teste2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
ICEx - Departamento de Matema´tica.
Segundo Teste de EDA - Segundo Semestre de 2011
Um paciente recebe um medicamento lentamente por via venosa a uma taxa constante
k0 mg/hora. A taxa com que varia a quantidade de medicamento no sangue e´ igual a
diferenc¸a entre a taxa de entrada e a taxa de sa´ıda. Sendo a taxa de sa´ıda proporcional a
quantidade de medicamento no sangue do paciente.
(a) Suponha que um determinado medicamento tenha uma meia vida de 4 horas. Ou
seja, se o paciente para de receber o medicamento, em 4 horas a quantidade cai a
metade. Modele o problema e encontre que a quantidade de medicamento no sangue
do paciente, q(t), satisfaz a equac¸a˜o diferencial
dq
dt
= k0 − ln 2
4
q.
(b) Determine as soluc¸o˜es de equil´ıbrio classificando quanto a estabilidade e esboce va´rias
soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial do item anterior sem resolveˆ-la.
(c) Se o objetivo e´ que o medicamento atinja uma quantidade de 400 mg no sangue do
paciente, qual deve ser a taxa com que se deve injetar o medicamento k0?
(d) Usando a equac¸a˜o diferencial do item (a), determine a quantidade de medicamento
no sangue do paciente em func¸a˜o do tempo q(t), sabendo-se que em t = 0 na˜o havia
deste medicamento no sangue do paciente.
Soluc¸a˜o:
(a)
dq
dt
= k0 − k q.
Se o paciente para de receber o medicamento, enta˜o k0 = 0 e a equac¸a˜o diferencial se
torna
dq
dt
= −k q,
que tem soluc¸a˜o q(t) = q0e
−kt. Como a meia vida e´ 4 horas, enta˜o q(4) = q0/2.
Substituindo-se t = 4 e q = q0/2 em q(t) = q0e
−kt, obtemos
q0
2
= q0e
−4k o que
implica, aplicando-se a exponencial, que k =
ln 2
4
. Logo a quantidade de medicamento
no sangue do paciente, q(t), satisfaz a equac¸a˜o diferencial
dq
dt
= k0 − ln 2
4
q.
(b) Esta equac¸a˜o diferencial tem somente uma soluc¸a˜o de equil´ıbrio que e´ obtida de k0 −
ln 2
4 q = 0, ou seja, q(t) =
4k0
ln 2 . Vamos chamar q0 =
4k0
ln 2 . Pela equac¸a˜o diferencial
dq
dt >
0, para q < q0 (soluc¸o˜es crescentes) e
dq
dt < 0, para q > q0 (soluc¸o˜es decrescentes). Logo
a soluc¸a˜o de equil´ıbrio e´ q(t) = 4k0ln 2 , para todo t ∈ R, que e´ uma soluc¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel pois se o ponto inicial e´ pro´ximo de 4k0ln 2 , enta˜o as soluc¸o˜es se aproximam deste
valor.
−2 0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
400
500
600
700
800
 
 
 
 
 
−
800
 
 
 
 
 
−
800
 
 
 
 
 
−
400
 
 
 
 
 
−
400
 0 0
 
 
 
 
 
 400
 
 
 
 
 
 400
 
 
 
 
 
 400
 
 
 
 
 
 800
t
y
(c) A soluc¸a˜o de equil´ıbrio deve ser q(t) = 400 mg. Logo
400 =
k0
k
.
Portando, a taxa com que se deve injetar o medicamento e´
k0 = 400k = 400
ln 2
4
= 100 ln 2. mg/hora
2
(d)
1
k0 − k q q
′ = 1
Integrando-se em relac¸a˜o a t obtemos∫
1
k0 − k q q
′dt =
∫
dt
−1
k
ln |k0 − k q| = t + c1
ln |k0 − k q| = −kt + c2
kq(t)− k0 = ±ec2e−kt = ce−kt
q(t) =
k0
k
+ ce−kt.
Substituindo-se t = 0 e q = 0, obtemos 0 = k0k + c. Logo c = −k0k e assim
q(t) =
k0
k
(1− e−kt) = k0
k
(1− e−( ln 24 )t) = k0
k
(1− 2− t4 ).
3