Relações e Funções - Monteiro

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

3 – Relações e Funções Página 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES E 
FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
Emissão: 20/3/2010 
Por: Luiz A. P. Monteiro 
Revisão: 23/3/2010 
Por: Maria E. M. Gonçalves 
 
3 
3 – Relações e Funções Página 36 
 
 
 
 
 
 
3 – Relações e Funções Página 37 
3.1 Relações 
 
Quando se tem dois conjuntos é possível que exista alguma relação entre 
os elementos de cada conjunto, como por exemplo nos conjuntos abaixo: 
Pontos Turísticos Bairros do Rio 
Pão de Açúcar Urca 
Maracanã Tijuca 
Cristo Redentor Cosme Velho 
Arpoador Ipanema 
 
A relação “R” pode ser a “Localização” que associa elementos do conjunto 
“A” (Pontos Turísticos) aos elementos do conjunto “B” (Bairros do Rio), 
formando pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B. É um par ordenado 
porque (a, b) ≠ (b, a) ou melhor: não existe um bairro do Rio com o nome 
“Pão de açúcar”, nem um ponto turístico de nome “Cosme Velho”. 
 
Assim, uma relação determina de modo único, o conjunto de todos os 
pares ordenados para os quais, a primeira coordenada está relacionada 
com a segunda através de alguma propriedade. 
 
 
 
Dessa maneira: 
Se conhecemos o relacionamento, conhecemos o conjunto relação 
e 
Se conhecemos o conjunto relação, conhecemos o relacionamento. 
 
Ou seja, uma relação pode ser vista como uma forma de simplificar (ou 
comprimir) o registro dos elementos de um conjunto. Assim, para se 
referenciar um determinado conjunto (de pares ordenados), não será 
preciso relacionar todos os seus elementos, basta citar o seu nome. 
 
 
 
 
Assim, R ⊂ A×B é uma relação se cada elemento de R é um par ordenado, 
isto é: 
se Z ∈ R então existem “a” e “b” tais que Z = (a, b). 
 
Uma relação de n argumentos sobre A1, A2, ..., An é um subconjunto de 
A,×××× A2 ×××× .. ×××× An (n ≥≥≥≥ 0) . 
 
 
3.2 Exemplos de relações 
 
 a) Relação binária – é uma relação R ⊆ A × B de dois argumentos: 
R = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} 
 
Exemplo-1: Relação Aluno-Disciplina 
aRd = a está matriculado em d = {(a, d) | a ∈ Alunos, d ∈ Disciplinas} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b c d 
4 
3 
2 
1 
R 
B 
A 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
Alunos Disciplinas 
matricula 
( x ; y) 
relacionamento 
Uma relação R de A com B, onde A e B são conjuntos não vazios, é 
um subconjunto R de A×B. 
 
3 – Relações e Funções Página 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo-2: Relação Funcionário-Dados de Funcionário 
{(a, b) | a ∈ códigoFuncionários, b ∈ Nomes} 
{(a, c) | a ∈ códigoFuncionários, c ∈ Endereços} 
{(a, d) | a ∈ códigoFuncionários, d ∈ Salários} 
 
b) Relação ternária- é a relação de 3 argumentos 
{(x, y, z) | x, y, z ∈ N e x < y < z} 
Exemplo: a paternidade (pai, mãe, filho) 
 
c) Relação unária - é a relação de 1 argumento. 
é simplesmente um subconjunto de A. 
 
d) Relação 0-ária- é relação de 0 argumento, 
só pode ser ∅ ou {( )}(esta última constituída da 0-upla). 
 
Exemplo: 
Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e 
neste caso, temos algumas relações em AxB: 
R1={(1,3),(1,4)} 
R2={(1,3)} 
R3={(2,3),(2,4)} 
 
3.3 Projeções de R 
 
Associado a cada conjunto R de pares ordenados, existem dois conjuntos 
chamados de projeções de R sobre: 
• a Primeira coordenada � Domínio de R 
• a Segunda coordenada � Imagem de R 
 
Assim, seja uma relação R ⊆⊆⊆⊆ A ×××× B 
• Domínio de R é o conjunto {x | (x, y) ∈ R para algum y}. 
• Imagem de R é o conjunto {y | (x, y) ∈ R para algum x}. 
Quando A=B � o campo de R é a união do domínio com a imagem 
de R. 
• Relação inversa de R é R-1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}. 
 
