Aula_21e22_SENL_1

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Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Centro de Tecnologia – CTEC
Curso de Engenharia Civil/Ambiental
Aulas 21 e 22: Solução de Sistemas de 
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luciana C. L. M. Vieira (lucianaclmv@lccv.ufal.br)
Aulas 21 e 22: Solução de Sistemas de 
Equações Não Lineares (SSENL) – Parte I
REVISÃO DOS MÉTODOS PARA SSEL
Eliminação de Gauss, Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel
Eliminação de Gauss:
• Método direto (sem iterações)
• Escalonamento
• Pivoteamento
• Solução do sistema triangular superior
Gauss-Jacobi:
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Gauss-Jacobi:
• Método iterativo
• Para obtenção da solução k+1 utiliza-se as informações da iteração k
• Necessita de um critério de parada
• A convergência pode depender do “chute” inicial
Gauss-Seidel:
• Método iterativo
• Para obtenção da solução k+1 utiliza-se as informações das iterações k 
e k+1 já calculadas
• Necessita de um critério de parada
• A convergência pode depender do “chute” inicial
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Visão geral:
� Dada uma função não linear:
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� Deseja-se encontrar as soluções para:
ou seja:
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Visão geral:
� Exemplo de sistema não linear:
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ou seja:
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Notação utilizada:
� Cada função fi(X) é uma função não linear em X e portanto F(X)
também é uma função não linear em X:
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Para sistemas lineares, tínhamos:
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Considerações:
� F(X) tem derivadas contínuas no domínio
� Existe pelo menos um ponto X* D, tal que F(X*) = 0
O vetor das derivadas parciais da função fi(X) é denominado
vetor gradiente de f (X) e é denotado por:
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vetor gradiente de fi(X) e é denotado por:
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Exemplo:
� Determinar a jacobiana de cada sistema abaixo:
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SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Características dos métodos para SSENL:
� Iteratividade
� Dado um ponto inicial X0, gera-se sequências Xk.
� Na situação de convergência, Xk é uma das soluções do sistema
quando:
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� Existência dos critérios de convergência
� Verificar se F(Xk) tem módulo pequeno, ou seja:
� Verificar se || Xk+1 - Xk|| está próximo de zero,
ou seja:
� Limitar o número de iterações k por um número máximo de iterações.
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON
Idéias básicas:
� Linearização
� Procura-se substituir, numa certa vizinhança, um problema
complicado por sua aproximação linear
� Por exemplo, toma-se os primeiros termos de uma expansão
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� Por exemplo, toma-se os primeiros termos de uma expansão
usando Série de Taylor.
� Iteração
� Repetição do procedimento até que se garanta a
convergência para a solução do sistema ou o fim desejado.
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON
Caso escalar:
� Considere um sistema não linear com uma incógnita e uma equação.
Nesse caso a solução é dada pela seguinte equação:
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� Expandindo-se essa equação usando a série de Taylor, próximo a
um ponto inicial (x1,f(x1)) e tomando-se apenas os primeiros termos
dessa expansão, tem-se:
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON
Caso escalar:
� Igualando a zero e desenvolvendo a equação anterior, tem-se:
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� Em termos de processo iterativo, podemos escrever:
MÉTODOS PARA SSENL: NEWTON-RAPHSON
Visualização gráfica:
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MÉTODOS ITERATIVOS
Exercícios extra-sala:
Como vai a implementação da eliminação de 
Gauss?
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E as implementações dos métodos para 
solução de sistemas de equações lineares??