +0−→e3 e −→e3 = 0−→e1 +0−→e2 +1−→e3 , podemos
escreve −→e1 = (1, 0, 0),−→e2 = (0, 1, 0) e −→e3 = (0, 0, 1).
Assim, −→a = (3,−1, 5) = (3, 0, 0)+(0,−1, 0)+(0, 0, 5) = 3(1, 0, 0)−(0, 1, 0)+5(0, 0, 1) =
3−→e1−−→e2+5−→e3 ⇒ |−→a |2 = |(3−→e1−−→e2 )+5−→e3 |2 = |3−→e1−−→e2 |2+|5−→e3 |2 = |3−→e1 |2+|−−→e2 |2+|5−→e3 |2 =
32|−→e1 |2 + | − 1|2 |−→e2 |2 + 52|−→e3 |2 = 35⇒ |−→a | =
√
35. •
2.6 G.A., Mudanc¸a de bases
Considere bases ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} e ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3} (ϕ: phi, ’f’ latino); visto que −→f1 ,−→f2
e
−→
f3 sa˜o combinac¸o˜es dos elementos de ε, eles se escrevem sob as formas
−→
f1 = a11
−→e1 + a21−→e2 + a31−→e3
−→
f2 = a12
−→e1 + a22−→e2 + a32−→e3
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 27 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.6 G.A., Mudanc¸a de bases
−→
f3 = a13
−→e1 + a23−→e2 + a33−→e3
para determinados valores aij, 1 ≤ i, j ≤ 3.
Para qualquer −→a em R3, existem u´nicos x1, y1, z1, x2, y2, z2 ∈ R tais que −→a = x1−→e1 +
y1
−→e2 + z1−→e3 = x2−→f1 + y2−→f2 + z2−→f3 . Agora tudo se reduz a determinar os x1, y1, z1 em
func¸a˜o de x2, y2, z2, o que e´ bem simples:
−→a = x2−→f1 + y2−→f2 + z2−→f3 =
x2(a11
−→e1 + a21−→e2 + a31−→e3 ) + y2(a12−→e1 + a22−→e2 + a32−→e3 ) + z2(a13−→e1 + a23−→e2 + a33−→e3 ) =
(a11x2 + a12y2 + a13z2)
−→e1 + (a21x2 + a22y2 + a23z2)−→e2 + (a31x2 + a32y2 + a33z2)−→e3
e assim
x1 = a11x2 + a12y2 + a13z2
y1 = a21x2 + a22y2 + a23z2
z1 = a31x2 + a32y2 + a33z2
E´ comum pensar ε como ’a base antiga’, ϕ como ’a nova base’ e transcrever os ele-
mentos da base antiga como elementos da nova base. Por sua facilitac¸a˜o visual, usaremos
a notac¸a˜o matricial e o sistema de equac¸o˜es anterior toma a forma
x1y1
z1

 =

a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33



x2y2
z2

 = Mεϕ

x2y2
z2


em que Mεϕ e´ a chamada matriz de mudanc¸a de base, de ε para ϕ, da base antiga para
a nova base. E´ muito importante notar que a j-e´sima coluna de Mεϕ e´ formada das
coordenadas de
−→
fj na base antiga, j = 1, 2, 3. E uma vez que os vetores de qualquer base
sa˜o L.I., fica assegurado det Mεϕ 6= 0 e a existeˆncia de matriz inversa, isto e´, matriz M−1εϕ
tal que
Mεϕ.M
−1
εϕ = M
−1
εϕ .Mεϕ = Id =

1 0 00 1 0
0 0 1


A existeˆncia de M−1εϕ permite calcular x2, y2, z2 em termos dos x1, y1, z1. De fato,
Mεϕ

x2y2
z2

 =

x1y1
z1

⇒M−1εϕ .Mεϕ

x2y2
z2

 = Id

x2y2
z2

 =

x2y2
z2

 = M−1εϕ

x1y1
z1


Proposic¸a˜o 16. Se ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3} e γ = {−→g1 ,−→g2 ,−→g3} (γ: gama, ’g’
latino) sa˜o bases, enta˜o Mεϕ.Mϕγ = Mεγ .
A. T. Be´hague
- Prof. Doutor IME/UERJ 28 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.6 G.A., Mudanc¸a de bases
Demostrac¸a˜o. Fixemos as notac¸o˜es Mεϕ = (aij),Mϕγ = (bij),Mεγ = (cij),
−→
fj =
3∑
i=1
aij
−→ei e
−→gk =
3∑
j=1
bjk
−→
fj =
3∑
i=1
cik
−→ei . Enta˜o, −→gk =
3∑
j=1
bjk(
3∑
i=1
aij
−→ei ) =
3∑
j=1
3∑
i=1
bjkaij
−→ei =
3∑
i=1
(
3∑
j=1
aijbjk)
−→ei
implica cik =
3∑
j=1
aijbjk e isso se reflete em Mεγ = Mεϕ.Mϕγ . •
Uma ana´lise do assunto faz suspeitar que M−1εϕ deve determinar a mudanc¸a da base
nova para a antiga e isto e´ verdade!
Corola´rio 1. Mϕε = M
−1
εϕ .
Demostrac¸a˜o. Mϕε = Mϕε. Id = Mϕε.Mεϕ.M
−1
εϕ = Mϕϕ.M
−1
εϕ = Id .M
−1
εϕ = M
−1
εϕ . •
Exemplo 21. Considere
−→
f1 = 2
−→e1 −−→e2 + 3−→e3 , −→f2 = 4−→e1 +−→e2 + 5−→e3 ,−→f3 = 6−→e1 −−→e2 + 9−→e3 e
vamos escrever −→a = 4−→e1 + 7−→e2 − 3−→e3 em termos da nova base.
Pelo estabelecido,

x1y1
z1

 = Mεϕ

x2y2
z2

 =

 2 4 6−1 1 −1
3 5 9



x2y2
z2

 e temos duas opc¸o˜es:
1a. Desenvolver o sistema de equac¸o˜es
x1 = 2x2 + 4y2 + 6z2 (a)
y1 = −x2 + y2 − z2 (b)
z1 = 3x2 + 5y2 + 9z2 (c)
Calculando 2(b)+(a), temos x1+2y1 = 6y2+4z2 e z2 =
1
4
(x1+2y1−6y2); 3(b)+(c) leva
a 3y1+z1 = 8y2+6z2 e z2 =
1
6
(3y1+z1−8y2). Logo, y2 = 32x1−z1 e z2 = −2x1+ 12y1+ 32z1.
Voltando a (b), x2 =
7
2
x1 − 32y1 − 52z1.
As coordenadas de −→a na base antiga sa˜o x1 = 4, y1 = 7, z1 = −3 e assim −→a =
x2
−→
f1 + y2
−→
f2 + z2
−→
f3 = 11
−→
f1 + 9
−→
f2 − 9−→f3 . Portanto, −→a = (4, 7,−3)ε = (11, 9,−9)ϕ.
2a. Desenvolver a equac¸a˜o matricial

 2 4 6−1 1 −1
3 5 9

 M−1εϕ =

 2 4 6−1 1 −1
3 5 9



a b cd e f
g j k

 =

2a + 4d + 6g 2b + 4e + 6j 2c + 4f + 6k−a + d− g −b + e− j −c + f − k
3a + 5d + 9g 3b + 5e + 9j 3c + 5f + 9k

 =

1 0 00 1 0
0 0 1


Obte´m-se a = 7
2
, b = −3
2
, c = −5
2
, d = 3
2
, e = 0, f = −1, g = −2, j = 1
2
e k = 3
2
(verifique!) e enta˜o 
x2y2
z2