Exemplo: Para a relação {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} tem-se: 
 Domínio ={1, 2, 3} 
 Imagem = {2, 4, 6} 
 
 
 
 
 (x, y) 
Domínio Imagem 
Domínio 
Imagem 
Relação Inversa 
 
3 – Relações e Funções Página 39 
3.4 Propriedades da Relação 
 
3.4.1 Relação Reflexiva 
 
Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo 
mesmo, ou 
• Para todo x∈A: (x,x) ∈ R, ou, 
• Para todo x∈A: xRx. 
 
Exemplo: 
Se A={a,b,c}, então uma relação reflexiva em A é dada por: 
R = {(a,a),(b,b),(c,c)} 
 
3.4.2 Relação Simétrica 
 
Uma relação R é simétrica se o fato que relaciona x com y, implicar 
necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: 
• Quaisquer que sejam x∈A e y∈A tal que (x,y)∈R, segue que 
(y,x)∈R, 
• Ou, se xRy implica yRx para todo x e y no campo de R 
 
Exemplo: 
Se A={a,b,c}, então uma relação simétrica em A é dada por: 
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} 
 
3.4.3 Relação Transitiva 
 
Uma relação R é transitiva, se para um x que esteja relacionado com y e um 
y que esteja relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com 
z, ou seja: 
• Quaisquer que sejam x∈A, y∈A e z∈A, se (x,y)∈R e (y,z)∈R então 
(x,z)∈R. 
• Ou se xRy e yRz implica xRz para todo x,y,z no campo de R. 
 
Exemplo: 
Se A={a,b,c}, então uma relação transitiva em A é dada por: R = 
{(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)} 
 
3.4.4 Anti-simétrica (ou Não-simétrica) 
 
Sejam x∈A e y∈A. Uma relação R é anti-simétrica 
• Se (x,y)∈R e (y,x)∈R implica que x=y ou. 
• Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem 
relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que 
significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A 
poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x está relacionado com y 
y está relacionado com x 
Relação 
Simétrica 
∀ x, y, z ∈A | (x,y)∈R e (y,z)∈R 
∃ (x, z)∈R ⊆ A×A 
Relação 
Transitiva 
Se (x,y) ∈ R ⊆ A×A 
 (y, x) ∉ R ⊆ A×A 
Relação 
 Anti-simétrica 
∀ x ∈A 
∃ (x, x)∈R ⊆ A×A 
Relação 
Reflexiva 
Nota: 
Toda relação reflexiva é 
também simétrica 
 
3 – Relações e Funções Página 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Se A={a,b,c}, então uma relação anti-simétrica em A é dada por: 
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)} 
 
3.5 Relação de equivalência 
 
Uma relação R é chamada relação de equivalência sobre um conjunto A 
não vazio se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. 
Exemplo: Se A={a,b,c}, então R em A×A é de equivalência para: 
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)} 
 
3.6 Relação de Ordem 
 
Uma relação de ordem R sobre um conjunto A é uma relação R que possui 
as propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva 
 
3.7 Exemplos: 
 
A relação ≥ é uma relação de ordem(é reflexiva, anti-simétrica e transitiva). 
 A ≥ B � inclui A = B � ≥ é reflexiva 
 A ≥ B não implica que B ≥ A � ≥ é não-simétrica 
 Se A ≥ B e B ≥ C então A ≥ C � ≥ é transitiva 
 
A relação irmão ⊆ pessoas2 é 
 Não-reflexiva (x não é irmão dele mesmo) 
 Simétrica (se x é irmão de y � y é irmão
de x) 
 Não-transitiva 
x é irmão de y 
y é irmão de z 
só implica que x é irmão de z quando x ≠ z 
 
A relação ancestral ⊆ pessoas2 é não-reflexiva, anti-simétrica e transitiva. 
 Não-reflexiva (x não é ancestral dele mesmo) 
 Anti-simétrica (se x é ancestral de y � y não é ancestral de x) 
 Transitiva 
 x é ancestral de y 
 y é ancestral de z 
 Implica que x é ancestral de z 
 
A relação gerente ⊆ funcionário2 é 
 Não-reflexiva (x não é gerente dele mesmo) 
 Não-simétrica (se x é gerente de y � y não é gerente de x) 
 Transitiva 
 x é gerente de y 
 y é gerente de z 
 x é gerente de z 
 
 
 
Nota: 
 Uma relação de 
equivalência em um 
conjunto é um tipo de 
conceito matemático que 
está muito próximo de uma 
relação de igualdade 
 
