Teoria dos Conjuntos - Monteiro

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2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEITOS DA 
TEORIA DOS 
CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
 
Emissão: 8/3/2010 
Por: Luiz A. P. Monteiro 
Revisão: 15/3/2010 
Por: Maria E. M. Gonçalves 
 
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2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 16 
 
 
 
 
 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 17 
2.1 Conjuntos 
 
Conjunto é uma coleção de objetos, denominados elementos do conjunto. 
 
Conjunto Elementos/ Objetos/Membros Conjunto 
Elementos/ 
Objetos/Membros 
Alcatéia lobos Girândola fogos artifício 
Álbum fotografias Junta examinadores, 
médicos, bois 
Antologia trechos literários Legião demônios, soldados, 
anjos 
Assembléia parlamentares, 
associados Malta desordeiros 
Baixela objetos de mesa Nuvem insetos 
Banca examinadores Panapaná borboletas 
Bandeira garimpeiros Pinacoteca pinturas 
Bando aves Plano retas 
cáfila camelos Plantel atletas, animais raça 
Cacho uvas Repertório peças teatrais, 
anedotas, músicas 
Cancioneiro poemas, canções Reta pontos 
Concílio bispos Revoada pássaros 
Corja ladrões Romanceiro poesias populares 
Elenco artistas Súcia pessoas desonestas 
Enxoval roupas Vocabulário palavras 
Feixe lenha 
Flora vegetais 
 
O conjunto pode não conter elementos, pode ser de um único elemento ou 
conter outros conjuntos (conjunto de conjuntos) 
 
 
 
 
 
 
2.2 Relacionamentos entre conjuntos e seus elementos 
 
a) Pertinência - Se um elemento “a” pertence a um conjunto A denota-se 
por : a ∈ A 
Diz-se: a é um elemento de A, ou a está contido em A 
Se um elemento não pertence a um conjunto A denota-se por 
a ∉A. 
Exemplos: 
a ∈ {b, a} e c ∉ {b, a} 
 
b) Inclusão - Se todos os elementos de um conjunto A também são 
elementos de um conjunto B, então afirma-se que A está contido em B ou 
que A é subconjunto de B e denota-se por: A ⊆ B 
ou também B contém A e denota-se por: B ⊇A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Georg Cantor 
(1845–1918) 
A 
a 
O desenvolvimento da 
teoria dos conjuntos se 
deve ao matemático 
russo Georg Cantor que 
realizou extensos 
trabalhos sobre o 
assunto. 
Nota-2: 
Como as proposições da lógica envolvem relações entre coleções de 
objetos, a Teoria dos Conjuntos frequentemente é aplicada à Lógica 
Matemática. 
 
Nota-1: 
É importante a distinção 
entre conjunto e seu 
elemento. Um bom 
exemplo é o seguinte: 
uma caixa que contém uma 
bola não é a mesma coisa 
que uma bola � {a} ≠ a 
 
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Assim, um conjunto A é dito estar contido em B (escreve-se A ⊆ B) se, e 
somente se, todo elemento de A é elemento de B, neste caso, A é 
subconjunto de B. 
 
Se existe b ∈ B tal que b ∉ A, então afirma-se que A está contido 
propriamente em B ou que A é subconjunto próprio de B e denota-se por 
A ⊂ B 
ou também B contém propriamente A: 
B ⊃ A. 
 
 
 
 
 
 
c) Igualdade (axioma da extensão) – Dois conjuntos são iguais se e 
somente se eles têm os mesmos elementos � um conjunto é determinado 
por sua extensão 
 
Os conjuntos A e B são iguais se, somente se, possuem os mesmos 
elementos, ou seja: 
A = B se, somente se, A ⊆B e B ⊆ A 
Exemplos: 
{a, b} = {b, a}, {a, b}⊆ {b, a} e {a, b} ⊂ {a, b, c} 
{1, 2, 3} = { x ∈ N | x > 0 e x < 4} e N = {x ∈ Z | x >= 0} 
 
2.3 Propriedades 
 
2.3.1 Da Igualdade 
 
Reflexiva – Todo conjunto é igual a si mesmo (A = A) 
Transitiva – Se A, B e C são conjuntos tais que A = B e B =C, então A = C 
 
2.3.2 Da Inclusão 
 
Reflexiva – Todo conjunto contém a si mesmo (A ⊆ A) 
Transitiva – Se A, B e C são conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C 
Anti-simétrica – Se A e B são conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ A, então A e B 
têm os mesmos elementos e pelo axioma da extensão: A = B 
 
2.4 Sentenças 
 
Há dois tipos básicos de sentenças: 
• Afirmações de pertinência: a ∈ A, b ∉A 
• Afirmações de igualdade: A = B 
• Afirmações de inclusão: A⊂B 
Todas as outras sentenças são obtidas de tais sentenças atômicas 
B 
A 
B 
A 
A é um subconjunto 
próprio de B 
A é um subconjunto 
impróprio de B 
Assim, um conjunto A está contido propriamente no conjunto B 
(isto é A ⊂ B) se, e somente se: 
A ⊆ B e A ≠ B � A é um subconjunto próprio de B (no caso contrário, é 
subconjunto impróprio). 
 
