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ROLAMENTO, TORQUE E 12
MOMENTO ANGULAR
1'2-1 Rolamento
Quando uma bicicleta se .move em linha reta, 0 centro de
cada uma das rodas se desloca para a frente executando urn
movimento de transla9ao pura. Entretanto, urn ponto qual
quer localizado no aro da roda segue uma trajet6ria mais
complexa, como mostra a Fig. 12-1. Nesta se9ao, analisa
remos 0 rolamento de uma roda considerando-o, primeira
mente, como a combina9ao de uma transla9ao pura com uma
rota9ao pura e, em seguida, apenas como rota9ao.
o Rolamento Descrito como uma
Combina~ao de Rota~ao e Transla~ao
Imagine que voce esteja observando a roda de uma bicicleta
que passa a uma velocidade constante, rolando suavemente,
sem deslizar. Como mostra a Fig. 12-2,0 centro de massa 0
da roda move-,e Dam a frente a uma velocidade constante Vern'
Em 1897. urn trapezista europeu executou a primeiro
saito mortal triplo. durallfe 0 vao do trapezio
ate as miios de seu parceiro.
Durante as 85 anos seguillfes. Vlirios trapezistas
tentaram realizar um saito mortal quadruelo mas s6 em
1982 eLe foi execurado em publico: Miguel Vazquez.
do Circo Ringling Bros. e Ban;um & Bailey girou 0 seu
corpo em quatro circuLos completos. em pleno ar ..
antes de ser agarrado par seu inniio Juan Os dois
ficaram atonitos com seufeito. Por quefoi
tao diftcil conseguir realiza- Lo e qualfoi
q principia da Fisica que tom ou possivel
(jinalmellfe) executar aquele saito?
oponto P, onde a roda e 0 chao estao em contato, tam bern se
move para a frente com velocidade v ern' de modo que ele esta
sempre situado diretamente abaixo do ponto O.
Durante urn intervalo de tempo t, voce ve os pontos 0 e
P moverem-se para a frente, percorrendo uma distancia s .
o ciclista ve aroda girar urn angulo Oem tomo do seu cen
tro, enquanto 0 ponto da roda que tocava 0 chao no inicio
de t descreve urn arco de comprimento s. A Eg. 11 -15 rela
ciona 0 comprimento do arco scorn 0 angulo de rota9ao 0:
s = R() (12-1 )
onde Reo raio da roda. A velocidade linear v ern do centro da
roda (que e 0 centro de massa desta roda uniforme) e dsldt, e
a velocidade angular w da roda em tomo do seu centro e dOl
dt. Assim, derivando a Eg. 12-1 em rela9ao ao tempo, obternos
268 MECANICA
Fig. 12-1 Fotografia de urn disco durante 0 rolamento, feita com multi
pi as exposi~oes. Pequenas lampadas foram pres as ao disco. uma no
centro e outra na borda. Esta ultima tra~a uma curva denominada
eicl6ide.
(Observe que a Eq. 12-2 vale apenas se aroda girar suave
mente, isto e, sem deslizar sobre 0 solo.)
A Fig. 12-3 mostra que 0 movimento de rolamento de
uma roda euma combina~ao de dois movimentos: urn pu
ramente translacional e outro puramente rotacional. A Fig.
12-3a mostra 0 movimento puramente rotacional (como se
o eixo de rota~ao que passa pelo centro estivesse estacio
nario): todos os pontos da roda giram em tomo do centro
com velocidade angular w. (Este e0 tipo de movimento que
estudamos no Cap. II.) Todos os pontos situados na borda
extema da roda tern velocidade linear vern' dada pel a Eq.
12-2. A Fig. 12-3b mostra 0 movimento puramente
translacional (como se aroda nao estivesse rolando): cada
ponto da roda se move para a direita com velocidade vern'
A combina~ao das Figs. 12-3a e 12-3b da origem aFig.
12-3c, que mostra 0 movimento de rolamento real execu
tado pela roda. Observe que, nesta combina~ao de movi
mentos, a parte inferior da roda (no ponto P) esta estacio
naria. enquanto a parte superior (no ponto n se move a uma
velocidade igual a 2vern• mais rapidamente que qualquer
outra parte da roda. Esses resultados sao mostrados na Fig.
12-4. que e uma fotografia de uma roda de bicicleta se
movendo. Os raios proximos do topo da roda aparecem
borrados. enquanto os da parte inferior estao bern mais nf
tidos. 0 que mostra que ela se move mais rapidamente mi
parte superior que na inferior.
o movirnento de qualquer corpo circular rolando sua
vemente sobre uma superficie pode ser decomposto em urn
+ =
(a) (b) (c)
Fig. 12-3 0 rolamento de uma roda, visto como uma combina~ao de urn
movimento puramente rotacional com outro puramente translacional. (aJ
o movimento puramente rotacional: todos as pontos da roda movem-se
com a mesma velocidade angular w. Todos as pontos que estao sobre a
borda externa da roda movem-se com a mesma velocidade linear v =
v,,,. As velocidades lineares v de dais destes pontos, no tapa (n e na
base (P) da rada, sao mostradas na figura . (b) 0 movimento puramente
translacional: tados as pontos da rada movem-se para a direita com a
mesma ve10cidade linear V,m, identica 11 do centro da rada. (e) 0 movi
mento de rolamento da roda ea combina~ao de (a) e (b).
movimento puramente translacional e outro puramente
rotacional, como nas Figs. 12-3a e 12-3b.
o Rolamento Visto como Rota~ao Pura
A Fig. 12-5 sugere urn outro modo de analisar 0 rolamento
de uma roda considerando-o, agora, como sendo uma ro
ta~ao pura em tomo de urn eixo que passa pelo ponto em
que ela toca 0 solo, durante todo 0 tempo em que se move.
ou seja, urn eixo que passa pelo ponto P na Fig. 12-3c e
que eperpendicular ao plano da figura. Os vetores mostra
dos na Fig. 12-5 representam as velocidades instantaneas
de vlirios pontos da roda durante 0 rolamento.
1----s----"
Fig. 12-2 0 centro de massa 0 de uma roda que esta rolando percorre Fig. 12-4 Fotografia de uma roda de bicicleta ao se mover. Os raios
uma distancia scorn velocidade V,m, enquanto que a rada gira urn angu- pr6ximos 11 parte superior da rada aparecem rna is bon-ados que as que
10 O. 0 ponto de contato P, entre aroda e a superffcie sobre a qual esta estao pr6ximos abase, porque se movem mais depressa, como mostra a
rolando, tam bern percorre uma distancia s. Fig. 12-3c.
Fig. 12-5 0 rolamento pode ser visto como uma rota9ao pura, com ve
locidade angular w, em torno de urn eixo que passa por P. Os vetores
mostram as velocidades lineares instantiineas de alguns pontos da roda.
Voce pode obter esses vetores combinando os movimentos rotacional e
translacional, como na Fig. 12-3.
Pergunta. Para urn observador estacionano, qual e 0 valor da
velocidade angulardaroda de bicicleta, em tomo desse novo eixo?
Resposta. A mesma velocidade angular w que 0 cicIista
atribui aroda, ao observa-Ia em rotac;:ao pura em tomo de
urn eixo que passa pelo seu centro de massa.
Vamos usar esta resposta para caIcular a velocidade linear
do topo da roda, do ponto de vista de urn observador esta
cionario. Sendo R 0 raio da roda, 0 topo esta situado a uma
distancia 2R do eixo que pass a por P na Fig. 12-5, de modo
que a sua velocidade linear deve ser (usando a Eq. 12-2)
vlOPO = (w) (2R) = 2(wR) = 2vem ,
o que concorda inteiramente com a Fig. 12-3c. Voce pode
fazer uma verificac;:ao semelhante para as velocidades Ii
neares dos pontos 0 e P na Fig. 12-3c.
A Energia Cinetica
Vamos agora caIcular a energia cinetica da roda, medida
pelo observador estacionario. Se considerarmos que 0 ro
lamento e uma rotac;:ao pura em tomo de urn eixo que pas
sa por P na Fig. 12-5, teremos
K = Fpw2 (12-3)
onde we a velocidade angular da roda e I p e 0 seu momen
to de inercia em tomo do eixo que passa por P. Usando 0
teorema dos eixos paralelos (Eq. 11-25), temos
Ip = I em + MR2, (12-4)
onde Mea massa da roda e I ern e 0 seu momento de inercia
em tomo de urn eixo que passa atraves do centro de massa.
Substituindo a Eq. 12-4 na Eq. 12-3, obtemos
K = Femw2 + tMR2w2
e, usando a relac;:ao v ern = wR (Eq. 12-2), temos entao
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 269
Podemos interpretar 0 primeiro termo (112 (/elllill» como
sendo a energia einetica associada a rotac;:ao da roda em
tomo de urn eixo que passa pelo seu centro de massa (como
na Fig. 12-3a), enquanto 0 segundo termo
(1I2(Mvern»
pode ser interpretado como sendo a energia cinetica asso
ciada ao movimento de translac;:ao da rod a (con forme mos
tra a Fig. 12-3b) .
o Papel do Atrito
Se aroda girar com velocidade constante, como mostra a
Fig. 12-2, nao havera tendencia de ocorrer desIizamento no
ponto de contato P e, deste modo, nenhuma forc;:a de
atrito atuara sobre aroda naquele ponto. No entanto, se
uma forc;:a for aplicada sobre aroda, alterando a veloci
dade vern do seu centro de massa ou a velocidade angu
lar w em tomo do centro, entao havera a tendencia de oeor
rer deslizamento da roda em P e uma forc;:a de atrito agini
sobre a roda, no ponto de contato, opondo-se aquela ten
dencia. Ate que aroda comece real mente a deslizar, atuara
sobre ela uma forc;:a de atrito estatico f" Se aroda comec;:ar
a deslizar, passara a atuar sobre ela uma forc;:a de atrito
cinetico f c •
Na Fig. 12-6a, uma roda desce urn plano incIinado. 0
peso Mg atua no seu centro de massa. Como a forc;:a Mg
nao possui brac;:o de alavanca em relac;:ao ao centro da rod a,
ela nao po de exercer torque em torno do centro e, deste
modo, nao pode fazer com que aroda inicie uma rota
c;:ao. Entretanto, como Mg tende a fazer aroda deslizar
sobre 0 plano incIinado, uma forc;:a de atrito atua sobre a
roda em P, a parte que esta em contato com 0 plano, opon
do-se ao deslizamento. Esta forc;:a, que aponta para cima ao
longo do plano incIinado, possui urn brac;:o de alavanca
relativamente ao centro, que e 0 raio da roda. Deste modo,
esta forc;:a de atrito produz urn torque em tomo do centro e
faz com que a roda entre em rotac;:ao.
Na Fig. 12-6b, faz-se com que uma roda gire cada vez
mais rapido a medida que rola sobre uma superficie plana,
(a ) (b)
Fig. 12-6 (a) Uma roda desce girando em urn plano inclinado sem des
lizar. Uma for9a de atrito estatico f, atua sobre a roda em P, opondo-se
atendencia da roda ao deslizamento, devido f.lo peso Mg. (b) Uma roda
gira horizontalmente sem deslizar, enquanto sua velocidade angular au
menta. Uma for9a de atrito estatico f, atua sobre ela em P, opondo-se a
tendencia da roda ao deslizamento. Se em (a) ou (b) ela deslizar, a for9a
de atrito sera feo uma for9a de atrito cinetico.
270 MECANICA
como ocorre com uma' bicicleta ao ser acelerada. 0 acres
cimo no valor de w tende a fazer com que a parte inferior
da roda deslize para a esquerda. Vma forc;:a de atrito, cujo
senti do aponta para a direita, atua sobre a roda em P, opon
do-se 11 tendencia ao deslizamento. (Esta forc;:a de atrito e a
forc;:a externa que atua sobre 0 sistema bicicleta-ciclista,
fazendo-o acelerar.)
EXEMPLO 12-1 Urn disco cilindrico solido e unifonne, de massa M
de 1,4 kg e raio R de 8,5 cm, rola sobre uma mesa horizontal a uma
velocidade v de 15 cmls.
a. Qual e a velocidade instantanea da parte superior do disco?
Solu~ii.o Quando se fala da velocidade de um objeto que rola, sempre
nos referimos ii. velocidade do seu centro. Observando a Fig. 12-3c,
vemos que a velocidade do topo do disco e exatamente duas vezes aquele
valor, ou seja,
v,""" = 2vem = (2) (15 cm/s) = 30 cm/s . (Resposta)
b. Qual e a velocidade angular w do disco?
Solu~o Da Eq. 12-2, temos
w = Vern = 15 cm/ s = 1.B rad/~
R 8,5 em
= 0,28 rev/ $. (Resposta)
Esse valore 0 mesmo, tanto para um eiJlo de rota,lio'passando por P, na
Fig. 12-5, quanto para urn eixo que passa pelo centro de massa.
c. Qual e a energia cinetica K do disco?
Solu~o Fazendo I,m = (1I2)MR' e usando a rela9ao V,m = wR na Eq.
12-5, obtemos
K = i1emw2 + tMv~m
= (t)(tMW) (Vern I R)2 + *Mv~m = tMv~"
=W,4 kg) (0.15 m/ s)2
= 0,024 J = 24 m]. (Resposta)
d. Qual e a fra9lio da energia cinetica que esta associada ao movimento
de transla,ao e qual a que esta relacionada com 0 movimento de rota
9lio em tome de um eixo que passa pelo cen.tro de massa?
Solu~ii.o A energia cinetica associada atransla,lio e.o segundo tenno da
Eq. 12-5, ou seja, ( 1I2)Mli',m' A fra9lio que procuramos e, entiio, usan
do a expresslio obtida no item (c) ,
+Mv~m 2 " 7atfrae = --2- = - ou 6 70.
tMVem 3 .(Resposta)
Os 33% restantes estao associ ados arota9lio em tome de um eixo que
passa pelo centro de massa.
A razao entre a energia translacional e a rotacional depende do mo
mento de inercia do objeto. Como mostni a Tabela 12- 1, 0 objeto cuja
massa es(a mais distante do eixo central de rota.,lio (e que, portanto,
possui maior momento de inercia) - que e0 aro - tern a maior parte
de sua energia cinetica envoi vida na rota9lio. E aquele cuja massa esteja
mais pr6xima do eixo central de rota,no (e que, portanto, tenha 0 menor
momento de inercia) - qiIe ea esfera - e 0 que tern a menor fra9lio de
sua energia cinetica envo i vida na rota9lio.
Tabela 12-1
Distribui~ao Relativa das Energias Cineticas Translacional e
Rotacional para Corpos em Rolamento
Momenta de Porcentagem de Energia
Objeto Imircia Armazenada na
lem Trans/a,iio Rota(:iio
Aro I MR' 50% 50%
Disco 'h MR' 67% 33%
Esfera 2/5 MR' 71% 29%
I
Generico ~MR' 100 -- 100 -~-
I + ~ I+~
'p pode ser ealeulado, para qualquer objeto em rolamento, eomo 1""IMR'.
As f6rmulas apresentadas no final da Tabela 12- 1 se apl icam ao
objeto generico em rolamento, que tern parametro de momenta de
inercia {3. Este pariimetro vale I para 0 aro, '12 para um disco e 2/5 para
uma esfera.
EXEMPLO 12-2 Uma bola de boliche, de raio R = I I cm e massa M
de 7,2 kg, desce rolando, a partir do repouso, uma rampa de compri
mento L igual a 2, 1 m. A rampa est a inclinada de um angulo eigual a
34° em rela,lio ahorizontal; veja a esfera da Fig. 12-7. Qual ea veloci
dade da bola quando chega ao fim da rampa? Suponha que ela tenha
densidade uniforme.
Solu~o 0 centro da bola percorre uma distancia vertical h = L sen e,
de modo que a bola perde uma energia potencial gravitacional igual a
MgL sen e. Essa perda de energia potencial eigual ao gan ho de energia
cinetica. Desse modo, podemos escrever (veja Eq. 12-5)
MgL sen e= tl""w2 + tMv~m ( 12-6)
Vemos na Tabela 11-2(g) qu e, para uma esfera s6lida, I ,," = (2/5)MR' .
Podemos tambem substituir w pel a razlio equivalente v'mIR. Substituin
do essas duas quantidades na Eq. 1'2-6, teremos
Resolvendo para V, m, temos
Vem = .,J(~)gL sen e
= .,J(~)(9.8 mN)(2,l m) (sen 34°)
= 4.1 m/ s. (Res posta)
Observe que a res posta nlio depende nem da massa nem do 'raio da bola.
EXEMPLO 12-3 Neste exemplo vamos generalizar 0 resu ltado obtido
no Exemplo 12-2. Urn aro, urn disco e uma esfera unifonnes, com a
Aro
h
Fig. 12-7 Exemplos 12-2 e 12-3. Urn aro, urn disco e uma e.sfera rolam.
partindo do repouso, num plano inclinado de ilngulo e. Embora ten ham
iniciado seu movimento partin do do repouso, na mesma posi,lIo e no
mesmo instante, chegam abase do plano na ordem que aparece na figura.
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 271
~
mesma massa M eo me-smo raio R, sao abandonados simultaneamente,
partindo do repouso, do alto de uma rampa de comprimento L de 2,5 m
e que faz urn angulo IJ igual a 12° com a horizontal (Fig . 12-7).
a. Qual dos corpos alcan,a primeiro a base da rampa?
Solu,.ao A Tabela 12- 1 nos da a respesta. A esfera tern a maior parte de
sua energia cinetica (71 %) envoI vida no movimento de transla,ao e, as
sim, ela ganha a corrida. Em seguida, vern 0 disco e, final mente, 0 aro.
b . Quais sao as vel,ocidades dos corpos ao chegarem it base da rampa?
Solu,.ao 0 centro de massa de .cada urn dos corpos percorre a mesma
distancia vertical h, quando estes rolam a rampa. Ass im, como aconte
ce com, urn corpo em queda livre, a energia potencial do corpo sofre urn
decrescimo igual a Mgh, que e convertido em energia ci netica. Oeste
modo, na base da rampa, as energias cineticas dos Ires objetos sao iguais.
o modo como estas energias cineticas se dividem nas formas
translac ional e rotac ional depende da distribui,ao da massa de cada
objeto.