3 – Relações e Funções Página 41 
3.8 Funções 
 
Existem relacionamentos onde a mudança em uma quantidade provoca a 
mudança em uma outra quantidade, por exemplo: 
• Queda da temperatura com a altitude, 
• Crescimento populacional ao longo dos anos, 
• Variações nos preços das ações ao longo do ano, 
• Variação do volume da esfera com o seu raio 
 
Motivados pela necessidade de examinar o comportamento dessas 
variações no relacionamento entre quantidades diferentes, os 
matemáticos criaram um tipo especial de relacionamento conhecido pelo 
nome de função 
 
Essas variações são o resultado de operações que transformam algo em 
outra coisa, por exemplo: o ato de apertar um interruptor para acender 
uma luz é uma função, porque transforma uma lâmpada apagada em uma 
lâmpada acesa. Na matemática uma função pode transformar um número 
em outro número, por exemplo, “dobrar” é um tipo de função porque 
transforma o número 4 em 8 e o número 10 em 20. 
Uma função f de X em Y é uma relação em X×Y, que associa a cada variável 
x em X, um único y em Y(não pode associar mais de um y). Assim, uma 
função de um conjunto X para um conjunto Y é um mapeamento dos 
elementos de X para os elementos de Y. 
 
 f: X → Y 
 
 
 
Uma notação mais usual para dizer que (x, y) ∈ f é: f(x) = y. 
 
Características de uma função: 
• O domínio X da relação. 
• O contradomínio Y da relação. 
• Todo elemento de X deve ter um elemento correspondente em Y. 
• Cada elemento de X só poderá ter no máximo um correspondente 
no contradomínio Y. 
 
Uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, 
contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta 
vertical, qualquer que seja esta reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X Y f 
X 
Y f 
Um mesmo x 
dando duas 
imagens y 
X 
Y f 
Um x dando uma 
única imagem y 
O matemático suíço 
Leonhard Euler (1707-
1783) foi quem 
desenvolveu a idéia de 
função, sendo o 
responsável também 
pela adoção do símbolo 
f(x) representativo de 
uma função de x. 
 
Curiosidade: 
Euler também foi 
responsável pela 
fórmula que engloba 
todos os principais 
números da 
Matemática: 
0, 1, i, pi, e. 
 
e
ipi + 1 = 0 
Leonhard Euler 
(1707–1783) 
3 – Relações e Funções Página 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função f é uma “relação binária'' tal que: se (x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f implica 
y = z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 Função Parcial e função Total 
 
X = domínio da função f 
Imagem de f = {elementos y de Y para os quais existe um x em X tal que 
f(x) = y} 
Seja A ⊂ X e o conjunto de todos os elementos y ∈ Y para os quais existe 
um x ∈ A tal que f(x) = y � f(A) é chamado de imagem de A sob f 
 
 
 
 
 
 
A imagem não precisa ser igual a Y 
 
Se x pertence ao domínio de f, diz-se que f(x) é definido, caso contrário é 
indefinido. 
 
Uma função f é parcial de X para Y, escreve-se f : X → Y, se o domínio de f 
é um subconjunto A de X e a imagem de f é subconjunto f(A) de Y. 
 
Caso o domínio A de f seja X a função é total. 
Assim, uma função f: X → Y é uma função total quando f(x) é definido para 
todo x ∈ X 
 
 
3.10 Função injetora e função sobrejetora 
 
Seja f : A → B uma função total: 
 
a) f é injetora 
• Se f(x) = z e f(y) = z � x = y 
• Ou se quaisquer que sejam x, y pertencentes ao domínio da função, se 
x é diferente de y implica que f(x) é diferente de f(y) 
• Se x ≠ y �f(x) ≠ f(y) 
 
X 
Y 
f 
A 
f(A) 
 f injetora 
Se x,y ∈ A e x ≠ y 
f(x) ≠ f(y) 
 f injetora 
∀ y ∈ B 
∃ x ∈A | y = f(x) 
Não é função 
(c não tem imagem) 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
Não é função 
(a tem duas imagens) 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
3 – Relações e Funções Página 43 
• Ou se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem 
imagens distintas em B 
Exemplo: f(x)= a x+b é injetora, pois sempre que tomamos dois 
valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 
 
b) f é sobrejetora 
• Se para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). 
• Se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. 
• Se B é a imagem f de A. Ou seja f(A)=B 
• Se a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o 
contradomínio da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: f(x)= a x+b é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem 
de um elemento de R pela função 
 
c) f é bijetora 
• Se é injetora e sobrejetora. 
 