O axioma da extensão 
parece trivial, mas não é, 
considere “a” e “A” seres 
humanos tais que a ∈ A se 
“a” é um ancestral de A. 
Considere , um outro ser 
humano B ≠ A e a ∈ B � 
“A” e “B” têm os mesmos 
ancestrais � eles têm os 
mesmos elementos � 
então pelo axioma de 
extensão eles são iguais (o 
que é falso pois assumiu-se 
que B ≠ A )� o 
equivalente do axioma de 
extensão no exemplo não é 
válido 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 19 
2.5 Axioma da Especificação 
 
Qualquer coisa S(x) que se possa dizer a respeito dos elementos “x” de um 
conjunto “A” especifica um subconjunto “B” (o subconjunto daqueles 
elementos a respeito dos quais a afirmação é verdadeira). Assim, o axioma 
da especificação determina o conjunto B de maneira única: 
B = {x ∈ A | S(x)} 
 
Para todo conjunto A e uma condição S(x) tem-se um conjunto B cujos 
elementos são exatamente aqueles elementos x de A para os quais S(x) é 
válida 
 
S(x) � É uma condição, onde a letra x é livre na sentença � x ocorre em 
S(x) pelo menos uma vez 
 
Exemplo: Elenco é um conjunto de artistas � Intérpretes, compositores, 
músicos, pintores, autores, etc. são artistas do elenco que definem 
subconjuntos do Elenco 
 
2.6 Representação de conjuntos 
 
a) Representação por extensão – listam-se todos os elementos do 
conjunto, entre chaves e em qualquer ordem. 
Exemplo : A = {a, b, c} 
 
b) Representação por compreensão – define-se uma propriedade 
que deve ser satisfeita por todos os seus membros na forma : 
{a | a ∈ A e p(a)} ou {a ∈ A | p(a)} 
Interpretada como : 
“conjunto todos os elementos a pertencentes ao conjunto A tal que p(a) é 
verdadeiro”. 
Exemplo 
S = { x | P(x) } 
On S é o conjunto todos os elementos x , tal que, os elementos x possuem 
a propriedade P. 
S = { i | i = 2n + 1 e n ∈ N } � define o conjunto dos números ímpares. 
O conjunto dos números pares pode ser denotado por compreensão como 
segue : {y | y = 2x e x ∈ N} 
 
c) Através de diagrama de Venn 
O lógico inglês John Venn usou círculos para representar cada conjunto. 
Tais diagramas são chamados de diagramas de Venn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 
Quando é claro que a ∈ A, 
pode-se escrever 
simplesmente a forma: 
{ a | p(a) } 
 
A 
b 
a 
c 
A 
 B George John Venn 
(1834–1923) 
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d) Outras Formas 
Além das três formas acima mostradas (as mais usadas), também outros
objetos podem ser usados na representação de conjuntos como nos 
exemplos abaixo: 
Tabelas Linha Reta 
 
 
 
2.7 Exercícios Resolvidos 
 
2.7.1 Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo, 
 
(A) O conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos 
(B) Nenhum marinheiro é republicano 
(C) Todos os republicanos são marinheiros 
(D) Algum marinheiro não é republicano 
(E) O conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros 
[ICMS – SP/1997] 
 
Solução: Ao dizer que todos os marinheiros são republicanos, o enunciado 
informa que o conjunto dos marinheiros está contido no conjunto das 
pessoas que são republicanas � o conjunto dos republicanos contém o 
conjunto dos marinheiros � resposta (E) 
 
2.7.2 Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que têm 
clorofila são comestíveis. 
Logo, 
(A) Algumas plantas verdes são comestíveis 
(B) Algumas plantas verdes não são comestíveis 
(C) Algumas plantas comestíveis têm clorofila 
(D) Todas as plantas que têm clorofila são comestíveis 
(E) Todas as plantas verdes são comestíveis 
 
Solução: 
Considere os conjuntos abaixo: 
A = {plantas verdes} 
B = {plantas com clorofila} 
C = {plantas comestíveis} 
 
Todas as plantas verdes têm clorofila � o conjunto A deve ser 
obrigatoriamente um subconjunto de B 
 
 
Ana Maria 
Luiz Eduardo 
Marco Antonio 
 
ℜeais 
0 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 21 
Algumas plantas que têm clorofila são comestíveis.�Não especifica o que 
ocorre entre A e C. Existem duas possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
Em qualquer dos casos, a única opção que será verdadeira sempre é a 
opção (C) que diz: “Algumas plantas comestíveis têm clorofila” 
 
2.8 Paradoxo de Russel 
 
Em uma cidade existe um barbeiro que só barbeia as pessoas que não 
podem barbear a si mesmos. Quem faz a barba do barbeiro? 
 