Usando a Eq. 12-5, pedemos escrever (fazendo w = v,,,./R)
Mgh = Fornal + tMvZm
= tI,m(vZrn / R2) + tMvZm
= t(l,rn / R2) vZrn + tMv~m' (12-7)
Fazendo h = L sen IJ e resolvendo para obter v ,rn, temos
_I 2gLsenIJ (Resposta) (12-8)
Vern =\11 + I,m / MR2 '
que e a expresslio algebrica da resposta que procuramos.
Observe que a velocidade nlio depende nem da massa nem do raio
do objeto que rola, mas apenas da distribui9ao de sua massa em torno
do seu eixo central, que aparece no termo I,,,./MR'. Uma bolinha de gude
e uma bola de boliche terno a mesma velocidade na base da rampa e, assim,
levarlio 0 mesmo tempo para desce-Ia. Uma bola de boliche seni mais
nipida que urn disco de qualquer massa ou raio, e quase todos os objetos
serao rna is rapidos que urn aro. (Uma exce9lio aparece na Questao 8.)
Para 0 aro, temos (Veja a Tabela 12-1) I,,,./MR' = Ie, portanto, a
Eq. 12-8 fornece
_ { 2gLseJ1O
Ven> = -\II + I / MR2
em
(2)(9,8 m/ s2)(2,5 m )(sen 12°)
I + I
= 2,3 m /s. (Resposta)
Urn calculo semelhante fomece V, rn = 2,6 mls para 0 disco (l,,,./MR'.=
y,) e 2,7 mls para a esfera (l,rnIMR' =2/5) . Esse resultado confirm a a
previsao que fizemos em (a) de que a ordem de chegada ness a corrida
seria esfera, disco e aro.
EXEMPLO 12-4 A Fig. 12-8 mostra urn corpo esferico e uniforme de
massa M e raio R que desce rolando urn plano inclinado que faz urn
angulo IJ com a horizontal. Oesta vez, vamos analisar 0 movimento de
forma mais direta, usando as leis de Newton em vez de considera,Oes
sobre a energia, como fizemos no Exemplo 12-3.
a. Qual e a acelera,lIo linear do corpo durante 0 rolamento?
Solu~ao A Fig. 12-8 mostra as for,as que atuam sob,e 0 corpo: 0 peso
Mg, a for9a normal N e uma for9a de atrito estatico r,. Podemos consi
derar que 0 'peso atua no centro de massa, que esta localizado no centro
deste corpo uni forme. A for,a normal e a de atrito atuam na por,lio do
corpo que esta em contato com a rampa, no ponto P. Os bra,os de ala
vanca do peso e da for,a normal, em tome de urn eixo que passa pelo
centro do corpo, sao iguais a zero. Oeste modo, essas for,as nlio podem
provocar a rota,lio do corpo em tome daquelecentro. A rota,ao do cor
po em sentido honirio e 0 resultado de urn torque negativodevido it for
,a de atrito; essa for,a possui urn bra,o de alavanca igual a R em rela
9lio ao centro do corpo.
Apliquemos agora a forma linear da segunda lei de Newton (L F =
Ma) ao longo da rampa, adotando 0 sentido da subida como sendo 0
positivo. Obtemos assim,
2: F = j , ~ Mgsen IJ = Ma (12-9)
Esta equa,ao pessui duas inc6gnitas.t; e a. Para obtermos outra equa
9ao nestas mesmas inc6gnitas, aplicamos em seguida a forma angular
da segunda lei de Newton (L T = la) em torno de urn eixo de rota9ao
que passa pelo centro de massa. (Embora tenhamos obtido a rela,ao LT
= la, no Cap. I I , para urn eixo fixo a urn referencial inercial , ela vale
para urn eixo de rota,ao que passa pelo centro de massa de urn corpo
acelerado, desde que 0 eixo nlio mude de dire,lio.) Oeste modo, obte
mos
a2: T = - j.R = I,m a = l "nli' ( 12-10)
onde usamos a rela9ao a = aiR (Eq. 11-18).
Resolvendo a Eq. 12-10 para obter a for,a de atrito, temos
I ,mj , = - Ji2 a ( 12-1 I)
onde 0 sinal de menos nos recorda que a for,a de atrito r, atua em sen
tide oposto ao da acelera,ao a. Substituindo a Eq. 12-1 Ina Eq. 12-9 e
resol vendo-a para obter a, temos
a = ___g~se=n:..IJ=-_ (Respesta) (12-12)+ I,rn / MR2 '
Tambem poderiamos ter obtido uma segunda equa9ao. somando os
torques e apJicando a segunda lei de Newton na forma angular em tome
de urn eixo que pass a pelo ponto de contato P. Neste caso, ci I Tconsis-
Fig. 12-8·Exemplo 12-4. Urn corpo esferi.co, uniforme , de raio R, desce
rolando urn plano inclinado. As forI' as que atuam sobre ele sao 0 peso
Mg, a for,a normal N e uma for,a de atrito r, que apontano sentido de
subida da rampa. (Por c1arela, N foi deslocada ao longo de sua linha de
a9ao ate que a sua origem estivesse no centro do corpo.)
272 MECANICA
tiria apenas no torque devido··a componente Mg sen (), que atua no cen
tro do corpo e tern bra90 de alavanca igual a R:
aL 'T = - (Mg sen () (R) = I"a = I P Ii (12-13)
onde Ip e0 momenta de inercia em relayao a urn eixo que passa por P.
Para encontrarmos I p, usariamos 0 teorema dos eixos paralelos:
(12-14)
Substituindo-se Ip dado pela Eq. 12-14 na Eq. 12-13 e resolvendo esta
ultima para obter a, chegariamos novamente aEq. 12-12.
b. Qual ea forya de atrito!. ?
SOlUy30 Substituindo a Eq' 12-12 na Eq. 12-11, temos
sen ()
(Resposta) (12-15)j , = Mg I + MR2/ Iem'
Examinando a Eq. 12-15, vemos que a forya de atrito emenor do que
Mg sen 8, que ea componente do peso que atua paralelamente arampa.
Isto deve ocorrer para que 0 objeto seja acelerado enquanto rola pela
rampa.
A Tabela 12-1 mostra que, se 0 COrp9 que rola for urn disco s61ido,
I,.,IMR' = II>. Assim, a acelerayao e a forya de atrito podem ser obtidas
a partir das Eqs. 12-12 e 12-15. Temos, entao:
a = - jg sen 8 e j, = tMg sen 8
c. Qual ea velocidade do corpo quando ele chega abase da rampa, sa
bendo-se que esta tern comprimento L?
SOlUy30 Como a.acelera9ao do movimento econstante, podemos usar a
rela9ao
if = va + 2a(" - '(0) (12-16)
Fazendo x - Xo = - L, VO = 0 e usando 0 valor de a obtido na Eq. 12
12, teremos a Eq. 12-8 - 0 mesmo resultado a que chegamos usando
o metodo da energia. Isso nao esurpresa porque, afinal, tudo 0 que dis
semos a respeito da energia mecanica e consistente com as leis de
Newton.
12-201oio
o ioio e urn laborat6rio de Ffsica que pode ser guardado
no bolso. Quando ele rola pelo fio percorrendo uma dis
tancia h, perde uma quantidade mgh de sua energia poten
cial, mas adquire energia cinetica translacional (~ nO) e
rotacional (! fem( 2). Quando comeya a subir novamente,
perde energia cinetica e ganha energia potencial.
Num ioio modemo, 0 fio nao e amarrado ao eixo, mas
apenas passa em volta dele, formando uma argola. Quan
do ele desenrola todo 0 fio, ocorre urn Iigeiro impacto que
remove toda a energia cinetica translacional remanescen
·te. Entao, comeya a girar, tendo apenas energia cinetica
rotacional. Ele permanece girando ("dormindo") ate que
voce 0 "acorde", dando urn puxao no fio para que este se
enrole no eixo, fazendo-o tomar a subir. A sua energia ci
netica rotacional, quando 0 fio esta todo esticado (quando
ele esta "dormindo"), pode ser aumentada consideravel
'''-------'--' ' .
Mg
(a) (b)
Fig. 12-9 (a) Urn ioi6, visto em corte transversal. 0 fio, de espessura
desprezfvel, esta enrolado em tomo de urn eixo de raio Ro. (b) Diagra
rna de foryas do ioi6, em movimento descendente. Apen~s 0 eixo foi
representado.
mente se 0 jogarmos para baixo com alguma velocidade
inicial Vem e, conseqiientemente, w, em vez de simplesmente
abandona-Io para que inicie seu movimento descendente a
partir do repouso.
Vamos analisar 0 movimento do ioio diretamente, usan
do a segunda lei de Newton. A Fig. 12-9a mostra um ioio
idealizado, no qual a espessura do fio e desprezfvel.*A Fig.
12-9b mostra um diagrama de foryas, no qual apenas 0 seu
eixo e mostrado. Aplicando-se a segunda lei de Newton,
na sua forma linear, L F = rna, obtemos
L F = T - Mg = Ma. (12-17)
onde Mea sua massa e Tea tensao no fio.
Aplicando-se a segunda lei de Newton na sua forma
angular (LT = fa) em torno de um eixo que passa pelo
centro de massa, obtemos
L T= T~ = Ia. (12-18)
onde Roe 0 raio do eixo do ioio e f e 0 seu momento de
inercia em tomo do seu eixo central. A acelerayao a do ioio
aponta para baixo (sendo, portanto, negativa).
Do ponto de
vista da Fig. 12-9, a sua acelerayao angular a tern sentido
anti-horario (portanto, e positiva) porque, ainda segundo a
figura, 0 torque dado pela Eq. 12-18 tern este sentido. A
* Num ioio real , a espessura do fio n:to pode serdesprezada, pois ela ahera 0 raio
efetivo do eixo do ioio, que varia em fun~ao da quantidade de fio que es tA enro
lada.
rela"ao entre ex e a e dada pela expressao a = - aRo. Re
solvendo esta equa"ao para obter ex (= - a/ Ro) e substitu
indo este valor na Eq. 12-18, encontramos
fa
TR,,=-R,,'
Depois de eliminarmos T, usando esta expressao e a Eq.
12-17, obtemos 0 valor de a
1 (12-19)a = - g 1 + IIMR'f,
Portanto, urn ioio ideal desenrola 0 seu fio com acelera"ao
constante. Para que a acelera"ao seja pequena, ele deve ser
leve, com momento de inercia grande e ter urn eixo cujo
raio seja pequeno.
EXEMPLO 12-5 Urn ioi6 ecomposto de dois discos de latao cuja es
pessura b e igual a 8,5 mm e cujo raio R mede 3,5 cm. Os dois discos
estao Iigados por urn eixo de raio Ro = 3,2 mm.
a. Qual eo valor do momento de inercia em torno do eixo central? Des
preze 0 momento de inercia do eixo. A densidade p do latao e de 8.400
kg/m'
Solut;3o 0 momento de inercia I de urn disco em torno do seu eixo cen
tral e igual a 1I2(MR' ). Neste problema, podemos considerar os dois
discos juntos como se fossem urn s6. Primeiramente, determinamos sua
massa fazendo
M = V P = (2) (1TR2) (b)(p)
= (2) (1T) (0,035 m)'(O,0085 m) (8.400 kg/ m!)
= 0,550 kg.
o momento de inercia e, portanto,
1= !tMR2 = W (0,550 kg) (0,035 m)2
= 3,4 X 10- 4 kg· m 2• (Resposta:
b. Urn fio de comprimento e= 1,1 m e de espessura desprezfvel esta
enrol ado em torno do eixo. Qual ea acelera~ao linear do ioio quando
ele rola descendo 0 fio, a partir do repouso?
Soluc;ao A Eq. 12-19 nos da
a=-gl+l/MRJ,
9,8 m / s2
m234 X 10- 4 kg · I + ' (0,550 kg) (0,0032 m)2
= - 0,16 m / s2. (Resposta:
A acelera~ao aponta para baixo e 0 seu valor e0 mesmo, quer 0 ioi6
esteja rolando para baixo ou para cima.
Observe que a quantidade I1MRo' que aparece na Eq. 12-19 e sim
plesmente 0 parametro de momento de inercia {3 que aparece na Tabela
12-1. Para este ioi6, temos {3 = 60, urn valor muito maior do que 0 de
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 273
qualquer urn dos objetos listados na !abela. A sua acelera~ao epequena
e corresponde it de urn aro que desce rolando urn plano inclinado a 1,9°.
c. Qual e a tensao no seu fio?
Soluc;ao Podemos calcular a tensao substituindo 0 valor de a, obtido na
Eq . 12-19 na Eq. 12-17, e resolvendo esta ultima para obter T. Encon
traremos, entao, que
Mg
( 12-20) T= I+Mm/I'
que mostra, como era de se esperar, que a tensao no fio emenor do que
o peso do ioi6. Numericamente, temos
T I + (0,550 kg~~:'~~;2g~~~~ (~~s~ 10-4 kg. m2)
= 5,3N. (Resposta;
Este valore 0 mesmo, quer ele esteja subindo, quer esteja descendo pelo
fio.
12-3 Torque Revisitado
No Cap. 11, definimos 0 torque 'T para urn corpo rigido que
pode girar em torno de urn eixo fixo, sendo que cada partf
cula do corpo e for"ada a mover-se em urn cfrculo, de cen
tro no eixo. Vamos agora generalizar a defini"ao de torque
de modo que ela se aplique a uma particula (em vez de
apenas urn corpo rfgido), que se move em rela"ao a urn
ponto fixo (em vez de urn eixo fixo), tornado geralmente
como sendo a origem. A trajet6ria da partfcula nao precisa
ser urn cfrculo em torno daquele ponto e nem mesmo estar
contida num plano.
A Fig. 12-10 mostra uma partfcula localizada no ponto
P no plano xy. Sua posi"ao em rela"ao it origem 0 e dada
porum vetor posi"ao r . Uma unica for"aF, contida no plano
xy, atua sobre a partfcula, sendo que 0 vetor F e uma ex
tensao do vetor r fazem urn angulo ¢ entre si.
D torque exercido sobre a partfcula por essa for"a, em
rela"ao it origem 0, e uma grandeza vetorial definida
como
De acordo com as regras do produto vetorial (veja a Fig. 3
19), 'T e perpendicular ao plano que contem reF. Portan
to, 0 vetor 'T da Fig. 12-10 e paralelo ao eixo z, no sentido
de Z crescente. Ao aplicarmos a regra da mao direita para
encontrarmos 0 sentido de 'T, e conveniente deslizarmos 0
vetor F, sem mudarmos sua dire"ao, ate que a sua origem
coincida com 0 ponto 0, como mostra a Fig. 12-10. A ori
gem do torque 'T tambem esta em O.
A magnitude do vetor 'T e dada por (veja a Eq. 3-20)
T = rF sen cpo ( 12-22)
274 MECANICA
%
-r (~rxF)
(a) (b)
Fig. 12-10 Definindo 0 torque. Uma forya F , pertencente ao plano -'Y, atua sobre uma particula localizada no ponto P. Esta forya exerce urn torque
T (= r X F) sobre a particula. em relayao Ii origem O. 0 vetor torque aponta na direyao de z crescente. Sua magnitude edada por rF" em (a) e por
r"F em (b).
x
A Eq. 12-22 pode ser reescrita como
(12-23)
onde Fk e a componente de F perpendicular a r (Fig. 12
lOa) . A Eq. 12-22 pode ainda ser reescrita como
(12-24)
onde r1- (0 bra~o de alavanca de F) e a distancia perpendi
cular entre 0 e a linha de a~ao de F (Fig. 12-lOb).
Observe que, se 0 lingu10 entre a for~a F eo vetor posi
~ao r forO OU 180°, entao, a Eq. 12-22 nos diz que 0 torque
e zero. Obtemos 0 mesmo resultado usando a Eq. 12-23 (em
que a componente perpendicular F1- = 0) e com a Eq. 12
24 (em que 0 bra~o de a1avanca r1- = 0).
As Eqs. 12-22 a 12-24 concordam com a nossa defini
~ao de torque dada anteriormente, em que consideramos
apenas 0 caso particular de uma for~a que atua sobre urn
corpo rigido for~ado a girar em tomo de urn eixo fixo. (Veja
as Eqs. 11-28 a 11-30.) Lembre-se de que identificamos 0
torque sobre urn corpo rigido como sendo a arao de rota
rao de uma for~a aplicada: ele tende a girar 0 corpo; isto e,
o vetor posi~ao de uma parte qualquer do corpo gira em
tomo de urn eixo fixo. Analogamente, 0 torque que atua
sobre a partfcula mostrada na Fig. 12-10 tende a fazer gi
rar 0 vetor posi~ao da partfcula, r, em tomo da origem.
EXEMPLO 12-6 Na Fig. 12-lla, Ires foryas, cada uma tendo m6dulo
igual a 2,0 N, atuam sobre uma partfcula, que esta sobre 0 plano XZ, num
. ponto P dado pelo vetor posiyao r , onde r = 3,0 m e (} = 30°. A forya F,
eparalela ao eixo x, a forya F, ao ze a F, ao y. Qual e0 torque devido a
cada uma das foryas, em relayao Ii origem?
o angulo entre reF; ede 90°. Aplicando a Eq. 12-22 para cada uma
das foryas, encontramos as magnitudes dos torques
T, = rF, sen </>1 = (3,0 m) (2,0 N) (sen 150°)
= 3.0N·m,
T2 = rF2 sen ~ = (3,0 m) (2,0 N) (sen 120°)
= 5,2 N'm,
e
T, = rF, sen </>, = (3,0 m)(2,O N) (sen 90°)
=6.0N·rn. (Resposta)
Para encontrarmos as direyOes desses torques, aplicamos a regra da
mao direita, posicionando os dedos da mao direita de modo a girarem r
ate alcanyar F, atraves do menor angulo formado pelos dois vetores. 0
torque TJ eperpendicular are a F, (Fig. 12-11d) e sua direyao faz urn
ilngulo (} = 30° com a direyao de z decrescente. Na Fig. 12-lld, repre
sentamos F, por meio de urn cfrculo cruzado, (8), sugerindo a cauda de
uma flecha. (Se F, possuisse sentido oposto, seria representada por urn
ponto no interior de urn circulo, 8 , sugerindo a ponta de uma flecha.)
TOdos esses torques sao mostrados na Fig. 12-lle.