Exemplo: f(x)= a x+b é bijetora, pois é injetora e bijetora. 
 
3.11 Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
Não é função 
(a tem duas imagens) 
a 
 
b 
 
c 
1 
 
2 
 
3 
Não injetora (existe 2 que é imagem 
de b e c) 
Não sobrejetora (existe 3 que não é 
imagem de ninguém) 
 
1 
 
2 
 
3 
4 
 
a 
 
b 
 
c 
É injetora (cada imagem é só de um 
elemento do domínio) 
Não sobrejetora (existe 4 que não é 
imagem de ninguém) 
Função Total 
Y 
X = A 
f(A) = B 
f 
Função Sobrejetora 
X = A Y = B 
f 
a 
b 
 
c 
 
d 
 
1 
 
2 
 
3 
Não injetora (existe 2 que é imagem 
de b e c) 
É sobrejetora (para cada imagem 
existe um elemento do domínio) 
3 – Relações e Funções Página 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• f : N → N, tal que f(x)=2x é injetora, mas não é sobrejetora (f(1) =2 
� falta o 1 na imagem). 
• f(x) = x² não é injetora, pois f(a) = f(-a). 
• Na função x3 todos os números reais são imagem de um outro 
número real qualquer. Portanto a função é sobrejetora 
• g: Z → N, tal que g(x)=|x| é sobrejetora, mas não é injetora.(Z é o 
conjunto dos números inteiros, e g é a função valor absoluto). 
 
3.12 Transformação de Inclusão ou Imersão ou Injeção 
 
Se X ⊂ Y, para cada x ∈ X, a função f(x) = x é 
denominada Transformação de Inclusão ou 
Imersão ou Injeção de X em Y 
 
A Transformação de Inclusão
de X sobre X 
também é denominada de Transformação 
Identidade sobre X 
 
3.13 Restrição e Extensão de função 
 
Se f é uma função de X para Y e se A ⊂ X, então há um caminho natural 
para construir uma função g de A para Y: 
 
Define-se para todo a ∈ A, g(a) = f(a) 
• g(a) = Restrição de f a A 
• f(a) = Extensão de g para X 
 
É usual escrever-se: g = f|A 
 
3.14 Projeção 
 
Considere dois conjuntos: X e Y 
Defina f de X × Y sobre X: 
Se f(x, y) = x � Projeção de X × Y sobre X 
Se g(x, y) = y � g é projeção de X × Y sobre Y 
 
3.15 Função de n argumentos 
 
Uma função de n argumentos é uma função da forma 
f : A,×××× A2 ×××× .. ×××× An → B 
É mais usual escrever f(a1, a2, …, an) do que f((a1, a2, …, an)) 
Y 
f 
X 
X 
Y 
g 
A 
f(A) 
f 
3 – Relações e Funções Página 45 
 
3.16 Composição de Funções 
 
Sejam as funções f : A → B e g : B → C. 
y = f(x) e z = g(y) � z = g(f(x)) 
A composição g o f é a função 
(g o f) : A → C tal que (f o g)(x) = g(f(x)) 
Para que a composição ocorra o Contra Domínio de f deve ser igual ao 
Domínio de g. 
 
 
 
 
 
 
3.17 Função Inversa 
 
A maioria das funções matemáticas é classificada como função de mão 
dupla porque é fácil fazê-las e desfazê-las. Por exemplo, “dobrar” é uma 
função de mão dupla (ou inversível) porque é fácil dobrar um número para 
gerar um novo número, enquanto é igualmente fácil desfazer a função para 
obter o número original a partir do número dobrado. 
 
Dada uma função f:X Y, denomina-se função inversa de f à função g:Y X 
tal que se f(x)=y, então g(y)=x, quaisquer que sejam x∈X e y∈Y. A função 
inversa de f é denotada por f-1. 
 
Condição para a função inversa existir: f tem que ser uma função bijetora, 
pois: 
• Todo elemento y∈Y tem que ter um correspondente x∈X (todo 
elemento de Y é a imagem de pelo menos um elemento de X) �f é 
sobrejetora 
• Se x ≠ y �f(x) ≠ f(y) (quaisquer dois elementos distintos de X, 
sempre possuem imagens distintas em Y) � f é injetora 
 
Dada uma função f: X → Y, seja f-1 a inversa de f , ou seja a função de P(Y) 
para P(X), tal que 
Se B ⊂ Y então 
f-1(B) = {x ∈X | f(x) ∈B} 
f-1(B) consiste exatamente dos elementos de X que f transforma no B 
f-1(B) é chamado de Imagem Inversa de B sob f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Em geral, f o g é 
diferente de g o f. 
Exemplo: 
Sejam as funções reais: 
f(u)=4u+2 
g(x)=7x-4. 
 