Ele não pode fazer a barba de si mesmo, pois pelas normas da cidade, ele 
só pode fazer a barba de quem não pode fazer a sua própria barba. Então 
teria que ser outra pessoa a fazer a sua barba. Mas aí o barbeiro estaria na 
condição das pessoas que não podem barbear a si mesmos, e, neste caso, 
ele entraria no rol das pessoas que deveriam ser barbeadas por ele. Em 
resumo, qualquer que seja a resposta levaria a uma contradição. 
 
Considere: S(x) = “Não é verdade que (x ∈ x)” é o mesmo que “x ∉ x” 
Assim, qualquer que seja o conjunto A, se B = {x ∈ A | x ∉ x}, então, para 
todo y: 
y ∈ B se e somente se (y ∈ A e y ∉ y) (*) 
Se B ∈ A, então B ∈ B pois B é um conjunto de elementos pertencentes a 
A, mas por (*) B tem que atender B ∈ A e B ∉ B o que é uma contradição 
Logo: B ∈ A é impossível, assim: B ∉ A � Existe alguma coisa (ou seja B) 
que não pertence a A. 
Como o conjunto A neste argumento é bastante arbitrário, então: 
Nada contém tudo 
Ou 
Não existe universo algum 
Ou melhor: 
É impossível tirar alguma coisa do nada. 
Assim: 
Para especificar um conjunto, não é suficiente só pronunciar algumas 
palavras mágicas(as quais podem formar uma sentença tal como x ∉ x); é 
necessário ter também, à mão, um conjunto cujos elementos as palavras 
mágicas se aplicam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B C 
 A 
B C 
 A 
 
Bertrand A. Russell 
(1872–1970) 
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2.9 Consequência do Axioma – O Conjunto Vazio 
 
O axioma da extensão com a sentença x ∉ x implica que só pode existir um 
único conjunto sem elementos. 
De fato, o resultado {x ∈ A | x ∉ x} não tem elemento algum. 
O símbolo usual para este conjunto é: ∅ 
O conjunto ∅ é denominado “Conjunto Vazio” 
 
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja: ∅ ⊂ A para 
todo A (o vazio está em tudo, o que é um resultado da física!!) 
 
2.10 O Par Não-Ordenado – Axioma da Paridade 
 
Um conjunto não possui ordenação, portanto, os seguintes conjuntos são 
iguais: {2,5,8} = {8,5,2} = {5,5,8,2,8}. 
 
Para quaisquer dois conjuntos existe um conjunto que contém ambos. 
Se a e b são conjuntos, então existe um conjunto A tal que a ∈ A e b ∈ A, 
isto é: 
{x ∈ A | x = a ou x = b} 
Este conjunto denominado “Par Não-Ordenado”, contém apenas a e b. 
O símbolo usual para o conjunto é: {a; b} 
 
O axioma da paridade assegura que todo conjunto é elemento de algum 
conjunto e que quaisquer dois conjuntos são simultaneamente elementos 
de um terceiro conjunto. 
 
2.11 O Princípio da Construção de Conjuntos 
 
Colocando no axioma da paridade a sentença x = a ou x = b como S(x) 
pode-se afirmar que existe um conjunto B tal que: 
x ∈ B se e somente se S(x) 
 
O axioma da especificação, aplicado ao conjunto A, assegura a existência 
de um conjunto B tal que: 
 x ∈ B se e somente se (x ∈ A e S(x)) 
 
2.12 Singleto 
 
O conjunto denotado por {a} é chamado de singleto de “a”. 
É caracterizado de forma única pela afirmação de que “a” é o seu único 
elemento. 
 