12-4 Momento Angular
Como todas as grandezas Iineares, 0 momento linear tern
urn correspondente angular. A Fig. 12-12 mostra uma par
tfcula com momento linear p (= my) situada no ponto P,
no plano xy. 0 momento angular edessa particula, relati
vamente aorigem 0 , e uma grandeza vetorial definida como
S0101;80 As Figs. 12- llb e 12-11c sao vistas superiores do planoxz, onde
os vetores F, e F, foram re\lesenhados, tendo suas origens no ponto 0, onde reo vetor posi~ao da particula em rela~ao aorigem
para mostrar melhor os ilngulos que esses vetores fazem com 0 vetor
r. O. Conforme aquela se move em rela~ao a 0, no sentido
x
z
z
I
X
(b)
F~Fl
%
X v=.:>v N V
F~
x
(a) (e)
%
% ::1 vv
Q-;Jv,~3
1'2 J>-Y•
(d) (e)
Fig. 12·11 Exemplo 12-6. (a) Vma partfcula situada no ponto P sofre a
a9ao de tres for9as , cada uma paralela a urn dos eixos coordenados. 0
angulo cf> (usado na determina9iio do torque) emostrado em (b) para F,
e (e) para F,. (d) 0 torque 1") eperpendicular are a F, (0 sfmbolo ®
indica que F3 eperpendicular ao plano da figura e aponta para dentro) .
(e) Os torques (relativamente il origem 0) que atuam sobre a particula.
de seu momenta p (= mY), 0 vetor posi~ao r gira em tomo
de O. Para que uma partfcula tenha momenta angular, nao
enecessario que gire em tomo de O. A compara~ao das Eqs.
12-21 e 12-25 mostra que a rela~ao entre 0 momento an
gular eo linear e a mesma que existe entre 0 torque e a for~a.
A unidade do momenta angular no SI e 0 quilograma-me
tro-quadrado por segundo (kg'm2/s), equivalente ao
Joule.segundo (J.s).
o vetor momenta angular ena Fig. 12-12 e paralelo ao
eixo z e aponta no senti do crescente de z. Assim, eeposi
tivo em concordancia com a rota~ao em sentido anti-hora
rio executada pelo vetor posi~ao da partfcula, r, em tomo
do eixo z. (Urn vetor enegativo, consistente com uma ro
ta~ao de r em tomo de z em sentido horario, apontaria no
sentido decrescente de z.)
o m6dulo de ee dado por
e = rmv sen <p, (12-26)
onde 4> e 0 angulo entre rep. A Eq. 12-26 pode ser rees
crita como
e rp.l rmv.l , (12-27)
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 275
%
C(= r x p)
x
(a)
%
Ok ... _ _... ... . y
x
(b)
Fig. 12-12 Definindo 0 momento angular. Vma partfcula de massa m,
localizada no ponto P, possu i momento linear p (= mY), pertencente
ao planoX)'. A partfcula tern momento angular e(= r x p), relativamente
it origem O. 0 vetor momento angular aponta no sentido de zcrescente.
(a) A magnitude de eedada por e = rp" = rmvl . (b) A magnitude de
eetambem dada por e= r"p = r"mV.
on de p~ e a componente de p perpendicular a r (como na
Fig. 12-12a), e P.l = mv.l ' A Eq. 12-26 pode tambem ser
reescrita como
e= r.lp = r.l mv ( 12-28)
onde r.l ea distancia perpendicular entre 0 e urn prolong a
mento de p (como na Fig. 12-12b). Se uma partfcula esti
ver se afastando da origem em !inha reta (cfJ = 0) ou se
aproximando da origem em linha reta (4) = 180°), aEq. 12
26 nos diz que a partfcula nao possui momento angular em
tomo daquela origem.
Do mesmo modo que 0 torque, 0 momenta angular s6
tern senti do se for especificada uma origem. Alem disso,
se a partfcula da Fig. 12-12 nao estivesse situada no plano
xy ou se 0 momenta linear p da partfcula tambem nao esti
vesse naquele plano, 0 momenta angular enao seria para
lelo ao eixo z. A dire~ao do vetor momenta angular esem
pre perpendicular ao plano formado pelos vetores rep.
276 MECANICA
12-5 Segunda Lei de Newton na Forma Angular
A segunda lei de Newton escrita na fonna
L F = ~~ (uma partfcula) (12-29)
expressa a intima relat;:ao que existe entre fort;:a e momen
to linear para uma particula. Ja examinamos bastante 0
paralelismo existente entre grandezas lineares e angulares
e is so nos da a certeza de que existe tambem uma relat;:ao
intima entre 0 torque e 0 momenta angUlar. Guiando-nos
pel a Eq. 12-29, podemos ate mesmo supor que esta rela
t;:ao deve ser
A Eq. 12-30 e, de fato, uma fonna angular da segunda lei
de Newton, para uma parucula:
A soma veto rial de todos os torques que atuam sobre uma
particula e igual asua taxa de variat;:ao do momento
angular, em relat;:ao ao tempo.
A Eq. 12-30 nao possui significado, a menos que os torques
Teo momenta angular esejam definidos relativamente a
mesma origem.
Demonstra~ao da Eq. 12-30
Comecemos com a Eq. 12-25, a definit;:ao de momento
angular:
e = mer x v)
Derivando* cada membro com relat;:ao ao tempo t, obtemos
(12-31)
Mas dvldt e a acelerat;:ao a da particula e drldt e a sua ve
10cidade v. Assim, podemos reescrever a Eq. 12-31 como
de
- = mer x a + v x v) .
dt
Como v X v = 0 (0 produto vetorial de qualquer vetor com
ele mesmo e zero, porque 0 angulo entre os dois vetores e
necessariamente zero), temos
de
-- = mer x a) = r x mao dt
*Ao derivar urn produto vetorial, voce deve ter 0 cuidado de nao inverter a or
dem das duas graodezas (00 oosso caso, rev) que fonnam 0 produto. (Veja a
Eq.3-21.)
Usemos agora a segunda lei de Newton (~ F = mal para
substituinnos ma pelo seu equivalente, a soma velorial das
fort;:as que atuam sobre a particula, obtendo
~~ = r x ( L F) = L (r x F). (12-32)
Finalmente, a Eq. 12-21 mostra que r X Fe 0 torque asso
ciado afort;:a F, de modo que a Eq. 12-32 se tom a
deLT=--.dt
Esta e a Eq . 12-30, a relat;:ao que desejavamos demonstrar.
EXEMPLO 12-7 Urn pingUimde massa mcai do pontoA.localizado a
uma distiincia horizontal d da origem 0, partindo do repouso, como
mostra a Fig. 12-13.
a. Qual e0 momento angular do pingUim em torno de O?
Solu~iio 0 momento angular e dado pela Eq. 12-25 (e = r X p); sua
magnitude e(pela Eq. 12-26):
e= TP sen <p.
Onde r sen <p = d, nao importando qual a distancia percorrida pelo pin
gUim na queda, e p = mv = m(gt). Assim, etern magnitude
e= mgtd. (Resposta) (12-33)
A regra da mao direita mostra que a vetor momenta angular eapon
ta para dentro do plano da Fig. 12-13, no senti do decrescente de z. Re
presentamos eatraves de urn cfrculo cruzado, 181, na origem. 0 vetor e
muda com a tempo apenas em magnitude, perrnanecendo 0 seu senti do
constante.
y
1----d----t
A --~~-------------+~. x
,.;
Fig. 12-13 Exemplo 12-7. Urn pingiiim de massa m cai vertical mente
do ponto A. 0 torque or e 0 momenta angular edo pingUim em queda,
relativamente 11 origem 0, apontam para dentro do plano da figura, em O.
b. Qual e 0 torque exercido pelo peso mg do pingiiim em torno da ori
gem O?
Solu~o 0 torque edado pela Eq . 12-21 ('r = r X F); sua magnitude e
(pela Eq. 12-22):
T = rFsen cf>.
Mais uma vez, r sen cf> = de F = mg. Portanto,
T = mgd =uma constante. _(Resposta) (12-34)
Observe que 0 torque esimplesmente 0 produto da for~ mg pelo bra90
de alavanca d. A regra da mao direita mostra que 0 vetor torque T aponta
para dentro do plano da Fig. 12-13, no sentido decrescente de Z, sendo assim
paralelo a e. (Note que tambem podemos obler a Eq. 12-34 derivando a
Eq. 12-33 em rela9ao ate substituindo 0 resultado na Eq. 12-30.)
Vemos que Tee dependem forte mente da escolha da origem (atra
ves do valor de d). Se 0 pingiiim cai da origem, temos d = 0 e, portanto,
nao ha torque nem momento angular.
12-6 Momento Angular de urn Sistema de
Partlculas
Voltemos agora nossa atenyao para 0 movimento de urn
sistema de partfculas em relayao a uma origem dada. Ob
serve que "urn sistema de partfculas" inclui urn corpo rfgi
do como caso particular. 0 momenta angular total L de urn
sistema de partfculas e a soma (vetorial) dos momentos
angulares individuais f de cada uma das partfculas:
... z:u=u aq
onde i (= I, 2, 3, ...) discrimina cada uma das partfculas.
Com 0 tempo, os momentos angulares das partfculas indi
viduais podem mudar, seja por causa de interayoes com 0 sis
tema (entre as partfculas individuais), seja por causa de influ
encias extemas que atuem sobre 0 sistema. Podemos encon
trar a variayao temporal do momenta angular total L do siste
ma, calculando a derivada temporal da Eq. 12-35. Assim,
dL n dC .
di =2: --ft (12-36)
1= I
Pela Eq. 12-30, vemos que df/dt e simplesmente IT;, a soma
(vetorial) dos torques que atuam sobre a iesima partfcula.
Alguns torques sao internos, associados com foryas que as
partfculas do sistema exercem umas sobre
as outras; outros,
sao externos, associados com foryas extemas que atuam 50
bre 0 sistema. As foryas intemas se cancelam aos pares, * de
vido ao princfpio da ayao e reayao de Newton. Portanto, ao
somarmos os torques, temos que considerar apenas aqueles
associ ados as foryas extemas. A Eq. 12-36 se toma, enta~
• Devemos supor alem disso que ambas as fO'l'as, em cada par a,ao-rea,ao in
tema, tern a mesma linha de a,ao.
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 277
A Eq. 12-37 ea segunda lei de Newton para urn sistema de
partfculas, expressa em tennos de grandezas angulares, e e
analoga a I Fe .. = dP/dt (Eq. 9-23). A Eq. 12-37 estabele
ce que a soma (vetorial) dos torques externos que atuam
sobre urn sistema de partfculas e igual a taxa de variayao
temporal do momento angular do sistema. A Eq. 12-37 s6
tern significado se os vetores torque e momento angular
estiverem referidos a mesma origem. Num referencial iner
cial, aEq. 12-37 pode ser aplicada a qualquer ponto. Num
referencial acelerado (como, por exemplo, uma roda que
gira num plano inclinado), a Eq. 12-37 so se aplica ao cen
tro de massa do sistema.
12-7 Momento Angular de urn Corpo Rlgido que
Gira em Torno de urn Eixo Fixo
Consideraremos a seguir 0 momento angular para 0 caso
particular em que 0 sistema de partfculas constitui urn cor
po rfgido em rotayao . A Fig. l2-l4a mostra esta situayao:
o corpo esta limitado a girar em tomo de urn eixo fixo, que
identificamos como sendo 0 eixo z, e que atravessa 0 cor
po. A velocidade angular do corpo ew.
Podemos detenninar 0 momenta angular do corpo que
gira somando as componentes z dos momentos angulares
dos elementos de massa do corpo. N a Fig. 12-14a, urn ele
mento de massa t:.mi se move, em tomo do eixo z, numa
trajet6ria circular. A posiyao do elemento de massa em
relayao a origem 0 edada pelo vetor posiyao rio 0 raio da
trajet6ria circular e r ii. que ea distancia perpendicular en
tre 0 elemento e 0 eixo z.
A magnitude do momenta angular fi deste elemento de
massa, relativamente ao ponto 0 , e dada pela Eq. 12-26:
Ci = (Ti) (P;) (sen 90°) = (Ti)(.lmi Vi) ,
x
(a) (b)
Fig. 12-14 (a) Urn corpo rfgido giraem tornodo eixo Z, com velocidade
angular w. Urn elemento de massa do corpo, !!.m" move-se em torno do
eixo z num cfrculo de raio r< I' Este elemento possui momento linear Pi'
e sua posi9ao em rela9ao 11 origem 0 edada pelo vetor r/ A figura mos-
Ira !!.m, no instante em que r <I esta paralelo ao eixo X . (b) Momento an
gular e; do elemento de massa que aparece em (a), em rela9ao aorigem
O. A componente ze;:, de e;, tam bern esta representada.
278 MECANICA
Tabela 12-2
Outras Rela~oes de Correspondencia entre Transla~iio e Rota~iio'
Transia,iio Rota,iio
For~a
Momento linear
Momento linear"
Momento linear"
F
p
P(= IpJ
P = MV,m
Torque
Momento angular
Momento angular"
Momento angular'
T(=rXF)
e(=rXp)
L (= ~ e,,)
L = Iw
Lei de Newton' dP ~F,,,= -
dt
Lei de Newton' dLI. 'f~lU = -
dt
Lei de conserva~liod P = uma constante Lei de conserva~liod L =uma constante
'Veja tambem a Tabela 11-3.
'Para sistemas de partlculas, inclusive corpcs rigidos.
'Para urn corpc rfgido, em tome de urn eixo fix~, sendo L a componente paratela aquele eixo.
dPara urn sistema isolado.
onde p; e Vi sao, respectivamente, 0 momento linear e a
velocidade linear do elemento de massa, e 0 lingulo en·
tre r i e Pi e igual a 900 0 vetor momenta angular do •
elemento de massa da Fig. 12-14a, £" e mostrado na Fig.
12-14b.
Estamos interessados na componente de e, que e parale·
la ao eixo de rota~ao que, neste caso, e 0 eixo z. Esta com·
ponente z e
A componente zdo momenta angular total do corpo rigido
e obtida somando·se as contribui~6es de todos os elemen·
tos de massa que constituem 0 corpo. Assim, como V =
wr1.' podemos escrever
n n n
L, = L: e., = L: .lmi ViT1.i = L: .lm;(wT1.i)T1.i
i= 1 i=} ;=1
(12-38)
= W (i .lmi TL).
I~l
Podemos remover w do somat6rio, neste caso, porque ele
e uma constante: tern 0 mesmo valor para todos os pontos
do corpo rigido em rota~ao .
A quantidade Illm;Dque aparece na Eq. 12-38 eo mo·
mento de inercia I do corpo em torno do eixo fixo (veja a
Eq. 11-22). Assim, a Eq. 12-38 reduz-se a
Eliminamos 0 subscrito z, porem voce deve lembrar-se de
. que 0 momenta angular definido pela Eq. 12-39 e apenas a
componente do momento angular paralela ao eixo de rota
~ao. Da mesma forma, I nessa equa~ao e 0 momenta de
inercia do corpo em torno daquele mesmo eixo.
A Tabela 12-2, que complementa a Tabela 11-3, amplia
a nossa lista de rela~oes lineares e angulares corresponden
tes .
EXEMPLO 12-8 A Fig. 12-15 mostra a Terra girando em tomo do seu
eixo, enquanto descreve sua 6rbita ao redor do Sol.
a. Qual e0 momento angular associado 11 rota~ao da Terra em tomo do
seu eixo?
Solu~o Da Eq. 12-39 e da Tabela 11-2(g), temos
21T radL = Iw = 'MR2_
rOl '3' T
onde MeR sao a massa e 0 raio da Terra e T (= 24 h = 8,64 X 1000s)
eo tempo necessario para que a Terra execute uma rota~lio completa (T
eo per{odo de rota,iio). Assim,
= 7,1 X 1035 kg·m2/s. (Resposta:
o vetor Lro. e paralelo ao eixo de rota~ao da Terra, apontando (como
mostra a regra da mao direita) do p610 Sui para 0 p610 Norte.
b. Qual e0 momento angular associado ao movimento orbital da Terra
em tomo do Sol?
Solu~iio Considerando a Terra como uma partfcu]a e aplicando a Eq.
12-39, temos
Fig. 12-15 Exemplo 12-8. Vista em perspectiva da Terra girando em
tomo do seu eixo, enquanto segue sua 6rbita em tomo do Sol (suposta
circular). Os vetores momento angular nao foram desenhados em esca
la; na verdade, Locb ecerca de 4 X 10' vezes maior que L~.
onde R e agora a dist§ncia media Terra-Sol e T (= 1 ano = 3.16 X
10' s) e 0 per(odo de revolufao da Terra em tomo do Sol. Assim.
21T
Lo•b = (5.98 X 1024 kg)(1 .50 X 1011 m) 2 3.16 x 10' s
= 2.7 X 100W kg· m2/ s. (Res posta)
o vetor L,rt> e perpendicular ao plano da 6rbita da Terra. Devido aincli
na~ao do eixo desta. os vetores momento angular orbital e rotacional
fazem entre si urn §ngulo de 23.5'. Ambos os vetores perrnanecem cons
tantes em magnitude e sentido. enquanto a Terra se move em sua 6rbita
durante 0 ano.*
12-8 Conserva~ao do Momento Angular
Ate aqui, discutimos duas poderosas leis de conserva<rao:
ada energia e a do momenta linear. Agora, estamos diante
de uma terceira lei deste tipo, a conserva<rao do momento
angular. Comecemos com a Eq. 12-37 (~7." = dLldt), que
e a segunda lei de Newton escrita na fonna angular. Se
nenhum torque extemo resultante atuar sobre 0 sistema, esta
equa<rao se tomara dLldt = 0, ou seja.
Esta equa<rao representa a lei da conserva~li.o do momen
to angular:
Se nenhum torque extemo atuar sobre urn sistema, 0
(vetor) momenta angular L deste sistema pennaneceni
constante, nao importando quais sejam as altera<r0es que
ocorram dentro do sistema.
A Eq. 12-40 e uma equa<rao vetorial e, como tal, e equiva
lente a tres equa<roes escalares que correspond em a conser
va<rao do momento angular em tres dire<rOes mutuamente
perpendiculares.
Semelhante as outras duas leis que ja discutimos, a Eq.
12-40 pennanece valida mesmo fora dos limites da meca
nica newtoniana. Ela vale para particu1as cujas velocida
des sao pr6ximas a da luz (0 domfnio da teoria da relativi
dade), e pennanece valida no universo das particulas su
bat6micas (govern ado pela Mecanica Quantica). J amais foi
encontrada uma exce<rao para essa lei.