 = M−1εϕ

x1y1
z1

 =

 72 −32 −523
2
0 −1
−2 1
2
3
2



x1y1
z1


A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 29 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.7 G.A., Produto interno
conduz a` x2 =
7
2
x1− 32y1− 52z1, y2 = 32x1− z1 e z2 = −2x1 + 12y1 + 32z1. Como na 1a opc¸a˜o,
um ca´lculo direto estabelece −→a = (4, 7,−3)ε = (11, 9,−9)ϕ.
Por fim, as colunas de M−1εϕ = Mϕε indicam que
−→e1 = 72
−→
f1 +
3
2
−→
f2−2−→f3 ,−→e2 = −32
−→
f1 +
1
2
−→
f3
e −→e3 = −52
−→
f1 −−→f2 + 32
−→
f3 . •
Exerc´ıcio 9. Suponha bases ε = {−→e1 ,−→e2} e ϕ = {−→f1 ,−→f2} tais que −→e1 = 3−→f1 − 5−→f2 e−→e2 = −8−→f1 +2−→f2 . Determine Mεϕ,Mϕε e as expresso˜es dos −→fj em termo dos −→ej , j = 1, 2.•
2.7 G.A., Produto interno
Os matema´ticos idealizaram uma operac¸a˜o vetorial, a mais importante de todas, que
permite calcular ra´pido e facilmente o aˆngulo entre dois vetores, o aˆngulo entre uma reta
e um plano, a projec¸a˜o ortogonal de um vetor sobre outro, me´tricas, etc.
Dados −→u e −→v na˜o-nulos, tomamos um representante (A,B) de −→u , um (A,C) de −→v e
por medida angular entre −→u e −→v entende-se a medida do aˆngulo definido pelas semi-retas−→
AB e
−→
AC, tambe´m a medida definida por AB e AC. Usaremos o s´ımbolo ang(−→u ,−→v )
para indicar esse nu´mero, por vezes se diz ’aˆngulo entre −→u e −→v ’, um abuso de linguagem,
querendo dizer ’a medida do aˆngulo entre −→u e −→v ’.
O ca´lculo de ang(−→u ,−→v ).
Suponha uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} por meio da qual se tem |−→u | =√
u21 + u
2
2 + u
2
3 e |−→v | =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3. Independentemente da medida α = ang(
−→u ,−→v )
(α: alfa, ’a’ latino), vale |−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2− 2|−→u | |−→v | cos α e tambe´m |−→u −−→v |2 =
(u1− v1)2 +(u2− v2)2 +(u3− v3)2 = u21− 2u1v1 + v21 +u22− 2u2v2 + v22 +u23− 2u3v3 + v23 =
u21 + u
2
2 + u
2
3 + v
2
1 + v
2
2 + v
2
3 − 2(u1v2 + u2v2 + u3v3).
Portanto,
|−→u | |−→v | cos α = u1v2 + u2v2 + u3v3
e
cos α =
u1v1 + u2v2 + u3v3√
u21 + u
2
2 + u
2
3
√
v21 + v
2
2 + v
2
3
Exemplo 22. Qual e´ a medida do aˆngulo formado por −→u = (3,−4, 7)ε e −→v = (−1, 2,−3)ε?
|−→u | =
√
32 + (−4)2 + 72 = √74 e |−→v | =
√
(−1)2 + 22 + (−3)2 = √14 e cos α =
3(−1)+(−4)2+7(−3)√
74
√
14
= − 32√
1036
. Com aux´ılio de uma calculadora cient´ıfica obte´m-se α =
arccos− 32√
1036
= 173, 82o. •
Projec¸a˜o ortogonal de um vetor sobre outro.
Imagine −→u e −→v representados por (A,B) e (A,C), respectivamente. Por B passa uma
u´nica reta perpendicular a`
←→
AC e fica definido D.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 30 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.7 G.A., Produto interno
u
A
B
C
v
D
A
B
C
D
u
v
α
α
pi−α
Tanto no caso agudo (α < pi
2
), quando no caso obtuso (pi
2
< α < pi) (pi: pi, ’p’ latino)2,
(A,D) representa um vetor paralelo a` −→v chamado a projec¸a˜o ortogonal de −→u sobre −→v e
denotado por proj−→v
−→u . Define-se proj−→u−→v do mesmo modo.
Lema 1. Para quaisquer −→a ,−→b e −→v vale proj−→v (−→a +
−→
b ) = proj−→v
−→a + proj−→v
−→
b .
Demostrac¸a˜o. Considerando −→a = −→AB,−→b = −→AC,−→v = −−→AD e −→a +−→b = −→AE, as projec¸o˜es
de B,C,E sobre
←→
AD sa˜o pontos F,G,H.
A
D
B
C
E
F
G
H
Claro que
−→
AF = proj−→v
−→a ,−→AG = proj−→v
−→
b e
−−→
AH = proj−→v (
−→a +−→b ), mas (B,E) ∼ (A,C)
implica que (F,H) ∼ (A,G) e −−→AH = −→AF +−−→FH = −→AF +−→AG. •
O produto interno euclidiano3 e´ a operac¸a˜o vetorial
. : R3×R3 → R
(−→u ,−→v ) 7→ −→u .−→v = |−→u | |−→v | cos α
2 Ao contra´rio do que indicam muitos livros, na˜o foi Leibniz quem determinou pi como a soma de
uma se´rie, mas sim o matema´tico indiano Mawda (cidade de Kerala) que, no se´culo 15, mostrou que
pi = 4 − 4
3
+ 4
5
− 4
7
+ 4
9
− ... + (−1)2n 4
2n−1
. A ide´ia e´ se aproximar de pi por excesso e por falta;
S1 = 4 > pi, S2 = 4 − 43 < pi, S3 = 4 − 43 + 45 > pi... A sequ¨eˆncia das somas parciais S2, S4, S6, ... < pi
e´ crescente e limitada; a sequ¨eˆncia das somas parciais S1, S3, S5, ... > pi e´ decrescente e limitada, logo
existe a = lim
n→+∞
S2n e b = lim
n→+∞
S2n−1. Visto que S2n < pi < S2n−1,∀n ∈ N, conclui-se que a = b = pi
3 Produto interno, no sentido geral, sobre um espac¸o vetorial V e´ uma func¸a˜o <,> : V ×V → R que, a
cada par −→u ,−→v ∈ V, faz definir um nu´mero < −→u ,−→v > que tem a propriedade linear, sime´trica e positiva
definida. Produto escalar e´ o nu´mero < −→u ,−→v > igual a
n∑
j=1
ujvj
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 31 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.7 G.A., Produto interno
em que α = ang(−→u ,−→v ), cujo resultado e´ conhecido com produto escalar. As principais
propriedades do produto escalar sa˜o:
Proposic¸a˜o 17. Para quaisquer vetores na˜o-nulos, valem:
PI1) −→u ⊥ −→v se, e somente se, −→u .−→v = 0.
PI2) −→u .−→v = −→v .−→u (e´ comutativo).
PI3) x(−→u .−→v ) = x−→u .−→v = −→u .x−→v ,∀x ∈ R (e´ associativo com respeito a` multiplicac¸a˜o
por escalares).
PI4) (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w e −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w (e´ distributivo com
respeito a adic¸a˜o de vetores).
PI5) −→u .(x−→v + y−→w ) = x(−→u .−→v ) + y(−→u .−→w ),∀x, y ∈ R (e´ bilinear).
PI6) |−→u | =
√−→u .−→u .
PI7) |−→u .−→v | ≤ |−→u | |−→v | (Desigualdade de Cauchy-Bunyakowski-Schwarz).
PI8) |−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v | (Desigualdade triangular).
Note que nenhuma base esta´ fixada.
Demostrac¸a˜o. PI1. Supondo −→u ⊥ −→v , enta˜o α = 90o, cos α = 0 e −→u .−→v = 0. Reciproca-
mente, −→u .−→v = |−→u | |−→v | cos α = 0 implica cos α = 0 e α = 90o
(ou = 270o).
PI2. E´ obvio, −→u .−→v = |−→u | |−→v | cos α = |−→v | |−→u | cos α = −→v .−→u .
PI3. Existem treˆs situac¸o˜es: se for x = 0, enta˜o 0(−→u .−→v ) = 0−→u .−→v = −→u .0−→v = 0; se for
x > 0, enta˜o |x| = x e x(−→u .−→v ) = x|−→u | |−→v | cos α = |x| |−→u | |−→v | cos α = |x−→u | |−→v | cos α =
x−→u .−→v ; se for x < 0, enta˜o β = ang(x−→u ,−→v ) = 180o−α (β: beta, ’b’ latino) e x(−→u .−→v ) =
x|−→u | |−→v | cos α = −x|−→u | |−→v |(− cos α) ∗= |x| |−→u | |−→v | cos(180o − α) = |x−→u | |−→v | cos β =
x−→u .−→v .
∗: sen(x− y) = sen x cos y − cos x sen y e cos(x− y) = cos x cos y + sen x sen y
Em qualquer caso, |x| |−→u | |−→v | cos α = |−→u | |x| |−→v | cos α leva a x−→u .−→v = −→u .x−→v .
PI4. (−→u + −→v ).−→w = |−→u + −→v | |−→w | cos ang(−→u + −→v ,−→w ) = |−→w | |−→u + −→v | cos ang(−→u +
−→v ,−→w ) = |−→w | |proj−→w (−→u +−→v )| lema= |−→w | |proj−→w−→u +proj−→w−→v | ∗∗= |−→w |(|proj−→w−→u |+|proj−→w−→v |) =
|−→w | |proj−→w−→u |+ |−→w | |proj−→w−→v | = −→u .−→w +−→v .−→w .
∗∗ : vetores colineares.
Do mesmo modo, −→u .(−→v +−→w ) = |−→u | |−→v +−→w | cos ang(−→u ,−→v +−→w ) = |−→u | |proj−→u (−→v +−→w )| = |−→u | |proj−→u−→v +proj−→u−→w | = |−→u | |proj−→u−→v |+ |−→u | |proj−→u−→w | = −→u .−→v +−→u .−→w .
PI5. Basta combinar PI3 e PI4.
PI6. E´ o´bvio, −→u .−→u = |−→u | |−→u | cos 0o = |−→u |2.
PI7. |−→u .−→v | = | |−→u | |−→v | cos α | = |−→u | |−→v | | cos α| ≤ |−→u | |−→v |.
PI8. |−→u + −→v |2 PI6= (−→u + −→v ).(−→u + −→v ) PI4= −→u .−→u + −→u .−→v + −→v .−→u + −→v .−→v = |−→u |2 +
2−→u .−→v + |−→v |2 ≤ |−→u |2 + 2|−→u .−→v | + |−→v |2 PI7≤ |−→u |2 + 2|−→u | |−→v | + |−→v |2 = (|−→u | + |−→v |)2 e
segue o resultado. •
Exerc´ıcio 10. Demonstre a proposic¸a˜o anterior para o caso particular −→a = (3, 2,−5),−→b =
(−1, 4,−7) e −→c = (9, 6,−2) em uma base ortonormal. •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 32 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.7 G.A., Produto interno
Exemplo 23. Sejam −→u = (3,−5, 6),−→v = (a, b, c) e −→w = (7, 2, 2) tais que −→u .−→w = −→v .−→w .
E´ tentador ’cancelar’ −→w e escrever −→u = −→v , pore´m isso na˜o e´ va´lido ja´ que na˜o existe
divisa˜o de vetor por vetor. O que podemos fazer e´ −→u .−→w = −→v .−→w ⇒ −→u .−→w −−→v .−→w = 0⇒
(−→u −−→v ).−→w = 0⇒ (3− a,−5− b, 6− c).(7, 2, 2) = 23− 7a− 2b− 2c = 0⇒ c = 23−7a−2b
2
.
Tomando a = 1, b = 2, vale c = 6. E se a = 3, b = −5, enta˜o c = 6. Perceba que a
igualdade −→u .−→w = −→v .−→w admite infinitas soluc¸o˜es. •
Tambe´m e´ um absurdo ’cancelar’ −→w em −→u .−→w−→v .−→w , pois o resultado seria
−→u−→v , algo que na˜o
foi e na˜o sera´ definido.
Inclinac¸o˜es de um vetor.
Sendo ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base ortonormal, valem
−→e1 .−→e1 = −→e2 .−→e2 = −→e3 .−→e3 = 1
−→e1 .−→e2 = −→e1 .−→e3 = −→e2 .−→e3 = 0
e e´ fa´cil calcular os aˆngulos que −→a = a1−→e1 + a2−→e2 + a3−→e3 forma com os −→ej . De fato:
1— −→a .−→e1 = (a1−→e1 + a2−→e2 + a3−→e3 ).−→e1 = a1 = |−→a | |−→e1 | cos α⇒ α = arccos a1|−→a | .
2— −→a .−→e2 = (a1−→e1 + a2−→e2 + a3−→e3 ).−→e2 = a2 = |−→a | |−→e2 | cos β ⇒ β = arccos a2|−→a | .
3— −→a .−→e3 = (a1−→e1 + a2−→e2 + a3−→e3 ).−→e3 = a3 = |−→a | |−→e3 | cos γ ⇒ γ = arccos a3|−→a | .
Curioso que −→a = (−→a .−→e1 )−→e1 + (−→a .−→e2 )−→e2 + (−→a .−→e3 )−→e3 .
E´ certo que podemos fixar qualquer base no espac¸o, e em qualquer plano, mas se os
vetores da base sa˜o na˜o-ortogonais dois a dois, enta˜o cada um desses se projeta no plano
dos dois outros e determina um vetor na˜o-nulo. Essa situac¸a˜o e´ ruim do ponto de vista
do ca´lculo nume´rico, como se veˆ no seguinte exemplo.
Exemplo 24. Em uma base ortonormal, tem-se −→u = 2−→e1 + 3−→e2 − −→e3 ,−→v = −→e1 + 2−→e2 +
3−→e3 ,−→w = −3−→e1 +−→e2 + 2−→e3 e −→a = 5−→u + 3−→v + 7−→w .
O determinante de