As composições fog e gof 
são: 
(f o g)(x) = f(g(x)) = 
=f(7x-4) = 4(7x-4)+2 = 
=28x-14 
 
(g o f)(u) = g(f(u)) = 
=g(4u+2) = 7(4u+2)-4 = 
=28u+10 
X 
Y 
f 
f
-1
(B) 
B 
f
-1
 
Observação: 
Se g é a inversa de f e f é a 
inversa de g, valem as 
relações: 
g o f= f-1 o f = IX 
f o g = f o f-1= IY 
onde IX e IY são, 
respectivamente, as 
funções identidades nos 
conjuntos X e Y. 
 
Esta característica 
algébrica permite afirmar 
que os gráficos de f e de 
sua inversa g são 
simétricos em relação à 
função identidade (y=x). 
 
Exemplo: a inversa de 
y= a.x + b pode ser obtida 
expressando-se x como 
função de y: 
y – b = a.x logo: 
x = (y – b) / a 
 
A B 
g 
x 
f(x) 
f 
g(f(x))
C 
g o f 
3 – Relações e Funções Página 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.18 Operações com Funções 
 
Sejam as funções f e g, então, as seguintes operações estão definidas: 
• (f+g)(x) = f(x) + g(x) 
• (f-g)(x) = f(x) - g(x) 
• (f.g)(x) = f(x) . g(x) 
• (f/g)(x) = f(x) / g(x), se g(x)≠0. 
 
3.19 Aplicação de Funções sobre o conceito de Cardinalidade 
 
Cardinalidade é uma medida do tamanho dos conjuntos. 
Se o conjunto é finito a sua cardinalidade pode ser tomada como o número 
de elementos do conjunto. 
 
Dados dois conjuntos A e B então: 
• #A = #B se existe uma função bijetora f : A → B, . 
• #A ≤ #B se existir uma função injetora f : A → B, . 
#A < #B se #A ≤ #B e #A ≠ #B. 
Um conjunto A será dito que é menor que B se A ⊂ B. Por exemplo, o 
conjunto dos números naturais pares é considerado menor que N (embora 
tais conjuntos tenham a mesma cardinalidade). 
• Um conjunto que tenha a mesma cardinalidade de N é dito ser 
enumerável. 
• Um conjunto é contável se for finito ou enumerável. 
 
3.20 Sucessor 
 
Para todo conjunto x define-se o Sucessor x+ de x como o conjunto obtido 
pelo acréscimo x aos elementos de x: 
x+ = x ∪ {x} 
 
3.21 Definição dos Números naturais 
 
Definindo 0 = ∅, então todos os números naturais são iguais ao conjunto 
de seus predecessores 
1 = 0+ = {0} 
2 = 1+ = {0, 1} 
3 = 2+ = {0, 1, 2} 
O sucessor de 7 é o 8 � 7 é um subconjunto de 8 ou 7 é um elemento de 8 
 
3.22 Axioma da Infinitude 
 
Existe um conjunto que contém o “0” e o sucessor de cada um dos seus 
elementos. 
Ou seja: o axioma simplesmente diz que existe um conjunto sucessor A 
 
A é um conjunto sucessor se 0 ∈A e se x+ ∈ A sempre que x ∈ A 
 
3 – Relações e Funções Página 47 
Se ω = interseção de todos os conjuntos sucessores contidos em A então 
ω é um subconjunto de todo conjunto sucessor 
 
Se B é um conjunto sucessor arbitrário, então A ∩ B também o é. 
Mas A ∩ B ⊂ A, então A ∩ B é um conjunto que entra na definição de ω 
Logo ω ⊂ A ∩ B e consequentemente ω ⊂ B 
Um número natural é um elemento do conjunto sucessor mínimo ω 
 
3.23 Exercícios Propostos 
 
3.23.1 Verifique se a relação “é perpendicular a” aplicada às linhas de um 
plano atende as condições: 
 (a) Reflexiva 
(b) Simétrica 
(c)Transitiva 
 