12-9 Conserva~ao do Momento Angular: Alguns
Exemplos
1. 0 piiio humano. A Fig. 12-16 mostra urn estudante
sentado num banco que pode girar livremente em lomo de
*Esta afirmali va ~ apenas aproximada. pois. devido A influencia dos outros pla
netas. a for9a gravitacional
sobre a Terra nlio ~ central. logo. seu momento angu
lar orbital nllo se conserva. Alem disso. como a Terra nlio ~ perfeitamente esf~
rica, as fon;as gravitacionais - devido ao Sol e aLua - exercem urn torque que
faz com que 0 eixo de rota~ao da Terra descreva urn cone no espa~o. urn movi
mento chamado precessiio dos equin6cios. (N. do R.)
ROLAMENTO, TORQUE E MOM.ENTO ANGULAR 279
urn eixo vertical. 0 estudante, que foi posto em rota<rao com
uma velocidade angular inicial Wi reduzida, segura dois
halteres com os bra<ros abertos. Seu vetor momento angu
lar L aponta para a parte superior da figura, ao Iongo do
eixo vertical.
o instrutor pede, entao, que 0 estudante encolha os bra
<ros, puxando-os para junto do corpo; isto faz com que 0
seu momenta de inercia seja reduzido do valor inicial I i para
urn valor inferior If> porque a massa esta agora concentra
da numa regiao mais pr6xima do eixo de rota<rao. Sua ve
locidade de rota<rao aumenta, consideravelmente. de Wi a
wf. Para diminuir sua velocidade, 0 estudante s6 precisa
estender os bra<ros novamente.
Nao ha nenhum torque extemo atuando sobre 0 sistema
constitufdo pelo estudante, 0 banco e os hal teres. Deste
modo, 0 momenta angular do sistema em tomo do eixo de
rota<rao deve pennanecer constante, nao importando 0 modo
como 0 estudante movimente os pesos. Das Eqs. 12-39 e
1·2-40, temos
L = I W =uma constan te
ou
IiWi = If wf·
Na Fig. 12-16a, a velocidade angular do estudante, Wi' e
relativamente baixa e 0 seu momenta de inercia, I i' relati
vamente grande. N a Fig. 12-16b, a velocidade angular pre
cisa ser maior a fim de compensar a diminui<rao do momen
to de inercia.
2. 0 salto ornamental. A Fig. 12-17 mostra uma atleta
executando urn mergulho com saito mortal. Como voce ja
deveria supor, 0 seu centro de massa segue uma trajet6ria
parab6lica. Ela deixa a prancha com urn momenta angular
L
Eixo de rota9iio
(a) (b)
Fig. 12-16 (a) 0 estudante possui momento de inercia relativamente
grande, enquanto sua velocidade angular e relativamente pequena. (b)
Diminuindo seu momento de inercia, 0 estudante aumenta automatica
mente sua velocidade angular. 0 momenta angular do sistema. L, per·
manece constante.
280 MECANICA
Fig. 12-17 0 momento angular L da atleta econstante durante 0 saito,
sendo representado pela cauda de uma seta, (8), que eperpendicular ao
plano da figura. Observe tambem que 0 centro de massa (veja os pon
tos) segue uma trajet6ria parab6lica.
L bern definido, em torno de urn eixo que passa pelo seu
centro de massa, representado por urn vetor que aponta para
dentro do plano da Fig. 12-17, perpendicularmente apagi
na. Enquanto esta no ar, a atleta constitui-se num sistema
isolado, no que concerne a torques externos, e 0 seu mo
mento angular nao pode se alterar. Juntando seus bra ..os e
pernas na posifiio dobrada, a atleta pode reduzir cons ide
ravel mente 0 seu momenta de inercia em torno do eixo de
rota..ao e, deste modo, aumentar muito a sua velocidade
angular. Estendendo os bra ..os e pernas (na posifiio aber
ta) no final do saIto, ela aumenta 0 seu momento de inercia
e, assim, diminui sua velocidade angular de modo a entrar
na agua 0 mais verticalmente possivel, espalhando uma
quanti dade minima de agua. Mesmo num saIto mais com
plicado, envolvendo movimentos em parafuso, 0 momen
to angular do atIeta se conserva em modulo, dire ..ao e sen
tido, durante todo 0 tempo de execu ..ao do saIto.
3. Estabilizando um satilite (ou um disco). Antes que
urn satelite seja lan ..ado do compartimento de carga de urn
onibus espacial (veja Fig. 12-18), faz-se com que ele entre
em rota ..ao em torno do seu eixo. Por que?
Emais diffcil alterar-se a dire ..ao da velocidade de uma
partfcula (por meio de urn impulso lateral), quando 0 seu
momento linear e grande. Do mesmo modo, a orienta ..ao
Fig. 12-18 Lan~amento do sate lite de comun ica~6es mexicano Morelos
D, do compartimento de carga de um 6nibus espaci a\. Faz-se 0 satelite
girar em tomo do seu eixo central para estabilizar a sua orienta9ao, en
quanto ele se dirige asua 6rbita.
de urn corpo que esta girando e mais diffcil de ser alterada
(por meio de urn torque externo) quando 0 momento angu
lar do corpo e grande. A orienta ..ao de urn satelite que niio
estivesse girando, poderia ser mud ada ate mesmo por urn
pequenissimo torque externo devido, por exemplo, atenue
atmosfera residual ou apres sao de radia ..ao da luz do Sol.
Ja a orienta ..ao de urn satelite que esta girando nao e afeta
da por tais fatores.
o processo pelo qual urn disco e estabilizado durante 0
voo e exatamente 0 mesmo, sendo este urn exemplo mais
conhecido.
4. Orientariio de um velcuUJ espacial. Quando urn sis
tema isolado de partfculas nao possui momenta angular, a
sua orienta ..ao no espa ..o pode ser mudada atraves de alte
ra..oes internas ocorridas no sistema? Se ele nao for urn
corpo rfgido, a resposta e: "Sim, sob certas condi ..6es."
A Fig. 12-19, que representa urn vefculo espacial dota
do de urn volante firmemente preso asua estrutura, sugere
urn metodo para controlar a orienta ..ao. 0 conjunto veicu
10 espacial + volante forma urn sistema isolado. Se 0 mo
mento angular L do sistema for igual a zero, eIe devera
permanecer assim.
Para mudar a orienta ..ao do veiculo espacial , 0 volante
e acionado, como na Fig. 12-19a. 0 vefculo come ..a a gi
rar em sentido oposto, para manter nulo 0 momento angu
lar do sistema. Quando 0 volante retornar ao repouso, 0
vefculo tam bern deixani de girar, mas sua orienta ..ao tera
mudado, como na Fig. 12-19b. Em nenhum instante durante
esta manobra 0 momento angular do sistema veiculo espa
cial + volante tern valor diferente de zero.
(a)
x
,,'
Jl O"
x
(b)
Fig. 12-19 (a) Urn vefculo espacial idealizado, dotado de urn volante.
Se 0 volante for posto para girar em sentido horacio, como mostra a fi
gura, 0 veiculo in! girar em sen tido anti-honi rio, porque 0 momento
angular total deve perrnanecer nulo. (b) Quando 0 volante para, a nave
tam bern para de girar, mas a orienta,ao do seu eixo ten! sido alterada de
urn angulo /lO,..
A conserva~ao do momenta angular exige que
/'"eWve + [ vo Wvo 0 (12-41 )
durante todo 0 tempo. (0 subscrito ve refere-se ao vefculo
espacial e vo ao volante.) As duas velocidades angulares
tern sinais opostos, correspondendo aos sentidos opostos
das rota~6es do velculo e do volante. Como w = t:.fJlt:.t,
podemos esc rever a Eq. 12-41 como
I ve !l.()ve = - I vo !l.()v,
ou
A
u()ve = - TIvo !l.()vo ·
ve
Onde t:.fJve e 0 angulo que 0 velculo espacial gira num dado
intervalo de tempo, enquanto t:.fJvo e 0 angulo de giro do
volante no mesmo intervalo de tempo. 0 sinal negativo nos
lembra que esses dois angulos tern sentidos opostos. Como
Ivo~ Iv" 0 volante precisa executar muitas revolu~6es para
que a nave gire urn angulo pequeno. (Na verdade, estudos
de engenharia demonstram que os retrofoguetes sao mais
eficientes que os volantes, quando se trata de alterar a ori
enta~ao de naves espaciais .)
Urn fato interessante ocorreu com a nave Voyager 2, na
sua passagem pelo planeta Urano, em 1986. A nave sofria
uma rota~ao indesejavel toda vez que 0 seu gravador era
acionado em alta velocidade. A equipe de Terra, no Labo
rat6rio de Propulsao a Jato, teve de programar 0 computa
dor de bordo para acionar os retrofoguetes sempre que 0
gravador fosse ligado ou desligado, de modo a contraba
lan~ar 0 seu efeito.
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 281
5. A incrivel estrela que encolhe. Quando a intensida
de das rea~oes nucleares que ocorrem no nucleo de uma
estrela diminui , ela pode entrar em colapso, gerando gran
des pressoes no seu interior. 0 colapso po de chegar ao
ponto de reduzir 0 raio da estrela desde
urn valor pr6ximo
ao do nosso Sol ate 0 valor incrivelmente pequeno de al
guns poucos quil6metros . Ela se toma, entao, uma estrela
de neutrons, assim chamada porque 0 material do qual ela
e feita foi comprimido ate formar urn gas de neutrons ex
tremamente denso.
Durante este processo de contra~ao, a estrela e urn sis
tema isolado, eo seu momenta angular L nao pode mudar.
Porque 0 seu momento de inercia se reduz enormemente,
a sua velocidade angular aumenta proporcionalmente, ate
600-800 revolu~6es por segundo. A tftulo de compara~ao,
o nosso Sol, que e uma estrela tfpica, executa cerca de uma
revolu~ao por meso
EXEMPLO 12-9 A Fig. 12-20a mostra urn estudante novamen te sen
lado num banco que pode girar livremente em tomo de urn eixo ven i
cal. 0 estudante, inicialmente em repouso, segura uma roda de bicicle
ta, cujo aro recebeu uma camada de chumbo, e seu momento de inercia
1em torno do eixo central e igual a 1,2 kg·m2 Aroda esta girando com
velocidade angu lar w, igual a 3,9 Lp.S.; vista de cima, a rota,ao tern
sentido anti -horario. 0 seu eixo evenical e 0 seu momento angular L,
aponta venicalmente para cima. 0 estudante agora invene a roda (Fig.
12-20b). Como resu ltado, ele e a banco gi ram em torno do eixo deste
ultimo. Com que velocidade angular e em que sentido gira 0 estudante?
(0 momento de inercia 10 do sistema estudante + banco + roda em lorna
do eixo do banco e igual a 6,8 kg·m'.)
1r. ~ w.
·u
Wi
I
(a) (b)
rLi kt-~
Inicial Final
( f)
Fig. 12-20 Exemplo 12-9. (a) Urn estudanle segura uma roda de bici
cleta que giraem torno da vertical. (b) 0 estudante invene a rodae, assim,
come,a tam bern a girar. (c) 0 momento angular total do sistema deve
perrnanecer constante, apesar da inversao.
282 MECANICA
Solu~iio Nao M torque resuliame atuando sobre 0 sistema eSludanle +
banco + roda que possa alterar 0 seu momento angular em torno de
qualquer eixo vertical. 0 momento angular inicial do sistema, L" e
apenas 0 da roda de bicicleta. Depois que aroda e invertida, 0 sis
tema deve continuar a ter momento angular total de mesma magni
tude e sen ti do.
Depois da inversao, 0 momento angular da roda e - L" eo conjunto
eSludanle + banco deve adquirir algum momento angular, que chama
remos de L. Assim, como mostra a Fig. 12-20c, temos
L, = L + (- L,)
ou
L= 2Li = low,
onde we a velocidade angular adquirida pelo estudante. ap6s a inver
sao da roda. Isto nos da
w= 2Li = 2/wi
10 10
_ (2) (1,2 kg· m')(3,9 rev/ s)
- 6,8 kg·m'
= 1,4 r. p.s. (Resposta :
Este resultado positivo nos diz que 0 estudante gira em sentido anti
homrio, em tomo do eixo do banco, visto de cima. Se ele quiser parar
de rodar, s6 precisa inverter aroda novamente.
Ao inverte-Ia, teni plena consciencia da necessidade de aplicar urn
torque. Este torque, no entanto, einterne ao sistema esludanle + banco
+ roda e, assim. nao pode mudar 0 seu momento angular total.
Entretanto, podemos escolher como nosso sistema apenas 0 conjun
to esludanle + banco, sendo aroda extern a ao novo sistema. De acordo
com este ponto de vista, quando 0 estudante aplicar urn torque sobre a
roda. esta reagira exercendo urn torque sobre ele. e que sera agora Urn
torque externo. A ayao deste torque externo eque muda 0 valor do
momento angular do sistema estudante + banco, fazendo com que ele
gire. 0 fato de urn torque ser considerado externo ou interno depende
inteiramente do modo como escolhemos definir 0 nosso sistema.
EXEMPLO 12-10 Urn trapezista deve executar urn saito mortal
triplo durante 0 veo ate 0 seu parceiro, com a durayao de I = 1.87 s.
No primeiro e ultimo quartos de revolu,ao, ele esta na posi,ao
esticada mostrada na Fig . 12-21. com momento de inercia I, = 19.9
kg·m' . em torno do seu centro de massa. Durante 0 restante do v60, esta
em posiyao moderadamente dobrada, com momento de inercia I, = 5,50
kg·m'.
a. Qual deve ser sua velocidade angular inicial w" em torno do seu Cen
tro de massa?
Soluyiio Ele gira, na posiyao estendida. urn lingulo total //, = 0,500 re
voluyOes num tempo total I, e, na posiyao dobrada, urn lingulo //, no
tempo I" dados por
(12-42)
onde w, e a sua velocidade angular na posiyao dobrada. Podemos obter
uma expressao para w" observando que 0 seu momento angular se con
serva durante 0 veo:
de onde temos
(12-43)
o seu tempo total de veo e
que, COm substituiyoes das Eqs. 12-42 e 12-43. pode ser escrito como
(12-44)
Inserindo os dados fornecidos, obtemos
1 ( 5,50 kg' m')
1.87s= WI 0,500 rev + 2,50 rev 19.9kg ' m2 '
de onde encontramos. finalmente,
WI = 0,6369 f .p.S. - 0,637 r.p.S. (Resposta)
Dobra
Largada
Trajet6ria
parab61ica
do trnpezista
Pegada
Fig. 12-21 Exemplo 12-10.0 saito mortal triplo.
b. Se ele tentar agora urn saIto mortal quadruplo, com os mesmos valo
res de W, e t, porem dobrando mais 0 corpo, qual devera ser 0 seu mo
mento de inercia I" na posi~ao dobrada?
SolUf;iio 0 §ngulo de rota~ao 0" quando 0 corpo do trapezista esta do
brado, e agora de 3,5 revolu~Oes (= 4,00 rev -0,500 rev) e a Eq. 12-44
se torna
1
1,87 s
06369 r.p.s. ~ (0,500 rev + 3,50 rev 19,9 ~~.m2)'
de onde obtemos
2I, = 3,929 kg· m' "" 3,93 kg· m . (Resposta:
Este valor men or para I , permite uma volta mai s rapid a durante a posi
~ao dobrada e e quase 0 menor valor possfvel para urn trapezista. Para
realizar urn saIto mortal de quatro e meia voltas, urn trapezista teria de
aumentar 0 tempo de voo ou a velocidade angular inicial , mas qualquer
uma dessas altera~oes torn aria mais diffcil a pegada pelo seu parceiro.
(Voce saberia dizer por que?)
c. Para 0 salto quadruplo, qual e 0 perfodo de rota~ao T do trapezista (0
tempo necessaTio para realizar uma rota~ao), durante a posi,ao dobrada?
Solu,.iio Primeiramente, encontramos a velocidade angular 0>, durante
a posi~ao dobrada, aplicando a Eq. 12-43:
1, _ 19,9 kg' m2 0,6369 T.p.S.
w,= I, W,- 3,929kg.m2
= 3,226 r.p.s.
Determinamos, entao, 0 intervalo de tempo T para uma rota~ao, fazendo
T=lrev_ 1 rev (Resposta) W, - 3,226 r.p.s. = 0,310 s.
Uma das razOes por que 0 saIto mortal quadruplo e tao diffcil eque a
rota~ao ocorre rapido demais para que 0 trapezista possa ver claramen
te 0 que ocorre asua volta ou consiga ajustar a sua velocidade angular,
alterando 0 seu momento de inercia durante 0 voo.
EXEMPLO 12-11 Quatro hastes finas, cada uma com massa M e com
primento d = 1,0 m, es'tao fmnemente conectadas formando urn sinal de
adi~; 0 conjunto gira num plano horizontal, em tomo de urn eixo vertical
que passa pelo seu centro, com velocidade angular Wi = - 2,0 rad/s, em
senLido horatio (veja a Fig, 12-22). Uma bola de lama de massa m e velo
cidade inicial v, = 12 mls e atirada sobre 0 sinal e fica grudada 11 extremi
dade de uma das hastes, Seja M = 3 m, Qual ea velocidade angular final
wldo sistema sinal de adi,iio + bola de lama, considerando-se que a tra
jet6ria inicial desta e cada uma das trajet6rias mostradas na Fig, 12-22:
trajet6ria I (0 contato se da quando a velocidade da bola e perpendicular a
haste), trajet6ria 2 (contato radial), trajet6ria 3 (contato perpendicular) e
trajet6ria 4 (0 contato se da num §ngulo de 60° com a perpendicular)?