Exemplos: 
∅ � não possui elementos 
{∅} � singleto (tem um único elemento ∅) 
Afirmar que (a ∈ A) equivale dizer que ({a} ⊂ A) 
Nota: A dificuldade para 
tratar com o vazio obriga 
alguns cuidados. Por 
exemplo: para provar que 
algo é verdadeiro para o 
conjunto vazio, prova-se 
antes que o mesmo não 
pode ser falso. 
Assim, ∅ ⊂ A poderia ser 
falso somente se ∅ 
tivesse um elemento que 
não pertencesse a A. 
Desde que o ∅ não 
possui nenhum elemento, 
tem-se um absurdo. 
Conclusão ∅ ⊂ A não é 
falso, e portanto ∅ ⊂ A 
para todo A. 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 23 
2.13 Cardinalidade de conjuntos 
 
A cardinalidade ou ordem de um conjunto indica o número de elementos 
do conjunto e é denotada por #. 
Um conjunto pode possuir um número finito ou infinito de elementos. 
Os conjuntos finitos podem ser denotados por extensão (ex: {a, b, c,}) 
Mas um conjunto infinito só pode ser definido por uma propriedade que 
deve ser satisfeita por todos os seus membros. I = { x | S(x) } 
#A = 0 � Conjunto sem elementos (ou seja, com zero elementos) é 
denominado conjunto vazio e é denotado por { } ou ∅. 
#A = 1 � Um conjunto unitário / singleto possui um único elemento. 
 
Propriedades 
• A ⊆ B �# A ≤ #B (A tem uma cardinalidade não superior à de B). 
Quando B é finito e A é um subconjunto próprio de B, então a 
cardinalidade de A é inferior à de B. 
• Se B é um conjunto infinito, então existem subconjuntos próprios 
de B com a mesma cardinalidade de B. 
 
Exemplos : 
• O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos: o ∅, {1}, {2} e {1,2}. 
• Os seguintes conjuntos são infinitos : 
N - Conjunto dos Números Naturais 
Z - Conjuntos dos Números Inteiros 
Q - Conjuntos dos Números Racionais = {x | x = p / q, p ∈ Z e q ∈ Z} 
I - Conjuntos dos Números Irracionais = { √ 2, √ 3, √ 5, pi, e, ...} 
R - Conjunto dos Números Reais = Q ∪ I 
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do 
conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade. 
 
2.14 Potência de um conjunto 
 
O conjunto de todos os subconjuntos de B chama-se conjunto das partes 
de B ou potência de B. 
Assim, o conjunto das partes ou potência de um conjunto A, denominado 
P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A, isto é : 
P(A) = {X | X subconjunto de A} = {X
| X ⊆ A} 
Em particular, ∅ ∈ P(A) e A ∈ P(A) 
Propriedade: Se A ⊂ B, então P(A) ⊂ P(B) 
 
Exemplos 
P(∅) = {∅} 
P({a}) = {∅, {a}} � 2 elementos 
P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} � 4 elementos 
P({a, b, c}) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} � 8 elementos 
P({a, b, c, ..., n}) � tem 2n elementos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.15 Operações sobre conjuntos (álgebra dos Conjuntos) 
 
As operações sobre conjuntos (álgebra dos Conjuntos) permitem a criação 
de novos conjuntos a partir de conjuntos já definidos, utilizando as 
operações de União, Interseção, Diferença e Complemento. 
 
Sejam A e B conjuntos, todos contidos em um conjunto fixo denominado 
conjunto Universo (U), então as principais operações sobre os conjuntos 
são: 
 
a) União - A união de dois conjuntos A e B é o conjunto 
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
De maneira mais geral, dados os conjuntos A1, A2, ..., An temos: 
∪∪∪∪ni=1 Ai = A1 ∪∪∪∪ A2 ∪∪∪∪ ... ∪∪∪∪ An 
 
b) Interseção - A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto: 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
De maneira mais geral, dados os conjuntos A1, A2, ..., An temos: 
∩∩∩∩ni=1 Ai = A1 ∩∩∩∩ A2 ∩∩∩∩ ... ∩∩∩∩ An 
 
c) Diferença - A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto. 
A \ B = A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
 
 
d) Complemento - O complemento de um conjunto A, tomado com 
relação a um conjunto universo U, é o conjunto: 
A’ = {x | x ∈ U e x ∉ A} = U – A 
 
 
 
e) Diferença Simétrica ou Soma Booleana - Se A e B são conjuntos, 
a diferença simétrica ou soma booleana de A e B é o conjunto A + B 
definido por: 
A + B = (A – B) ∪ (B – A) 
 
Nota: 
Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos se, e somente se, A ∩ B = ∅ 
Os conjuntos A1, A2, ..., An particionam um conjunto A se, e somente se: 
• ∪∪∪∪ni=1 Ai = A 
• Ai ∩∩∩∩ Aj = ∅, para 1 ≤≤≤≤ i < j ≤≤≤≤ n 
A B A ∪∪∪∪ B 
A B A - B 
A ∩∩∩∩ B A B 
A B A + B 
 A A´ B 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 25 
2.16 Exemplos 
 
