CALCULO I

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lista derivada de ordem superior.PDF
- Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios 4 - Derivadas
1. Para cada func¸a˜o f dada, calcule a derivada indicada:
(a) f(x) = −6x5 + 3x4 − 5x− 2, d25ydx25 ;
(b) f(x) = senx, d
37y
dx37 ;
(c) f(x) = 1x ,
dny
dxn ;
2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx.
3. Derive:
(a) y = arctan(arcsenx);
(b) y = ln(secx+ tgx);
(c) y = xx;
(d) y = arcsen(
√
1− x2);
(e) y = arcsen(e2x − 1).
4. Determine para quais valores de x cada func¸a˜o a seguir esta´ definida:
a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2)
5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada func¸a˜o a seguir:
a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1.
6. Determine os pontos cr´ıticos de cada func¸a˜o a seguir:
a) y = x3 + x2 − x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x2/3 d) y = x2/5
7. Determine, se existirem, os valores ma´ximos e mı´nimos de cada func¸a˜o a seguir, no intervalo indicado:
a) y = x3 − 3x+ 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3, [−1, 2] c) g(t) = t√4− t2, [−1, 2]
d) y = x− 2senx, [−pi2 , pi2 ], e) y = ex−e−x2 , (−∞,+∞) f) y = x3 − 3x+ 1, na reta.
Respostas:
1. (a) d
25y
dx25 = 0; (b)
d37y
dx37 = cosx, (c)
dny
dxn =
(−1)nn!
xn+1
2. d
n ln x
dxn =
(−1)n−1(n−1)!
xn
3. (a) y′ = 1
(1+arcsen2x)
√
1−x2 ;
(b) y′ = secx;
(c) y′ = xx(1 + lnx);
(d) y′ = − x|x|√1−x2
(e) y′ = 2e
2x√
1−(e2x−1)2
4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0; (b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, (c) −∞ < x < +∞
5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3.
(b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2.
6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0.
7. (a) Ma´ximo: y = 19 em x = 3; Mı´nimo: y = −1 em x = 1;
(b) Ma´ximo: y = 27 em x = 2; Mı´nimo: y = −1 em x = 0;
(c) Ma´ximo: g = 2 em t =
√
2; Mı´nimo: g = −√3 em t = −1;
(d) Ma´ximo: y =
√
3− pi3 em x = −pi3 ; Mı´nimo: y = −
√
3 + pi3 em x =
pi
3 ;
(e) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞;
(f) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞.
Lista extra regra de l`ohospital.PDF
- Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios 5 -
Regra de L’Hospital e Construc¸a˜o de Gra´ficos
1. Calcule os limites:
a) lim
x→0+
ln x
x
b) lim
x→0
senx− x
x3
c) lim
x→+∞
(lnx)2
x
d) lim
x→+∞
x tan
(
1
x
)
e) lim
x→pi/2
tanx
tan(3x)
f) lim
x→0
tan(px)
tan(qx)
, q 6= 0
g) lim
x→+∞
x3e−x
2
h) lim
x→0+
√
x ln x i) lim
x→−∞
x2ex
j) lim
x→0+
senx ln x k) lim
x→0
sen(4x)
2x+ 3
l) lim
x→+∞
x− ln x
m) lim
x→+∞
√
x2 + x− x n) lim
x→0
x+ tanx
senx
o) lim
x→0
(
1
x
− 1
senx
)
p) lim
x→0
x− arctanx
x− senx q) limx→−∞
√
x2 + 1
x
r) lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)bx
s) lim
x→+∞
(
x
x+ 1
)x
t) lim
x→+∞
(ex + x)1/x u) lim
x→+∞
(
2x− 3
2x+ 5
)2x+1
v) lim
x→0+
(x)p/ lnx w) lim
x→0+
(cosx)1/x
2
x) lim
x→0
(1− 2x)1/x
Respostas:
a) −∞ b) − 1/6 c) 0
d) 1 e) 3 f) p/q
g) 0 h) 0 i) 0
j) 0 k) 0 l) +∞
m) 1/2 n) 2 o) 0
p) 2 q) − 1 r) eab
s) 1/e t) e u) e−8
v) ep w) e−1/2 x) e−2
1
2. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo, indicando, quando existirem, os pontos cr´ıticos,
pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, pontos de inflexa˜o, ass´ıntotas, intervalos de cresci-
mento e decrescimento e a concavidade do gra´fico.
a) y = x3 − 3x2 + 5 b) y = 4x3
3
− x4
3
c) y = x
2
x2−4
d) y = 6x
2
1+x2
e) y = 4x
x2+1
f) y = 12(1−x)
x2
g) y = xe−x h) y = e
2x
x
i) y = lnx
x
j) y = x2 ln x k) y = 5x2/3 − x5/3 l) y = x− 3x1/3
2
3
ROTEIRO PARA ESBOÇAR UMA CURVA-AMB-MAT.doc
ROTEIRO PARA ESBOÇAR UMA CURVA 
As etapas abaixo pretendem seguir como um guia para esboçar uma curva 
 à mão. Nem todos os itens são relevantes para cada função. Por exemplo, nem toda curva tem assíntotas. Mas, o roteiro fornece informações necessárias para fazer um esboço em geral.
Etapa 1: Domínio: Determine o domínio da função e verifique se a função é periódica, pois se for, podemos restringir o domínio para um intervalo do tamanho de seu período. 
Etapa 2: Pontos críticos / Crescimento e Decrescimento / Máximos e mínimos locais.
Etapa 3: Concavidade / Pontos de inflexão.
Etapa 4: Assíntotas: 
Assíntotas horizontais: 
 é uma assíntota horizontal da curva 
 se 
 
 Mas, se 
são 
 informações valiosas também.
Assíntotas verticais: 
 é uma assíntota vertical da curva 
 se pelo menos uma dos limites for verdadeiro:
 
 E ainda, é proveitoso saber exatamente qual dos limites é verdadeiro.
 
Assíntotas oblíquas: A reta 
 é uma assíntota oblíqua da curva 
se 
 
 Lembre-se: para funções racionais, as assíntotas oblíquas ocorrem quando a
 diferença entre os graus do numerador e denominador é 1. Neste caso, a
 assíntota oblíqua é o quociente da divisão de polinômios entre numerador e 
 o denominador.
Etapa 5: Esboço da curva.
 1º - Coloque as assíntotas tracejadas se existirem.
 2º - Marque os pontos importantes:pontos críticos e pontos de inflexão.
 3º - Faça a curva passar por estes pontos, subindo ou descendo de acordo com a Etapa 2, com a concavidade obtida na Etapa 3 e tendendo às assíntotas se existirem.
Obs: Identificar simetrias (caso exista) e pontos de interseção com os eixos podem ajudar no esboço.
_1333868980.unknown
_1333870970.unknown
_1333871628.unknown
_1333869265.unknown
_1333869586.unknown
_1333869677.unknown
_1333869354.unknown
_1333869184.unknown
_1333867979.unknown