 2 1 −33 2 1
−1 3 2

 e´ na˜o-nulo (verifique!), logo ϕ = {−→u ,−→v ,−→w } tambe´m
e´ uma base. Pore´m, |−→u +−→v |2 = |(3, 5, 2)|2 = 38 6= |−→u |2+|−→v |2 = 28 mostra que os vetores
de ϕ sa˜o na˜o-ortogonais entre si.
Tem-se −→a = (5, 3, 7)ϕ e −→a = 5(2, 3,−1)+3(1, 2, 3)+7(−3, 1, 2) = (−8, 28, 18)ε. Agora
as inclinac¸o˜es de −→a com relac¸a˜o a −→u ,−→v e −→w :
1) cos ang(−→a ,−→u ) = −→a .−→u|−→a | |−→u | = 5
−→u .−→u +3−→v .−→u +7−→w .−→u√
1172
√
14
= 5.14+3.5+7.(−5)√
1172
√
14
= 50√
1172
√
14
indica
67,024o.
2) cos ang(−→a ,−→v ) = −→a .−→v|−→a | |−→v | = 5
−→u .−→v +3−→v .−→v +7−→w .−→v√
1172
√
14
= 5.5+3.14+7.(5)√
1172
√
14
= 102√
1172
√
14
indica
37,222o.
3) cos ang(−→a ,−→w ) = −→a .−→w|−→a | |−→w | = 5
−→u .−→w+3−→v .−→w+7−→w .−→w√
1172
√
14
= 5.(−5)+3.5+7.14√
1172
√
14
= 88√
1172
√
14
indica
46,607o.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 33 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.8 G.A., Orientac¸o˜es no espac¸o R3
Deve-se notar que a projec¸a˜o de −→u sobre −→v e −→w na˜o e´ vetor nulo, idem para os dois
outros casos. Ja´ na base ortonormal, a projec¸a˜o de −→e1 sobre −→e2 e −→e3 e´ o vetor nulo, idem
para os dois outros casos, e assim sa˜o mais simples os ca´lculos das inclinac¸o˜es de −→a com
relac¸a˜o a −→e1 ,−→e2 e −→e3 :
1) cos ang(−→a ,−→e1 ) = −→a .−→e1|−→a | = − 8√1172 indica 103,514o.
2) cos ang(−→a ,−→e2 ) = −→a .−→e2|−→a | = 28√1172 indica 35,126o.
3) cos ang(−→a ,−→e3 ) = −→a .−→e3|−→a | = 18√1172 indica 58,28o. •
Sera´ que existe uma base ortonormal {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} tal que −→a = x−→e1 +y−→e2 +z−→e3 coincida
com (x, y, z) e |−→a | =
√
x2 + y2 + z2?
Vejamos: qualquer vetor em R3 se escreve como combinac¸a˜o linear u´nica dos −→e1 ,−→e2 ,−→e3 ,
inclusive esses, assim −→e1 = a11−→e1 + a12−→e2 + a13−→e3 ,−→e2 = a21−→e1 + a22−→e2 + a23−→e3 e −→e3 =
a31
−→e1 + a32−→e2 + a33−→e3 . Enta˜o, −→a = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 = (a11x + a21y + a31z, a12x + a22y +
a32z, a13x + a23y + a33z) = (x, y, z) implicam que

a11x + a21y + a31z = x
a12x + a22y + a32z = y
a13x + a23y + a33z = z
O mais o´bvio a se fazer e´ tomar aij = δij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j (Delta de Kroneker) e
enta˜o −→e1 = (1, 0, 0),−→e2 = (0, 1, 0) e −→e3 = (0, 0, 1).
2.8 G.A., Orientac¸o˜es no espac¸o R3
Quando e´ necessa´rio escolher um vetor ortogonal a dois outros, existem dois sentidos
poss´ıveis.
a
v
b u
A
B
C
E
D
O que diferencia −→a de −→b , ale´m do sentido? Vamos considerar −→u = (u1, u2, u3),−→v =
(v1, v2, v3),
−→a = (a1, a2, a3) = −−→b = −(b1, b2, b3) em uma base qualquer (note que a
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 34 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.8 G.A., Orientac¸o˜es no espac¸o R3
condic¸a˜o |−→a | = |−→b | na˜o atrapalha a ide´ia). Enta˜o
det

u1 v1 a1u2 v2 a2
u3 v3 a3

 = det

u1 v1 −b1u2 v2 −b2
u2 v3 −b3

 = − det

u1 v1 b1u2 v2 b2
u2 v3 b3

 6= 0
mostra que a troca de −→a por −→b muda o sinal do determinante, mas na˜o o valor.
Exerc´ıcio 11. Calcule os dois determinantes no caso em que −→u = (2, 3, 4),−→v = (−5, 6,−7)
e −→a = (11,−1, 3) = −−→b .•
Existe uma infinidade de bases em R3 e, a cada par (ε, ϕ), Mεϕ tera´ determinante
diferente de zero. Veremos como o sinal do determinante separa todas as bases em R3.
Definic¸a˜o 8. Quando det Mεϕ > 0, diz-se que ε e ϕ sa˜o bases concordantes, que ε e´
concordante com ϕ. E quando det Mεϕ < 0, diz-se que ε e ϕ sa˜o bases discordantes, que
ε e´ discordante de ϕ. •
A fixac¸a˜o de uma base qualquer ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} em R3 estabelece naturalmente os
conjuntos C = {bases que concordam com ε} e D = {bases que discordam de ε}. Quatro
observac¸o˜es:
1a. C 6= ∅. Tem-se det Mεε > 0, logo ε ∈ C.
2a. D 6= ∅. Tomamos ϕ = {−→e2 ,−→e1 ,−→e3}, de sorte que −→e2 = 0−→e1 + −→e2 + 0−→e3 ,−→e1 =
−→e1 + 0−→e2 + 0−→e3 ,−→e3 = 0−→e1 + 0−→e2 + −→e3 levam a det Mεϕ = det

