MÉTODOS ITERATIVOS

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MÉTODOS ITERATIVOS
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Métodos Iterativos
 Existe um grande número de métodos numéricos que são processos iterativos. Como o próprio nome já diz, esses processos se caracterizam pela repetição de uma determinada operação. 
 A idéia nesse tipo de processo é repetir um determinado cálculo várias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração um resultado mais preciso que aquele obtido na iteração anterior.
 E, a cada iteração utiliza-se o resultado da iteração anterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte.
 Este tipo de método, na maioria das vezes, não obtém solução exata para as raízes, mas sim uma solução aproximada dentro de uma faixa de erro considerada aceitável.
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Métodos Iterativos
 Alguns aspectos comuns a qualquer processo iterativo, são:
Estimativa inicial: como um processo iterativo se caracteriza pela utilização do resultado da iteração anterior para o cálculo seguinte, a fim de se iniciar um processo iterativo, é preciso que se tenha uma estimativa inicial do resultado do problema. Essa estimativa pode ser conseguida de diferentes formas, conforme o problema que se deseja resolver;
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Métodos Iterativos
Convergência: a fim de se obter um resultado próximo do resultado real, é preciso que a cada passo ou iteração, o resultado esteja mais próximo daquele esperado, isto é, é preciso que o método convirja para o resultado real. Essa convergência nem sempre é garantida em um processo numérico. Portanto, é muito importante se estar atento a isso e realizar a verificação da convergência do método para um determinado problema antes de tentar resolvê-lo;
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Métodos Iterativos
Critério de Parada: obviamente não podemos repetir um processo numérico infinitamente. É preciso pará-lo em um determinado instante. Para isso, devemos utilizar um certo critério, que vai depender do problema a ser resolvido e da precisão que precisamos obter na solução. O critério adotado para parar as iterações de um processo numérico é chamado de critério de parada.
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Classificação dos Métodos
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Classificação dos Métodos
Método de quebra: são os mais intuitivos geometricamente; contudo, são os que convergem mais lentamente. Esses métodos são assim chamados porque a partir de um intervalo que contenha uma raiz da fução, vai-se particionando este intervalo em outros menores, que ainda contenham a raiz. Dependendo da escolha do ponto de quebra do intervalo, poderemos ter diferentes métodos, tais como:
Método da Bisseção;
Método da Falsa Posição. 
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Métodos de ponto fixo: Nestes métodos, começamos de uma aproximação inicial x0 e construímos a sequência {xi} na qual cada termo é dado por xi + 1 = (xi), onde  é uma função de iteração.
 Conforme for (dzeta), teremos diferentes 
 métodos de ponto fixo, tais como:
Método de Newton-Raphson;
Método da Iteração Linear.
Classificação dos Métodos
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Métodos de múltiplos pontos: Eles constituem uma generalização do método anterior, onde para determinar um ponto xi + 1 utilizamos vários pontos anteriores: xi, xi – 1 , ... , xi – p.
Exemplo:
Método da Secante
Classificação dos Métodos
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Método de Dicotomia ou Bisseção 
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Método da Bisseção
 Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e  
uma raiz desta função, sendo que  (a,b), tal que 
f() = 0.
 Dividindo o intervalo ao meio, obtém-se x1, 
havendo, pois, dois subintervalos, [a;x1] e [x1;b], a ser 
considerados.
 Se f(x1) = 0 então  = x1, caso contrário, a raiz estará 
no subintervalos onde a função tem sinais opostos nos
pontos extremos, ou seja:
Se f(a). f(b) < 0, então  [a; x1] ou,
Se f(a). f(b) > 0, então  [x1;b].
 O processo se repete até que se obtenha uma 
aproximação para a raiz exata , ou seja, que o critério 
de parada seja satisfeito.
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Método da Bisseção
Considerações Finais: 
As interações não envolvem cálculos laboriosos;
Apesar de teoricamente seguro, o método pode ter falhas. Se ocorrer um erro de arredondamento, mesmo que pequeno, no momento em que a máquina avalia o sinal do ponto médio, poderemos ter um intervalo que efetivamente não contém uma raiz.
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Exemplo
Encontrar a raiz da função f(x)= x² – 3 contida no intervalo [1;2] com erro   10 –2.
 f(a) = f(1) = – 2 < 0
 f(b) = f(2) = 1 > 0
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