[F228][2013.2] Aula Magna 02 - Gravitação

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
Aula-2
Gravitação
Física Geral II - F 228
2º semestre, 2013
*
Lei da Gravitação de Newton
;
 Algumas órbitas de planetas e satélites são elipses com excentricidades pequenas, podendo ser aproximadas por órbitas circulares.
 Podemos considerar a força de atração gravitacional como uma força centrípeta!
m
*
Lei da Gravitação – Exemplo
m1 = 8 kg
m2 = m3 = m4 = m5 = 2 kg
FR1 = ?  = 300
 (se cancelam!)
F13x e F15x se cancelam!
 Encontrar a força gravitacional resultante sobre a partícula 1, situada na origem.
*
Energia Potencial para forças gravitacionais
Integrando:
(A variação da energia potencial
é igual ao negativo do trabalho)
Daí:
*
Energia Potencial Gravitacional
Força Conservativa → DU independe da trajetória
*
Seja U’ a energia potencial, tal que: U’ = 0, quando r =R:
Na vizinhança da Terra…
*
Na vizinhança da Terra…
*
Fatores que podem afetar g
2) A Terra não é exatamente uma esfera – o raio 
Equatorial é 21 Km maior do que nos polos. Portanto, g é maior nos polos!
3) Movimento de rotação da Terra
*
Fatores que podem afetar g
3) Movimento de rotação da Terra
 Usando R = 6,37 X 106 m; e  = 2/T, onde T = 24 h, teremos que g´ é menor que ag por apenas cerca de 0,034 m/s2
ac
P = mag
Supondo:
*
Velocidade de escape
É a velocidade mínima tal que, no infinito:
*
Teorema das Cascas (Newton)
 Consideramos uma distribuição de massa em camadas esféricas, como se fosse uma cebola.
Sendo M a massa da camada esférica:
Então:
*
Portanto, a energia potencial 
do anel fica:
A energia potencial total de uma casca esférica é obtida pela soma sobre todos os anéis, o que equivale a integrar sobre  , de 0 até :
Teorema das Cascas (Newton)
*
Mas, s varia com . Usando a lei dos cosenos temos:
Derivando em  :
onde:
Mudando a variável para s, fica:
Teorema das Cascas (Newton)
*
Análise da energia potencial
 Se r > a 
; Se r < a  
 Temos sempre:
Então:
Teorema das Cascas (Newton)
 Como s ≥ 0
(distância) :
*
 A partícula m, num ponto externo à casca, comporta-se como se toda a massa da casca estivesse no seu centro!
Num ponto interno à casca o potencial é constante e independente do ponto: 
Teorema das Cascas (Newton)
*
Esfera maciça (Newton)
Para uma distribuição de massa esfericamente simétrica a densidade só depende do raio r :
Para uma esfera maciça de raio R, se o ponto é externo a esfera, o resultado anterior da casca esférica pode ser usado. Considerando a esfera como um conjunto de cascas, cada uma podendo ser substituída pela sua massa no centro, obtém-se: 
*
Massa m num ponto interno à esfera (r < R): Neste caso as camadas de massa com raio maior que r não exercem força sobre m. A força é dada por:
onde está contida na esfera de raio r. Supondo que a densidade é constante, , teremos:
Então:
Esfera maciça (Newton)
ou:
*
Portanto, o módulo da força
gravitacional será:
 r > R : 
 r < R : 
Esfera maciça (Newton)
*
Distribuição esfericamente simétrica de massa
 Newton precisou desenvolver o cálculo infinitesimal para demonstrar que: Uma distribuição esférica de massa atrai uma partícula externa como se toda a massa da distribuição estivesse concentrada em seu centro.
 Aparentemente, o fato de não ter a solução deste problema fez Newton adiar a publicação de sua teoria da gravitação por aproximadamente 20 anos (desde ~ 1666). 
 O Teorema das Cascas Esféricas, bem como a teoria completa da gravitação e a fundamentação da Mecânica Clássica, apareceram no livro de Newton: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, de 1687. 
*
Relatividade Geral
 Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
 Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia: 
É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante daquela num referencial uniformemente acelerado!
"O elevador de Einstein"
*
 Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos
Relatividade Geral
*
Supernova: explosão de uma estrela de 
 grande massa (MS > 10 MSol):
M < 1,4 MSol , esfria e vira anã branca
M > 1,4 MSol , contrai e vira uma estrela de nêutrons 
 (r ~ 10 km; densidade ~ 1015 g/cm3)
Buraco Negro: surge quando M > 3 MSol ;
Nada escapa de um Buraco Negro (radiação de Hawking?)... 
O raio de Schwarzschild Rs, onde a velocidade de escape é c (luz), é chamado ´horizonte de eventos´, o limite em que algo pode se aproximar do buraco negro e ainda tem a possibilidade de escapar.
Buracos negros
*
Quando a velocidade de escape é igual à velocidade da luz:
O raio de um buraco negro de massa M será:
(Raio de Schwarzschild)
Buracos negros
*
Os limites da Lei da Gravitação de Newton
A lei de Newton vale para planetas e para a queda de corpos...
Até onde ela ainda fica válida?
Tentativas de verificar correções à lei de Newton, que poderiam corroborar teorias de supercordas, já foram feitas...
A lei de Newton continua válida!