Resumo_Series

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MAT 002 Ca´lculo 2 - UNIFEI Prof. Rodrigo
Crite´rios para testar convergeˆncia ou divergeˆncia de se´ries nume´ricas
1. Teste da divergeˆncia: lim
n→∞
an 6= 0 ou na˜o existe =⇒
∑∞
n=1 an diverge.
2. Teste da integral: f : [1,∞)→ R cont´ınua, positiva, decrescente e an = f(n).
� ∫∞
1
f(x) dx converge =⇒∑∞n=1 an converge
� ∫∞
1
f(x) dx diverge =⇒∑∞n=1 an diverge
3. Teste da comparac¸a˜o:
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn se´ries com termos positivos.
� ∑∞n=1 bn converge e an ≤ bn ∀ n =⇒∑∞n=1 an converge
� ∑∞n=1 bn diverge e an ≥ bn ∀ n =⇒∑∞n=1 an diverge
4. Teste da comparac¸a˜o do limite:
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn se´ries com termos positivos. Se
lim
n→∞
an
bn
= c > 0 (finito),
ambas as se´ries convergem ou divergem.
5. Teste da se´rie alternada: a se´rie
∑∞
n=1 (−1)n−1 an, com an > 0, an+1 ≤ an e limn→∞ an = 0 e´
convergente.
6. Teste da raza˜o e da raiz: considere a se´rie
∑∞
n=1 an e os limites
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L1, limn→∞ n√|an| = L2.
� L1 < 1 =⇒
∑∞
n=1 an converge absolutamente
� L1 > 1 ou na˜o existe =⇒
∑∞
n=1 an diverge
� L1 = 1 =⇒ teste da raza˜o na˜o e´ conclusivo
� L2 < 1 =⇒
∑∞
n=1 an converge absolutamente
� L2 > 1 ou na˜o existe =⇒
∑∞
n=1 an diverge
� L2 = 1 =⇒ teste da raiz na˜o e´ conclusivo