Operações sobre Conjuntos : 
Suponha o universo N e sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 3}. Então : 
a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3} 
b) A ∩ B = {2} 
c) A – B = {0, 1} 
d) A’ = {x ∈ N | x > 2} 
e) P(B) = {∅, {2}, {3}, {2,3}} 
 
2.17 Propriedades das Operações sobre Conjuntos 
 
Sejam o universo U e os conjuntos A,B,C, então: 
a) Idempotência: 
União Intercessão Complemento 
A ∪ A = A A ∩ A = A (A’)’= A (duplo complemento) 
 
b) Comutatividade: 
União Intercessão 
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 
 
c) Associatividade: 
União Intercessão 
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
 
d) Universo e Vazio : 
União Intercessão Complemento 
A ∪ A’ = U A ∩ A’ = ∅ ∅’ = U 
A ∪ ∅ = A (elemento 
neutro) 
A ∩ ∅ = ∅ (elemento 
absorvente) 
U’ = ∅ 
A ∪ U = U (elemento 
absorvente) 
A ∩ U = A (elemento 
neutro) 
 
 
 
 
e) Diferença 
A – ∅ = A ∅ – A = ∅ A – A = ∅ A – U = ∅ 
 
f) Leis de De Morgan : 
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Curiosidade: 
Na álgebra relacional 
de Banco de Dados 
têm-se: 
 Left Joint (=A-B) 
Right Joint (=B-A) 
Inner Joint (=A ∩∩∩∩ B) 
Nota: Se A ∩ B = ∅ � A e B são Disjuntos 
 
Quando alguma coisa ocorre (por exemplo: o complemento de uma 
intercessão), também ocorre, simultaneamente, a coisa oposta (por 
exemplo uma união dos complementos). 
Nota: Em geral a 
comutatividade não é 
válida para a diferença, 
isto é: 
A – B ≠ B – A 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.18 As Leis de Morgan e os Universos Paralelos – O Princípio 
da Dualidade 
 
Se em uma equação envolvendo uniões, interseções e complementos de 
subconjuntos de U, cada subconjunto for trocado pelo seu complemento e 
as uniões substituídas por interseções e vice-versa , o resultado não é 
alterado. No instante que temos uma união temo também uma intercessão 
 
Exemplo de Dualidade: 
Para visualizar a genialidade, a criatividade e a grande declaração de amor 
que é o Poema Genial, de Clarice Lispector, basta lê-lo de baixo para cima. 
No reverso você obtém o dual do direto. Assim, quando se lê no formato 
direto, também se está lendo o oposto no formato inverso. 
 
(A ∩ B’) ∩ B = ∅ � ((A ∩ B’) ∩ B)’ = U 
((A ∩ B’) ∩ B)’ � De Morgan: (A’ ∪ B) ∪ B’ = A’ ∪ (B ∪ B’) = A’ ∪ U = U 
 
2.19 Outras propriedades importantes 
 
• Distributividade: 
 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
 A ∩ (B - C) = (A ∩ B) - (A ∩ C) 
 (A ∪ B) – C = ( A – C ) ∪ ( B – C ) 
(A ∩ B) – C = ( A – C ) ∩ ( B – C ) 
 
• Absorção: 
 A ∪ (A ∩ B) = A 
 A ∩ (A ∪ B) = A 
 
• Eliminação da diferença: 
A – B = A ∩ B’ 
A – (A – B) = A ∩ B 
 
• Inclusão e a união, interseção e diferença 
A ⊂ B se e somente se A ∪ B = B 
A ⊂ B se e somente se A ∩ B = A 
A ⊂ B se e somente se B’⊂ A’ 
A ⊂ B se e somente se A – B = ∅ 
 
• Diferença e a união e interseção 
A ∩ B ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C’) 
A ∪ B ⊃ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C’) 
 
 
 
 
 POEMA GENIAL 
(Clarice Lispector) 
 
Não te amo mais. 
Estarei mentindo dizendo que 
Ainda te quero como sempre quis. 
Tenho certeza que 
Nada foi em vão. 
Sinto dentro de mim que 
Você não significa nada. 
Não poderia dizer jamais que 
Já te esqueci! 
E jamais usarei a frase 
EU TE AMO! 
Sinto, mas tenho que dizer a 
verdade 
É tarde demais... 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 27 
2.20 Exercícios Resolvidos 
 
2.20.1 Qual a condição necessária e suficiente para 
(A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)? 
 
Solução 
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪∪∪∪ C) ∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C) para ser igual a A ∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C) tem-se que ter 
(A ∪∪∪∪ C) = A isto só ocorre se C ⊂ A. 
 