0 1 01 0 0
0 0 1

 = −1, ou seja,
ϕ ∈ D.
3a. Para qualquer ϕ ∈ C, vale det Mεϕ > 0 e enta˜o ϕ 6∈ D; para qualquer γ ∈ D, vale
det Mεγ <
0 e γ 6∈ C. Isso mostra que C ∩ D = ∅, isto e´, C e D sa˜o conjuntos disjuntos.
4a. Se ϕ, γ ∈ C, ou se ϕ, γ ∈ D, enta˜o det Mϕγ = det(Mϕε.Mεγ) = det Mϕε. det Mεγ > 0
e ϕ e´ concordante com γ. Reciprocamente, sejam ϕ e γ bases concordantes e suponhamos
que pode ϕ ∈ C e γ ∈ D. Teremos det Mεϕ > 0, det Mεγ < 0 e det Mϕγ < 0, o que
contradiz o fato de ϕ ser concordante com γ. Portanto, ou se tem ϕ, γ ∈ C, ou se tem
ϕ, γ ∈ D.
O que acabamos de ver prova a seguinte
Proposic¸a˜o 18. Todas as bases em R3 formam dois conjuntos na˜o-vazios disjuntos, sendo
que duas bases esta˜o em um mesmo conjunto se, e somente se, sa˜o concordantes.
Cada um dos conjuntos C e D e´ chamado uma orientac¸a˜o de R3. Fixada uma ori-
entac¸a˜o de R3 (isto e´, escolhido C ou D), diz-se que R3 esta´ orientado e que a orientac¸a˜o
escolhida e´ uma base positiva. Qualquer base que na˜o esteja na orientac¸a˜o de R3 sera´
chamada uma base negativa.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 35 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.9 G.A., Produto vetorial
Uma base ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} na orientac¸a˜o de R3 obedece a` regra da ma˜o direita quando,
posicionados o dedo indicador sobre o representante de −→e1 e o dedo me´dio sobre o repre-
sentante de −→e2 , o dedo polegar pode se sobrepor ao representante de −→e3 .
Vamos voltar a` ilustrac¸a˜o do in´ıcio dessa sec¸a˜o, mas agora com R3 orientado segundo
a regra da ma˜o direita. Essa orientac¸a˜o (essa base) elimina qualquer ambigu¨idade, so-
mos obrigados a escolher a base {−→u ,−→v ,−→a } que e´ concordante com a orientac¸a˜o. Ja´
{−→u ,−→v ,−→b } e´ discordante.
Isso resume o conceito da orientac¸a˜o (para mais detalhes leia todo o ca´pitulo e o
ape´ndice sobre orientac¸a˜o no livro indicado).
2.9 G.A., Produto vetorial
Va´rios problemas matema´ticos sa˜o resolvidos com o aux´ılio da fixac¸a˜o de um vetor que
e´ ortogonal a um dado conjunto (reta, plano, esfera, etc.), os matema´ticos definiram uma
operac¸a˜o vetorial que elimina a dificuldade de se encontrar um tal vetor; essa operac¸a˜o
tambe´m e´ importante para a resoluc¸a˜o de muitos problemas f´ısicos.
De agora em diante R3 esta´ orientado e qualquer base associada a` essa orientac¸a˜o deve
obedecer a` regra da ma˜o direita. O produto vetorial em R3 e´ a operac¸a˜o
∧ : R3×R3 → R3
(−→u ,−→v ) 7→ −→u ∧ −→v
cujo vetor resultante −→u ∧−→v , chamado produto vetorial de −→u por −→v , apresenta as seguintes
caracter´ısticas:
PV1— |−→u ∧ −→v | = |−→u | |−→v | sen α, em que α = ang(−→u ,−→v ).
PV2— −→u ∧ −→v ⊥ −→u e −→u ∧ −→v ⊥ −→v .
PV3— (−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v ) e´ uma base concordante com a orientac¸a˜o de R3.
Claro que α = 0o, 180o significa −→u e −→v L.D. e enta˜o −→u ∧ −→v = −→0 .
A condic¸a˜o PV1, puramente geome´trica, significa que a norma de −→u ∧−→v coincide com
a a´rea do paralelogramo cujas arestas sa˜o (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v .
A condic¸a˜o PV2 obriga −→u ∧−→v ter representantes paralelos a` reta r que conte´m A e e´
perpendicular ao plano que conte´m A,B,C. Em r existem D,E que distam exatamente
|−→u | |−→v | sen α de A, a regra da ma˜o direita (i.e., a orientac¸a˜o fixada) leva a` escolha de D
e enta˜o (A,D) e´ um representante de −→u ∧ −→v .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 36 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.9 G.A., Produto vetorial
e
1
2
3
e
e
r
E .
D
u
<
v
u
B
A
v
C
e
a
Ale´m disso, existe um u´nico −→e unita´rio com a direc¸a˜o de r tal que {−→u ,−→v ,−→e } e´ uma
base em C. Assim, podemos escrever −→u ∧ −→v = (|−→u | |−→v | sen α)−→e .
Exerc´ıcio 12. Mostre que −→u ,−→v e −−→AD = −→u ∧ −→v sa˜o L.I., que −→u ,−→v e −→AE = −(−→u ∧ −→v )
tambe´m sa˜o. Mostre que esses dois ternos ordenados formam bases discordantes.•
Proposic¸a˜o 19. Para quaisquer vetores, valem:
PV4— −→u ∧−→v = −→0 se e somente se (1) ao menos um dos vetores e´ nulo ou (2) se sa˜o
L.D.
PV5— −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u ) (e´ anti-comutativo).
PV6— k−→u ∧ −→v = −→u ∧ k−→v = k(−→u ∧ −→v ) (e´ associativo com relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o
por escalar).
PV7— −→u ∧ (−→v + −→w ) = −→u ∧ −→v + −→u ∧ −→w e (−→u + −→v ) ∧ −→w = −→u ∧ −→w + −→v ∧ −→w (e´
distributivo com relac¸a˜o a` soma de vetores).
Demostrac¸a˜o. PV4 e´ bem o´bvio, −→u ∧ −→v = (|−→u | |−→v | sen α)−→e = −→0 ocorre se, e somente
se, |−→u | = 0, ou |−→v | = 0, ou sen α = 0 (isto e´, α = 0o ou 180o).
PV5. −→u ∧ −→v e −→v ∧ −→u sa˜o ortogonais a −→u e a −→v , tambe´m vale |−→u ∧ −→v | =
|−→u | |−→v | sen α = |−→v | |−→u | sen α = |−→v ∧ −→u |. E a orientac¸a˜o de R3 (PV3) implica que−→u ∧ −→v e −→v ∧ −→u devem ser de sentidos contra´rios, ou seja, −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u ).
PV6. Se k = 0, as igualdades sa˜o o´bvias. Se k 6= 0, k−→u ∧ −→v = (|k−→u | |−→v | sen α)−→e =
(|k| |−→u | |−→v | sen α)−→e = (|−→u | |k| |−→v | sen α)−→e = (|−→u | |k−→v | sen α)−→e = −→u ∧ k−→v .
Tambe´m, k−→u ∧ −→v = |k|(−→u ∧ −→v ) = k(−→u ∧ −→v ) se for k > 0. Caso k < 0, enta˜o k−→u
tem sentido oposto de −→u , k(−→u ∧ −→v ) tem sentido oposto de −→u ∧ −→v .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 37 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.9 G.A., Produto vetorial
D
E
u
B A
v
C
u
<
v
k<0
u
<
vk (?????)
k u
Pela regra da ma˜o direita, deve valer k−→u ∧ −→v = k(−→u ∧ −→v ).
PV7. Fixados representantes (A,B) ∈ −→u , (A,C) ∈ −→v , (A,D) ∈ −→w , existem duas
situac¸o˜es.
1a. −→u ortogonal a −→v e −→w .
D
u
B
Av
C
u
<
v
w
u
<
w
E F
G
H
a
b a
b
Fica claro que (A,F ) ⊥ (A,C), (A,G) ⊥ (A,D), (A,H) ⊥ (A,E), ang(−→v ,−→w ) =
ang(−→u ∧ −→v ,−→u ∧ −→w ) e, por fim, −→u ∧ (−→v + −→w ) e´ representado por (A,H). Portanto,
−→u ∧ (−→v +−→w ) = −−→AH = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w .
2a. −→u na˜o-ortogonal a −→v e a −→w . Podemos escrever (decompor) −→v = −→v1 + −→v2 , com−→v1 ⊥ −→u e −→v2//−→u , e −→w = −→w1 +−→w2, em que −→w1 ⊥ −→u e −→w2//−→u .
D
uB
vC
w
A
v
v
w
w
1
2
1
2
a
b
Veˆ-se que |−→v1 | = |−→v | cos(90o − α) ∗= |−→v | sen α, logo |−→u ∧ −→v | = |−→u | |−→v | sen α =
|−→u | |−→v1 | = |−→u | |−→v1 | sen 90o = |−→u ∧ −→v1 |.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 38 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.9 G.A., Produto vetorial
∗: sen(x− y) = sen x cos y − cos x sen y e cos(x− y) = cos x cos y + sen x sen y
A orientac¸a˜o de −→u ∧−→v1 e´ a mesma de −→u ∧−→v , portanto −→u ∧−→v1 = −→u ∧−→v . Do mesmo
modo vale −→u ∧−→w1 = −→u ∧−→w e, em consequ¨eˆncia, −→u ∧(−→v +−→w ) = −→u ∧(−→v1 +−→v2 +−→w1+−→w2) =
−→u ∧ (−→v1 +−→w1) 1
a
= −→u ∧ −→v1 +−→u ∧ −→w1 = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w .
A segunda parte (−→u +−→v ) ∧ −→w = −→u ∧ −→w +−→v ∧ −→w e´ provada do mesmo modo. •
Exemplo 25. Desenvolver (3−→u − 5−→v ) ∧ (−5−→u +−→v ).
Aplicando os fatos demonstrados, 3−→u ∧(−5−→u +−→v )−5−→v ∧(−5−→u +−→v ) = 3−→u ∧(−5−→u )+
3−→u ∧−→v −5−→v ∧ (−5−→u )−5−→v ∧−→v = −15(−→u ∧−→u )+3(−→u ∧−→v )+25(−→v ∧−→u )−5(−→v ∧−→v ) =
3(−→u ∧ −→v )− 25(−→u ∧ −→v ) = −22(−→u ∧ −→v ). •
Os produtos escalar e vetorial se relacionam pela expressa˜o
|−→u ∧ −→v |2 + (−→u .−→v )2 = |−→u |2|−→v |2
De fato, (−→u .−→v )2 = |−→u |2 |−→v |2 cos2 α e |−→u ∧ −→v |2 = |−→u |2|−→v |2 sen2 α, logo |−→u ∧ −→v |2 +
(−→u .−→v )2 = |−→u |2|−→v |2(cos2 α + sen2 α) = |−→u |2|−→v |2.
Exemplo 26. Determinar |−→u ∧ −→v | para −→u = (3, 4, 2) e −→v = (−5, 2, 7) em uma base
ortonormal (concordante com a orientac¸a˜o fixada em R3).
Dois modos:
1o. Pela definic¸a˜o, |−→u ∧ −→v | = |−→u | |−→v | sen α = √29 √78 √1− cos2 α =√
29
√
78
√
1− ( 7√
29
√
78
)2 =
√
29
√
78
√
29.78−49
29.78
=
√
2213.
2o. Pela expressa˜o relacionando produto escalar e vetorial, |−→u ∧−→v | = √29.78− 49 =√
2213. •
O passo seguinte e´ obter as coordenadas de −→u ∧−→v em termos das coordenadas de −→u
e −→v , como feito com o produto escalar.
Sejam −→u = (u1, u2, u3)ε e −→v
= (v1, v2, v3)ε em uma base ortonormal ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}
associada a` orientac¸a˜o fixada em R3. Verifica-se facilmente que
−→e1 ∧ −→e1 = −→e2 ∧ −→e2 = −→e3 ∧ −→e3 = −→0
−→e1 ∧ −→e2 = −→e3 , −→e2 ∧ −→e3 = −→e1 , −→e3 ∧ −→e1 = −→e2
−→e2 ∧ −→e1 = −−→e3 , −→e3 ∧ −→e2 = −−→e1 , −→e1 ∧ −→e3 = −−→e2
Desenvolvendo −→u ∧ −→v tem-se, (u1−→e1 + u2−→e2 + u3−→e3 ) ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) PV7=
u1
−→e1 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) + u2−→e2 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) + u3−→e3 ∧ (v1−→e1 + v2−→e2 + v3−→e3 ) =
u1
−→e1 ∧ v1−→e1 + u1−→e1 ∧ v2−→e2 + u1−→e1 ∧ v3−→e3 + u2−→e2 ∧ v1−→e1 + u2−→e2 ∧ v2−→e2 + u2−→e2 ∧ v3−→e3 +
u3
−→e3 ∧ v1−→e1 + u3−→e3 ∧ v2−→e2 + u3−→e3 ∧ v3−→e3 PV6= u1v1−→e1 ∧ −→e1 + u1v2−→e1 ∧ −→e2 + u1v3−→e1 ∧ −→e3 +
u2v1
−→e2 ∧ −→e1 + u2v2−→e2 ∧ −→e2 + u2v3−→e2 ∧ −→e3 + u3v1−→e3 ∧ −→e1 + u3v2−→e3 ∧ −→e2 + u3v3−→e3 ∧ −→e3 =
u1v2
−→e3 + u1v3(−−→e2 ) + u2v1(−−→e3 ) + u2v3−→e1 + u3v1(−→e2 ) + u3v2(−−→e1 ).
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 39 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.9 G.A., Produto vetorial
Logo, −→u ∧ −→v = (u2v3 − u3v2)−→e1 − (u1v3 − u3v1)−→e2 + (u1v2 − u2v1)−→e3 . Essa com-
binac¸a˜o linear e´ demasiada complexa para ser memorizada, mas pode ser encarada como
o determinante da seguinte ’matriz simbo´lica’ (na˜o e´ matriz!):
−→u ∧ −→v = det