Solu<;iio 0 momento angular total Ldo sistema em,torno do eixo econ
servado durante a colisao:
(12-45)Lj =L"
onde os subscritosf e i representam os valores final e inicial. Seja 1+ 0
momento de inercia do sinal de adi~iio em torno do ei xo. Da Tabela 11
2 (j), temos, para as quatro hastes,
1+=4(Mt)
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 283
W'f
Eixode
rotac;ao
Fig. 12-22 Exemplo 12- 11 . Vista superior de quatro bastOes firmemen
te unidos que giram em torno de urn eixo central. Veem-se tambem
quatro trajet6rias que uma bola de lama pode seguir
ate grudar num dos
bastoes.
o momento de inercia da bola de lama em tome do eixo, conforme a
bola gira presa ao sinal de adi,ao, e Ibi = md'. Representemos 0 me
mento angular inicial (antes do contato) da bola de lama em tomo do
eixo por ei e a velocidade angular final do sistema por wI' Usando a re
la,ao L = Iw, podemos reescrever a Eq. 12-45 na forma
I+Wj + Imbwj= I+w, + e,
e, em seguida, como
(tMd ') Wj + (md 2)wj = (tMd')w, + ei' (1 2-46)
Substituindo M = 3 m e Wi = -2,0 rad/s e resolvendo a equa~ao para
obter WI ' encontramos
Wj = 5~d2 ( 4md 2 (- 2 rad/ s) + e,). (12-47)
Calculamos a magnitude de ei para as trajet6 rias Ie 3 atraves da Eq.
12-28, com," = de v = Vi' Para a trajet6ria 2, usamos a Eq. 12-28 com
," = O. Para a trajet6ria4, usamos aEq. 12-27, onde, = de Vi = ViCOS
60°. Determinamos, entao, 0 sinal de e" verificando como urn vetor que
da a posi~ao da bola de lama em rela~iio ao eixo gira em torno deste, it
medida que ela se aproxima do sinal de adi~iio: se ele girar em sentido
horario, ei sera negativo; se girar em sentido anti-horario, e, sera positi
vo, Os resultados sao:
traj. I : e, = - mdv, ; via. 2: e, = 0;
traj . 3: e, = mdv,; via . 4: ei = mdvi cos 60°.
Onde a velocidade v, = 12 mls. SubsLituindo esses valores de volta na
Eq. I 2-47, juntamente com 0 valor de Vi, encontramos os valores de Wi
traj. I: - 4,0 rad/ s; via. 2: -1 ,6 rad/ s;
traj.3: 0,80 rad/ s; via.4: - 0.40 rad/s.
12·10 Precessao de urn Giroscoplo (Opcional)
Urn giroscopio simples consiste de uma roda que epresa a
uma haste e esta livre para girar em tomo do eixo da haste.
Se 0 extrema mais distante da haste 'de urn girosc6pio que
nao esteja girando for colocado sobre urn suporte, como na
Fig. 12-23a, eo girosc6pio for solto, ele caira, rodando para
baixo em tomo do suporte. Como a queda envolve uma
284 MECANICA
z
.Trajet6ria circular descrita
peJa extremidade do vetOr L z
~p<---y
" "
Mg Mg
(a) (b) (e)
Fig. 12-23 (a) Urn girosc6pio que nao esta girando e que tern uma das extremidades do seu eixo apoiada num suporte cai co~ uma rota~ao em
torno do eixo y, devido ao torque T. (b ) Urn girosc6pio que gira rapidamente, com momenta angular L , precessa em torno do elXO z. (e ) A taxa de
varia~ao temporal do momenta angular, dLld!, produz a rota~ao de L em torno de O.
rota9ao, ela e govern ada pela segunda lei de Newton na
forma angular que, usando a Eq. 12-37, pode ser escrita
como
T = ilL/ de . (12-48)
Esta equa9ao nos diz que 0 torque que causa a rota9ao para
baixo (a queda) muda 0 momenta angular L do girosc6pio,
que inicialmente era igual a zero. 0 torque T edevido ao
peso Mg do girosc6pio, que atua no seu centro de massa
(que consideraremos como sendo 0 centro da roda), com
bra90 de alavanca r relativamente ao suporte situado em
O. A magnitude do torque e
T = Mgr sen 900 = Mg1 (12-49)
(pois 0 lingulo entre Mg ere igual a 90°), e 0 seu sentido e
mostrado na Fig. 12-23a.
Ja urn girosc6pio que esteja girando rapidamente e seja
solto do mesmo modo que 0 anterior, ira se comportar de
modo muito diferente. Inicialmente, ele roda para baixo,
ligeiramente, mas logo come9a a girar em torno de urn eixo
vertical que passa atraves do suporte, executando urn mo
vimento denominado precesslio. Por que 0 girosc6pio que
esta girando fica suspenso no ar, em vez de cair? A chave
para a solU9ao deste misterio esta no fato de que, quando 0
girosc6pio e solto, 0 torque devido a Mg precisa mudar urn
momento angular inicial que nao e mais igual a zero, mas
tern urn valor finito devido arota9ao do girosc6pio.
Para compreender como isso leva aprecessao, conside
remos primeiramente 0 momento angular L do girosc6pio
devido asua rota9ao. Para simplificar a situa9ao, vamos
supor que a velocidade de rota9ao seja tao grande que 0
momento angular devido aprecessao gradual e desprezi
vel em compara9ao com L. Suponhamos tambem que a
haste esteja na horizontal quando a precessao tern infcio
(veja a Fig. 12-23b). A magnitude de L e dada pela Eq. 12
39 como
on de / e 0 momento de inercia do girosc6pio em torno do
seu eixo ewe a velocidade angular do girosc6pio. 0 vetor
L aponta ao longo do eixo, como mostra a Fig. 12-23b.
Como L e paralelo a r, 0 torque T deve ser perpendicular a
L.
De acordo com a Eq. 12-48, 0 torque T provoca uma
altera9ao infinitesimal dL no momento angular do
girosc6pio num intervalo de tempo dt; isto e,
dL = T dt . (12-51)
Entretanto, para urn girosc6pio que gira velozmente, a
magnitude de L e estabelecida pela Eq. 12-50. Portanto,
como 0 torque atua de forma a alterar L, ele s6 pode modi
ficar a sua dire9ao e nao a sua magnitude.
Da Eq. 12-51 , vemos que a dire9ao de dL e a dire9ao de
T, perpendicular a L. 0 unico modo de alterar L na dire9ao
de T, sem alterar sua magnitude, e fazendo L rodar em tor
no do eixo z, como mostra a Fig. 12-23c: L mantem a sua
magnitude, a extremidade do vetor L descreve uma traje
t6ria circular, e Te sempre tangente a esta trajet6ria. Como
L deve sempre apontar ao longo do eixo do girosc6pio, 0
eixo tambem deve rodar em torno de z, no sentido de T.
Deste modo, temos a precessao. Como 0 girosc6pio deve
obedecer asegunda lei de Newton na forma angular, em
resposta a qualquer altera9ao do seu momento angular ini
cia I ele deve precessar, em vez de simplesmente tombar.
Podemos encontrar a velocidade de precessao Q usan
do, primeiramente, as Eqs . 12-49 e 12-51 , para obtermos a
magnitude de dL:
dL = T dt = Mp· dt (12-52)
Quando L sofre uma altera9ao dL no intervalo de tempo
dt, 0 eixo e L precessam em torno de z, descrevendo urn
lingulo infinitesimal dcp. (Na Fig. 12-23c, 0 lingulo dcp apa
rece exagerado para maior cJareza.) Com 0 auxilio das Eqs.
12-50 e 12-52, encontramos que dcp e dado por
dL Mgr dt
d<jJ = -L- = ---'J'-w-L = /w, (12-50)
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 285
Dividindo esta expressao por dt e fazendo a velocidade n
= d¢ldt, obtemos
Este resultado e valida sob a hip6tese de que a velocidade
de rota9ao w e grande. Observe que a velocidade de
precessao n decresce quando w aumenta. Note tambem que
nao ocorreria precessao, se uma for9a peso Mg nao atuas
se no girosc6pio, mas como Ie uma fun9ao de M, a massa
secancela na Eq. 12-53 e, assim, n e independente da massa
do girosc6pio.
A Eq. 12-53 tambem se aplica se 0 eixo de urn girosc6pio
que esteja girando fizer urn angulo qualquer com a hori
zontal. Ela tambem e valida para urn piao que esteja giran
do, pois este e, essencialmente, urn girosc6pio que gira
fazendo urn angulo com a horizontal.
12-11 Quantiza~ao do Momento Angular
(Opcional)
Dizemos que uma grandeza ffsica e quantizada se ela pu
der assumir somente certos val ores discretos, de tal forma
que todos os valores intermediarios sejam proibidos. Ate
agora, ja encontramos dois exemplos que apresentam esta
caracteristica: a quantiza9ao da massa (na Se9ao 2-9) e a
quantiza9ao da energia (na Se9ao 8-9). 0 momento angu
lar e 0 nosso terceiro exemplo.
Embora a quantiza9ao seja universal, ela se mostra de
modo mais marcante apenas nos nfveis atomico e subato
mico, e e la que vamos buscar nosso exemplo. Todas as
particulas da Ffsica, tais como 0 eletron, 0 pr6ton e 0 pfon,
possuem valores intrinsecos bern caracteristicos de momen
to angular, como se elas estivessem girando como urn piao
(e, no entanto, nao giram). Este momento angular intrfnse
co edado pela rela9ao
h (12-54)e= 5 27T
onde s (denominado numero quantico de spin) eurn intei
ro, urn semi-inteiro ou zero. A quantidade h que aparece
na Eq. 12-54 e a constante de Planck, a constante basica da
ffsica quantica.
o numero quantico de spin do eJetron, por exemplo, e
igual a 112, de modo que 0 seu momenta angular intrfnse
co e
e=
(t}(6,63 x 10- 34 j-s) U7T)
=5,28 X 10- 35 J' s.
o fato de h ter urn valor tao pequeno significa que a quan
tiza9ao do momento angular nao eperceptfvel nem mes
mo no menor dos objetos macrosc6picos. Do mesmo modo,
as quantiza90es da massa e da energia nao podem ser per
cebidas diretamente pelos nossos sentidos.
Os movimentos orbitais dos eletrons nos atomos - eo
dos pr6tons e neutrons no nucleo atomico - tam bern sao
quantizados. As considera90es sobre 0 momento angular
ocupam uma posi9ao central no nosso conhecimento acer
ca da estrutura da materia nos nfveis atomico e subat6mi
co. Sempre que urn ffsico se defronta com uma nova partf
cula ou est ado quantico de urn nucleo, atomo ou molecula,
a pergunta mais pro va vel que ele ira fazer a si mesmo e:
"Qual e0 seu momento angular?" Nao ha nada de surpre
endente no fato da constante de Planck - que e a pedra
fundamental da estrutura subatomica - ser expressa em
unidades de momenta angular.
RESUMO
Corpos em Rolamento
Para uma roda de raio R que se move sem deslizar,
( 12-2) Vern =wR
on de V,m e a velocidade do centro da roda ewe a sua velocidade angu
lar em tomo do seu centro. Pode-se tambem descrever 0 movimento
como se aroda executasse uma rota~ao instantanea em torno de urn ponto
P do 50 10, que esta em contato com ela. A sua velocidade angular em
torno deste ponto e identica iI. sua velocidade em tomo do seu centro.
Tendo isso em mente, podemos mostrar que aroda possui, ao se mover,
energia cinelica
( 12-5) K =t/,rno? + tM~rn '
onde I,m e 0 momento de inercia da roda em torno do seu centro.
Analise Usando a Segundo Lei de Newton
o Exemplo 12-4 ilustra a aplica~ao da segunda lei de Newton, nas for
mas aplicaveis atran sla~ao (F = Ma,m) e arota~ao (1' = la), na analise
do movimento acelerado de objetos que rolam.
o Vetor Torque
Em tres dimensoes, 0 torque l' euma grandeza definida em rela~i!o a
urn ponto fixo (geralmente uma origem) pela rela~i!o
l' = r X F, (12-21)
onde F ea for~a aplicada apartfcula ere urn vetor que da a posi~i!o da
partfcula em rela~ao a urn ponto fixe (ou origem). A magnitude de l' e
dada por
T = rF sen</> = rF~ = r~F (12-22,12-23,12-24)
onde </> e 0 angulo entre Fer, F" e a componente de F perpendicular a
r, e r" e a distancia perpendicular entre 0 ponto fixo e a Iinha de a~i!o de
F . 0 sentido de l' e dado pela regra da mao direita.
Momento Angular de uma Particula
o momento angular ede uma partfcula com momento linear p, massa
m e velocidade linear v e uma grandeza vetorial definida em rela~ao a
urn ponto fixo (geralmente a origem) e dada pela rela~1io
e= r X p = m(r X v) ( 12-25)
286 MECANICA
A magnitude de ee dada pol'
e= rmv sen <p (12-26)
(12-27)
= TJ..P = T1mv, (12-28)
onde <p eo angulo entre rep, P1 e v1 sao as componentes de p e v per
pendiculares a r, e r1 e a distilncia perpendicular entre 0 ponto fixo e a
linha de a9ao de p. A dire9ao e 0 sentido de esao dados pel a regra da
mao direita.
Forma Angular da Segunda Lei de Newton para uma Particula
A segunda lei de Newton para uma particula pode ser escrita na forma
vetorial angular como
(12-30)
onde ~ Teo torque total que atua sobre a partfcula e ee 0 momenta
angular da particula.
Momento Angular de um Sistema de Particulas
o momenta angular L de urn sistema de particulas ea soma vetorial dos
momentos angulares das partfculas indi viduais:
" L = e, + e2 + .. . + en = L e,. (12-35)
i=1
A taxa de varia9ao temporal do momenta angular e igual II soma dos
torques extemos que atuam sobre 0 sistema (os torques devidos a inte
ra90es das partfculas do sistema com partfculas extemas a ele). A reI a
9ao exata e
dLL: T~xt = de (sistema de particulas) (12-37)
Momento Angular de um Corpo Rigido
Para urn corpo rfgido que esta em rota9ao em torno de urn eixo fixo, a
componente do momento angular paralela ao eixo de rota9ao e
L = Iw (corpo rfgido, eixo fixo) (12-39)
Conservafiio do Momento Angular
o momenta angular L de urn sistema permanece con stante, se 0 torque
extemo total que atua sobre 0 sistema for igual a zero:
L = uma constante (sistema isolado) (12-40)
Esta e a lei da conservac;iio do momento angular, Euma das leis de
conserva9ao fundamentais da natureza, tendo sido verificada ate mesmo
em situa90es envolvendo partfculas dotadas de altas velocidades ou de
dimensOes subatomicas, para as quais as leis de Newton nao se aplicam.
Precessiio de um Piiio
A precessiio de Urn piao pode ser analisada em termos da Eq. 12-37. A
velocidade de precessao do piao, Q, e dada por
n = Mgr . (12-53)
Iw
Quantizafiio do Momento Angular
o momento angular euma grandeza quantizada, ocorrendo na nature
za apenas em multiplos inteiros ou semi-inteiros de h/2rc, onde h ea cons
tante de Planck.
QUESTIONARIO
1. Uma bala decanhao esferica e uma bolinhade gude rolam num plano
inclinado, partindo do repouso. Qual das duas chega primeiro 11 base do
plano?
2. Uma lata cilfndrica cheia de came e outra identica cheia de agua ro
lam num plano inclinado. Compare suas aceiera90es angulares e linea
res. Explique as diferen9as.
3, Urn cilindro solido de madeira rola em dois pIanos inclinados de
mesma altura, mas com angulos de inclina9ao diferentes. A velocidade
com que ele chega abase do plano e a mesma em cad a caso? Ele demo
ra mais tempo para rolar urn dos pIanos do que 0 outro? Explique suas
respostas.
4. Urn cilindro solido de latao e urn de madeira tern 0 mesmo raio e massa
identica, sendo que 0 de madeira emais longo. Suponha que voce os
solte ao mesmo tempo, do alto de urn plano inclinado. Qual deles alcan
9ara a base primeiro? Suponha que agora os cilindros tenham 0 mesmo
comprimento (e 0 mesmo raio) e que as massas sejam tomadas iguais,
fazendo-se urn furo ao longo do eixo do cilindro de iatao. Qual dos do is
cilindros chegara primeiro, desta vez? Explique as suas respostas. Su
ponha que os cilindros rolem sem deslizar.
5. Rute e Rogerio andam de bicicleta, na mesma velocidade. As rodas
da bicicleta de Rute possuem diametro urn pouco maior do que as da
bicicleta de Rogerio. Qual e a compara9ao que se pode fazer entre as
velocidades angulares das rodas de cada uma? 0 que se pode dizer so
bre as velocidades das partes superiores dessas rodas?
6. Se 0 velocfmetro de urn carro e calibrado de forma a registrar Urn valor
de velocidade linear proporcional II velocidade angular das rodas tra
seiras, e necessario corrigir a leitura quando se usam pneus de maior
diametro extemo (como. por exemplo, pneus para neve)?
7. Urn tambor cilfndrico eempurrado pela parte de cima por meio de
uma tabua. Partindo da posi9iio inicial mostrada na Fig. 12-24, ele rola
para a frente uma distancia li2 , igual ametade do comprimento da ta
bua. Niio ocorre deslizamento em qualquer dos pontos de contato. Onde
esta a tabu a agora? Qual a distancia percorrida pela mulher?
Fig. 12-24 Questao 7.
8. Dois discos pesados estao conectados por uma haste curta de raio bern
menor do que 0 raio deles. Este sistema e colocado sobre uma rampa de
modo que os discos fiquem fora da superffcie da rampa, como mostra a
Fig. 12-25. 0 sistema rola pela rampa sem deslizar. (a) Perto da base
desta, os discos tocam a mesa horizontal e 0 sistema passa a mover-se
com uma velocidade translacional muito maior. ExpJique por que. (b)
Se este sistema competissecom urn aro (de qualquer raio), qual dos dois
chegaria primeiro abase? (c) Mostre que 0 sistema tern f3 > I, onde f3
eo para metro de momenta de inercia da Tabela 12-1.
Fig. 12·25 Questao 8.
9. Urn ioio chega ao fim do seu fio e, enmo, sobe novamente. 0 senti do
de sua rota9ao einvertido quando ele chega ao fim do fio? Explique sua
resposta.
10. Urn ioio esta em repouso sobre uma mesa horizontal e pode rolar
livremente
(Fig. 12-26). Se uma for9a horizontal F, puxar 0 fio, para
onde ele rolara? 0 que acontece quando a for9a F, e aplicada (a sua li
nha de a~ao passa atraves do ponto de contato entre 0 ioio e a mesa)? Se
o fio for puxado verticalmente pela for~a F" 0 que acontecera?
Fig. 12·26 Quesmo 10.
11. Urn carro com tra9ao traseira acelera rapidamente, partin do do
repouso, e 0 motorista observa que 0 carro "levanta 0 nariz". Por
que isto acontece? Isto aconteceria com urn carro que tivesse tra
~ao dianteira?