Outra maneira de resolver: Não existe solução para três conjuntos 
separados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colocando C ⊂ A tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Assim, a condição é que C ⊂ A (essa condição não tem nada a ver com o 
conjunto B) 
 
2.20.2 Em um estado, 720 escolas assinam pelo menos um dos jornais A e 
B e 268 dessas escolas assinam apenas o jornal B. Com relação a essa 
situação, julgue os itens subsequentes. 
a) Se 284 escolas assinam apenas o jornal A, então quantas assinam A e B? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantas assinam pelo menos o jornal A? 
284 + 168 = 452 ou 720 – 268 = 452 
[Sebrae] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
(A ∩∩∩∩ B) ∪∪∪∪ C 
C 
A B 
(B ∪∪∪∪ C) 
C 
 A ∩∩∩∩ (B ∪∪∪∪ C) 
A B 
(A ∩∩∩∩ B) ∪∪∪∪ C 
 C 
A B 
(A ∩∩∩∩ B) = 720-284 -268 =168 
 268 284 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 28
2.21 Ordenação de conjuntos 
 
Como dispor os elementos de um conjunto A em uma determinada 
ordem? Lembrar que em teoria {a, b} = {b, a}. 
 
Considere a quádrupla {a, b, c, d} e os elementos numa ordem desejada 
(por exemplo: c b d a) 
Pode-se montar uma coleção onde para cada posição particular na 
ordenação coloca-se o conjunto de todos os elementos que aparecem 
naquela posição ou antes dela. ���� Assim, obtém-se coleção: 
{c}, {c, b}, {c, b, d}, {c, b, d, a}. 
Rearranjando-se os elementos tem-se: C={{a, b, c, d}, {b, c, d}, {b, c}, {c}} 
 
Neste conjunto C tem-se: 
• {c} � está contido em todos os outros subconjuntos � “c” deve 
ter sido o primeiro elemento a ser incluído. 
• {b, c} � próximo menor elemento que está contido em todos os 
outros depois que {c} é removido � “b” deve ser o segundo 
elemento 
• {b, c, d} � elemento seguinte contido no conjunto restante depois 
que {b, c} é retirado � “d” deve ser o terceiro elemento 
• {a, b, c, d} � “a” deve ser o último elemento 
Assim, se passa do conjunto C para uma dada ordenação do conjunto A. 
 
 
 
 
 
2.22 Par ordenado 
 
A passagem de uma ordem em A para um conjunto C, foi ilustrado acima 
para uma quádrupla; para um par as coisas tornam-se mais simples. 
 
Seja A = {a, b} e se na ordem desejada o elemento “a” vem primeiro, então 
C = {{a}, {a, b}}. 
O par ordenado de “a” e “b” com primeira coordenada “a” e segunda 
coordenada “b” é o conjunto (a, b) definido por: (a, b) = {{a}, {a, b}} 
Em um par ordenado, a ordem é importante, pois as duas componentes 
são distintas. 
 
A propriedade básica de um par ordenado é que (a, b) = (c, d) se, e 
somente se : a = c e b = d. 
 
O conceito de par ordenado pode ser generalizado para n-upla ordenada, 
ou seja, com n > 0 componentes. 
Uma n-upla de elementos a1, a2, …, an , nesta ordem, é denotada por 
(a1, a2, …, an) e, nada mais é, para n >2, do que uma dupla 
((a1, a2, …, an-1), an) 
Nota: 
O par ordenado (a, b) 
não deve ser 
confundido com o 
conjunto {a, b} 
 
Ordem � primeiro 
elemento , segundo 
elemento, terceiro, 
etc. � alguém vem 
antes do outro. 
Logo, para cada ordem podemos associar um conjunto C de 
subconjuntos de A de tal modo que a ordem estabelecida pode ser 
univocamente recuperada a partir de C 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 29 
2.23 Produto Cartesiano 
 
O produto cartesiano entre dois conjuntos A e B não vazios, denotado por 
A x B, é o conjunto de todos os pares ordenados da forma 
(a, b) onde a ∈∈∈∈ A e b ∈∈∈∈ B. 
Ou dito de outra maneira: A ×××× B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} 
 
Assim, um elemento de um produto cartesiano, denotado na forma (a, b), 
é um par ordenado ou dupla. 
 