−→e1 −→e2 −→e3u1 u2 u3
v1 v2 v3


Exemplo 27. Vamos calcular (3−→u −7−→w )∧(2−→v +9−→w ), sabendo que −→u = (6,−2,−4),−→v =
(3, 4, 5) e −→w = (9,−3, 1) sa˜o dados em uma base ortonormal associada a` regra da ma˜o
direita.
Existem duas opc¸o˜es.
1a. 3−→u ∧ 2−→v + 3−→u ∧ 9−→w − 7−→w ∧ 2−→v − 7−→w ∧ 9−→w = 6(−→u ∧ −→v ) + 27(−→u ∧ −→w ) −
14(−→w ∧−→v ) = 6 det

−→e1 −→e2 −→e36 −2 −4
3 4 5

+27 det

−→e1 −→e2 −→e36 −2 −4
9 −3 1

−14 det

−→e1 −→e2 −→e39 −3 1
3 4 5

 =
6(6,−42, 30) + 27(−14,−42, 0)− 14(−19,−42, 45) = (−76,−798,−450).
2a. Tome −→a = 3−→u − 7−→w = (−45, 15,−19),−→b = 2−→v + 9−→w = (87,−19, 19) e enta˜o
−→a ∧ −→b = det

 −→e1 −→e2 −→e3−45 15 −19
87 −19 19

 = (−76,−798,−450). •
Exerc´ıcio 13. Demonstre todos a proposic¸a˜o anterior atrave´s de −→a = (3, 2,−5),−→b =
(−1, 4,−7) e −→c = (9, 6,−2). •
Uma interessante aplicac¸a˜o geome´trica do produto vetorial ocorre na projec¸a˜o de a´reas.
Na ilustrac¸a˜o, S e´ a a´rea do paralelogramo gerado por (A,B) ∈ −→u e (A,C) ∈ −→v , B e C
sa˜o projetados no plano que conte´m A,X, Y , que conte´m A, Y, Z e que conte´m A,X,Z,
o que faz surgir paralelogramos de a´reas S12, S13 e S23.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 40 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.9 G.A., Produto vetorial
D
E
e
1
2
3
e
e
X
Y
Z
..
.
.
.
.
.
v
u
B
C
.
A F
G
H
I
.
.
S
S
12
S
13
S
23
vu
v
a
A projec¸a˜o de −→u = (u1, u2, u3) sobre o plano que conte´m A,X, Y e´ a soma das
projec¸o˜es de −→u sobre −→e1 e −→e2 , e´ −→u 12 = proj−→e1−→u + proj−→e2−→u = (−→u .−→e1 )−→e1 + (−→u .−→e2 )−→e2 =
u1
−→e1 + u2−→e2 . A projec¸a˜o de −→v = (v1, v2, v3) sobre o mesmo plano e´ −→v 12 = (−→v .−→e1 )−→e1 +
(−→v .−→e2 )−→e2 = v1−→e1 + v2−→e2 . Teˆm destaque os seguintes fatos:
1— −→u 12 ∧ −→v 12 = 4 det

−→e1 −→e2 −→e3u1 u2 0
v1 v2 0

 = (u1v2 − v1u2)−→e3 = det
(
u1 u2
1 v2
)
−→e3 e S12 =
|−→u 12 ∧ −→v 12| = | det
(
u1 u2
v1 v2
)
|.
2— −→u ∧−→v .−→e3 = |−→u ∧−→v | cos α = S cos α = [(u2v3−u3v2)−→e1−(u1v3−u3v1)−→e2 +(u1v2−
u2v1)
−→e3 ].−→e3 = u1v2 − u2v1, logo S| cos α| = |u1v2 − u2v1| = S12.
3— De modo ana´logo define-se as projec¸o˜es −→u 13 e −→v 13 sobre o plano que conte´m
A,X,Z, bem como −→u 23 e −→v 23 sobre o plano que conte´m A, Y, Z. Como antes, S13 =
| det
(
u1 u3
v1 v3
)
| e´ a a´rea do quadrila´tero associado a −→u 13 e −→v 3, S23 = | det
(
u2 u3
v2 v3
)
|
4 Lembre-se que a base deve ser ortonormal para que seja poss´ıvel escrever o determinante
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 41 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.10 G.A., Produto misto
e´ a a´rea do quadrila´tero associado a −→u 23 e −→v 23, −→u 13 ∧ −→v 13 = − det
(
u1 u3
v1 v3
)
−→e2 e
−→u 23 ∧ −→v 23 = det
(
u2 u3
v2 v3
)
−→e1 .
Tambe´m, sendo β = ang(−→u ∧ −→v ,−→e2 ) e γ = ang(−→u ∧ −→v ,−→e3 ), tem-se S13 = S| cos β| e
S23 = S| cos γ|.
4— S2 = |−→u ∧ −→v |2 = |(u2v3 − u3v2)−→e1 − (u1v3 − u3v1)−→e2 + (u1v2 − u2v1)−→e3 |2 =
|(u2v3 − u3v2)−→e1 |2 + |(u1v3 − u3v1)−→e2 |2 + |(u1v2 − u2v1)−→e3 |2 = (u1v3 − u3v1)2 + (u1v3 −
u3v1)
2 + (u1v2 − u2v1)2 = S212 + S213 + S223.
Note que todo o ca´lculo feito na˜o leva em conta a posic¸a˜o relativa de (A,B) e (A,C), ou
seja, tanto faz se o quadrila´tero de a´rea S e´ horizontal, e´ vertical ou tem outra disposic¸a˜o.
Exerc´ıcio 14. Leve em considerac¸a˜o−→u = (4, 3,−1),−→v = (−2, 4, 3) e determine S12, S13, S23,
α, β, γ e S. •
Outra importante aplicac¸a˜o geome´trica do produto vetorial esta´ na definic¸a˜o da chamada
equac¸a˜o geral de um plano. Isso sera´ visto mais adiante.
2.10 G.A., Produto misto
Suponhamos −→u ,−→v e −→w L.I. representados por (A,B), (A,C) e (A,D), respectiva-
mente. Pode-se encarar esses segmentos orientados como treˆs arestas de um paralelep´ıpedo
que se apo´ia em um plano (mesa, cha˜o) pela face que conte´m A,B,C.
E
v
D
w
C
B
u
proj w
u
<
v
u
<
v
A
A Geometria me´trica (parte da Geometria euclidiana) nos ensina que o volume asso-
ciado a esse so´lido e´ o nu´mero V = S h, onde S e´ a a´rea de uma fase e h e´ a distaˆncia
dela ate´ a fase paralela. Considerando-se a fase que conte´m A,B,C, tem-se S = |−→u ∧−→v |
e h = |proj−→u ∧−→v −→w |.
O s´ımbolo −→u ∧−→v .−→w indica o produto escalar de −→u ∧−→v por −→w , na˜o pode ser o produto
vetorial de −→u por −→v .−→w (por queˆ?). E ja´ vimos que −→u ∧ −→v .−→w = |−→u ∧ −→v | | proj−→u ∧−→v −→w |
(certo?), logo V = |−→u ∧ −→v | |proj−→u ∧−→v −→w | = |−→u ∧ −→v | |
−→u ∧−→v .−→w |
|−→u ∧−→v | = |−→u ∧ −→v .−→w |.
Definic¸a˜o 9. O nu´mero −→u ∧ −→v .−→w e´ conhecido como produto misto de −→u ,−→v por −→w . •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 42 Geometria anal´ıtica - 2011
2 G.A., Vetores 2.10 G.A., Produto misto
Proposic¸a˜o 20. Se −→u = (u1, u2, u3)ε,−→v = (v1, v2, v3)ε e −→w = (w1, w2, w3)ε, onde ε e´ uma
base ortonormal concordante com a orientac¸a˜o em R3, enta˜o
−→u ∧ −→v .−→w = det

u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3


Demostrac¸a˜o. E´ bem simples, −→u ∧ −→v .−→w = det

−→e1 −→e2 −→e3u1 u2 u3
v1 v2 v3

 .(w1, w2, w3) = (u2v3 −
v2u3,−u1v3+v1u3, u1v2−v1u2).(w1, w2, w3) = w1(u2v3−v2u3)−w2(u1v3−v1u3)+w3(u1v2−
v1u2) = det

u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

. •
Uma consequ¨eˆncia imediata e u´til e´ o fato de −→u ,−→v ,−→w serem L.D. se, e somente se,−→u ∧ −→v .−→w = 0 (verifique!).
Proposic¸a˜o 21. 1— Se ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3}, ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3} e γ = {−→g1 ,−→g2 ,−→g3} sa˜o bases, ε e´
ortonormal e concorda com a orientac¸a˜o de R3, enta˜o
det Mεϕ =
−→
f1 ∧ −→f2 .−→f3
e
det Mϕγ =
−→g1 ∧ −→g2 .−→g3−→
f1 ∧ −→f2 .−→f3
2— (a−→u1 + b−→u2) ∧ −→v .−→w = a(−→u1 ∧ −→v .−→w ) + b(−→u2 ∧ −→v .−→w ), −→u ∧ (a−→v1 + b−→v2).−→w =
a(−→u ∧−→v1 .−→w ) + b(−→u ∧−→v2 .−→w ) e −→u ∧−→v .(a−→w1 + b−→w2) = a(−→u ∧−→v .−→w1) + b(−→u ∧−→v .−→w2) (i.e.,
o produto misto e´ trilinear).
3— −→u ∧ −→v .−→w = −(−→v ∧ −→u .−→w ) = −→v ∧ −→w .−→u = −(−→u ∧ −→w .−→v ) = −→w ∧ −→u .−→v =
−(−→w ∧ −→v .−→u ) (o produto misto e´ alternado).
4— −→u ∧ −→v .−→w e´ invariante se for somado a um dos vetores uma combinac¸a˜o dos dois
outros.
Demostrac¸a˜o. Escrevendo
−→
f1 = (f11, f21, f31)ε,
−→
f2 = (f12, f22, f32)ε e
−→
f3 = (f13, f23, f33)ε,
enta˜o det Mεϕ = det

