P2 - Aula Momento de In�rcia Simples

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Centro Federal de Educação Tecnológica – Celso Suckow da Fonseca – CEFET-RJ 
Departamento de Ensino Superior - DEPES 
Departamento de Engenharia Civil - DEPEC 
Prof. Marcelo de Jesus D.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
 O Momento de Inércia mede a distribuição de área, 
massa e peso de um corpo em torno de um eixo de rotação. 
O momento de inércia depende da geometria da peça e é 
frequentemente utilizado em Mecânica e Resistência dos 
Materiais. 
 
 Para representar o momento de inércia utilizamos a 
letra I (maiúscula) e subescrevemos a letra correspondente 
ao eixo de rotação. Por exemplo, se quisermos saber o 
momento de inércia de uma peça em relação ao eixo x, 
escrevemos: Ix 
 
 Analogamente, se quisermos saber o momento de 
inércia de uma peça em relação ao eixo y, escrevemos: Iy 
 
 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
 Se os eixos de rotação x ou y passarem 
respectivamente pela coordenada x ou y do CG da peça, 
escrevemos os momentos de inércia em relação aos eixos x e 
y da seguinte forma: Īx e Īy. 
 
 A determinação matemática do momento de inércia 
vem de cálculos de integrais. Entretanto, para figuras 
geométricas simples o momento de inércia é predeterminado 
e tabelado, e está disponível em quaisquer livros de estática. 
A unidade de medida de momento de inércia é mm4. 
 
 A seguir, seguem os momentos de inércia de figuras 
simples, tirado do livro Meriam & Kraige – pg. 483: 
 
 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
1) Superfície circular: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
2) Superfície semicircular: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
3) Superfície de um quarto de círculo: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
4) Setor circular: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
5) Superfície retangular: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
6) Superfície triangular: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
7) Superfície de um quarto de elipse: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
8) Superfície sob um arco parabólico: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
9) Superfície parabólica: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos: 
 
 É usado para encontrar o momento de inércia em relação a 
um eixo paralelo ao eixo do momento de inércia previamente 
calculado. 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
A = área da figura 
dx e dy = distâncias entre os eixos paralelos aos eixos x e y 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Temos também que: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Exemplo: Determine o Momento de Inércia em relação aos 
eixos x e y da figura a seguir: 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: Dividimos a peça em duas figuras simples, um 
retângulo e um triângulo. 
Primeiramente, calculamos o momento de inércia da 
peça em relação ao eixo x. 
 
Temos: 
Ix = Ixretângulo + Ixtriângulo 
 
Pela tabela, temos que: 
Īxretângulo = (b.h³)/12 
 
Īxtriângulo = (b.h³)/36 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Īxretângulo = [300.(600)³] / 12 = 54 x 10
8 
 
Īxtriângulo = [300.(600)³] / 36 = 18 x 10
8 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos, temos que: 
 
Ixretângulo = Īxretângulo + Aretângulo x dxretângulo² 
 
Ixtriângulo = Īxtriângulo + Atriângulo x dxtriângulo² 
 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Ixretângulo = 54 x 10
8 + (300)(600) x (600/2)² 
Ixretângulo = 216 x 10
8 
 
Ixtriângulo = 18 x 10
8 + (300)(600)/2 x [(2/3)(600)]² 
Ixtriângulo = 162 x 10
8 
 
 
Ix = Ixretângulo + Ixtriângulo 
 
Ix = 216 x 108 + 162 x 108 
 
Ix = 378 x 108 mm4 
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Momento de Inércia de Figuras
Simples e Compostas 
 
Solução: Agora, calculamos o momento de inércia da 
peça em relação ao eixo y. 
 
 
Temos: 
Iy = Iyretângulo + Iytriângulo 
 
Pela tabela, temos que: 
Īyretângulo = (b³.h)/12 
 
Īytriângulo = (b³.h)/36 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Īyretângulo = [(300)³.600] / 12 = 13,5 x 10
8 
 
Īxtriângulo = [(300)³.600] / 36 = 4,5 x 10
8 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos, temos que: 
 
Iyretângulo = Īyretângulo + Aretângulo x dyretângulo² 
 
Iytriângulo = Īytriângulo + Atriângulo x dytriângulo² 
 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Iyretângulo = 13,5 x 10
8 + (300)(600) x (300/2)² 
Iyretângulo = 54 x 10
8 
 
