Lista16-SMA301

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Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #16
1. Nos itens abaixo use o teste da primeira derivada para determinar os ma´ximos e mı´nimos
relativos da func¸a˜o dada no domı´nio dado. Encontre ainda os pontos de ma´ximo e
mı´nimo absolutos.
f(x) = x3 − 6x2 + 12x− 7, [0, 7] g(x) = x3 − 3x + 5, [−4, 2]
h(x) = x +
1
x
, [1/2, 4] f(x) =
x + 4
x− 4 , [−1, 3]
g(x) = x
√
4− x2, [−2, 2] h(x) = x
x2 + 1
, [−3, 10]
f(x) = 3 + 2(x− 1)2/3, [0, 9] g(x) = x1/3(x− 2)1/3, [1, 4]
f(x) = x 3
√
3x− 4, [0, 4]
2. Use o teste da segunda derivada para identificar os ma´ximos e mı´nimos relativos das
func¸o˜es abaixo. Se esse teste na˜o funcionar, use o teste da primeira derivada.
f(x) = x3 − 3x + 2 g(x) = 10x
100 + x2
h(x) =
√
1− x2 + 1 + x
2
f(x) = 3
√
x− 1− 1 g(x) = x2 + 1
x2
h(x) =
3x + 1
x + 1
f(x) = (2− x)5 g(x) = x
3
3
√
4− x h(x) = arcsen x√
1 + x2
3. Nos itens abaixo, analise a concavidade do gra´fico das func¸o˜es dadas e encontre os
pontos de inflexa˜o.
f(x) = 2x3 − 7x2 + 8x− 10 g(x) = x + 1
x
h(x) = (x + 2)3/2 − 12
f(x) = (x− 3)1/5 g(x) = x4 − 4x3 + 8x + 2 h(x) = 3x + 2
x2
f(x) = 3
√
x− 4 4√x + 6 g(x) = x4/3 − 8x1/3 h(x) = −3x|x|
4. Verifique que, apesar de f
′′
(1) = 0, x = 1 na˜o e´ um ponto de inflexa˜o da func¸a˜o
f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 + 4x− 3. E´ mı´nimo ou ma´ximo relativo?
5. Verifique que o polinoˆmio f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0, tem um e somente um
ponto de inflexa˜o. Encontre-o.
6. Encontre a e b de modo que a func¸a˜o f(x) = ax3 + bx2 +x− 1 passe pelo ponto (−1, 1)
e tenha um ponto de inflexa˜o quando x = 2.
7. Deduza que se f(x) = ax3 + bx2 + cx+d tem um ponto de inflexa˜o em x = 0 e f(0) = 0
enta˜o f e´ ı´mpar.
8. Deduza que um polinoˆmio de grau 3 tem um u´nico ponto de inflexa˜o no qual a derivada
e´ zero se e somente se ele for da forma f(x) = a(x− b)3 + c.
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