lista06

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
5a lista de exerc´ıcios A´lgebra Linear
2o semestre de 2004 06/12/2004
Questo˜es
1. Para as matrizes a seguir, encontre o polinoˆmio caracter´ıstico, os autovalores e
autovetores associados (quantos forem poss´ıveis). Se poss´ıvel, encontre P tal que
P−1AP e´ diagonal
a)
 1 1 00 0 1
2 1 −2
 b)
 1 0 −40 5 4
−4 4 3
 c)

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0

d)
 4 −1 1−1 4 −1
1 −1 4
 e)

1 2 3 0 0
4 5 6 0 0
7 8 0 0 0
0 0 0 0 −2
0 0 0 −2 0
 f)

2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 0 1
0 0 −6 5

2. Quantos autovetores linearmente independentes tem J?
J =

2 0 0 0 0
1 2 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 1 2

3. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
1 1
0 1
]
e I =
[
1 0
0 1
]
Mostre que matrizes que possuem os mesmos autovalores na˜o sa˜o necessariamente
semelhantes.
4. Quais sa˜o os autovalores de uma matriz triangular?
5. Mostre que uma matriz e´ singular se, e somente se, possui 0 como autovalor.
6. Seja c(x) o polinoˆmio caracter´ıstico da matrizB do exerc´ıcio 1. Mostre que c(B) = 0.
7. Seja p(x) qualquer polinoˆmio para o qual p(A) = 0, A ∈ Mn×n(R). Se B e´ seme-
lhante a A, mostre que p(B) = 0.
8. Para
A =
 2 −1 1−1 2 −1
1 −1 2
 ,
encontre o polinoˆmio c(x) = det(xI − A) e verifique diretamente que c(A) = 0.
Use este resultado para expressar A−1, A3, A4 e A5 como polinoˆmios de A de grau
menor ou igual a 2.
9. Mostre que todo nu´mero real positivo λ e´ autovalor do operador diferencial D2.
10. FAC¸A MAIS EXERCI´CIOS!!!
1