• O Produto Cartesiano: A x B x C = { ( a, b, c ) / a ∈ A e b ∈ B e c ∈ C } 
Observar que: (A × B) × C ≠ A × B × C 
Da mesma forma: A × (B × C) ≠ A × B × C 
(os elementos do conjunto gerado por A × (B × C) serão, na verdade, 
pares ordenados, já os elementos do conjunto gerado pela operação 
de produto cartesiano triplo, A × B × C, serão ternas ordenadas) 
• O produto cartesiano dos conjuntos A1, A2, .. , An, não 
necessariamente disjuntos, é definido como A1 × A2 × .. × An = 
 {( a1, a2, …, an) | a1 ∈ A1 e a2 ∈ A2 ,…, an ∈ An} 
• É usual denotar um produto cartesiano de um conjunto com ele 
mesmo como um expoente : A x A = A2 
• O produto cartesiano A × A × ... × A (n vezes) é denotado por An; se 
n=1, A1 = A. 
 
 
2.24 Propriedades do Produto Cartesiano 
 
• Se A = ∅ ou B = ∅, por definição: A × B = ∅ = A × ∅ = ∅ × B. 
• Se #A = m e #B = n, então #(A × B) = m × n elementos. 
• Distributividade: (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) 
 (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) 
 (A - B) × C = (A × C) - (B × C) 
 (A ∩ B) × (X ∩ Y) = (A × X) ∩ (B × Y) 
 (A × B) ∩ ( C × D ) = ( A ∩ C ) × ( B ∩ D ) 
• Se A ⊆ B ⇒ A × C ⊆ B × C 
• Se A ⊂ X e B ⊂ Y, então A × B ⊂ X × Y 
 
 
2.25 Exemplos 
 
2.25.1 Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 
pares ordenados e será dado por: 
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)} 
 
2.25.2 Suponha o universo N e sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 3}. Então : 
A X B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)} 
(ver figura ao lado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
René Descartes 
(1596–1650) 
Nota: 
O nome Produto 
Cartesiano vem de 
Cartesius que era o 
nome em Latim de 
René Descartes (1596-
1650), filósofo e 
matemático francês e 
seu criador. 
Nota: Em geral a 
comutatividade não é 
válida para o produto 
cartesiano, isto é: 
A × B ≠ B × A 
(A ou B não vazios). 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.26 Exercícios Propostos 
2.26.1 Considerando-se que um conjunto é definido por elementos que 
possuem uma mesma propriedade ou exibem um mesmo padrão, que 
padrão pode ser observado nos múltiplos de nove (além do fato de serem 
todos divisíveis por 9)? 
 
2.26.2 Represente em Diagrama de Venn as seguintes proposições: 
 
a) Todos os homens são mortais 
b) Todos os cariocas são brasileiros 
c) Nenhum paulista é carioca 
d) Sou pago toda sexta-feira 
e) Todos os criminosos são presos 
f) Alguns brasileiros pagam impostos 
g) Nenhum mentiroso é honesto 
h) Todos os fumantes têm câncer 
i) Todos os professores são sábios 
j) Todos os inteiros pares são divisíveis por 2 
 
2.26.3 Dados os conjuntos S={2, а, {3}, 4} e R={{а}, 3, 4, 1}, indicar se as 
seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas : 
 
(a) {a}∈ S (g) {a} ⊆ R 
(b) {a} ∈ R (h) ∅ ⊂ R 
(c) {a, 4, {3}} ⊆ S (i) ∅ ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ U 
(d) {{a}, 1, 3, 4} ⊂ R (j) {∅} ⊆ S 
(e) R= S (k) ∅ ∈ R 
(f) {a} ⊆ S (l) ∅ ⊆ {{3}, 4} 
 
2.26.4 Dê o conjunto potência dos conjuntos 
 
(a) A = {a, {b}} 
(b) B = {a, b, c}. 
 
2.26.5 Enumerar os elementos de U (universo) e de seus subconjuntos A e 
B, sabendo que: 
A' ={2, 5, 9, 13, 18, 20}, B' ={2, 6, 18, 20} e A∪B={1, 5, 6, 9, 13, 14}. 
A’ = Complemento de A 
 
2.26.6 Determine os elementos de A e B, sabendo que: 
A' ={f, g, h, i}, A∪B={a, b, c, d, e, f} e A∩B={d, e}. 
 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 31 
 
2.26.7 Use as propriedades de operações com conjuntos para mostrar 
que: 
 
(a) A∪(A' ∩B)=A∪B 
(b) (A∩∅)∪(A∪U)=U 
(c) [A∪(A' ∩B)]'∩B=∅ 
 
2.26.8 Simplifique, usando as propriedades das operações: 
 
a) [A' ∩(B∪A)]' 
b) (A∪B)' ∪(A∪B')' 
c) [A'∪(B∩A)]' 
 
2.26.9 Dados 
A= {x| x é um número inteiro ∧ 1 ≤ x ≤ 5 }, 
B = { 3, 4, 5, 17} e 
C = { 1, 2, 3, ...}. 
Determinar A ∩ B , A ∩ C , A ∪ B , A∪ C. 
 