f11 f12 f13f21 f22 f23
f31 f32 f33

 = det

f11 f21 f31f12 f22 f32
f13 f23 f33

 = −→f1 ∧ −→f2 .−→f3 .
E det
Mϕγ = det Mϕε. det Mεγ = (det Mεϕ)
−1. det Mεγ =
det Mεγ
det Mεϕ
=
−→g1∧−→g2.−→g3−→
f1∧−→f2.−→f3
. Isso mostra
(1).
2— Basta utilizar as va´rias propriedades ja´ demonstradas sobre o produto escalar e o
produto vetorial, (a−→u1 + b−→u2)∧−→v .−→w = (a−→u1 ∧−→v + b−→u2 ∧−→v ).−→w = (a−→u1 ∧−→v ).−→w + (b−→u2 ∧
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3 G.A., Sistemas de coordenadas
−→v ).−→w = a(−→u1 ∧ −→v ).−→w + b(−→u2 ∧ −→v ).−→w = a(−→u1 ∧ −→v .−→w ) + b(−→u2 ∧ −→v .−→w ). Assim se verifica
as outras expresso˜es.
3— −→u ∧ −→v .−→w = −(−→v ∧ −→u ).−→w = −(−→v ∧ −→u .−→w ) = − det

v1 v2 v3u1 u2 u3
w1 w2 w3

 =
det

v1 v2 v3w1 w2 w3
u1 u2 u3

 = −→v ∧ −→w .−→u = − det

u1 u2 u3w1 w2 w3
v1 v2 v3

 = −(−→u ∧ −→w .−→v ) =
det

w1 w2 w3u1 u2 u3
v1 v2 v3

 = −→w ∧ −→u .−→v = − det

w1 w2 w3v1 v2 v3
u1 u2 u3

 = −(−→w ∧ −→v .−→u ).
4— Substituindo-se −→u em−→u ∧−→v .−→w por−→u +a−→v +b−→w , tem-se (−→u +a−→v +b−→w )∧−→v .−→w =
[−→u ∧−→v +a(−→v ∧−→v )+b(−→w∧−→v )].−→w = −→u ∧−→v .−→w +b(−→w∧−→v .−→w ) (3)= −→u ∧−→v .−→w−b(−→w∧−→w .−→v ) =−→u ∧ −→v .−→w . Algo similar ocorre se substituirmos −→v ou −→w . •
Para mais informac¸o˜es, leia com atenc¸a˜o o cap´ıtulo 12 do livro indicado, onde esta˜o
va´rios exemplos.
3 G.A., Sistemas de coordenadas
Uma vez que ponto e´ o elemento minimal da Geometria, isto e´, na˜o e´ formado por
nada menor, e´ necessa´rio estabelecer um mecanismo atrave´s do qual ponto e´ associado a
nu´meros. Imagine A e B sobre uma reta r; para qualquer C ∈ r, existe um u´nico a ∈ R
que satisfaz a` equac¸a˜o vetorial
−→
AC = a
−→
AB (certo?).
Sendo O um ponto qualquer, vale
−→
AC =
−→
AO +
−→
OC =
−→
OC −−→OA.
B
r
.
O
.
C
.
A
.
Portanto, a
−→
AB =
−→
OC − −→OA implica em −→OC = −→OA + a−→AB e a interpretac¸a˜o e´ que,
fixados A,B ∈ r (i.e., fixado −→AB), cada nu´mero real a define um u´nico C sobre r.
Definic¸a˜o 10. Sejam O um ponto e ε = {−→e1 ,−→e2 ,−→e3} uma base concordante com a orientac¸a˜o
de R3. O par ordenado (O, ε) e´ chamado (um) sistema de coordenadas em R3, de origem
O e base ε.
Se for ε ortonormal, enta˜o (O, ε) e´ um sistema de coordenadas ortogonal em R3, de
origem O e base ε. •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 44 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas
Note que ao falar em sistema de coordenadas (O, ε) ficam pre´-estabelecidos dois fatos:
1— Os representantes de −→e1 ,−→e2 e −→e3 sa˜o segmentos orientados com origem em O.
2— Cada ponto P ∈ R3 estabelece o segmento orientado (O,P ), o vetor −→OP , e torna-se
enta˜o natural emprestar as coordenadas de vetores para pontos, e vice-versa.
Definic¸a˜o 11. Sendo
−→
OP = x−→e1 + y−→e2 + z−→e3 = (x, y, z)ε, as coordenadas de P sa˜o os
nu´meros x, y e z e se escreve P = (x, y, z). O nu´mero x e´ a abscissa de P , y e´ a ordenada
de P e z e´ a cota de P . •
Duas observac¸o˜es:
1a. Esta´ errado concluir que
−→
OP = (x, y, z) e P = (x, y, z) sa˜o iguais; um e´ um conjunto
de segmentos orientados, o outro e´ um ponto! Embora sejam associados biunivocamente
aos mesmos treˆs nu´meros, sa˜o objetos matema´ticos diferentes.
2a. Deve-se interpretar
−→
OP = (x, y, z) como uma indicac¸a˜o de que todos os segmentos
orientados em
−→
OP sa˜o equipolentes a (O,P ) com P = (x, y, z). So´ isso!
Exemplo 28. Determinar as coordenadas de B sabendo que (A,B) representa −→v =
(4, 7, 1), onde A = (3,−4, 5).
Soluc¸a˜o. Temos (A,B) ∼ (O,P ), com P = (4, 7, 1). Enta˜o, B = A+−→v = (3,−4, 5)+
(4, 7, 1) = (7, 3, 6). •
Logo adiante veremos que
−→
AB se escrever como (e´ igual a)
−−→
OB − −→OA = (7, 3, 6) −
(3,−4, 5) = (4, 7, 1), logo e´ igual a −→OP . Assim, sendo −→AB tem a mesma norma e as
mesmas inclinac¸o˜es de
−→
OP .
Por eixo coordenado entende-se qualquer reta munida de uma unidade de distaˆncia
entre seus pontos e que e´ paralela a um dos representantes de um dos vetores de ε.
O eixo dos x, ou eixo das abscissas, denotado por Ox, e´ aquele eixo coordenado que
conte´m o representante de −→e1 com origem em O. O eixo dos y, ou eixo das ordenadas,
denotado por Oy, conte´m o representante de −→e2 com origem em O. O eixo dos z, ou eixo
das cotas, denotado por Oz, conte´m o representante de −→e3 com origem em O.
Cada plano formado por dois eixos coordenados e´ um plano coordenado e existem treˆs,
o plano Oxy, o plano Oxz e o plano Oyz.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 45 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas
e1 2e
3
e
.
eixo Oy
Ozeixo
Oxeixo
plano Oxy
P
.
O
Oxzplano
Oyzplano
.
abscissade P
.
cotade P
.
ordenadade P
E´ muito fa´cil saber a posic¸a˜o espacial de P = (x, y, z):
1— P = (x, 0, 0) ⇒ P ∈ Ox; um ponto esta´ no eixo das abscissas, quando tem
ordenada e cota nulas.
2— P = (0, y, 0) ⇒ P ∈ Oy; um ponto esta´ no eixo das ordenadas, quando tem
abscissa e cota nulas.
3— P = (0, 0, z)⇒ P ∈ Oz; um ponto esta´ no eixo das cotas, quando tem abscissa e
ordenada nulas.
4— P = (x, y, 0)⇒ P ∈ Oxy; um ponto esta´ no plano Oxy, quando tem cota nula.
5— P = (x, 0, z) ⇒ P ∈ Oxz; um ponto esta´ no plano Oxz, quando tem ordenada
nula.
6— P = (0, y, z)⇒ P ∈ Oyz; um ponto esta´ no plano Oyz, quando tem abscissa nula.
7— P = (x, y, z), x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0 ⇒ P na˜o esta´ em nenhum eixo coordenado ou
plano coordenado.
Por exemplo, P = (2, 5, 3).
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 46 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas
.
Ox
Oy
Oz
Oxy
Oxz
Oyz
.
.
.
.
.
.
0,5,3
2,5,3
0,5,0
2,5,0
2,0,0
2,0,3
0,0,3
P=(????)
P=(????)
P=(????)
P=(????)
P=(????)
P=(????)
P=(????)
Falta apenas mais um detalhe, como associar coordenadas a um vetor qualquer
−→
AB,
quando A 6= O e B 6= O?
Proposic¸a˜o 22. Esta´ fixado um sistema de coordenadas (O, ε) em R3.
SC1— Se A e B teˆm coordenadas xA, yA, zA e xB, yB, zB, respectivamente, enta˜o
−→
AB
e´ igual ao vetor de coordenadas xB − xA, yB − yA e zB − zA.
SC2— Se A = (xA, yA, zA),
−→v = (v1, v2, v3) e p ∈ R, enta˜o A + p−→v e´ o ponto de
coordenadas xA + pv1, yA + pv2 e zA + pv3.
SC3— Se for (O, ε) ortogonal e as coordenadas de A e B sa˜o xA, yA, zA e xB, yB, zB,
respectivamente, enta˜o a distaˆncia euclidiana entre A e B e´ o nu´mero
d(A,B) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2
Demostrac¸a˜o. Diz-se que xA e´ a abscissa, yA e´ a ordenada e zA e´ a cota de A simplesmente
porque
−→
OA = (xA, yA, zA). Do mesmo modo, B = (xB, yB, zB) porque
−−→
OB = (xB, yB, zB).
Assim,
−→
AB =
−−→
OB − −→OA = (xB, yB, zB) − (xA, yA, zA) C1= (xB − xA, yB − yA, zB − zA) e
isso prova SC1.
SC2— A + p−→v e´ um ponto B = (xB, yB, zB) e, pela definic¸a˜o de soma de ponto
com vetor, isso significa que
−→
AB = p−→v C2= (p v1, p v2, p v3). Mas, por SC1, −→AB =
(xB − xA, yB − yA, zB − zA) e enta˜o B = (xA + p v1, yA + p v2, zA + p v3).
SC3— Observando ∆ABO, claro que d(A,B) e´ a extensa˜o de (A,B), igual a |−→BA| =
|−→OA − −−→OB| C1= |(xA − xB)−→e1 + (yA − yB)−→e2 + (zA − zB)−→e3 | = [|(xA − xB)−→e1 |2 + |(yA −
yB)
−→e2 |2 + |(zA − zB)−→e3 |] 12 . •
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 47 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas
A propriedade SC1 merece um esclarecimento: se
−→
AB na˜o irradia da ou para a origem
O, na˜o se pode escrever automaticamente
−→
AB = a−→e1 + b−→e2 + c−→e3 . Pore´m, existe um
u´nico P tal que (A,B) ∼ (O,P ) e vetores do tipo −→OP sa˜o associados imediatamente a`
treˆs coordenadas, pois, via projec¸o˜es,
−→
OP = p1
−→e1 + p2−→e2 + p3−→e3 (em que pj =
−−→
OP.−→ej
|−→ej |2 ).
A equipoleˆncia garante que (A,B) e (O,P ) formam os mesmos aˆngulos α, β, γ com os
eixos
coordenados, logo
cos α =
p1
|−→OP |
=
xB − xA
|−→AB|
cos β =
p2
|−→OP |
=
yB − yA
|−→AB|
cos γ =
p3
|−→OP |
=
zB − zA
|−→AB|
Ainda pela equipoleˆncia, tem-se |−→OP | = |−→AB| e enta˜o p1 = xB − xA, p2 = yB − yA
e p3 = zB − zA. E´ exatamente esse procedimento geome´trico que nos autoriza escrever−→
AB = (xB − xA, yB − yA, zB − zA), a demonstrac¸a˜o de SC1 na˜o deixa claro esse fato.
Exemplo 29. Se
−→
OA = (4,−3, 6),−−→OB = (2, 8, 1),−→v = (3,−4, 5) e p = −5, vamos deter-
minar as coordenadas de A, de B, de
−→
AB e de A + p−→v , bem como o valor de d(A,B) (o
sistema de coordenadas e´ ortogonal).
Com efeito, A herda as coordenadas de
−→
OA, logo A = (4,−3, 6); B herda as coorde-
nadas de
−−→
OB, logo B = (2, 8, 1). Por SC1,
−→
AB = (−2, 11,−5). Por SC2, o ponto A + p−→v
tem coordenadas (4,−3, 6) + (−5)(3,−4, 5) C1, C2= (−11, 17,−19).
Por fim, d(A,B) = |−→AB| =
√
(−2)2 + 112 + (−5)2 = √150 = 5√6. •
Exemplo 30. Sabendo que A = (3, 9,−3),−→u = (5,−4, 3) e −→v = (2, 0, 2), determine as
inclinac¸o˜es que o vetor de origem A e extremidade A + 4−→u − −→v forma com os eixos
coordenados de um sistema de coordenadas ortogonal.
De fato, A + 4−→u − −→v = [(3, 9,−3) + 4(5,−4, 3)] − (2, 0, 2) = (21,−7, 7) = B, logo−→
AB = (18,−16, 10) esta´ inclinado de α = arccos 18√
680
= 46, 35o com relac¸a˜o a Ox, de
β = arccos −16√
680
= 127, 85o com relac¸a˜o a Oy e γ = arccos 10√
680
= 67, 45o. •
Exemplo 31. O objetivo e´ calcular as coordenadas das projec¸o˜es de P = (3, 4, 5) sobre
Ox,Oy,Oz,Oxy,Oxz e Oyz, onde (O, ε) e´ ortogonal.
Pela definic¸a˜o, escreva P = (3, 4, 5) porque
−→
OP = (3, 4, 5) e as projec¸o˜es desse sobre
os eixos coordenados sa˜o:
1— projOx
−→
OP =
−−→
OP.−→e1
|−→e1|2
−→e1 = 3−→e1 = 3−→e1 + 0−→e2 + 0−→e3 ,
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 48 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas 3.1 G.A., Mudanc¸a de sistema de coordenadas
2— projOy
−→
OP =
−−→
OP.−→e2
|−→e2|2
−→e2 = 4−→e2 = 0−→e1 + 4−→e2 + 0−→e3 ,
3— projOz
−→
OP =
−−→
OP.−→e3
|−→e3 |2
−→e3 = 5−→e3 = 0−→e1 + 0−→e2 + 5−→e3 .
4— projOxy
−→
OP = projOx
−→
OP+ projOy
−→
OP = 3−→e1 + 4−→e2 + 0−→e3 .
5— projOxz
−→
OP = projOx
−→
OP+ projOz
−→
OP = 3−→e1 + 0−→e2 + 5−→e3 .
6— projOyz
−→
OP = projOy
−→
OP+ projOz
−→
OP = 0−→e1 + 4−→e2 + 5−→e3 .
Como sa˜o os vetores que emprestam coordenadas aos pontos (desde que os vetores
irradiem da origem), tem-se projOxP = (3, 0, 0), projOyP = (0, 4, 0), projOzP = (0, 0, 5),
projOxyP = (3, 4, 0), projOxzP = (3, 0, 5) e projOyzP = (0, 4, 5).
Na pra´tica pode-se responder de modo mais direto e ra´pido: se P = (3, 4, 5), enta˜o
projOxP = (3, 0, 0), projOyP = (0, 4, 0), projOzP = (0, 0, 5), projOxyP = (3, 4, 0), projOxzP =
(3, 0, 5) e projOyzP = (0, 4, 5). •
3.1 G.A., Mudanc¸a de sistema de coordenadas
A abscissa, ordenada e cota de P , relativamente a um sistema de coordenadas (O, ε),
sa˜o emprestadas da 1a, 2a e 3a coordenadas de
−→
OP , respectivamente. Se for trocado O
por A, mas mantida a base original, enta˜o as novas coordenadas de P , com relac¸a˜o ao
novo sistema de coordenadas (A, ε), sa˜o agora emprestadas das coordenadas de
−→
AP .
e
1
23
ee
e
1
23
ee A
.
O.
P
.
Exemplo 32. Leve em conta (O, ε), A = (1,−2, 1) e P = (3, 4,−2).
Ao se passar para o novo sistema de coordenadas (A, ε), a abscissa, ordenada e cota
de P na˜o sa˜o mais 3, 4 e −2, sa˜o agora as coordenadas de −→AP . Como −→AP = −→OP −−→OA =
(3, 4,−2)− (1,−2, 1) = (2, 6,−3), segue-se que a nova abscissa de P e´ 2, a nova ordenada
de P e´ 6 e a nova cota de P e´ −3. •
Note bem, o ponto P e´ o mesmo, na˜o se move, o que mudou foi a origem do sistema
de coordenadas. O pior que pode ocorrer e´ serem trocados simultaneamente as origens e
as bases.
Exemplo 33. Tomando a mudanc¸a de (O, ε) para (A,ϕ = {−→f1 ,−→f2 ,−→f3}), com
−→
f1 = 3
−→e1 +−→e2 −−→e3
−→
f2 = 2
−→e1 + 3−→e2 −−→e3
−→
f3 =
−→e1 + 5−→e2 + 7−→e3
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 49 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas 3.1 G.A., Mudanc¸a de sistema de coordenadas
As coordenadas antigas x1 = 3, y1 = 4, z1 = −2 e as novas coordenadas x2, y2, z2 de P
sa˜o vinculadas atrave´s da equac¸a˜o matricial
 3− 14− (−2)
−2− 1

