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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #10
1. Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = |x2+x−1| de duas maneiras diferentes: quebrando
a func¸a˜o em duas partes; e fazendo a troca |x2 + x − 1| = √(x2 + x− 1)2. Qual e´ o
domı´nio de f
′
(x)?
2. Calcule as derivadas ate´ ordem 3 das func¸o˜es abaixo:
f(x) = x2|x|+ 1 g(x) =
{
x2 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1 h(x) =
(x− 3)√x− 1√
x− 2
3. Se f(x) = (x+ 1)(x− 1)−1 verifique que (1− x)f ′′(x) = 2f ′(x).
4. Se f e´ duas vezes diferencia´vel, verifique que (x2f
′
(x))
′
= 2xf
′
(x) + x2f
′′
(x).
5. Seja r > 0 e considere uma func¸a˜o f : (−r, r)→ R diferencia´vel.
(i) Se f(x) e´ ı´mpar, deduza que f
′
(x) e´ par;
(ii) Se f(x) e´ par, deduza que f
′
(x) e´ ı´mpar;
(iii) Se f(x) e´ perio´dica de per´ıodo p, o que se pode dizer de f
′
(x)?
6. Encontre (f−1)
′
(x) onde f : R→ R e´ dada por
f(x) =
arctgx se x < 1pix2/4 se 1 ≤ x ≤ 927pi√x/4 se x > 9
Deˆ uma resposta impl´ıcita e outra expl´ıcita.
7. Se f : R−{3/2} → R−{1/2} tem expressa˜o f(x) = (x+1)/(2x−3), calcule (f−1)′(x).
8. Idem quando f : (1/4,∞)→ (7/8,∞) e f(x) = 2x2 − x+ 1.
9. Idem quando f : (0,∞)→ (−1,∞) e f(x) = (x3 − 1)(x2 + 1)−1.
10. Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para calcular as derivadas da func¸a˜o y = f(x) em cada um
dos casos abaixo.
xsen y − y cosx = pi/2 √x+ y +√x− y = 6 3
√
y/x+ 3
√
x/y = 10
sen (xy + 51) + x arctg 2y = 4 6y sec3
√
x+
1
xy
= 0
√
2 +
√
3 + 3
√
y4 − 2 = x2
11. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto x0 = 1, sabendo-se
que f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o y3 + 2xy2 + x = 4.
12. Encontre todos os pontos da curva x2/3 + y2/3 = 8 onde a reta tangente tem coeficiente
angular −1.
13. O gra´fico de x2 − xy + y2 = 0 e´ uma elipse. Encontre os pontos (x, y) desta curva com
o maior e o menor valor para x. Repita as contas para o maior e menor valor para y
(fac¸a um desenho).
14. Encontre os pontos da curva (x2 + y2)2 = 2x2 − 2y2 onde as retas tangentes sa˜o hori-
zontais. Use derivac¸a˜o impl´ıcita
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