12. Os parafusos que prendem os motores dos avioes a jato 11 estrutura
foram projetados para se partirem se 0 motor (que gira rapidamente)
emperrar de repente devido a alguma falha. Por que esses "fusfveis es
truturai s" sao utilizados?
13. Existe alguma vantagem em se colocar em rota9ilo as rodas do
trem de aterrissagem de urn aviao pouco antes do pouso? Se existe,
como voce poderia determinar a velocidade e 0 sentido da rota9ao
mais adequados?
14. Urn jogador de h6quei, num momento de irrita9ao, arremessa urn
disco sobre 0 gelo. Este gira em torno do seu centro de massa, enquanto
desliza , e final mente para devido 11 a9aO do atrito. Por que 0 seu movi
mento de rota9ao deve cessar exatamente no mesmo instante em que 0
seu centro de massa chega ao repouso?
15. Quando a velocidade angular w de urn objeto aumenta, 0 seu mo
mento angular pode tam bern aumentar ou nao. De urn exemplo de cada
urn desses casos.
16. Urn estudante fica de pe sobre uma mesa que gira com velocidade
angular we segura dois halteres identicos com os bra~os abertos. Sem
mover mais nada, ele solta os dois halteres . Que altera~ao, se e que hoi
ROLAMENTO, TORQUE E MOM!=NTO ANGULAR 287
alguma, sofre a velocidade angular do estudante? 0 momento angular e
conservado? Explique suas respostas.
17. Urn helic6ptero perde 0 controle com as pas do rotor girando. Por
que 0 corpo do helic6ptero gira em sentido oposto ao das pas?
18. Se toda a popula9ao do mundo se mudasse para a Antllrtida, isto
afetaria a dura9ao do dia? Em caso afirmativo, diga como.
19. Urn prato girat6rio circular roda com velocidade constante em tor
no de urn eixo vertical. Nao M atrito nem torque externo. Urn recipien
te circular esta sobre 0 prato e gira junto com ele (veja a Fig. 12·27). 0
fundo do recipiente esta coberto por uma camada de gelo de espessura
uniforme que, obviamente, gira com ela. Suponha agora que 0 gelo se
derreta , mas que nenhuma por9ao de agua escape do recipiente . Pode
se dizer que a velocidade angular e agora maior do que a velocidade
angular original? Justifique sua resposta.
Fig. 12-27 Questao 19.
20. Voce deseja distinguir urn ovo cru de urn cozido duro e, para isso,
faz cada urn deles girar sobre uma mesa . Explique como esta distin9ao
pode ser feita. Explique tambem por que, se voce parar urn ovo cru que
esta girando tocando-o rapidamente no topo, ele volta a girar? '
21. A Fig. 12·28a mostra urn acrobata saltando numa cama elastica
com momento angular zero. Ele pode , manobrando com seu corpo,
aterrissar de costas , como na Fig. 12-28b? Einteressante notar que
38% dos treinadores e 34% de uma amostra de fisicos, a quem foi
feita esta pergunta, ten ham dado uma res posta errada. 0 que voce
acha? (Em "Do Springboard Divers Violate Angular Momentum
Conservation?", de Cliff Frohlich, American Journal of Physics,
julho de 1979.)
;II " Ii II 1)\
(a) (b)
Fig. 12·28 Questao 21.
288 MECANICA
22. Quando se esta num balan~o, e possfvel fazer com que ele execute angulo reto com 0 conves, qual sera 0 seu efeito quando 0 navio tender
urn cfrculo completo em tome do seu suporte? Suponha (se desejar) que a adernar?
o assento do balan~o esteja preso ao suporte por meio de barras rfgidas .
em vez de uma corda ou corrente. Explique sua resposta. 24. Por que urn zagueiro de futebol americano precisa fazer a bola gi
rar rapidamente para assegurar-se de que ela se manteni na trajet6ria
23. Uma roda de grande massa e que esteja girando pode ser usada para pretendida durante urn passe longo? .
estabilizar urn navio. Se ela for montada com seu eixo de rota~ilo em
EXERCfclOS E PROBLEMAS
Se"ao 12-1 Rolamento
IE. Urn tubo de paredes finas rola pelo chao. Qual e a razao entre as
suas energias cineticas translacional e rotacional, em tome de urn eixo
paralelo ao seu comprimento e que passa pelo seu centro de massa?
2E. Urn aro de 140 kg rola sobre urn piso horizontal de modo que 0 seu
centro de massa possui uma velocidade de 0,150 m/s. Qual e 0 trabalho
que deve ser feito sobre 0 aro para faze-Io parar?
3E. Os pneus de urn autom6vel, que trafega a 80,0 kmlh, tern 75,0 cm
de diametro. (a) Qual e a velocidade angular dos pneus em tome do eixo?
(b) Se 0 carro chegar ao repouso, uniformemente, ap6s 30,0 voltas dos
pneus (sem derrapar), qual sera a ace\era~ao angular das rodas? (c)
Qual e a distancia percorrida pelo carro' durante 0 perfodo de fre
nagem?
4E. Urn autom6vel de massa igual a 1.000 kg possui quatro rodas de 10
kg cada. Quando 0 carro esta em movimento, qual e a fra~ilo da sua
energia cinetica total devido arota~ilo das rodas em tome de seus ei
xos? Suponha que os momentos de inercia das rodas sejam identicos aos
de discos uniformes de mesma massa e tamanho. Explique por que nao
e necessario saber 0 raio das rodas.
SE. Urn autom6vel tern massa total de 1.700 kg. Ele e acelerado, a par
tir do repouso, ate alcan~ar 40 kmIh, em 10 s. Suponha que cada roda
seja urn disco uniforme de 32 kg. Determine, ao fim do intervalo de 10
s, (a) a energia cinetica de rota~ilo de cad a roda em tome do seu eixo,
(b) a energia cinetica total de cada roda e (c) a energia cinetica total do
autom6vel.
6E. Uma esfera uniforme rola num plano inclinado. (a) Qual deve ser 0
angulo de inc1ina~ao para que a acelera~ao linear do centro da esfera
seja igual a 0, 109? (b) Com este angulo, qual seria a acelera~ao de urn
bloco que deslizasse pelo plano inc1inado sem atrito?
7E. Uma esfera s61ida de peso igual a 35,58 N sobe rolando urn plano
inc1inado, cujo angulo de inclina~ao e igual a 30°. Na base do plano, 0
centro de massa da esfera tern uma velocidade linear de 4,88 m/s. (a)
Qual e a energia cinetica da esfera na base do plano inclinado? (b) Qual
e a distancia que a esfera percorre ao subir 0 plano? (c) A resposta ao
item (b) depende do peso da esfera?
8E. Uma roda de raio igual a 0,250 m que, inicialmente, se move a 43 ,0
m/s, rola 225 mate parar. Calcule (a) sua acelera~ao linear e (b) sua
acelera~ilo angular. (c) Sendo 0 momento de inercia da roda igual a 0,155
kg ·m' , calcule 0 torque exercido pelo atrito sobre a roda, em tome do
seu centro.
9E. Considere urn pneu de 66 cm de diametro de urn carro que trafega
a 80 kmIh , numa estrada plana, no sentido positivo de x. Sob 0 ponto de
vista de urn passageiro no interior do carro, quai s silo a velocidade line
ar eo m6dulo da acelera~ilo linear (a) do centro da roda, (b) de urn pon
to situ ado na parte superior do pneu e (c) de urn ponto na base do pneu?
(d) Repita os itens de (a) a (e) para 0 caso de urn observador estaciona
rio situado abeira da estrada."
lOP, Urn corpo de raio R e massa m rola horizontal mente, sem deslizar,
com velocidade v. Ao encontrar uma eleva~ilo , ele a sobe rolando ate
uma altura maxima h. (a) Se h = 3v'14g, qual e 0 momenta de inercia
do corpo? (b) Qual deve ser a forma deste corpo?
" lIP. Uma esfera homogenea, inicialmente em repouso, roJa sem desli
zar, partindo da extremidade superior do trilho mostrado na Fig. 12-29,
saindo pela extremidade da direita . Se H = 60 m, h = 20 m e 0 extrema
direito do trilho e horizontal, determine a distancia horizontal do ponto
A ate 0 ponto que a esfera toca 0 chilo.
Fig. 12-29 Problema 11.
12P. Uma pequena esfera, de raio r e massa m, rola sem deslizar no
interior de urn hemisferio fix~, de raio R e que possu i urn eixo de sime
tria . vertical. A esfera inicia 0 seu movimento no alto do hemisferio ,
partindo do repouso. (a) Qual e a sua energia cinetica no fundo do he
misferio? (b) Qual a fra~ao dessa energia que esta associada a uma ro
ta~ao em tome de urn eixo que passa pelo seu centro de massa? (c) Qual
e a for~a normal exercida pela esfera pequena sobre 0 hemisferio, quan
do ela est3 no fundo, se r <t R?
13P. Uma bolinha de gude s61ida de massa m e raio r rola sem deslizar
sobre 0 trilho mostrado na Fig. 12-30, tendo partido do repouso em al
gum ponto do trecho retilfneo do trilho. (a) Qual e a altura mfnima h,
medida a partir da base do trilho, de onde devemos sol tar a bolinha para
que ela nao perca contato com 0 trilho na parte mais alta da curva? (0
raio da curva e R; considere R P r) (b) Se a bolinha for solta de uma
altura igual a 6R acima da base do trilho, qual sera a componente hori
zontal da for~a que atua sobre ela no ponto Q?
Fig. 12-30 Problema 13.
Fig. 12-31 Problema 14.
II 14P. Urn cilindro solido, de raio igual a \0 cm e massa de 12 kg,
parte do repouso e rola sem deslizar uma distancia de 6,0 m, des
cendo 0 telhado de uma casa, cuja inciinayao e igual a 30°. (Veja a
Fig. 12-31) (a) Qual e a velocidade angular do cilindro, em torno
do seu centro, quando ele sai do telhado? (b) A parede extern a da
casa tern 5,0 m de altura. A que distancia da beira do telhado 0 cilin
dro atinge 0 solo?
15P*. Urn aparelho para testar a resistencia dos pneus de automovel
numa derrapagem e construfdo como mostra a Fig. 12-32. Inicialmen
te, 0 pneu esta parado, preso a uma estrutura de massa desprezfvel
pivotada no ponto B. 0 momento de inercia da roda em torno do seu
eixo e de 0,750 kg·m', sua massa e de \5,0 kg e 0 seu raio e de 0,300 m.
o pneu pode rodar livremente em torno do ponto A. Ele e colocado so
bre a superffcie de uma esteira rolante que se move com velocidade
superficial de 12,0 mls. (a) Se 0 coeticiente de atrito cinetico entre 0
pneu e a esteira for igual a 0,60 e se 0 pneu nao balanyar, qual sera 0
tempo necessario para que aroda alcance sua velocidade angular final?
(b) Qual sera 0 comprimento da marca de derrapagem sobre a superff
cie da esteira?
Fig. 12-32 Problema 15.
Seyao 12-2 0 Joio
16E. Urn ioi6 possui momento de inercia de 950 g'cm' e massa de 120
g. 0 raio do seu eixo e de 3,2 mm e 0 comprimento do fio e de 120 cm.
Ele rola ate 0 final do fio, partin do do repouso. (a) Qual ea sua acelera
yao? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao tinal do fio? Quando chega
ao final do tio, quais sao (c) sua velocidade linear, (d) sua energia cine
tica de translayao, (e) sua energia cinetica de rotayao e (f) sua velocida
de angular?
17P. Suponha que 0 ioi6 do Exercfcio 16, em vez de rolar a partir
do repouso, Fosse atirado para baixo com velocidade inicial de 1,3
m/s. Qual seria a sua velocidade angular quando chegasse ao final
do fio?
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 289
Seyao 12-3 Torque Revisitado
4l18E. Sendo r = xi + yj + zk e F = Fxi + F,j + F,k, mostre que 0 tor
.que T = r X F e dado por
T = (yF, - zFy)i + (zFx - xF,)j + (xF, - yFx)k
19E. Mostre que , se reF estao num dado plano, 0 torque T = r X F
nao possui componente naquele plano.
20E, Quais sao 0 modulo, a direyao e 0 senti do do torque em tomo da
origem que a forya F exerce sobre uma ameixa de coordenadas (- 2,0
m; 0; 4,0 m), sendo que a unica componente de F e(a) F, = 6,0 N, (b)
F, = - 6,0 N, (c ) F, = 6,0 N e (d) F, = - 6,0 N?
21E. Quais sao 0 modulo, a direyao e 0 sentido do torque em torno da
origem exercido sobre uma partfcula de coordenadas (0; - 4,0 m; 3,0
m), pela forya (a) Flo de componentes Fi x = 2,0 N, e Fl>' = F I , = 0, e (b)
F" de componentes FJx = 0, F'r = 2,0 N e F" = 4,0 N?
22P. A forya F = (2,0 N)i - (3,0 N)k atua sobre uma pedrinha cujo
vetor posiyao er = (0,50 m)j - (2,0 m)k, em relayao 11 origem. Qual e
o torque resultante exercido sobre a pedrinha em torno (a) da origem e
(b) de urn ponto de coordenadas (2,0 m; 0; - 3,0 m)?
23P. Qual e 0 torque em tomo da origem exercido sobre urn grao de
areia situado nas coordenadas (3,0 m; - 2,0 m; 4,0 m) devido (a) II for
ya FI = (3,0 N)i - (4,0 N)j + (5,0 N)k, (b) ilforya F 2 = (- 3,0 N)i
(4,0 N)j - (5 ,0 N)k e (c) 11 resultante de FI e F,? (d) Repita (c) para urn
ponto de coordenadas (3,0 m; 2,0 m; 4,0 m) em vez da origem.
24P. Qual e 0 torque resultante, em torno da origem, aplicado a uma
pulga de coordenadas (0; - 4,0 m; 5,0 m) pelas foryas FI = (3,0 N)k e
F, = (- 2,0 N)j?
25P. A forya F = (- 8,0 N)i + (6,0 N)j atua sobre uma partfcula cujo
vetor posiyao e r = (3,0 m)i + (4,0 m)j. Quais sao (a) 0 torque aplicado
apartfcula, em torno da origem e (b) 0 angulo entre reF?
Seyao 12-4 Momento Angular
26E. Urn aviao de 1.200 kg voa em linha reta a uma velocidade de 80
mis, numa altitude de 1,3 km. Qual e 0 modulo do seu momento angu
lar em relayao a urn ponto situado no solo, diretamente abaixo da traje
toria do aviao?
.. 27E. Dois objetos estao se movendo como mostra a Fig. 12-33. Qual e
o seu momento angular total em tomo do ponto O?
'r".;'
-d
3,6 mist1,5m
o 2,8 m 3,1 kg1
Fig. 12-33 Exercfcio 27.
28E, Uma partfcula P, de massa igual a 2,Q kg, tern vetor posiyao r (r =
3,0 m) e velocidade v (v = 4,0 mls), como mostra a Fig. 12-34. Sobre
ela atua uma forya F (F = 2,0 N). Todos os tres vetores estao no plano
.>y. Quais sao (a) 0 momento angular da partlcula e (b) 0 torque exerci
do sobre ela, em torno da origem? .
290 MECANICA
Fig. 12-34 Exercfcio 28.
29E. Sendo dados T,p e q" podemos calcular 0 momento angular de uma
particula aplicando a Eq. 12-26. Entretanto, as vezes temos, em vez dis
so, as componentes (x, y, z) de r e (vn v,, v) de v. (a) Mostre que as
componentes de eao Iongo dos eixos x, y e Z sao dadas por
ex = m(yv, - zVy) ,
ey = m(zvx - xv,)
e, = m(xvy - YVx)
(b) Mostre que, se a panfcula se mover apenas no plano xy, 0 vetor
momento angular possuinl apenas a componente z.
30E. Num ceno instante de tempo, 0 vetor posi,ao, medido em metros,
de urn objeto de massa igual a 0,25 kg, e r = 2,Oi - 2,0k. N aquele ins·
tante, a velocidade do objeto, em metros por segundo, e v = - 5,Oi +
5,Ok, e a for,a que atua sobre ele, em Newtons, e F =4,0j. (a) Qual eo
momento angular do objeto em torno da origem? (b) Qual e 0 torque
que atua sobre ele? (Sugesriio: Veja os Exercicios 18 e 29.)
" 31P. Calcule 0 momento angular, em torno do centro da Terra, de uma
pessoa de 84 kg que esteja sobre 0 equador.
032P. Mostre que 0 momento angular, em torno de urn ponto qualquer,
de uma unica partfcula que se move com velocidade constante, perma·
nece invariavel durante todo 0 movimento.
33P. Duas partfculas, cada uma com massa m e velocidade v , movem·
se em sentidos opostos ao longo de linhas paralelas, separadas por uma
dis tan cia d. Encontre uma expressao, em termos de tn, ve d, para 0
momento angular total do sistema em torno de uma origem qualquer.
34P. Urn objeto de 2,0 kg se move num plano com velocidade de com·
ponentes Vx = 30 mJs e v, = 60 mJs, ao passar pelo ponto (x, y) = (3,0;
- 4,0) m. (a) Qual eo seu momento angular em rela,ao a origem neSse
instante? (b) Qual e 0 seu momento angular em rela,ao ao ponto (
2,0; - 2,0) nesse mesmo instante?
35P. (a) Use os dados fornecidos nos apendices para calcular 0 momento
angular total de todos os planetas devido as suas revolu,6es em torno
do Sol. (b) Que fra,ao desse momento angular esta associ ada ao plane·
ta Jupiter?
Se,ao 12-5 Segunda Lei de Newton na Forma Angular
36E. Uma partfcula de 3,0 kg esta nas coordenadas x = 3,0 m, y = 8,0
m, com velocidade v = (5 ,0 mJs)i - (6,0 mJs)j . Sobre ela atua uma for·
,a de 7,0 N que aponta
no sentido negativo de x. (a) Qual e 0 momento
angular da particula? (b) Qual eo torque que atua sobre ela? (c) Qual e
a taxa de varia,ao do seu momento angular, em rela,ao ao tempo?
37E. Uma panicula sofre a a,ao de dois torques em torno da origem: T,
tern m6dulo igual a 2,0 N:m e aponta no sentido crescente de x, e T, tern
m6dulode 4 N'm e aponta nO sentido decrescente de y. Quais sao 0 mOdulo,
a dire,ao e 0 sentido de detdr, onde ee0 momento angular da partfcula?