 =

 3 2 11 3 5
−1 −1 7



x2y2
z2


Isso leva ao sistema de equac¸o˜es lineares
3x2 + 2y2 + z2 = 2
x2 + 3y2 + 5z2 = 6
− x2 − y2 + 7z2 = −3
cuja soluc¸a˜o e´ x2 = −1156 , y2 = 7528 , z2 = −5956 (verifique!).
Portanto, as coordenadas de P no antigo sistema de coordenadas sa˜o obtidas de
−→
OP =
(3, 4,−2), enquanto que as novas coordenadas de P no novo sistema de coordenadas sa˜o
obtidas de
−→
AP = (−11
56
, 75
28
,−59
56
). •
E´ interessante desenvolver o procedimento de modo abstrato, livre de nu´meros.
De in´ıcio, existe um sistema de coordenadas com origem A = (xA, yA, zA), base α =
{−→a1 ,−→a2 ,−→a3} e sa˜o fixados outra origem B = (xB, yB, zB) e outra base β = {−→b1 ,−→b2 ,−→b3}, tais
que
−→
b1 = a11
−→a1 + a21−→a2 + a31−→a3 ,−→b2 = a12−→a1 + a22−→a2 + a32−→a3 e −→b3 = a13−→a1 + a23−→a2 + a33−→a3 .
Note que as coordenadas da nova origem sa˜o as coordenadas de
−→
AB!
A
1a
3a 2a
1
b
3
b
2
b
.
B
.
X
.
Qualquer X ∈ R3 se escrever sob a forma X = (x1, y1, z1) e X = (x2, y2, z2), onde
x1, y1, z1 esta˜o associados ao primeiro sistema de coordenadas, x2, y2, z2 esta˜o associados
ao segundo. Por definic¸a˜o, X = (x2, y2, z2) ocorre porque
−−→
BX = (x2, y2, z2)β
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 50 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas 3.2 G.A., O conceito topolo´gico de distaˆncia
Por outro lado,
−−→
BX =
−−→
AX−−→AB = (x1−xA, y1−yA, z1−zA)− (xB−xA, yB−yA, zB−
zA) ⇒ −−→BX = (x1 − xB, y1 − yB, z1 − zB)α e a mudanc¸a de bases, ja´ vimos em sala de
aulas, conduz a 
x1 − xBy1 − yB
z1 − zB

 = Mαβ

x2y2
z2


onde Mαβ =

a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

.
Como naturalmente se deseja os valores x2, y2, z2 em func¸a˜o de x1, y1, z1, torna-se
necessa´rio recorrer a` matriz inversa e trabalhar com
x2y2
z2