2.26.10 Desenhe Diagramas de Venn e crie exemplos mostrando: 
 
(a) A ∪ B ⊆ A ∪ C mas B ⊄ C 
(b) A ∩ B ⊆ A ∩ C mas B ⊄ C 
(c) A ∪ B = A ∪ C mas B ≠ C 
(d) A ∩ B = A ∩ C mas B ≠ C 
(e) B' 
(f) (A ∪ B)' 
(g) B−(A') = B – A' = {x | x ∈ B x ∉ A'} 
(h) A' ∪ B 
(i) A' ∩ B 
 
2.26.11 Enumere A x B x C , B2 , A3 , B2 x A e A x B onde : 
 A = {1}, B = {a, b}, C = { 2, 3} . 
 
2.26.12 Mostre através de exemplos que: 
A x B ≠ B x A e ( A x B) x C ≠ A x ( B x C ) 
 
2.26.13 Uma pesquisa foi feita entre estudantes para identificar quem 
fala inglês
ou espanhol. Entre os pesquisados: 
• 100 alunos responderam que falam inglês; 
• 70 responderam que falam espanhol; 
• 30responderam que falam inglês e espanhol e 
• 45 responderam que não falam nenhuma dessas duas línguas. 
Nessa situação, é correto afirmar que o número total de estudantes 
pesquisados foi de 185? [Concurso Petrobrás] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.26.14 Uma empresa possui 
• 13 postos de trabalho para técnicos em contabilidade, 
• 10 para técnicos em sistemas operacionais e 
• 12 para técnicos em eletrônica. 
Alguns técnicos ocupam mais de um posto de trabalho, isto é, 
• 4 são técnicos em contabilidade e em sistemas operacionais, 
• 5 são técnicos em sistemas operacionais e em eletrônica e 
• 3 possuem todas as três especialidades. 
Nessas condições, se há 22 técnicos nessa empresa, então 7 deles são 
técnicos em contabilidade e em eletrônica? [Concurso MPE-TO] 
 
2.26.15 Sobre os 26 turistas que se encontram em um catamarã, sabe-se 
que: 
75% dos brasileiros sabem nadar; 
20% dos estrangeiros não sabem nadar; 
Apenas 8 estrangeiros sabem nadar. 
Nessas condições, do total de turistas a bordo, somente 
(A) 10 brasileiros sabem nadar 
(B) 6 brasileiros não sabem nadar 
(C) 12 são estrangeiros 
(D) 18 são brasileiros 
(E) 6 não sabem nadar 
 
[Concurso para Auditor Tributário / Prefeitura de Jaboatão dos Guararapes 
/ 2006] 
 
2.26.16 Demonstre a propriedade distributiva da união 
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 
2.26.17 Um conjunto A possui 7 elementos e um conjunto B possui 8 
elementos. A e B possuem elementos comuns? 
1. Sabe-se que A e B possui 15 elementos. 
2. O produto cartesiano AxB é constituído de 56 pares ordenados. 
Então 
a) A afirmação 1 sozinha é suficiente para responder à questão, mas a 
afirmação 2 sozinha não é. 
b) A afirmação 2 sozinha é suficiente para responder à questão, mas a 
afirmação 1 sozinha não é. 
c) As afirmações 1 e 2 juntas são suficientes para responder à questão, mas 
nenhuma das duas afirmações sozinhas é suficiente. 
d) Tanto a afirmação 1 como a afirmação 2, sozinhas, são suficientes para 
responder à questão. 
e) A questão não pode ser respondida só com as informações recebidas. 
(ANHEMBI) 
2 – Conceitos da Teoria dos Conjuntos Página 33 
 
2.26.18 Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, …} 
P = { x N / 6 x 20 } 
A = { x P / x é par } 
B = { x P / x é divisor de 48 } 
C = { x P / x é múltiplo de 5 } 
Então o número de elementos do conjunto ( A – B) C é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
(PUC-MG) 
 
2.27 Para saber mais 
 
[1] Halmos, Paul R.- Teoria ingênua dos conjuntos - Editora Ciência 
Moderna; Rio de Janeiro; 2001 
[2] Gersting, Judith - Fundamentos Matemáticos para a Ciência da 
Computação - LTC - Livros Técnicos e Científicos ; Rio de Janeiro; 1995 
[3] Meserve, Bruce E. , Sobel, Max A.- Introduction to Mathematics –
Prentice-Hall, 1973 
[4] Triola, Mario F. - Mathematics and the Modern World - Prentice-Hall, 
1973