38E. Qual e 0 torque, em torno da origem, que atua sobre uma partfcula
que se move no plano xy, se esta possuir os seguintes valores de mo·
mento angular em tome da origem:
(a) - 4,0 kg · mo/ s, (c) - 4,0v'i kg·m'ls,
(b) - 4,Ot2 kg' m"/s, (d) - 4,0/t' kg ' m'ls,
39E. Urn carro de brinquedo de 3,0 kg move· se sobre 0 eixo x com ve·
locidade v = - 2,0t' mJs ao longo daquele eixo. Para t > 0, quais sao (a)
o momento angular do carro e (b) 0 torque que atua sobre ele, ambos
em rela,ao a origem? (c) Repita (a) e (b) para urn ponto de coordenadas
(2 ,0 m; 5,0 m; 0), em vez da origem (d) Repita (a) e (b) para urn ponto
de coordenadas (2,0 - 5,0 m), em vez da origem.
40P. No instante r = 0, uma partfcula de 2,0 kg tern vetor posi,ao r =
(4,0 m)i - (2,0 m)j , relativamente a origem. Sua velocidade e dada por
v =. (-6,01" mJs)i + (3 ,0 mJs)j. Relativamente a origem,'e para t > 0,
quais sao (a) 0 momento angular da panfcula e (b) 0 torque que atua
sobre ela? (c) Repita (a) e (b) para urn ponto de coordenadas (- 2,0 m;
- 3,0 m; 0), em vez da origem.
41P. Urn projetil de massa tn eatirado do chao com velocidade inicial
110 e a urn angulo inicial eo, acima da horizontal. (a) Encontre uma ex·
pressao para 0 seu momento angular em torno do ponto de lan,amento
e como uma fun,ao do tempo. (b) Determine a taxa de varia,ao do
momento angular com 0 tempo. (c) Calcule r x F diretamente e com·
pare 0 resultado com (b). Por que os resultados devem ser identicos?
Seyao 12-7 Momento Angular de urn Corpo Rfgido que Gira em
Torno de urn Eixo Fixo
42E. Urn disco de lixa com momento de inercia igual a 1,2 x 10-.1 kg'm'
epreso a uma furadeira eletrica cujo motordesenvolve urn torque de 16
N·m. Determine (a) 0 momento angular e (b) a velocidade angular do
diSCO, 33 ms depois que 0 motor e ligado.
43E. 0 momento angular de urn volante, que possui momento de iner·
cia igual a 0,140 kg'm' , decresce de 3,00 para 0,800 kg·m'/s em 1.50 s.
(a) Qual e 0 torque medio que atua sobre 0 volante durante esse perfo·
do? (b) Supondo que a acelera,ao angular seja uniforme, qual foi 0 an·
gulo girado pelo volante? (c) Qual 0 valor do trabalho realizado sobre
ele? (d) Qual ea sua potencia media?
44E. Tres paniculas, cada uma de massa tn, sao presas umas as outras e
a urn eixo de rota,ao por tres cord6es sem massa, cada urn de compri·
mento I, como mostra a Fig. 12-35.0 conjunto giraem torno do eixo de
rota,ao em 0 com velocidade angular w, de tal forma que as panfculas
m
Fig. 12-35 Exercfcio 44.
permanecem numa linha reta. Quais sao, em termos de 111, lew e relati·
vamente ao ponto 0, (a) 0 momento de inercia do conjunto, (b) 0 mo·
mento angular da partfcula do meio e (c) 0 momento angular total das
tres partfculas?
i
45E. Uma barra unifonne gira num plano horizontal, em torno de urn
eixo vertical que passa por uma de suas extremidades. A barra tern 6,00
m de comprimento, pesa' I 0,0 N e gira a 240 r.p .m., em sentido horario,
vista de cima. Calcule (a) 0 mom en to de inercia da barra em torno do
eixo de rotayao e (b) 0 momento angu lar da barra.
46P. As rodasA e B da Fig. 12-36 estao conectadas por uma correia que
nao desliza. 0 raio da roda B e tres vezes maior do que 0 da A. Qual
seria a razao entre os momentos de inercia ii i. , se (a) am bas tivessem
o mesmo momenta angular e (b) ambas tivessem a mesma energia ci
netica de rotayao?
Fig. 12-36 Problema 46.
47P. Uma forya impulsiva F(r) atua durante urn curto intervalo de tem
po (j.r sobre urn corpo rigido que possui momento de inercia [e que esta
gi rando. Mostre que
JT dt = PR«(j./) = [(wI - w,)
on de Reo brayo de alavanca da forya, F e 0 valor medio da forya ,
durante 0 tempo em que ela atua sobre 0 corpo, e w, e w, sao as veloci
dades angulares do corpo imediatamente antes e depois que a forya atua.
[A grand~ah dl = FR( (j.1) e denominada impulso angular, em analo
gia com F((j.r) , 0 impulso linear.)
48P*. Dois cili ndros de raios R, e R, e momentos de inercia [, e i" res
pecti vamente, sao sustentados por eixos perpendiculares ao plano da Fig.
12-37.0 ci lindro grande roda inicialmente com velocidade angular Woo
o cilindro menore empurrado para a direita ate tocaro maior, e comeya
a girar pela ayao da forya de atrito entre os dois. Finalmente, 0 desliza
mento cessa e os dois giram com velocidades constantes, em sentidos
opostos. Detennine a velocidade angular tinal w, do cilindro menor, em
tennos de i " i" Rio R, e Wo . (SugesIGo: Nem 0 momento angular, nem a
energia cinetica sao conservados. Aplique a equayao do impulso angu
lar apresentada no Problema 47.)
II ~Wo
12,
~ ~ , i
Fig. 12-37 Problema 48.
49P*. Umjogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e
raio R = I I cm na pista, com velocidade inicial Vo = 8,5 mls. A bola e
arremessada de tal maneira que desliza uma certa distancia antes de
comeyar a rolar. Ela nao esta girando quando atinge a pista, sendo 0 seu
movimento puramente translacional. 0 coeficiente de atrito cinetico entre
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 291
ela e a pista e igual a 0,21. (a) Por quanta tempo a bola desliza? (Suges
rGo: Enquanto ela desli za, sua velocidade v diminui e a angu lar w au
menta ate que 0 deslizamento cessa e ela comeya a rolar.) (b) Qual a
distlincia que ela desli za na pista? (c) Quantas revoluyoes faz antes de
comeyar a rolar? (d) A que velocidade esta se movendo quando corney a
a rolar? (e) A resposta ao item (d) depende de M, R ou L\)? Explique.
Seylio 12-9 Conservay3o do Momento Angular: Alguns Exemplos
50E. 0 rotor de urn motor eletrico tern momenta de inercia i", = 2,0 x
10-) kg·m' em torno do seu eixo central. 0 motor e usado para mudar a
orientayao da sonda espacial na qual esta instalado. 0 eixo do motor e
montado paralelamente ao eixo da sonda, que tern momento de inercia
i , = 12 kg·m' em tome do seu eixo. Calcule 0 numero de revoluyoes do
rotor necessarias para fazer a sond a girar urn lingulo de 30° em torno do
seu eixo.
51E. Urn homem esu\ de pe sobre uma plataforma sem atrito que gira
com velocidade angular de 1,2 r.p.s.; seus brayos estao abertos e ele
segu ra urn peso em cad a mao. Nesta posiyao, 0 momenta de inercia do
sistema composto pelo homem, os pesos e a plataforma e igual a 6,0
kg·m'. Se, ao mover os pesos, 0 homem fizer 0 momento de inercia do
sistema diminuir para 2,0 kg·m', (a) qual sera a velocidade angular da
plataforma e (b) qual sera a razao entre a nova energia cinetica do siste
ma e 0 seu valor original ? (c) 0 que forneceu a energia cinetica adicional?
52E. Dois discos sao montados em mancais quase sem atrito, sobre urn
mesmo eixo e podem ser aproximados de modo a se acoplarem e girar
como urn disco unico. (a) 0 primeiro disco, com momento de inercia de
3,3 kg·m', e posto para girar a 450 r.p.m. 0 segundo. com mom ento de
inercia de 6.6 kg·m', a 900 r.p.m., no mesmo sentido do primeiro. Eles
sao, en tao, acoplados. Qual e a sua velocidade angular ap6s 0 acopla
mento? (b) Se 0 segundo disco girar a 900 r.p.m., em sentido oposto ao
do primeiro. qual sera a velocidade angular apcs 0 acoplamento?
53E. Uma roda gira livremente com velocidade angular de 800 r.p .m.,
num eixo cujo momento de inercia e desprezivel. Uma segunda roda,
inicialmente em repouso e que possui 0 dobro do momenta de inercia
da primeira, e subitamente acoplada
ao mesmo eixo. (a) Qual a veloci
dade angular do conjunto fonnado pelo eixo e as duas rodas? (b) Que
frayao da energia ci netica rotacional original e perdida?
54E.O momenta de inercia de uma estrela girando que esta em colapso
cai a urn teryo do seu valor inicial. Qual e a razao entre a nova energia
cinetica de rotayao e 0 valor inicial ?
SSE. Suponha que 0 combustivel nuclear do Sol se extinga e ele, subi
tamente, entre em colapso fonnando urn tipo de estrela denominada ana
branca, com urn dilimetro igual ao da Terra. Supondo que nao houvesse
perda de massa, qual seria 0 novo periodo de rotayao do Sol (tempo
necessario para uma rotayao) , que atualmente e de cerca de 25 dias?
Suponha que 0 Sol e a ana branca sejam esferas s61idas uniformes.
56E. Num playground, h3 urn pequeno carrossel de 1,20 m de raio e
massa igual a 180 kg. Seu raio de girayao (veja 0 Problema 58 do Cap.
I I) e igual a 91 .0 cm. Uma crianya, de massa igual a 44,0 kg, corre a
uma velocidade de 3,00 m/s. numa trajet6ria tangente 11 borda do
carrossel. que inicialmente esta em repouso, e pula sobre ele. Despreze
qualquer atr ito entre os mancais e 0 eixo do carrossel. Calcule (a) 0
momenta de mercia do carrossel em tomo do seu eixo de rotayao ; (b) 0
momenta angular da crianya, enquanto COrre em torno do eixo de rota
yaO do carrossel; e (c) a velocidade angular do carrossel e da crianya
depois que esta so be no brinquedo.
57P. Uma roda de bicicleta com centro e raios de massa desprezivel tern
urn aro fino de raio igual a 0,35 m e peso de 37, 19 N; ela gira no seu
eixo com atrito desprezivel. Urn homem segura aroda acima da cabeya
com 0 eixo na vertical. de pe sobre uma mesa girat6ria que pode rodar
Iivremente, sem atrito; aroda gira em senti do honirio, vista de cima, com
292 MECANICA
velocidade angular de 57,7 r/ulls, e a mesa esta inicialmente em repou
so. 0 momento de inercia do sistema roda + homem + mesa em tomo
do eixo de rotayao ede 2,09 kg·m'. 0 homem, repentinamente; inter
rompe com a mao a rota~ao da roda (em relayao amesa). Determine a
velocidade angular resultante do sistema (m6dulo, dire9ao e sentido).
S8P. Duas patinadoras, cada uma com massa de 50 kg, aproximam-se
uma da outra em trajet6rias paralelas separadas por uma distancia de 3,0
m. Elas possuem velocidades de sentidos opostos e m6dulo igual a 1,4
mls. A primeira patinadora segura a extremidade de uma longa baliza
de massa desprezfvel , e a segunda agarra 0 outro extremo da baliza ao
passaro Veja a Fig. 12-38. Suponha que nao haja atrito com 0 gelo. (a)
Descreva de forma quantitativa 0 movimento das patinadoras, depois
que estao conectadas pela baliza. (b) Puxando esta, as patinadoras re
duzem a sua distancia para 1,0 m. Qual eagora a sua velocidade angu
lar? (c) Calcule a energia cinetica do sistema nos itens (a) e (b). (d) De
onde vern a energia cinetica adicional?
Fig. 12-38 Problema 58.
S9P. Duas crian9as, cada uma com massa M, sentam-se nos extremos
opostos de uma prancha estreita de comprimento L e massa M (igual a
das crian9as). A prancha e pivotada no centro e pode g.irar livremente,
sem atrito. num cfrculo horizontal. (Considere-a como se fosse uma haste
fina.) (a) Qual e 0 momentode imlrcia do sistema formado pela prancha
e as crianyas, em tomo de urn eixo vertical que passa pelo centro da
prancha? (b) Qual e 0 momento angular do sistema se ele roda com
velocidade angular Wo em sentido horiirio, visto de cima? Quais silo a
dire9ao e 0 sentido do momento angular? (c) Enquanto 0 sistema esta
rodando, as crian9as puxam uma aoutra em dire9ao ao centro, ate fica
rem sentadas na metade da distancia ao centro que tinham inicialmente.
Qual e a nova velocidade angular, em termos de Wo? (d) Qual ea mu
dan9a sofrida pel a energia cinetica do sistema como resultado da mu
·dan~a de posi~ao das crian9as? (De onde vern a energia cinetica
adicional?)
60P. Urn trilho de trem de brinquedo emontado sobre uma roda grande
que pode girar Iivremente, com atrito desprezivel, em tomo de urn eixo
vertical (Fig. 12-39). Urn trell) de brinquedo de massa m e colocado sobre
o trilho e, estando 0 sistema inicialmente em repouso, a eletricidade e
ligada. 0 trem atinge uma velocidade con stante V relativamente ao tri
tho. Qual Ii a velocidade angular w da roda, sendo sua massa igual aM
e 0 seu raio igual a R? (Considere a roda como urn anel e despreze a
massa dos raios e da engrenagem.)
Fig. 12-39 Problema 60.
61P. Uma barata de massa m corre em sentido anti-horario na borda de
urn prato girat6rio (prato circular montado sobre urn eixo vertical) de
raio R e momento de inercia I, montado em mancais sem atrito. A velo
cidade da barata (em rela~ao ao solo) e v, enquanto 0 prato gira em sen
tido horiirio com velocidade angular Wo. A barata encontra urn peda90
de pao na borda do prato e para. (a) Qual e a velocidade angular do pra
to girat6rio depois que a barata para? (b) A energia meciinica econser
vada?
62P. Uma menina de massa M est<! de pe sobre 0 aro extemo de urn
carrossel sem atrito, de raio R e momento de inercia I, que nao esta em
movimento. Ela atira uma pedra de massa m, horizontalmente, numa
dire9ao que etangente aborda do carrossel. A velocidade da pedra, em
rela9ao ao chilo, eV. Depois disso, quais sao (a) a velocidade angular
do carrossel e (b) a velocidade linear da menina?
63P. Se as calow polares da Terra se derretessem e a agua retomasse
aos oceanos, a profundidade destes aumentaria cerca de 30 m. Que efeito
isto teria sobre a rota9ao da Terra? Fa~a uma estimativa aproximada da
mudan~a na dura9aO do dia. (Teme-se que 0 aquecimento da atmosfera,
resultante da polui9ao industrial, possa causar 0 derretimento das calo
tas polares.)
64P*. A partfcula de massa m, mostrada na Fig. 12-40, desliza sobre
uma superffcie sem atrito e colide com uma barra vertical uniforme, fi
cando presa a ela. A barra oscila em tomo de 0 , fazendo urn Angulo ()
antes de alcan9ar 0 repouso, temporariamente. Encontre 0 valor de () em
termos dos outros parametros dados na figura.
o
;
"
.
.1;
!~
Fig. 12-40 Problema 64.
6SP* Duas bolas de 2,00 kg cada sao presas as extremidades de uma
barra fina de massa desprezfvel, de 50,0 cm de comprimento. A barra
pode girar livremente, sem atrito, num plano vertical, em tomo de urn
eixo horizontal que passa pelo seu centro. Enquanto a barra esta na ho
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 293
rizontal (Fig. 12-41), uma bolota de massa de vidraceiro de 50,0 g cai
sobre uma das bolas com velocidade de 3,00 mls e fica grudada a ela.
(a) Qual e a velocidade angular do sistema, logo ap6s ser atingido pela
massa de vidraceiro? (b) Qual e a razao entre a energia cinetica do sis
tema inteiro ap6s a colisao e a energia cinetica da bolota de massa de
vidraceiro, pouco antes da colisao? (c) Qual sera 0 fingulo em que 0 sis
tema ira girar ate parar temporariamente?
Massa de vidraceiro
Eixo de rota9ao "\ !
" . \)
Fig. 12-41 Problema 65.
Se.,ao 12-10 Precessiio de urn Giroscopio (Opcional)
66E. Urn piao gira a 30 r.p.s. em torno de urn eixo que faz urn angulo de
30° com a vertical. Sua massa e de 0,50 kg e 0 seu momento de inercia
em torno do eixocentral 6de 5,0 x 10-4 kg·m'. 0 centro de massa dista
4,0 cm do ponto de contato entre 0 piao e 0 chao. Se a rotayao, vista de
cima, tiver sentido honirio, quais serao 0 m6dulo, a direyao e 0 sentido
da velocidade de precessao?
67P. Urn girosc6pio consiste de urn disco girat6rio uniforme, de 50 cm
de raio, convenientemente montado no centro de urn eixo de 12 cm
de comprimento (de massa desprezivel), de modo que 0 girosc6pio
possa girar e precessar livremente. Sua velocidade de rotayao e de
1.000 rpm. Encontre a velocidade de precessao (em rpm), sabendo que
o eixo e sustentado em uma das extremidades e esta na posiyao
hori
zontal.
PROBLEMAS ADICIONAIS
68. Uma baste fina e uniforme de 0,50 m de comprimento e 4,0 kg de
mass a pode rodar num plano horizontal, em torno de urn eixo vertical
que passa pelo seu centro. A haste esta em repouso quando uma bala de
massa igual a 3,0 g, movendo-se no mesmo plano horizontal, atinge uma
de suas extremidades. Visto de cima, 0 senti do da velocidade da bala
faz urn lingulo de 60' com a haste (Fig. 12-42). Sabendo-se que a bala se
aloja na haste e que a velocidade angular desta 6 de 10 rad/s, imediata
mente apOs 0 impacto, qual e 0 m6dulo da velocidade da bala pouco antes
do impacto?