 = Mβα

x1 − xBy1 − yB
z1 − zB


Um u´ltimo detalhe, o que vimos esta´ associado a`s chamadas mudanc¸as lineares de
coordenadas. O tipo mais geral, no entanto, e´ a mudanc¸a na˜o linear de coordenadas, que
faz uso de derivadas parciais e na˜o e´ estudado na graduac¸a˜o.
3.2 G.A., O conceito topolo´gico de distaˆncia
5O conceito de me´trica (fundamental no estudo da topologia6 dos espac¸os me´tricos)
foi um grande avanc¸o na histo´ria da Matema´tica, somente sendo definido rigorosamente
no se´culo 19 (com Cantor, Volterra, Arzela`, Hadamard, Ascoli, Hausdorff, Fre´chet). Con-
sidere um conjunto qualquer M na˜o vazio e uma func¸a˜o real
d : M×M→ R
(A,B) 7→ d(A,B)
leia d(A,B) a distaˆncia de A a B, que satisfaz aos axiomas seguintes:
M1— d(A,A) = 0 e d(A,B) > 0 se A 6= B;
M2— d(A,B) = d(B,A);
M3— d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C).
Qualquer func¸a˜o que verifica essas propriedades e´ chamada uma me´trica em M e esse
conjunto e´ um espac¸o me´trico.
5 Essa sec¸a˜o foi feita somente para os alunos do curso de Matema´tica e a t´ıtulo de curiosidade
6 Topologia e´ a extensa˜o da Geometria que estuda a estrutura fina e global dos espac¸os, estabelece a
teoria de conjuntos mas ampla que existe ao considerar na˜o so´ os conjuntos de pontos, mas tambe´m os
conjuntos de func¸o˜es. As func¸o˜es cont´ınuas sa˜o definidas, estudadas e usadas com vigor em Topologia
a fim de se entender as sutilizas presentes em superf´ıcies e suas propriedades invariantes por transic¸o˜es
cont´ınuas
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 51 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas
3.2 G.A., O conceito topolo´gico de distaˆncia
Exemplos t´ıpicos:
1— A reta real R e´ um espac¸o me´trico munido da me´trica
d(a, b) = |a− b|
A distaˆncia, por exemplo, de A = 4 a B = −2 e´ |4− (−2)| = 6.
2— O plano cartesiano R2 e´ um espac¸o me´trico, pois pode-se definir
d(A,B) = d((xA, yA), (xB, yB)) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2 (me´trica euclidiana)
ou
ds(A,B) = |xA − xB|+ |yA − yB| (me´trica da soma)
ou
dm(A,B) = max{|xA − xB|, |yA − yB|} (me´trica do ma´ximo)
entre outras.
Por exemplo, A = (3,−1), B = (2, 5) distam √37 pela me´trica euclidiana, 7 pela
me´trica da soma e 6 pela me´trica do ma´ximo.
3— O espac¸o cartesiano R3 e´ me´trico como se veˆ definindo a distaˆncia euclidiana
d(A,B) = d((xA, yA, zA), (xB, yB, zB)) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (zA − zB)2
ou as me´tricas da soma e do ma´ximo, entre outras.
Os pontos A = (1, 2, 4), B = (2,−3,−1) distam √51, 11 e 5 pelas treˆs me´tricas tradi-
cionais.
A troca de uma me´trica por outra produz um forte efeito na forma dos conjuntos
definidos via distaˆncia. Como se sabe, por c´ırculo em Oxy de centro P e raio r > 0
entende-se o conjunto {X ∈ Oxy; d(X,P ) = r}. Abaixo seguem as formas do c´ırculo de
centro P = (1, 3) e raio 2 nas me´tricas euclidiana, da soma e do ma´ximo.
P PP
. ..
De fato, sendo X = (x, y), ds(X,P ) = |x − 1| + |y − 3| = 2. Para x ≥ 1, y ≥ 3 vem
que y = −x + 6 (reta inclinada de 135o). Para x ≥ 1, y < 3 tem-se y = x (reta inclinada
de 45o). Com x < 1, y ≥ 3 a equac¸a˜o e´ igual a y = x + 4 (reta inclinada de 45o) e para
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 52 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas 3.3 G.A., O conceito de distaˆncia atrave´s de vetores
x < 1, y < 2 obte´m-se y = −x+2 (reta inclinada de 135o). Note que as arestas do c´ırculo
na˜o medem 2 (quanto medem?).
Por fim, usando dm(X,P ) = max{|x − 1|, |y − 3|}, temos quatro casos: dm(X,P ) =
|x− 1| = 2⇒ x = 3 e x = −1 (retas verticais); dm(X,P ) = |y − 3| = 2⇒ y = 5 e y = 1
(reta horizontal).
Define-se o ı´nfimo de X ⊂ R como o ponto (nu´mero real) a = inf X que verifica os
seguintes axiomas:
1— a ≤ x,∀x ∈ X;
2— Se a < b, existe um x ∈ X tal que x < b.
Esta propriedade pode ser reformulada assim:
2— Se b ≤ x,∀x ∈ X, enta˜o b ≤ a.
Em poucas palavras, o ı´nfimo de X e´, dentre os pontos sobre R que esta˜o a` esquerda
de X, aquele ponto que se encontra infinitamente pro´ximo de X; em notac¸a˜o nume´rica, o
ı´nfimo de X e´ o maior dos nu´meros que sa˜o menores ou iguais a qualquer um dos nu´meros
que formam X.
Apo´s a ide´ia de distaˆncia entre pontos vem a ide´ia de distaˆncia de ponto a conjunto
que utiliza ı´nfimo. Sejam r uma reta e P 6∈ r um ponto qualquer. Para cada X ∈ r, fica
definido o nu´mero d(X,P ) (no conjunto imagem de uma me´trica) e a distaˆncia de P a r
e´, por definic¸a˜o, o nu´mero d(P, r) = inf{d(X,P ); X ∈ r}. A distaˆncia de um ponto P a
um plano Π e´ o nu´mero d(P, Π) = inf{(d(X,P ); X ∈ Π}. E assim com outras espe´cies
de conjuntos.
3.3 G.A., O conceito de distaˆncia atrave´s de vetores
De agora em diante esta´ fixado um sistema de coordenadas (O, ε) onde ε e´ ortonormal
positiva. A distaˆncia enclidiana (no sentido da proposic¸a˜o 22, a u´nica que sera´ usada
nesse curso) se justifica porque em R3 a linha mais curta ligando dois pontos quaisquer e´
o segmento de reta limitado por aqueles pontos. A fim de se estender esse conceito para
conjuntos, a Geometria euclidiana nos ensina que e´ necessa´rio e suficiente utilizar retas
perpendiculares:
1— Seja A = (xA, yA, zA) na˜o contido em r : (x, y, z) = B + b
−→r = (xB, yB, zB) +
b(r1, r2, r3). E´ fa´cil ver que, dentre os segmentos AX (X ∈ r), o mais curto e´ AA′ tal que←→
AA′ ⊥ r. Existem duas opc¸o˜es, uma exige determinar A′, outra na˜o. A′ e´ tal que{
A′ = (xB + ar1, yB + ar2, zB + ar3)−−→
A′A.−→r = 0
Desenvolva o sistema de equac¸o˜es e encontre o valor do escalar a, logo das coordenadas
de A′. Agora e´ fa´cil calcular d(A,A′) que e´ a distaˆncia de A ate´ r. Note que o ponto B e´
irrelevante, se for trocado por outro D ∈ r, a distaˆncia na˜o varia!
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 53 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas 3.3 G.A., O conceito de distaˆncia atrave´s de vetores
A
A’
X
B
C
r
Sem fazer uso de A′, seja C = B + −→r . A a´rea de ∆ABC e´ igual a 1
2
|−→BA ∧ −−→BC| e a
1
2
|−−→BC|d(A,A′), logo
d(A,A′) =
|−→BA ∧ −→r |
|−→r |
Note que B e C sa˜o irrelevantes, se forem trocados por outros D,E ∈ r, a distaˆncia
na˜o varia!
2— Seja A = (xA, yA, zA) na˜o contido em Π: (x, y, z) = B+p
−→u +q−→v = (xB, yB, zB)+
p(u1, u2, u3) + q(v1, v2, v3). O racioc´ınio e´ ideˆntico ao do item (1): dentre os segmentos
AX, com X ∈ Π, o mais curto e´ AA′ tal que ←→AA′ ⊥ Π.
O A′ e´ tal que
−−→
A′A e −→w sa˜o L.D., onde esse u´ltimo e´ escolhido dentre os que sa˜o
normais a Π. Basta enta˜o resolver o sistema{
A′ = (xB, yB, zB) + a1(u1, u2, u3) + a2(v1, v2, v3)−−→
A′A = k−→w
e calcular d(A,A′) que e´ a distaˆncia de A ate´ Π.
w
.
A
A’
B
C
X
.
.
.
P
A fim de evitar determinar A′, escolha B ∈ Π e um vetor qualquer −→w normal a Π,
com origem em B. Enta˜o a projec¸a˜o de
−→
BA sobre −→w mede
d(A,A′) = |proj−→w
−→
BA| = |
−→
BA.−→w |
|−→w |
Claro que −→w = −→u ∧−→v e´ uma excelente escolha e enta˜o d(A,A′) = |
−→
BA.−→u ∧−→v |
|−→u ∧−→v | . Em ter-
mos de coordenadas, A = (xA, yA, zA), B = (zB, yB, zB),
−→u = (u1, u2, u3),−→v = (v1, v2, v3),
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 54 Geometria anal´ıtica - 2011
3 G.A., Sistemas de coordenadas 3.3 G.A., O conceito de distaˆncia atrave´s de vetores
ocorre de d(A,A′) = |a(xA−xB)+b(yA−yB)+c(zA−zB)|√
a2+b2+c2
= |ax+by+cz+d|√
a2+b2+c2
, onde a, b, c, d sa˜o os coefi-
cientes da equac¸a˜o geral de Π.
Algumas consequ¨eˆncias:
1— A distaˆncia entre retas paralelas distintas r e s e´ obtida escolhendo um A ∈ r, um
B ∈ s e calculando |
−→
BA∧−→r |
|−→r | .
2— A distaˆncia entre retas reversas r e s. Ha´ um u´nico plano Π que conte´m r e e´
paralelo a s, ocorre enta˜o de −→r ∧ −→s ser normal a Π. Escolha A ∈ s, B ∈ r e calcule
|−→BA.−→r ∧−→s |
|−→r ∧−→s | .
AB .
.
P
s
r
.
v
r s
r
s
3— A distaˆncia entre planos paralelos Π e Σ e´ obtida escolhendo A ∈ Π, B ∈ Σ e
calculando |
−→
BA.−→u ∧−→v |
|−→u ∧−→v | .
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 55 Geometria anal´ıtica - 2011