Iytriângulo = 4,5 x 10
8 + (300)(600)/2 x [300 + (300/3)]² 
Iytriângulo = 148,5 x 10
8 
 
 
Iy = Iyretângulo + Iytriângulo 
 
Iy = 54 x 108 + 148,5 x 108 
 
Iy = 202,5 x 108 mm4 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Exercício1: Determine o Momento de Inércia da figura a 
seguir. 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: Como ambas as figuras tem a origem dos eixos 
coordenados no CG da figura, basta aplicarmos as fórmulas 
diretamente, apenas diminuindo o momento de inércia do 
círculo do momento de inércia do quadrado. Assim, temos: 
 
Ix = Iy = Ixquadrado – Ixfuro circular 
 
Ixquadrado = Iyquadrado = b.h³/12 = (4R)(4R)³/12 = 21,333 R
4 
 
Ixfuro circular = Iyfuro circular = πr
4/4 = (3,14)(R)4/4 = 0,785 R4 
 
Ix = Iy = 21,333 R4 – 0,785 R4 = 20,548 R4 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Exercício2: Determine o Momento de Inércia da figura a 
seguir. 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: Dividimos a peça em três figuras simples, um 
retângulo, um furo circular e um triângulo. 
Primeiramente, calculamos o momento de inércia da peça em 
relação ao eixo x. 
 
Temos: 
Ix = Ixretângulo + Ixtriângulo – Ixfuro circular 
 
Pela tabela, temos que: 
Īxretângulo = (b.h³)/12 
 
Īxtriângulo = (b.h³)/36 
 
Īxfuro circular = πr
4/4 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Īxretângulo = [400.(250)³] / 12 = 520,8 x 10
6 
 
Īxtriângulo = [150.(250)³] / 36 = 65,1 x 10
6 
 
Īxfuro circular = (3,14)(60)
4/4 = 10,18 x 106 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos, temos que: 
 
Ixretângulo = Īxretângulo + Aretângulo x dxretângulo² 
 
Ixtriângulo = Īxtriângulo + Atriângulo x dxtriângulo² 
 
Ixfuro circular = Īxfuro circular + Afuro circular x dxfuro circular² 
 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Ixretângulo = 520,8 x 10
6 + (400)(250) x (250/2)² 
Ixretângulo = 20,83 x 10
8 
 
Ixtriângulo = 65,1 x 10
6 + (150)(250)/2 x (250/3)² 
Ixtriângulo = 1,95 x 10
8 
 
Ixfuro circular = 10,18 x 10
6 + (3,14)(60)² x (250/2)² 
Ixfuro circular = 1,87 x 10
8 
 
Ix = Ixretângulo + Ixtriângulo – Ixfuro circular 
 
Ix = 20,83 x 108 + 1,95 x 108 – 1,87 x 108 
 
Ix = 20,91 x 108 mm4 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: Agora, calculamos o momento de inércia da figura 
em relação ao eixo y. 
 
Temos: 
Iy = Iyretângulo + Iytriângulo – Iyfuro circular 
 
Pela tabela, temos que: 
Īyretângulo = (b³.h)/12 
 
Īytriângulo = (b³.h)/36 
 
Īyfuro circular = πr
4/4 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Īyretângulo = [(400)³.250] / 12 = 1333 x 10
6 
 
Īytriângulo = [(150)³.250] / 36 = 23,44 x 10
6 
 
Īyfuro circular = (3,14)(60)
4/4 = 10,18 x 106 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos, temos que: 
 
Iyretângulo = Īyretângulo + Aretângulo x dyretângulo² 
 
Iytriângulo = Īytriângulo + Atriângulo x dytriângulo² 
 
Iyfuro circular = Īyfuro circular + Afuro circular x dyfuro circular² 
 
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Momento de Inércia de Figuras Simples e Compostas 
 
Solução: 
Iyretângulo = 1333 x 10
6 + (400)(250) x (400/2)² 
Iyretângulo = 53,33 x 10
8 
 
Iytriângulo = 23,44 x 10
6 + (150)(250)/2 x [400 + (150/3)]² 
Iytriângulo = 38,20 x 10
8 
 
Iyfuro circular = 10,18 x 10
6 + (3,14)(60)² x (400/2)² 
Iyfuro circular = 4,62 x 10
8 
 
Iy = Iyretângulo + Iytriângulo – Iyfuro circular 
 
Iy = 53,33 x 108 + 38,20 x 108 – 4,62 x 108 
 
Iy = 86,91 x 108 mm4