Eixo
1
Fig. 12-42 Problema 68. A haste, vista de cima.
69. Uma plataforma horizontal, com 0 formato de urn disco, roda sobre
urn mancal sem atrito, em torno de urn eixo vertical que passa pelo cen
tro do disco. A massa da plataforma ede ISO kg, seu raio e de 2,0 m e 0
seu momenta de inercia em torno do eixo de rotayao e de 300 kg· m'.
Uma estudante de 60 kg caminha lentamente da borda para 0 centro da
plataforma. Se a velocidade angular do sistema for igual ai,S rad/s,
quando a estudante comeyar a an dar, qual sera a velocidade angular
quando ela estiver a 0,50 m do centro? (Sugesliio: Use 0 principio da
conservayao do momenta angular.)
70. Uma forya horizontal constante de 10 N 6 aplicada a uma roda de
massa igual a 10 kg e raio de 0,30 m, como mostra a Fig. 12-43. Aroda
gira sem deslizar sobre uma superficie horizontal e a acelerayao do seu
centro de massa e de 0,60 mls'. (a) Quais sao 0 m6dulo, a direyao e 0
sentido da forya de atrito que atua sobre a roda? (b) Qual e 0 momento
de inercia desta, em torno de urn eixo que passa pelo seu centro de mas
sa e 6 perpendicular ao seu plano?
Fig. 12-43 Problema 70.
71. Uma particula de massa igual a 0,80 kg esta situada na posiyao r =
(2,0 m)i + (3,0 m)j. 0 momenta linear da particula esta no plano xy,
seu m6dulo e igual a 2,4 kg·mls, e sua direyao faz urn lingulo de 115°,
medidos em senti do anti-horano, com 0 eixo x. Qual e 0 momenta an
gular da particula em torno da origem, expresso em termos dos vetores
unitarios do sistema de coordenadas?
72. Urn disco fonograflco, de massa igual a 0,10 kg e raio de 0,10 m,
gira em torno de urn eixo vertical que passa pelo seu centro com veloci
dade angular de 4,7 rad/s. Seu momenta de inercia em torno do seu eixo
de rotayao e igual a 5,0 x 10-4 kg·m'. Urn pedayo de massa de vidra
ceiro de massa igual a 0,020 kg cai vertical mente sobre ele e fica gruda
do em sua borda. Qual e a velocidade angular do disco, imediatamente
apOs a massa de vidraceiro aderir a ele?
73. Uma esfera oca, de massa igual a 3,0 kg e raio de 0,15 m, com mo
mento de inercia 1 = 0,040 kg·m' em torno do seu centro de massa, rola
sem deslizar, subindo urn plano inclinado a 30° com a horizontal. Numa
certa posiyao inicial, a energia cindiea total da esfera e igual a 20 J. (a)
Quanto da sua energia cinetica inicial e rotacional? (b) Qual e a veloci
dade do centro de massa da esfera na posiyao inicial? Quais sao (c) a
energia cin,etica total da esfera e (d) a velocidade do seu centro de mas
sa, depois que ela ja subiu 1,0 m ao longo do plano inclinado, a partir de
sua posiyao inicial?
A Dan~a e a Mecanica das
Rota~oes
KENNETH LAWS
DICKINSON COLLEGE
Os bailarinos, quando se apresentam no palco,
movimentam-se numa extraordinana varieda
de de formas - algumas graciosas em sua sim
plicidade, outras estonteantes na sua ath:tica
complexidade. Alguns movimentos ou po
sivOes podem ate inspirar a reavao: "Puxa! Isto
parece impossivel
'
" De fato, os bailarinos exe
cutam freqilentemente movimentos que nos
deixam maravilhados, parecendo ate violarem,
as vezes, as leis da Fisica. Esta observavao,
porem, requer uma analise mais detalhada l
o corpo humane em movimento nao e urn
objeto rigido cujas dimensoes e configuravoes
sejam constames e facilmente mensuf:lveis. En
tretanto, alguns movimentos do "vocabuHirio"
da danva podem ser descritos de modo sufi
cientemente rigoroso para nos permitir aplicar
os principios da meciinica c1assica ao corpo em
movimemo no espavo, sob a influencia da for
va gravitacional, entre outras.
Uma categoria particularmente interessan
te de movimentos de danva envolve a rotavao
- voltas no chao ou no ar, rota\ioes em torno
de eixos verticais, horizontais ou inc1inados, e
rotavoes diversas nas quais se cria a ilusao de
realizar 0 impossivel. A base para uma analise
das rotavoes e a relavao entre 0 torque e 0 mo
mento angular. Por exemplo, de que modo urn
bailarino consegue 0 torque sobre seu corpo ne
cessario para iniciar uma pirouette (pirueta
rotavao em tome de urn eixo vertical, em que
urn dos pes emantido no chao)? Ou como se
consegue fazer urn saito com giro, em que pa
rece que 0 corpo s6 comeva a girar depois de
deixaro solo? Como urn bailarino(ou patinador
do gelo) con segue alterar sua velocidade de
rotavao durante 0 movimento?
o bailarino geralmente inicia umapirouette
com ambos os pes no chilo, urn atras do outro
(Fig. I). Empurrando lateralmente, com urn dos
pes em urn sentido e 0 OUlro no senti do oposto,
produzem-se duas forlias iguais e opostas que
atuam contra 0 solo, tendo uma distancia per
pendicular d entre elas (Fig. 2). As for\ias cor
respondentes, exercidas pelo chao sobre os pes,
produzem urn torque sobre 0 corpo, que faz
com que ele adquira momento angular. Quan
do 0 bailarino se eleva sobre urn dos pes para a
posiliao normal de pirouette (Fig. 3), existe uma
. rotavao resultante cuja velocidade e deter
minada pela magnitude do torque, por sua du
ravao e pelo momento de inercia do corpo na
sua configuravao de rotavao. (Veja as Eqs. 12
37 e 12-39.) Observe que, como nao h3 forva
resultante horizontal, 0 corpo nao possui ace
leravao linear.
A magnitude do torque depende da magni
tude das forvas e da separavao dos pes. Esta
Fig. 1 Posivao de preparavao para uma
pirouette.
separavao e, em geral, de meio metro, mas pode
ate ser de apenas alguns poucos centfmetros,
numa preparavao para a "quinta posivao" , na
qual os pes estiio bern pr6ximos urn do outro e
antiparalelos. Neste caso, geralmente se obser
va que 0 bailarino "da corda" com os bravos,
fazendo com que eles comecem a rodar antes
que 0 resto do corpo suba para a posivao de
pirouette. Este procedimento de dar corda ser
ve para permitir que algum momento angular
fiq ue armazenado nu rna parte do corpo que
esteja em rotavao os bravos enquanto os
F
I
I
I
:d
I
I •
I '
. . . . F ~
Fig. 2 Forps aplicadas ao chao pel os pes. As
forps de reaviio exercidas peJo chao sobre os
pes produzem urn torque que gera a aceleraliao
angular necessaria para a execuvao de uma
pirouette.
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 295
pes ainda estiio plantados no chao e em condi
~oes de exercer for~as sobre ele. Aumentando
a dura~ao do torque aplicado, compensa-se a
sua menor intensidade, que ad vern da pequena
separa~ao entre os pontos de aplica~ao das for
~as, permitindo assim atingir urn momento
angular final de valor significati yo.
Uma vez que a magnitude do torque e a sua
dura~ao tenham side estabelecidos, a velocidade
de rota~ao edeterminada pelo momento de iner
cia do corpo. Numa posi,ao normal de pirouette,
como mostra a Fig. 3, 0 momento de inercia e
pequeno e e possivel alcan,ar-se velocidades
angulares substanciais - as vezes supenores a
duas revolu,oes por segundo. Voltas do tipo
Arabesque ou grandes pirouelles, nas quais uma
perna e estendida para tras ou para 0 lado, res
pectivamente, sao rota,6es mais lentas porque 0
momento de inercia do corpo nessas configura
,6es e consideravelmente maior. Alterando a
distribui~ao da massa corporal em rela,ao ao
eixo de rota~ao , 0
bailarino pode modificar sua
ve locidade angu lar durante a rota~ao . Urn
patinador do gelo, por exemplo, au menta a ve
locidade angular durante a execu,ao de uma
pirouette trazendo os bra,os e a perna livre para
junto do eixo de rota,ao.
Suponha que dois bailannos executem uma
pirouelle com a mesma musica (mesmo ntmo
e, deste modo, acelera,oes angulares iguais),
mas que urn deles seja 15% maior que ooutro,
em cada uma das dimensOes lineares . Observe
que 0 volume de urn bai larino e, portanto a sua
massa, depende do cubo da dimensao linear,
enquanto 0 momenta de inercia do corpo de
pende do quadrado da distilncia de cad a ele
mento de massa ao eixo de rota,ao.
Questao 1
Qual e 0 torque adicional necessario para 0
bailarino maior iniciar a pirouette, em rela9QO
ao men or?
Fig. 3 Posi,ao de pirouette de urn bailanno
durante a rota,ao.
Fig. 4 Uma pirouelle executada com 0 auxflio
de urn parceiro, dita "com apoio".
Agora, tenha em mente que, na posi,ao de pre
para,ao antes de iniciar a rota,ao, os pCs do
bailarino maior estarao 15% mais afastados.
Questao 2
o quanto maior e a Jor9a horizontal entre os
pes e 0 chao que 0 boi/orino maior preciso
exercer a Jim de realizar 0 pirouette, em re
ll1{'QO 00 menor?
Uma situa,ao interessante ocorre quando 0
torque para uma pirouelle e ap licado pelas
maos de urn parceiro, ao inves do chao. Tais
pirouelles "com apoio", comuns no bale chis
sico, sao geralmente executadas como mostra
a Fig. 4. Suponha que a mulher esteja na posi
,ao para essa pirouette, preparando-se para
uma rota,ao para a direita. Se 0 seu parceiro
ten tar iniciar 0 giro puxando-a para tr~s com sua
mao direita e empurrando-a para a frente com
a esquerda, ela i r~ girar, mas seu corpo fara uma
rota,ao de ilngulo considenivel antes que 0
torque tenha tido a chance de desenvolver
urn momento angular expressivo. Oeste modo,
a velocidade de rota,ao resultante sera peque
na.
Agora, suponha que, antes do bailarino apli
car 0 torque sobre a cintura da mulher, ela es
tenda sua perna direita para a fre nte e urn pou
co para a esquerda (croisej. Assim, quando ele
aplica 0 torque, a perna da bailarina se move
da frente para 0 lado direito. A perna reta, es
tendida horizontal mente, tern urn momento de
inercia que e igual a cerca de quatro vezes 0 do
corpo g irando na posi,ao de pirouelle. Oeste
modo. quando a perna esta girando, e la pode
ter uma quantidade substancial de momento
angul ar, enquanto 0 resto do corpo permanece
de fren te para a plateia. Assim, 0 intervalo de
tempo durante 0 qual 0 homem pode apl icar 0
torque sobre a cintura da sua parceira aumenta
consideravelmeme, gerando urn momento an
gular final signifi cativamente maior. Quando
a mulher fi nal mente movimenta sua perna di
reita da posi,ao lateral para a de pirouette. com
o pe sobre 0 joelho esquerdo, 0 momenta an
gular e transferido da perna que estava giran
do para 0 corpo como urn todo, produzindo uma
velocidade angular muito maior do que seria
possive1 obter sem a utiliza,ao da perna girante.
Outro movimento demonstra urn processo
similar envolvendo a transferencia de momen
to angular entre diferentes partes do corpo.
Uma sene de voltas do tipo Jouette, comumente
vistas no bale, represen ta urn movimento no
qual 0 estilo da dan,a e as propriedades meca
nicas que permitem a execu,ao suave do mo
vimento se ajustam perfeitamente. A Fig. 5
mostra uma dentre uma serie de JOUelleS . Esta
e uma forma de pirouette com repeti,ao, em
que uma vez em cada revolu,ao, quando 0 bai
lanno est ade frente para a plateia, a perna di
rei ta e mov ida da sua posi,ao de pirouelle , so
bre 0 joelho esquerdo, e levada it frente, de on de
gira esticada para 0 lado e, entao, retorna ao
joelho esquerdo. Durante esse tempo, 0 mo
mento angular da ro ta,ao e armazenado na
perna que esta gi rando, permitindo que 0 resto
do corpo fa,a uma pausa na sua rota,ao en
quanto esta de frente para 0 publico. Esta pau
sa tern dois propositos . Em primeiro lugar, ela
faz com que a forma do movimento seja com
patfvel com 0 estilo do bale ciassico, em que 0
corpo esta, geralmente, numa posi,ao "aberta"
para a plateia. Neste caso, uma parcela signifi
cativa do tempo total do gi ro e gasta com 0
corpo de frente para a plateia, entre rota,6es
sucessivas . Em segundo lugar, a pausa permi
te que 0 bail arino saia da posi,ao de ponta e
apoie 0 pe esquerdo, momentaneamente, no
chao. Nesta posi,ao, urn gi ro contra 0 chao,
com a planta do pC apoiada, pode produzir 0
torque necessario para repor 0 momento angu
lar perdido, durante a rota,ao anterior, pela
a,ao do atnto.
Vamos calcular a raziio entre 0 tempo que
o bailarino passa de frente para a plateia e 0
tempo gasto na rota~ao, em cada cicio do mo
vimento. Suponha que 0 momenta de inercia
do corpo que gira com veloc idade angular w,
na posi,lio normal de pirouette seja I , = 0,62
kg·m', e, para a perna que roda honzontalmente
com velocidade angular w" em torno de urn eixo
vertical que passa pelajunta do quadril , seja ,"
= 2,55 kg· m'. (Estes e outros dados numeri
cos, relativos ao corpo de urn bailarino, podem
ser encontrados no livro The Physics oj Dan
ce, de Kenneth Laws, Schirmer Books, 1984,
p. 137.) Se 0 momento angu lar perrnanecer
aproximadamente con stante durante urn cicio
completo do movimento e se as transi,oes en
tre as duas configura,6es forem breves , a ra
zao w,./wp podera ser calcul ada. A perna, du
rante sua fase ativa, ira girar de urn ilngulo de
aproximadamente 90°, mas 0 corpo, como urn
todo, devera girar 360°.
Questao 3
Calcule a raZQO elllre 0 tempo de pousa (per
na girondo ) e 0 tempo de giro.
Os saltos sao comuns no bale, e os saltos com
giros no ar sao particularmente impressionantes.
Urn tour jete e urn sal to com urn giro de 180° em
torno de urn eixo quase vertical, on de as pernas
296 MECANICA
(a) (6)
(c) (d) (.)
Fig. 5 Lisa de Ribere executando volleios emfoueue. Observe que ela gira muito pouco, enquanto que a perna concentra a maior parcela do momento
angular nas fotos (a), (b) e (e). 0 corpo, en tao, gira rapidamente em (d) e (e). enquanto a perna e mantida recolhida, onde 0 seu momenta de inercia
emenor.
se cruzam no ar, de modo que 0 bailarino inicia
o saito com uma perna e volta ao chao com a
pernaoposta. (Veja a Fig. 6.) 0 movimento sera
mais eficiente se a rota~ao aparentemente ocor
rer so depois que 0 bailarino sair do chao. Sera
que 0 corpo pode girar de modo a alterar sua
orienta~ao no espa~o , mesmo sem possuir mo
mento angular?
Realmente, rota~oes com momenta angular
zero sao possiveis. Observe que, quando 0 bai
larino deixa 0 chao (Fig. 6a), a perna esquerda
esta estendida para a frente , possuindo urn gran
de momento de inercia, pois esta longe do eixo
de rota9ao. Mas 0 tronco, a cabe9a, a perna di
reita e os bra90s estao proximos ao eixo de ro
ta9ao. Deste modo. a perna esquerda, com 0 seu
grande momenta de inercia, pode rodar urn an
gulo pequeno num dado senti do, enquanto 0
restante do corpo gira urn angulo grande - pro
ximo de 1800 - em sentido oposto, de modo
que a soma dos momentos angulares das duas
rota90es e igual a zero durante todo 0 proces
so. Depois que OCorre a rota9ao, as posi90es das
pernas sao invertidas, a perna esquerda descen
do para tocar 0 chao e a direita subindo para
uma posi9ao semelhante 11. que a esquerda ocu
pava no inicio, s6 que agora atras do corpo. A
rota93o completa OCorreu sem nenhum momen
to angular resultante.
Esses movimentos de giro - pirouettes,
pirouelles com apoio, rota90es fOuelle, tours
jetes - sao apenas uma pequena amostra do
variado vocabulario da dan9a. Quando assis
timos a uma apresenta9ao de bale, podemos
apreciar estes e outros movimentos mais pro
fundamente quando, aJem do senso estetico,
temos a compreensao do modo como os baila
rinos trabalham dentro das restri90es impostas
pelas leis da Fisica.
Uma Experiencia
Urn demi-fouette euma rota9ao com momenta
angular igual a zero que pode ser executada de
modo bern simples, e que demonstra 0 principio
descrito na analise do tour jete feita acima. Ini
ciando com os bra90s acima da cabe9a e a perna
esquerda estendida para a frente, eleve-se sobre
a panta do po! direi to e, enta~, gire a perna esquer
da para a esquerda, na horizontal, rapidamente,
levando-a para lras do corpo. Este movimento faz
com que 0 tronco, a cabe9a, os bra90s· e a perna
de apoio girem para a direita. Qual foi 0 iingulo
de rota9i10 da perna esquerda? E 0 iingulo de
ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 297
(a) (6)
(e) (d)
Fig. 6 Seqiiencia de posiyoes num tou, jete, executado por Sean Lavery.
rotayiio do restante do corpo? 0 que esses angu Como 0 atrito entre 0 pe de apoio e 0 chilo
Respostas das Questoes los revelam acerca do momento de inercia da per perturba 0 processo, urn modo melhor de rea
na que gira, que esta distante do eixo de rotayao. Iizar 0 movimento edar urn saIto no ar, a partir 1. Cerca de duas vezes mais'
em comparayao com 0 momento de inercia do da posiyao inicial descrita acima e, entao, rea 2,75%.
resto do corpo, que emantido 0 mais pr6ximo lizar os movimentos de rotayao, descendo ao 3. Aproximadamente I'possivel do eixo de rotayao? chilo com 0 mesmo pc!, ap6s a rotayao.Mais conteúdos dessa disciplina
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