3.23.2 Verificar se a relação “ser mais jovem do que” é uma relação de 
equivalência 
3.23.3 Seja R a relação definida no conjunto dos números reais por 
(x,y)∈R se, e somente se, |x|=|y|. Verifique se R é uma relação de 
equivalência 
3.23.4 Seja R a relação definida no plano cartesiano por (a,b)R(c,d) se, e 
somente se, a²+b²=c²+d². Se (x,y) é um par ordenado tal que (x,y)R(3,4), 
então x²+y²=3²+4²=25 o que significa que devemos obter pontos (x,y) na 
circunferência com raio 5, centrada na origem (0,0). Verifique se R é uma 
relação de equivalência 
3.23.5 Seja uma relação D sobre o conjunto N dos números naturais tal 
que (a,b)∈D se, e somente se, a|b (a divide b), isto é, se existe c∈N tal que 
b=ac. Verifique se D é uma relação de equivalência 
3.23.6 Seja a função f:A B definida para os números Naturais inferiores a 
6, por f(x)=2x . Determine o domínio de f, seu contradomínio e sua função 
inversa g:B A 
 
3.23.7 Das cinco palavras seguintes, quatro estão ligadas por uma relação, 
ou seja, pertencem a uma mesma classe. 
Manifesto – Lei – Decreto – Constituição – Regulamento 
A palavra que Não pertence à mesma classe das demais é: 
(A) Regulamentp 
(B) Lei 
(C) Decreto 
(D) Constituição 
(E) Manifesto 
[Concurso de Auxiliar Fiscal Financeiro / TSE-SP / 2005] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m 
n 
p 
3 – Relações e Funções Página 48
3.23.8 Observe que, no esquema abaixo, há uma relação entre as duas 
primeiras palavras: 
Ausência – Presença :: Generosidade - ? 
A mesma relação deve existir entre a terceira palavra e a quarta, que está 
faltando. Essa quarta palavra é: 
(A) bondade 
(B) infinito 
(C) largueza 
(D) qualidade 
(E) mesquinhez 
[Concurso de Auxiliar Fiscal Financeiro / TSE-SP / 2005] 
 
3.23.9 Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram 
marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de 
formação. 
 
 
 
 
 
 
Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é 
(A) 210 
(B) 206 
(C) 200 
(D) 196 
(E)188 
[Concurso de Auxiliar Fiscal Financeiro / TSE-SP / 2005] 
 
3.23.10 A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica. 
Escolha a alternativa que substitui “X” corretamente: RÃ, LUIS, MEIO, 
PARABELO, “X” 
 
(A) Calçado 
(B) Pente 
(C) Lógica 
(D) Sabipiruna 
(E) Soteropolitano 
[Concurso para assessor especializado IPEA / 2005] 
 
3.23.11 Sejam A = {x , tais que x∈ Z e 3x}; B = {x, tais que x∈ Z e 12x } 
Mostre que B ⊆ A . 
 
0 
6 
24 60 
120 
? 
3 – Relações e Funções Página 49 
3.23.12 Uma relação R de A em A é dita Relação de Equivalência se R 
for reflexiva, simétrica e transitiva. 
Verifique se é de Equivalência a relação R de N em N e tal que xRy ⇔ x y 
(x divide y). 
Justifique sua resposta. 
 
3.23.13 Seja R a relação " > " de A = { 2, 3, 4, 5 } em B = { 1, 2, 5 } : 
a) escreva R como um conjunto de pares ordenados. 
b) represente R graficamente . 
 
3.23.14 Uma relação R de A em A é dita Relação de Equivalência se R 
for reflexiva, simétrica e transitiva. 
 Verifique se é de Equivalência a relação R no conjunto A = {a, b, c, d, e}, 
onde: 
 R = { (a,a) , (a,c) , (a,e) ,(b,b) , (b,d) , (b,e) , (c,c) , (c,e) , (d,d) , (d,e) , (e,e) }; 
 
3.23.15 Seja R uma relação dos Ν nos Ν (naturais) onde xRy significa 
que x + y é ímpar. 
Verifique se a relação R é reflexiva e simétrica. Justifique suas 
respostas. 
 
 
3.24 Para saber mais 
 
[1] Carnielli, Walter, Epstein, Richard L.- Computabilidade Funções 
Computáveis Lógica e os Fundamentos da Metemática - Editora UNESP; 
São Paulo; 2006 
[2] Malkevitch, Joseph, Meyer, Walter – Graphs, Models. Finite 
Mathematics – Prentice-Hall Inc. ; New Jersey; 1994 
[3] Triola, Mario F. –Mathematics and the Modern World – Cummings 
Publishing Company, Inc; Menlo Park, California;1993